Sistemas de Controle II - Aula 08: Critério de Estabilidade de Nyquist e Diagramas Polares

Sistemas de Controle II SCOE7 Aula 08 Prof Elian João Agnoletto agnolettoelianifspedubr SCOE7 Sistemas de Controle II 1 Sumário SCOE7 Sistemas de Controle II 2 Critério de estabilidade de Nyquist Avaliação Data da divulgação Data máxima para entrega Avaliação Formativa 1 AF1 14022023 18042023 Avaliação Somativa 1 AS1 25042023 Avaliação Formativa 2 AF2 25042023 13062023 Avaliação Somativa 2 AS2 13062023 Diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 3 O diagrama polar de uma função de transferência senoidal 𝐺𝑗𝜔 é um gráfico do módulo de 𝐺𝑗𝜔 versus o ângulo de fase de 𝐺𝑗𝜔 em coordenadas polares com 𝜔 variando de zero a infinito É o lugar dos vetores 𝐺 𝑗𝜔 𝐺 𝑗𝜔 com 𝜔 variando de zero ao infinito Ângulo de fase positivo medido no sentido antihorário a partir do eixo real positivo Ângulo de fase negativo medido no sentido horário a partir do eixo real positivo Frequentemente chamado de diagrama de Nyquist Diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 4 Vantagem representa as características da resposta em frequência de um sistema em toda a faixa de frequências em um único gráfico Desvantagem não indica claramente as contribuições de cada fator individual sobre a função de transferência de malha aberta Fator integral 1𝑗𝜔 SCOE7 Sistemas de Controle II 5 O diagrama polar de 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 é o eixo imaginário negativo 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 𝑗 1 𝜔 1 𝜔 90 Fator derivativo 𝑗𝜔 SCOE7 Sistemas de Controle II 6 O diagrama polar de 𝐺 𝑗𝜔 𝑗𝜔 é o eixo imaginário positivo 𝐺 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝜔90 Fator de primeira ordem 1 1𝑗𝜔𝑇 SCOE7 Sistemas de Controle II 7 𝐺 𝑗𝜔 1 1 𝑗𝜔𝑇 1 1 𝜔2𝑇2 tg1 𝜔𝑇 Para 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 𝐺0 10 Para 𝜔 1𝑇 𝐺 𝑗𝜔 𝐺 𝑗 1 𝑇 1 2 45 Para 𝜔 𝐺 𝑗𝜔 𝐺 𝑗 0 90 O diagrama polar inicia em 10 e termina em 0 90 à medida que 𝜔 aumenta de zero a infinito Fator de primeira ordem 1 1𝑗𝜔𝑇 SCOE7 Sistemas de Controle II 8 À medida que a frequência 𝜔 varia de zero ao infinito o diagrama polar dessa função de transferência descreve uma semicircunferência O centro fica localizado no ponto 05 do eixo real e o raio é igual a 05 𝐺 𝑗𝜔 1 1 𝑗𝜔𝑇 1 1 𝜔2𝑇2 tg1 𝜔𝑇 Fator de primeira ordem 1 1𝑗𝜔𝑇 SCOE7 Sistemas de Controle II 9 À medida que a frequência 𝜔 varia de zero ao infinito o diagrama polar dessa função de transferência descreve uma semicircunferência O centro fica localizado no ponto 05 do eixo real e o raio é igual a 05 𝐺 𝑗𝜔 1 1 𝑗𝜔𝑇 1 1 𝜔2𝑇2 tg1 𝜔𝑇 Semicírculo inferior 0 𝜔 Semicírculo superior 𝜔 0 Fator de primeira ordem 1 𝑗𝜔𝑇 SCOE7 Sistemas de Controle II 10 O diagrama polar da função de transferência é simplesmente a metade superior da reta que passa pelo ponto 10 no plano complexo e é paralela ao eixo imaginário Aparência completamente diferente do fator 11 𝑗𝜔𝑇 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔𝑇 1 𝜔2𝑇2 tg1 𝜔𝑇 Fator quadrático 1 12𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 11 𝐺 𝑗𝜔 1 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 para 𝜁 0 O diagrama polar inicia em 10 e termina em 0 180 à medida que 𝜔 aumenta de zero a infinito Baixas frequências Altas frequências lim 𝜔0 𝐺𝑗𝜔 10 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔 0 180 Fator quadrático 1 12𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 12 𝐺 𝑗𝜔 1 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 para 𝜁 0 O diagrama polar inicia em 10 e termina em 0 180 à medida que 𝜔 aumenta de zero a infinito A parte relativa à alta frequência de 𝐺𝑗𝜔 é tangente ao eixo real negativo A frequência na qual o lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 cruza o eixo imaginário é a frequência natural não amortecida 𝜔𝑛 Fator quadrático 1 12𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 13 𝐺 𝑗𝜔 1 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 para 𝜁 0 A frequência cujo ponto está mais distante da origem corresponde à frequência de ressonância 𝜔𝑟 Fator quadrático 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 14 𝐺 𝑗𝜔 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 Baixas frequências Altas frequências lim 𝜔0 𝐺𝑗𝜔 10 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔 180 O diagrama polar inicia em 10 e termina em 180 à medida que 𝜔 aumenta de zero a infinito Fator quadrático 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 15 𝐺 𝑗𝜔 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 A parte imaginária de 𝐺 𝑗𝜔 é positiva para 𝜔 0 e é monotonicamente crescente A parte real de 𝐺 𝑗𝜔 decresce monotonicamente a partir da unidade 𝐺 𝑗𝜔 1 𝜔2 𝜔𝑛 2 𝑗 2𝜁𝜔 𝜔𝑛 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 16 Considere a seguinte função de transferência de segunda ordem Construa o diagrama polar referente a esta função de transferência 𝐺 𝑠 1 𝑠𝑇𝑠 1 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 17 A função de transferência senoidal pode ser escrita como 𝐺 𝑠 1 𝑠𝑇𝑠 1 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔𝑗𝜔𝑇 1 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔𝑇 1 𝑗𝜔𝑇 1 𝑗𝜔𝑇 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔𝑇 𝑗𝜔 1 𝜔2𝑇2 𝑇 1 𝜔2𝑇2 1 𝑗𝜔1 𝜔2𝑇2 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 18 A função de transferência senoidal pode ser escrita como 𝐺 𝑠 1 𝑠𝑇𝑠 1 𝐺 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔𝑇 𝑗𝜔 1 𝜔2𝑇2 𝑇 1 𝜔2𝑇2 1 𝑗𝜔 1 𝜔2𝑇2 𝐺 𝑗𝜔 𝑇 1 𝜔2𝑇2 𝑗 1 𝜔 1 𝜔2𝑇2 Baixas frequências Altas frequências lim 𝜔0 𝐺𝑗𝜔 𝑇 𝑗 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔 0 𝑗0 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 19 𝐺 𝑠 1 𝑠𝑇𝑠 1 Baixas frequências Altas frequências lim 𝜔0 𝐺𝑗𝜔 𝑇 𝑗 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔 0 𝑗0 Exemplo 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 20 Obtenha o diagrama polar da seguinte função de transferência 𝐺 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝐿 1 𝑗𝜔𝑇 Exemplo 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 21 𝐺 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝐿 1 𝑗𝜔𝑇 𝐺 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝐿 1 1 𝑗𝜔𝑇 1 1 𝜔2𝑇2 Cálculo do módulo de 𝐺 𝑗𝜔 Cálculo da fase de 𝐺 𝑗𝜔 𝐺 𝑗𝜔 𝜔𝐿 tg1 𝜔𝑇 O módulo decresce monotonicamente a partir da unidade e o ângulo de fase também decresce monotônica e indefinidamente Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 22 Considere uma função de transferência senoidal na forma geral onde n m ou o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador As análises serão realizadas para Sistemas tipo 0 𝜆 0 Sistemas tipo 1 𝜆 1 Sistemas tipo 2 𝜆 2 Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 23 Considere uma função de transferência senoidal na forma geral Sistemas tipo 0 𝝀 𝟎 O ponto de início do diagrama polar 𝜔 0 é finito e está sobre o eixo real positivo A tangente do diagrama polar em 𝜔 0 é perpendicular ao eixo real O ponto final 𝜔 está sobre a origem e a curva é tangente a um dos eixos Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 24 Considere uma função de transferência senoidal na forma geral Sistemas tipo 1 𝝀 𝟏 O termo 𝑗𝜔 no denominador contribui com 90 do ângulo de fase total de 𝐺𝑗𝜔 para 0 𝜔 Em 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 é infinito e 𝐺 𝑗𝜔 90 Em baixas frequências o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo Em 𝜔 o módulo tornase nulo e a curva converge para a origem tangenciando um dos eixos Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 25 Considere uma função de transferência senoidal na forma geral Sistemas tipo 2 𝝀 𝟐 O termo 𝑗𝜔 2 no denominador contribui com 180 do ângulo de fase total de 𝐺𝑗𝜔 para 0 𝜔 Em 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 é infinito e 𝐺 𝑗𝜔 180 Em baixas frequências o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo Em 𝜔 o módulo tornase nulo e a curva converge para a origem tangenciando um dos eixos Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 26 Se 𝑛 𝑚 então os lugares geométricos de 𝐺𝑗𝜔 vão convergir para a origem no sentido horário Em 𝜔 os lugares são tangentes a um ou outro eixo Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 27 Diagramas polares de funções de transferência com dinâmica no numerador Formas mais complicadas nas curvas do diagrama polar devido às constantes de tempo no numerador da função de transferência Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 28 Diagramas polares de funções de transferência simples Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 29 Diagramas polares de funções de transferência simples Formas gerais dos diagramas polares SCOE7 Sistemas de Controle II 30 Diagramas polares de funções de transferência simples Diagramas de Nyquist no MATLAB SCOE7 Sistemas de Controle II 31 Considere a seguinte função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠2 08𝑠 1 Desenhe um diagrama de Nyquist com o MATLAB Diagramas de Nyquist no MATLAB SCOE7 Sistemas de Controle II 32 𝐺 𝑠 1 𝑠2 08𝑠 1 Diagramas de Nyquist no MATLAB SCOE7 Sistemas de Controle II 33 Dependendo da FT do sistema o comando nyquist do MATLAB não mostra o contorno completo da resposta para 𝜔 Conhecer os enlaces no ponto 1 será importante em análises futuras O arquivo nyqlogm disponibilizado no Moodle permite uma visualização dos contornos completos Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 34 Determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequência de malha aberta e nos polos de malha aberta Conceito semelhante ao do lugar geométrico das raízes onde começamos com informações sobre o sistema em malha aberta seus polos e zeros e desenvolvemos informações sobre o transitório e a estabilidade do sistema em malha fechada Embora a princípio o critério de Nyquist forneça informações sobre a estabilidade estendemos o conceito para a resposta transitória e para os erros em regime permanente As técnicas de resposta em frequência são uma abordagem alternativa ao lugar geométrico das raízes Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 35 Para obter estabilidade todas as raízes da equação característica 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 0 devem ficar no semiplano esquerdo do plano s Critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 ao número de zeros e polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 que se situam no semiplano direito do plano s Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 36 Vantagem A estabilidade absoluta do sistema de malha fechada pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta Não há necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de malha fechada As curvas de resposta em frequência de malha aberta obtidas analítica e experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 37 O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em um teorema a partir da teoria de variáveis complexas mapeamento de contornos no plano complexo Nas análises será considerada a função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠𝐻𝑠 representada pela relação de polinômios em s Sistema fisicamente realizável o grau do polinômio do denominador da função de transferência de malha fechada deve ser maior ou igual ao do polinômio do numerador Para qualquer sistema realizável fisicamente o limite de 𝐺𝑠𝐻𝑠 é nulo ou uma constante à medida que s tende ao infinito Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 38 Será mostrado que uma dada trajetória contínua e fechada no plano s que não passe por quaisquer pontos singulares corresponde uma curva fechada no plano 𝐹𝑠 O número e o sentido dos envolvimentos da origem do plano 𝐹𝑠 pela curva fechada estarão relacionados à estabilidade do sistema A equação característica do sistema de malha fechada é Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 39 O critério de Nyquist pode nos dizer quantos polos em malha fechada estão no semiplano direito Para a dedução do critério de Nyquist serão utilizados alguns conceitos importantes teorema do mapeamento A relação entre os polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 e os polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 A relação entre os zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 e os polos da função de transferência em malha fechada 𝑇𝑠 O conceito de mapeamento de pontos O conceito de mapeamento de contornos Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 40 Os polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 são os mesmos que os polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 o sistema em malha aberta Os zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 são os mesmos que os polos de 𝑇𝑠 o sistema em malha fechada Função de transferência de malha aberta Polinômio característico da função de transferência de malha fechada 𝐹 𝑠 Função de transferência de malha fechada Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 41 Mapeamento Se tomarmos um número complexo no plano s e o substituirmos em uma função 𝐹𝑠 o resultado é outro número complexo Exemplo Considere o ponto s 4 𝑗3 no plano 𝑠 e uma função 𝐹 s 𝑠2 2𝑠 1 Substituindo o ponto na função temos 𝐹 𝑠 𝑠2 2𝑠 1 𝐹 𝑠 4 𝑗322 4 𝑗3 1 𝐹 𝑠 16 𝑗24 9 8 𝑗6 1 𝐹 𝑠 16 𝑗30 Portanto dizemos que o ponto s 4 𝑗3 é mapeado em 16 𝑗30 através da função 𝐹 𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 42 Mapeamento de contornos O contorno A pode ser mapeado através de Fs no contorno B substituindose cada ponto do contorno A na função Fs e representandose graficamente os números complexos resultantes Exemplo o ponto Q é mapeado no ponto Q através da função Fs Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 43 Exemplo Considere a seguinte função de transferência de malha aberta A equação característica é A função 𝐹𝑠 é analítica em todos os pontos do plano s exceto em seus pontos singulares Cada ponto de análise no plano s corresponde a um ponto no plano 𝐹𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 44 Por exemplo se 𝑠 2 𝑗1 então 𝐹𝑠 será Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 45 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 46 Se o contorno no plano s envolver o polo de 𝐹𝑠 o lugar geométrico de 𝐹𝑠 envolverá uma vez a origem do plano 𝐹𝑠 no sentido antihorário 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 47 Se o contorno no plano s envolver um zero de 𝐹𝑠 haverá um envolvimento da origem do plano s pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 no sentido horário 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 48 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Se o contorno no plano s envolver tanto o zero como o polo então NÃO HAVERÁ o envolvimento da origem do plano 𝐹𝑠 pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 49 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Se o contorno no plano s não envolver nenhum zero e nenhum polo então não haverá o envolvimento da origem do plano 𝐹𝑠 pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 50 Conclusão O sentido do envolvimento da origem do plano 𝐹𝑠 pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 está relacionado ao fato do contorno no plano s envolver um polo ou um zero A localização de um polo ou um zero no plano s seja no semiplano direito ou no semiplano esquerdo não faz nenhuma diferença mas o envolvimento de um polo ou um zero faz Se o contorno no plano s envolver igual número de polos e de zeros então a curva fechada correspondente no plano 𝐹𝑠 não envolverá a origem do plano 𝐹𝑠 A discussão apresentada é uma explicação gráfica do teorema do mapeamento que é a base do critério de estabilidade de Nyquist Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 51 Definição Seja 𝐹𝑠 a relação de dois polinômios em s Seja 𝑃 o número de polos e 𝑍 o número de zeros de 𝐹𝑠 que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros Esse contorno não deve passar por nenhum dos polos ou zeros de 𝐹𝑠 Esse contorno no plano s é então mapeado no plano 𝐹𝑠 como uma curva fechada Quando o ponto representativo descreve todo o contorno do plano s no sentido horário o número total 𝑁 de envolvimentos da origem no sentido horário no plano 𝐹𝑠 é igual a 𝑍 𝑃 Note que por esse teorema do mapeamento o número de zeros e polos não pode ser determinado apenas sua diferença 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 N número de envolvimentos da origem no sentido horário no plano 𝐹𝑠 𝑃 número de polos de 𝐹𝑠 que estão no interior do contorno fechado no plano 𝑠 𝑍 número de zeros de 𝐹𝑠 que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros 𝑁 𝑍 𝑃 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 52 𝑁 0 enlaces da origem no sentido horário excesso de zeros em relação aos polos de 𝐹𝑠 𝑁 0 enlaces da origem no sentido antihorário excesso de polos em relação aos zeros de 𝐹𝑠 O número 𝑃 pode ser facilmente determinado por 𝐹𝑠 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 a partir da função 𝐺𝑠𝐻𝑠 Portanto se 𝑁 for determinado a partir do diagrama de 𝐹𝑠 o número de zeros no interior do contorno fechado do plano s poderá ser determinado facilmente 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 N número de envolvimentos da origem no sentido horário no plano 𝐹𝑠 𝑃 número de polos de 𝐹𝑠 que estão no interior do contorno fechado no plano 𝑠 𝑍 número de zeros de 𝐹𝑠 que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros 𝑁 𝑍 𝑃 Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 53 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Para a análise de estabilidade dos sistemas de controle lineares fazemos o contorno no plano s envolver TODO o semiplano direito O contorno é constituído por todo o eixo 𝑗𝜔 de 𝜔 a 𝜔 e de um percurso semicircular de raio infinito no semiplano direito do plano s percurso de Nyquist feito no sentido horário Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 54 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano direito do plano s e todos os zeros e polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 que têm partes reais positivas Se no semiplano direito do plano s não houver zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 então também não haverá polos de malha fechada e o sistema será estável 𝑁 𝑍 𝑃 Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 55 É necessário que o contorno fechado ou o percurso de Nyquist não passe sobre zeros e polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 Se 𝐺𝑠𝐻𝑠 tiver um polo ou polos na origem do plano s o mapeamento do plano 𝑠 0 fica indeterminado Nesses casos a origem é evitada tomandose um desvio ao seu redor Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 56 O termo 𝐹 s 1 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 pode ser reescrito como a soma vetorial do vetor unitário e do vetor 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 O envolvimento da origem pelo diagrama de 1 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 é exatamente equivalente ao envolvimento do ponto 1 𝑗0 pelo lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 A estabilidade de um sistema de malha fechada pode ser investigada examinandose os envolvimentos do ponto 1 𝑗0 pelo lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 57 Análise da estabilidade pelo critério de Nyquist é realizada utilizando a função de transferência de malha aberta e os envolvimentos no ponto 1 𝑗0 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 58 Análise de um caso especial em que 𝐺𝑠𝐻𝑠 não possui nem polos nem zeros sobre o eixo 𝑗𝜔 Definição se a função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠𝐻𝑠 tiver 𝑘 polos no semiplano direito do plano 𝑠 e lim s0 𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 então por questão de estabilidade o lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 à medida que 𝜔 varia de a deve envolver o ponto 1 𝑗0 𝑘 vezes no sentido antihorário Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 59 Observações sobre o critério de estabilidade de Nyquist Esse critério pode ser expresso como 𝑍 número de zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 no semiplano direito do plano s 𝑁 número de envolvimentos do ponto 1 𝑗0 no sentido horário 𝑃 número de polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 no semiplano direito do plano s Se 𝑃 não for zero para um sistema de controle estável devese ter 𝑍 0 ou 𝑁 𝑃 o que significa que se deve ter 𝑃 envolvimentos do ponto 1 𝑗0 no sentido antihorário Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 60 Se 𝐺𝑠𝐻𝑠 não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano 𝑠 então 𝑍 𝑁 Portanto para que haja estabilidade não devem existir envolvimentos do ponto 1 𝑗0 pelo lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 Não é necessário considerar o lugar geométrico para todo o eixo 𝑗𝜔 apenas para a parte relativa à frequência positiva A estabilidade desse sistema pode ser determinada verificando se o ponto 1 𝑗0 está envolvido pelo diagrama de Nyquist de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 Para que haja estabilidade o ponto 1 𝑗0 deve estar fora da região sombreada indicada na Figura Observações sobre o critério de estabilidade de Nyquist Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 61 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 2 4 A B C D Análise do ponto A 𝜎 0 e 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 1 8 𝐺 𝑗𝜔 0 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 62 2 4 A B C D Análise do ponto B 𝜎 0 e 𝜔 𝐺 𝑗𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 180 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 63 2 4 A B C D Análise do ponto C 𝜎 e 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 0 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 64 2 4 A B C D Análise do ponto D 𝜎 0 e 𝜔 𝐺 𝑗𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 180 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 65 2 4 A B C D A BCD 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 𝑃 0 𝑁 0 𝑍 0 Como 𝑍 0 não existem polos de malha fechada no semiplano direito do plano 𝑠 Portanto o sistema representado por 𝐺𝑠 é estável em malha fechada Verificar pelo LGR também O sistema é estável em malha fechada Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 66 2 4 A B C D 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 O sistema é estável em malha fechada para qualquer valor de ganho 𝐾 Bibliografia SCOE7 Sistemas de Controle II 67 OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª edição Ed Pearson 2011 Livro Digital NISE N S Engenharia de sistemas de controle 7 ed São Paulo Editora LTC 2017 DORF R C BISHOP R Sistemas de Controle Modernos 11 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2009 SOUZA A C Z LIMA I PINHEIRO C A M PROJETOS SIMULAÇÕES E EXPERIÊNCIAS DE LABORATÓRIO EM SISTEMAS DE CONTROLE Editora Interciência 2014 ISBN 9788571933491 FELÍCIO L C Modelagem da Dinâmica de Sistemas e Estudo da Resposta 1 ed São Carlos Editora Rima 2010 MAYA P A e LEONARDI F Controle Essencial 2 ed São Paulo Pearson 2014 Sistemas de Controle II SCOE7 Obrigado Prof Elian João Agnoletto agnolettoelianifspedubr SCOE7 Sistemas de Controle II 68