Lista 1 Calc3 Gabarito-2023 1

Taree UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Sal = SETOR DE CIENCIAS EXATAS | Tr UFPR DEPARTAMENTO DE MATEMATICA DMAT - UFPR Lista 1 - Médulo 1 - CM043 1. Em cada um dos casos abaixo, decida se a sequéncia (z,,) é limitada, se é convergente, se possui subsequéncias convergentes e, em caso afirmativo, determine os correspondentes limites. ; _1)n (a) 2, = (-1)"+ a (b) zp = cr (c) Zn = In [(2 +7)"] (d) Zn = (0.9 + 0.12)” 2. Em cada um dos casos abaixo, decida se a série é convergente ou é divergente. +00 “\2n+1 +00 +00 on +00 . (—1)"(1 + 21) 1 i n—-4 (a) }) (b) 0 = (c) So — (d) $0; ! = (2n+ 1)! Vn —n <4 8n + 21 +00 \z | 3. (a) Considere a série convergente Ss" Zn, tal que Teh <q<1. Mostre que o resto da série en n=1 Rn = Zn41 + Zn42 + +2n43--- fos des lzn+1 - 2 satisfaz 4 desigualdade |Rp| < Tog" (Sugestao: mostre que |Rn| < |2n41|-1+|2n41|-¢t+len4i1]-¢°+:--) —4 Tanti lenai| . 1 (b) Mostre que para a série » oa tem-se Tel < 3 <1. +00 : . : pos a n+ : (c) Determine a quantidade de termos nessaria para que a soma da série S° pn, Possa ser aproximada n n=1 com um erro inferior a 0.05. 4. Em cada um dos casos abaixo, determine o centro zg e o raio de convergéncia R da série de poténcia dada. +oo . +oo +00 1 +00 (2 +14)” a\Nr a (-1)"* n \n a) 3S (b) > (=) z (c) 3 — 2 (a) > n(n — 1)(z — 3 + 2%) n=1 n=0 n=1 n=1 -++oo TOO 4 (c) So 2"(z- 1)” (f) So om Zn n=1 n=1 +c00 n 5. Dada a série S° (5) z", determine seu raio de convergéncia R de duas formas distintas: n=2 (a) Utilizando a férmula de Cauchy-Hadamard; +00 n 22 a2 +00 (b) Mostrando que Ss" (3) a= 7 ae y “ e concluindo que seu raio de convergéncia é o n=2 n=0 +00 mesmo da série Ss" 2”. n=0 +00 n 6. Dada a série S° an (2 +)?", determine seu raio de convergéncia R de duas formas distintas: n=1 (a) Utilizando a férmula de Cauchy-Hadamard; +00 n (b) Calculando o raio de convergéncia da série resultante de / > gn + on} dz. n=1 1 1 1 es . ys aor 7. Dado que a2 =Tos To’ utilize o produto de Cauchy para determinar uma série de poténcia —2 —z l-z 1 que represente a funcao i —2p2 e determine o raio de convergncia R de tal série. —Zz 8. Determine a série de Taylor ou Maclaurin da funcgao f(z) dada, com centro no ponto zo dado e determine seu raio de convergéncia R nos seguintes casos: (a) f()=e* , m=0 (b) f(z) =e? , 2 =—2i (c) f(g=senz, 2 =7/2 (a) fle)= : z) = — ,2%=1 1-2? 0 (ce) f(z) =e"? , 9 =0 (f) f(z) = 28 -—244+2-1,m=1 Respostas 1. (a) Limitada; divergente; possui subsequéncias convergindo para +1 (b) Limitada; convergente; 0 (c) Nao-limitada (d) Limitada; convergente; 0 2. (a) Convergente (b) Divergente (use o critério da comparacao) (c) Condicionalmente convergente (use 0 critério de Liebniz para as séries das partes real e imagindria) (d) Divergente (o limite do termo geral da série é diferente de zero) 3 3. (c)n >1+ 3 log, (5) = 4.4829 4. (a) a =-1,R=1 |O| (b) 20 = 0 5 R=— la (c)z=-i,R=1 (d) » =3-21,R=1 1 (e) 2 =i,R= Ws (faca a mudane¢a de varidvel w = (z — i)*) (f) 2 =0, R= V2 (faca a mudanca de varidvel w = 2?) 5. (a) R=1 6. (a) R= V2 +00 +00 +00 1 (Ee) (Le) - Lorne: aa n=0 n=0 n=0 2 4.32.4 8. (a) 1-224 2z — 3% +3? —+...;R=+00 —2i \ i 2,1 3, 1 4 (b) € (1+ (@ +2) + 5(2 +2) + gle + 2%) + 5g (2 + 2t) +...) ; R=-+00 1 T 1 T 1 T 1—-=(2 -=) 4+ =(2-*)4- (2-28 4-0. R= (c) 5 (2 5) + 5 5) 790 (2 5) + ; R=-+00 T+2 2 . —1+i . 1 . (d) —— + (2 — i) + ——(z - 1)? — -(z -i)8 +...; R= V2 2 2 4 4 1 1 1 1 y—- 272 +274 — 764 — 8 _4 R= (e) 5% +32 a2 + aq? Hee 5 +00 (f) 4(z — 1) + 10(z — 1)? + 16(z — 1)? + 14(z — 1)4 + 6(2 — 1)? + (2 -1)®; R=+00