Equações Vetoriais e Paramétricas da Reta

A reta G E O M E T R I A A N A L Í T I C A E Á L G E B R A L I N E A R Equação vetorial da reta APtv rxyz114t232 Se desejarmos obter pontos de r basta atribuir valores para t Para t 1 obtémse x y z 11 4 12 3 2 x y z 11 4 2 3 2 3 2 6 e portanto P1 326 r Para t 2 obtémse x y z 11 4 22 3 2 x y z 11 4 4 6 4 5 5 8 e portanto P2 558 r Para t 3 obtémse o ponto P3 7810 r Para t 0 obtémse o próprio ponto A 114 r Para t 1 obtémse o ponto P4 142 r Exemplo a Vimos que a cada real t corresponde um ponto P r A recíproca também é verdadeira ou seja a cada P r corresponde um número real t Por exemplo sabese que o ponto P5 5 8 pertence à reta r x y z 1 1 4 t2 3 2 Logo o ponto 5 5 8 é um particular x y z na equação 4 e portanto é verdadeira a afirmação 5 5 8 1 1 4 t2 3 2 para algum real t Dessa igualdade 5 5 8 1 1 4 t2 3 2 vem 5 5 8 1 1 4 t2 3 2 ou 4 6 4 t2 3 2 e portanto t 2 b A equação 4 não é a única equação vetorial de r Existem na verdade infinitas equações vetoriais de r pois basta tomar outro ponto de r em vez de A ou outro vetor qualquer não nulo que seja múltiplo de v Por exemplo a equação x y z 1 1 4 t4 6 4 é outra equação vetorial de r na qual se utilizou o vetor 2v 4 6 4 como vetor diretor em vez de v 2 3 2 rxyz114t232 Equação vetorial da reta httpswwwgeogebraorgmq9ex3rr3 As equações 5 são chamadas equações paramétricas da reta Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A3 4 2 e é paralela ao vetor v 213 Exemplo a Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v Reta definida por dois pontos Equações paramétricas de um segmento de reta Equações paramétricas de um segmento de reta Equações simétricas da reta Exemplo Escreva a equação vetorial as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A3 0 5 e tem a direção do vetor v221 Equações reduzidas da reta a É fácil verificar que todo ponto P r é do tipo Px 2x 8 3x 3 em que x pode assumir um valor qualquer Por exemplo para x 3 temse o ponto P₁3 2 6 r d A reta r das equações 7 pode ser representada pelas equações paramétricas y 2x 8 e Para encontrar um vetor diretor da reta r y2x8 z3x3 uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e posteriormente encontrar o vetor overlineABBA Por exemplo para x 0 obtémse o ponto A083 para x 1 obtémse o ponto B160 Logo overlineAB123 é um vetor diretor de r Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações obtendose desse modo equações simétricas de r fracx1fracy82fracz33 na qual a leitura do vetor diretor 1 2 3 é imediata 1 Dada a reta rx y z 1 2 3 t2 3 0 escrever equações paramétricas de r 2 Escrever equações paramétricas da reta que passa por A1 2 3 e é paralela à reta r rx y z 1 4 3 t0 0 1 3 Dada a reta r x2t y3t determinar o ponto de r tal que a a ordenada seja 6 b a abscissa seja igual à ordenada c a cota seja o quadruplo da abscissa Representar graficamente as retas de equações Com base na Figura 514 escrever equações paramétricas da reta por Retas paralelas aos planos coordenados Uma reta é paralela a um dos planos xy xz ou yz se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano Nesse caso uma das componentes do vetor é nula Observações Observações Retas paralelas aos eixos coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos Ox Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a i 100 ou a j 010 ou ainda a k 001 Nesse caso duas das componentes do vetor são nulas Seja a reta r que passa por A2 3 4 e tem a direção do vetor v 003 Como a direção de v é a mesma de k pois v 3k a reta r é paralela ao eixo Oz Figura 56 A reta r pode ser representada pelas equações x 2 y 3 z 4 3t Retas paralelas aos eixos coordenados subentendendose z uma variável livre que assume todos os valores reais Ou seja todos os pontos der são do tipo 2 3 z e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado costumase simplificar e expressar as equações somente pelas constantes Para o caso particular anterior dizse que as equações de r são As Figuras 57 e 58 apresentam retas que passam por Ax₁ y₁ z₁ e são paralelas aos eixos Oy e Ox respectivamente Logo suas equações já na forma simplificada são x x₁ y y₁ z z₁ respectivamente Ângulo entre retas Sejam as retas r1 e r2 com as direções de v1 e v2 respectivamente conforme figura ao lado Chamase ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 Logo sendo e este ângulo temse Exemplo Exemplo Formato genérico das equações paramétricas Formato genérico das equações simétricas Calcular o ângulo entre as retas Retas ortogonais Reta ortogonal a duas retas Interseção de duas retas Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r₁ e r₂ nos casos Exemplo Interseção de duas retas Interseção de duas retas Interseção de duas retas 3 Interseção de duas retas Observações b Se duas retas não são coplanares elas são consideradas reversas É o caso do exemplo 2 Figura 513 pois as retas além de não concorrentes são não paralelas e portanto não coplanares 25 Determinar caso exista o ponto de interseção das retas r₁ e r₂ a r₁ y2x3 zx5 e r₂ y3x7 zx1 b r₁ x32 y13 z24 e r₂ x1t y4t z83t c r₁ y2x3 zx10 e r₂ xy43 z12 d r₁ x2t y35t z66t e r₂ x36h y17h z113h e r₁ xyz241t123 e r₂ xyz125t432 f r₁ x2t y4t zt e r₂ y6x z2x 26 Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas a r₁ y2x5 zx2 e r₂ x5yz1m b r₁ xmt y1t z2t e r₂ x13 y21 z2