Equação Geral do Plano na Geometria Analítica e Álgebra Linear

O pLANO Geometria analítica e Álgebra Linear EQUIAÇÃO GERAL DO PLANO Seja Ax₁y₁z₁ um ponto pertencente ao plano π e nabc n0 um vetor normal ortogonal ao plano Figura 61 Como n π n é ortogonal a todo vetor representado em π Então um ponto Px y z pertence a π se e somente se o vetor ĀP é ortogonal a n ou seja nPA0 nPA0 ou abcxx₁yy₁zz₁0 ou axx₁byy₁czz₁0 ou ainda axbyczax₁by₁cz₁0 Fazendo ax₁by₁cz₁d obtemos axbyczd0 1 a Assim como nabc é um vetor normal a π qualquer vetor kn k0 é também vetor normal ao plano b É importante notar que os três coeficientes a b e c da equação 1 representam as componentes de um vetor normal ao plano Por exemplo se um plano π é dado por π 3x2yz10 um de seus vetores normais é n321 c Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada Assim por exemplo se na equação anterior fizermos x4 e y2 teremos 3422z10 124z10 z9 e portanto o ponto A429 pertence a este plano Exemplos EQUIAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Para todo ponto P do plano os vetores AP u e v são coplanares Um ponto Px y z pertence a π se e somente se existirem números reais h e t tais que Determinar uma equação geral do plano π que contém as retas Casos particulares da equação geral do plano ax by cz d 0 seja nulo o plano ocupará uma posição particular em relação aos eixos ou planos coordenados Analisaremos os diversos casos a partir de uma equação completa ax by cz d 0 Por exemplo 3x 4y 2z 12 0 4 e representaria um plano paralelo ao da Figura 69 porém passando pela origem O0 0 0 pois as coordenadas deste ponto verificam a equação 30 40 20 0 e representaria um plano paralelo ao eixo x interceptando os outros dois eixos ainda em 0 3 0 e 0 0 6 Figura 610 Se a 0 a equação 4 seria 4y 2z 12 0 ou 0x 4y 2z 12 0 5 Se em 5 d 0 a equação resultante 4y 2z 0 representa um plano pela origem e portanto contém o eixo Ox Figura 611 Se a 0 a equação 4 seria 4y 2z 12 0 ou 0x 4y 2z 12 0 5 Comentários idênticos faríamos para os casos b 0 ou c 0 quando a equação 4 seria 3x 2z 12 0 Figura 612 ou 3x 4y 12 0 Figura 613 Se a b 0 a equação 4 seria 2z 12 0 ou 0x 0y 2z 12 0 6 ou simplesmente z 6 Observemos que todos os pontos do tipo x y 6 verificam a equação 6 Ora se todos os pontos deste plano têm cota 6 significa que todos estão 6 unidades afastados do plano xOy Portanto tratase de um plano paralelo a xOy e que intercepta o eixo Oz perpendicularmente em 0 0 6 Assim concluímos que toda equação de forma z k representa plano paralelo ao plano xOy e intercepta o eixo Oz em 0 0 k Na Figura 614 estão representados os planos de equação z 6 e z 0 plano xOy Raciocínio análogo levanos a concluir que y k representa plano paralelo a xOz e x k representa plano paralelo a yOz Na Figura 615 estão representados os planos de equação y 3 e y 0 plano xOz e na Figura 616 os planos de equação x 4 e x 0 plano yOz Determine a equação geral dos planos em cada um dos casos a b c d e f Sejam os planos π₁ e π₂ com vetores normais n₁ e n₂ respectivamente Figura 617 Chamase ângulo de dois planos π₁ e π₂ o menor ângulo que um vetor normal a π₂ forma com um vetor normal a π₁ Sendo θ esse ângulo temse cosθ n₁n₂ n₁ n₂ com 0 θ π2 Consideremos dois planos π₁ e π₂ e sejam n₁ e n₂ vetores normais a π₁ e π₂ respectivamente Pela Figura 618 concluise que π₁ π₂ n₁ n₂ n₁n₂ 0 Exemplo 8 Determinar o ângulo entre os planos π₁ 2x y z 3 0 e π₂ x y 4 0 9 Verificar se π₁ e π₂ são planos perpendiculares a π₁ 3x y 4z 2 0 e π₂ 2x 6y 3z 0 b π₁ x y 4 0 e π₂ x 2 h 2t y h t z t PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO a b PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Seja uma reta r com a direção do vetor v e um plano π sendo n um vetor normal a π Pelas figuras concluise que r π v n v n 0 Figura 619 a r π v n v αn Figura 619 b 10 Determine a relação paralelismo ou perpendicularismo existente entre a reta r e os planos 𝜋 e 𝜋1 INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS MÉTODO 1 MÉTODO 1 MÉTODO 2 INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO A interseção entre uma reta e um plano quando não for vazia pode acontecer de duas maneiras A primeira é quando a interseção tem apenas um ponto como mostra a figura a esquerda e a outra é quando a reta está contida no plano e então a interseção será a própria reta Considere uma reta r e um plano π no espaço tridimensional Dizemos que a interseção da reta com o plano é não vazia se existe pelo menos um ponto I que pertence à reta e ao plano simultaneamente Observe na figura que o ponto I pertence à reta e ao plano O ponto A pertence ao plano mas não pertence à reta e portanto não está na interseção O ponto B à reta mas não está no plano e logo não está na interseção RETA CONTIDA EM UM PLANO Uma reta r está contida no plano π Figura 620 se I dois pontos A e B de r forem também de π ou II v n 0 em que v é um vetor diretor de r e n um vetor normal a π e A r Exemplo 13 Determinar os valores de m e n para que a reta r x3t y1t z2t esteja contida no plano π 2x my nz 5 0 Exemplos 14 Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π em que x12t y53t e π 2xy3z40 z3t Sejam a reta r e o plano π dado por r y2x3 zx2 e π 2x 4y z 4 0 Determinar a o ponto de interseção de r com o plano xOz b o ponto de interseção de r com π c equações da reta interseção de π com o plano xOy