Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA VETORIAL Geometria analítica e algebra vetorial KLS KLS Leonardo Alcântara Portes Cláudia Marques de Oliveira Farias Geometria analítica e álgebra vetorial Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Portes Leonardo Alcântara ISBN 9788584826698 1 Álgebra vetorial 2 Geometria analítica 3 Álgebra 4 Cálculo vetorial I Farias Cláudia Marques de Oliveira II Título CDD 512 Alcântara Portes Cláudia Marques de Oliveira Farias Londrina Editora Distribuidora Educacional SA 2016 224 p P224g Geometria analítica e álgebra vetorial Leonardo 2016 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Alberto S Santana Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Cristiane Lisandra Danna Danielly Nunes Andrade Noé Emanuel Santana Grasiele Aparecida Lourenço Lidiane Cristina Vivaldini Olo Paulo Heraldo Costa do Valle Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica André Luís Delvas Fróes Junior Francisco Dias Editorial Adilson Braga Fontes André Augusto de Andrade Ramos Cristiane Lisandra Danna Diogo Ribeiro Garcia Emanuel Santana Erick Silva Griep Lidiane Cristina Vivaldini Olo 2016 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Sumário Unidade 1 Matrizes e sistemas Seção 11 Matrizes definição e operações Seção 12 Determinantes Seção 13 Sistemas de equações lineares Seção 14 Matriz inversa 7 9 25 39 53 Unidade 2 Vetores no plano e no espaço Seção 21 Vetores definição e segmentos orientados Seção 22 Módulo ou norma de um vetor Seção 23 Decomposição de vetores Seção 24 Operação com vetores 67 69 83 93 103 Unidade 3 Produto escalar e vetorial Seção 31 Combinação linear de vetores Seção 32 Produto escalar e ângulo entre dois vetores Seção 33 Projeção de um vetor sobre outro vetor Seção 34 Produto vetorial e aplicações 117 119 129 141 155 Unidade 4 Equações de retas e planos Seção 41 Equação vetorial de uma reta Seção 42 Equação geral do plano Seção 43 Distância entre dois pontos Seção 44 Distância entre ponto à plano e plano à plano 169 171 185 199 211 Palavras do autor Olá aluno Seja bemvindo Nesta unidade curricular serão apresentados os conceitos de geometria analítica que encontra na álgebra seu aliado mais significativo Não somente na álgebra elementar mas principalmente na álgebra vetorial Frequentemente usamos os conceitos de geometria analítica e nem percebemos Algumas atividades exigem seu uso mais efetivo outras menos mas os usamos sem perceber Um cidadão que utiliza o GPS por exemplo Este aparelho capta sinais de vários satélites e estes calculam a velocidade que recebeu e enviou a informação por meio de ondas eletromagnéticas na velocidade da luz Calculando as distâncias esses satélites determinam a posição exata na superfície da Terra da informação enviada pelo cidadão O GPS utiliza coordenadas fornecidas por satélites traçando uma esfera com centro em cada satélite e a partir da interseção dessas esferas ele calcula a posição a altura a latitude e a longitude Essa compreensão nada mais é do que o sistema de coordenadas Serão explorados também os conceitos da álgebra vetorial e talvez este seja um assunto novo para você Vetor é um objeto matemático que desempenha um papel extremamente relevante nesta unidade pois como foi exposto a geometria analítica tem a álgebra vetorial como sua mais importante aliada e isso logo se tornará claro Suponhamos que um carro se locomove a 120 kmh Podemos obter uma informação ainda mais precisa dizendo que um carro vai do norte ao sul a 120 kmh Ou seja além de fornecermos a velocidade também informamos o sentido e a direção em que o carro anda Essas são as características de um vetor Mesmo que você tenha tido pouco contato com esses conceitos espero que o fato de a geometria analítica e a álgebra vetorial estarem tão presentes em nossa vida diária estimule seu interesse tornando seus momentos de estudo agradáveis proporcionando conhecimento dos fundamentos elementares da álgebra vetorial aplicada à geometria analítica que apoie o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia Esse material está dividido em 4 unidades de ensino Cada uma delas subdividida em 4 seções de autoestudo totalizando 16 seções Na Unidade 1 serão explorados as matrizes e os sistemas e na Unidade 2 vetores no plano e no espaço A Unidade 3 abordará o plano escalar e o plano vetorial e finalmente na Unidade 4 trataremos sobre as equações de retas e planos Desejolhe muito sucesso Unidade 1 Matrizes e sistemas Frequentemente encontramos em jornais revistas e também na internet informações organizadas numericamente em forma de tabelas ou seja com linhas e colunas Veja um caso na Tabela 11 por exemplo O apresentado na Tabela 11 é um exemplo do que denominamos na Matemática de matriz Na maioria das vezes quando se estuda matrizes dáse maior importância na preparação para o cálculo de determinantes pois é a partir desse tema que se adquire conhecimento para a resolução de sistemas lineares Entretanto nem sempre fica claro que no sistema linear estamos utilizando uma matriz Esse estudo superficial de matrizes faz com que você não perceba o quanto as aplicações de matrizes são importantes em nosso dia a dia É possível utilizar os conceitos que serão abordados nesta unidade em Convite ao estudo Tabela 11 Campeonato brasileiro de futebol de 2015 série A Fonte Confederação Brasileira de Futebol 2015 Classificação Time P J V E D GP GC SG 1 Corinthians 81 38 24 9 5 71 31 40 2 AtléticoMG 69 38 21 6 11 65 47 18 3 Grêmio 68 38 20 8 10 52 32 20 4 São Paulo 62 38 18 8 12 53 47 6 Matrizes e sistemas U1 8 várias aplicações práticas nos problemas do nosso cotidiano na Física na Engenharia na computação gráfica em gestão de negócios Vejamos uma situação que fará com que você perceba como o uso de matrizes pode facilitar a gestão de negócios Suponha que você seja proprietário de uma confeitaria e que no dia a dia ocorram diversas situações que necessitem de um tratamento de informações de maneira organizada para facilitar a gestão dos negócios Para saber que preços serão repassados ao consumidor final você decidiu investigar seus custos por meio de matrizes para estabelecer preços e obter os lucros desejados No decorrer desta unidade mais dessas situações serão propostas a você Esteja preparado Matrizes e sistemas U1 9 Seção 11 Matrizes definição e operações Imagine que você seja o proprietário de uma confeitaria e recebeu a encomenda de três tipos diferentes de doces brigadeiro beijinho e bichodepé Nessas receitas foram utilizados quatro ingredientes x y z t em várias proporções conforme mostra a Tabela 12 Os preços de cada ingrediente utilizado estão na Tabela 13 A partir das informações anteriores como determinar a matriz que registra o custo de cada receita Pretendemos que você perceba que a resposta a esse problema será uma nova matriz obtida efetuando o produto dos valores contidos Diálogo aberto Tabela 12 Doces Tabela 13 Ingredientes Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Doces x y z t Brigadeiro 3 6 1 3 Beijinho 4 4 2 2 Bichodepé 0 1 1 6 Ingredientes Preço x R 020 y R 080 z R 120 t R 280 Matrizes e sistemas U1 10 Matrizes As matrizes são representações de informações numéricas em tabelas organizadas em linhas e colunas Formalmente podemos definir matriz como a seguir Observe alguns exemplos de matrizes A 1 0 2 é uma matriz 1 3 B x y é uma matriz 2 1 A escrita m n indica a ordem da matriz A tem ordem 1 por 3 e B tem ordem 2 por 1 Representação de uma matriz Vamos considerar uma matriz A do tipo m n Qualquer elemento dessa matriz A será representado pelo símbolo aij em que o índice i se refere à linha em que o elemento aij se encontra e o índice j se refere à coluna De maneira geral representamos a matriz A do tipo m n por A aij m n em que i e j são números inteiros positivos e aij é um elemento qualquer de A Veja exemplo Seja a matriz A 2 1 0 0 1 1 3 2 O elemento a11 é aquele que está na linha 1 e coluna 1 e é igual a 2 a12 é aquele que está na linha 1 e coluna 2 e é igual a 0 a21 é aquele que está na linha 2 e coluna 1 e é igual a 1 Não pode faltar na Tabela 12 e na Tabela 13 Com essa compreensão você poderá resolver essa e outras situações buscando aprimorar seus conhecimentos sobre multiplicação de matrizes Vamos lá Assimile Sejam m e n números naturais não nulos ou seja diferentes de zero Uma matriz m n lêse m por n é uma tabela de m n números reais com m linhas fileiras horizontais e n colunas fileiras verticais Matrizes e sistemas U1 11 a22 é aquele que está na linha 2 e coluna 2 e é igual a 1 a31 é aquele que está na linha 3 e coluna 1 e é igual a 0 a32 é aquele que está na linha 3 e coluna 2 e é igual a 1 Tipos especiais de matrizes Por apresentarem características especiais algumas matrizes merecem certo destaque Vejamos alguns tipos especiais de matrizes Matriz linha é formada por uma única linha A 0 1 2 1 é uma matriz linha 1 4 Matriz coluna é formada por uma única coluna A 0 2 4 é uma matriz coluna 3 1 Exemplificando Escreva a matriz A aij 2 3 em que a i j ij 2 Resolução Como A é uma matriz do tipo 2 3 então A a a a a a a 11 12 13 21 22 23 Fazendo a i j ij 2 temos a a a a 11 12 13 21 2 1 1 3 2 1 2 4 2 1 3 5 2 2 1 5 2 2 2 6 2 2 3 7 22 23 a a Deste modo A 3 4 5 5 6 7 Faça você mesmo Determine a matriz A aij 3 2 em que a i j ij 3 Matrizes e sistemas U1 12 Matriz nula é aquela em que todos os seus elementos são iguais a zero Podemos representar uma matriz nula m n por 0m n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 é uma matriz nula 2 4 Matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas A 2 0 9 4 é uma matriz quadrada 2 2 Também podemos dizer que A é uma matriz quadrada de ordem 2 Matriz transposta A matriz transposta de A indicamos por At é obtida aos trocarmos as linhas pelas colunas de A nessa ordem Se A 2 1 0 1 a transposta de A é At 2 0 1 1 B 4 2 7 5 4 7 a transposta de B é Bt 4 5 2 4 7 7 Observe que se a matriz B é do tipo 2 3 a sua transposta será 3 2 Igualdade de matrizes elementos correspondentes Dizemos que duas matrizes A e B do tipo m n são iguais se todos os seus Assimile Se uma matriz A é quadrada de ordem n chamamos de diagonal principal de A aquela em que os elementos com índices da linha são iguais aos índices da coluna ou seja se A é uma matriz quadrada de ordem 3 os elementos a11 a22 e a33 formam a diagonal principal de A Chamamos de diagonal secundária de A3 3 aquela formada pelos elementos a13 a22 e a31 Matrizes e sistemas U1 13 elementos correspondentes são iguais ou seja sendo A aij m n e B bij m n temos que A B quando a b ij ij para todo i m 1 2 e para todo j n 1 2 Operações com matrizes Adição de matrizes A soma das matrizes A e B de mesma ordem resulta na matriz C também de mesma ordem tal que cada um de seus elementos é a soma dos elementos correspondentes de A e B Mais formalmente Exemplificando Sejam A b a 1 2 e B d c 3 1 Determine a b c e d para que se tenha A B Resolução Para que as matrizes A e B sejam iguais devemos ter a b c d 1 3 2 1 Assimile Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo A aij m n e B bij m n A soma de A com B é a matriz C cij m n tal que c a b ij ij ij para 1 i m e para 1 j n Matrizes e sistemas U1 14 Exemplificando Dadas as matrizes A 1 0 1 2 e B 2 3 1 1 determine C A B Resolução Efetuando A B temos 1 0 1 2 2 3 1 1 1 2 0 3 1 1 2 1 3 3 2 3 C Propriedades da adição de matrizes Sejam A B e C matrizes do mesmo tipo m n e 0m n a matriz nula também do mesmo tipo m n Valem as seguintes propriedades 1 Comutativa A B B A 2 Associativa A B C A B C 3 Existência do elemento neutro existe N tal que A N N A A qualquer que seja A do tipo m n Veja que N é a matriz nula do tipo m n isto é N m n 0 4 Existência do oposto ou simétrico existe A tal que A A m n 0 ou seja A é o oposto ou simétrico de A Matriz oposta Sendo A aij m n uma matriz chamamos de A a matriz que representa a oposta de A tal que A A m n 0 sendo 0m n a matriz nula Obtemos a matriz A trocando o sinal de cada um dos elementos da matriz A Exemplo se A 2 1 2 3 então A 2 1 2 3 Matrizes e sistemas U1 15 Subtração de matrizes Sejam A aij m n e B bij m n duas matrizes do mesmo tipo Chamamos de diferença entre A e B representada por A B a matriz soma de A com a oposta de B ou seja A B A B Multiplicação de um número real por uma matriz Sejam k um número real e uma matriz A aij m n O produto de k pela matriz A representado por k A é uma matriz B bij m n em que b a ij ij para qualquer i m 1 2 e para qualquer j n 1 2 isto é obtemos a matriz B multiplicando o número real k por cada um dos elementos da matriz A Exemplificando Sejam A 2 1 0 3 4 1 e B 1 2 1 2 3 1 Determine A B Resolução A B A B 2 1 0 3 4 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 0 1 3 2 4 3 1 1 3 3 1 5 7 2 Faça você mesmo Dadas as matrizes A 0 1 3 2 e B 2 2 1 5 determine a diferença A B Matrizes e sistemas U1 16 Observe que se A 2 1 1 então 2 A 2 2 2 1 2 1 4 2 2 Propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz Sejam A e B matrizes do mesmo tipo e k e g números reais Valem as seguintes propriedades 1 k g A k g A 2 k A B k A k B 3 k g A k A g A 4 1 A A Multiplicação de matrizes A seguir está definida uma das operações mais importantes entre matrizes o produto matricial Exemplificando Dada a matriz A 1 2 1 4 determine 3 A Resolução Se B 1 2 1 4 então 3 3 1 3 2 3 1 3 4 3 6 3 12 B Faça você mesmo Dada a matriz A 3 2 1 1 5 3 obtenha as matrizes a 2 A b 5 A Matrizes e sistemas U1 17 A definição de multiplicação de matrizes só garante a existência do produto A B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B Além disso a nova matriz terá a mesma quantidade de linhas que A e a mesma quantidade de colunas que B Por exemplo se A é uma matriz do tipo 2 3 e B é uma matriz do tipo 3 5 então existe a matriz C e sua ordem é 3 5 Acompanhe a seguir como calcular o produto de duas matrizes e os procedimentos para obter cada elemento da matriz C A B Assimile Dadas as matrizes A aij m n e B bjk n p o produto de A por B é uma matriz C cik m p em que c a b a b a b a b ik i k i k i k in nk 1 1 2 2 3 3 para todo i m 1 2 e para todo k p 1 2 Exemplificando Dadas as matrizes A 2 3 1 2 e B 1 0 4 2 5 1 determine A B Resolução Como A é do tipo 2 2 e B é do tipo 2 3 então C A B existe e é do tipo 2 3 Escrevendo de forma genérica os elementos de C temos C c c c c c c 11 12 13 21 22 23 2 3 Da definição c a b a b ik i k i k 1 1 2 2 temos que c11 é o resultado da multiplicação da linha 1 de A pela coluna 1 de B c a b a b 11 11 11 12 21 2 3 1 2 2 1 3 2 8 c12 é o resultado da multiplicação da linha 1 de A pela coluna 2 de B c a b a b 12 11 12 12 22 2 3 0 5 2 0 3 5 15 Matrizes e sistemas U1 18 c13 é o resultado da multiplicação da linha 1 de A pela coluna 3 de B c a b a b 13 11 13 12 23 2 3 4 1 2 4 3 1 11 c21 é o resultado da multiplicação da linha 2 de A pela coluna 1 de B c a b a b 21 21 11 22 21 1 2 1 2 1 1 2 2 5 c22 é o resultado da multiplicação da linha 2 de A pela coluna 2 de B c a b a b 22 21 12 22 22 1 2 0 5 1 0 2 5 10 c23 é o resultado da multiplicação da linha 2 de A pela coluna 3 de B c a b a b 23 21 13 22 23 1 2 4 1 1 4 2 1 6 Assim substituindo os valores em cada entrada da matriz C temos C 8 15 11 5 10 6 Reflita Sempre é possível multiplicar duas matrizes quadradas de mesma ordem Em relação à matriz resultante dessa multiplicação o que se pode afirmar Propriedades da multiplicação de matrizes Sejam as matrizes Am n Bn p Cp q Dr m e Em n Valem as seguintes propriedades 1 Associativa A B C A B C 2 Distributiva à direita em relação à adição A E B A B E B 3 Distributiva à esquerda em relação à adição D A E D A D E Matrizes e sistemas U1 19 Atenção 1 A multiplicação de matrizes não é comutativa isto é geralmente A B B A Existem casos em que podemos fazer somente uma das multiplicações Exemplo se A é do tipo 2 3 e B é do tipo 3 4 então existe A B e é do tipo 2 4 simbolicamente A B2X4 não existe B A pois o número de colunas de B é diferente do número de linha de A simbolicamente B A Se existirem A B e B A e se AB BA um caso particular dizemos que A e B comutam Veja o caso das matrizes A 2 3 5 1 e B 1 3 5 2 Temos A B B A 17 0 0 17 Logo A e B comutam 2 É possível que o produto de duas matrizes seja a matriz nula sem que nenhuma delas seja nula Isso ocorre porque não vale a lei do cancelamento do produto na multiplicação de matrizes como vale para os números reais Veja um caso A propriedade do cancelamento diz que se a b 0 então a 0 ou b 0 No caso das matrizes suponha A 1 1 1 1 02 2 e B 1 1 1 1 02 2 Temos A B 0 0 0 0 Pesquise mais Sabemos que pela definição formal a operação de multiplicação de matrizes não é de fácil entendimento Para esclarecer possíveis dúvidas assista ao vídeo explicativo em httpsptkhanacademyorgmath algebra2alg2oldcontentmatrixmultiplicationalg2vmultiplyinga matrixbyamatrix Acesso em 17 jan 2016 Matrizes e sistemas U1 20 Sem medo de errar Vamos retomar o problema proposto no início desta seção você é o proprietário de uma confeitaria e recebeu a encomenda de três tipos diferentes de doces brigadeiro beijinho e bichodepé Você utilizou nessas receitas quatro ingredientes x y z t em várias proporções Devemos determinar a matriz que registra o preço final de cada receita Para resolvermos utilizaremos os conceitos sobre multiplicação de matrizes Veja que a Tabela 12 Doces é do tipo 3 4 ou seja possui 3 linhas e 4 colunas e a Tabela 13 Ingredientes é do tipo 4 1 ou seja 4 linhas e 1 coluna Podemos observar nessas informações um dado muito importante o número de colunas da matriz A Tabela 12 é igual ao número de linhas da matriz B Tabela 13 o que pela definição de multiplicação de matrizes garante a existência da matriz produto C a a a 3 1 11 21 31 Sendo A 3 6 1 3 4 4 2 2 0 1 1 6 e B 0 20 0 80 1 20 2 80 as matrizes dadas temos C a a a 3 1 11 21 31 em que 15 00 12 00 18 80 C A B 3 1 3 0 20 6 0 80 1 1 20 3 2 80 4 0 20 4 0 80 2 1 20 2 2 80 0 0 20 1 0 80 1 1 20 6 2 80 0 60 4 80 1 20 8 40 0 80 3 20 2 40 5 60 0 0 80 1 20 16 80 Lembrese que a matriz C fornece o custo de cada receita Brigadeiro R 1500 Beijinho R 1200 Bichodepé R 18 80 Matrizes e sistemas U1 21 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Controlando a frequência 1 Competência de fundamentos de área Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos de matrizes nas resoluções de problemas do dia a dia 3 Conteúdos relacionados Operações com matrizes 4 Descrição da situaçãoproblema Suponha que você seja gerente de um pub e seu patrão pediu para fazer um levantamento sobre a frequência de pessoas em um fim de semana Você apresentou ao seu patrão os seguintes dados Tabela 14 Frequência Frequência Rapazes Moças Sábado 80 60 Domingo 75 Fonte elaborada pelo autor Você acabou esquecendose de informar um dos campos da tabela mas sabia que a arrecadação nos dois dias deste fim de semana tinha sido a mesma Sabendo que o valor do ingresso para rapazes é R 1500 e para moças é R 1200 resolva a Represente a matriz que fornece a arrecadação do pub em cada dia b Determine o número de rapazes que compraram ingresso no domingo 5 Resolução da situaçãoproblema Escrevendo a Tabela 14 em notação matricial temos que A x 80 60 75 Observe que os valores dos ingressos representam uma matriz coluna do tipo 2 1 assim temos B 15 00 12 00 Matrizes e sistemas U1 22 Lembrese A definição de multiplicação de matrizes só garante a existência do produto A B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B a Utilizando a multiplicação de matrizes segue que 80 60 75 15 00 12 00 80 15 60 12 15 75 12 x x Assim 80 15 60 12 representa a arrecadação no sábado e x 15 75 12 representa a arrecadação de domingo b Para determinarmos o número de rapazes devemos igualar os elementos da matriz que representa a arrecadação de cada dia Assim temos 80 60 75 15 12 1920 15 900 x x 1920 15 900 68 x x 80 60 75 15 00 12 00 80 15 60 12 15 75 12 x x Portanto o número de rapazes que compraram ingresso no domingo foi 68 Faça valer a pena 1 Você aprendeu que a matriz transposta é obtida trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz original Seja a matriz A aij 2 3 em que a i j ij 3 2 Que alternativa representa a matriz At 1 3 1 4 2 0 a At 1 2 3 4 2 0 b At 1 3 1 2 4 0 c At 1 3 1 4 2 0 Matrizes e sistemas U1 23 d At 1 4 1 2 3 0 e At 1 3 0 4 2 1 2 Resolva a equação matricial 7 2 1 6 4 3 2 11 0 3 8 12 5 X e assinale a alternativa que contém a matriz X a 1 4 4 9 1 1 b 9 4 4 1 4 1 c 1 4 4 9 1 1 d 9 1 1 1 4 4 e 9 1 1 1 4 4 3 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 definese A 2 A A Dada a matriz A 2 0 1 0 4 3 6 5 0 que alternativa representa a matriz A2 a A2 5 2 10 18 21 12 12 20 21 Matrizes e sistemas U1 24 b A2 10 5 2 18 21 12 12 20 21 c A2 5 2 10 21 12 18 12 20 21 d A2 10 2 5 21 18 12 12 20 21 e A2 10 5 2 18 21 12 20 21 12 Matrizes e sistemas U1 25 Seção 12 Olá aluno Na seção anterior deste livro didático você estudou sobre matrizes e as operações com matrizes lembra Pois bem nesta seção você poderá perceber um pouco das relações que a matemática tem entre um e outro conteúdo Nesse caso as matrizes se relacionam com um tipo de função a função determinante que associa um número real a uma matriz quadrada e é este tipo de função que discutiremos nesta etapa dedicando maior atenção à utilização de algumas ferramentas que nos permitirão calcular essa função auxiliando a resolução de problemas de várias engenharias Imagine que você recebeu em sua confeitaria mais uma encomenda agora para uma grande festa Serão servidos 600 pedaços de bolo como os da Figura 11 Diálogo aberto Determinantes Figura 11 Bolo Fonte httpwwwistockphotocombrfotosuflC3AAdeleitegm49739366941784700stpfatia20de20 bolo20com20cereja Acesso em 15 fev 2016 Para fornecer um orçamento você precisa calcular o volume de bolo que será utilizado para produzir os 600 pedaços e para isso terá que se basear no rascunho dado pelo comprador para estimar o tamanho da fatia O rascunho pode ser visto na Figura 12 E agora o que fazer para calcular o volume de bolo Figura 12 Rascunho da base do bolo Fonte elaborada pelo autor Para que você consiga resolver esse e outros problemas é necessário que veja alguns conceitos sobre determinantes e mais especificamente sobre algumas regras que lhe permitirão calculálos Então vamos lá Não pode faltar Determinante é um tipo de função que associa um número real fX a uma matriz quadrada X Convencionaremos detA para representar o determinante de A Em alguns livros podemos encontrar A ou detaij como representação para o determinante de A Atenção Não confunda a notação A que indica o determinante da matriz A com módulo ou valor absoluto Propriedades dos determinantes Seja A aijn imes n uma matriz quadrada de ordem n com n 1 O determinante de A se anula detA 0 se Matrizes e sistemas U1 27 a matriz A apresentar uma linha ou uma coluna nula ou seja todos os elementos da linha ou da coluna iguais a zero a matriz A apresentar duas linhas ou duas colunas iguais a matriz A tiver duas linhas ou duas colunas proporcionais isto é os elementos de uma são múltiplos da outra 2 Se A é uma matriz triangular superior ou triangular inferior seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal valendo a propriedade também se A é diagonal 3 Seja k um escalar não nulo Se B é uma matriz resultante da multiplicação de somente uma linha ou somente uma coluna de A por k então det det B k A 4 Se B é a matriz que resulta quando permutamos duas linhas ou duas colunas de A então det det B A 5 Se somarmos uma linha ou uma coluna com um múltiplo de outra obtemos uma nova matriz B Nesse caso A e B são ditas equivalentes e det B det A 6 det det A A t 7 det det A A 1 1 com det A 0 8 det det det A B A B Operando com os elementos de uma matriz Conseguimos obter o determinante de uma matriz quadrada executando operações com seus elementos 1 Matrizes de ordem 1 1 Sendo A uma matriz de ordem n 1 o determinante de A será seu único elemento Exemplo A a 11 então det A a 11 Reflita Podemos definir o determinante de matrizes de qualquer tipo Matrizes e sistemas U1 28 2 Matrizes de ordem 2 2 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 ou seja uma matriz do tipo 2 2 o determinante da matriz A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária Exemplo Se A a a a a 11 12 21 22 então det A a a a a 11 22 12 21 3 Matrizes de ordem 3 3 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 3 isto é uma matriz do tipo 3 3 podemos definir seu determinante por meio de um método prático chamado regra de Sarrus Regra de Sarrus Seja A a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 uma matriz quadrada de ordem 3 O cálculo de determinantes por meio da regra de Sarrus consiste em 1º Escrever as duas primeiras colunas da matriz A ao lado da última coluna à direita de A a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 21 31 12 22 32 2º Iniciando de cima da esquerda para a direta devemos somar os produtos dos elementos das diagonais de mesma direção que a principal Também de cima da direita para a esquerda devemos subtrair os produtos dos elementos das diagonais de mesma direção que a secundária a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 21 31 12 22 32 Agora realizando cálculos elementares o determinante da matriz A conforme a regra de Sarrus é definido por det A a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 a a a a a 23 32 12 21 33 13 a13 22 a a 22 a31 a a31 a a11 23 23 32 a 21 21 33 33 a13 13 a21 a 21 32 13 21 a a12 a23 23 a31 23 a a a a a11 a a11 a 22 22 a33 33 22 33 Matrizes e sistemas U1 29 4 Caso n n com n 3 Sendo A uma matriz de ordem n 3 utilizamos o Teorema de Laplace para definirmos o seu determinante Contudo para compreensão do mesmo algumas definições são necessárias vejamos Menor complementar Seja A aij n n uma matriz quadrada de ordem n 3 Chamamos de menor complementar do elemento aij de A o determinante da matriz que obtemos eliminando a linha i e a coluna j Representamos por Dij o menor complementar do elemento aij da matriz A Exemplificando Dada a matriz A 2 1 0 1 1 1 0 3 5 calcule o seu determinante Resolução det A 2 1 0 1 1 1 0 3 5 2 1 0 1 1 3 det A 2 1 5 1 1 0 0 1 3 0 1 0 2 1 3 1 1 5 det A 10 0 0 0 6 5 10 11 1 0 1 1 1 0 3 5 2 1 1 1 0 3 5 1 1 0 3 5 1 0 1 0 1 3 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 3 5 1 1 1 0 3 5 Faça você mesmo Dada a matriz A 1 1 2 1 2 1 2 1 1 calcule o seu determinante por meio da regra de Sarrus Matrizes e sistemas U1 30 Exemplificando Determine o menor complementar do elemento a32 da matriz A 2 3 2 2 1 1 2 1 3 Resolução Eliminando a linha 3 e a coluna 2 de A temos A 2 3 2 2 1 1 2 1 3 então D32 2 2 2 1 2 1 2 2 2 Assim o menor complementar do elemento a32 é 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 Faça você mesmo Seja A 1 2 3 3 1 2 5 4 4 uma matriz quadrada do tipo 3 3 Determine o menor complementar dos elementos a a 21 e 33 e a a 21 e 33 Cofator Seja A aij n n uma matriz quadrada de ordem n com n 3 Chamamos de cofator do elemento aij o produto de 1 i j pelo menor complementar Dij do mesmo elemento aij da matriz A Representamos o cofator do elemento aij por Aij logo A D ij i j ij 1 Matrizes e sistemas U1 31 Com base nas definições expostas podemos agora descrever o Teorema de Laplace Desse modo dada a matriz A a a a a a a a a a n n n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 L L M M O M L se escolhermos a primeira coluna como referência então conforme o Teorema de Laplace temos que det A a A a A a A n n 11 11 21 21 1 1 Assimile O determinante de A aij n n uma matriz quadrada de ordem n com n 3 é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores Atenção Podemos empregar o Teorema de Laplace escolhendo como referência qualquer linha ou qualquer coluna da matriz dada Para facilitar os cálculos é conveniente escolhermos a linha ou a coluna com a maior quantidade de zeros Exemplificando Dada a matriz A 1 2 0 0 3 0 3 1 2 calcule seu determinante por meio do Teorema de Laplace Matrizes e sistemas U1 32 Resolução É conveniente escolhermos a linha 2 ou a coluna 3 como referência pelo fato de apresentarem maior quantidade de zeros em relação as demais Optando pela linha 2 temos det A a A a A a A 21 21 22 22 23 23 det A 0 1 2 0 1 2 3 1 1 0 3 2 0 1 1 2 3 1 3 2 6 2 1 2 2 2 3 Pesquise mais Faça você mesmo Saiba mais sobre o desenvolvimento de Laplace acessando o vídeo disponível em httpswwwyoutubecomwatchvRhNEjyQUAF4 Acesso em 15 jan 2016 Acesse também o material para aprofundamento dos estudos sobre o Teorema de Laplace disponível em httpscursinhodapoliuspfileswordpresscom201207material determinantespdf Acesso em 19 fev 2016 Dada a matriz A 0 1 3 1 2 2 0 3 5 calcule o seu determinante utilizando o Teorema de Laplace Matrizes e sistemas U1 33 Sem medo de errar Retomando o problema proposto no início desta seção como calcular o volume de bolo considerando as especificações da Figura 12 Para sabermos qual será o volume de bolo a ser preparado precisamos antes de tudo calcular a área da base do mesmo nas dimensões do rascunho feito pelo cliente Faremos uso do método de cálculo de área por determinantes utilizando as coordenadas dos pontos O rascunho fornecido pelo cliente representa a área em cm2 da base de cada pedaço de bolo que precisa ser preparado com vértices nos pontos A 2 5 B 7 1 e C 9 4 Podemos perceber que ficaria um tanto complicado calcular essa área por meio da conhecida fórmula A b h 2 pois quais seriam as medidas da base b e da altura h Para simplificar este problema existe um meio mais prático para obtermos a área de qualquer triângulo conhecendo as coordenadas de seus vértices o qual envolve o cálculo de um determinante A área de um triângulo pode ser calculada por meio da fórmula A x y x y x y 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3 det em que xi e yi são as coordenadas x e y de cada um dos vértices Para este caso os vértices são A 2 5 B 7 1 e C 9 4 então A 1 2 1 1 9 4 1 det 2 5 7 1 Calculamos primeiro o determinante D 2 5 1 7 1 1 9 4 1 2 5 7 1 9 4 2 45 28 9 8 35 75 52 23 Voltando à fórmula temos A 1 2 23 1 2 23 23 2 11 5 ou seja a área da base de cada pedaço de bolo é 11 5 2 cm 1 7 1 7 1 7 1 7 1 9 4 2 5 1 1 9 4 2 5 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 1 1 7 1 7 1 9 4 7 1 7 1 2 5 1 1 9 4 2 5 7 1 7 1 1 Matrizes e sistemas U1 34 Para obtermos o volume de cada pedaço de bolo precisamos multiplicar a área da base pela altura fornecida no rascunho do cliente assim V A h V V 11 5 5 57 5 3 cm Mas a confeitaria precisa preparar 600 pedaços iguais então V V total total 600 57 5 34500 3 cm de bolo Conhecendo o volume de bolo em centímetros cúbicos é possível determinar um orçamento para o cliente Atenção O método de cálculo de área utilizado anteriormente pode ser estendido para qualquer polígono uma vez que é possível decompôlo em triângulos Matrizes e sistemas U1 35 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Custos de reforma 1 Competência de fundamentos de área Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer e aplicar métodos práticos de cálculo de determinantes como ferramenta para análise e resolução de problemas 3 Conteúdos relacionados Regra de Sarrus e Teorema de Laplace 4 Descrição da situaçãoproblema Imagine que você seja o síndico do edifício onde reside e para deixálo mais bonito decidiu junto com o conselho de moradores pintar o piso do pátio Mas para não ultrapassar o orçamento de R 100000 destinado às reformas precisa saber antes qual será o custo dessa pintura A Figura 13 representa a área a ser pintada com vértices nos pontos A 11 B 101 C 156 e D 510 Sabendo que o metro quadrado da tinta escolhida custa R 750 qual será o gasto no fim da reforma Figura 13 Piso do pátios Fonte elaborada pelo autor Você aprendeu como calcular a área de uma região triangular por meio do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vértices lembra Pois bem temos agora um quadrilátero e para calcularmos sua área basta que esta seja dividida em dois triângulos Ao final dos cálculos somamos as duas áreas triangulares e obtemos a área do quadrilátero Vejamos então Sabemos que a área do triângulo conhecendo as coordenadas dos vértices é obtida por meio da fórmula Aa frac extdet2 Dividimos a área total traçando uma diagonal que vai do ponto A 11 até o ponto C 156 obtendo assim dois triângulos Delta1 e Delta2 O primeiro temos vértices nos pontos A 11 C 156 e D 510 então extdetA1 1 quad 1 quad 1 quad 15 quad 6 quad 1 quad 5 quad 10 quad 1 Calculando por Laplace escolhemos a coluna 3 como referência extdetA1 1 cdot 113 cdot 15 6 cdot 1 cdot 112 cdot 10 1 cdot 1 cdot 111 cdot 5 extdetA1 1 cdot 150 30 1 cdot 10 5 1 cdot 6 15 extdetA1 120 5 9 106 Logo AA1 frac1062 53 m2 O segundo term nos vértices nos pontos A 11 B 101 e C 156 então extdetA1 1 quad 1 quad 1 quad 10 quad 1 quad 1 quad 15 quad 6 quad 1 Calculando por Laplace escolhemos também a coluna 3 como referência extdetA1 1 cdot 113 cdot 15 10 cdot 1 cdot 112 cdot 1 1 cdot 1 cdot 111 cdot 10 extdetA1 1 cdot 60 15 1 cdot 6 15 1 cdot 10 1 extdetA1 45 9 9 45 Logo AA1 frac452 225 m2 Somando as áreas das duas regiões triangulares temos AA1 AA2 Ae 53 225 755 m2 Matrizes e sistemas U1 37 Já sabemos a área do piso do pátio agora precisamos saber quanto custará a reforma se cada m2 de tinta custa R 750 e o piso do pátio tem uma área de 75 5 2 m então 75 5 7 50 566 25 ou seja será gasto na reforma o valor de R 56625 e o orçamento não será ultrapassado Faça valer a pena 1 Dadas as matrizes A 2 1 0 1 e B 3 1 0 1 calcule det det A B e det A B e marque a alternativa que contém respectivamente esses valores a 1 e 10 b 4 e 5 c 5 e 10 d 3 e 10 e 10 e 4 2 Sejam D1 o determinante da matriz 2 3 4 a e D2 o determinante da matriz 1 1 0 3 4 3 2 a a Para quais valores reais de a teremos D D 1 2 2 0 a a 4 ou a 2 b a 8 ou a 0 c a 8 ou a 1 d a 0 ou a 1 e a 8 ou a 8 Matrizes e sistemas U1 38 3 Seja A aij 2 2 onde a i j ij 4 3 Calcule o determinante de A e marque a opção correta a 8 b 12 c 12 d 10 e 8 Matrizes e sistemas U1 39 Seção 13 Sistemas de equações lineares Olá aluno Você se recorda de que na aula anterior precisou calcular a área da base da fatia de bolo utilizando um determinante Determinante é uma função que associa os elementos de uma matriz com um número Uma ferramenta de cálculo de área diferente daquela que todos estamos habituados não é mesmo Dando sequência ao estudo de matrizes podemos abrir caminho para outras possibilidades Nesta seção você verá que as matrizes têm relação estreita com os sistemas lineares e é sobre isso que discutiremos nesta etapa dedicando maior atenção à utilização de uma ferramenta que nos permitirá encontrar as soluções de um sistema de equações permitindo solucionar problemas do dia a dia Imagine que sua confeitaria tenha recebido mais uma encomenda de doces para uma festa e como você já havia calculado anteriormente o preço de custo de cada receita pôde estabelecer os preços de venda de cada tipo de doce Ficou decidido que a unidade de brigadeiro custaria R 150 de beijinho R 200 e de bichodepé R 350 A taxa de entrega é de R 1000 Para essa festa foi encomendado um total de 250 unidades de doces e ao fazer a entrega você recebeu um cheque de R 57000 Sabendo que a quantidade de bichosdepé corresponde a 23 do número de brigadeiros qual foi a quantidade de beijinhos Para que você consiga resolver esse e outros problemas é necessário que veja alguns conceitos sobre sistemas de equações lineares e mais especificamente sobre o método que lhe permitirá resolvêlos Vamos lá Diálogo aberto Sistemas de equações lineares Equação Linear Não pode faltar Matrizes e sistemas U1 40 Exemplo de equação linear x y z 5 350 9 Já as equações abaixo são não lineares a x y z 2 2 2 1 b x y 3 0 c x yz 5 d x yz z 2 2 4 De modo mais preciso equação linear é toda equação nas variáveis x x xn 1 2 que pode ser escrita na forma a x a x a x b n n 1 1 2 2 onde a a an 1 2 são coeficientes reais e b também um número real é o termo independente da equação Assim uma equação linear é uma equação de grau 1 ou de 1º grau com uma ou mais variáveis ou incógnitas Sistema linear é um conjunto m n com m equações lineares e x x xn 1 2 incógnitas São exemplos de sistemas lineares x y z x y z x y z 2 2 1 2 2 2 0 sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas x y z w x y z w 2 1 2 7 sistema linear com 2 equações e 4 incógnitas Por estarmos interessados no estudo dos métodos de resolução de sistemas lineares do tipo m n com m n 2 não nos aprofundaremos no estudo de sistemas de equações lineares do tipo 2 2 mas vale lembrar que podemos encontrar suas possíveis soluções através dos métodos da adição comparação ou substituição Assimile Equação linear é uma equação em que os expoentes de todas as incógnitas ou variáveis são sempre iguais a 1 e mais ainda em uma equação linear não há termo misto isto é ela não pode apresentar o produto de duas ou mais variáveis Matrizes e sistemas U1 41 Solução de um sistema Uma sequência S s s sn 1 2 de números reais é solução de um sistema linear de n incógnitas se satisfaz cada uma das equações desse sistema Lembrese Relembre os métodos de resolução de um sistema linear do tipo 2 2 acessando o vídeo disponível em httpsgooglJZc1UE Acesso em 14 fev 2016 Reflita Exemplificando É sempre possível encontrar a solução de um sistema linear O par ordenado 3 2 é solução do sistema x y x y x y 5 2 4 4 5 22 Resolução Substituindo x por 3 e y por 2 em cada uma das equações temos x y x y x y V V 5 2 4 4 5 22 3 2 5 2 3 2 4 4 3 5 2 22 V Como todas as sentenças são verdadeiras então o par ordenado 3 2 é solução do sistema dado Com relação à solução de um sistema linear temos três possibilidades O sistema possui uma única solução e é classificado por SPD Sistema possível e determinado O sistema possui infinitas soluções e é classificado por SPI Sistema possível e indeterminado Matrizes e sistemas U1 42 O sistema não tem solução e é classificado por SI Sistema impossível sendo S conjunto vazio o seu conjunto solução Matrizes associadas a um sistema É possível associar quatro matrizes a um sistema linear em que os seus elementos são os coeficientes das equações que o compõem além das incógnitas É uma maneira de representar o sistema que facilitará sua resolução Matriz incompleta É formada somente pelos coeficientes que acompanham as incógnitas Um exemplo de matriz incompleta associada ao sistema 3 4 1 5 7 2 x y x y é A 3 4 5 7 Observe que os números à direita da igualdade ficaram de fora ou seja não fazem parte da matriz incompleta Matriz completa ou matriz aumentada É formada pelos coeficientes das variáveis mais os termos independentes de cada equação do sistema Assim a matriz aumentada do sistema 3 4 1 5 7 2 x y x y é B 3 4 1 5 7 2 Repare que a matriz B difere da matriz A apresentada anteriormente pelo acréscimo da terceira coluna Matriz das incógnitas Essa é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema Para o exemplo anterior a matriz das incógnitas é x y Matriz dos termos independentes Essa é uma matriz coluna formada pelos termos independentes de cada equação Para o exemplo anterior a matriz dos termos independentes é 1 2 Representação matricial de um sistema Podemos representar um sistema de equações lineares na forma matricial utilizando o processo de multiplicação de matrizes Matrizes e sistemas U1 43 Sistemas escalonados e matriz triangular superior Um sistema linear m n será dito escalonado quando a matriz completa Bm n 1 associada a esse sistema for escalonada Segundo Lima 2009 p 106 a matriz B é escalonada quando o primeiro elemento não nulo de cada uma de suas linhas está à esquerda do primeiro elemento não nulo de cada uma das linhas subsequentes e além disso as linhas nulas se houver estão abaixo das demais Considerando a matriz completa associada ao sistema x y z x y z x y z 2 5 0 2 3 7 0 0 4 2 ou simplesmente x y z y z z 2 5 3 7 2 2 4 temos B 1 1 2 5 0 2 3 7 0 0 4 2 que é escalonada conforme definido anteriormente Se observarmos a matriz incompleta Exemplificando Determine a representação matricial associada ao sistema 5 6 2 4 3 1 x y x y Resolução Escrevendo o produto da matriz dos coeficientes com a matriz das incógnitas e igualando à matriz dos termos independentes temos 5 6 4 3 5 6 4 3 2 1 5 6 2 4 3 x y x y x y x y x y 1 Nesse caso 5 6 4 3 2 1 x y é a representação matricial do sistema dado Faça você mesmo Determine o sistema associado à representação matricial dada 5 7 2 1 1 3 14 13 x y z Matrizes e sistemas U1 44 A 1 1 2 0 2 3 0 0 4 associada a esse sistema veremos que é uma matriz triangular superior onde os seus elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos Desse modo dizemos que a matriz está na forma de escada ou escalonada e que o sistema linear é triangular superior Resolução de sistemas lineares Uma ferramenta para resolver sistemas lineares é o método da eliminação de Gauss com pivoteamento que consiste em transformar o sistema dado em outro sistema triangular superior facilitando sua resolução Para isso realizamos algumas operações chamadas operações elementares Permutar trocar de posição duas equações do sistema Multiplicar uma das equações por uma constante não nula Substituir uma equação multiplicandoa por um escalar e adicionando ou subtraindo com alguma outra equação Sendo assim valem as operações elementares também sobre as linhas da matriz aumentada associada ao sistema Permutar trocar de posição duas linhas ou duas colunas da matriz Multiplicar uma das linhas da matriz aumentada por uma constante não nula Substituir uma linha da matriz aumentada multiplicandoa por um escalar e adicionando ou subtraindo com alguma outra linha Atenção Ao efetuarmos qualquer uma das operações elementares sobre as equações do sistema as soluções continuarão sendo as mesmas Veja que essas operações são aplicadas somente sobre os coeficientes do sistema as variáveis não se alteram Assim podemos utilizar somente a matriz de coeficientes isto é a matriz aumentada do sistema para efetuarmos os cálculos e transformála em uma matriz na forma de escada Matrizes e sistemas U1 45 Processo de escalonamento eliminação de Gauss com pivoteamento Considere a matriz aumentada 1 1 1 0 1 1 1 4 1 1 2 5 associada ao sistema x y z x y z x y z 0 4 2 5 À medida que cada passo para o escalonamento for dado vamos apresentando a matriz resultante das operações elementares até chegarmos à forma de escada Acompanhe os passos Passo 1 Identifique a 1ª coluna da esquerda para a direita da matriz que não seja formada somente de zeros 1 1 1 0 1 1 1 4 1 1 2 5 Coluna não nula O elemento a11 1 será o pivô que servirá de base para os cálculos Passo 2 Iniciaremos o escalonamento chamando cada linha da matriz aumentada por L1 L2 e L3 e as novas linhas por L1 L2 e L3 Escrevemos as operações que serão feitas em cada linha para gerar a nova matriz Repetimos a linha à qual pertence o pivô L L 1 1 A linha L2 é o resultado de a a L L L L L L 21 11 1 2 1 2 1 2 1 1 A linha L3 é o resultado de a a L L L L L L 31 11 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 0 1 1 1 4 1 1 2 5 1 1 2 1 2 L L L L L L 3 1 3 1 1 1 0 0 2 2 4 0 2 1 5 L L essa é a matriz resultante da primeira iteração Atenção Para que ocorra a transformação da matriz original na matriz escalonada é necessário que as operações sejam feitas em cada um dos elementos da linha Matrizes e sistemas U1 46 Passo 3 Observe que já eliminamos o elemento a21 e a31 abaixo do pivô Agora precisamos eliminar o elemento a32 Para isso iniciamos a segunda iteração escolhendo como pivô o elemento a22 Repetimos a 1ª e a 2ª linhas que já estão no formato desejado e começamos a partir do elemento a32 A matriz resultante da segunda iteração será 1 1 1 0 0 2 2 4 0 2 1 5 1 1 2 2 3 32 22 L L L L L a a L L L L L L 2 3 2 3 2 3 2 2 1 1 1 0 0 2 2 4 0 0 3 1 Repare que a matriz obtida na segunda iteração é escalonada conforme definido anteriormente Podemos assim definir os valores de x y e z por retrossubstituição ou substituição retroativa da última para a primeira nas equações do sistema Voltando a matriz escalonada à forma de sistema temos x y z y z z 0 2 2 4 3 1 Da equação 3 temos 3 1 1 3 z z Substituindo z na equação 2 temos 2 2 4 2 2 1 3 4 7 3 y z y y Substituindo y e z na 1ª equação temos x x 7 3 1 3 0 2 Portanto a solução do sistema dado é S 2 7 3 1 3 Sistemas lineares homogêneos Um sistema linear é dito homogêneo quando os termos independentes de cada uma de suas equações são iguais à zero Pesquise mais Tire suas dúvidas sobre o método de escalonamento de Gauss com pivoteamento acessando o link disponível em httpgooglA0U873 Acesso em 14 fev 2016 Matrizes e sistemas U1 47 Uma propriedade característica dos sistemas homogêneos é que ele sempre admite a sequência 0 0 0 1 n zeros 2 44 3 44 como solução Este tipo de solução é chamada de solução trivial Assim podemos afirmar que todo sistema homogêneo é possível pois admite pelo menos a solução nula ou trivial Havendo outras soluções além da solução nula o sistema é SPI sistema possível e indeterminado sendo suas outras soluções chamadas de não triviais 3 2 0 0 2 4 0 x y x y x y é um exemplo de sistema homogêneo Exemplificando Faça você mesmo Determine se o sistema 7 14 0 2 0 2 6 0 x y x y x é homogêneo Resolução Da equação 3 temos que 2 6 0 2 6 x x Desse modo o sistema fica 7 14 0 2 0 2 6 x y x y x Portanto não é homogêneo pois os termos independentes do sistema não são todos nulos Determine se x y z x y z x z 3 0 2 1 0 2 0 é um sistema homogêneo Matrizes e sistemas U1 48 Pesquise mais Acesse os materiais e saiba mais sobre resolução de sistemas lineares e suas aplicações Disponível em httpgooglUHgydi e httpgoo gl8Jslta Acesso em 8 mar 2016 Vamos retomar o problema proposto no início desta seção como não sabemos as quantidades de cada um dos doces vamos atribuir x y e z para brigadeiros beijinhos e bichosdepé respectivamente Assim temos que x y z 250 unidades Com os valores de cada doce e com a taxa de entrega temos 1 5 2 3 5 10 570 x y z Finalmente sobre a quantidade de bichosdepé em relação à quantidade de brigadeiros temos z 2 x 3 Observe que temos três equações lineares e podemos montar com elas o sistema linear x y z x y z z x 250 1 5 2 3 5 10 570 2 3 Da 3ª equação temos 3 2 2 3 0 z x x z Da 2ª equação temos 1 5 2 3 5 10 570 x y z 1 5 2 3 5 570 10 1 5 2 3 5 560 x y z x y z Assim o novo sistema será x y z x y z x z 250 1 5 2 3 5 560 2 3 0 O próximo passo para resolvermos é escrever a matriz aumentada associada ao sistema para então efetuarmos o escalonamento por meio do método de eliminação de Gauss Assim a matriz aumentada associada ao sistema é 1 1 1 250 1 5 2 3 5 560 2 0 3 0 Sem medo de errar Matrizes e sistemas U1 49 Realizando operações elementares sobre linhas temos 1 1 1 250 1 5 2 3 5 560 2 0 3 0 1 5 2 1 1 2 1 2 3 1 L L L L L L L L3 1 1 1 250 0 0 5 2 185 0 2 5 500 Observe que na primeira iteração conseguimos tornar nulos os elementos a21 e a31 da matriz aumentada Agora falta tornar nulo o elemento a32 para que tenhamos uma matriz escalonada Adotando o mesmo procedimento mas tendo como pivô o elemento a22 da matriz Escrevemos 1 1 1 250 0 0 5 2 185 0 2 5 500 2 0 5 1 1 2 2 3 L L L L L L 2 3 3 2 3 4 1 1 1 250 0 0 5 2 185 0 0 3 240 L L L L Assim obtemos a matriz escalonada ou matriz na forma de escada na segunda iteração Agora retornamos ao sistema 1 1 1 250 0 0 5 2 185 0 0 3 240 250 0 5 2 x y z y z 185 3 240 z Com o sistema escalonado fica fácil a sua resolução Da 3ª equação temos 3 240 80 z z Substituindo z na 2ª equação 0 5 2 185 0 5 2 80 185 y z y 0 5 160 185 0 5 185 160 y y 0 5 25 50 y y Por fim substituímos y e z na 1ª equação x y z x 250 50 80 250 x x 250 50 80 120 Portanto foram entregues 120 unidades de brigadeiro 50 unidades de beijinho e 80 unidades de bichosdepé Matrizes e sistemas U1 50 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Promoção do dia 1 Competência de fundamentos de área Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer e aplicar o método de escalonamento como ferramenta para a resolução de problemas que envolvem sistemas de equações lineares 3 Conteúdos relacionados Sistemas de equações lineares e escalonamento de Gauss com pivoteamento 4 Descrição da situaçãoproblema Você recebeu tantas encomendas em sua confeitaria que decidiu fazer uma promoção por três dias consecutivos sextafeira sábado e domingo Após esse período foi feito um levantamento das vendas que revelou o seguinte Na sextafeira foram vendidos 1 cento de brigadeiros 2 centos de beijinhos e 3 centos de bichosdepé arrecadandose R 26000 No sábado foram vendidos 2 centos de brigadeiros 1 cento de beijinhos e 1 cento de bichosdepé somando R 15000 No domingo foram vendidos 4 centos de brigadeiros 3 centos de beijinhos e 1 cento de bichosdepé totalizando R 29000 Qual foi o preço cobrado por cada cento dos 3 tipos de doces durante os dias de promoção 5 Resolução da situaçãoproblema Observe que para cada dia de promoção podemos obter uma equação linear e assim montar um sistema linear com três equações e três variáveis Vamos representar o valor de cada cento de brigadeiro beijinho e bichodepé por a b e c respectivamente sextafeira domingo a b c a b c a b c 2 3 260 2 150 4 3 290 sábado Escrevendo a matriz aumentada associada ao sistema temos 1 2 3 260 2 1 1 150 4 3 1 290 Estabelecendo o elemento a11 como pivô e realizando operações elementares sobre linhas temos 1 2 3 260 2 1 1 150 4 3 1 290 2 4 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 3 L L L L L L L L 260 0 3 5 370 0 5 11 750 Matrizes e sistemas U1 51 Observe que na primeira iteração conseguimos tornar nulos os elementos a21 e a31 da matriz aumentada Agora falta anular o elemento a32 para que tenhamos uma matriz escalonada o que facilitará a resolução do nosso sistema Adotando o mesmo procedimento para a segunda iteração mas tendo como pivô o elemento a22 da matriz escrevemos 1 2 3 260 0 3 5 370 0 5 11 750 5 3 1 1 1 2 2 3 2 3 L L L L L L L 2 3 260 0 3 5 370 0 0 8 400 Assim obtemos a matriz escalonada Voltamos ao sistema mas na forma escalonada 1 2 3 260 0 3 5 370 0 0 8 400 2 3 260 3 5 370 a b c b c 8 400 c Agora com o sistema escalonado da 3ª equação temos 8 400 50 c c Substituindo c na 2ª equação temos 3 370 250 3 120 b b b 40 3 5 370 3 5 50 370 b c b Substituindo b e c na 1ª equação temos a 30 a b c a 2 3 260 2 40 3 50 260 a a 80 150 260 260 230 Portanto durante o período de promoção cada cento de brigadeiro custou R 3000 de beijinho R 4000 e de bichodepé R 5000 Faça valer a pena 1 Observe as seguintes equações I a b c 2 3 II x y 1 4 III 2 2 3 1 2 3 4 5 x x x x x IV a b c 2 1 V a b 2 Assinale a alternativa que contém somente equações lineares a I II III b II III IV Matrizes e sistemas U1 52 c I III V d II IV V e III IV V 2 Dados os pares ordenados 2 3 2 7 e 5 3 verifique quais são soluções da equação linear 2 7 x y a Somente 2 3 é solução b Os pares ordenados 2 3 e 5 3 são soluções c Os pares ordenados 2 7 e 5 3 são soluções d Nenhum par ordenado é solução e Todos os pares ordenados são soluções 3 Em um supermercado o quilograma de feijão custa R 600 e o de carne custa R 1500 Você comprou x quilos de feijão e y quilos de carne gastando o total de R 9900 Sabendo que x e y são números naturais I Escreva a equação linear que relaciona as variáveis x e y II Apresente duas possíveis soluções para essa situação isto é quantos quilos de feijão e de carne você comprou Agora marque a opção correta para I e para II respectivamente a 15 6 99 21 8 3 18 x y b 6 15 99 1 28 5 18 x y c 15 6 99 114 3 9 x y d 6 15 99 14 1 9 3 x y e 6 15 99 2 8 3 18 x y Matrizes e sistemas U1 53 Seção 14 Matriz inversa Olá aluno Na seção anterior você estudou sistemas de equações lineares e pôde aplicar seus novos conhecimentos além dos conceitos de matrizes e determinantes para controlar e aumentar o fluxo de vendas de doces da sua confeitaria ao fazer uma promoção de fim de semana Agora imagine que sua avó te deixou como herança uma doce receita de família que certamente será um sucesso de vendas na sua confeitaria Entretanto no envelope entregue por sua tia continha uma folha de papel escrito apenas o seguinte Querido neto para ter acesso ao nosso tesouro você precisa descobrir o segredo que abre o cofre localizado atrás do armário na casa da tia Lourdes Decodifique digite a palavra secreta e pegue a receita ela é sua A palavra codificada é S 29 11 42 31 16 06 30 16 e a chave para desvendála é C 1 2 1 1 de modo que C P S com P sendo a palavra secreta que abre o cofre traduzida de sua forma numérica para alfabética fazendo correspondência entre letras e números conforme Tabela 15 onde o símbolo representa espaços entre as palavras Diálogo aberto Tabela 15 Correspondências Fonte elaborada pelo autor A B C D E F G H I J K L M N O 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U V W X Y Z 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 00 Matrizes e sistemas U1 54 Qual é a palavra secreta que dá acesso à receita Para resolver esse problema é necessário que vejamos alguns conceitos sobre matriz inversa e como encontrála Vamos lá Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n A matriz A é dita invertível ou inversível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que A B B A In Assim chamamos a matriz B de inversa da matriz A e indicamos por A1 e A A A A In 1 1 Propriedades da matriz inversa I Se A é uma matriz invertível então A1 também é invertível e A A 1 1 II Se A e B são duas matrizes invertíveis então AB também é invertível e AB B A 1 1 1 III Se A é invertível então A A t t 1 1 Não pode faltar Exemplificando Seja A 3 2 1 1 uma matriz invertível A matriz inversa de A é A 1 1 2 1 3 pois A A I 1 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 1 A A I 1 2 1 2 1 3 3 2 1 1 1 0 0 1 Lembrese A matriz In representa a matriz identidade de ordem n Matrizes e sistemas U1 55 IV Se A é uma matriz invertível então det A 0 V det det A A 1 1 Observe em II que a inversa do produto é igual ao produto das inversas na posição contrária Lembrese de que no produto de matrizes a ordem é importante Exemplificando Sejam A 3 2 1 1 e B 0 1 3 4 matrizes invertíveis e AB 6 11 3 5 Mostre que AB B A 1 1 1 Resolução Suponha A a b c d 1 e lembrese que A A I 1 2 logo 3 2 1 1 1 0 0 1 2 3 1 2 A A I a b c d c 12 4 3 4 12 4 3 4 12 4 3 4 a d b c a d b 2 3 1 0 0 1 Podemos escrever dois sistemas lineares a partir da igualdade anterior 2 3 1 0 c a c a e 2 3 0 1 d b d b Ao serem resolvidos encontramos a 1 b 2 c 1 e d 3 Portanto A 1 1 2 1 3 De modo semelhante calculase B 1 43 13 1 0 e AB 1 53 113 1 2 Agora B A 1 1 43 13 1 0 1 2 1 3 53 113 1 2 1 AB Portanto a igualdade é verdadeira Matrizes e sistemas U1 56 Matriz singular e matriz não singular Seja A uma matriz do tipo n n Se A é invertível sua inversa é única e assim dizemos que A é não singular Caso contrário isto é se A não admite inversa dizemos que A é singular HOWARD RORRES 2001 Invertibilidade de matrizes Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem n podemos utilizar vários métodos entretanto após o estudo dos sistemas de equações lineares e do estudo de determinantes daremos maior atenção a dois métodos em particular Método baseado na resolução de sistemas Método da matriz adjunta Método baseado na resolução de sistemas Seja A a a a a 11 12 21 22 uma matriz do tipo 2 2 escrita em sua forma genérica Como não conhecemos a matriz inversa A1 escrevemos sempre A e f g h 1 como uma matriz genérica de mesma ordem Desse modo pela multiplicação de matrizes temos que a a a a e f g h a e a g a f a 11 12 21 22 11 12 11 12 1 0 0 1 h a e a g a f a h 21 22 21 22 1 0 0 1 Do conceito de igualdade de matrizes formamse os sistemas de equações lineares e assim encontrase a matriz inversa a e a g a e a g 11 12 21 22 1 0 e a f a h a f a h 11 12 21 22 0 1 Exemplificando Utilizando o método baseado na resolução de sistemas verifique se a matriz inversa da matriz A 5 3 3 2 existe Resolução Se A1 existir então A A I 1 2 Como não conhecemos A1 Matrizes e sistemas U1 57 escrevemos A a b c d 1 como uma matriz genérica de mesma ordem Desse modo pela multiplicação de matrizes temos que 5 3 3 2 1 0 0 1 5 3 5 3 3 2 3 2 a b c d a c b d a c b d 1 0 0 1 Do conceito de igualdade de matrizes seguem os sistemas de equações lineares 1 5 3 1 3 2 0 a c a c Da 2ª equação a 2 c 3 Substituindo a 2 c 3 na 1ª equação 5 2 3 3 1 3 c c c Consequentemente a a 2 3 3 2 2 5 3 0 3 2 1 b d b d Da 2ª equação b d 1 2 3 Substituindo b d 1 2 3 na 1ª equação 5 1 2 3 3 0 5 d d d Consequentemente b b 1 2 5 3 3 Portanto a inversa da matriz A existe A 1 2 3 3 5 e é única Logo A é uma matriz não singular Faça você mesmo Verifique se a matriz A 3 6 2 4 é invertível Em caso positivo determine sua matriz inversa Reflita A matriz nula 02 2 e a matriz identidade I2 são invertíveis Verifique Matrizes e sistemas U1 58 Método da matriz adjunta Para inverter uma matriz A do tipo n n utilizando o método da matriz adjunta utilizamos o determinante de A além da matriz adjunta de A denotado por adj A Com esse método a inversa A1 de uma matriz A será dada por A A adj A A 1 1 0 det det Para a compreensão do método é necessário definirmos matriz adjunta Na seção anterior deste livro didático você estudou sobre cofator A D ij i j ij 1 onde Dij é o menor complementar do elemento aij da matriz An n Pois bem com os cofatores de cada um dos elementos de An n formamos uma nova matriz chamada de matriz dos cofatores de A que representaremos por cof A Assim a matriz adjunta denotada por adj A é a transposta da matriz dos cofatores de A adj A cof A t Pesquise mais Acesse o vídeo disponível em httpswwwyoutubecomwatch vmmkA8n0KLS4 acesso em 3 mar 2016 e entenda o processo de inversão de matrizes por meio do método dos sistemas lineares Assimile Para que uma matriz A aij n n tenha uma inversa é necessário e suficiente que det A 0 Nesse caso A é não singular Se det A 0 então A é singular e não admite inversa Matrizes e sistemas U1 59 Com base na definição de matriz adjunta podemos voltar ao método de determinação da matriz inversa Tomando o exemplo anterior vejamos Como já determinamos a matriz adjunta de A e sabendo que A A adj A 1 1 det det A 0 falta calcularmos o determinante de A Pelo Teorema de Laplace escolhendo a linha 2 da matriz temos det det 2 7 1 2 1 4 A A 8 0 det A a A a A a A 21 21 22 22 23 23 Portanto Exemplificando Seja A 2 3 2 2 1 1 2 1 3 obtenha a matriz adj A Resolução O primeiro passo para encontrar a matriz adjunta de A é determinar a matriz dos cofatores de A calculando o cofator de cada um dos seus elementos Assim A A A 11 1 1 12 1 2 13 1 3 1 1 1 1 3 2 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 0 A A A 21 2 1 22 2 2 23 2 3 1 3 2 1 3 7 1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 4 A A A 31 3 1 32 3 2 33 3 3 1 3 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 4 Portanto temos que cof A 2 4 0 7 2 4 1 2 4 é a matriz dos cofatores de A Como a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A então adj A 2 7 1 4 2 2 0 4 4 é a matriz adjunta de A Matrizes e sistemas U1 60 Retomando o problema proposto no início desta seção veremos que um método simples para codificar e decodificar mensagens compreende utilizar as matrizes C e C1 de ordem n O remetente sua avó utilizou a matriz C para codificar a palavra secreta e o destinatário você deverá utilizar a matriz C1 para decifrar o código decodificar e descobrila Veja o porquê A matriz a ser descoberta é P e para isso você deve utilizar a igualdade C P S pois C P S C C P C S I P C S P C S I 1 1 2 1 1 2 123 Lembrando que as ordens das matrizes são C2 2 P2 4 S2 4 e C2 2 1 C C I 1 2 pois C1 e C são matrizes inversas e I P P 2 propriedade do produto matricial Com a dedução anterior P C S 1 a matriz P poderá ser calculada efetuando o produto matricial C S 1 em que S é conhecida matriz codificada e C1 é a matriz inversa da chave C que sua avó lhe forneceu Logo o passo seguinte é encontrar a inversa da matriz C 1 2 1 1 Então 1 2 1 1 1 0 0 1 2 2 1 C C a b c d a c b d a c b 123 12 4 3 4 d 1 0 0 1 Pela igualdade de Sem medo de errar A A adj A 1 1 det A A 1 1 1 8 2 7 1 4 2 2 0 4 4 14 78 18 12 14 14 0 12 12 é a inversa da matriz A Pesquise mais Entenda melhor o processo de inversão de matrizes por meio do método da matriz adjunta Vídeo disponível em httpswwwyoutube comwatchvjvbdjUYKc Acesso em 24 fev 2016 Matrizes e sistemas U1 61 matrizes formamos dois sistemas de equações lineares 1 a c a c 2 1 0 a 1 c 1 2 b d b d 2 0 1 b 2 d 1 PortantoC 1 1 2 1 1 Para obtermos a palavra secreta P precisamos multiplicar a matriz C1 pela matriz codificada S assim C S P 1 P P 1 2 1 1 29 11 42 31 16 06 30 16 03 01 18 01 13 05 12 15 Relacionando a matriz P às letras do alfabeto na Tabela 15 combinada temos 03 C 01 A 18 R 01 A 13 M 05 E 12 L 15 O Portanto a palavra secreta é CARAMELO Pesquise mais saiba mais sobre os princípios básicos da criptografia acessando o vídeo disponível em httpswwwyoutubecomwatchvvj7DpfQ pa0 Acesso em 25 fev 2016 Atenção A existência da inversa de C para a resolução desse problema foi fundamental pois P C S 1 Não somente nesse caso mas também para a resolução de um sistema linear a existência da inversa é um fato importante Lembrese de que todo sistema linear pode ser escrito da forma Ax b Logo se A possui inversa ou é não singular det A 0 Ax b A Ax A b I x A b x A b 1 1 1 1 Ou seja a solução do sistema linear Ax b existe é igual a x A b 1 e é única Em outras palavras temos um SPD Caso A não possua inversa o sistema Ax b pode ser classificado em SI ou SPI dependendo de análise mais criteriosa Matrizes e sistemas U1 62 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Cheesecake diferente 1 Competência de fundamentos de área Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer e aplicar métodos de cálculo de matriz inversa como ferramenta para análise e resolução de problemas 3 Conteúdos relacionados Matriz de cofatores Matriz transposta Matriz adjunta Determinantes Sistemas lineares 4 Descrição da situaçãoproblema Suponha que sua mãe tenha criado uma receita de torta inédita com apenas três ingredientes para ser vendida na sua confeitaria Você provou aprovou mas não descobriu quais eram esses 3 ingredientes Sua mãe então lhe deu as seguintes dicas para desvendálos a chave para descobrir os ingredientes P é C 1 4 1 3 com S C P em que a matriz codificada é S 106 19 30 106 78 91 16 51 40 82 106 73 88 68 76 80 16 26 80 62 71 12 43 31 68 80 599 67 54 58 Fazse necessário corresponder letras e números conforme a Tabela 16 Tabela 16 Receita A B C D E F G H I J K L M N O 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 P Q R S T U V W X Y Z 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Fonte elaborada pelo autor Quais são esses ingredientes misteriosos 5 Resolução da situaçãoproblema O primeiro passo é encontrar a inversa da matriz C 1 4 1 3 pois P C S 1 Então 1 4 1 3 1 0 0 1 1 C C a b c 123 12d 4 3 4 a c b d a c b d 4 4 3 3 1 0 0 1 Matrizes e sistemas U1 63 Pela igualdade de matrizes formamos dois sistemas de equações lineares a c a c 4 1 3 0 e b d b d 4 0 3 1 cujas soluções são c 1 a 3 d 1 e b 4 Portanto C 1 3 4 1 1 Para obtermos os ingredientes secretos P precisamos multiplicar a matriz C1 pela matriz codificada S ou seja P C S 1 o que pode ser feito com o auxílio de um computador utilizando um software como o GeoGebra ou uma planilha eletrônica obtendo P 02 07 14 02 14 11 00 19 04 26 02 17 04 12 04 26 03 04 26 16 20 04 08 09 14 26 14 21 14 18 Relacionando a matriz P aos símbolos da Tabela 16 temos 02 C 07 H 14 O 02 C 14 O 11 L 00 A 19 T 04 E 26 02 C 17 R 04 E 12 M 04 E 26 03 D 04 E 26 16 Q 20 U 04 E 08 I 09 J 14 O 26 14 O 21 V 14 O 18 S Estes são os ingredientes secretos da torta Faça valer a pena 1 Determine se existir a inversa da matriz A 3 6 2 4 e marque a opção que a contém a A 1 2 4 3 6 b A 1 3 2 6 4 c A 1 6 4 2 3 d Não existe A1 e A 1 3 4 6 2 Matrizes e sistemas U1 64 2 Assinale a alternativa que contém a matriz inversa da matriz A 1 2 1 3 a A 1 3 2 1 1 b A 1 2 3 1 1 c A 1 1 2 1 3 d A 1 3 2 1 1 e A 1 3 2 1 1 3 Assinale a opção que contém a matriz inversa da matriz identidade de ordem 2 a I2 1 0 1 1 0 b I2 1 1 0 0 1 c I2 1 0 1 1 0 d I2 1 1 0 0 1 e I2 1 1 0 0 1 U1 65 Matrizes e sistemas Referências BOLDRINI José Luiz et al Álgebra linear 3 ed São Paulo Harbra 1980 411 p CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE FUTEBOL CBF Campeonato brasileiro de futebol série A 2015 Disponível em httpwwwcbfcombrcompeticoes brasileiroserieaclassificacao2015VpkPlfkrLIU Acesso em 15 jan 2016 HOWARD Anton RORRES Chris Álgebra linear com aplicações Tradução Claus Ivo Doering 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 572 p KHAN Academy Multiplicação de matrizes Disponível em https ptkhanacademyorgmathalgebra2alg2oldcontentmatrixmultiplication alg2vmultiplyingamatrixbyamatrix Acesso em 17 jan 2016 KOLMAN Bernard HILL David R Introdução à álgebra linear com aplicações Tradução Alessandra Bosquilha Rio de Janeiro LTC 2013 LAY David C Álgebra linear e suas aplicações 4 ed Rio de Janeiro LTC 2013 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 8 ed Rio de Janeiro LTC 2013 LIMA Elon Lages Álgebra linear 8 ed Rio de Janeiro IMPA 2009 SANDOVAL JUNIOR Leonidas Álgebra linear para ciências econômicas contábeis e da administração São Paulo Cengage Learning 2010 STRANG Gilbert Álgebra linear e suas aplicações São Paulo Cengage Learning 2014 Unidade 2 Olá aluno Vamos contar a história de Antônio e sua esposa Maria Antônio sempre teve um sonho de comprar uma casa na beira de um rio e ter um barco para pescar Sua esposa viu um anúncio pela internet e para agradálo resolveu comprar um pequeno rancho com um barco na beira de um grande rio em uma cidade longe de onde moravam Resolveram então visitar o local para conhecer e desfrutar da nova aquisição Ao saírem de casa após andar alguns quilômetros Antônio percebeu que havia esquecido o endereço de seu novo rancho Como Maria lembrava a cidade onde se situava o rancho e o nome do rancho que compraram resolveram seguir viagem Chegando na cidade onde se situava o rancho pararam em um posto de gasolina e pediram informação sobre como chegar lá Antônio e Maria ficaram surpresos com a resposta É só descer as quadras e lá na frente virar algumas quadras que vocês chegarão disse o frentista Talvez possamos estar enganados mas acho que nem você nem nós conseguiríamos encontrar o endereço Para isso precisaríamos de informações adicionais como Quantas quadras Qual a direção direita ou esquerda Qual o sentido este que estamos seguindo ou voltando Convite ao estudo Vetores no plano e no espaço U2 68 Vetores no plano e no espaço Essas informações são cruciais para que consigamos encontrar o endereço Outras situações de nosso cotidiano também exigem essas mesmas informações módulo comprimento direção e sentido Quando envolvemos grandezas que necessitam dessas informações dizemos que são grandezas vetoriais ou seja aquelas que necessitam de módulo direção e sentido como velocidade força aceleração etc U2 69 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Seção 21 Vetores definição e segmentos orientados Vetores são importantes ferramentas para a Geometria Analítica sendo muito utilizados não só na Matemática mas também em Química em Física nas Engenharias etc Na Química por exemplo aplicamse operações com vetores no estudo da polaridade das moléculas que leva em consideração a geometria molecular Na Física o uso de vetores para cálculo das forças de velocidade torque posição deslocamento ou para estudos de situações em planos inclinados é indispensável Já na Engenharia as aplicações são ainda maiores podendo ser usados para fixar as dimensões de vigas e treliças para a sustentação de estruturas na construção de pontes etc Justamente essa ferramenta vetor que ajudará Antônio na seguinte situação ele e sua esposa estão parados no Ponto A do mapa Figura 21 e precisam chegar no endereço desejado ponto B Sem as informações corretas ele teria diversas possibilidades Para que ele consiga chegar no seu objetivo vamos tentar ajudálo Na Figura 21 percebemos como é importante indicar o módulo comprimento a direção e o sentido de uma grandeza como na indicação de um endereço Como exemplos indicamos na Figura 21 alguns caminhos que Antônio pode seguir partindo de sua posição inicial Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 21 Quadras U2 70 Vetores no plano e no espaço Se Antônio sair de onde está e dirigir 3 quadras para o norte em direção a B ele estará em uma quadra ponto C onde teria 2 caminhos para se chegar a B percorrendo uma distância mínima Quais seriam estes caminhos Se Antônio dirigir 3 quadras para o Leste 2 para o Norte 5 para a Oeste 2 para o Norte 1 para Oeste e mais 4 quadras para o Sul a quantas quadras ele estaria de seu endereço ponto B Para resolver o problema proposto inicialmente e outros que podem surgir precisamos de alguns conceitos importantes Ponto reta e plano São conceitos primitivos e portanto aceitos sem definição Para denotar um ponto usamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto para reta usaremos uma letra minúscula do nosso alfabeto e para plano usaremos letras minúsculas do alfabeto grego Apesar de não podermos definir esses elementos podemos descrevêlos facilmente Um ponto pode ser comparado com um furo um pequeno buraco o pingo da letra i etc A reta pode ser vista como o conjunto de infinitos pontos uma linha de caderno as linhas de um campo de futebol entre outros Já o plano pode ser comparado com a superfície lisa de uma parede do quadro etc Segmento e segmento orientado Segmento é qualquer trecho de uma reta delimitado por dois pontos A e B por exemplo Costumase denotálo pelas letras correspondentes aos pontos que o delimitam Em um segmento de reta AB podemos adotar duas orientações de A origem para B extremidade de B origem para A extremidade Indicamos essa orientação inserindo uma seta sobre AB Não pode faltar Fonte elaborada pelo autor Figura 22 Ponto reta e plano U2 71 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Principais características de segmentos orientados Você pode entender facilmente essa questão imaginando a reta numérica Imagine uma pessoa que está na origem ponto zero e caminha até o ponto 5 ela andou 5 espaços Se ela sai da origem e anda até o ponto 5 ela também andou 5 espaços ou seja o módulo ou distância da caminhada é 5 Em resumo módulo é a distância de um ponto até outro ponto em qualquer direção Fonte elaborada pelo autor Figura 23 Segmento orientado a de A para B b de B para A Assimile Módulo Dizemos que a distância do ponto A até o ponto B é o módulo do segmento AB u r uu isto é o módulo de AB u r uu é o seu comprimento A notação que normalmente utilizamos para representar módulo de AB u r uu é AB u r uu Fonte elaborada pelo autor Figura 24 Reta numérica Assimile Direção A direção do segmento orientado AB u r uu pode ser compreendida ao observarmos a inclinação da reta r que passa por A e B sobre a qual o segmento orientado se encontra Ela pode ser horizontal vertical ou inclinada U2 72 Vetores no plano e no espaço Se seu segmento está sobre o eixo x por exemplo dizemos que a direção dele é horizontal Se o segmento está sobre o eixo y dizemos que ele está na vertical O segmento também pode ter a direção inclinada como na Figura 25 Exemplo Observe o segmento AB u r uu da Figura 25 Agora suponha que ele seja o trajeto de decolagem de um avião Podemos então dizer que sua direção é inclinada 4608 em relação à pista de decolagem Conforme podemos observar ainda na Figura 25 dizemos que AB u r uu tem sentido de sudoeste para nordeste Tipos de segmentos orientados Segmento nulo São segmentos cujo módulo é igual a zero Nesse caso o segmento se reduz a um único ponto Segmentos opostos Considere que AB u r uu seja um segmento orientado Dizemos que o segmento BA u r uu é o seu oposto pois tem o mesmo módulo mesma direção mas sentido contrário de AB u r uu Exemplo Suponha que os segmentos orientados AB u r uu eCD u r uu tenham a mesma direção e as retas de AB e CD não são coincidentes isto é são retas diferentes Se os segmentos AC u r uu e BD u r uu não se interceptam dizemos que AB u r uu eCD u r uu têm o mesmo sentido caso contrário AB u r uu e CD u r uu têm sentidos opostos Veja Figura 26 Fonte elaborada pelo autor Figura 25 Decolagem Assimile Sentido Definimos o sentido do segmento AB u r uu a partir da origem para a extremidade ou seja AB u r uu é de A para B e BA u r uu é de B para A U2 73 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Segmentos equipolentes Dois segmentos orientados AB u r uu e CD u r uu são equipolentes quando têm a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento Para representamos a relação de equipolência entre AB u r uu e CD u r uu utilizaremos a notação AB CD u r uu u r uu onde se lê o segmento AB u r uu é equipolente ao segmento CD u r uu Estes segmentos podem pertencer à mesma reta ou não Se os segmentos orientados AB u r uu e CD u r uu não pertencem à mesma reta como na Figura 28 para que AB u r uu seja equipolente a CD u r uu é necessário que AB CD u r uu u r uu e BD AC u r uu u r uu e ou seja ABDC deve ser um paralelogramo Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 26 Segmentos orientados a de mesma direção b opostos Figura 28 Segmentos equipolentes Figura 27 Segmentos equipolentes AB CD u r uu u r uu U2 74 Vetores no plano e no espaço Direção e sentido Fonte elaborada pelo autor Figura 29 Retas e segmentos orientados Exemplificando Observe a Figura 29 e responda a As retas b c e d têm a mesma inclinação Por quê b Apresente pelo menos dois segmentos orientados determinados a partir de A B e C c Apresente pelo menos dois segmentos orientados opostos d Apresente pelo menos dois segmentos orientados equipolentes Resposta a Sim Pois os ângulos α β e γ têm a mesma medida b BC u r uu e CF u r uu Nesse caso você poderia ter escolhido qualquer segmento que saia de B A ou C c CF u r uu e CI uru Podemos escolher quaisquer segmentos que têm a mesma origem e sentidos contrários d GD u r uu e HE u r uu Nesse item podemos escolher quaisquer segmentos que tenham a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo módulo U2 75 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Figura 210 Segmentos Faça você mesmo Considere o plano quadriculado da Figura 210 em que estão representados os segmentos AB u r uu CD u r uu EF u r uu GH u r uu MN u r uuu e OP u r uu Agora responda a AB u r uu e CD u r uu são segmentos opostos b AB u r uu e CD u r uu são segmentos de módulos iguais direção e sentidos diferentes c AB u r uu e GH u r uu são segmentos de mesmo módulo direção e sentido d GH u r uu e OP u r uu são segmentos equipolentes Vetor Com base em tudo o que foi visto até o momento podemos definir vetor Mas o que é isso afinal Bem o conceito de vetor é simples Vetor é constituído por três coisas um número positivo que dá seu comprimento módulo uma direção e um sentido Denominamos vetor AB u r uu o conjunto de todos os segmentos que possuem o mesmo módulo a mesma direção e o mesmo sentido de AB u r uu ou seja o conjunto de segmentos equipolentes a AB u r uu Exemplo observe a Figura 211 O conjunto de todos os segmentos equipolentes a AB u r uu formam o vetor AB u r uu Além disso cada um dos segmentos desenhados na Figura 211 é um dos representantes de AB u r uu U2 76 Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 211 Alguns representantes do vetor Figura 212 Vetores paralelos AB u r uu Atenção Não confunda segmento orientado com vetor Entenda o conceito de representante acessando o material disponível em httpwwwbasica2 ufbabrapostilasvetoresApost11pdf Acesso em 28 abr 2016 Pesquise mais Aprofunde seus conhecimentos sobre vetores acessando o livro disponível em httpwwwgeometriaanaliticacombrlivrosavpdf Acesso em 28 abr 2016 Reflita Grandezas escalares não precisam de direção e sentido sendo necessário apenas seu módulo Veja alguns exemplos Grandezas vetoriais velocidade aceleração força etc Grandezas escalares massa tempo área etc Casos particulares Vetor nulo Representado por 0 o vetor nulo tem a origem coincidindo com sua extremidade Vetores paralelos indicamos por x ur y ur dois vetores paralelos pois têm a mesma direção não necessariamente tendo o mesmo módulo e sentido U2 77 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Figura 213 Possíveis caminhos a serem percorridos por Antônio O ângulo entre dois vetores é o menor ângulo formado entre dois representantes dos respectivos vetores que possuam mesma origem Se Antônio dirigir 3 quadras para o Leste 2 para o Norte 5 para a Oeste 2 para o Norte uma para Oeste e mais 4 quadras para o Sul a quantas quadras ele estaria de seu endereço de destino ponto B Escrevendo o caminho que Antônio percorreu podemos notar como na Figura 214 que ele está situado no ponto E Contando as quadras do ponto E até o ponto B temos que a distância de Antônio até seu objetivo são 8 quadras Note que isso é o Antônio e sua esposa estão parados no ponto A do mapa e precisam chegar no endereço desejado ponto B Sem as informações corretas eles teriam diversas possibilidades Se Antônio sair de onde está e dirigir 3 quadras para o Norte ele estará em um ponto onde teria 2 caminhos para se chegar a B percorrendo a distância mínima Quais seriam estes caminhos Você pode observar que Antônio após dirigir 3 quadras em direção ao seu objetivo que é o ponto B está situado no ponto C observe Figura 213 para ver direções Ele pode então tomar dois caminhos O primeiro por exemplo pode ser andar uma quadra para o Leste e depois mais uma para o Norte em direção a B outra maneira é caminhar primeiro para o Norte e depois uma quadra para o Leste como mostra a Figura 213 Atenção Quando dois vetores forem paralelos o ângulo entre eles será de 0 ou 180 Quando forem perpendiculares o ângulo será de 90 Sem medo de errar U2 78 Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Figura 214 Caminho Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Diário de viagem 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Compreender e interpretar geometricamente os vetores aplicando os fundamentos da álgebra vetorial na solução de problemas 3 Conteúdos relacionados Grandezas escalares e vetoriais Tipos de segmentos orientados Vetores 4 Descrição da situaçãoproblema Suponha que Antônio e sua esposa não tiveram nenhuma informação sobre o endereço desejado Para tentar encontrar o endereço mais rápido eles decidem se separar Antônio andou 3 quadras para a Leste e mais uma para o Norte chegando no ponto D Maria sua esposa anda 5 para Oeste e 7 quadras para Norte chegando no ponto C Nesse momento Maria resolve ligar para seu marido e pergunta onde ele está Como não conhecem a cidade vamos ajudálos a determinar a distância entre eles em linha reta mesmo que dizer que a distância do ponto E ao ponto B é 8 unidades não em linha reta U2 79 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Qual a distância entre Antônio e Maria 5 Resolução da situaçãoproblema Observe que as quadras estão todas alinhadas Logo podemos fazer um esquema ligando os pontos onde estão situados Antônio e Maria de maneira a obtermos um triângulo como mostra a Figura 216 Observe que traçando o triângulo a partir do ponto D em linha reta obtemos um triângulo retângulo em F como na Figura 217 Somando as distâncias horizontais e verticais que Antônio e Maria caminharam teremos a seguinte situação Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 215 Esquema Figura 216 Distância Figura 217 Distância U2 80 Vetores no plano e no espaço Utilizando o teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre eles temos d 2 2 2 6 8 d 2 36 64 d 2 100 d 10 quadras Logo Antônio e Maria estão a 10 quadras de distância um do outro Faça valer a pena 1 Marque a alternativa que contém uma grandeza vetorial a A massa de uma bola de basquete b O espaçotempo percorrido para ir de uma cidade a outra c A força necessária para levantar um objeto de 60 kg d A densidade da água e A temperatura corporal de uma criança em estado febril 2 Sobre segmentos equipolentes podemos afirmar que eles têm a A mesma direção o mesmo sentido e módulos diferentes b Direções diferentes o mesmo sentido e o mesmo comprimento c A mesma direção sentidos diferentes e o mesmo comprimento d A mesma direção o mesmo módulo e o mesmo comprimento e A mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento 3 Das afirmações a seguir verifique quais se referem a grandezas escalares e quais a grandezas vetoriais I Um jogo de futebol dura 90 minutos II Um automóvel esportivo atinge a marca 200 kmh U2 81 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço III Para colocar uma caixa em uma prateleira é necessária uma força de 150 N IV Aquela praça tem uma área de 300 m² V O deslocamento de um avião em direção ao sul do país foi de 1720 km Assinale a alternativa que contém a sequência correta a Vetorial vetorial escalar escalar escalar b Vetorial escalar escalar vetorial escalar c Escalar escalar vetorial escalar escalar d Vetorial escalar vetorial vetorial escalar e Escalar vetorial vetorial escalar vetorial U2 U2 83 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Seção 22 Módulo ou norma de um vetor Olá aluno Você lembra que na seção anterior estudou sobre vetores Lembra que você tentou encontrar o caminho para um endereço sem ter todas as informações Esperamos que tenha percebido que era necessário ter informações como direção sentido e módulo que nada mais são do que vetores Nessa seção você aprenderá a calcular o módulo comprimento do percurso e as diferentes maneiras de se fazer esse cálculo Suponha que para ter mais chances de encontrar o endereço desejado Antônio e sua esposa decidiram se separar Antônio percorreu o caminho representado pelo vetor D ur e Maria percorreu o caminho representado pelo vetor E ur como na Figura 218 Suponha agora que conheçamos o ponto onde cada um se encontra Através do cálculo do módulo de um vetor podemos determinar a distância entre eles Qual foi a distância percorrida por Antônio e por Maria E qual a distância entre eles Para que você consiga resolver esse e outros problemas é necessário que veja alguns conceitos sobre vetores mais especificamente saber como calcular o módulo de um vetor Vamos lá Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 218 Caminho percorrido por Antônio e sua esposa em km U2 84 Vetores no plano e no espaço Coordenadas de um vetor Seja o vetor u com origem no ponto de coordenadas a b e extremidade no ponto de coordenadas c d As coordenadas deu são c a d b como mostra a Figura 219 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 219 Vetor Figura 220 Coordenadas Não pode faltar u c a d b Exemplo Um vetor tem origem no ponto 1 2 e extremidade em 4 4 Logo dizemos que esse vetor tem coordenadas 3 2 Este vetor está fora da origem como podemos ver na Figura 220 Módulo ou norma de um vetor no plano Assimile Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados dos catetos b e c a b c 2 2 2 U2 85 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 222 Vetor perpendicular Figura 221 Triângulo retângulo definido a partir de Para calcularmos o módulo de um vetor basta utilizarmos o teorema de Pitágoras como mostra a Figura 221 Exemplo Um vetor u tem origem no ponto 1 2 e extremidade em 4 4 Logo dizemos que o módulo de u é u 2 2 2 2 4 1 4 2 3 2 13 Logo o módulo de u é 13 Dois casos particulares sobre módulo de vetores são analisados na Figura 222 e Figura 223 Observe que o vetor u representa a hipotenusa do triângulo retângulo Sendo seus catetos c a e d b calculamos o módulo do vetor u por Pitágoras Logo u c a d b 2 2 Atenção O comprimento de um vetor é numericamente igual à distância entre os pontos que compõem a sua origem e a sua extremidade Logo você pode obter a distância entre esses pontos por meio do cálculo do módulo do vetor que os têm como extremidades u U2 86 Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Figura 223 Vetor horizontal Quando o vetor está na vertical não se forma um triângulo retângulo como na Figura 221 e seu módulo é dado por d b Quando o vetor está na horizontal também não se forma um triângulo retângulo e seu módulo é dado por c a Contudo em ambos os casos o módulo pode ser obtido pela fórmula u c a d b 2 2 sendo esta podendo ser usada para qualquer vetor no plano Assimile Vetor unitário É todo vetor cujo módulo vale 1 u 1 Exemplificando Encontre o módulo do vetor u 0 1 Resolução u 2 2 0 1 1 Logo u 0 1 é unitário Faça você mesmo Determine o módulo do vetor com origem em a 0 0 e extremidade em 5 12 b 3 10 e extremidade em 2 3 U2 87 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Figura 224 Versor Versor de um vetor Seja u um vetor não nulo Dizemos que v é um versor de u se v 1 e ambos têm mesma direção e mesmo sentido Lembrese Lembrase de que na seção anterior foi descrito que vetores paralelos são aqueles que formam ângulos de 0 ou 180 Pois bem quando dois vetores formam esses ângulos entre si eles possuem a mesma direção e viceversa Com isso você também pode pensar que um dado vetor e o seu versor são paralelos Por convenção o vetor nulo é paralelo a qualquer outro Exemplo Observe na Figura 224 que u 3 e v w r ur 1 Como u e v têm a mesma direção e mesmo sentido dizemos que é um versor de u Já w ur e u têm a mesma direção mas sentidos opostos logo w ur não é versor de u v Assimile Determinação de um versor Para encontrar o versor de um vetor u a b basta dividilo pelo seu módulo u Desse modo o versor de u denotado por u u e dado por u u a u b u Exemplificando Encontre o versor do vetor mathbfu 34 Resolução mathbfu sqrt32 42 5 Logo o versor de mathbfu é fracmathbfumathbfu left frac35 frac45 right Pesquise mais Acesse o material a partir da página 64 e aprofunde seus conhecimentos sobre vetores Disponível em wwwgeometriaanaliticacombrlivros avpdf Acesso em 17 jun 2016 Vetores no espaço Seja o plano de eixos coordenados overlineOx overlineOy e overlineOz representado na Figura 225 e o vetor mathbfu com origem no ponto 000 e extremidade no ponto de coordenadas abc Figura 225 Versor Fonte elaborada pelo autor Para calcular o módulo de vetores no espaço basta tomarmos sua origem abc e extremidades em def e analogamente aos vetores no plano temos mathbfu sqrtda2 eb2 fc2 Reflita Como obter essa fórmula a partir do teorema de Pitágoras Assimile Determinação de um versor no espaço Para encontrar o versor de um vetor mathbfu abc basta dividilo pelo seu módulo mathbfu Desse modo o versor de mathbfu denotado por fracmathbfumathbfu é dado por fracmathbfumathbfu left fracamathbfu fracbmathbfu fraccmathbfu right Sem medo de errar Retomando o problema proposto no início desta seção sabemos que o módulo de um vetor mathbfu de origem ab e extremidade cd é dado por mathbfu sqrtca2 db2 Nesse caso para calcular a distância percorrida por Antônio e Maria adotando que eles tenham saído da origem temos Para Antônio mathbfD 57 mathbfD sqrt52 72 mathbfD sqrt74 Para Maria mathbfE 110 mathbfE sqrt12 102 mathbfE sqrt101 Para calcular a distância entre Antônio e Maria precisamos primeiramente perceber que após os deslocamentos eles pararam nos pontos de coordenadas 57 e 110 Como visto anteriormente para calcular a distância entre esses dois pontos determinamos o vetor que os possui como extremidades e calculamos o comprimento desse vetor Essa será a distância entre Antônio e sua esposa Considere que esse vetor seja mathbfv cuja origem é o ponto de coordenadas 57 e extremidade é o ponto de coordenadas 110 O módulo de mathbfv será Refita Como obter essa fórmula a partir do teorema de Pitágoras Assinale Determinação de um verso no espaço Para encontrar o versor de um vetor u abc basta dividilo pelo seu módulo u Desse modo o versor de u denotado por u u é dado por u u a u b u c u Sem medo de errar Retomando o problema proposto no início desta seção sabemos que o módulo de um vetor u de origem a b e extremidade c d é dado por u ca² db² Nesse caso para calcular a distância percorrida por Antônio e Maria adotando que eles tenham saído da origem temos Para Antônio D 57 D 5² 7² D 74 Para Maria E 110 E 1² 10² E 101 Para calcular a distância entre Antônio e Maria precisamos primeiramente perceber que após os deslocamentos eles pararam nos pontos de coordenadas 57 e 110 U2 90 Vetores no plano e no espaço v 2 2 2 2 1 5 10 7 4 3 5 Logo a distância entre os pontos 57 e 110 é 5 unidades Por sua vez a distância entre esses dois pontos é a distância entre Antônio e sua esposa ou seja 5 km Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Velocidade do projétil 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Familiarizarse com vetores e alguns conceitos sobre vetores e sua decomposição Analisar esses conceitos e utilizar algumas ferramentas que permitirão determinar os módulos de suas componentes e a sua aplicação na resolução de problemas 3 Conteúdos relacionados Vetores no plano e no espaço módulo de vetores 4 Descrição da situaçãoproblema Uma cidade A está situada em um mapa sobre o ponto de coordenadas 63 152 dada em quilômetros Uma outra cidade B está situada no mesmo mapa sobre o ponto de coordenadas 73 182 Qual a distância entre essas duas cidades 5 Resolução da situaçãoproblema Para calcular a distância entre as duas cidades precisamos calcular a distâncias entre os pontos de coordenadas 63 152 e 73 182 Mas para isso calculamos o módulo do vetor com origem em um dos pontos e extremidade no outro Considerandou de origem 63 152 e extremidade 73 182 temos u 2 2 73 63 182 152 u 100 900 U2 91 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço u 1000 u 10 10 Logo a distância entre as cidades é de aproximadamente 3162 km Faça valer a pena 1 Observe o vetor de coordenadas R ur 3 4 Determine o módulo do vetor R ur a R ur 3 b R ur 4 c R ur 5 d R ur 8 e R ur 7 2 Observe o vetor abaixo Podemos afirmar que o valor do módulo do vetor u é Figura 226 Vetor u Fonte elaborada pelo autor a u 12 b u 11 c u 13 d u 10 e u 10 U2 92 Vetores no plano e no espaço 3 Sendo x a 0 e y 12as coordenadas de um vetor S ur qual o valor da coordenada a do vetor S ur de modo que S ur 13 a a 3 b a 12 c a 5 d a 4 e a 7 U2 93 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Seção 23 Decomposição de vetores Olá aluno Você lembra que na seção anterior estudou sobre módulo e norma de vetores Lembra que você aprendeu a calcular o módulo de um vetor partindo da origem e também partindo de outro ponto qualquer Para isso você aprendeu duas fórmulas decorrentes do teorema de Pitágoras Pois bem nesta seção você verá que um vetor aquele que indica o módulo comprimento do percurso pode ser expresso em termos de outros vetores que o compõem e a partir disso diversas possibilidades surgirão Suponha que na sequência à situação descrita na última seção Antônio resolvesse ir na direção SudoesteNordeste percorrendo 20 km conforme Figura 227 D ur 20 km Através de vetores podemos determinar a distância que Antônio andou em relação ao Norte e a Leste E quais são essas distâncias Para que você consiga resolver esse e outros problemas é necessário que veja alguns conceitos sobre vetores e decomposição de vetores e mais especificamente analisar e utilizar algumas ferramentas diferentes que lhe permitirão determinar os módulos de suas componentes Dx ur e Dy ur Vamos lá Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 227 Distância Não pode faltar Decomposição de vetores no plano mathbbR2 Decompor um vetor implica em encontrar dois ou mais vetores que o compõem Componentes de um vetor Seja mathbfD um vetor no plano xy e mathbfD faz um ângulo alpha qualquer com o eixo das abscissas x Podemos representar o vetor mathbfD por meio de suas componentes mathbfDx projeção no eixo x e mathbfDy projeção no eixo y Figura 228 Componentes Fonte elaborada pelo autor A Figura 228 mostra o vetor mathbfD sendo representado por suas componentes mathbfDx e mathbfDy no plano xy Lembrese As componentes de um vetor são grandezas escalares que tanto podem ser positivas quanto negativas Se deslocarmos a componente mathbfDy do vetor mathbfD do modo que ele esteja paralelo ao eixo y os três vetores mathbfDx mathbfDy e mathbfD formam um triângulo retângulo mostrado na Figura 229 em que valem as propriedades geométricas de triângulos Não pode faltar Decomposição de vetores no plano ℝ² Decompor um vetor implica em encontrar dois ou mais vetores que o compõem Componentes de um vetor Seja D um vetor no plano xy e D faz um ângulo α qualquer com o eixo das abscissas x Podemos representar o vetor D por meio de suas componentes D x projeção no eixo x e D y projeção no eixo y A Figura 228 mostra o vetor D sendo representado por suas componentes D x e D y no plano xy Lembrese As componentes de um vetor são grandezas escalares que tanto podem ser positivas quanto negativas U2 95 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Fonte elaborada pelo autor Figura 229 Triângulo Relações trigonométricas na decomposição de vetores no plano Observe a Figura 229 Podemos perceber que a partir das definições de seno e cosseno de um ângulo temos que cos cos cos α α α cateto adjacente hipotenusa D D D D x x ur ur Portanto o módulo da componenteDx ur do vetorD ur é determinado por D D x ur u ru cosα Temos ainda que sen sen D D D D sen y y cateto oposto hipotenusa α α α u ru u ru Portanto o módulo da componente Dy ur do vetor D ur é determinado por D D sen y ur u ru α Para calcular o ângulo α tg D D y x α logoα arc tg D D y x Reflita Analisando a relação D D x ur u ru cosα você acha que ela funciona em qualquer caso A resposta é não Note que na Figura 229 o ângulo α é menor ou igual a 90 e nesse caso cosα 0 Contudo caso α 90 temos cosα 0 e a relação D D x ur u ru cosα seria falsa Considerando o caso geral 0 180 α a relação é na verdade D D x ur u ru cos α U2 96 Vetores no plano e no espaço Já a relação D D sen y ur u ru α é sempre válida pois senα 0 para 0 180 α pois no contexto de vetores são considerados sempre ângulos medidos a partir da horizontal com valores entre 0 e 180 Atenção O módulo ou a norma de um vetor D ur pode ser denotada por D ur D ou D ur Os vetores Dx u ru e Dy u ru são as componentes de D ur de coordenadas D D D x y ur Exemplificando Observe a Figura 230 e determine as coordenadas do vetor resultante sabendo que D 20 m Resolução As coordenadas de D ur são D D x y logo D D x cos cos º α 20 60 D D x x 20 0 5 10 m E temos que Dy 20 60 20 3 2 sen º D D y y 10 3 17 3 m Portanto Dx 10 m e Dy 17 3 m Fonte elaborada pelo autor Figura 230 Vetor D e suas componentes com ur α 60 Todo vetor no R2 pode ser escrito em função de i 10 e j 01 chamados de versores em que i j 1 posicionados nos eixos cartesianos Ox e Oy respectivamente Figura 232 O conjunto de versores i j 1001 é denominado base canônica do plano Assim um vetor no R2 pode ser escrito como u x i y j onde x e y são as coordenadas de u A forma u x i y j é denominada expressão analítica do vetor u Exemplo Seja o vetor u 4 i 3 j Podemos reescrever o vetor u na forma de par ordenado u 43 e ainda representálo no plano como mostra a Figura 232 Figura 232 Vetor u 43 4 i 3 j Fonte elaborada pelo autor Vetores no espaço tridimensional R3 Um vetor v no R3 é uma tripla ordenada xyz e podemos escrever v xyz Da mesma forma que no R2 podemos escrever qualquer vetor do R3 em função dos versores i 100 j 010 k 001 em que i j k 1 posicionados respectivamente nos eixos Ox Oy e Oz Figura 233 Figura 233 Vetores unitários i j k Fonte elaborada pelo autor O conjunto de versores i j k 100010001 é a base canônica do espaço Desse modo um vetor no R3 pode ser escrito como v x i y j z k em que x y e z são coordenadas de v Exemplificando Determine as componentes do vetor resultante D que faz um ângulo com de 45 com o eixo x e cujo módulo D 12 Resolução D x 12 cos 45 D x 12 071 D x 864 m D x 864 0 E temos que D y 12 sen 45 12 071 D y 864 m D y 0 864 Portanto as componentes de D são D x 864 0 e D y 0 864 Faça você mesmo Determine as componentes do vetor resultante representado na Figura 231 sabendo que D 40 m Figura 231 Vetor D e suas componentes com α 30 Fonte elaborada pelo autor Pesquise mais Tire suas dúvidas sobre o processo de cálculo do módulo das componentes de um vetor acessando o vídeo disponível em httpswwwyoutubecomwatchvKmwbGJv4Ro Acesso em 28 mar 2016 Expressão analítica de vetores Vetores no plano R2 Um par ordenado xy é um vetor no R2 o qual podemos denotar u xy Exemplo Se v 7 i 4 j 5 k podemos escrever v 745 e representálo num sistema de eixos como na Figura 234 Figura 234 Vetores no R3 Fonte elaborada pelo autor Decomposição de vetores no espaço R3 Seja v um vetor no espaço de coordenadas xyz e θ x θ y e θ z os ângulos que faz com cada um dos eixos x y e z Podemos encontrar as componentes v x v y e v z adotando o mesmo processo definido para vetores no plano Desse modo Assimile v x v cosθ x 0 0 v y 0 v cosθ y 0 v z 0 0 v cosθ z Exemplificando Seja v um vetor no espaço de coordenadas xyz e θ x θ y e θ z os ângulos que v faz com cada um dos eixos x y e z Sabendo que θ y 50 θ z 40 e que v 5 calcule as componentes do vetor v Resposta Sabemos que v x v cosθ x 0 0 v y 0 v cosθ y 0 e v z 0 0 v cosθ z Então temos v x 5 cos30 5 087 435 v y 5 cos50 5 064 32 v z 5 cos40 5 077 385 Logo v x 435 0 0 v y 0 32 0 e v z 0 0 385 Acesse o material disponível em httpwwwpfcunespbrlfrcuzGACAP02pdf Acesso em 28 maio 2016 Veja também o vídeo disponível em httpswwwyoutubecomwatchvAzelppzQKY acesso em 28 maio 2016 e amplie seus conhecimentos sobre vetores U2 101 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas Velocidade do projétil 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Familiarizarse com vetores e alguns conceitos sobre vetores e sua decomposição Analisar esses conceitos suas formas analíticas e utilizar algumas ferramentas que lhe permitirão determinar os módulos de suas componentes e a sua aplicação na resolução de problemas 3 Conteúdos relacionados Vetores no plano e no espaço decomposição de vetores 4 Descrição da situaçãoproblema Um projétil é lançado a partir do solo em uma direção que forma uma inclinação de 45 com o solo e uma velocidade de 400 ms determine o módulo das componentes da velocidade v x uru e vy uru desse projétil 5 Resolução da situaçãoproblema Traçando as componentes v x e vy da velocidade temos Temos que vx é dado por v v cos v x x 2 ms 45 400 2 2 00 2 282 8 e vy por v v v y y sen 2 ms 45 400 2 2 00 2 282 8 Fonte elaborada pelo autor Figura 235 Esquema gráfico U2 102 Vetores no plano e no espaço Faça valer a pena 1 A decomposição de um vetor implica em encontrar dois ou mais vetores que o compõem Complete as lacunas da sentença a seguir Podemos representar o vetor por meio de suas Dx ur e Dy ur Dx u ru é a componente do vetor original que representa a de D ur ao longo do e Dy u ru representa o módulo da projeção de D ur ao longo do Agora assinale a alternativa CORRETA a resultante D ur projeções componente eixo x eixo y b resultante D ur componentes projeção eixo y eixo x c componente projeções resultante eixo x eixo y d resultante D ur componentes projeção eixo x eixo y e projeção componentes projeção eixo y eixo x 2 A coordenada x de um vetor R ur é Rx 0 22 Encontre o valor do ângulo α formado entre esse vetor e o eixo x sabendo que R ur 0 44 a α 30o b α 40o c α 60o d α 35o e α 120o 3 Um vetor D ur de módulo igual a 50 cm faz um ângulo α 60º com o eixo das abscissas Quais são coordenadas x e y do vetor D ur nessa ordem a 25 cm 255 cm b 30 cm 403 cm c 25 cm 433 cm d 30 cm 533 cm e 43 cm 255 cm U2 103 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Seção 24 Operação com vetores Olá aluno Você se lembra que na seção anterior estudou sobre decomposição de vetores Lembra que você aprendeu a calcular a componente em relação ao eixo x Dx ur e em relação ao eixo y Dy ur Para isto você aprendeu duas fórmulas que utilizam a trigonometria no triângulo retângulo Lembra também que estudou as expressões analíticas dos vetores no plano e no espaço Pois bem nesta seção você verá que podemos realizar operações com vetores Além disso você aprenderá sobre isso encarando mais um problema surgido na viagem de Antônio suponha que ele percorra 400 m para leste e depois 600 m na direção nordeste inclinada 30 com a direção oesteleste conforme Figura 236 Através da adição de vetores podemos determinar a distância que Antônio está em relação ao ponto inicial em linha reta E qual é a distância em linha reta de Antônio até seu ponto de saída Para que você consiga resolver esse e outros problemas é necessário que veja alguns conceitos sobre operações com vetores Vamos lá Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 236 Distância U2 104 Vetores no plano e no espaço Adição geométrica Você deve ter percebido que umas das aplicações de vetores é a representação de deslocamentos certo A Figura 236 por exemplo mostra dois deslocamentos sucessivos realizados por Antônio sendo que cada um foi representado por um vetor Seguindo essa ideia vamos imaginar que um móvel inicialmente parado em um ponto A realize um deslocamento representado por u indo parar no ponto B conforme Figura 237 Assim como sugere a imagem podemos escrever A u B origem deslocamento destino r Considere ainda que após realizar o deslocamento u o móvel faça um novo deslocamento v parando no ponto C Figura 238 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 237 Deslocamento de A por um vetor u Figura 238 Deslocamento de B por um vetor Figura 239 Deslocamento de A por um vetor Não pode faltar v w ur U2 105 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço De acordo com o raciocínio anterior B v C origem deslocamento destino r além disso A u v C B origem deslocamento deslocamento destin r 1 2 444 3 444 r o Concorda que o móvel poderia ter chegado ao ponto C realizando um único deslocamento em linha reta Se chamarmos de w ur esse deslocamento temos o representado na Figura 239 Logo A w C origem deslocamento destino ur Comparando essa igualdade com a anterior temos w u v ur r r deslocamento deslocamento deslocamento ou seja o deslocamento w ur é igual ou equivalente à soma dos deslocamentos u e v O que queremos que perceba com toda essa discussão é que a adição de vetores está associada a um aspecto geométrico que pode ser percebido facilmente ao pensarmos em deslocamentos por exemplo Essa interpretação é válida para qualquer aplicação de vetores ao se realizar uma adição geométrica isto é Aplicando esse mesmo raciocínio a sucessivos deslocamentos obtemos a denominada regra da poligonal Figura 240 Veja que na construção da poligonal que a origem de cada vetor exceto o primeiro é a extremidade do vetor imediatamente anterior Assimile Para adicionar geometricamente dois vetores u e v seguimos os seguintes passos acompanhe a sequência observando a Figura 239 1 consideramos um ponto de partida por exemplo A e escolhemos um representante de u que possui A como origem 2 determinamos um ponto B que é a extremidade deste representante de u 3 escolhemos um representante de v que possui como origem o ponto B 4 determinamos o ponto C extremidade deste representando de v 5 a soma geométrica u v será o vetor w ur que possui entre seus representantes o vetor que possui origem A e extremidade B Além da adição geométrica podemos também pensar na adição algébrica de vetores ou seja adição de suas componentes U2 107 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Geometricamente o vetor oposto é aquele que possui o mesmo módulo mesma direção mas sentido contrário ao vetor em questão É bem simples veja primeiramente a interpretação geométrica por meio da Figura 242 lembrando da propriedade IV da adição Subtração de vetores Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Atenção A propriedade I de comutatividade também é conhecida como regra do paralelogramo facilmente compreendida por meio da Figura 241 A diagonal do paralelogramo construída a partir dos vetores u e v representa a soma desses vetores Associando isso a deslocamentos qualquer que seja o caminho tomado o destino é o mesmo o ponto C Figura 241 Paralelogramo Figura 242 Subtração de vetores Reflita Tomando por base o apresentado até agora como você acha que seria a subtração de dois vetores Basicamente uma subtração de vetores é semelhante a uma adição uma vez que subtrair o segundo do primeiro é o mesmo que adicionar o primeiro ao oposto do segundo ou seja U2 109 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Note que assim como a Figura 243 sugere três deslocamentos iguais a u poderiam ser substituídos por um único deslocamento que denotaremos 3u Algebricamente a notação 3u indica o produto do número 3 pelo vetor u ou seja 3 3 u u Observe que o vetor 3u tem a mesma direção e sentido que u Além disso o seu módulo foi multiplicado por 3 Veja no exemplo a seguir alguns casos particulares do produto ku para alguns valores de k Assimile Dado um número real k também denominado escalar não nulo e um vetor u o produto de k por u tem como resultado um novo vetor v ku tal que 1 ku e u têm a mesma direção são paralelos 2 se k 0 entãoku e u têm o mesmo sentido 3 se k 0 então ku e u têm sentidos opostos 4 se k 0 então ku 0 5 ku tem módulo igual a k u ou seja módulo de u multiplicado pelo valor absoluto de k Exemplificando Represente geometricamente o produto ku para k igual a 1 1 12 2 e 0 Resolução De acordo com os itens 15 apresentados anteriormente o produto de 1 pelo vetor u tem como resultado o próprio vetor 1 pelo vetor u tem como resultado outro vetor de mesma direção sentido oposto e módulo igual a 1 u u ou seja o oposto de u 12 pelo vetor u tem como resultado outro vetor de mesma direção e sentido mas de módulo igual à metade do módulo de u 2 pelo vetor u tem como resultado outro vetor de mesma direção sentido oposto e módulo igual ao dobro do módulo de u 0 pelo vetor u tem como resultado o vetor nulo Representandoos geometricamente temos o exposto na Figura 29 Nosso objetivo é obter vecu vecv ou seja a distância em linha reta entre o ponto inicial A e o ponto final C Para alcançálo primeiramente precisamos determinar as coordenadas do vetor overlineAC vecu vecv vecv Observe que de acordo com o que vimos nesta seção overlineAC vecu vecv vecu vx hati vy hatj Portanto se soubermos as coordenadas de vecu vecv podemos determinar as de overlineAC Em relação às componentes de vecv temos vx vecv cos alpha 600 cdot cos 30 600 cdot fracsqrt32 300 sqrt3 vy vecv sen alpha 600 cdot sen 30 600 cdot frac12 300 Logo overlinev 300sqrt3 0 e overlinevy overlinev 0 300 pois possuem respectivamente direções x e y Além do mais overlineu 400 0 e overlinev 300sqrt3 300 Com isso somos capazes de calcular as coordenadas de overlineAC e o seu módulo overlineAC vecu vecv 400 0 300sqrt3 300 400 300sqrt3 300 overlineAC sqrt400 300sqrt32 3002 sqrt160000 240000 270000 90000 sqrt520000 240000sqrt3 approx 967312 m Portanto podemos concluir que a distância do ponto inicial A até onde Antônio se encontra após os dois deslocamentos ponto C é aproximadamente 967312 m Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compare com a de seus colegas Soma de vetores 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizado Familiarizarse com vetores e os conceitos sobre operações de vetores em diferentes direções e utilizar algumas ferramentas que lhe permitirão determinar distâncias através dos módulos dos vetores e a sua aplicação na resolução de problemas 3 Conteúdos relacionados Operações com vetores Nosso objetivo é obter u v ou seja a distância em linha reta entre o ponto inicial A e o ponto final C Para alcançálo primeiramente precisamos determinar as coordenadas do vetor A C u v para depois calcular seu módulo Observe que de acordo com o que vimos nesta seção A C u v v x v y Portanto se soubermos as coordenadas de u v x e v y podemos determinar as de A C Em relação às componentes de v temos v x v cos α 600 cos 30 600 32 300 3 v y v sen α 600 sen 30 600 12 300 Logo v 3003 0 e v y 0 300 pois possuem respectivamente direções x e y Além do mais u 400 0 e v 3003 300 Com isso somos capazes de calcular as coordenadas de A C e o seu módulo A C u v 400 0 3003 300 400 3003 300 U2 112 Vetores no plano e no espaço 4 Descrição da situaçãoproblema Uma das aplicações de vetores é na representação de forças como no caso do projeto de estruturas de concreto e estruturas metálicas Um dos cálculos comumente realizados nesse caso é o da força resultante que é obtida por meio da adição de todas as forças atuantes Considere que o ponto P móvel representado na Figura 245 comece a sofrer a atuação das forças a b c e d ur Qual a força resultante seu módulo e para qual quadrante o ponto irá se mover 5 Resolução da situaçãoproblema Para determinar a força resultante precisamos determinar as coordenadas de cada um dos vetores que as representam como segue a i j 0 3 0 2 3 2 3 2 b i j 0 2 0 1 2 1 2 c i j 0 3 0 1 3 1 3 d i j ur r r 0 1 0 1 1 1 Logo a força resultante será r i j 3 2 2 1 3 1 1 1 3 1 3 e seu módulo r 3 1 10 2 2 N Newtons Representando a força resultante no plano temos a Figura 246 Como é possível perceber a resultante de todas as forças aponta para o segundo quadrante direção e sentido que o ponto P começará a se mover Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 245 Forças atuando sobre P Figura 246 Forças atuando sobre P U2 113 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Faça valer a pena 1 Sejam os vetores u 2 3 5 v 0 1 4 e w ur 4 0 5 Podemos afirmar que o vetor resultante r u v w r r r ur é a r 2 2 0 b r 2 0 10 c r 2 2 14 d r 2 3 10 e r 6 2 14 2 Sejam os vetores u i j 2 4 e v i j 3 7 Podemos afirmar que o vetor resultante r tal que r u v 3 2 é a r 12 5 b r 5 11 c r 12 2 d r 111 e r 3 2 3 Um objeto está sob ação de três forças coplanares conforme a Figura 247 O valor da força resultante é Figura 247 Forças atuando sobre um objeto Fonte elaborada pelo autor a 110 N b 70 N c 60 N d 50 N e 30 N Vetores no plano e no espaço U2 114 Vetores no plano e no espaço U2 115 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 BOLDRINI J L et al Álgebra linear 3 ed São Paulo Harbra 1980 BOULOS P CAMARGO I Geometria analítica um tratamento vetorial 2 ed São Paulo Mc GrawHill 19861987 CALLOLI C A DOMINGUES H H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações 4 ed São Paulo Atual 1983 COELHO F U LOURENÇO M L Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 VENTURI J J Álgebra vetorial e geometria analítica 10 ed Curitiba Livrarias Curitiba 2015 Disponível em wwwgeometriaanaliticacombrlivrosavpdf Acesso em 23 jun 2016 Unidade 3 Olá aluno Para iniciar mais uma unidade de ensino vamos supor que você seja contratado por uma siderúrgica e que seja designado como responsável pela linha de produção Nessa empresa você terá que realizar vários trabalhos como cortes de chapas por meio de programação de máquinas de corte instalação de estruturas de trabalho que envolvam treliças e confecção de componentes para robôs da linha de produção Para executar esses trabalhos programar as máquinas e os robôs será necessário utilizar vetores de uma maneira mais aprofundada Além disso você será responsável também por resolver outros problemas pertinentes à linha de produção Algumas situações que aparecerão no dia a dia envolverão conteúdos essenciais desta unidade veremos combinação linear de vetores produto escalar vetorial e aplicações projeção de um vetor sobre outro vetor ângulos entre vetores etc Pronto para começar Vamos lá Convite ao estudo Produto escalar e vetorial U3 119 Produto escalar e vetorial Seção 31 Combinação linear de vetores A combinação linear entre vetores é extremamente importante para a Geometria Analítica tendo várias aplicações não só em Matemática mas em outras áreas principalmente na Engenharia Nesta área as aplicações desse conteúdo são amplas estabelecendo relações entre vetores que nos proporcionam condições para determinar direções de cortes ângulos entre barras ou placas pontos de fixação de estruturas etc É exatamente a combinação linear que ajudará você em suas tarefas na linha de produção Suponha que em seu primeiro trabalho uma chapa metálica de formato igual a um paralelogramo precise ser cortada ao meio Os cantos da chapa estão posicionados sobre pontos em um plano cartesiano como indicado na Figura 31 Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 31 Chapa metálica Dois cortes já foram realizados e estão indicados pelos vetores u e v Os demais cortes deverão ser idênticos aos realizados até agora ou seja de mesma direção sentido e comprimento e além disso o último corte deverá terminar no Não pode faltar Vetores coplanares Dizemos que os vetores u v e w são vetores coplanares se eles possuírem representantes em um mesmo plano α conforme ilustra a Figura 32 Fonte elaborada pelo autor Reflita Dois vetores são sempre coplanares Três vetores podem ser coplanares ou não Combinação linear de vetores Dizemos que um vetor v é a combinação linear de n vetores u1 u2 un se existirem os escalares k1 k2 kn tal que v k1u1 k2u2 knun Exemplificando Sejam u 120 v 360 e w w vetores do R3 Se w é a combinação linear de u e v tal que w 2u 3v quais as coordenadas do vetor w Primeiramente dizemos que 2 e 3 são coeficientes da combinação linear que forma o vetor w Calculando o vetor w temos w 2u 3v w 2120 3360 w 294180 w 7140 Logo 7 14 0 são as coordenadas do vetor w U3 122 Produto escalar e vetorial Exemplificando Exemplificando O vetor w ur 7 2 9 é a combinação linear dos vetores u 2 1 3 e v 1 0 1 Quais os coeficientes dessa combinação Podemos escrever o vetor w ur como combinação linear dos vetores u e v logo 7 2 9 2 1 3 1 0 1 a b O que nos conduz ao sistema 2 7 a b a b 0 2 3 9 a b Resolvendo o sistema temos da segunda equação que a 2 Substituindo o valor de a na 1ª ou na 3ª equação temos que b 3 Logo a solução do sistema é a 2 e b 3 ou seja w u v ur r r 2 3 Observe os vetores u 111 v 11 0 e w ur 1 0 0 Para verificar se os vetores são LI escrevemos a equação au bv cw r r ur 0 ou ainda a b c a b c a b a 111 11 0 1 0 0 0 0 0 0 Como a 0 substituindo na 2ª equação encontramos b 0 Substituindo esses dois valores na 1ª equação temos que c 0 Então a única solução do sistema é 0 0 0 e os vetores u v e w ur são linearmente independentes Vetores linearmente independentes Dizemos que um conjunto de vetores u1 uru u2 uru un uru é linearmente independente LI se a equação a u a u a u n n 1 1 2 2 0 uru uru uru tiver como solução apenas a a an 1 2 0 Isso é o mesmo que dizer que o sistema gerado por esses vetores é homogêneo e sua única solução é a trivial ou seja 0 0 0 U3 123 Produto escalar e vetorial Vetores linearmente dependentes Um conjunto de vetores u1 uru u2 uru un uru é linearmente dependente LD se o sistema linear homogêneo a u a u a u n n 1 1 2 2 0 uru uru uru admitir pelo menos uma solução diferente da trivial 0 0 0 Exemplificando Observe os vetores u 111 v 2 1 3 e w ur 1 5 3 Para verificar se os vetores são LD escrevemos a equação xu yv zw r r ur 0 ou ainda x y z 111 2 1 3 1 5 3 0 x y z x y z 1 1 1 2 1 3 1 5 3 0 2 0 5 0 3 3 0 x y z x y z Para resolver o sistema isolamos x na 1ª equação obtendo x y z 2 Substituindo x na 2ª e 3ª equações obtemos 2 5 0 3 6 0 2 y z y z y z y z 2 3 3 0 2 0 2 y z y z y z y z Logo temos infinitas soluções tal que y z 2 Fazendo z a temos que a solução geral do sistema é qualquer tripla da forma 3 2 a a a Então além da solução trivial 0 0 0 o sistema admite infinitas soluções por exemplo 3 2 1 obtida para a 1 Portanto os vetores u v e w ur são linearmente dependentes Reflita O versor de um vetor dado e o próprio vetor são sempre linearmente dependentes Os versores i 1 0 0 j 0 1 0 e k ur 0 0 1 são linearmente independentes Faça você mesmo Verifique se os vetores mathbfu 221 mathbfv 121 e mathbfw 140 são linearmente dependentes ou linearmente independentes Além do modo já apresentado há ainda outra maneira prática de verificar se três vetores do mathbbR3 são linearmente independentes ou dependentes Isso envolve o cálculo de um determinante Veja Assimile Sejam os vetores mathbfu uxuyuz mathbfv vxvyvz e mathbfw wxwywz Para verificar se mathbfu mathbfv e mathbfw são linearmente dependentes ou independentes escrevemos o sistema aux bvx cwx 0 auy bvy cwy 0 auz bvz cwz 0 Que pode ser representado na forma matricial beginbmatrix ux vx wx uy vy wy uz vz wz endbmatrix beginbmatrix a b c endbmatrix beginbmatrix 0 0 0 endbmatrix Sendo D a matriz dos coeficientes do sistema temos que Se det D 0 o sistema formado pelos vetores tem mais de uma solução ou seja pelo menos uma solução diferente da solução trivial então mathbfu mathbfv e mathbfw são linearmente dependentes LD Se det D eq 0 o sistema é possível e determinado ou seja tem uma única solução que é a solução trivial Então mathbfu mathbfv e mathbfw são linearmente independentes LI Reflita Dados qualquer dois vetores eles serão LD se e somente se forem paralelos Dados qualquer três vetores eles serão coplanares se e somente se forem LD U3 125 Produto escalar e vetorial Logo det D 0 Então u v e w ur são LD e consequentemente coplanares Exemplificando Considere os vetores u 5 1 1 v 0 2 4 e w ur 10 2 2 Vamos verificar se esses vetores são coplanares ou não coplanares Escrevendo a matriz D dos coeficientes do sistema temos D 5 0 10 1 2 2 1 4 2 Calculando o determinante temos detD 5 0 10 1 2 2 1 4 2 20 40 0 20 40 0 0 Reflita Em um grupo de vetores w1 u ru w2 u ru wn u ru se algum dos vetores for múltiplo de outro vetor do mesmo grupo então a sequência será linearmente dependente Em um conjunto de vetores u1 uru u2 uru un uru se algum dos vetores for gerado pelos demais vetores ou seja for combinação linear de outros desses vetores então a sequência será linearmente dependente Para entender melhor essas afirmações lembrese das propriedades de determinantes Pesquise mais Aprofunde seus conhecimentos sobre combinação linear de vetores e vetores linearmente dependentes e independentes acessando o artigo disponível em httpwwwpfcunespbrlfcruzGACAP03pdf Acesso em 25 jun 2016 U3 126 Produto escalar e vetorial Resolvendo o sistema temos da 1ª equação α β 10 2 Substituindo na 2ª equação temos 2 10 2 11 β β 20 4 11 β β 3 9 3 β β Como β 3 temos α β α 10 2 4 Logo a solução do sistema é α 4 e β 3 Então serão necessários quatro cortes idênticos a v e três cortes idênticos a u Podemos acrescentar esses cortes à Figura 31 e obter a representação da Figura 33 Fonte elaborada pelo autor Figura 33 Chapa cortada Atenção Há mais de uma maneira de realizar os cortes pois 4 3 u v u v u v u v u e também 4 3 u v u u u u v v v entre outras Mas a disposição que corta a chapa ao meio é somente a primeira Retomando o problema proposto inicialmente lembrese de que uma chapa metálica de formato igual a um paralelogramo precisava ser cortada ao meio e que dois cortes já foram realizados e estão indicados pelos vetores u e v Você deve programar a máquina de corte calculando quantos cortes iguais a u e quantos iguais a v ainda serão necessários Para isso primeiro precisamos determinar α e β tais que α β u v AB r r u r uu ou seja quais as constantes α e β tais que a combinação linear de u e v vai gerar o vetor AB u r uu conforme a Figura 31 Observe que o vetor AB u r uu tem origem no ponto 2 2 e extremidade no ponto 12 13 logo AB u r uu 10 11 Veja também que u 1 2 e v 2 1 Substituindo os valores em α β u v AB r r u r uu obtemos α β α β α β 1 2 2 1 10 11 2 10 2 11 Sem medo de errar U3 127 Produto escalar e vetorial Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Instalação de treliças 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Compreender e interpretar geometricamente os vetores aplicando os fundamentos da álgebra vetorial na solução de problemas 3 Conteúdos relacionados Sistemas equações matriciais combinação linear vetores linearmente dependentes e independentes 4 Descrição da situaçãoproblema Para fazer a instalação de uma treliça um engenheiro utilizou um programa que compara cada haste da treliça com um vetor Colocando os dados no sistema temse que as hastes da treliça se comportam apenas de três maneiras ou seja três vetores Esses vetores são representados por u 5 1 2 v 2 4 1 e w ur 6 1 2 O sistema dá como resposta um vetor resultante que é a combinação dos vetores hastes e a quantidade de cada um dos tipos de hastes Nesse caso o vetor resultante foi r 66 10 9 Descubra a quantidade de cada uma das hastes 5 Resolução da situaçãoproblema Chamamos as quantidades de cada haste de a b e c Construindo a combinação linear temos a b c 5 1 2 2 4 1 6 1 2 66 10 9 que resulta no sistema 5 2 6 66 a b c a b c 4 10 2 2 9 a b c Isolamos a na 2ª equação a b c 4 10 Substituindo a na 1ª e 3ª equações temos que 5 4 10 2 6 66 22 116 b c b c b c 2 4 10 2 9 7 4 11 b c b c b c c b 116 22 Dessas duas últimas equações isolamos c na 1ª 7 4 116 22 11 95 475 b b b b 5 Substituindo na última equação obtemos o valor de b Voltando no 2º sistema e substituindo b encontramos c 6 e no 1º sistema substituindo b e c encontramos a 4 Logo foram necessárias 4 hastes do tipo representado pelo vetor u 5 hastes representadas pelo vetor v e 6 hastes representadas pelo vetor w ur Faça valer a pena 1 Observe os escalares p q r in mathbbR tal que 123 p100 q110 r111 Podemos afirmar que o valor da expressão 2p 3q r é a 9 b 15 c 8 d 13 e 16 2 Determine o valor de alpha para que o vetor mathbfu 1alpha7 seja combinação linear dos vetores mathbfu1 132 e mathbfu2 241 a alpha 18 b alpha 21 c alpha 11 d alpha 24 e alpha 13 3 Encontre uma relação entre x y e z de modo que xyz seja combinação linear dos vetores 132 e 241 a x z b x y 2z 0 c x y 0 d x y z 0 e y z 0 U3 129 Produto escalar e vetorial Seção 32 Produto escalar e ângulo entre dois vetores Olá aluno Você se lembra que na seção anterior estudou sobre combinação linear de vetores Lembra que calculou quantos cortes precisava fazer naquela placa Esperamos que você tenha percebido que em situações como aquela é possível usar a combinação linear de vetores para encontrar a quantidade de cada vetor que será utilizada Suponha agora que a empresa em que trabalha precisa montar a estrutura metálica de um galpão e que você deve determinar o ângulo entre as barras metálicas dessa estrutura como na Figura 34 Suponha que você já conseguiu determinar as direções das barras e que essas estão representadas pelos vetores u 2 1 5 e v 1 3 4 Agora é preciso determinar o ângulo entre esses dois vetores Para conseguir resolver esse problema e outros envolvendo ângulo entre vetores precisamos saber calcular o produto escalar entre eles Diálogo aberto Fonte httpgooglEl7PgM Acesso em 9 ago 2016 Figura 34 Estrutura metálica U3 130 Produto escalar e vetorial Nesta seção estudaremos o produto escalar e o ângulo entre vetores Esses conteúdos têm grandes aplicações principalmente na engenharia Com eles podemos calcular ângulos entre estruturas barras metálicas entre outras Na próxima seção usaremos esses conhecimentos para calcular projeções de vetores que têm grande utilização na engenharia Produto escalar entre vetores Dados dois vetores u x y z 1 1 1 e v x y z 2 2 2 o produto escalar desses dois vetores e denotamos u v é o número real u v x x y y z z 1 2 1 2 1 2 Considerando os vetores u 2 3 7 e v 8 5 6 por exemplo o produto escalar entre u e v é obtido efetuando u v 2 8 3 5 7 6 u v 16 15 42 u v 41 Logo o produto escalar entre u e v é o número real 41 Não pode faltar Exemplificando O produto escalar entre os vetores u x 4 1 e v x 7 5 é 38 Encontre o valor de x Resolução Calculando o produto escalar temos u v x x y y z z 1 2 1 2 1 2 38 4 7 1 5 38 11 5 11 33 3 x x x x x Logo o valor de x para que o produto escalar seja u v 38 é 3 Propriedades do produto escalar As propriedades do produto escalar nos auxiliam na resolução de algumas situações Para quaisquer vetores u v e w ur e um escalar k temos I u v v u comutatividade Inverter a ordem dos vetores em um produto escalar não altera o resultado II mathbfv cdot mathbfv mathbfv2 O produto escalar de um vetor por ele mesmo é igual ao quadrado de seu módulo III mathbfu cdot mathbfv mathbfw mathbfu cdot mathbfv mathbfu cdot mathbfw O produto escalar de um vetor por uma soma de outros dois é igual à soma dos produtos escalares do primeiro com o segundo somado com o produto do primeiro com o terceiro IV kmathbfu cdot mathbfv mathbfu cdot kmathbfv kmathbfu cdot mathbfv Mudar o escalar de posição não altera o resultado final sqrtmathbfu cdot mathbfv leq mathbfu imes mathbfv conhecida como desigualdade de Schwarz Essa propriedade será abordada no decorrer desta seção quando será apresentada outra expressão para o produto escalar mathbfu mathbfv leq mathbfu mathbfv conhecida como desigualdade triangular Os vetores mathbfu mathbfv e mathbfu mathbfv formam geometricamente um triângulo Essa desigualdade indica que um dos lados desse triângulo nunca terá comprimento maior que a soma dos outros dois Ângulo entre dois vetores O ângulo heta entre dois vetores é a medida da menor abertura entre esses vetores com 0 leq heta leq 180circ levando em conta seu sentido Temos cinco casos de ângulos entre vetores que merecem destaque Figura 35 Ângulo entre vetores a heta 0circ b 0circ heta 90circ c heta 90circ d 90circ heta 180circ e heta 180circ U3 132 Produto escalar e vetorial O produto escalar de dois vetores u e v também pode ser dado pela expressão u v u v cosθ em que θ representa o ângulo entre os vetores como na Figura 35 Para demonstrar essa fórmula usamos a lei dos cossenos no triângulo da Figura 36 u v u v u v 2 2 2 2 cosθ Consequentemente temos x x y y z z x y z x y z u v 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 cosθ x x x x y y y y z z z z 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z x y z u v 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 cosθ u v x x y y z z cosθ 1 2 1 2 1 2 Logo como x x y y z z u v 1 2 1 2 1 2 temos u v u v cosθ Exemplificando Sejam os vetores u v e w ur tais que u 4 e v 15 Determine o produto escalar entre u e w ur sabendo que os três vetores determinam o triângulo da Figura 37 Depois marque a alternativa correta Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 36 Produto escalar e ângulo entre vetores Figura 37 Vetores e u v w ur Outra maneira de calcular o produto escalar u v 60 w ur a 11 c 13 e 15 U3 134 Produto escalar e vetorial Lembrese O ângulo θ formado entre os vetores u e v é medido em radianos ou graus e 0 θ π ou 0 180 θ Lembrese de que para transformar de graus para radianos basta multiplicar por π 180 E para transformar de radianos para graus basta multiplicar por 180 π Exemplificando Encontre o ângulo formado pelos vetores u 1 3 e v 9 2 Resolução Primeiro vamos determinar o módulo de cada um dos vetores u u 1 3 10 2 2 v v 9 2 85 2 2 Agora calculamos o produto escalar de u e v u v 1 9 3 2 9 6 3 0 Já sabemos então que θ é um ângulo agudo Por fim encontramos θ θ arccos arccos arccos u v u v 3 10 85 0 1029 θ 1 4677 Logo o ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 1468 radianos ou ainda aproximadamente 8409 Faça você mesmo Encontre o ângulo formado pelos vetores u 2 5 11 e v 13 3 3 0 Vetores ortogonais U3 136 Produto escalar e vetorial Reflita Se o ângulo entre dois vetores é zero eles são paralelos ou estão sobrepostos Se o ângulo entre dois vetores é 180 esses vetores têm a mesma direção mas sentidos opostos Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 38 Vetores paralelos ou sobrepostos θ 0 Figura 39 Ângulo entre vetores θ 180o Pesquise mais Aprofunde mais seus conhecimentos sobre produto escalar de vetores e ângulo entre eles acessando o material a partir da página 68 disponível em httpgradmatufabcedubrdisciplinaslistasganotasdeaulas geometriaanaliticaevetorialSGDpdf Acesso em 3 jul 2016 Retomando o problema proposto no início desta seção sabemos que os vetores que representam as hastes são u 2 1 5 e v 1 3 4 Nesse caso para calcular o ângulo entre eles utilizamos a fórmula θ arccos u v u v mas primeiro determinamos o módulo de cada um dos vetores u u 2 1 5 30 2 2 2 v v 1 3 4 26 2 2 2 Sem medo de errar u v 180 v u U3 137 Produto escalar e vetorial Agora calculamos o produto escalar de u e v u v 2 1 1 3 5 4 2 3 20 15 Por fim encontramos θ θ arccos arccos arccos u v u v 15 30 26 0 537 1radiano Logo o ângulo entre as hastes representadas pelos vetores u e v é 1 radiano o que equivale a aproximadamente 573 Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Produto escalar 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à Engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Compreender o produto escalar e sua aplicação no cálculo de ângulos além da utilização destes na resolução de problemas 3 Conteúdos relacionados Produto escalar de vetores ângulo entre vetores lei dos cossenos versor vetores ortogonais 4 Descrição da situaçãoproblema Suponha que dois aviões decolem de um ponto que chamaremos de origem e representaremos pelo ponto 0 0 0 Após alguns instantes o avião A encontrase no ponto 5 3 2 e o avião B no ponto 4 2 z separados por uma distância em quilômetros e cujo ângulo entre eles é de 107 Determine a coordenada positiva z do avião B 5 Resolução da situaçãoproblema Para calcular a coordenada z do avião B note que as trajetórias são descritas pelos vetores u 5 3 2 e v z 4 2 Sabemos que o ângulo entre esses vetores é θ arccos u v u v Primeiro determinamos o módulo de cada um dos vetores u u 5 3 2 36 6 2 2 2 v z v z 4 2 18 2 2 2 2 U3 138 Produto escalar e vetorial Agora calculamos o produto escalar de u e v u v z 5 4 3 2 2 u v z 20 3 2 2 Por fim encontramos z utilizando o valor de θ θ arccos u v u v 107 20 3 2 2 6 18 2 arccos z z cos107 20 3 2 2 6 18 2 z z 0 292 20 3 2 2 6 18 2 z z 6 18 83 023 4 843 2 z z 18 13 837 0 807 2 z z Elevando os dois lados ao quadrado 18 191 463 22 333 0 651 2 2 z z z 0 349 22 333 173 463 0 2 z z Resolvendo a equação do 2º grau temos que z 7 ou z 71 Logo a coordenada positiva z do avião B é z 7 Faça valer a pena 1 Dados os vetores u 1 0 v 1 3 e w ur 0 2 podemos afirmar que a soma do ângulo entre u e v com o ângulo entre v e w ur é a 38 b 87 c 90 d 546 e 739 U3 139 Produto escalar e vetorial 2 Observe os vetores na figura a seguir Podemos afirmar que o valor do ângulo em graus entre u e v é Figura 310 Vetores u e v Fonte elaborada pelo autor a 685 b 834 c 870 d 900 e 761 3 O produto escalar entre os vetores u k 3 2 e v k 10 5 é 36 Logo os possíveis valores de k são a k 2 b k 5 c k 6 ou k 1 d k 7 ou k 4 e k 0 ou k 3 No contents related to this number to extract from U3 141 Produto escalar e vetorial Seção 33 Projeção de um vetor sobre outro vetor Olá aluno Você se lembra que na seção anterior estudou sobre produto escalar e ângulo entre dois vetores Lembra que precisou encontrar o ângulo entre duas barras metálicas da treliça Esperamos que você tenha aprendido a calcular o ângulo entre dois vetores e o produto escalar entre eles Nesta seção aprenderemos a calcular a projeção de um vetor sobre outro vetor Suponha que sua empresa esteja terminando de montar a estrutura do galpão como na seção anterior e você precisa instalar uma haste de apoio DC u r uu sobre duas barras metálicas AB u r uu e AC u r uu da treliça conforme Figura 311 cuja escala está em metros para tornar a estrutura rígida Essa haste será instalada perpendicularmente à barra AB u r uu Que comprimento ela deverá ter Para responder a esse e outros problemas você precisará calcular a projeção de um vetor sobre outro vetor Vamos lá Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 311 Haste de sustentação em m 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 y D A B x O vetor projvu é denominado projeção de u sobre v ou na direção de v Você pode interpretálo como sendo a sombra que o vetor u faz na direção de v Podemos obter o módulo da projeção utilizando as propriedades do produto escalar Veja como projvuuvv²uv O vetor projj u é denominado projeção de u sobre v ou na direção de v Você pode interpretálo como sendo a sombra que o vetor u faz na direção de v Podemos obter o módulo da projeção utilizando as propriedades do produto escalar Veja como projv u uv v2 v v U3 144 Produto escalar e vetorial 2 Com ângulo θ 90 entre os vetores Figura 314 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 314 Ângulo θ 90 Figura 316 Ângulo 90 180 θ Figura 315 Ângulo θ 180 Observe que quando os vetores são ortogonais a projeção de u na direção de v é um único ponto que está sobre a origem dos vetores Logo a projeção será o vetor nulo 4 Com ângulo obtuso 90 180 θ entre os vetores Figura 316 Esse caso se assemelha bastante àquele em que o ângulo é agudo Há somente uma mudança na interpretação geométrica 3 Com ângulo θ 180 entre os vetores Figura 315 Veja que esse é semelhante ao que o ângulo é de 0 A projeção de u na direção de v é o próprio vetor u 90 v u 180 v u θ proj u AD v r r u r uu u v Projeção sobre um vetor unitário U3 146 Produto escalar e vetorial Projeção de um vetor sobre outro dado o ângulo entre eles Podemos obter o comprimento da projeção de um vetor u sobre um vetor v conhecendo somente o comprimento dos respectivos vetores e o ângulo formado entre eles Para compreender esse cálculo considere a Figura 317 Logo proj u u v v u v v u v cos cos θ θ Exemplificando Determine a projeção do vetor u 1 0 4 na direção de v 1 2 5 Solução Sabemos que proj u u v v v v 2 logo precisamos calcular o produto escalar de u e v u v 1 1 0 2 4 5 21 O módulo de v é dado por v 1 2 5 30 2 2 2 Logo a projeção de u 1 0 4 na direção de v 1 2 5 é proj u v 21 30 1 2 5 2 proj u v 21 30 1 2 5 proj u v 7 10 7 5 7 2 Fonte elaborada pelo autor Figura 317 Projeção de u sobre um vetor v proj u AD v r r u r uu u v θ Exemplificando Calcule o comprimento da projeção do vetor u 153 sobre o vetor v sabendo que o ângulo entre eles é de 60 Solução Calculando o módulo do vetor u temos u 1² 5² 3² 592 Então projv u u cosθ projv u 592 cos 60 projv u 592 05 projv u 296 Logo o comprimento da projeção de u sobre v é de aproximadamente 296 unidades U3 148 Produto escalar e vetorial Fonte elaborada pelo autor Figura 318 Triângulo ABC Observe que h é a altura relativa ao lado BC ou seja é medida da projeção de BA u r uu sobre o vetor v lembre que v é paralelo a AD u r uu Como v BC r u r uu temos que a área do triângulo é A BC proj BA BC BA v v BA v v 1 2 1 2 1 2 u r uu u r uu u r uu u r uu r r u r uu r r Lembre que v BC r u r uu Veja que BA v a b a b b c c b a b b c a b u r uu r 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 c b BA v b c a c b c a c a b a b u r uu r 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 Se você se lembra dos determinantes estudados na Unidade 1 constatará que BA v a a b b c c b c a c b c a c a b a b u r uu r 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 det Portanto a área do triângulo ABC é A BA v a a b b c c 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 u r uu r det Perceba que na expressão anterior nas colunas 1 e 2 dispomos as coordenadas dos vértices do triângulo ABC e na coluna 3 aparecem números 1 A a1 a2 B b1 b2 C c1 c2 v BC r u r uu D h U3 149 Produto escalar e vetorial Assimile Se A a a 1 2 B b b 1 2 e C c c 1 2 são pontos do plano eles serão colineares alinhados se a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 Veja que essa é uma consequência do resultado acima pois nesse caso teríamos um triângulo com área igual a zero Exemplificando Sejam os pontos A 5 3 B 6 4 e C k 2 vértices do triângulo ABC de área 25 ua Determine os possíveis valores de k Sabemos que a área do triângulo é dada por A a a b b c c 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 det Logo temos que 1 2 5 3 1 6 4 1 2 1 25 det k det 5 3 1 6 4 1 2 1 50 k Efetuando os cálculos 20 6 6 8 5 18 50 52 50 52 50 k k k k Portanto k 102 ou k 2 Faça você mesmo Encontre a área do triângulo formado pelos pontos A 15 12 B 9 5 e C 1 1 2 Pesquise mais Aprofunde mais seus conhecimentos sobre projeção de vetores acessando o material disponível em httphostelufabcedubrdaniel mirandalivrosgeometriaanaliticageometriaa5pdf Acesso em 10 ago 2016 A partir da página 111 Sem medo de errar Retomando o problema proposto no início desta seção devemos encontrar o comprimento da haste DC Observe na Figura 310 que a haste AD é a projeção da barra representada pelo vetor AC sobre a barra representada pelo vetor AB A partir da Figura 310 obtemos as coordenadas dos vetores AB e AC AC 5 37 1 26 AB 13 35 1 104 Chamando u AC e v AB temse que O produto escalar de u e v é u v 2 10 6 4 44 O módulo de v é v 10² 4² 116 229 Calculando a projeção de AC sobre AB segue que projv u u v v v² 44 116² 104 44 116 104 11 29 104 110 29 44 29 Logo a haste de sustentação representada por DC terá aproximadamente 4085 metros Um dos funcionários do setor de vendas da siderúrgica em que você trabalha ligou pedindo ajuda para calcular a área de uma chapa de aço em m² que foi solicitada por um cliente Ele precisa desse dado para fornecer o orçamento Segundo ele o cliente disse que a chapa será soldada em uma estrutura que já está fabricada e por isso deve corresponder precisamente a um triângulo determinado pelos vetores u 153 e v 376 E agora qual a área dessa chapa U3 152 Produto escalar e vetorial Logo A 1 2 94 1 280 6205 m² Portanto a área da chapa é aproximadamente 6205 m² Faça valer a pena 1 Considere os vetores u i j k r r r ur 2 3 6 e v i j k r r r ur 3 4 4 Determine a norma da projeção de u sobre v e marque a alternativa que mais se aproxima a 398 b 421 c 506 d 656 e 714 2 Seja um triângulo de vértices A 11 2 B 5 1 3 e C 3 9 3 Calcule as coordenadas do vetor AH u r uu em que H é o pé da altura relativa ao lado BC Depois assinale a alternativa correta a AH u r uu 2 2 1 b AH u r uu 3 11 c AH u r uu 2 5 3 d AH u r uu 1 2 2 e AH u r uu 0 5 1 U3 153 Produto escalar e vetorial 3 Calcule o comprimento da projeção do vetor u 4 1 2 sobre o vetor v dada em metros sabendo que o ângulo entre eles é de 35 Depois assinale a alternativa que contém essa medida a 5671 metros b 2892 metros c 7134 metros d 4225 metros e 3754 metros Produto escalar e vetorial U3 155 Produto escalar e vetorial Seção 34 Produto vetorial e aplicações Olá aluno Você se lembra que na seção anterior estudou sobre projeção de um vetor sobre outro vetor Lembra que aprendeu a calcular a projeção de duas maneiras diferentes e que a representamos de formas diferentes Para isso utilizamos o produto escalar e a norma de um vetor Nesta seção você aprenderá outra operação de produto entre vetores denominada produto vetorial Ela possui diferenças em relação ao produto escalar e importantes aplicações por exemplo na física para definir eletromagnetismo É também utilizada para descrever a Força Lorentz e calcular a normal de um triângulo ou outro polígono o que é importante no ramo da computação gráfica e no desenvolvimento de jogos eletrônicos Na Engenharia Civil especificamente o produto vetorial é aplicado nos cálculos utilizando momentos de força e nas definições de torque e de momento angular Suponha que você ainda trabalhando na metalúrgica se depare com esta situação na composição de robôs da linha de produção é necessária a fabricação de 500 peças de aço sólidas Elas terão formato de paralelepípedo determinado pelos vetores AC u r uu AB u r uu e AE u r uu conforme sugere a Figura 320 cuja escala está em centímetros Diálogo aberto Fonte httpgooglRaeGES Acesso em 28 jul 2016 Figura 320 Representação da peça U3 156 Produto escalar e vetorial Essa imagem foi gerada por um dos projetistas da empresa em um software de computador e agora cabe a você determinar o volume de aço necessário para construir as peças Vamos lá Note que os produtos vetoriais a b e b a possuem sentidos opostos como na Figura 322 logo temos que a b b a Produto vetorial Considere dois vetores a e b Dizemos que o produto vetorial entre esses vetores representado por a b é um vetor com as seguintes características 1 O módulo de a b é a b a b sen θ em que θ é o ângulo entre a e b 2 A direção do vetor resultante do produto a b é ortogonal ao plano que contém a e b 3 O sentido desse vetor é dado pela regra da mão direita Regra da mão direita A regra da mão é usada para indicar o sentido do vetor a b O indicador se posiciona na direção de a o dedo médio na direção de b e o produto vetorial a b terá o sentido do polegar como na Figura 321 Não pode faltar Fonte httpgoogl7pVfN2 Acesso em 15 ago 2016 Figura 321 Regra da mão direita Figura 323 Multiplicação dos versores Para multiplicar i por j ou seja efetuar i j utilizaremos as características apresentadas anteriormente 1 O módulo de i j é i j sen90 1 1 1 1 2 A direção do vetor resultante do produto i j é ortogonal ao plano que contém i e j ou seja tem a direção do eixo z 3 O sentido desse vetor é dado pela regra da mão direita Observando a Figura 323 o vetor i j terá o mesmo sentido que o vetor k U3 159 Produto escalar e vetorial Utilizando os produtos entre versores temos a b x x x y k x z j x y k y y y z i x r r r ur r ur r r 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 0 0 z j y z i z z 1 2 1 1 20 r r r Pela propriedade comutativa a b x y k x z j x y k y z i x z j y z i r r ur r ur r r r 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 y z i y z i x z j x z j x y k x y k 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 r r r r ur ur a b y z i y z i x z j x z j x y k x y k y z y z r r r r r r ur ur 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 i x z x z j x y x y k r r ur Observe que a expressão anterior também é obtida fazendo o determinante a b i j k x y z x y z r r r r ur 1 1 1 2 2 2 Atenção Utilizar a palavra determinante para a expressão anterior não é formalmente correto visto que o determinante é para matrizes contendo números ou escalares Contudo o abuso na terminologia é cometido por diversos autores e permite organizar os elementos de um modo fácil de memorizar Exemplificando Sejam a 1 5 2 e b 3 4 0 determine a b Solução Para determinar o produto vetorial a b utilizamos a expressão a b i j k x y z x y z r r r r ur 1 1 1 2 2 2 Substituindo os valores dados temos a b i j k j k i k r r r r ur r r ur r r ur 1 5 2 3 4 0 0 6 4 8 0 15 Logo a b i j k r r r r ur 8 6 19 U3 160 Produto escalar e vetorial Área do paralelogramo Sejam os vetores a e b formando o paralelogramo da Figura 324 Fonte elaborada pelo autor Figura 324 Paralelogramo De acordo com a Figura 324 constatase que o paralelogramo é dividido em dois triângulos iguais e formados pelos vetores a e b Sabemos que a área de um triângulo é A base altura t 2 Na Figura 324 a base é a e a altura é dada por h b sen θ Logo a área do paralelogramo é dada por A a b sen a b sen p 2 2 θ θ Que é o módulo do produto vetorial a b Assimile A área Ap de um paralelogramo determinado por dois vetores a e b é igual ao módulo do produto vetorial ou seja A a b p Além disso a área At do triângulo determinado por esses mesmos dois vetores é metade desse valor ou ainda A a b t 2 θ h 90 a b Exemplificando Calcule a área do paralelogramo em m² cujos vetores a 307 e b 251 são dois lados consecutivos desse paralelogramo Solução Sabemos que a área do paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial dos vetores que compõem dois lados consecutivos desse polígono Calculando primeiramente o produto temos a b i j k 3 0 7 2 5 1 0 14j 15k 3i 3j 0 3i 11j 15k Agora calculamos o módulo A p a b 35² 11² 15² 39636 m² Logo a área do paralelogramo é de aproximadamente 39636 m² U3 162 Produto escalar e vetorial Exemplificando Considere os vetores a i j k r r r ur 7 5 2 b i j k r r r ur 2 3 4 e c i j k r r r ur 3 Calcule o produto misto a b c Resolução Para calcular o produto misto usamos a expressão a b c x y z x y z x y z 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Substituindo os valores dados a b c 7 5 2 2 3 4 1 3 1 21 20 12 6 84 10 129 Logo a b c 129 Reflita O produto misto pode ser utilizado para calcular o volume de sólidos como o paralelepípedo e o tetraedro O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u v e w ur é igual ao módulo do produto vetorial Fonte elaborada pelo autor Figura 325 Volume do paralelepípedo u v w r r ur v u w ur Vp Portanto o volume de uma peça é 42 cm³ Desse modo o volume total de aço a ser utilizado na produção das peças é 500 42 cm³ 21000 cm³ ou ainda 0021 m³ Portanto o volume de uma peça é 42 cm³ Desse modo o volume total de aço a ser utilizado na produção das peças é 500 x 42 cm³ 21000 cm³ ou ainda 0021 m³ U3 165 Produto escalar e vetorial Faça valer a pena 1 Podemos afirmar que a área do paralelogramo em m² cujos vetores a 9 0 1 e b 0 3 4 são dois lados consecutivos desse paralelogramo é aproximadamente a 6871 b 4512 c 3789 d 5643 e 2681 2 Considere os vetores a 2 3 5 b 0 1 4 e c 4 0 5 Podemos afirmar que o produto misto a b c a b c é igual a a 89 b 26 c 78 d 74 e 67 3 Seja o paralelepípedo formado a partir dos vetores u 2 3 0 v 0 4 3 e w ur 11 3 O volume desse paralelepípedo em m³ é a 18 m³ b 19 m³ c 20 m³ d 21 m³ e 22 m³ U3 U3 167 Produto escalar e vetorial Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 BOLDRINI J L et al Álgebra linear 3 ed São Paulo Harbra 1980 CALLOLI C A et al Álgebra linear e aplicações 4 ed São Paulo Atual 1983 CAMARGO Ivan de BOULOS Paulo Geometria analítica um tratamento vetorial 3 ed São Paulo Prentice Hall 2005 COELHO F U LOURENÇO M L Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 POOLE David Álgebra linear uma introdução moderna 2 ed São Paulo Cengage Learning 2016 SANDOVAL JUNIOR Leonidas Álgebra linear para ciências econômicas contábeis e da administração São Paulo Cengage Learning 2010 STRANG Gilbert Álgebra linear e suas aplicações 4 ed São Paulo Cengage Learning 2014 VENTURI Jacir J Álgebra vetorial e geometria analítica 10 ed Curitiba Livrarias Curitiba 2015 242 p Disponível em httpwwwgeometriaanaliticacombrlivros avpdf Acesso em 11 jul 2016 U4 Unidade 4 Olá aluno Para iniciar mais uma unidade de ensino primeiramente vamos entender a importância deste conteúdo Um renomado filósofo francês chamado René Descartes em 1637 escreveu em seu livro Discurso sobre o método que a Álgebra e a Geometria poderiam ser vistas e estudadas juntas coisa que até então não era usual Nesse livro ele trabalha com a Álgebra e a Geometria simultaneamente mostrando a grande aplicabilidade da Geometria Analítica Por conta dessa obra ele é visto por muitos como o precursor o pai da Geometria Analítica A Geometria Analítica GA trabalha num plano coordenado também chamado de cartesiano em homenagem à Descartes Os conhecimentos de Geometria Analítica são muito utilizados na Física e na Engenharia e são base de estudos de muitas áreas modernas da Geometria como a Geometria Diferencial e a Geometria Computacional Existem outros grandes matemáticos que também são considerados fundadores da Geometria Analítica o grego Menecmo o persa Omar Khayyám e os franceses François Viète e Pierre de Fermat Todos têm relevantes trabalhos na área da Geometria que contribuíram para que fosse dado como muitos chamam o passo decisivo de Descartes Nesta unidade veremos importantes tópicos da GA como equações de retas e planos Convite ao estudo Equações de retas e planos U4 170 Equações de retas e planos Você se lembra de ter trabalhado na unidade anterior numa siderúrgica Pois então suponhamos que você tenha ido muito bem nessa atividade e tenha montado agora um negócio na área de construção civil Na sua empresa você terá que executar vários trabalhos como instalação de andaimes placas de luz solar estruturas de galpões entre outros Para realizar esses serviços você deverá conhecer muito de retas planos ângulos formados entre eles etc É hora de veremos todos esses conteúdos e as suas aplicações U4 171 Equações de retas e planos Seção 41 Equação vetorial de uma reta A equação de uma reta é de suma importância nos cálculos matemáticos e na Engenharia Ela ajuda a definir se os pontos estão alinhados e a encontrar um ponto diferente que esteja na direção desejada Por meio da equação geral da reta podemos determinar infinitos pontos que pertencem a ela e calcular seu coeficiente angular que fornece o grau de inclinação Em relação à Engenharia ela pode ajudar a definir se os pilares estão alinhados a inclinação de uma viga e muitos outros casos Por todas essas aplicações é a equação geral da reta que vai ajudálo na situação seguinte suponha que sua empresa precise fazer uma instalação de placas solares em uma casa Para tanto cabe a você determinar o ângulo da inclinação da placa para fazer a programação correta da captação de energia Analisando a placa lateralmente você pôde determinar que a 15 cm de sua base ela tem 68 cm de altura e que a 40 cm de sua base ela está a 168 m como mostra a Figura 41 Diálogo aberto Fonte httpsgooglLyMfRl Acesso em 23 ago 2016 Figura 41 Placa solar U4 172 Equações de retas e planos Você precisa calcular o ângulo de inclinação da placa Para isso deverá conhecer a equação da reta e também saber como determinar o coeficiente angular Para resolver a situação descrita e outras situaçõesproblema que possam existir precisamos de alguns conceitos importantes como equação geral da reta e ângulo formado entre duas retas Equação vetorial da reta Sejam r uma reta que passa pelo ponto P x y z 0 0 0 e um vetor v a b c Sabemos devido a um axioma conhecido como Axioma de incidência que só existe uma reta que passa pelo ponto P e tem a mesma direção do vetor v Um ponto Q x y z pertencerá à reta r se e somente se PQ tv u r uu r para algum t pertencente aos números reais Como PQ Q P u r uu temos que Q P tv Q P tv Substituindo temos x y z x y z t a b c 0 0 0 que é chamada de equação vetorial da reta Não pode faltar Assimile O vetor v é o vetor diretor da reta r e t é o parâmetro da equação Exemplificando A reta r passa pelo ponto B 235 e tem a direção do vetor v 1 1 3 Qual é a equação vetorial da reta r Solução Para encontrar a equação da reta basta substituirmos os valores dados x y z t 2 3 5 1 1 3 Para encontrar pontos dessa reta basta atribuir valores para t Por exemplo Para t P 1 2 3 5 1 1 1 3 3 2 8 1 Para t P 2 2 3 5 2 1 1 3 4 111 2 U4 173 Equações de retas e planos Equações paramétricas da reta Quando conhecemos apenas uma coordenada da reta r e precisamos determinar as outras coordenadas utilizamos as equações paramétricas Para compreendêlas seja a equação vetorial de uma reta x y z x y z t a b c 0 0 0 Multiplicando o vetor a b c por t temos x y z x t a y t b z t c 0 0 0 Pela igualdade entre os pontos temos que x x t a y y t b z z t c 0 0 0 Essas são as equações paramétricas da reta r Exemplificando Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A 468 e B 2 1 3 Solução Primeiro determinamos o vetor AB B A u r uu AB u r uu 2 1 3 4 6 8 2 7 11 Escolhendo o ponto A e tendo o vetor v AB r u r uu temos as equações x t y t z t 4 2 6 7 8 11 Faça você mesmo Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo pontos A 2 5 9 e B 10 7 4 atribua os valores t1 1 e t2 3 e encontre os pontos P A t v 1 1 e P A t v 2 2 U4 174 Equações de retas e planos Equações simétricas da reta Isolando o parâmetro t nas equações paramétricas temos x x t a t x x a y y t b t y y b z z t c t z z c 0 0 0 0 0 0 Como o valor de t é o mesmo em ambas as equações anteriores podemos igualá las encontrando as equações simétricas da reta x x a y y b z z c 0 0 0 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 42 Reta com c 0 Figura 43 Reta paramétrica com a 0 e b 0 U4 175 Equações de retas e planos Fonteelaborada pelo autor Figura 44 Equação da reta Casos particulares 1 Se um dos denominadores é nulo a reta é paralela ao plano que contém os outros eixos Por exemplo se c 0 a reta é paralela ao plano xy e sua equação será z z x x a y y b 0 0 0 com a 0 e b 0 2 Se dois dos denominadores são nulos a reta é paralela ao eixo cujo denominador é diferente de zero Por exemplo se a 0 e b 0 então a reta é paralela ao eixo z e terá a equação x x y y z z c t 0 0 0 com c 0 Equação simétrica da reta por dois pontos Sejam uma reta r e dois pontos dessa reta P x y z 1 1 1 1 e P x y z 2 2 2 2 além de um ponto genérico P x y z A equação simétrica da reta é dada por x x x x y y y y z z z z 1 2 1 1 2 1 1 2 1 Equação da reta determinada por dois pontos no plano Sejam dois pontos distintos A e B Podemos determinar a equação da reta que passa por esses pontos Observe a Figura 44 x y 1 1 x y 2 2 U4 176 Equações de retas e planos Isolando o triângulo formado na Figura 44 e calculando a tangente do ângulo θ formado vide Figura 45 temos tg y y x x θ 2 1 2 1 Tomando tg θ m em que m é chamado de coeficiente angular da reta e ajeitando a equação temos y y m x x 2 1 2 1 Se um ponto P xy pertence a essa reta temos que y y m x x y y m x m x m x y y m x a b c 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 44 3 44 ax by c 0 Essa é a denominada equação geral da reta no plano Fonte elaborada pelo autor Figura 45 Triângulo retângulo Exemplificando Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A 1 4 e B 2 5 Solução Primeiro substituímos os pontos dados para encontrar o coeficiente angular 5 4 2 1 1 3 m m U4 177 Equações de retas e planos Depois escolhemos qualquer um dos pontos e junto com o coeficiente angular encontramos a equação da reta y x x y 4 1 3 1 3 13 0 Reflita Você pode escolher qualquer um dos pontos A ou B e substituir suas coordenadas no lugar de x y 1 1 ou x y 2 2 que a equação da reta obtida será a mesma Além disso se ax by c 0 é a equação da reta r k ax k by k c 0 também o é para todo k 0 Podemos encontrar a equação da reta por meio de um determinante Como já vimos nas unidades anteriores uma das aplicações do determinante é a condição de alinhamento de pontos ou seja se o determinante contendo as coordenadas de três pontos for nulo então esses pontos estarão alinhados sobre uma mesma reta Portanto se a reta r passa pelos pontos A x y 1 1 e B x y 2 2 um ponto P x y pertencerá a ela se x y x y x y 1 1 1 0 1 1 2 2 Exemplificando Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A 5 4 e B 6 2 Solução Substituindo as coordenadas dos pontos temos x y 1 5 4 1 6 2 1 0 Calculando o determinante e igualando a zero obtemos a equação da reta 4 6 10 24 5 2 0 x y y x U4 178 Equações de retas e planos Logo a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é 6 34 0 x y Assimile Quando temos a equação geral da reta ax by c 0 para encontrar o coeficiente angular m basta usarmos a expressão m a b coeficiente angular Ângulo entre retas Sejam r e s duas retas distintas que se interceptam formando o ângulo θ entre elas como mostra a Figura 46 Sendo θ o menor ângulo formado pelas retas r e s para calcular esse ângulo usamos a expressão tg m m m m r s r s θ 1 em que mr é o coeficiente angular da reta r e ms é o coeficiente angular da reta s Podemos justificar a fórmula anterior por meio da geometria plana e da trigonometria como na Figura 47 Fonte elaborada pelo autor Figura 46 Retas formando o ângulo θ U4 179 Equações de retas e planos Fonte elaborada pelo autor Figura 47 Ângulo θ entre duas retas Observe que θ1 é um ângulo externo do triângulo formado pelas retas r e s e o eixo x Logo ele é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele ou seja θ θ θ θ θ θ 1 2 1 2 Como já visto temos que m r tg θ2 e m s tg θ1 Como θ θ θ 1 2 então tg tg θ θ θ 1 2 Usando a trigonometria tg tg tg tg tg tg θ θ θ θ θ θ θ 1 2 1 2 1 2 1 Substituindo m r tg θ2 e m s tg θ1 e colocando o módulo para garantir o menor ângulo formado pelas retas temos tg m m m m r s r s θ 1 como queríamos demonstrar Caso as retas tenham equações simétricas no espaço então o ângulo formado entre elas é dado pela expressão cosθ r r r r 1 2 1 2 ur ur ur ur em que r1 ur e r2 ur são os vetores diretores das duas retas respectivamente Exemplificando Sejam as retas r 3 5 11 0 x y e s x y 4 9 0 Encontre o menor ângulo formado por elas U4 180 Equações de retas e planos Solução Primeiro vamos encontrar o coeficiente angular das retas m a b r 3 5 0 6 e m a s b 1 4 0 25 Depois substituiremos esses valores na expressão tg m m m m r s r s θ 1 0 6 0 25 1 0 6 0 25 1 Logo o ângulo θ é o ângulo entre as retas r e s cuja tangente vale 1 Portanto θ 45 Faça você mesmo Sejam uma reta r que passa pelos pontos A 2 9 e B 1 3 e outra reta s distinta que passa pelos pontos C 0 4 e D 5 2 Encontre o menor ângulo formado por elas Pesquise mais Acesse o seguinte material e aprofunde seus conhecimentos sobre equações da reta MIRANDA Daniel GRISI Rafael LODOVICI Sinuê Geometria analítica e vetorial Disponível em httpgradmatufabcedubrdisciplinaslistas ganotasdeaulasgeometriaanaliticaevetorialSGDpdf Acesso em 5 ago 2016 Retomando o problema proposto inicialmente lembrese de que você precisa calcular a inclinação da placa instalada pela sua empresa Para isso primeiramente você precisa encontrar a equação da reta que serve como suporte para a sua placa A Figura 41 mostra que vista lateralmente a placa pode ser entendida como uma reta que passa pelos pontos 15 0 68 e 40 0 168 Para determinarmos a equação da reta que passa por esses pontos o primeiro AB u r uu 40 0 168 15 0 68 25 0 100 Sem medo de errar Escolhendo o ponto A e tendo o vetor v AB temos as equações paramétricas x 15 25t r y 0 z 68 100t Como y 0 a reta está sobre o plano xz e sua sombra ou projeção sobre o plano horizontal xy é a reta s 000 k i com k Portanto o ângulo formado entre as retas é o mesmo formado entre os seus vetores diretores a saber cosθ AB i AB cosθ 250100 100 25² 0² 100²1² 0² 0² 25 1 0 0 100 0 225 10000 cosθ 25 101119 cosθ 0247 θ arccos 0247 757 Sendo assim o ângulo de inclinação da placa é de aproximadamente 757 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com as seus colegas Vigas estruturais 1 Competências Conhecer os conceitos e os fundamentos da geometria analítica e da álgebra vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer as diferentes equações da reta e como determinálas Calcular a inclinação da reta 3 Conteúdos relacionados Sistemas determinantes plano cartesiano proporção 4 Descrição da situaçãoproblema Para montar uma casa no estilo enxaimel casas típicas de Joinville Santa Catarina sua empresa instalou duas vigas de madeira para montar o telhado A primeira passa pelo ponto A 14 e B 3 8 Já a segunda pelos pontos C 2 4 e B 1 11 Você precisa determinar o ângulo externo entre as vigas para poder instalar o telhado e proprietário restante da casa Qual seria esse ângulo U4 182 Equações de retas e planos 5 Resolução da situaçãoproblema Para determinarmos a equação das retas suportes das vigas que passam por esses pontos podemos utilizar a expressão x y x y x y 1 1 1 0 1 1 2 2 Para a primeira viga substituindo os pontos dados e calculando o determinante temos x y x y y x 1 1 4 1 3 8 1 0 4 3 8 12 8 0 Ou seja a equação da reta que representa a viga é 3 1 0 x y e o seu coeficiente é m1 3 Para a segunda viga substituindo os pontos dados e calculando o determinante temos x y x y y x 1 2 4 1 1 11 1 0 4 22 2 4 11 0 Ou seja a equação da reta que representa a viga é 5 6 0 x y e o seu coeficiente é m2 5 Para determinar o ângulo entre as duas retas usamos a expressão tg m m m m r s r s θ 1 Substituindo os coeficientes temos tg arctg θ θ 3 5 1 3 5 0 571 0 571 29 745 Portanto o ângulo entre as retas é de aproximadamente 29745 Faça valer a pena 1 A reta de equação y kx 2 passa pelo ponto k 6 Sabendo que esse ponto está no quarto quadrante qual é o valor de k a 2 b 7 c 2 2 d 4 e 6 U4 183 Equações de retas e planos 2 Considere no plano cartesiano o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação 12x 5y 60 Qual é a área desse triângulo em m² a 20 m² b 30 m² c 40 m² d 50 m² e 60 m² 3 Seja a reta r de coeficiente angular 10 que intercepta o eixo y em um ponto de ordenada k Já a reta s de coeficiente angular 9 intercepta o eixo y em um ponto de ordenada l Se as retas r e s interceptamse em um ponto de abscissa 6 então qual é o valor aproximado de k a 09l b 54l c 6l d 059l e 6l U4 185 Equações de retas e planos Seção 42 Equação geral do plano Olá aluno Você se lembra de que na seção anterior estudou equações da reta e ângulo entre duas retas Você precisou calcular o ângulo em que iria instalar uma placa de energia Esperamos que tenha percebido que em muitas situações como essa você utilizará equações da reta e o ângulo entre elas Suponha agora que sua empresa vai construir uma casa e precisa determinar a interseção de duas paredes como na Figura 48 Ao olhar a planta você percebe que a primeira parede é um plano que passa pelos pontos A 1 0 2 B 4 1 3 e C 3 5 1 Já em relação à segunda parede você tem a equação do plano que a contém 3 6 8 1 0 x y z Para determinar a interseção dessas duas paredes você precisará de alguns conceitos Vamos lá Diálogo aberto Fonte elaborada pelo autor Figura 48 Planos secantes U4 186 Equações de retas e planos Para resolver a situação descrita e outras situaçõesproblema que possam existir precisamos de alguns conceitos importantes Equação geral do plano Sejam P x y z 0 0 0 0 um ponto pertencente ao plano α e n a b c ur um vetor normal ao plano Tome um ponto genérico do plano P x y z como na Figura 49 Como n ur é normal ao plano e P α temos que n P P n P P ur u r uuu ur u r uuu 0 0 0 Portanto temos a b c x x y y z z 0 0 0 0 Dessa forma obtemos a equação geral do plano a x x b y y c z z 0 0 0 0 ou ax by cz d 0 em que d ax by cz 0 0 0 Essa mesma equação também pode ser obtida se tivermos dois pontos P x y z 0 0 0 0 e P x y z 1 1 1 1 e um vetor u u u u 1 2 3 x x y y z z x x y y z z u u u 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 2 3 0 Fonte elaborada pelo autor Figura 49 Plano α e vetor n a b c ur Não pode faltar ou até mesmo com três pontos P0x0y0z0 P1x1y1z1 e P2x2y2z2 como na Figura 410 xx0 yy0 zz0 x0x1 y0y1 z0z1 0 x1x2 y1y2 z1z2 Fonte elaborada pelo autor Figura 410 Plano determinado por P0 P1 e P2 Fonte elaborada pelo autor Equação vetorial do plano Figura 411 Plano determinado por P0 u e v Fonte elaborada pelo autor Seja α um plano que contém o ponto P0x0y0z0 e é paralelo aos vetores u u1u2u3 e v v1v2v3 com u e v não paralelos O ponto Pxyz pertencerá ao plano α se e somente se os vetores P0P u e v forem coplanares estiverem no mesmo plano como na Figura 411 Nesse caso o determinante calculado com as coordenadas desses três vetores é nulo ou seja xx0 yy0 zz0 u1 u2 u3 0 v1 v2 v3 Como os vetores P0P u e v devem ser coplanares o plano α também pode ser representado pela equação vetorial do plano xyz P0 tv hu com th ℝ U4 188 Equações de retas e planos Exemplificando Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos A 6 1 5 B 3 0 4 e C 11 3 Solução Para encontrar a equação do plano basta substituirmos os valores dados x x y y z z x x y y z z x x y y z z 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 2 x y z x y z 6 1 5 6 3 1 0 5 4 3 1 0 1 4 3 6 1 5 3 1 9 2 1 1 0 x z y z x y 6 3 15 18 18 2 10 9 54 3 3 0 Logo a equação do plano é 8 21 5 44 0 x y z Observe que a 8 b 21 c 5 e d 44 Reflita Um ponto P x y z 0 0 0 0 pertencerá ao plano se satisfizer a equação ax by cz d 0 quando substituímos os valores de suas coordenadas ou seja ax by cz d 0 0 0 0 Assimile Para determinar a interseção do plano com os eixos coordenados igualamos duas das coordenadas a zero Interseção com o eixo x y z 0 Interseção com o eixo y x z 0 Interseção com o eixo z x y 0 U4 189 Equações de retas e planos Equação segmentária do plano Para determinar a equação segmentária suponha um plano α como na Figura 412 O plano α intercepta os eixos nos pontos P p 0 0 Q 0 0 q e R 0 0 r Substituindo as coordenadas dos pontos na equação do plano temos Para o ponto P p ap b c d p d a 0 0 0 0 0 Para o ponto Q 0 0 0 0 0 q a b q c d q d b Fonte elaborada pelo autor Figura 412 Equação segmentária do plano Para o ponto R 0 0 0 0 0 r a b c r d r d c Agora na equação geral ax by cz d 0 dividindo tudo por d temos ax d by d cz d d d x d a y d b z d c 0 1 Substituindo por p q e r temos a equação segmentária do plano x p y q z r 1 Exemplificando Obtenha a equação segmentária do plano de equação geral 5 10 8 40 0 x y z Solução Para encontrar a equação segmentária do plano primeiro isolamos d e depois dividimos toda a equação por d 5 10 8 40 0 5 10 8 40 x y z x y z U4 190 Equações de retas e planos Fonte elaborada pelo autor Dividindo ambos os lados por d 40 temos 5 40 10 40 8 40 40 40 x y z Logo a equação segmentária do plano é x y z 8 4 5 1 Faça você mesmo Encontre a equação geral e segmentária do plano que passa pelos pontos A 9 1 3 B 1 3 4 e C 2 1 5 Equação do plano que passa por um ponto e é ortogonal a um vetor Figura 413 Plano que passa por e é ortogonal a P0 u Sejam um ponto P x y z 0 0 0 0 pertencente ao plano α e um vetor u a b c ortogonal ao plano α como na Figura 413 Tomando um ponto P x y z qualquer de α temos P P x x y y z z 0 0 0 0 u r uuu x x i y y j z z k 0 0 0 r r ur Os vetores P P 0 u r uuu e u são ortogonais portanto seu produto escalar é nulo P P u a x x b y y c z z 0 0 0 0 0 u r uuu r ax by cz ax by cz 0 0 0 0 Fazendo ax by cz d 0 0 0 temos a equação do plano procurada ax by cz d 0 Reflita Note que a b e c são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano ou ainda normal ao plano α U4 191 Equações de retas e planos Exemplificando Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A 1 4 5 e é ortogonal ao vetor u 3 1 4 Solução Primeiro vamos substituir as coordenadas do vetor na equação do plano ax by cz d x y z d 0 3 1 4 0 Agora como Aα temos 3 1 1 4 4 5 0 21 d d Logo a equação do plano procurada é 3 4 21 0 x y z Posições relativas entre planos Fonte elaborada pelo autor Figura 414 Planos paralelos Sejam os planos e Esses planos podem ser paralelos ortogonais secantes ou coincidentes Veja como Planos paralelos Sejam os planos α ax by cz d 0 e λ a x b y c z d 1 1 1 1 0 dizemos que α e λ são paralelos se e somente se a a b b c c 1 1 1 Em particular os planos α e λ serão coincidentes se a a b b c c d d 1 1 1 1 α ax by cz d 0 λ a x b y c z d 1 1 1 1 0 U4 192 Equações de retas e planos Planos ortogonais Para os planos α ax by cz d 0 e λ a x b y c z d 1 1 1 1 0 dizemos que α e λ são ortogonais se e somente se aa bb cc 1 1 1 0 Fonte elaborada pelo autor Figura 415 Planos ortogonais Exemplificando Determine m e n para que os planos 3 8 2 14 0 x y z e m x y n z 2 6 1 12 0 sejam paralelos Solução Para que os planos sejam paralelos devemos ter a a b b c c 1 1 1 Substituindo os valores dados 3 2 8 6 2 1 m n Da primeira igualdade segue 8 16 18 17 4 m m Da segunda 8 8 12 5 2 n n Portanto m 17 4 e n 5 2 Fonte elaborada pelo autor Figura 416 Planos secantes U4 193 Equações de retas e planos Planos secantes Os planos secantes têm como interseção uma reta Um par de planos será secante quando eles não forem paralelos e isso inclui o caso em que os planos são ortogonais Dados dois planos secantes tendo posse de suas equações interessanos saber a equação da reta que corresponde à interseção deles Para determinála podemos proceder da seguinte forma Sejam os planos α a x b y c z d 1 1 1 1 0 e λ a x b y c z d 2 2 2 2 0 A interseção dos planos α e λ é uma reta que é obtida resolvendo o sistema a x b y c z d a x b y c z d 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 nas variáveis x y e z Planos coincidentes Dizemos que α e λ são coincidentes se a a 1 2 b b 1 2 c c 1 2 e d d 1 2 Exemplificando Encontre a equação da interseção dos planos α1 5 2 7 0 x y z e α2 3 3 4 0 x y z Solução Para encontrar a equação da reta que é a interseção desses dois planos devemos resolver o sistema 5 2 7 0 3 3 4 0 x y z x y z Temos duas equações e três variáveis logo temos um sistema indeterminado Para resolver esse sistema vamos atribuir um valor qualquer genérico para x Fazendo x λ vamos resolver o sistema 1 Multiplicando a primeira equação por 1 e somando com a segunda equação temos 2 3 0 2 3 λ λ y y 2 Tomando o mesmo sistema e multiplicando agora a primeira equação por 3 a segunda equação por 2 e somandoas obtemos 9 13 0 9 13 λ λ z z U4 194 Equações de retas e planos Ângulo entre dois planos Sejam os planos α1 1 1 1 1 0 a x b y c z d e α2 2 2 2 2 0 a x b y c z d e os vetores u a i b j c k r r r ur 1 1 1 e v a i b j c k r r r ur 2 2 2 vetores normais aos planos α1 e α2 respectivamente Logo a equação da reta que é a interseção dos planos α1 e α2 é r x y z λ λ λ 2 3 9 13 ou seja os pontos que pertencem a essa reta são do tipo λ λ λ 2 3 9 13 Fonte adaptado de httpsgooglbQNUPa Acesso em 30 ago 2016 Figura 417 Ângulo entre dois planos O ângulo θ formado pelos planos α1 e α2 como na Figura 417 é dado por cos cos θ θ u v u v a a b b c c a b c a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Observe que essa fórmula advém do produto escalar com a especificidade de considerarmos sempre o menor ângulo formado entre os planos 0 90 θ por isso usase u v ao invés de u v no numerador da razão que fornece o cosseno do ângulo U4 195 Equações de retas e planos Faça você mesmo Encontre o ângulo θ formado entre os planos α1 7 3 2 0 x y z e α2 sabendo que o plano α2 passa pelos pontos A 1 0 5 B 2 1 3 e C 3 1 4 Pesquise mais Acesse o seguinte artigo e aprofunde seus conhecimentos sobre equações do plano CRUZ Luiz Francisco da Plano In Cálculo vetorial e geometria analítica cap 6 Disponível em httpwwwpfcunespbrlfcruzGA CAP06pdf Acesso em 20 ago 2016 Retomando o problema proposto inicialmente lembrese de que você precisa calcular a equação da reta que representa a interseção de dois planos mas para isso primeiro você precisa encontrar a equação de um dos planos visto que a outra é conhecida Considere α1 o plano que passa por A 1 0 2 B 4 1 3 e C 3 5 1 e o plano α2 3 6 8 1 0 x y z Para determinarmos a equação de α1 podemos utilizar a expressão Substituindo as coordenadas dos pontos dados e calculando o determinante temos x y z x y z 1 0 2 1 4 0 1 2 3 4 3 1 5 3 1 1 2 3 1 1 1 6 2 0 2 2 18 36 2 6 6 6 0 x y z z y x Logo a equação do plano α1 é 4 5 17 30 0 x y z Para encontrar a equação da reta que é a interseção desses dois planos devemos resolver o sistema 3 6 8 1 0 4 5 17 30 0 x y z x y z Sem medo de errar x x y y z z x x y y z z x x y y z z 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 2 0 Temos duas equações e três variáveis logo temos um sistema indeterminado Para resolver esse sistema vamos atribuir um valor qualquer para x Fazendo x λ temos 1 Multiplicando a primeira equação por 17 a segunda equação por 8 e somando obtemos 83λ142y2570 y 83λ257142 2 Tomando o mesmo sistema e multiplicando agora a primeira equação por 5 a segunda equação por 6 e somandoas obtemos 9λ142z1750 z 9λ175142 Logo a equação da reta que é a interseção dos planos α1 e α2 é r x λ y 83λ 257142 z 9λ 175142 ou seja os pontos que pertencem a essa reta são do tipo λ 83λ 257142 9λ 175142 com λ ℝ U4 197 Equações de retas e planos Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com as de seus colegas Planos inclinados 1 Competências Conhecer os conceitos e fundamentos da geometria analítica e da álgebra vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Determinar o ângulo entre dois planos 3 Conteúdos relacionados Equação do plano e ângulos entre planos 4 Descrição da situaçãoproblema Um engenheiro instalou duas pequenas placas planas dentro de uma máquina de maneira que ambas não sejam paralelas Ele precisa determinar o ângulo entre essas placas A primeira tem equação 3 1 0 x y z e a segunda equação 6 2 4 7 0 x y z ambas obtidas com base no esboço tridimensional do projeto feito em computador Qual é o ângulo encontrado pelo engenheiro 5 Resolução da situaçãoproblema Primeiramente ele precisa considerar os vetores u 3 11 e v 6 2 4 normais às placas 1 e 2 respectivamente Depois determinar u v u v e o cosseno do ângulo θ entre eles cos cos cos θ θ θ u v u v 12 3 317 7 483 0483 Logo θ é o arco cujo cosseno é de aproximadamente 0483 ou seja θ arccos 0 483 e θ é de aproximadamente 61118 Dessa forma as placas formam entre si um ângulo aproximado de 61118 u v 3 6 1 2 1 4 12 12 u 3 1 1 2 2 2 3317 v 6 2 4 2 2 2 7483 U4 198 Equações de retas e planos Faça valer a pena 1 Qual é a equação geral do plano que passa pelo ponto A 2 1 2 e é perpendicular à reta de equação x t y t z t 4 3 1 2 a 3 2 6 0 x y z b 2 2 8 0 x y z c 7 6 1 0 x y z d x y z 4 8 0 e 6 3 0 x y z 2 Qual é a equação do plano que passa pelos pontos A 2 1 1 B 0 11 C 1 2 1 a x y z 6 0 b x y z 2 11 0 c 3 9 1 0 x y z d x y z 3 8 0 e 3 2 3 0 x y z 3 Sejam os planos α1 2 7 0 x my z e α2 4 5 3 2 0 x y z Qual são os valores de m para que o ângulo entre os planos seja de 30 a m 4 e m 3 b m 1 e m 7 c m 9 e m 8 d m 5 e m 2 e m 0 e m 6 U4 199 Equações de retas e planos Seção 43 Distância entre dois pontos Olá aluno Na seção anterior você estudou sobre planos Você encontrou as diferentes equações do plano o ângulo entre dois planos e a interseção entre eles Nesta seção você vai aprender a calcular a distância entre dois pontos e entre ponto e reta Suponha que sua empresa esteja terminando de montar a casa que você começou a construir na seção anterior Para fazer uma instalação elétrica você precisa determinar o tamanho do fio a ser usado e calcular o orçamento para o seu cliente O fio a ser instalado sairá de um ponto de sua parede até uma viga de madeira Na ocasião de realizar essa verificação você estava sem sua trena mas por meio de cálculos você conseguiu determinar que a viga passava pelos pontos A 10 12 e B 9 18 e que o ponto de onde partirá o fio é P 8 6 O comprimento do fio é medido em metros e cada metro custa R 3856 Sabendo que na instalação a ser feita você gastará 20 a mais de fio do que o comprimento real qual será o orçamento a passar ao seu cliente Para calcular a distância do fio e fazer o orçamento você vai precisar saber alguns conceitos Vamos lá Diálogo aberto U4 200 Equações de retas e planos Distância entre dois pontos Sejam os pontos P x y 1 1 1 e P x y 2 2 2 Para calcular a distância entre os pontos P1 e P2 aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo da Figura 418 Observe que o triângulo P AP 1 2 é retângulo em A e que seus catetos são P A x x 1 2 1 e P A y y 2 2 1 Aplicando o teorema de Pitágoras temos que d x x y y 2 2 1 2 2 1 2 d x x y y 2 1 2 2 1 2 Fonte elaborada pelo autor Figura 418 Distância entre dois pontos Não pode faltar Exemplificando Encontre a distância em metros entre os pontos A 5 7 e B 3 8 Solução Utilizando a fórmula d x x y y 2 1 2 2 1 2 e substituindo os valores dados temos d d 3 5 8 7 4 225 2 2 Logo a distância entre os pontos A e B é d 229 m ou de aproximadamente 15133 m Distância entre dois pontos no R³ U4 202 Equações de retas e planos Observe a Figura 419 Nela temos o segmento de comprimento PP 1 2 com P x y 1 1 1 e P x y 2 2 2 Seja um ponto P x y que divide o segmento PP 1 2 na razão k ou seja k PP P P 1 2 então temos k PP P P 1 2 k x x x x 1 2 e k y y y y 1 2 Isolando x e y nas equações temos x k x x k 2 1 1 e y k y y k 2 1 1 Assimile Se k 1 então o ponto P coincide com o ponto médio do segmento PP 1 2 e as fórmulas para as coordenadas do ponto médio são x x x 1 2 2 e y y y 1 2 2 Baricentro de um triângulo é o encontro de duas medianas O baricentro representado pela letra G divide cada mediana em duas partes como na Figura 420 O baricentro divide a mediana na proporção 2 para 1 ou seja AG MG 2 Baricentro de um triângulo Fonte elaborada pelo autor Figura 420 Baricentro do triângulo U4 203 Equações de retas e planos Logo temos que x x x x G A M G 2 ou x x x G A M 2 3 Como x x x M B C 2 substituindo na expressão anterior temos Analogamente para a coordenada referente ao eixo y temos e Substituindo a segunda fórmula na primeira temos Portanto as coordenadas do baricentro do triângulo são dadas por x x x x G A B C 3 e y y y y G A B C 3 O baricentro é o ponto G x y G G x x x x G A B C 3 y y y G A M 2 3 y y y M B C 2 y y y y G A B C 3 Exemplificando Seja um triângulo cujos vértices estão nos pontos A 2 5 B 7 1 e C 4 2 Determine as coordenadas do baricentro desse triângulo Solução Para encontrar o baricentro de um triângulo usamos as expressões x x x x G A B C 3 e y y y y G A B C 3 Substituindo os pontos dados temos xG 2 7 4 3 4 33 e yG 5 1 2 3 0 67 Logo as coordenadas do baricentro são aproximadamente G 4 33 0 67 Assimile O baricentro também é conhecido como centro de massa É o lugar onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio U4 204 Equações de retas e planos Sejam um ponto qualquer P x y 0 0 e a reta r de equação ax by c 0 como na Figura 421 Queremos encontrar a distância do ponto P à reta r Uma das maneiras de encontrar a expressão que determina essa distância procurada é por meio da área de um triângulo Observe na Figura 421 o triângulo PPP em que P x y 1 1 e P x y 2 2 são pontos de r Baseado nele temos que Área d d P r P P 2 e Área 1 2 1 1 1 0 0 2 2 1 1 det x y x y x y Com base nas igualdades anteriores temos d d x y x y x y d d P r P P P r P P det 2 1 2 1 1 1 0 0 2 2 1 1 det x y x y x y 0 0 2 2 1 1 1 1 1 d d x x y x x y x x y P r P P 0 1 2 2 0 1 1 2 0 Como P x y 1 1 e P x y 2 2 pertencem a rax by c 1 1 0 e ax by c 2 2 0 e ainda by ax c y ax c b 1 1 1 1 e by ax c y ax c b 2 2 2 2 Logo d d x x x x x x y ax c b ax c b P r P P 0 1 2 0 1 2 0 2 1 Distância de ponto à reta Fonte elaborada pelo autor Figura 421 Distância de ponto à reta U4 205 Equações de retas e planos d d x y x y a x x b c x b a x x b c x b P r P P 2 0 1 0 0 2 2 0 1 1 d d x x c y b x a b x x c y b x a P r P P 2 1 0 0 2 1 0 0 b d d x x c y b x a b P r P P 2 1 0 0 Temos ainda que d x x y y P P 2 1 2 2 1 2 e b b 2 2 Da equação da reta segue também que y ax c b a b x c b a b y y x x y y a b x y y x x 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x1 Portanto d x x c y b x a b x x y y P r 2 1 2 2 1 2 2 1 0 0 d x x c y b x a b x x c y b x a x x y y P r 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 2 2 1 2 b x x a b x x 2 1 2 2 1 2 d x x c y b x a b x x x x a b P r 2 1 0 0 2 1 2 1 2 2 1 c y b x a b x x a b 0 0 2 1 2 2 1 d c y b x a b ax by c a b a b P r 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1 Sendo assim a distância do ponto P x y 0 0 à reta r ax by c 0 é dada por d ax by c a b P r 0 0 2 2 U4 206 Equações de retas e planos Exemplificando Encontre a distância em centímetros do ponto P 3 9 à reta r x y 4 3 6 0 Solução Para encontrar a distância do ponto P à reta r usamos a expressão d ax by c a b P r 0 0 2 2 Substituindo os valores dados temos d d P r P r 4 3 3 9 6 4 3 1 8 2 2 Logo a distância do ponto P à reta r é de 18 cm Atenção A distância de um ponto P à reta r também pode ser obtida quando encontramos um vetor unitário n ur com a mesma direção de r e um ponto Q pertencente à reta A expressão que calcula essa distância é d P Q n P r ur A demonstração dessa fórmula consta em Venturi 2015 p 137 Note que a fórmula d P Q n P r ur pode ser usada tanto para o plano quanto para o espaço tridimensional Além disso se dr uru for o vetor diretor da reta r não necessariamente unitário a fórmula fica como segue d P Q n P Q d d P Q d d QP d P r r r r r r ur uru uru uru uru u r uu uru uru dr Faça você mesmo Encontre a distância do ponto P 5 8 à reta r que passa pelos pontos A 7 11 e B 2 5 U4 207 Equações de retas e planos Exemplificando Determine a distância em centímetros do ponto P 1 2 5 à reta r x t y t z t 7 8 3 6 Solução Para encontrar a distância do ponto P à reta r usamos a expressão d QP d d P r r r u r uu uru uru mas primeiro observe que um vetor diretor da reta r é dr uru 1 3 6 Escolhendo agora um ponto qualquer da reta r por exemplo para t 0 temos Q 7 8 0 Encontrando QP u r uu Calculando QP dr u r uu uru QP d i j k r u r uu uru r r ur 8 10 5 1 3 6 45 43 14 Substituindo os valores temos d d Pr Pr 45 43 14 1 3 6 9 41 2 2 2 2 2 2 Logo a distância do ponto P à reta r é de 941 cm QP u r uu 1 2 5 7 8 0 8 10 5 Pesquise mais Acesse a partir da página 216 a obra de Venturi 2015 e aprofunde mais seus conhecimentos sobre distância entre dois pontos e distância de ponto à reta U4 208 Equações de retas e planos Retomando o problema proposto no início desta seção devemos encontrar primeiro a equação da reta que representa a viga Sabemos que a viga passa pelos pontos A 10 12 e B 9 18 Para encontrar a equação da reta usamos a expressão x y x y x y 1 1 1 0 1 1 2 2 Substituindo as coordenadas dos pontos dados e calculando o determinante temos x y x y x y 1 10 12 1 9 18 1 0 12 180 9 108 18 10 0 Logo a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é 6 72 0 x y Agora vamos determinar a distância entre o ponto P e a reta r Para isso usamos a expressão d ax by c a b Pr 0 0 2 2 Substituindo as coordenadas do ponto P 8 6 e da reta r 6 72 0 x y temos d d P r P r 6 8 1 6 72 6 1 18 6 08 2 96 2 2 A distância do ponto P de onde sairá o fio até a viga é de aproximadamente 296 m Como serão gastos 20 a mais de fio teremos 20 de 296 é aproximadamente 059 m Logo será gasto um total de 2 96 0 59 3 55 m de fio Como cada metro custa R 3856 o total a ser gasto com fios será de aproximadamente 38 56 3 55 136 89 Assim o valor total do orçamento é de aproximadamente R 13689 Sem medo de errar U4 209 Equações de retas e planos Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com as de seus colegas Comprimento da ponte 1 Competências Conhecer os conceitos e os fundamentos da geometria analítica e da álgebra vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Determinar a distância entre dois pontos 3 Conteúdos relacionados Distância entre dois pontos 4 Descrição da situaçãoproblema Sua empresa tem dado muito certo Você montou uma filial em uma cidade do interior e já arrumou um trabalho construir uma ponte Você esteve presente o tempo todo analisou e fiscalizou Ao final você estabeleceu os pontos de fixação da ponte em ambos os lados da estrada e concluiu que ela ainda adentraria ao asfalto 4 m de cada lado Sabendo que os pontos que você determinou foram A 0 20 27 e B 0 2 21 qual foi o comprimento total da ponte em metros 5 Resolução da situaçãoproblema Para calcular o comprimento da ponte primeiro usamos a expressão para distância entre dois pontos Depois somamos em cada lado os 4 m que foram inseridos ao asfalto Calculando a distância entre os pontos A e B temos d x x y y z z A B B A B A B A 2 2 2 dA B 0 0 2 20 21 27 2 2 2 dA B 324 36 18 97 Somando os 4 m de cada lado ou seja 8 m temos o comprimento total da ponte aproximadamente 2697 m U4 210 Equações de retas e planos Faça valer a pena 1 Sendo A31 B44 e C22 vértices de um triângulo qual é o perímetro aproximado desse triângulo em km a 2304 km b 3154 km c 1869 km d 914 km e 1212 km 2 O ponto A12 é um vértice do um triângulo ABC cujo lado BC está sobre a reta de equação Qual é a altura aproximada relativa ao lado BC desse triângulo em metros a 618 m b 701 m c 521 m d 329 m e 447 m 3 Sejam e pontos pertencentes ao segundo quadrante que distam 13 cm Qual é o valor de m a 5 b 4 c 6 d 3 e 2 x y 2 5 0 P 3m 115 Q m3 U4 211 Equações de retas e planos Seção 44 Distância entre ponto a plano e plano a plano Olá aluno Você se lembra de que na seção anterior estudou sobre distância entre dois pontos Você aprendeu também a calcular o ponto médio de um segmento e o baricentro de um triângulo Nesta seção você aprenderá a calcular a distância entre ponto a plano e entre plano a plano Esses conteúdos nos auxiliam em diversos cálculos da Engenharia e da Matemática Suponha que para finalizar a obra que sua empresa estava realizando você precise instalar as placas de vidros das janelas Serão várias placas que ao se abrirem ficarão paralelas umas às outras Você precisará determinar exatamente a distância entre elas e para isso terá que usar seus conhecimentos matemáticos Você já determinou as equações das placas a serem instaladas Agora precisará determinar a distância entre elas quando abertas como na Figura 422 Diálogo aberto Fonte httpsgoogl2BKS0H Acesso em 20 set 2016 Figura 422 Distância entre planos U4 212 Equações de retas e planos Essa imagem foi gerada por programa de computador sendo que agora cabe a você determinar a distância entre as placas de vidro em metros sabendo que as equações dos planos que as representam são α 3 2 5 1 0 x y z e β 6 4 10 1 0 x y z Vamos lá Distância de um ponto P a um plano Sejam um ponto P x y z 0 0 0 e um plano α ax by cz d 0 tal que P esteja fora do plano α Seja Q x y z um ponto de α e n a b c ur um vetor normal do plano α como na Figura 423 Calculando o produto interno entre o vetor n ur e o vetor QP u r uu temos n QP n QP ur u r uu ur u r uu cosθ Não pode faltar α Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 423 Distância de um ponto ao plano Figura 424 Cosseno do ângulo U4 213 Equações de retas e planos Retirando da Figura 423 o triângulo retângulo em que QP u r uu é a hipotenusa vide Figura 424 temos cos θ α d QP P u r uu Substituindo d QP Pα u r uu no produto interno temos n QP n QP d QP n QP n d d P P P ur u r uu ur u r uu u r uu ur u r uu ur α α α n QP n ur u r uu ur Sabendo que n a b c ur 2 2 2 e n QP a b c x x y y z z ur u r uu 0 0 0 ax by cz ax by cz 0 0 0 e lembrando que ax by cz d equação do plano α temos n QP ax by cz d ur u r uu 0 0 0 d n QP n ax by cz d a b c Pα ur u r uu ur 0 0 0 2 2 2 Assimile Dado um ponto P x y z 0 0 0 e um plano α ax by cz d 0 a distância de P até α é d ax by cz d a b c Pα 0 0 0 2 2 2 Exemplificando Sejam um ponto P 10 5 4 e um plano α 2 4 6 8 0 x y z Determine a distância do ponto ao plano medida em centímetros Solução Para determinar a distância do ponto P ao plano α usamos a expressão d ax by cz d a b c Pα 0 0 0 2 2 2 Substituindo os valores temos dP α 2 10 4 5 6 4 8 2 4 6 9 621 2 2 2 36 14 U4 214 Equações de retas e planos Logo a distância do ponto P ao plano α é de aproximadamente 9621 cm Sejam dois planos e Para calcularmos a distância entre e primeiramente isso só tem sentido se e forem paralelos Para calcular essa distância utilizaremos a mesma fórmula de distância de ponto a plano Para determinarmos essa distância tomamos um ponto P x y z 0 0 0 tal que P α A distância d d P β α β ou seja a distância de um ponto qualquer de α ao plano β é igual à distância entre esses planos como na Figura 425 Distância de um plano a um plano α β Fonte elaborada pelo autor Figura 425 Planos paralelos α ax by cz d 0 β a x b y c z d 0 0 0 0 0 α β α β d ax by cz d a b c Pα 0 0 0 2 2 2 Exemplificando Sejam dois planos de equações α x y z 2 2 1 0 e β 2 4 4 4 0 x y z Determine a distância entre eles Solução Para determinar a distância entre α e β usamos a expressão d ax by cz d a b c Pα 0 0 0 2 2 2 Primeiro determinamos um ponto qualquer de um dos planos por exemplo o plano α Tomemos P 3 0 2 juntamente com a equação do plano β 2 4 4 4 0 x y z e substituímos os valores Distância entre duas retas U4 216 Equações de retas e planos 3 Se as retas r e s são reversas Sejam a reta r que contém o ponto P x y z 1 1 1 1 e tem a direção do vetor u a b c 1 1 1 e a reta s que contém o ponto P x y z 2 2 2 2 e tem a direção do vetor v a b c 2 2 2 Considere o plano α paralelo à reta r contendo a reta s A distância de r a s é a mesma que a distância de P1 a α ou seja d d r s P 1 α Mas da trigonometria cos θ d N P r s 2 1 u r uuuu ou ainda d N P r s cos 2 1 u r uuuu θ a igualdade não muda se multiplicarmos o segundo membro por 1 logo d d N P N P n r s P cos cos 1 2 1 2 1 1 α θ θ u r uuuu u r uuuu ur com n u v u v ur r r r r Note que n ur é o oposto do versor de u v e que distância é sempre um valor não negativo Portanto d d N P n r s P 1 2 1 α u r uuuu ur Como N2 não foi especificado tome N P 2 2 Com isso d d P P n r s P 1 2 1 α u r uuu ur Finalizando d P P n P P u v u v P P u v u r s 2 1 2 1 2 1 u r uuu ur u r uuu r r r r u r uuu r r r v u v PP u v r r ur u r uuu r r 1 2 em que u v PP r ur u r uuu 1 2 é o produto misto dos vetores u v e PP 1 2 u r uuu Fonte elaborada pelo autor Figura 427 Retas paralelas Figura 428 Retas reversas U4 218 Equações de retas e planos Logo substituindo os valores encontrados na expressão para calcular a distância entre as retas temos d d d QP d d r s r s r s det uru u ruu u r uu uru uru 1 13 5 12 2 2 2 2 2 3 1 5 1 4 0 1 1 10 8 0 60 0 2 1 64 64 64 13 32 2 13 338 338 338 2 Portanto a distância entre as retas r e s é dr s 32 2 13 Faça você mesmo Encontre a distância entre as retas reversas e r t 1 3 5 2 4 1 s k 1 1 3 2 2 1 Pesquise mais Amplie seus conhecimentos sobre distância de ponto a plano acessando este material DISTÂNCIA Disponível em httpwwwbasica2ufbabr apostilasretasplanosApost26pdf Acesso em 10 set 2016 Sem medo de errar Retomando o problema proposto no início desta seção sabemos que as placas de vidro são placas planas e que suas equações são respectivamente α 3 2 5 1 0 x y z e β 6 4 10 1 0 x y z Logo para determinarmos a distância entre elas basta determinarmos a distância entre os planos α e β usando a expressão d ax by cz d a b c Pα 0 0 0 2 2 2 Primeiro determinamos um ponto qualquer de um dos planos por exemplo o plano α Tomemos P 2 1 1 α Agora calculamos a distância do ponto P ao plano β Substituindo os valores das coordenadas do ponto P e da equação do plano β 6 4 10 1 0 x y z temos U4 219 Equações de retas e planos dPα 6 2 4 1 10 1 1 6 4 10 1 152 1 152 2 2 2 0081 Logo a distância entre α e β é de aproximadamente 0081 m ou 81 cm Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Distância entre planos 1 Competências Conhecer os conceitos e os fundamentos da geometria analítica e da álgebra vetorial que apoiem o desenvolvimento de uma visão geométrica e algébrica ampla para ser aplicada em problemas ligados à engenharia 2 Objetivos de aprendizagem Calcular a distância entre planos 3 Conteúdos relacionados Distância entre planos 4 Descrição da situaçãoproblema Para instalar placas solares sobre um telhado um engenheiro precisa determinar a equação da placa sabendo que a equação do telhado é α x y 2z 4 0 em metros A placa deve ficar acima do telhado sendo paralela a ele numa distância de pelo menos 40 cm Qual é a equação da placa 5 Resolução da situaçãoproblema Como o telhado e a placa devem ser paralelos a equação da placa deve ter a seguinte forma β x y z k 2 0 sendo k um valor a determinar Caso contrário não seriam paralelos O objetivo então é determinar k de modo que dα β 0 4 m Vamos tomar um ponto de β e calcular sua distância ao plano α Por simplicidade considere P k 0 0 β Temos d ax by cz d a b c Pα 0 0 0 2 2 2 0 4 1 1 0 2 0 4 1 1 2 2 2 2 d d k P α β α 4 10 4 6 4 6 10 4 4 4 6 10 4 4 6 10 k k k k I II U4 220 Equações de retas e planos Para o caso I temos k k k 4 4 6 10 4 4 6 10 4 8 3 02 09 Para o caso II temos k k k 4 4 6 10 4 4 6 10 4 8 4 98 09 Portanto a equação da placa será β x y 2z 4 98 0 em metros Faça valer a pena 1 Qual é a distância aproximada entre as retas r x y 2 3 0 e s x y 3 6 8 0 em centímetros a 012 cm b 015 cm c 027 cm d 002 cm e 021 cm 2 Sejam um ponto P 2 4 2 e um plano α x y z 3 2 4 0 Qual é a distância aproximada do ponto ao plano medida em centímetros a 3742 cm b 2573 cm c 3422 cm d 4574 cm e 2886 cm 3 Figura 429 Esfera inscrita no tetraedro Fonte elaborada pelo autor U4 221 Equações de retas e planos Em metros qual é o raio aproximado de uma esfera inscrita num tetraedro conforme a Figura 429 cujos vértices são 000 100 010 e 001 a 0199 m b 0198 m c 0342 m d 0234 m e 0211 m 222 Equações de retas e planos U4 223 Equações de retas e planos Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 BOLDRINI J L et al Álgebra linear 3 ed São Paulo Harbra 1980 CALLOLI C A DOMINGUES H H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações 4 ed São Paulo Atual 1983 CAMARGO I de BOULOS P Geometria analítica um tratamento vetorial 3 ed São Paulo Prentice Hall 2005 COELHO F U LOURENÇO M L Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 CRUZ Luiz Francisco da Plano In Cálculo vetorial e geometria analítica cap6 Disponível em httpwwwpfcunespbrlfcruzGACAP06pdf Acesso em 20 ago 2016 DISTÂNCIA Disponível em httpwwwbasica2ufbabrapostilasretasplanos Apost26pdf Acesso em 10 set 2016 MIRANDA Daniel GRISI Rafael LODOVICI Sinuê Geometria analítica e vetorial Disponível em httpgradmatufabcedubrdisciplinaslistasganotasdeaulas 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