Exercícios Esforços em Madeira

Católica de Santa Catarina Centro Universitário ESTRUTURAS DE AÇO E MADEIRA EXERCÍCIOS ESFORÇOS EM MADEIRA 1 Verificar as condições de tração e compressão para a barra simplesmente apoiada de comprimento 132 cm de seção transversal 6 cm 16 cm solicitada por forças de compressão sendo uma permanente ação permanente de grande variabilidade de 24 kN sobrecarga de 13 kN e uma força variável devida ao vento igual a 7 kN Considerar madeira Dicotiledônea da classe C40 2 Verificar a viga solicitada por uma força axial de compressão e momentos nas extremidades A força axial corresponde a uma força permanente de 15kN e uma acidental de 10kN Os momentos nas extremidades são dados por i extremidade inicial 334 kNcm permanente mais 223 kNcm acidental ii extremidade final 22 kNcm permanente mais 14 kNcm acidental 3 Um pilar de seção transversal formada por duas peças de 25 cm 15 cm e uma peça de 6 cm12 cm é solicitado conforme mostra a Figura 64 Este pilar sustenta uma estrutura onde não há predominância de pesos de equipamentos fixos nem de elevadas concentrações de pessoas Considerar que as solicitações axiais são causadas por forças concentradas permanentes de 2500 kN permanente 700 kN sobrecarga e 800 kN vento todas no sentido da compressão da barra Considerar madeira Conífera da classe C25 e classe de umidade 1 e 2 4 Calcular a altura de um caibro quando este tem uma espessura de 5cm 5 x h Sabendose que apresenta um Md 435KNcm Adotar Dicotiledônia C50 2ª categoria Serrada Umidade 3 Carga permanente Calcular h 1 Verificar as condições de tração e compressão para a barra simplesmente apoiada de comprimento 132 cm de seção transversal 6 cm 16 cm solicitada por forças de compressão sendo uma permanente ação permanente de grande variabilidade de 24 kN sobrecarga de 13 kN e uma força variável devida ao vento igual a 7 kN Considerar madeira Dicotiledônea da classe C40 Resposta Fd γG Gk γQ S 05 Wk ou Fd γG Gk γQ 075 Wk 04 S Coeficiente ψ0 igual a 05 para o vento e 04 para a sobrecarga Fd 14x 24 14x 13 05x7 567kN Neste caso Nd Fd Características da seção transversal A 6x16 96cm2 Ix 6x163 12 2048 cm4 Iy 16x63 12 288cm4 L0 132cm Índice de Esbeltez λ 132 288 96 7620 Condição de segurança σNd fc0d σMd fc0d 1 Dicotiledônea da classe C40 considerando os coeficiente kmod fc0d kmod x fc0d γwc 056 x 4 14 16 Kn cm2 Ec0ef kmod x Ec0m 056 x 1950 1092 Kn cm2 Valores de tensão σNd NdA 56796 0591 Kncm² σMd Md1 y Md288 x 3 Md um momento de cálculo dado em função da excentricidade ed ou seja Md Nd x ed Carga critica Fe Fe π² x 1092 x 288 132² 17814 Kn A excentricidade ed sendo e1 eie2 Ea L0300 132300 044 cm ou Ea h30 630 020 cm Sendo assim Ea 044 cm e E1 0 cm Restrição de ei ser maior ou igual a h30 Ei 02 cm E1 044 02 064 cm Ed 064 x 17814 17814 567 094 cm Sendo assim Md 567 x 094 5330 Kncm σMd 5330288 x 3 0555 Kncm² Segurança em relação à estabilidade 059116 055516 0369 0347 0716 1 Sendo assim a barra tem estabilidade 2 Verificar a viga solicitada por uma força axial de compressão e momentos nas extremidades A força axial corresponde a uma força permanente de 15kN e uma acidental de 10kN Os momentos nas extremidades são dados por i extremidade inicial 334 kNcm permanente mais 223 kNcm acidental ii extremidade final 22 kNcm permanente mais 14 kNcm acidental Diagrama de momento fletor em torno do eixo z Solução unidades de medida a serem utilizadas kN e cm Características físicas e mecânicas A 6 x 12 72 cm² Ix 6 x 12³ 12 864 cm⁴ Iy 12 x 6³ 12 216 cm fc0d 056 x 40 14 16 kNcm² fv0d 056 x 06 18 019 kNcm² Ec0ef 056 x 1950 kNcm² 1092 kNcm² Verificações Devem ser verificados o estado limite último e o de utilização O primeiro inclui a verificação da resistência tensão normal e cisalhamento e a estabilidade a Estado limite último Valores de cálculo considerando γG e γQ iguais a 14 Nd 1415 1410 35 kN MAd 14334 14223 78 kNcm MBd 1422 1414 5 kNcm a1 Verificação da resistência a11 Tensões normais σd As tensões atuantes valem σN 3572 0486 kNcm² σM 78864 6 0542 kNcm² O eixo x é o crítico No caso as fibras superiores estão na situação mais crítica com as tensões σN e σM produzindo compressão Utilizase a expressão σNdfc0d² σMxdfc0d kM σMydfc0d 1 ou seja 048616² 054216 05 016 009 034 043 kNcm² Como 043 1 então a viga está verificada quanto à tensão normal σd a12 Tensões tangenciais τd a12 Tensões tangenciais τd A força cortante é gerada pela ação dos momentos fletores nas extremidades portanto é constante ao longo do vão e vale 78 5169 043 kN No cálculo de τd o momento estático corresponde à seção superior ou inferior a partir do eixo neutro da seção transversal ou seja S 6 63 108 cm³ A tensão cisalhante vale τd 0431086864 001 kNcm² Como 001 019 então a viga está garantida quanto ao cisalhamento a2 Verificação da estabilidade A viga deve ser verificada para os dois eixos x e y simultaneamente a21 Verificação para o eixo X λx 16986472 487 peça medianamente esbelta FE π²1092864169² 32603 kN ea Lo300169300056 cm ou h30 1230 04 cm Portanto ea 06 cm ei M1dNd h30 ou seja ei 7835 22 cm e1 ea ei 06 22 28cm ed 283260332603 35 31 cm Md Nd ed 35 31 1085 kNcm σMdx 1085864 6 075 kNcm² σMdy 0 Condição de segurança 048616 07516 016 030 047 077 kNcm² Como 077 1 então a viga tem estabilidade em relação ao eixo x a22 Verificação para o eixo Y λx 16921672 9757 peça esbelta FE π²1092216169² 8151 kN σNd 0486 kNcm² ea 056 cm Lo300 056 e h30 020 ψ1 030 ψ2 020 ψ1 ψ2 050 K 2500 050 000 2500 K 080 2500 8151 2500 0354 ec 000 056 exp0354 1 024 cm eig 0 cm ei 0 cm e1ef 000 056 024 080 cm Md 3500 080 8151 8151 3500 4923 kNcm σMdx 0 σMdy 4923 300 21600 068 kNcm² Condição de segurança 048616 016 06816 030 043 073 kNcm² Como 073 1 então a viga tem estabilidade em relação ao eixo y b Verificação do estado limite de utilização Valores de cálculo será considerado o caso de ações de longa duração em local onde não há predominância de pesos de equipamentos fixos nem de elevada concentração de pessoas Deve ser lembrado que a combinação de carregamento neste caso é dada pela expressão Fduti Gik ψ2jFQik Como não está sendo exigida a verificação do encurtamento da peça então nada será verificado em termos de deformações envolvido a força Nd Assim as flechas deverão ser verificadas ao longo do vão considerando a ação dos momentos nas extremidades Com isto a combinação crítica será dada pelos valores a seguir com ψ2 02 MAd 334 02 223 379 kNcm MBd 22 0214 25 kNcm Pela linha elástica de uma barra submetida à ação de momentos em suas extremidades observase que o valor máximo de deslocamento está no trecho compreendido entre o apoio A e o centro da viga a flecha não é máxima no centro do vão Portanto não é possível aplicar as expressões mostradas na Tabela 23 Para conhecer o ponto exato podese utilizar o princípio dos trabalhos virtuais Contudo este cálculo levará a uma equação do segundo grau que demanda uma manipulação algébrica A solução da equação é facilmente obtida usandose programas computacionais matemáticos b1 Aplicação do PTV para análise da flecha O deslocamento máximo para o caso viga biapoiada é igual a L200 Seção 921 da ABNT NBR 71901997 ou seja 169200 085 cm Os diagramas de momentos fletores mostrados na Figura 68 serão envolvidos no cálculo do deslocamento O diagrama do estado de carregamento referese à viga com a força unitária numa posição genérica a uma distância x do apoio da esquerda A integral do produto destas duas funções momentos fletores Equação 1 dividida pelo momento de inércia e módulo de deformação longitudinal resultará no valor do deslocamento Como esta expressão é dependente da variável x primeiro se deve buscar o ponto onde o deslocamento é máximo fazendose a primeira derivada de δ igual a zero Substituindose x na Equação 1 determinase o valor do máximo deslocamento δ 0L M M1 EI dx Equação 1 O resultado da aplicação da Equação 1 aos diagramas da Figura 68 resulta na expressão EIδ MA 2M x2Lx 6L 2M MB xLx2 6L Fazendose dδdx 0 temse x 3MA 1732MA2 MA MB MB2 3MB MA L para MA MB Obviamente que se MA MB x valera L2 O deslocamento máximo valera δmax xL x x MB MA L 2MA MB 6 L E I Para o exemplo x 729 e δ 0078 cm Como esperado o valor é bastante pequeno bem menor que L200 que é 085 cm Como dito o exemplo é apenas ilustrativo para o procedimento de busca de valor de máximo deslocamento 3 Um pilar de seção transversal formada por duas peças de 25 cm 15 cm e uma peça de 6 cm12 cm é solicitado conforme mostra a Figura 64 Este pilar sustenta uma estrutura onde não há predominância de pesos de equipamentos fixos nem de elevadas concentrações de pessoas Considerar que as solicitações axiais são causadas por forças concentradas permanentes de 2500 kN permanente 700 kN sobrecarga e 800 kN vento todas no sentido da compressão da barra Considerar madeira Conífera da classe C25 e classe de umidade 1 e 2 A 612 22515 147 cm2 Ix 1517312 9123 12 4845 cm4 O valor de Ix deve ser reduzido pelo fato de existirem duas superfícies de solidarização quando para a estabilidade em torno de x Pela norma devese aplicar o coeficiente 085 pois tratase de uma seção transversal do tipo I A estabilidade em torno de y não depende da solidarização portanto não se faz redução da inércia em torno de y Assim Ixef 0854845 411825 cm4 Iy 22515312 126312 162225cm4 Lox Loy 415 cm Sendo λ 125 a peça é esbelta Lo 415cm λ 4151622147 125 80 σNdfcod σMdfcod 1 Condição de segurança Para a determinação de σNd e σMd deve ser calculado o valor de Fd valor de cálculo das ações De acordo com a ABNT NBR 71901997 Seção 713 quando existe uma ação permanente e duas forças variáveis as combinações normais de ações podem ser calculadas pelas expressões a seguir apresentadas Notar que os valores de ψ0w e ψ0q foram calculados pela Tabela 2 da ABNT NBR 71901997 Tabela 11 deste texto considerando respectivamente pressão dinâmica do vento e a situação de barra de estrutura onde não há predominância de pesos de equipamentos fixos nem de elevadas concentrações de pessoas γg 14 ação permanente de grande variabilidade combinação normal e γq 14 ação variável combinação normal caso 1 Fd γGi Gik γQ Qk ψ0w Wk caso 2 Fd γGi Gik γQ 075Qk ψ0q Qk Fd1 14250014700 05800 5040 kN caso 1 ou Fd2 142500 14075800 04700 4732 kN caso 2 Portanto Fd 5040 kN Nd Assim σNd 5040147 0343 kNcm2 σMd MdI y Mdy1622 75 Mdy2163 Os valores das características da madeira usada são kmod 07 10 08 056 ver Tabela 12 da ABNT NBR 71901997 fc0d 056 250 14 100 kNcm2 Ecoef kmod Ecom 056 850 476 kNcm2 OBS Ecom 8500 MPa 850 kNcm2 classe 25 Conífera O valor de FE será calculado para o eixo Y que tem o menor índice de esbeltez FE π² E co ef I L0² FEy π² x 476 x 1622 415² 4424 kN Portanto FE 4424kN Como FE é menor que o valor de Fd então não é possível usar esta barra nas circunstâncias dadas Assim será analisado o caso da peça com um contraventamento apoio intermediário que impede a flambagem em torno do eixo y Neste caso o comprimento de flambagem ficará reduzido à metade tendose os seguintes índices de esbeltez L0x 415 cm λ 415 sqrt411825 147 784 L0y 415 2 2075 cm λ 2075 sqrt1622 147 6246 Portanto o eixo x é o crítico Assim λ 784 peça medianamente esbelta pois 40 λ 80 Portanto o novo valor de FE será FEx π² x 476 x 4118 415² 11234 A excentricidade acidental ea é calculada por eax 415 300 138 cm que satisfaz a condição ea hx 30 17 30 Portanto ea 138 cm O valor da excentricidade ei será ei M1d Nd 0 M1d é o momento fletor atuante sobre a barra No caso a barra está exclusivamente solicitada por forças de compressão portanto M1d vale zero Contudo a ABNT NBR 71901997 exige que este valor não deverá ser inferior a hx 30 17 30 ou seja ei 057 cm O valor ei ea corresponde então a 138 057 195 cm Assim podese calcular o valor da excentricidade de cálculo ed vale ed e1 FE FE Nd 195 x 11234 11234 5040 354 cm Sendo Md Nd x ed 5040 x 354 17817 kNcm σMd Md I x y 17817 411825 x 85 0368 kNcm² Verificação da condição de segurança σNd fc0d σMd fc0d 0343 100 0368 100 0711 Sendo este valor menor que 1 então a condição de segurança é aceitável