Exercícios Resolvidos - Física 2 - 2021-2

Como p1V1 = nRT1 T2 = \frac{3nRT1}{nR} \Rightarrow \fT2 = 3T1 \" No processo termodinâmico adiabático (2 \rightarrow 3) o volume V3 = 4V1, assim, p2V2\gamma = p3V3\gamma \rightarrow \Rightarrow 3p1V1\gamma = p3(4V1)\gamma \rightarrow \Rightarrow p3 = \frac{3p1V1\gamma}{(4V1)\gamma} \rightarrow \Rightarrow p3 = \frac{3p1}{4\gamma} \Box Também podemos usar, T2V2\gamma - 1 = T3V3\gamma - 1 \_rightarrow \Rightarrow 3T1V1\gamma - 1 = T3(4V1)\gamma - 1 \rightarrow \Rightarrow T3 = \frac{3T1V1\gamma - 1}{(4V1)\gamma - 1} \rightarrow \Rightarrow T3 = \frac{3T1}{4\gamma - 1} No processo termodinâmico adiabático (4 \rightarrow 1) o volume V4 = 4V1, assim, p4V4\gamma = p1V1\gamma \rightarrow \Rightarrow p4(4V1)\gamma = p1V1\gamma \Rightarrow p4 = \frac{p1V1\gamma }{(4V1)\gamma} \rightarrow \right \Rightarrow p4 = \frac{p1}{4\gamma} \Box Também podemos usar, T4V4\gamma - 1 = T1V1\gamma - 1 \rightarrow \Rightarrow T4 = \frac{T1V1\gamma - 1}{V4\gamma - 1} \rightarrow \Rightarrow T4 = \frac{T1V1\gamma - 1}{(4V1)\gamma - 1} \rightarrow \Rightarrow T4 = \frac{T1}{4\gamma - 1} (b) Agora vamos determinar a eficiência térmica do Ciclo de Otto. Para os processos isométricos (1-2) temos, Qe = nCV\DeltaT \rightarrow \Rightarrow Qe = nCV(T2 - T1) \rightarrow \Rightarrow Para o processo isométrico (3-4) temos, Qf = nCV(T4 - T3) \rightarrow \Rightarrow Pela definição de eficiência térmica, e = 1 - \frac{|Qf|}{Qe} \rightarrow \Rightarrow e = 1 - \frac{nCV(T4 - T3)}{nCV(T2 - T1)} \rightarrow \Rightarrow e = 1 - \frac{(T4 - T3)}{(T2 - T1)} \rightarrow \Rightarrow Sabemos os valores das temperaturas, então, e = 1 - \frac{T1 - \frac{3T1}{4\gamma - 1}}{(3T1 - T1)} \rightarrow \Rightarrow \Rightarrow e = 1 - \frac{(T1)\frac{4\gamma - 1 - 3}{2T1}} \rightarrow \Rightarrow e = 1 - \frac{1}{4\gamma - 1} Questão: A taxa de compressão de um motor diesel é \mathcal{R} = 15, o que significa que o ar nos cilindros é comprimido a \frac{1}{15} do seu volume inicial. (a) Se a pressão inicial for a pressão atmosférica pa e a temperatura for Ta, determine a pressão e a temperatura finais após a compressão. Para o ar (mistura de oxigênio e nitrogênio) considere a razão dos calores específicos molares \gamma. (b) Se a taxa de expansão do motor diesel é \mathcal{R} = 5 (Vd = 5Va). (i) Determine as temperaturas nos estados termodinâmicos c e d. (ii) Determine a eficiência térmica do motor diesel. Resolução (a) Determine a pressão e a temperatura finais após a compressão. No processo de compressão adiabática podemos usar, paVa \gamma = pbVb\gamma \Rightarrow \Rightarrow paVa \gamma = pd\left(\frac{Va}{15}\right)\gamma \Rightarrow \Rightarrow pb = \frac{paVa \gamma}{\left(\frac{Va}{15}\right)\gamma} \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow pb = pa15\gamma \Box Questão 2 - Em um recipiente de paredes adiabáticas, uma quantidade de 0,14 kg de gelo com temperatura inicial de -15,0ºC é adicionado a 0,19 kg de água que está a uma temperatura de 35ºC. Sabe-se que o calor específico do gelo é de 2100J/kg·K, o calor específico da água é de 4190J/kg·K e o calor de fusão do gelo é de 3,34x10⁵ J/kg. Qual é a temperatura do sistema quando este atinge o equilíbrio térmico? Analise o problema quantitativamente. Resolução: Qual é a temperatura do sistema quando este atinge o equilíbrio térmico? Vamos supor que a temperatura de equilíbrio é igual a 0ºC. Para a água: A água deve diminuir de 35ºC até 0ºC. Considerando (ΔT_c = ΔT_X), o calor que a água deveria ceder ao gelo é: Q_a = m_a c_a ΔT = 0,19.4190. (0 – 35) => => Q_a = -27.863,5 J Calor de Transformação \frac{dQ}{dt} = L_f \frac{dm}{dt} Assim, \frac{dQ}{dt} = kA \frac{(T_Q-T_F)}{L} => L_f \frac{dm}{dt} = kA \frac{(T_Q-T_F)}{L} => => 3,34 × 10^5 ⋅ 1,42 × 10^{-5} = k ⋅ 1,25 × 10^{-4} ⋅ \frac{(100-0)}{0,6} => => k = \frac{4,7428}{2,0833×10^{-2}} => => k = 227,65 \ W/mK Questão 2 - Nas profundezas do espaço, longe de qualquer estrela ou planeta, um astronauta libera um container esférico preenchido com 100 \ kg de água à 300 \ K. O container, de massa desprezível, com raio de 29 \ cm tem a sua superfície pintada de preto (emissividade 1). (a) Obtenha uma expressão para a temperatura da água como função do tempo enquanto este permanece no estado líquido e (b) determine quanto tempo leva para a água chegar ao ponto de congelamento. Despreze a taxa de absorção da radiação incidente (temperatura média do universo T = 3 \ K). Dado: Calor específico da água c = 4190 \ J/kg.K Resolução A esfera irradia energia a uma taxa dada pela Lei de Stefan- Boltzmann. H_{rad} = σeAT^4 A taxa de radiação resultante é dada por, H_{res} = H_{abs} - H_{rad} De acordo com o enunciado, H_{abs} = 0 assim, H_{res} = \frac{dQ}{dt} = - σeAT^4 => => \frac{dQ}{dt} = - σeAT^4 => (*) A energia térmica transferida da água para o espaço por radiação, abaixa a temperatura da água. Na forma diferencial, Assim, dQ = mcdT (*) => \frac{dQ}{dt} = -σeAT^4 => => mc\frac{dT}{dt} = -σeAT^4 => => \frac{dT}{T^4} = \frac{-σeA}{mc} dt => \int_{T_0}^{T} \frac{dT}{T^4} = \int_{0}^{t} \frac{-σeA}{mc} dt => \frac{-1}{3}(\frac{1}{T^3} - \frac{1}{T_0^3}) = \frac{σeAt}{mc} => (\frac{1}{T^3} - \frac{1}{T_0^3}) = \frac{σeA}{mc} t => t = \frac{mc}{3σA}(\frac{1}{T^3} - \frac{1}{T_0^3}) t = \frac{mc}{3σA}(\frac{1}{T^3} - \frac{1}{T_0^3}) Uma expressão da Temperatura em função do tempo pode ser obtida isolando T da expressão acima. => \frac{3σAt}{mc} = \frac{1}{T^3} - \frac{1}{T_0^3} => \frac{1}{T^3} = \frac{3σAt}{mc} + \frac{1}{T_0^3} => T^{-3} = \frac{3σAt}{mc} + \frac{1}{T_0^3} T = (\frac{3σAt}{mc} + \frac{1}{T_0^3})^{-\frac{1}{3}} Questão 3 - Um tubo de cobre de raio R1 =1,0 cm transporta água a uma temperatura Ti = 95 ºC. O tubo é isolado do meio externo onde a temperatura é de -20 ºC, por um tubo cilíndrico feito de espuma de poliuretano de raio R2 = 2,5 cm cuja condutividade térmica é igual a 0,024 W/m.K. Considere L = 10 m. Com qual taxa o calor é perdido do tubo de cobre? Vista frontal. Destaque da área transversal em vermelho. Sentido da transferência de energia térmica: da fonte quente para a fonte fria. Como a área da seção transversal varia, devemos usar a taxa de condução na forma diferencial. H_cond = -kA dT/dr => H_cond = -k . 2πrL . dT/dr => H_cond dr = - dT => H_cond 2πkL ∫^R2_R1 r^-1 dr = - ∫^T2_T1 dT => H_cond ln (R2/R1) 2πkL = (T1 - T2) => H_cond 2πkL ln (R2/R1) = (TQ - TF) => H_cond = 2πkL (TQ-TF)/ln(R2/R1) Substituindo os valores apresentados no enunciado, temos H_cond = -2π.0,024.10(95-(-20))/ln(2,5/1) => H_cond = -2π.0,024.10 (115)/0,91629 => H_cond = -189,26 W Questão 4 - Um tanque de água ficou destampado em tempo frio, e uma placa de gelo de espessura y0 se formou na sua superfície. Se Tg é a temperatura da água abaixo da placa de gelo e Te é a temperatura do ar acima da placa de gelo, ρ a massa específica do gelo, k a condutividade térmica do gelo e Lf o calor de fusão do gelo. Suponha que não haja transferência de energia através das paredes ou pelo fundo do tanque. (a) Calcule a taxa de formação de gelo dy/dt. (b) Calcule a taxa de formação de gelo em centímetros por hora na placa de gelo considerando a espessura igual a 5,0 cm e a temperatura do ar acima do gelo igual -10 ºC. Adote a condutividade térmica e a massa específica do gelo como 0,0040 cal/s.cm.ºC e 0,92 g/cm³. O calor de fusão é 79,5 cal/g. Resolução: (a) Calcule a taxa de formação de gelo dy/dt. O calor que é transferido da água para o ambiente externo transforma a água a 0 ºC em gelo. H_cond = dQ/dt = kA (Tg - Tf)/y0 onde a taxa de condução é igual a taxa com que a água se transforma em gelo: dQ/dt = Lf dm/dt Igualando as suas expressões, temos L_f \frac{dm}{dt} = kA \frac{(T_0 - T_f)}{Y_0} => L_f \rhoA \frac{dy}{dt} = kA \frac{(T_0 - T_f)}{Y_0} => L_f \rho A \Delta y \frac{dt}{dt} = kA \frac{(T_0 - T_f) }{Y_0} => => \frac{dy}{dt} = \frac{k}{L_f \rho }\frac{(T_0 - T_f)}{Y_0} (b) Calcule a taxa de formação de gelo em centímetros por hora na placa de gelo considerando a espessura igual a 5.0 cm e a temperatura do ar acima do gelo igual -10°C. \frac{dy}{dt} = \frac{k}{L_f \rho} \frac{(T_0 - T_f )}{Y_0} => => \frac{dy}{dt} = \frac{0,0000}{79,5 0,92 } \frac{(0 - ( -10))}{5} => => \frac{dy}{dt} = \frac{0,0000 }{79,5 0,92} => => \frac{dy}{dt} = 1,09 x 10⁻⁴ cm/s => => \frac{dy}{dt} = 1,09 x 10⁻⁴ cm/s. \frac{(3600s)}{1h} => => \frac{dy}{dt} = 0,394 cm/h Questão 1 - Uma bolha de ar com volume de 20 cm³ está no fundo de um lago a 40 m de profundidade, onde a temperatura é de 4°C. A bolha sobe até a superfície, que está na temperatura de 20°C. Considere que a temperatura da bolha de ar é a mesma que a da água ao seu redor. Considere, também que a pressão atmosférica é igual a 1,0 x 10⁵ Pa. Qual é o volume da bolha exatamente quando ela atinge a superfície? Resolução Primeiramente vamos calcular a pressão no fundo do lago. p_f = p_o + ρgh => => p_f = 1,0 x 10⁵ + 10³.10.40 => => p_f = 1,0 x 10⁵ + 4,0 x 10⁵ => => p_f = 5,0 x 10⁵ Pa V_f = 20 cm³. (\frac{1 \ m}{100 \ cm})^3 = 2,0 x 10⁻⁵ m³ Podemos usar a equação de estado dos gases ideais no fundo do lago e na superfície. \frac{p_s V_s}{T_s} = \frac{p_f V_f}{T_f} => => \frac{1,0 x 10⁵ V_s}{293,15} = \frac{5,0 x 10⁵ . 2,0 x 10⁻⁵}{277,15} => => \frac{0,00341122 x 10⁵ . V}{0,036082} => => V_s = 10,58 x 10⁻⁵ m³ Questão 2 - Um tubo de comprimento L que está aberto em uma extremidade contém ar a pressão atmosférica. Ele é empurrado na vertical para dentro de um lago de água doce até que a água suba de H = L/2 da boca do tubo, como mostra a figura abaixo. Suponha que a temperatura é a mesma em todos os pontos e que não varie com o tempo. (a) Qual é a profundidade h da extremidade inferior do tubo em termos da densidade ρ, da pressão atmosférica p_o, da aceleração da gravidade g e de L? (b) Se L = 4 m, g = 10,0 m/s², ρ = 1000 kg/m³ e p_o = 1,0 x 10⁵ Pa, qual é o valor de h? T = cte PV = cte => P_o V_o = P_f V_f => P_o N_o = P \frac{V_o}{2 } => ρ = 2P_o Acima resolução da letra a), para resolver a letra b) basta substituir os valores. Tomar cuidado com o valor de H. Questão 5 – Você deseja converter 1,00 kg de água líquida a 100 °C para vapor d’água a 100°C sob uma pressão de 2,0 x 10^5 Pa. O volume de água varia de um volume inicial Vi = 1,00x10^-3 m³ para um volume final Vf = 1,501 m³. (a) Qual é o trabalho realizado pelo sistema durante este processo? (b) Qual a energia transferida sob a forma de calor durante o processo? (c) Qual a variação da energia interna? Considere: Lv = 2256 kJ/kg. Resolução: O processo é isobárico. Assim o trabalho realizado será, W = pΔV => W = 2,0 x 10^5 . 1,50 => W = 3,0 x 10^5 J A energia transferida na forma de calor durante o processo deve ser o suficiente para transformar toda a água em vapor d’água. Q = mLv => Q = 1,00 . 2256 x 10^3 => Q = 2,256 x 10^6 J A variação da energia interna pode ser determinada pela Primeira Lei da Termodinâmica. ΔU = Q – W => ΔU = 2,256 x 10^6 – 3,0 x 10^5 => ΔU = 1,956 x 10^6 J O processo é isotérmico, mas a água não é um gás ideal. Por isso a variação da energia interna é diferente de zero. Questão 6 – A razão entre o calor específico molar à pressão constante e à volume constante de um gás ideal é igual a γ. Uma amostra deste gás inicialmente ocupa um volume V₀ e a uma pressão p₀ e a uma temperatura T₀. O gás se expande isobaricamente até um volume 2V₀, e a seguir sofre uma expansão adiabática até um volume final igual a 4V₀. (a) Desenhe um diagrama pV para esta sequência de processos. (b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão isobárica. (c) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão adiabática. (d) Determine a temperatura final do gás. (e) Ache o valor absoluto do calor Q trocado com as vizinhanças nesta sequência de processos e determine o sentido do fluxo de calor. Resolução: (a) Diagrama pV. (b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão isobárica. W = p₀ΔV => => W = p₀(2V₀ - V₀) => => W = p₀V₀ (c) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão adiabática. W = \frac{1}{γ-1}(p₁V₁ - p₂V₂) => => W = \frac{1}{γ-1}(p₀2V₀ - p₂4V₀) => (*) Precisamos encontrar a pressão p₂ em termos de p₀. Para processos adiabáticos podemos utilizar: p₁V₁^γ = p₂V₂^γ => => p₀(2V₀)^γ = p₂(4V₀)^γ => => p₀2^γ = p₂2^2γ => => p₂ = 2^{−γ}p₀ Assim, (*) => W = \frac{1}{γ-1}(p₀2V₀ − p₂4V₀) => => W = \frac{1}{γ-1}(p₀2V₀ − 2^{−γ}p₀4V₀) => => W = \frac{p₀V₀}{γ-1}(2 − 2^{−γ}4) => => W = \frac{p₀V₀}{γ-1}(2 - 2^{2−γ}) (d) Determine a temperatura final do gás. No processo isobárico, considerando a equação de estado dos gases ideais temos, \frac{p₀V₀}{T₀} = \frac{p₁V₁}{T₁} => => \frac{p₀V₀}{T₀} = \frac{p₀2V₀}{T₁} => => \frac{1}{T₀} = \frac{2}{T₁} => => T₁ = 2T₀ No processo adiabático, podemos utilizar, T₁V₁^{γ−1} = T₂V₂^{γ−1} => => 2T₀(2V₀)^{γ−1} = T₂(4V₀)^{γ−1} => => 2T₀.2^{γ−1}.V₀^{γ−1} = T₂.22^{γ−2}.V₀^{γ−1} => => T₀.2^{γ} = T₂.22^{γ−2} => => T₂ = \frac{T₀2^{γ}}{2^{2γ−2}} => => T₂ = \frac{T₀}{2^{2γ−2}} => => T₂ = 2^{2−γ}.T₀ (e) Ache o valor absoluto do calor Q trocado com as vizinhanças nesta sequência de processos e determine o sentido do fluxo de calor. No processo isobárico, temos, Q = nCₚΔT Sabemos que ΔU = nCᵥΔT, assim se dividimos um pelo outro temos, Q/ΔU = nCₚΔT/nCᵥΔT => => Q/ΔU = γ => => ΔU = Q/γ Pela Primeira Lei da Termodinâmica, temos, ΔU = Q - W => => Q/γ = Q - p₀V₀ => => p₀V₀ = Q - Q/γ => => p₀V₀ = Q(1 - 1/γ) => => Q = p₀V₀/(1 - 1/γ) Esta é a quantidade de calor necessária para que ocorra a expansão isobárica provocando uma mudança de temperatura de T₀ para 2T₀. Questão 1 – Determine a variação da entropia quando ocorre a fusão de 1,0 kg de gelo em água a 0°C. Resolução: Sabemos que o calor de fusão do gelo é Lf = 3,34 × 10⁵J/kg. Assim, a quantidade de calor Q necessária para transformar 1 kg de gelo em 1 kg de água é, Q = mLf => => Q = 1.0 × 3,34 × 10⁵ => => Q = 3,34 × 10⁵J Como o processo é isotérmico, ΔS = Q/T => => ΔS = 3,34×10⁵/273,15 => => ΔS = 1,22 × 10³ J/K Este aumento corresponde ao aumento de desordem das moléculas de água quando elas passam para um estado mais desordenado de um líquido. Questão 2 – Determine a variação da entropia quando 1,0 kg de água a 0°C é aquecido até 100°C. Sabe-se que o calor específico da água é c = 4190 J/kgK. Resolução: A quantidade de calor na forma infinitesimal pode ser escrita como, dQ = mcdT Assim a entropia fica, ΔS = ∫{Ti}^{Tf} dQ/T => => ΔS = ∫{Ti}^{Tf} mcdT/T => => ΔS = mc ∫{Ti}^{Tf} dT/T => => ΔS = mc ln(Tf/Ti) => ΔS = 1.0 × 4190. ln(373,15/273,15) => => ΔS = 1,307 × 10³ J/K Questão 3 – Determine a variação da entropia quando 1,0 kg de água líquida a 100°C passa para o estado de vapor a 100°C. Resolução: Sabemos que o calor de vaporização é L_v = 2256 x 10^3 J/kg. Assim, a quantidade de calor Q necessária para transformar 1 kg de água líquida em 1 kg de vapor de água é, Q = mL_v => Q = 1,0 . 2256 x 10^3 => Q = 2,256 x 10^6 J Como o processo é isotérmico, ∆S = Q/T => => ∆S = 2.256x10^6 / 373,15 => => ∆S = 6,046 x 10^3 J/K Questão 4 – Dois mols de um gás perfeito sofrem uma expansão isotérmica reversível de 0,02 m^3 para 0,04 m^3 na temperatura de 300 K. Qual a variação da entropia do gás? Resolução: Em uma expansão isotérmica uma certa quantidade de calor deve ser fornecida ao gás para manter a temperatura constante. A partir da Primeira Lei da Termodinâmica na forma diferencial, temos, dU = dQ - dW => 0 = dQ - pdV => dQ = pdV => dQ = nRT/v dv => ∫ dQ = nRT ∫_{V_i}^{V_f} dv/v => Q = nRT ln(V_f/V_i) A variação da entropia para uma expansão isotérmica é dada por, ∆S = Q/T => => ∆S = nRTln(V_f/V_i) / T => => ∆S = nRln(V_f/V_i) => => ∆S = 2.8 x 3148 ln(0.04/0.02) => => ∆S = 11,52 J/K Questão 5 – Um cubo de gelo de 10 g a -10°C é colocado em um lago cuja temperatura é de 15°C. Calcule a variação de entropia do sistema cubo-lago quando o cubo de gelo chega ao equilíbrio térmico com a água do lago. O calor específico do gelo é 2220 J/kg.K (Dica: O cubo de gelo afetaria a temperatura do lago?). Resolução: Vamos analisar o que ocorre com o cubo de gelo. Massa do cubo de gelo: m_g = 0,01 kg Temperatura do cubo de gelo: T_g = -10°C i) O gelo sofre uma elevação em sua temperatura. Assim a entropia aumenta devido à variação de temperatura. ∆S_g1 = ∫_T_i^T_f dQ/T => => ∆S_g1 = ∫_T_i^T_f m_cg_c dT/T => => ∆S_g1 = m_gC_g ∫_T_i^T_f dT/T => => ∆S_g1 = m_gC_g ln(T_f/T_i) => => ∆S_g1 = 0,01 . 2220 ln(273,15/263,15) => => ∆S_g1 = 0,828 J/K (ii) O gelo sofre fusão. Assim a entropia aumenta devido à mudança de estado. ∆S_g2 = Q/T = m_gL/T => => ∆S_g2 = 0,01 . 333x10^3 / 273,15 => => ∆S_g2 = 12,2 J/K (iii) O gelo sofre uma elevação em sua temperatura. Assim a entropia aumenta devido à variação de temperatura. ΔSg3 = ∫ Tf ∫ Ti dq T => ⇒ ΔSg3 = ∫ Tf ∫ Ti mgc6aguadT T ⇒ ⇒ ΔSg3 = mgc6agua ∫ Tf ∫ Ti dT T ⇒ ⇒ ΔSg3 = 0,01.4190. ln ( 288,15 273,15 ) ⇒ ΔSg3 = 2,24 J/K A mudança total de entropia para o gelo é dada pela soma das entropias dos três processos. ΔSgT = ΔSg1 + ΔSg2 + ΔSg3 ⇒ ⇒ ΔSgT = ΔSg1 + ΔSg2 + ΔSg3 ⇒ ⇒ ΔSgT = 15,3 J/K Vamos analisar o que ocorre com a água do lago. O lago cede ao gelo uma quantidade de calor que provoca a variação da temperatura do gelo. Qa1 = −Qg1 ⇒ ⇒ Qa1 = −mgc9ΔT ⇒ ⇒ Qa1 = −mgc9(Tf − Ti ) ⇒ ⇒ Qa1 = −0,01.2220.10 ⇒ ⇒ Qa1 = −222 J O lago cede ao gelo uma quantidade de calor que provoca a mudança de estado. Qa2 = −Qg2 ⇒ ⇒ Qa2 = −mglf ⇒ ⇒ Qa2 = −0,01.333 × 10³ ⇒ ⇒ Qa2 = −3,33 × 10³J Quando a água do gelo aquece, Qa3 = −Qg3 ⇒ ⇒ Qa3 = −mgc9aguaΔT ⇒ ⇒ Qa3 = −0,01.4190. (288,15 − 273,15) ⇒ ⇒ Qa3 = −629 J A quantidade de calor que a água do lago transferiu para o gelo é, Qat = Qa1 + Qa2 + Qa3 ⇒ Qat = −4,18 × 10³J Assim a variação da entropia da água do lago será, ΔSal = Qat Tal = −4,18×10³ 288,15 ⇒ ΔSal = −14,5 J/K Para o sistema lago-gelo, a variação da entropia será, ΔSlig = ΔSal + ΔSgT ⇒ ⇒ ΔSlig = −14,5 + 15,3 ⇒ ⇒ ΔSlig = 0,8 J/K Questão: A operação de um motor a gasolina de combustão interna está representada pelo ciclo da Figura 1. Suponha que a mistura gasolina-ar de admissão é um gás ideal e usa uma razão de compressão r=1/ (V4=1/V1). Suponha que p1=3p1. (a) Determine a pressão e a temperatura em cada um dos estados termodinâmicos em termos de p1, T1 e da razão γ entre os calores específicos molares do gás. (b) Determine a eficiência térmica do Ciclo de Otto. Figura 1 — Ciclo de Otto (motor a gasolina). Resultado (a) Vamos determinar a pressão e a temperatura em cada estado termodinâmico. No processo termodinâmico isométrico (1 — 2) a pressão p2 = 3p1 e o volume V2 = V1, assim de acordo com a equação de estado dos gases ideais, p2V2 = nRT2 ⇒ ⇒ 3p1V1 = nRT2 ⇒ ⇒ T2 = 3p1V1 nR No processo de compressão adiabática podemos usar, T_a V_a^{\gamma-1} = T_b V_b^{\gamma-1} => T_b = \frac{T_a V_a^{\gamma-1}}{V_b^{\gamma-1}} => => T_b = 15^{\gamma-1} T_a (b i) Determine as temperaturas nos estados termodinâmicos c e d. No processo isobárico (b-c) temos, \frac{p_b V_b}{T_b} = \frac{p_c V_c}{T_c} => => \frac{V_b}{T_b} = \frac{V_c}{T_c} => => \frac{V_a/15}{15^{\gamma-1} T_a} = \frac{V_a/5}{T_c} => => T_c = 3.15^{\gamma-1} T_a No processo adiabático (c-d) temos, T_c V_c^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1} => T_d = \frac{T_c V_c^{\gamma-1}}{V_d^{\gamma-1}} => T_d = T_c \frac{V_c^{\gamma-1}}{(5V_c)^{\gamma-1}} => T_d = \frac{T_c}{5^{\gamma-1}} => => T_d = \frac{3.15^{\gamma-1}T_a}{5^{\gamma-1}} => => T_d = \frac{3.15^{\gamma-1}}{5^{\gamma-1}} T_a => T_d = 3^{\gamma} T_a Determinação da Eficiência Térmica do Ciclo Diesel No processo isobárico, Q_q = nC_p \Delta T No processo isométrico, Q_f = nC_v \Delta T' Pela definição de eficiência térmica, e = 1 - \frac{\mid nC_v \Delta T \mid}{ \mid nC_p \Delta T' \mid} => e = 1 - \frac{ \mid nC_v (T_a - T_d) \mid}{ \mid nC_p (T_c - T_b) \mid} => e = 1 - \frac{ \mid \gamma (T_a - T_d) \mid}{ \gamma \mid (T_c - T_b) \mid} => e = 1 - \frac{ \mid (T_a - T_d) \mid}{ \mid (T_c - T_b) \mid} => e = 1 - \frac{ \mid (T_a - 3^{\gamma} T_a) \mid}{ \mid (3.15^{\gamma-1} T_a - 15^{\gamma-1} T_a) \mid} => e = 1 - \frac{1(1 - 3^{\gamma})}{ \gamma 2.15^{\gamma-1}} => Questão - Um cubo de gelo de 10 g a -10°C é colocado em um lago cuja temperatura é de 15°C. Calcule a variação da entropia do sistema cubo-lago quando o cubo de gelo chega ao equilíbrio térmico com a água do lago. O calor específico do gelo é 2220 J/kg.K (Dica: O cubo de gelo afetará a temperatura do lago?). Resolução Vamos analisar o que ocorre com o cubo de gelo. Massa do cubo de gelo: m_g = 0,01 kg Temperatura do cubo de gelo: T_g = -10°C (i) O gelo sofre uma elevação em sua temperatura. Assim a entropia aumenta devido à variação de temperatura. \Delta S_{g1} = \int \frac{dQ}{T} => \Delta S_{g1} = \int \frac{m_g c_g dT}{T} => \Delta S_{g1} = m_g c_g \int \frac{dT}{T} => \Delta S_{g1} = m_g c_g \ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right) \Delta S_{g1} = 0,01 \cdot 2220 \cdot \ln \left( \frac{273,15}{263,15} \right) => \Delta S_{g1} = 0,828 J/K (ii) O gelo sofre fusão. Assim a entropia aumenta devido à mudança de estado. ΔSg2 = \( \frac{q}{T} = \frac{mgLf}{T} \) ⇒ ⇒ ΔSg2 = \( \frac{0,01233×10^3}{273,15} \) ⇒ ⇒ ΔSg2 = 12,2 J/K (iii) O gelo sofre uma elevação em sua temperatura. Assim a entropia aumenta devido à variação de temperatura. ΔSg3 = \( \int \frac{dQ}{T} \) ⇒ ⇒ ΔSg3 = \( \int \frac{mgc_água dT}{T} \) ⇒ ⇒ ΔSg3 = \( mgc_água \int \frac{dT}{T} \) ⇒ ⇒ ΔSg3 = \( 0,014190 \cdot ln \frac{(288,15)}{(273,15)} \) ⇒ ⇒ ΔSg3 = 2,24 J/K A mudança total de entropia para o gelo é dada pela soma das entropias dos três processos. ΔSgT = ΔSg1 + ΔSg2 + ΔSg3 ⇒ ⇒ ΔSgT = ΔSg1 + ΔSg2 + ΔSg3 ⇒ ⇒ ΔSgT = 15,3 J/K Vamos analisar o que ocorre com a água do lago. O lago cede ao gelo uma quantidade de calor que provoca a variação da temperatura do gelo. Qa1 = −Qq1 ⇒ ⇒ Qa1 = −mgcgΔT ⇒ ⇒ Qa1 = −mgcg (Tf − Ti) ⇒ ⇒ Qa1 = −0,012220⋅10 ⇒ ⇒ Qa1 = − 222 J O lago cede ao gelo uma quantidade de calor que provoca a mudança de estado. Qa2 = −Qq2 ⇒ ⇒ Qa2 = −mgLf ⇒ ⇒ Qa2 = −0,01333 × 10^3 ⇒ ⇒ Qa2 = −3,33 × 10^3 J Quando a água do gelo aquece, Qa3 = −Qq3 ⇒ ⇒ Qa3 = −mgc_águaΔT ⇒ ⇒ Qa3 = −0,014190. (288,15 − 273,15) ⇒ ⇒ Qa3 = −629 J A quantidade de calor que a água do lago transfere para o gelo é, QΔT = Qa1 + Qa2 + Qa3 ⇒ ⇒ QΔT = −4,18 × 10^3 J Assim a variação da entropia da água do lago será, ΔSaT = \( \frac{QΔT}{Ta} \) ⇒ ΔSaT = \( \frac{−4,18×10^3}{288,15} \) ⇒ ΔSaT = −14,5 J/K Para o sistema lago-gelo, a variação da entropia será, ΔSg = ΔSaT + ΔSgT ⇒ ⇒ ΔSg = −14,5 + 15,3 ⇒ ⇒ ΔSlg = 0,8 J/K A entropia é uma função de estado, o que significa que ela independe do caminho, porque só depende do estado inicial e do estado final, não depende da trajetória, não depende do processo termodinâmico. Para provar isso parte- se da primeira lei da termodinâmica na forma diferencial e chega-se a expressão da variação da entropia. Questão: A operação de um motor a gasolina de combustão interna está representada pelo ciclo da Figura 1. Suponha que a mistura gasolina-ar de admissão é um gás ideal e usa uma razão de compressão 4:1 (V4 = 4V1). Suponha que p2 = 3p1. (a) Determine a pressão e a temperatura em cada um dos estados termodinâmicos em termos de p1, T1 e da razão γ entre os calores específicos molares do gás. (b) Determine a eficiência térmica do Ciclo de Otto. Figura 1 — Ciclo de Otto (motor a gasolina). Resolução Ciclo Otto Centelha Qa Expansão adiabática W Compressão adiabática QI Tomada de ar V (a) Vamos determinar a pressão e a temperatura em cada estado termodinâmico. No processo termodinâmico isométrico (1 ➝ 2) a pressão p2 = 3p1 e o volume V2 = V1, assim de acordo com a equação de estado dos gases ideais, p2V2 = nRT2 => => 3p1V1 = nRT2 => => T2 = \frac{3p1V1}{nR} Como p1V1 = nRT1 T2 = \frac{3nRT1}{nR} => => T2 = 3T1 No processo termodinâmico adiabático (2 ➝ 3) o volume V3 = 4V1, assim, p2V2^γ = p3V3^γ => => 3p1V1^γ = p3(4V1)^γ => => p3 = \frac{3p1V1^γ}{(4V1)^γ} => => p3 = \frac{3p1}{4^γ} Também podemos usar, T2V2^γ−1 = T3V3^γ−1 => 3T1V1^γ−1 = T3(4V1)^γ−1 => => T3 = \frac{3T1V1^γ−1}{(4V1)^γ−1} => => T3 = \frac{3T1}{4^γ−1} No processo termodinâmico adiabático (4 ➝ 1) o volume V4 = 4V1, assim, p4V4^γ = p1V1^γ => => p4(4V1)^γ = p1V1^γ => => p4 = \frac{p1V1^γ}{(4V1)^γ} => => p4 = \frac{p1}{4^γ} Também podemos usar, T4V4^γ−1 = T1V1^γ−1 => T4 = \frac{T1V1^γ−1}{V4^γ−1} => => T4 = \frac{T1V1^γ−1}{(4V1)^γ−1} => => T4 = \frac{T1}{4^γ−1} (b) Agora vamos determinar a eficiência térmica do Ciclo de Otto. Para os processos isométricos (1 ➝ 2) temos, Qe = ncvΔT => => Qe = ncv(T2 − T1) Para o processo isométrico (3 ➝ 4) temos, Qf = ncV(T4 − T3) => => Qf = ncv(T4 − T3) Pela definição de eficiência térmica, e = 1 − \left|\frac{Qf}{Qe}\right| => => e = 1 − \frac{ncV(T4 − T3)}{ncV(T2 − T1)} => e = 1 − \frac{(T4 − T3)}{(T2 − T1)} Sabemos os valores das temperaturas, então, => e = 1 − \frac{T1 − \frac{3T1}{4^γ−1}}{(3T1 − T1)} => e = 1 − \frac{(\frac{3T1}{4^γ−1})}{2T1} => => e = 1 − \frac{1}{4^γ−1} Questão: A taxa de compressão de um motor diesel é Rc = 15, o que significa que o ar nos cilindros é comprimido a 1/15 do seu volume inicial. (a) Se a pressão inicial for a pressão atmosférica pa, e a temperatura for Ta, determine a pressão e a temperatura finais após a compressão. Para o ar (mistura de oxigênio e nitrogênio) considere a razão dos calores específicos molares y. (b) Se a taxa de expansão do motor diesel é Re = 5 (Vd = 5Vc). (i) Determine as temperaturas nos estados termodinâmicos c e d. (ii) Determine a eficiência térmica do motor diesel. Resolução (a) Determine a pressão e a temperatura finais após a compressão. No processo de compressão adiabática podemos usar, paVa^γ = pbVb^γ => => paVa^γ = pb \left(\frac{Va}{15}\right)^γ => => pb = \frac{paVa^γ}{\left(\frac{Va}{15}\right)^γ} => => pb = pa15^γ No processo de compressão adiabática podemos usar, TaVa^{y-1} = TvVb^{y-1} => Tb = TaVa^{y-1}/Vb^{y-1} => Tb = 15^{y-1}•Ta (b i) Determine as temperaturas nos estados termodinâmicos c e d. No processo isobárico [b-c] temos, PbVb = PcVc Tb Tc Vc = Tc => Vb Tb => Va/15 = Va/5 => 15^{y-1}•Ta Tc => Tc = 3.15^{y-1}•Ta No processo adiabático [c-d] temos, TcVc^{y-1} = TdVd^{y-1} => Td = TcVc^{y-1}/Vd^{y-1} => Td = Ta/Vsuper{(SV)}^{y-1} => Td = Tc => S^{y-1} Td = 3.15^{y-1}•Ta => S^{y-1} => Td = 3.37•15^{y-1}•Ta S^{y-1} => Td = 3•G•Ta => Td = 3•Y•Ta Determinação da Eficiência Térmica do Ciclo Diesel No processo isobárico, Qq = ncP^D No processo isométrico, Qf = ncyD^IW Pela definição de eficiência térmica, e = 1 - [ncy(Tc–Ta)] [ncD(Tc–Td)] => e = 1 - [(T7–3V7Wt)] GV[1.315^{y-1} => e => 1 => => 1 . != 1 •!Q=3yR/Gt3} e = 1.-(T7-3V7)+Q/2K^{MJ} 1.15/3-3.1^{+1/7} -> =e=1.-[1_{1.7}/5G}^{VL=>}n G = =>[U[7Y/21+G=31}