Análise de Circuitos com Transformada de Laplace

Prof Me Alessandro Bogila alessandrobogilafacensbr Sorocaba SP Análises de Circuitos com Transformada de Laplace Análise de Sistemas Elétricos Análises de Circuitos com Transformada de Laplace A transformada de Laplace tem duas características que a tornam uma ferramenta interessante na análise de circuitos ela transforma um conjunto de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes em um conjunto de equações algébricas lineares que são mais fáceis de manipular ela incorpora os valores iniciais das correntes e tensões automaticamente nas equações algébricas Desse modo as condições iniciais são parte inerente do processo de cálculo da transformada Técnicas analíticas e de simplificação de circuitos apresentadas anteriormente para circuitos resistivos como os métodos das correntes de malha e das tensões de nó e transformações de fonte também podem ser usadas no domínio da frequência Após obter a resposta do circuito no domínio da frequência fazse a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo usando a expansão por frações parciais Transformada de Laplace Elementos de circuito no domínio da frequência O resistor no domínio da frequência Pela lei de Ohm Como R e uma constante a transformada de Laplace é O resistor no domínio do tempo em a e na frequência em b É possível observar que o resistor não muda com a frequência A impedância do resistor é dada por 𝒁𝑹 𝑹 𝜴 𝒗 𝑹𝒊 𝐕 𝑹I Elementos de circuito no domínio da frequência O indutor no domínio da frequência A Figura abaixo mostra um indutor conduzindo uma corrente inicial de I0 amperes A equação no domínio do tempo que relaciona a tensão terminal com a corrente terminal é dada por A transformada de Laplace é 𝒗 𝑳 𝒅𝒊 𝒅𝒕 𝑽 𝑳 𝒔𝑰 𝒊 𝟎 𝒔𝑳𝑰 𝑳𝑰𝟎 Elementos de circuito no domínio da frequência O indutor no domínio da frequência O circuito equivalente é dado pela Figura abaixo A corrente é dada por 𝑰 𝑽 𝑳𝑰𝟎 𝒔𝑳 𝑽 𝒔𝑳 𝑰𝟎 𝒔 Elementos de circuito no domínio da frequência O indutor no domínio da frequência No caso do indutor não ter corrente armazenada ou seja 𝑰𝟎 𝟎 então A impedância do indutor é dada por 𝒁𝑳 𝒔𝑳 𝛀 Elementos de circuito no domínio da frequência O capacitor no domínio da frequência Um capacitor inicialmente carregado também tem dois circuitos equivalentes no domínio da frequência A Figura abaixo mostra um capacitor inicialmente carregado até 𝑉0 volts A corrente terminal é dada por 𝒊 𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝑰 𝑪 𝒔𝑽 𝒗 𝟎 𝑰 𝒔𝑪𝑽 𝑪𝑽𝟎 Elementos de circuito no domínio da frequência O capacitor no domínio da frequência Um capacitor inicialmente carregado é dada pela figura abaixo A tensão nos terminais do capacitor é dada por 𝑽 𝟏 𝒔𝑪 𝑰 𝑽𝟎 𝒔 Elementos de circuito no domínio da frequência O capacitor no domínio da frequência Se a tensão inicial no capacitor for igual a zero representada pela Figura abaixo A impedância do capacitor é dada por 𝒁𝑪 𝟏 𝒔𝑪 𝛀 Elementos de circuito no domínio da frequência Para condições iniciais nulas no indutor e capacitor têmse Exemplo 1 Determine 𝑖t no circuito da Figura abaixo a chave se move da posição a para a posição b em t 0 Solução A corrente inicial através do indutor é 𝑖0 𝐼0 Para t 0 a Figura abaixo mostra o circuito transformado para o domínio s A condição inicial é incorporada na forma de uma fonte de tensão uma vez que L𝑖0 L𝐼0 Análises de Circuitos com TL Análise de Malhas Usando a análise de malhas têmse Aplicando a expansão em frações parciais ao segundo termo no lado direito da Equação têmse Aplicando a Transformada Inversa de Laplace têmse Análises de Circuitos com TL Análise de Malhas onde RL O termo entre parênteses é a resposta transiente enquanto o segundo termo é a resposta em regime estacionário Em outras palavras o valor final é 𝑖 Vo R que poderíamos ter previsto aplicandose o teorema do valor final têmse também pode ser escrita na forma O primeiro termo é a resposta natural enquanto o segundo termo é a resposta forçada Se a condição inicial for 𝐼0 0 a Equação fica é a resposta a um degrau uma vez que ela se deve à entrada em degrau Vo sem nenhuma energia inicial Análises de Circuitos com TL Análise de Malhas Exemplo 2 Determine 𝑣0t no circuito da Figura abaixo supondo condições iniciais nulas Solução Primeiro transformamos o circuito do domínio do tempo para o domínio s como mostra a Figura abaixo Análises de Circuitos com TL Análise de Malhas Aplicaremos agora a análise de malhas Para a malha 1 têmse Para a malha 2 têmse Substituindo a equação da malha 2 na equação da malha 1 têmse Multiplicando por 3s têmse Análises de Circuitos com TL Análise de Malhas Portanto a tensão no capacitor é dada por Aplicando a transformada inversa de Laplace têmse Análises de Circuitos com TL Análise de Malhas Exemplo 3 Determine 𝑣0t no circuito da Figura abaixo Suponha 𝑣00 5 V Solução Transformamos o circuito para o domínio s conforme ilustrado na Figura abaixo A condição inicial é inclusa na forma da fonte de corrente C𝑣00 015 05 A Análises de Circuitos com TL Análise Nodal Aplicamos análise nodal No nó superior que resulta em Multiplicando tudo por 10 têmse Encontrando os valores de A e B têmse Análises de Circuitos com TL Análise Nodal Portanto a tensão nos terminais do capacitor é dada por Aplicando a transformada inversa de Laplace têmse Análises de Circuitos com TL Análise Nodal Exemplo 4 Dado o circuito da Figura a seguir Determine o valor da tensão no capacitor supondo que o valor de 𝑣𝑠t 10𝑢t V e que em t 0 flui uma corrente igual a 1 A através do indutor e no capacitor tem uma tensão de 5 V Solução A Figura abaixo representa todo o circuito no domínio s com as condições iniciais incorporadas Agora temos um problema de análise nodal simples Análises de Circuitos com TL Análise Nodal Como o valor de 𝑉1 também é o valor da tensão do capacitor no domínio do tempo e é a única tensão de nó incógnita precisamos escrever apenas uma equação Sendo que 𝑣0 5 V e 𝑖0 1 A Simplificando obtémse Através da a transformada inversa de Laplace têmse a resposta no tempo Análises de Circuitos com TL Análise Nodal 𝒗𝑪 𝒕 𝟑𝟓𝒆𝒕 𝟑𝟎𝒆𝟐𝒕 𝒖 𝒕 𝑽 Exemplo 5 Dado o circuito da Figura a seguir Determine o valor da tensão no capacitor pela teoria da Superposição supondo que o valor de 𝑣𝑠t 10ut V e que em t 0 flui uma corrente igual a 1 A através do indutor e no capacitor tem uma tensão de 5 V Solução A Figura abaixo representa todo o circuito no domínio s com as condições iniciais incorporadas Agora temos que resolver o problema por Superposição Análises de Circuitos com TL Superposição Já que o circuito no domínio s tem na verdade três fontes independentes podemos examinar a solução fonte por fonte 1ª Condição com as duas fontes em zero como mostra a Figura abaixo Encontrando a tensão no capacitor Análises de Circuitos com TL Superposição Simplificando têmse Fazendo a Transformada inversa de Laplace têmse 2ª Condição com as duas fontes em zero como mostra a Figura abaixo Análises de Circuitos com TL Superposição Através da Análise Nodal têmse Simplificando têmse Fazendo a Transformada inversa de Laplace têmse Análises de Circuitos com TL Superposição 3ª Condição com as duas fontes em zero como mostra a Figura abaixo Por análise Nodal têmse Simplificando têmse Análises de Circuitos com TL Superposição Fazendo a Transformada inversa de Laplace têmse Agora é só somas as 03 tensões no capacitor têmse Simplificando têmse 𝒗𝑪 𝒕 𝟑𝟓𝒆𝒕 𝟑𝟎𝒆𝟐𝒕 𝒖 𝒕 𝑽 Análises de Circuitos com TL Superposição Exemplo 6 Dado o circuito da Figura abaixo em t 0 e que 𝐼𝑠 10 𝑢t A a Determine 𝑉0s usando o teorema de Thévenin b Aplique os teoremas dos valores inicial e final para determinar 𝑣00 e 𝑣0 c Determine 𝑣0t Solução Como não há nenhuma energia inicial armazenada no circuito partimos do pressuposto de que a corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor sejam zero em t 0 Análises de Circuitos com TL Teorema de Thévenin a Para encontrar o circuito equivalente de Thévenin eliminamos o resistor de 5 Ω e determinamos então 𝑉𝑂𝐶 𝑉𝑇ℎ e 𝐼𝑠𝑐 Para determinar 𝑉𝑇ℎ usamos o circuito no qual foi aplicado a transformada de Laplace da Figura abaixo Como 𝐼𝑥 0 a fonte de tensão dependente não contribui com nada e portanto é Análises de Circuitos com TL Teorema de Thévenin Para determinar 𝑍𝑇ℎ consideremos o circuito da Figura abaixo na qual determinamos inicialmente 𝐼𝑠𝑐 Podemos usar análise nodal para determinar 𝑉1 que nos conduz então 𝐼𝑠𝑐 𝐼𝑠𝑐 𝐼𝑥 Τ 𝑉1 2𝑠 Como 𝐼𝑥 vale então Análises de Circuitos com TL Teorema de Thévenin Portanto O circuito dado é substituído por seu circuito equivalente de Thévenin nos terminais 𝑎𝑏 como ilustrado na Figura abaixo Análises de Circuitos com TL Teorema de Thévenin b Usando o teorema do valor inicial têmse Utilizando o teorema do valor final têmse c Por meio de frações parciais Análises de Circuitos com TL Teorema de Thévenin Transformada Inversa de Laplace Obrigado Agradecimento Nilsson James W Riedel Susan A Circuitos elétricos 10 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 Alexander Charles K Matthew N O Sadiku Fundamentos de circuitos elétricos 5 ed São Paulo SP McGrawHill 2013