Controle de Qualidade - Lista de Exercícios 1

Controle de Qualidade Lista 1 Não é necessário submeter 1 Um fabricante de calculadoras eletrônicas oferece garantia de 1 ano Se as calculadoras apresentarem algum defeito neste período de tempo ela é substituída O tempo de falha das calculadoras é bem modelado pela seguinte distribuição de probabailidade 𝑓𝑡 0125𝑒0125 𝑡 t0 a Qual a percentagem de calculadoras que apresentarão defeito dentro do período de garantia Distribuição Exponencial 𝐹𝑥 𝜆𝑒𝜆𝑡 µ 1 𝜆 10125 8 logo 𝜆 0125 X Exp 1 𝜆 X Exp 8 P t1 0125𝑒0125 𝑡 1 0 dt 0110312 1175 R1175 b O custo de fabricação de uma calculadora é 50 e o lucro por unidade vendida é de 25 Qual o efeito da política de garantia sobre o lucro Em 100 você gasta 10050 011751005055875 Receita 100757500 Lucro Real 750055875191215 Lucro Teórico 100252500 Redução de Lucro 1912152500765 de Lucro Reduz lucro em 235 2 Sabendo que 𝐸𝑥 𝜇𝑥 𝑥𝑖 𝑃𝑥𝑖 para variáveis discretas e 𝐸𝑥 𝜇𝑥 𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 para variáveis aleatórias continuas sendo 𝑃𝑥𝑖 e 𝑓𝑥 a probabilidade de x e a função densidade de probabilidade x respectivamente perguntase a Qual a média de um fenômeno que tenha a forma do semicírculo ao lado Como a área 1 então já temos a função densidade e fx11282 x25 Logo Ex integrate x11282 x25 from x0 to 1128 04784 httpswwwwolframalphacominputiintegratex11285E2 x5E25E5fromx3D0to1128 b Qual a probabilidade de x ser menor que 11282 Px11282integrate 11282 x25 from x0 to 11282 06085 httpswwwwolframalphacominputiintegrate11285E2 x5E25E5fromx3D0to11282F2 3 Um livro contém 500 páginas nos quais podem ocorrer erros tipográficos Suponha que há exatamente 10 erros localizados aleatoriamente nestas páginas a Ache a probabilidade de que uma amostra de 50 páginas não contenha erros Distribuição de Poisson X Po 𝜆 10500 002 média de erros por página 50 002 1 𝑃𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝜆𝑥 𝑥 𝜆 np 5010500 1 Valor esperado 1𝜆 1 𝑃𝑋 0 𝑒110 0 03679 Prx0 0364 b c Ache a probabilidade de que 50 páginas selecionadas aleatoriamente contenham pelo menos dois erros 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑥 2 𝑃𝑋 0 𝑒110 0 03679 𝑃𝑋 1 𝑒110 0 03679 𝑃𝑋 2 1 03679 03679 𝑃𝑋 2 02642 2642 4 O peso liquido em onças OZ de um alvejante em pó deve ser monitorado por gráficos de controle x e R usando amostras de tamanho n5 Dados para 20 amostras preliminares são os seguintes Amostra x1 x2 x3 x4 x5 1 1580 1630 1620 1610 1660 2 1630 1590 1590 1620 1640 3 1610 1620 1650 1640 1630 4 1630 1620 1590 1640 1620 5 1610 1610 1640 1650 1600 6 1610 1580 1670 1660 1640 7 1610 1630 1650 1610 1650 8 1620 1610 1620 1610 1630 9 1630 1620 1640 1630 1650 10 1660 1630 1640 1610 1650 11 1620 1640 1590 1630 1640 12 1590 1660 1670 1620 1650 13 1640 1610 1660 1640 1610 14 1650 1630 1620 1630 1640 15 1640 1610 1630 1620 1620 16 1600 1620 1630 1630 1620 17 1640 1620 1640 1630 1620 18 1600 1620 1640 1650 1610 19 1640 1600 1630 1640 1640 20 1640 1640 1650 1600 1580 a Construa gráficos de controle X e R usando esses dados mas antes verifique se os dados são autocorrelacionados A partir do reeodenamento para verificar a autocorrelação obtevese o segunte gráfico Sequencia X11 158 12 163 13 162 14 161 15 166 X21 163 22 159 23 159 24 162 25 164 X31 161 32 162 33 165 34 164 35 163 X205 158 Onde a um nível de significância de 5 sendo o limite do gráfico de 02 conforme observado notase que não há autocorrelação entre os valores o que indica a possiblidade do uso das cartas de shewart Para a construção do gráfico 𝑅 temse que 𝑅 𝑅𝑖 20 𝑖1 20 95 20 0475 D3 0 e D4 2115 𝐿𝐼𝐶 𝑅𝐷3 04750 0 𝐿𝑆𝐶 𝑅𝐷4 04752115 1005 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 10 08 06 04 02 00 02 04 06 08 10 Lag Autocorrelation Autocorrelation Function for C8 with 5 significance limits for the autocorrelations 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 164 162 160 Sample Mean X16268 UCL165420 LCL159940 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 10 05 00 Sample Range R0475 UCL1004 LCL0 20 15 10 5 168 164 160 Sample Values 166 164 162 160 158 LSL Target USL LSL 157 Target 162 USL 167 Specifications 170 165 160 155 Within O v erall Specs StDev 02042 Cp 082 Cpk 071 PPM 1990261 Within StDev 02014 Pp 083 Ppk 071 Cpm 078 PPM 1840243 Overall Process Capability Sixpack of x1 x5 Xbar Chart R Chart Last 20 Subgroups Capability Histogram Normal Prob Plot A D 1257 P 0005 Capability Plot Análise Geral Para o gráfico de 𝑥 𝑥 𝑥𝑖 5 𝑖1 5 8134 5 16268 A2 0577 𝐿𝑆𝐶 𝑥 𝐴2𝑅 16268 05770475 16542 𝐿𝐼𝐶 𝑥 𝐴2𝑅 16268 05770475 15994 Gráfico de 𝑥 b Discuta se o processo está sob controle estatístico Pelos gráficos obtidos de 𝑥 e 𝑅 notase que o processo está sob controle estatístico dada a ausência de causas especiais como aspecto da variabilidade do processo este se deve apenas a causas comuns c Estime a média e o desvio padrão do processo overall e within A média do processo ou seja o 𝑥 será de 16268 conforme resultante do item a O desvio padrão within do processo pode ser estimado por 𝜎 𝑅 𝑑2 0475 2326 0204213 Já o Desvio overall como a diferença quadrátrica entre cada observação e a média global deu um valor muito próximo 02014 d O peso de enchimento parece seguir uma distribuição normal Sim pelo gráfico da Análise Geral percebese que os dados seguem a distribuição normal e Se as especificações são 162 05 quais as suas conclusões sobre a capacidade do processo Sejam os limites de especificação de 162 05 oz supondo que o peso de enchimento seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 𝑥 16268 e desvio padrão 𝜎 0204213 a razão de capacidade do processo Cp será tal que 𝐶𝑝 𝐿𝑆𝐶 𝐿𝐼𝐶 6𝜎 167 157 60204213 082 Como se apresenta um processo para o qual a RCP 𝐶𝑝 1 concluise que se usa mais de 100 da faixa de tolerância sendo um processo muito sensível e um grande número de alvejantes nãoconformes será produzido 𝐶𝑝𝑘𝑚í𝑛 𝐿𝑆𝐸 𝑥 3𝜎 𝑥 𝐿𝐼𝐶 3𝜎 167 16268 30204213 16268 157 30204213 071 Como Cpk 1 o processo não é capaz de atender as especificações gerando aproximadamente 199 de produtos fora das especificações f Que fração de recipientes produzidos por esse processo estará provavelmente abaixo do limite inferior de especificação de 157 oz Px157 𝑧 15716268 0204213 278 Pz 278 1 Pz 278 1 09973 Px157 00028 028 5 Um analista da qualidade quer avaliar se existe diferença entre o diâmetro da produção de eixo de comando desenvolvido por dois sistemas de usinagem A Tabela a seguir apresenta as medições de duas populações independentes com distribuição Normal 187997 187545 191688 211609 247531 250589 205035 192026 192898 261371 257219 221119 186214 184187 22059 214737 226389 203069 199192 207641 185854 309934 262308 236758 21117 210553 178896 228421 267998 271201 208353 175905 244133 284708 296136 17527 187561 204137 269941 259948 17078 189772 255475 251489 18223 176197 203084 218791 246179 237336 214255 188988 226706 270194 224208 Sistema de usinagem 1 Sistema de usinagem 2 a Podemos dizer que as médias de ambos sistemas são iguais Como não se conhece o desvio devemos usar um teste t de hipótese Ho 12 H1 12 Como P valor é menor que 5 então rejeitase Ho ou seja podese afirmar com 95 de confiança que os Sistemas produzem resultados diferentes b Há algum valor de diâmetro que produzirá a mesma proporção de medidas tanto acima quanto abaixo das médias dos sistemas 1 e 2 respectivamente Sim quando z1z2 ou seja x193313622447x2888 Portanto x 209772 Sistema de usinagem 2 Sistema de usinagem 1 325 300 275 250 225 200 175 150 Data Boxplot of Sistema de usinagem 1 Sistema de usinagem 2 6 Uma empresa exporta em média 1000 bobinas de arame farpado por mês a um cliente internacional A especificação desta bobina é de 2550 metros com tolerância de até 2 e seu peso por metro é de 003 kgm O Cliente tem o direito de aplicar uma multa de R 10000 se encontrar um Lote com Média Menor que a Tolerância Na fábrica foi feita uma amostragem do processo em 10 dias retirandose aleatoriamente 2 bobinas coletando o peso e transformando em Metros Os resultados estão na tabela ao lado De posse destes dados e usando os conceitos aprendidos na disciplina responda Dia Amostra 1 Amostra 2 1 2500 2458 2 2570 2548 3 2499 2576 4 2550 2500 5 2469 2556 6 2487 2564 7 2544 2566 8 2537 2455 9 2555 2488 10 2589 2500 a Com base na amostra qual a Fração de Não Conformes Observada neste processo LIE2499 m Alvo 2555 Como em 20 observações há 5 observações abaixo de 2499 então temse 25 de Não Conformidades Observadas b Se em cada exportação de 1000 bobinas o cliente fizer uma pesagem de 10 bobinas qual a chance de você tomar mais de 4 multas em 12 meses Sigma Rd2 6151128 5452 P x2499 xMediaSigman52499252565452105154 p x2499 p z154 00617 Em 10 amostras há uma chance de 617 de que o lote seja reprovado Quer se saber a probabilidade de em n12 meses se tomar mais de 4 multas Binomial n 12 p 00617 P x41Px0 Px1 Px2 Px3 Px4 0000490049 c Em média quantos metros serão economizados para cada 100 unidades produzidas se for mantido o comprimento médio das bobinas mas houver uma redução do desvio padrão deste processo para aproximadamente 8 metros a Media25256 Desvio 5452 contra b Media25256 Desvio 8 a terá 46 m em média acima de 2550 ver questão e e b quase nada estará acima de 2550 Logo Diferença100 46 metros x 100 bobinas 4600 seriam economizados em cada 100 bobinas d Defina a Capabilidade para este processo e faça o cálculo dos índices de Capabilidade apropriados Sigma within Rd2 6151128 5452 m Cpk 2499252563x5452 016 Cpk016 e Devido a variabilidade do processo qual o peso médio das bobinas que ultrapassam a especificação de 2550 m média 3 Sigma 2689 m Aproximando por uma distribuição triangular temos que a média 2 x 2550 2689 3 2596 Logo 2596 2550 aprox 46 metros f Diante das amostras calcule os Limites de Controle tentativos para uma Carta de Controle LSC Media A2 R 25256 188 x 61 5 26412 LIC Media A2 R 25256 188 x 61 5 24099 g Qual o Nível Sigma do Processo P x2499 P z 2525624995452 04878 Logo Nível Sigma 15 04878 1987 Observar Slide 73 tabela do nível sigma Outra forma é DPMOárea acima das tolerâncias x2499 Φ 04878 03128 312800 ppm 𝑁í𝑣𝑒𝑙 𝑆𝑖𝑔𝑚𝑎08406 2937 2221ln 𝑝𝑝𝑚 𝑁í𝑣𝑒𝑙 𝑆𝑖𝑔𝑚𝑎08406 2937 2221ln 312800197 2550 2689 2550 2689 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 007 006 005 004 003 002 001 000 Sample Sample Count Per Unit U002213 UCL005036 LCL0 2 2 U Chart of No Total de Erros Tests performed with unequal sample sizes 7 Uma central de atendimento recebe semanalmente um conjunto de requisições de manutenção No entanto as requisições podem conter um ou mais erros de informação Para melhorar o processo a equipe anota a quantidade de erros encontrada nas requisições e depois inicia o controle estatístico Pelos dados é possível observar que o processo está fora de controle 9 pontos abaixo da linha central e portanto limites de controle cálculo de capabilidade e probabilidades não teriam estabilidade Seria necessário um Semana Requisições No Total de Erros 1 200 6 2 250 8 3 250 9 4 250 7 5 200 3 6 200 4 7 150 2 8 150 1 9 150 0 10 150 2 11 100 1 12 100 0 13 100 1 14 200 4 15 200 5 16 200 3 17 200 10 18 200 4 19 250 7 20 250 6 Total 3750 83 maior conjunto de dados para estabelecer um padrão estável Observese que os cálculos das questões abaixo serão realizados com a ressalva acima a Determine os Limites tentativos de Controle apropriado para a elaboração de uma Carta de Controle Carta U Número de Erros por Requisição Limite Central U Médo LC 375083 00221 LSC Variável LIC Zero b Qual a probabilidade de que num lote de 100 Requisições haja 2 ou mais erros Poisson 00221 então em 100 páginas 00221100221 P x2 1 Px0Px1 1 01090242 649 c Estima a Capabilidade do Sistema se for admitido até 1 erro a cada 100 requisições Sigma RaizU MedionmédioRaiz00221187500108 Cpk MédiaMeta3Sigma 00221001300108 037 Processo não Capaz