Circuitos Elétricos II - Resolução de PVI com Laplace e Transformadas

06062025 Circuitos Elétricos II Fs L ft ₀ ft eˢᵗ dt s C L 1 1s Res 0 L eαt 1sα α cte α C Res Reα L δt 1 L α ft β gt α Lft β Lgt α β ctes α β C L ft s Fs f0 L ₀t fτ dτ 1s Fs Solução de PVI usando Laplace Continuação do exemplo da aula anterior à prova Ys s s²2s1 1 s2s² 2s1 1 s3s² 2s1 15 Y₁s Y₂s Y₃s Por razões didáticas trabalharemos separadamente com cada um dos três termos Y₁ Y₂ e Y₃ de forma a termos três exemplos Começamos com Y₁s Y₁s s s² 2s 1 s s1² As1¹ Bs1² Multiplico ambos os termos por s1² s As1 B Escolhemos valores de s s1 1 A0 B B1 s0 0 A B AB A1 Y₁s ss1² 1s1 1s1² Esse é o resultado da expansão Vamos conferir 1s1 1s1² amc s1 1s1² ss1² cqd y₁t L¹Y₁s L¹ 1s1 1s1² L¹ 1s1 L¹ 1s1² eᵗ t eᵗ t 0 Y₂s 1 s2s² 2s 1 1 s2s1² As2 Bs1 Cs1² 1 A s1² B s2s1 C s2 i s1 1 C12 1C C1 s2 1 A A1 A solução mais simples para encontrar B é escolher outro valor de s Por exemplo s 0 ou s 3 os menores inteiros que não usamos ainda Escolho s 3 1 A 2² B 1 2 C 1 1 1 2² 2B 1 1 42B 1 2B 13 2 B 1 Alternativamente podemos derivar a equação i em relação a s 0 2 A s1 s1¹ B 1 s1 Bs21 C 1 0 2A s1 B s1 s 2 C 0 2A s1 B 2s3 C Derivando novamente 0 2A 2B 2B 2A B A Como A1 então B 1 chegamos ao mesmo resultado Portanto Y₂s 1 s2s² 2s1 1s2 1s1 1s1² Y₂t L¹ Y₂s e²ᵗ eᵗ teᵗ t 0 detalhes no pdf do Moodle Ys 116s1 14s12 1s2 116s3 yt 116 et 14 t et e2t 116 e3t Leat 1sa Lteat 1sa2 Lt2 eat 1sa3 Lt3 eat 1sa4 yt 116 et 14 tet e2t 116 e3t yt 2yt yt e2t e3t y0 1 y0 2 Exs Não linearidade yt2 2t yt Variância com o tempo Esses casos não podemos usar Laplace para resolver a EDO 21 Solução no domínio de Laplace Aqui consideraremos o PVI com uma EDO linear de segunda ordem yt 2yt yt e2t e3t 3 y0 1 4 y0 2 Como a EDO é linear e invariante com o tempo podemos resolvêla aplicando a transformada de Laplace Para isso vamos aplicar essa transformada aos dois termos da equação 3