Tópicos em Sistemas Eletrônicos - Construção Eletrônica do PID

Topicos em Sistemas Eletrˆonicos FAENG Aula 20 Construcao Eletrˆonica do PID Prof Dr Lucas Porrelli Moreira da Silva Cuiaba 21 de setembro de 2023 LPM da Silva Controle 1 26 Introducao Na aula de hoje comecaremos a montagem eletrˆonica do PID via ampops LPM da Silva Controle 2 26 Acao Proporcional A acao proporcional e dada por ˆus kˆes Cs ˆus ˆes k 1 Rf R ˆvis ˆvos LPM da Silva Controle 3 26 Acao Proporcional Aplicando LKC temos ˆvis R ˆvos Rf que resulta em Cs ˆvos ˆvis Rf R k 2 LPM da Silva Controle 4 26 Acao Integral Pura A acao integral pura e dada por ˆus 1 Tisˆes Cs ˆus ˆes 1 Tis 3 1sCf R ˆvis ˆvos LPM da Silva Controle 5 26 Acao Integral Pura Aplicando LKC temos ˆvis R Cfsˆvos que resulta em Cs ˆvos ˆvis 1 RCfs 1 Tis 4 Notem que o tempo integral nada mais e do que a constante de tempo RC deste circuito LPM da Silva Controle 6 26 Acao Derivativa Pura A acao derivativa pura e dada por ˆus Tdsˆes Cs ˆus ˆes Tds 5 Rf 1sC ˆvis ˆvos LPM da Silva Controle 7 26 Acao Derivativa Pura Aplicando LKC temos Csˆvis ˆvos Rf que resulta em Cs ˆvos ˆvis RfCs Tds 6 Assim como na acao integral aqui o tempo derivativo tambem pode ser visto como a constante de tempo RC LPM da Silva Controle 8 26 Desafio Acao Derivativa Filtrada A acao derivativa filtrada e dada por ˆus Tds αTds 1ˆes Cs ˆus ˆes Tds αTds 1 7 Pensem numa topologia de circuito com ampop que garanta a FT 7 LPM da Silva Controle 9 26 Desafio Acao Derivativa Filtrada Rf Z ˆvis ˆvos Z R 1 sC RCs1 sC LPM da Silva Controle 10 26 Desafio Acao Derivativa Filtrada Aplicando LKC ˆvis Z ˆvos Rf ˆvos Rf Z ˆvis Cs RfCs RCs 1 8 observe que a Td RfC b αTd RC Assim para que a igualdade b seja satisfeita precisamos que R αRf ou Rf Rα com α 1 LPM da Silva Controle 11 26 O controle PI é dado por 1 Tis 1 Csk1 k 9 s zs Tis Z R wyS Bos Controle 1226 Controle PI Zf Rf 1 sCf Aplicando LKC ˆvis R ˆvos Zf ˆvos 1 R RfCfs 1 sCf ˆvis para conseguirmos alcancar o formato da equacao 9 facamos ˆvos Rf R RfCfs 1 RfCfs ˆvis kTis 1 Tis ˆvis Assim temos Cs kTis 1 Tis LPM da Silva Controle 13 26 Passando para o dominio jw jwT 1 C k jw jel Cjwap 20logk 20 log wT 1 20 logwT pw 7 arctanwT arctanw7 Controle 14 26 O diagrama de Bode pode ser construido de duas formas Primeiro método Com respeito ao ganho em dB 1 Olhando apenas para o ganho k O ganho em dB de Cjw fica 20 log k 2 Olhando apenas para o numerador de Cjw O ganho em dB fica 20 log wT 1 a wT 1 0dB b wT 1 20logwT 20logw 20 log T c wT 1 3dB 3 Olhando apenas para o denominador de Cjw O ganho em dB fica 20 logwT 20 logw 20 log Tj Assim o digrama de magnitude de Bode final é a soma dos grdficos 1 2 e 3 Controle 15 26 Com relacao a fase 1 Olhando apenas para o ganho k A fase sera trad 180 2 Olhando apenas para o numerador de Cjw A fase fica arctanwT a wT 1 Orad b wT 1 zrad 90 c wT 1 rad 45 3 Olhando apenas para o denominador de Cjw a fase sera rad 90 Assim o digrama da fase final é a soma dos graficos 1 2 e 3 Ou se preferir também é possivel recorrer a equacao pw arctanw7 1 wT 1 rad 90 2 wT 1 mrad 180 3 wT 1 3m rad 135 Controle 16 26 Segundo método ou método Tupiniquim homenagem ao Prof Jaime Montar uma tabela com valores para w por exemplo de década em década de freq e para cada valor de w obter o valor do ganho em dB bem como da fase Cjwap 20 logk 20 log wT 1 20 logwT T pw at arctanwT Observagao O unico problema do segundo método é que para algumas FT é necessario utilizar algumas frequéncias intermediarias ie tem caso que bata fazer por exemplo w 001 01 1 10 107 10 mas também podemos nos deparar com situacdes onde precisaremos fazer w 01 05 1 5 10 50 100 500 10 Controle 17 26 Controle PI Exemplo Considere a FT Cs 102s 1 2s 102 101 100 101 102 CjωdB 20 40 60 ωrads 102 101 100 101 102 ϕ 100 120 140 160 180 LPM da Silva Controle 18 26 O controle PIDISA é dado por 1 TTjs2 Ts 1 Cs k144Tys k 10 s k 1 7 Tus 10 Controle 19 26 Controle PID ISA Z R 1 sC R RCs 1 Zf Rf 1 sCf RfCfs 1 sCf Zf Z ˆvis ˆvos R1 Rf1 LPM da Silva Controle 20 26 Z bas FFAis RyC 1RCs1 Sh g8 FA AUS Ft s sCf R RpCpRCs RypCy RCs 1 ee ee bis RCs como T RCs podemos fazer Rr R2 e C C2 Assim x0 RORY s ECpRZst1 6 das RCys 0s 212 att RCys Lis 7 RC 8 uw Controle 2126 Controle PID ISA ˆvos Rf1 R1 ˆvas Rf1 R1 R2C2 f 4 s2 RCfs 1 RCfs ˆvis Cs kTiTds2 Tis 1 Tis Td RCf2 LPM da Silva Controle 22 26 No dominio jw 2 uw TT wT 1 Cjw pow fifa t Joti tb jw O ganho em dB e a fase ICjwlap 20 log k 20 log wT Ty jw 1 20 logwT wT 1 0 t pw arctan at 5 T arct wT arctan 2 wTT 1 Repare que em relacéo ao numerador temos que nas baixas frequéncias o ganho é unitario ie 0OdB nas altas frequéncias temos uma subida de 40dBdéc por fim na frequéncia de corte o ganho sera de 3dB por fim a freq de ressonancia e o ganho ressonante irao depender do coeficiente de amortecimento que esta amarrado aos tempos T e Ty Controle 23 26 Controle PID ISA Exemplo Considere a FT k 2 Ti 5s e Td 25s Cs 2125s2 5s 1 5s 102 101 100 101 102 CjωdB 0 20 40 60 ωrads 102 101 100 101 102 ϕω 100 0 100 LPM da Silva Controle 24 26 Controle PID ISA Uma forma mais trabalhosa Rp R R R Rp ˆvis Ri 1sCi 1sCd Rfd Rf ˆvos LPM da Silva Controle 25 26 R 04s Rp ils 6s afs 5 Ais b RCys 61s RyCasds Ry 1 aos f 4 4 b 6os R RCs RyCas 0s Ry 1 f y4 6 R RiGis RyCus 0s 1 k 1 Ts Ts 0s Controle 26 26