Potencial Elétrico - Notas de Aula e Teoria

Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 1 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 2 Capítulo 23 Potencial Elétrico Teorema TrabalhoEnergia e Energia Potencial Na Mecânica quando uma força F grandeza vetorial atua sobre uma partícula que se move de um ponto inicial a até um ponto final b num deslocamento dl o trabalho Wab realizado pela força F ao longo desse deslocamento é dado pela integral de linha envolvendo o seguinte produto escalar Wab F dl F cos ϕ dl trabalho realizado por uma força em que dl é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partícula e ϕ é o ângulo entre as grandezas vetoriais F e dl em cada ponto da trajetória O Teorema TrabalhoEnergia afirma que a variação de energia cinética ΔEcin Ecin b Ecin a durante qualquer deslocamento de a inicial até b final é igual ao trabalho total Wab realizado sobre a partícula onde Ecin m v22 Wab ΔEcin Ecin b Ecin a Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 3 Capítulo 23 Potencial Elétrico 1Dimensão X Wab Fx dx m ax dx m dvx dxdt m dvx vx m v dv Wab ½ m v2 Ia b Ecineticab Ecineticaa ax dvxdt Vx dxdt Ecinetica ½ m v2 Ou simplesmente A partir da Eq Torricelli v2 v0 2 2 a x Substituindo os valores nos pontos a e b vb 2 va 2 2 a d a vb 2 va 2 2d FR m a m vb 2 va 2 2d Wab FR d m vb 22 m va 2 2 Wab Ecineticab Ecineticaa Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 4 Capítulo 23 Potencial Elétrico Se a força F for conservativa o trabalho Wab realizado por F pode ser expresso em função da energia potencial Epot de um ponto inicial a até um ponto final b Wab ΔEpot Epot b Epot a Epot a Epot b Ecin b Ecin a Desta forma para sistemas conservativos temos para a energia mecânica total Etot Etot Epot b Ecint b Epot a Ecint a Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 5 Capítulo 23 Potencial Elétrico Energia Potencial Elétrica num campo uniforme Considere um par de placas metálicas paralelas carregadas produzindo um campo elétrico uniforme orientado de cima para baixo com módulo E e que exerce uma força de módulo F q0 E sobre uma carga de teste q0 A medida que a carga se move uma distância d entre os pontos a e b a força sobre a carga é constante e não depende da localização posição da carga Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 6 Capítulo 23 Potencial Elétrico A força exercida sobre a carga de teste q0 pelo campo elétrico uniforme entre as placas é conservativa e isso significa que o trabalho Wab realizado pelo campo elétrico não depende da trajetória descrita pela partícula para ir de um ponto a até um ponto b Representando esse trabalho usando uma função escalar Energia Potencial Elétrica U U Felet y q0 E y Quando uma carga de teste se move de uma altura ya até uma altura yb o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga é dado por Wab ΔU Ub Ua q0 E yb q0 E ya q0 E ya yb Ua Ub Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 7 Capítulo 23 Potencial Elétrico Trabalho e Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes O trabalho realizado sobre uma carga de teste q0 que se move de forma radial numa região de campo elétrico Er k q r2 ar produzido por uma única carga puntiforme estática q Sendo a força elétrica Coulombiana Fr k0 q q0 r2 com k0 1 4 π ε0 9 x 109 Nm2C2 wab F dr k0 q q0 dr r2 k0 q q0 1 ra 1 rb Uar Ubr O trabalho realizado pela força elétrica depende apenas do ponto inicial a e o ponto final b Para uma trajetória fechada o trabalho realizado é nulo Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 8 Capítulo 23 Potencial Elétrico Definindo a grandeza escalar energia potencial elétrica Ur entre duas cargas puntiformes q e q0 como sendo Ur k0 q q0 r No SI a unidade de energia potencial elétrica U é dada em Joules Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 9 Capítulo 23 Potencial Elétrico A energia potencial é sempre definida em relação a algum ponto no qual U 0 Podemos ter também U igual a zero quando a distância entre q e q0 é muito grande e r Portanto U é igual ao trabalho W r realizado pelo campo elétrico devido a carga puntiforme q para deslocar uma carga de teste q0 de uma distância r ponto inicial até o infinito ponto final W r Ur k0 q q0 r 0 Ur k q q0 r Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 10 Capítulo 23 Potencial Elétrico Trabalho sobre carga de teste em um sistema com diversas cargas puntiformes Considerando um campo elétrico resultante E no qual uma carga de teste se move e sendo produzido por um conjunto de qi cargas puntiformes q1q2q3 podemos determinar o trabalho realizado para levar a carga do ponto a até o infinito A energia potencial U associada à carga de teste q0 num ponto qualquer a devido a presença de várias cargas puntiformes é dada pela soma algébrica de U e não soma vetorial dada por U k q0 q1 r1 q2 r2 q3 r3 Wr U k q0 Σ qi ri Ur k0 q0 q1 r1 q2 r2 q3 r3 W a U k0 q0 Σ qi ri Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 11 Capítulo 23 Potencial Elétrico q1 q2 q3 Considere um retângulo de lado maior a 8 cm e lado menor b4 cm Com cargas q1 2 nC q2 4 nC e q3 3 nC Calcule o trabalho WA para levar uma carga de teste q0 2 nC do ponto inicial A até o infinito A EXERCÍCIO 00 Sendo q1 localizada no Ponto P10 b q2 localizada no Ponto P2a2 b2 q3 localizada no Ponto P3a2 0 Coordenadas do Ponto A PAa b k0 9 x 109 Nm2C2 1 nC 109 C Solução WA U1 U2 U3 U1 k0 q0 q1 r1 U2 k0 q0 q2 r2 U3 k0 q0 q3 r3 r1 a 8 x 102 m r2 a22 b22 ½ 2012 x 102 m r3 a22 b2 ½ 4 212 x 102 m r2 a2 b2 a b r3 r1 q0 Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 12 Capítulo 23 Potencial Elétrico Resposta U1 45 x 107 J U2 161 x 107 J U3 95 x 107 J Logo WA U1 U2 U3 21 x 107 J Valor do trabalho WA realizado pelo campo elétrico resultante ER criado pelas cargas q1 q2 e q3 para levar uma carga de teste q0 do ponto A até o infinito Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 13 Capítulo 23 Potencial Elétrico A energia potencial eletrostática U associada ao conjunto de todas as qi cargas é dada pela soma das energias potenciais oriundas das interações de cada par de cargas U k0 Σ qi qj rij considerando apenas i j A soma deve ser estendida para todos os pares de cargas não podendo fazer i j interação da carga com ela mesma e considerando apenas i j para garantir que contamos apenas uma vez cada par de cargas Energia Potencial Eletrostática para um sistema de cargas puntiformes Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 14 Capítulo 23 Potencial Elétrico q1 q2 q3 Considere um retângulo de lado maior a 8cm e lado menor b 4cm Com cargas q12nC q2 4nC e q3 3nC Calcule a energia potencial eletrostática U do sistema de cargas puntiformes EXERCÍCIO 00 Sendo q1 localizada no Ponto P10 b q2 localizada no Ponto P2a2 b2 q3 localizada no Ponto P3a2 0 k 9x109 Nm2C2 1nC 109C Solução U12 k q1 q2 r12 U13 k q1 q3 r13 U23 k q2 q3 r23 r12 b22 a22 ½ 2012 x 102 m r13 a22 b2 ½ 4212 x 102 m r23 b2 2 x 102 m a b r12 r13 r23 Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 15 Capítulo 23 Potencial Elétrico Resposta U12 36 2012 x 107 J U13 675 212 x 107 J U23 54 x 107 J Logo U U12 U13 U23 606 x 107 J Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 16 Capítulo 23 Potencial Elétrico q1 q2 q3 Considere um retângulo de lado maior a 8cm e lado menor b4cm Com cargas q12nC q2 4nC e q3 3nC Calcule a energia potencial eletrostática U do sistema de cargas puntiformes EXERCÍCIO 00 Sendo q1 localizada no Ponto P10 b q2 localizada no Ponto P2a2 b2 q3 localizada no Ponto P3a2 0 k 9x109 Nm2C2 1nC 109C Solução U12 k q1 q2 r12 U13 k q1 q3 r13 U23 k q2 q3 r23 r12 b22 a22 ½ 2012 x 102 m r13 a 8 x 102 m r23 b22 a22 ½ 2012 x 102 m a b r12 r13 r23 Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 17 Capítulo 23 Potencial Elétrico Resposta U12 1610 x 107 J U13 675 x 107 J U23 2415 x 107 J Logo U U12 U13 U23 335 x 107 J Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 18 Capítulo 23 Potencial Elétrico Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 19 Capítulo 23 Potencial Elétrico Exemplo 232 Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo OX q1 e no ponto x 0 e q2 e no ponto x a Calcular o trabalho realizado por uma força externa para trazer uma terceira carga puntiforme q3 e do infinito até o ponto x 2a Calcular a energia potencial total do sistema constituído pela três cargas Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 20 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 21 Capítulo 23 Potencial Elétrico Potencial Elétrico Denominase a grandeza escalar potencial elétrico V em qualquer ponto do espaço sob a ação de um campo elétrico como sendo a energia potencial U por unidade de carga associada a uma carga de teste q0 nesse ponto A unidade no SI para potencial elétrico V é chamada de volt 1 volt 1 joule coulomb 1 J C 1 V Em relação ao trabalho realizado pela força elétrica temos W Waa b b q q00 ΔΔU U qq00 U Ubb q q00 U Uaa q q00 V Vbb V Va a V Vaa V Vb b Tal que Va Ua q0 é a energia potencial por unidade de carga no ponto a e Vb é definido de modo análogo V U q0 k q r U k q q0 r sendo U dado por Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 22 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 23 Capítulo 23 Potencial Elétrico A diferença Vab Va Vb é denominada diferença de potencial do ponto a em relação ao potencial no ponto b ou simplesmente de diferença de potencial ddp entre os pontos a e b Vab o potencial de a em relação a b é igual ao trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga unitária se desloca de a até b Vab Va Vb Wab q0 Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 24 Capítulo 23 Potencial Elétrico O potencial de uma única carga puntiforme q é dado por V U q0 k0 q r Vr k0 q r em que r é a distância entre a carga q e o ponto onde o potencial está sendo calculado Quando q é positivo o potencial por ela produzido em todos os pontos do espaço é positivo e negativo se a carga for negativa V é igual a zero para r Potencial devido a carga puntiforme Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 25 Capítulo 23 Potencial Elétrico Para um conjunto de cargas puntiformes o potencial total é dado pela soma escalar dos potenciais produzidos pelas cargas individuais isto é No caso de uma distribuição contínua de cargas ao longo de uma linha superfície ou volume carregado dividimos as cargas em elementos de carga dq e a soma se transforma em integral Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 26 Capítulo 23 Potencial Elétrico Exemplo 234 e Exemplo 235 Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes q1 12 nC e q2 12 nC sendo a distância entre elas igual a 10 cm Calcule os potenciais nos pontos ab e c Calcule a energia potencial associada á carga q3 4 nC quando ela é colocada nos pontos abe c Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 27 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 28 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal 770 V Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 29 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 30 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 31 Capítulo 23 Potencial Elétrico Determinação do Potencial escalar V a partir da expressão do campo elétrico E Prof Dr Carlos Eduardo Leal W Waa b b q q00 inicial final inicial final dV a b Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 32 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Er k q r2 ar Sendo K 1 4π ε0 Er Err ar Err k q r2 é a componente radial do vetor E ar é o vetor unitário na direção radial Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 33 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal inicial final inicial final Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 34 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 35 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 36 Capítulo 23 Potencial Elétrico Superfícies Equipotenciais Superfície em 3 dimensões sobre a qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os pontos da superfície Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 37 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 38 Capítulo 23 Potencial Elétrico E V V Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 39 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 40 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 41 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal V Vxyz Exyz Ex ax Ey ay Ez az dl dx ax dy ay dz az Ex dx Ey dy Ez dz Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 42 Capítulo 23 Potencial Elétrico Valor de V nos pontos P000 P111 P123 V000 0 volts V111 7 volts V123 74 volts Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 43 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 44 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 45 Capítulo 23 Potencial Elétrico Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 46 Capítulo 23 Potencial Elétrico Exercícios Capítulo 23 1 2 4 6 7 8 9 11 14 16 17 18 19 21 22 29 32 33 36 40 44 53 6970 Prof Dr Carlos Eduardo Leal Sears Zemansky Young Freedman 2008 by Pearson Education 47 Capítulo 23 Potencial Elétrico FIM DO CAPÍTULO 23 Prof Dr Carlos Eduardo Leal