Lista de Exercícios Resolvidos - Geometria Analítica e Álgebra Linear

LISTA DE EXERCÍCIOS AVF GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 1 Se u 3 1 e v 1 2 determine o vetor w tal que a 4u v 1 3 w 2u w b 3 w 2v u 24w 3u 2 Dados os pontos A 1 3 B 2 5 e C 3 1 calcular a OA AB b OC BC c 3BA 4CB 3 Determinar o vetor v sabendo que 3 7 1 2v 6 10 4 v 4 Verifique se u e v são paralelos a u 0 1 0 v 1 0 1 b u 0 11 1 v 0 22 2 c u 0 1 1 v 0 3 1 d u 1 3 14 v 1 14 3 14 1 5 Determine m e n tais que u e v sejam paralelos sendo u 1 m n 1 e v m n 10 6 Verificar se são colineares os pontos a A1 5 0 B2 1 3 e C2 7 1 b A2 1 1 B3 1 0 e C1 0 4 7 Determine x de modo que u e v sejam ortogonais a u x 0 3 v 1 x 3 b u x x 4 v 4 x 1 8 Calcule a área do triângulo ABC sendo AB 1 1 0 e AC 0 1 3 9 Dado o triângulo de vértices A0 1 1 B2 0 1 e C1 2 0 calcular a medida da altura relativa ao lado BC 10 Sejam A 1 2 3 e B 2 3 0 Escreva equações da reta AB nas formas vetorial paramétrica e simétrica 11 Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso a π contém A 1 1 0 e B 1 1 1 e é paralelo a u 2 1 0 b π contém A 1 0 1 e B 0 1 1 e é paralelo a CD sendo C 1 2 1 e D 0 1 0 c π contém A 1 0 1 B 2 1 1 e C 1 1 0 d π contém A 1 0 2 B 1 1 3 e C 3 1 1 12 Verifique se o vetor u é paralelo ao plano π 4x 6y z 3 0 nos casos a u 1 2 3 b u 0 1 6 c u 3 2 0 d u 3 2 24 13 Dadas equações paramétricas obtenha uma equação geral do plano 14 Verifique se as retas r e s são concorrentes e se forem obtenha o ponto de interseção a r X 1 1 0 t1 2 3 s X 2 3 3 h3 2 1 15 Mostre que as retas r e s são concorrentes determine o ponto comum e obtenha uma equação geral do plano determinado por elas a b 16 Obtenha a interseção da reta r com o plano π a r X 1 1 0 λ1 1 1 π x y z 1 0 b r X 1 1 1 λ1 1 0 π x y z 1 0 c r x 3 y 2 z1 2 π x 2y z 10 d r X 1 1 0 λ1 1 0 π 2x 2y z 1 10 17 Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares a r X 1 2 3 λ1 2 1 s X 2 4 4 λ1 1 1 b r X 0 1 0 λ3 1 4 s X 1 1 0 λ1 0 1 c 18 Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π a P 1 3 7 π 2x y z 6 b P 1 1 0 π X 1 1 1 λ1 0 1 µ1 1 1 19 Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r a P 0 1 1 r X 0 0 0 λ1 1 1 b P 0 0 0 r contém A 1 1 1 e B 1 1 1 20 Estude a posição relativa dos planos π1 e π2 a π1 X 1 1 1 λ0 1 1 µ1 2 1 π2 X 1 0 0 λ1 1 0 µ1 1 2 b π1 X 4 2 4 λ1 1 2 µ3 3 1 π2 X 3 0 0 λ1 1 0 µ0 1 4 c π1 2x y 2z 1 0 π2 4x 2y 4z 0 21 Sejam r X 1 0 0 λ1 1 0 e s X 0 0 1 λ0 1 1 a Mostre que essas retas são concorrentes b Obtenha equações na forma simétrica da reta perpendicular comum a r e s 22 Mostre que r e s são concorrentes ache seu ponto de intersecção e determine uma equação geral para o plano que contém r e s a b 23 Obtenha a intersecção da reta r com o plano π a b c 24 Determine a intersecção dos planos π1 e π2 Quando se tratar de uma reta descreva a por equações vetoriais a b c RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 a Perpendicular b Perpendicular c Não são ortogonais 18 19 20 a Iguais b Transversais c Paralelos e distintos 21 Esta reta contém o ponto comum a r e s e é perpendicular ao plano determinado por elas 22 a 22 b 23 a 23 b A interseção é a própria reta r 23 c 24 a 24 b 24 c Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 u 31 v 12 a 4u v 13w 2u w 13w w 2u 4u v 14w 2u 4u 4v 2u 4v W 2u 14 4v 14 17 u 27 v W 17 31 27 12 37 17 27 47 W 57 57 Observação O gabarito está W 152 152 para obter este resultado a equação deveria ser 4u v 13 w 2u w De fato 13 w w 2u 4u 4v w 3w3 2u 4v 4w3 2u 4v W 34 2u 4v W 34 2 31 4 12 34 6 2 4 8 34 10 10 14 30 30 304 304 W 152 152 Continuando b 3w 2v u 24w 3u 3w 2v u 8w 6u 3w 8w 6u 2v u 5w 7u 2v W 75 u 25 v W 7531 2512 215 75 25 45 W 235 115 2 A 13 B 25 C 31 a OA AB 10 30 21 53 13 32 41 OA AB 41 b OC BC 30 10 32 15 3 1 1 6 2 5 OC BC 25 c 3BA 4CB 3 12 35 4 23 51 3 3 2 4 1 6 9 6 4 24 5 30 3BA 4CB 5 30 3 371 2v 6104 v 2v v 6104 371 3v 3 3 3 v 1 1 1 4 Dois vetores u e v são paralelos se existir um escalar c tal que u c v a u 0 1 0 e v 1 0 1 u c v 010 c 101 c 1 0 c 0 1 c 1 0 não existe c ℝ tal que u c v u e v não são paralelos b u 0 11 1 e v 0 22 2 u c v 0 11 1 c 0 22 2 c 0 0 c 22 11 c 2 1 c 12 u e v são paralelos Observação O gabarito está errado pois os vetores são paralelos u 12 v Continuando c u 0 1 2 e v 0 3 1 u c v 0 1 1 c 032 c 0 0 c 3 1 c 1 1 não existe c ℝ tal que u c v u e v não são paralelos d u 1 3 14 v 114 314 1 u c v 1 3 14 c 114 314 2 114 c 1 314 c 3 1 c 14 c 14 u e v são paralelos 5 Se u e v são paralelos existe c ℝ tal que u c v 1 m n1 c m n 10 c m 1 c n m c 10 n1 c 1m c n m 1m n m n m2 c 10 n1 1m 10 m2 1 10m m2 1 10 m3 m m3 m 10 0 Observe que m3 m 10 m3 8 m 2 m2m2 2m 4 m2 m2m2 2m 4 1 m2m2 2m 5 Queremos m tal que m2m2 2m 5 0 Temos que m2 2m 5 não possui raiz real Contas Δ 22 4 5 1 4 20 16 0 Continuando Então m 2 Assim n m2 22 4 m 2 n 4 6 Para verificar que os pontos A B e C são colineares vamos observar se os vetores AB e BC são paralelos a A1 5 0 B2 1 3 C2 7 1 AB 2 1 1 5 3 0 3 6 3 BC 2 2 7 1 1 3 4 8 4 AB λBC 3 6 3 λ4 8 4 λ4 3 λ8 6 λ4 3 λ 34 A B e C são colineares b A2 1 1 B3 1 0 C1 0 4 AB 3 2 1 1 0 1 1 2 1 BC 1 3 0 1 4 0 2 1 4 AB λBC 1 2 1 λ2 1 4 λ2 1 λ1 2 λ4 1 Não existe λ ℝ tal que AB λBC A B e C não são colineares 7 u v u v 0 a u x 0 3 v 1 x 3 x 0 3 1 x 3 0 x1 0x 33 0 x 9 0 x 9 b u x x 4 v 4 x 1 x x 4 4 x 1 0 x4 xx 41 0 x2 4x 4 0 x 22 0 x 2 8 AB 1 1 0 AC 0 1 3 Área ABC 12 AB AC AB AC deti j k 1 1 0 0 1 3 3i k 3j 3 3 1 3 3 1 32 32 12 9 9 1 19 Área ABC 192 9 A0 1 1 B2 0 2 C1 2 0 h BC BA BC BC 1 2 2 0 0 1 3 2 1 BA 0 2 1 0 1 1 2 1 2 BC BA deti j k 3 2 1 2 1 2 4i 2j 3k 4k i 6j 5i 4j 7k 5 4 7 h 52 42 72 32 22 12 90 14 457 45 7 35 7 7 7 335 7 h 335 7 10 A 1 2 3 B 2 3 0 Vetorial v A tAB r 123 t 2 1 3 2 0 3 r 123 t 313 Paramétrica r 1 3t 2 t 3 3t x 1 3t y 2 t z 3 3t Simétrica x 13 y 21 z 33 1 x3 y 2 3 z3 11 A equação do plano é da forma a x b y c z d 0 em que abc é um vetor normal ao plano a A 110 B 111 u 210 O vetor normal N é ortogonal ao plano π e ao vetor u então pode ser determinado por N AB x u AB 11 11 10 0 2 1 N det i j k 0 2 1 2 1 0 0 2j 0 i 0 4k i 2j 4k 1 2 4 π x 2y 4z d 0 Como A está no plano temos 1 21 40 d 0 1 d 0 d 1 π x 2y 4z 1 0 b A 101 B 01 1 C 121 D 010 N AB x CD AB 0 1 1 0 1 1 1 1 2 CD 0 1 1 2 0 1 1 1 1 N det i j k 1 1 2 1 1 1 i 2j k 2i j k 3i j 2k 3 1 2 π 3x 2y 2z d 0 Como A está no plano temos 31 20 21 d 0 3 2 d 0 d 1 3x 2y 2z 1 0 x 1 π 3x 2y 2z 1 0 Observação Multiplique a equação por 1 para ficar igual ao gabarito Multiplicar a equação do plano por um número real não altera o plano Continuando c A 101 B 211 e C 110 Se AB e BC não forem paralelos então N AB x BC AB 2 1 1 0 1 1 1 1 2 Não são paralelos BC 1 2 1 1 0 1 1 2 1 N det i j k 1 1 2 1 2 1 i 2j 2k 9i j k 3i j k 3 1 1 π 3x y 2 d 0 Como A está no plano temos 3 1 0 1 d 0 4 d 0 d 4 3x y 2 4 0 π 3x y 2 4 0 d A 1 0 2 B 1 1 3 C 3 1 1 Se AB e BC não forem paralelos então N AB x BC AB 11 10 32 2 1 1 BC 31 11 13 4 2 2 Os vetores são paralelos AB 12 BC O plano não está determinado 12 Para verificar se u é paralelo ao plano vamos analisar se u é ortogonal ao vetor normal N 4 6 1 a u 1 2 3 uN 14 26 31 4 12 3 11 0 u não é paralelo à π b u 0 1 6 uN 04 16 61 6 6 0 u é paralelo à π c u 3 2 0 uN 34 26 01 12 12 0 u é paralelo à π d u 3 2 24 uN 34 26 124 12 12 24 0 u é paralelo à π 13a Um ponto P x y z genérico pertencente à π é dado por P 1 λ μ 2λ μ 3 μ λ μ ℝ 1 0 3 λ 1 2 0 μ 1 1 1 λ μ ℝ Temos que A 1 0 3 π e u 1 2 0 v 1 1 1 são vetores diretores Então podemos calcular o vetor normal N u x v det i j k 1 2 0 1 1 1 2i k j 2k 2i j 3k 2 1 3 π 2x y 3z d 0 2 1 0 3 3 d 0 2 9 d 0 d 7 2x y 3z 7 0 π 2x y 3z 7 0 b Um ponto P genérico é dado por P 1 λ 2 3 λ μ 1 2 3 λ 1 0 1 μ 0 0 1 Temos que A 1 2 3 π e u 1 0 1 v 0 0 1 são vetores diretores O vetor normal é N u x v det i j k 1 0 1 0 0 1 0 j 0 1 0 π y d 0 01 2 03 d 0 d 2 y 2 0 π y 2 0 14 a A retas são dadas por r x 1 t y 1 2t z 3t e S x 2 3b y 3 2b z 3 b O ponto de interseção caso exista é dado pela solução do sistema 1 t 2 3h 1 2t 3 2h 3t 3 h t 3h 2 1 2t 2h 3 1 3t h 3 t 3h 1 2t 2h 2 3t h 3 Subtrair 3 eq da 2ª eq t 3h 1 4h 0 h 0 t h 1 As retas v e S são concorrentes e o pont de interseção é 2 3 3 6 v x 1 2λ y λ z 1 3λ S x 1 4λ y 1 2λ z 2 6λ O ponto de interseção caso exista é dado pela solução do sistema 1 2λ 1 4λ λ 1 2λ 1 3λ 2 6λ 2λ 4λ 1 1 λ 2λ 1 3λ 6λ 2 1 2λ 2 λ 1 3λ 3 λ 1 O ponto de interseção é 1 2 1 1 1 3 1 3 1 4 As retas v e S são concorrentes e o pont de interseção é 3 1 4 Observação O gabarito da questão 14 não condiz com o enunciado Continuando 15 a S x 1 3 y 5 3 2 z 5 μ S x 3μ 1 y 3μ 5 z 5μ 2 e v x λ y λ z 1 4λ O ponto de interseção P é obtido resolvendo o sistema 3μ 1 λ 3μ 5 λ 5μ 2 1 4λ 3μ λ 1 3μ λ 5 5μ 4λ 3 6μ 6 5μ 4λ 3 μ 1 51 4λ 3 4λ 8 λ 2 P 2 2 9 Sejam λ 0 e μ 1 assim temos os pontos A 0 0 1 r e B 4 8 3 S O vetor normal ao plano é N AP x BP AP 2 0 2 0 7 1 2 2 8 BP 2 4 2 8 7 3 6 6 10 N det i j k 2 2 8 6 6 10 20 18j 12k 48 20j 12k 68i 28j 24k 68 28 24 Assim a equação do plano é dada por Π 68x 28y 24z d 0 Como P ε Π temos 68 2 28 2 24 7 d 0 136 56 168 d 0 d 24 Π 68x 28y 24z 24 x 14 Π 17x 7y 6z 6 0 Observação O gabarito está incorreto Observe que o enunciado da 15a é o mesmo da 22a e o gabarito da 22a está correto Continuando b r x 32 y 62 z 1 λ r x 2λ 3 y 2λ 6 z λ 1 S x2 y8 z 48 μ S x 2μ y 8μ z 8μ 4 O ponto de interseção é encontrado resolvendo o sistema 2λ 3 2μ 2λ 6 8μ λ 1 8μ 4 2λ 2μ 3 2λ 8μ 6 λ 8μ 5 6μ 3 λ 8μ 5 μ 12 λ 812 5 λ 1 P 1 4 0 Sejam A ε r e B ε s definidos respectivamente com λ μ 1 A 5 8 2 e B 2 8 4 o vetor normal é dado por N AP x BP AP 1 5 4 8 0 2 4 4 2 BP 1 2 4 8 0 4 1 4 4 N det i j k 4 4 2 1 4 4 16i 2j 26k 8i 16j 4k 8i 14j 12k 8 14 12 8x 14y 12z d 0 P ε π 8 1 14 4 12 0 d 0 8 56 d 0 d 48 π 8x 14y 12z 48 0 x 12 Π 4x 7y 6z 24 0 16a r 1 λ 1 λ λ substituindo as coordenadas de r no plano Π x y 2 1 0 obtemos 1 λ 1 λ λ 1 1 λ 0 λ 1 r π 2 0 1 b r 1λ 1λ 1 substituindo as coordenadas de r no plano π x y z 1 0 obtemos 1λ 1λ 1 1 0 0 0 r está contido em π r π r c r x 3 y 2 z 12 λ r λ 3 λ 2 λ 12 substituindo as coordenadas de r no plano π x 2y z 10 obtemos λ 3 2λ 2 λ 12 10 λ 3 2λ 4 λ 12 10 2λ 10 19 λ 92 r π 32 52 332 Observação Acredito que houve erro de digitação pois o gabarito é igual ao da questão 23 b em que z 12 λ z 12 Continuando d r 1λ 1λ 0 substituindo as coordenadas de r no plano 2x 2y z 1 10 obtemos 21λ 21λ 0 1 10 2 2λ 2 2λ 9 4 9 r π 17 Vamos verificar se os vetores diretores são perpendiculares a u 1 2 1 vetor diretor de r v 1 1 1 vetor diretor de s u v 11 21 11 1 2 1 0 Perpendicular b u 3 1 4 vetor diretor de r v 1 0 1 vetor diretor de s u v 31 10 41 3 0 4 7 Não ortogonal c r x 3 y 23 r λ 3 λ 3λ r 3 0 0 λ1 1 1 S x 42 4 y2 2 S 2λ 4 2λ 4 λ S 4 4 0 λ2 2 1 u 1 1 1 e v 2 2 1 u v 12 12 11 1 0 Não ortogonal 18 a P 1 3 7 π 2x y z 6 r P λN r X 1 3 7 λ2 1 1 b Seja u 1 0 1 e v 1 1 1 N u v deti j k 1 0 1 1 1 1 j k i j i k 1 0 1 r X 1 1 0 t1 0 1 19 a N 1 2 1 e P 0 1 1 π y z d 0 1 1 d 0 d 2 π y z 2 0 b r x 1 1 1 λ1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ2 2 2 N 2 2 2 π 2x 2y 2z d 0 p 000 20 20 20 d 0 d 0 2x 2y 2z 0 x 12 π x y z 0 20 a π1 x 111 λ011 μ121 N1 011 x 121 e P1 111 N1 det i j k 0 1 1 1 2 1 i j 2i k i j k 1 1 1 π1 x y 2 d1 0 1 1 d1 0 d1 1 π1 x y 2 1 0 x 1 π1 x y z 1 0 π2 x 100 λ110 μ112 N2 110 x 112 e P2 100 N2 det i j k 1 1 0 1 1 2 2i k 2j k 2i 2j 2k 222 π2 2x 2y 2z d2 0 21 d2 0 d2 2 2x 2y 2z 2 0 x 12 π2 x y 21 0 π1 π2 b π1 x 424 λ112 μ332 N1 112 x 331 e P1 424 N1 det i j k 1 1 2 3 3 1 i 6j 3k 6i j 3k 5i 5j 550 π1 5x 5y d1 0 54 52 d1 0 d1 10 π1 5x 5y 10 0 x 15 π1 x y 2 0 π2 x 300 λ110 μ014 N2 110 x 014 e P2 300 N2 det i j k 1 1 0 0 1 4 4i k 4j 4 4 1 π2 4x 4y 2 d2 0 43 40 0 d2 0 d2 12 π2 4x 4y 2 12 0 π1 e π2 não são paralelas nem iguais π1 e π2 são transversais c π1 2x y 2z 1 0 π2 4x 2y 4z 0 π1 2x y 2z 0 π1 e π2 são paralelos 21 r 100 λ110 s 001 μ011 a r x 1 λ λ 0 e s x 0 μ 1 μ o ponto de interseccão é dado por 1 λ 0 λ μ λ μ 1 P 0 1 0 As retas são concorrentes e se intersectam no ponto P 0 1 0 b t P₀ λN em que N 1 1 0 0 1 1 N det i j k 1 1 0 0 1 1 i k j 1 1 1 t x 0 1 0 λ1 1 1 t λ 1 λ λ x λ z e y 1 x λ 1 y t x 1 y 2 22 Exatamente igual a 15 23 a Exatamente igual a 16a b r x 3 y 2 z 12 λ r X λ 3 λ 2 2λ 1 Substituindo na equação do plano π x 2y z 10 obtemos λ 3 2λ 2 2λ 1 10 λ 3 2λ 4 2λ 1 10 λ 2 v π 5 4 3 Observação O gabarito está incorreto Para conferir podese plotar no Geogebra 3D o plano e a reta e verificar que se intersectam no ponto 5 4 3 Continuando c π 1 α 3 β 1 α β π 1 3 1 α1 0 1 β0 1 1 N 1 0 1 0 1 1 det i j k 1 0 1 0 1 1 k i j 1 1 1 π x y z d 0 1 3 1 π 1 3 1 d 0 d 3 π₁ x y 2 3 0 Substituindo as coordenas de v obtemos 2λ λ 1 3λ 3 0 2λ λ 1 3λ 3 0 6λ 2 λ 13 v π 23 13 2 24a x 2y 2 1 0 3x 3y 0 x y 2x y 2 1 0 Substituindo y por x x 2x 2 1 0 3x 2 1 0 z 3x 1 v x y z λ λ 3λ 1 x y z 0 0 1 λ1 1 3 b z 1 z 1 y 2x 2 0 y 2x 2 rxyz 021 λ120 rxyz 430 λ121