Representação de Sinais e Sistemas: Introdução à Série e Transformada de Fourier

1 CAPÍTULO 2 REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 21 INTRODUÇÃO Na teoria existem muitos métodos possíveis de se representar um sinal como uma combinação linear de um conjunto de funções ortogonais Na prática entretanto a representação de sinais através de senoides que também formam um conjunto ortogonal supera qualquer outro método isto porque uma senoide tem a importante propriedade de que quando submetida a uma operação linear e invariante no tempo o resultado é outra senoide de mesma frequência Começaremos nossa análise pelo estudo da série de Fourier usada na representação de sinais periódicos e em seguida estudaremos a transformada de Fourier usada na representação de sinais não periódicos O objetivo principal de se usar este tipo de análise é a obtenção do espectro de um dado sinal o qual descreve o conteúdo de frequências desse sinal e que é de suma importância para a teoria das comunicações 22 SÉRIE DE FOURIER A série de Fourier usada para a representação de sinais periódicos é um tipo particular de séries ortogonais que é muito útil na solução de problemas de engenharia principalmente em comunicações As funções ortogonais usadas são senoides ou equivalentemente funções exponenciais complexas Ela pode ser apresentada sob diversas formas como a seguir 1 Forma trigonométrica gpt ao ancos2πntTo bnsen2πntTo 21 n1 n1 Os coeficientes ao an e bn são calculados usando as propriedades de ortogonalidades de senos e cosenos obtendose assim To2 ao 1Togptdt 22 To2 To2 an 2Togptcos2πntTo n 1 2 23 To2 To2 bn 2Togptsen2πntTo n 1 2 24 To2 O coeficiente ao é o valor médio de gpt ou seja a componente dc A frequência 1To é a frequência fundamental enquanto que nTo é a enésima freqüência harmônica Essa forma embora seja a mais simples para o cálculo dos coeficientes an e bn ela sofre do fato de que existem duas componentes separadas para cada frequência enquanto que uma medição de uma dada componente espectral nos fornece apenas um valor de amplitude Assim uma forma trigonométrica mais próxima da realidade é a que se utiliza o fato de que a soma de um coseno com um seno de mesma frequência resulta numa única senoide Portanto podemos também representar gpt como segue JeanBaptisteJoseph Fourier matemático Francês desenvolveu este tipo de ferramenta para o estudo da propagação do calor 2 n gpt Do Dncos2πntTo φn 25 n1 onde Do ao Dn a2 n b2 n n 1 ϕn tg1bnan n 1 ou inversamente ao Do an Dncosϕn bn Dnsenϕn A figura 21 mostra uma interpretação gráfica da série de Fourier para uma onda retangular mostrando os dois domínios domínio do tempo e domínio da freqüência Fig 21 Interpretação gráfica de uma série de Fouruier Exemplo 1 Encontre a série de Fourier correspondente à onda retangular mostrada na figura 22 Fig 22 Onda periódica retangular Solução O período To vale 2 s Observamos que esta forma de onda é simétrica em relação ao eixo horizontal logo sua componente dc é nula ou seja 3 ao 0 Usando as equações 23 e 24 para calcular an e bn temos 1 2 an 2210cos2πnt2 2210cos2πnt2 0 0 1 1 2 bn 2210sen2πnt2 2210sen2πnt2 0 para n par 0 1 40nπ para n ímpar Logo usando a equação 21 encontramos a série gt 40πsenπt 403πsen3πt 405πsen5πt A figura 23 ilustra o esboço de gpt para 1 2 4 e 6 termos da série respectivamente Fig 23 Aproximações de gt Exercício 1 Usando o resultado do exemplo anterior obter a série de Fourier das formas de ondas g1t g2t g3t e g4t mostradas na figura 24 Se o sinal possuir algum tipo de simetria a série de Fourier na forma em quadratura pode ser simplificada como segue Simetria par ou seja gpt gpt neste caso os coeficientes bn são todos nulos Simetria ímpar ou seja gpt gpt neste caso os coeficientes an são todos nulos Simetria de meiaonda ou seja gpt gpt To2 Quando um deslocamento de meio período troca o sinal da função neste caso an e bn são nulos para n par A figura 25 mostra um exemplo deste tipo de sinal Observe neste exemplo que a forma de onda também exibe uma simetria ímpar mas nem toda forma de onda com simetria ímpar tem simetria de meiaonda Veja por exemplo o caso da figura 26 que tem simetria ímpar mas não tem simetria de meiaonda 4 Fig 24 Fig 25 Fig 26 Exercício 2 Encontre a série de Fourier para o sinal periódico mostrado na figura 26 com To 2 ms e A 10 Volts Resposta bn 20nππππ para n par e bn 20nππππ para n ímpar 2 Forma complexa é uma forma mais compacta e mais simples de se representar um sinal baseada na ortogonalidade das exponenciais complexas Sua forma geral é 5 gt Cnexpj2πntTo 26 n onde To2 Cn 1Togptexpj2πntTodt 27 To2 Cn é o coeficiente complexo da série e está relacionado com an e bn da seguinte forma Cn an jbn n 0 ao n 0 an jbn n 0 23 ESPECTRO DISCRETO Usando a série de Fourier na forma exponencial complexa encontramos que o sinal periódico gpt com período To tem componentes de frequência 0 fo 2fo 3fo onde fo 1To é a frequência fundamental A descrição do sinal no domínio da frequência através dessas componentes resulta no seu espectro discreto também chamado de espectro de linha Em geral os coeficientes Cn são números complexos e portanto podem ser representados na forma Cn Cnexpjθn onde Cn define a amplitude da enésima harmônica do sinal gt de modo que o gráfico Cnfn produz o espectro discreto de amplitudes Da mesma forma o gráfico θnfn produz o espectro de fase Se o sinal gpt é real como ocorre com os sinais de comunicação temos as seguintes simetrias Cn Cn ou equivalentemente Cn Cn θn θn ou seja para gpt real o espectro de amplitudes é uma função par de n e o espectro de fase é uma função ímpar de n Exemplo 2 Encontrar a série exponencial complexa de Fourier para o trem de pulsos periódicos mostrado na figura 27 Fig 27 Trem de pulsos periódicos Solução To é o período da onda retangular onde pode ser visto que cada pulso tem uma duração de T A fração TTo costuma ser chamada de ciclo de trabalho duty cicle Isto é ela representa a fração de tempo em que o pulso permanece ativo durante um período Usando a equação 27 podemos escrever T2 Cn 1ToAexpj2πntTodt AπnsenπnTTo ATTosincnTTo 28 T2 onde a função sinc é definida como sincx senπxπx 6 O esboço gráfico da função sincx é mostrado na figura 28 Essa função desempenha um papel muito importante na teoria das comunicações Algumas de suas propriedades podem ser resumidas a seguir i sincx sincx ou seja ela é uma função par ii sinc0 1 é o seu valor máximo iii sincx 0 para x 1 2 3 iv lim sincx 0 x v A área sob a função sinc é unitária Fig 28 Função SINC A figura 29 mostra o espectro de amplitude e de fase para a forma de onda retangular da figura 26 tirado a partir da equação 28 Note que foi usado um ciclo de trabalho de 025 isto é TTo 14 a 7 b Fig 29 a Espectro discreto de amplitudes e b de fases 24 CONTEÚDO DE POTÊNCIA NO ESPECTRO DISCRETO A partir dos coeficientes Cn da série complexa é possível encontrarmos o conteúdo de potência para um número qualquer de harmônicas usando o teorema de Parseval como segue Sabemos que a potência instantânea pode ser dada por pt gpt2 gptgp t e a potência média por To2 To2 P 1Togpt2dt 1Togptgp tdt To2 To2 Então substituindo gpt na equação anterior pela série exponencial complexa Eq 26 teremos To2 P 1Togp tCnexpj2πntTodt To2 n To2 P Cn1Togp texpj2πntTodt CnC n n To2 n Portanto podemos expressar o teorema de Parseval como segue P Cn2 29 n Exercício 3 Para o trem de pulsos periódicos da figura 27 encontre o conteúdo de potência até a terceira harmônica supondo um ciclo de trabalho de 025 e amplitude unitária para os pulsos Resposta 02257 W 24 TRANSFORMADA DE FOURIER Como vimos a série de Fourier foi usada para representar um sinal periódico Uma representação similar pode ser usada para sinais aperiódicos utilizandose da transformada de Fourier levandose em conta que um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico de período infinito Por exemplo revendo as figuras 27 e 29 verificase que quando o período To tende ao infinito a função gpt transformase num pulso retangular isolado e o espectro de frequências se torna contínuo já que 1To tende para zero Ou seja os coeficientes Cn se tornam agora uma função contínua da frequência que chamaremos de Gf onde Gf gtexpj2πftdt 210 8 é a transformada de Fourier de gt Para encontrarmos a função gt a partir de Gf usamos a equação gt Gfexpj2πftdf 211 onde gt é também chamada de transformada inversa de Fourier Se utilizarmos a frequência angular ω em vez de f o par de equações 210 e 211 se tornam Gω gtexpjωtdt e gt 12πGωexpjωtdω Sempre que necessário usaremos a notação gt Gf para indicar que a função gt tem como transformada de Fourier a função Gf Note que Gf pode ser uma função complexa podendo portanto ser escrita na forma Gf Gfexpjβf Onde Gf é chamado de espectro contínuo de amplitudes e βf é chamado de espectro contínuo de fase Exemplo 3 Transformada de Fourier de um pulso retangular Vamos inicialmente definir um pulso retangular qualquer gt tendo amplitude A duração T e centrado no instante to usando a notação gt Arectt toT 212 A figura 29a ilustra esse pulso Se o pulso estiver centrado na origem to 0 então escrevemos gt ArecttT o qual é mostrado na figura 210b a b Fig 210 Pulso retangular de amplitude A e duração T a centrado em to e b centrado na origem Vamos portanto encontrar a transformada de Fourier do pulso retangular mostrado na figura 210b onde temos gt ArecttT A T2 t T2 0 t T2 Usando então a equação 29 escrevemos T2 Gf Aexpj2πftdt ATsenπfTπfT ATsincfT T2 Ou seja ArecttT ATsincfT O espectro de amplitudes desse pulso é mostrado na figura 211 56 AT T 2T LT o WT 2fT 3yT f Fig 211 Espectro de amplitudes de um pulso retangular Algumas observag6es podem ser feitas a partir desse espectro O valor maximo de Gf AT é igual a drea do pulso retangular Mantendo a amplitude do pulso constante e estreitandoo ou seja fazendo T 0 0 espectro do sinal desaparece Porém se diminuirmos T e ao mesmo tempo aumentarmos A de modo que o produto AT permanega constante 0 espectro tende a se alargar tal que no limite quando T 0 teremos um espectro constante que corresponde ao espectro de um pulso de amplitude infinita e durag4o zero ou seja de um impulso Se a largura do pulso aumentar mantendose a amplitude constante 0 espectro se comprime e a ordenada na origem AT vai crescer No limite quando T a fungiio gt se torna constante e a funcao Gf se torna um impulso O espectro também nos da um realce a um outro fendmeno muito interessante e que nos sera de grande utilidade A medida que a largura dos pulsos diminui 0 contetido de frequéncia do sinal se estende a uma faixa de frequéncias cada vez maior A primeira passagem pelo zeroem f 1T se afasta da origem Existe entéo uma relacdo inversa entre duracdo do pulso e faixa de frequéncias do pulso Se T T isto para pulsos muito estreitos a maior parte da energia do sinal estaré na faixa 0fIT Portanto a primeira passagem pelo zero é utilizada frequentemente como medida do espalhamento em frequéncia de um sinal Adotando a terminologia da teoria de circuitos poderemos falar da largura de banda de um sinal como sendo uma medida de seu espalhamento no espectro Poderemos por exemplo especificar a largura de banda B como sendo a faixa de frequéncias que vai da frequéncia zero até a frequéncia em que 0 espectro cruza o zero pela primeira vez admitindose T T Entao escrevemos B1T 213 Qualquer outro critério para especificagao da largura de banda deverd manter a proporcionalidade com o inverso da duragao do pulso qualquer que seja o formato do pulso Exemplo 4 Transformada de Fourier de um pulso exponencial Um pulso exponencial truncado mostrado na figura 212 pode ser expresso por 9 10 g1t exptut Pulso exponencial decrescente g2t exptut Pulso exponencial crescente onde ut é a função degrau a b Fig 212 Pulso exponencial a decrescente e b crescente Usando portanto a equação 210 encontramos para g1t G1f exptexpj2πftdt 11 j2πf 215 0 Analogamente encontramos para g2t 0 G2f exptexpj2πftdt 11 j2πf 216 25 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER O cálculo da transformada de Fourier partindo da equação 210 muitas vezes se torna trabalhoso Entretanto quase sempre são possíveis partindo de algumas transformadas já conhecidas encontrarmos outras transformadas pela simples aplicação de alguma de suas propriedades Vejamos agora as propriedades mais importantes 1 Linearidade Superposição Se g1t G1f e g2t G2f então com a e b constantes temos ag1t bg2t aG1f bG2f Exemplo 5 Seja encontrar a transformada de Fourier do pulso exponencial mostrado na figura 213 gt expt Fig 213 Pulso exponencial duplo Como pode ser observado esse pulso pode ser visto como a soma dos pulsos exponenciais g1t e g2t vistos na figura 212 Consequentemente aplicando a propriedade 1 encontramos 11 Gf G1f G2f 11 j2πf 11 j2πf 21 2πf2 217 Exercício 4 Esboce a forma de onda do pulso gt exptut exptut e encontre sua transformada de Fourier 2 Mudança na escala de tempo Se gt Gf então gat 1aGfa Observe que uma compressão no tempo equivale a uma expansão na frequência e viceversa Exercício 5 Usando a propriedade 2 e o resultado do exemplo 4 encontre a transformada de Fourier de gt expatuat Resposta 1a j2πf se a 0 ou 1a j2πf se a 0 Exercício 6 Se gt tem transformada de Fourier Gf como fica a transformada de gt 3 Dualidade Se gt Gf então Gt gf Exemplo 6 Seja encontrar a transformada de Fourier do pulso sinc partindo do par de transformadas ArecttT ATsincfT Usando a propriedade da dualidade encontramos ATsinctT ArectfT Porém como a função retangular centrada na origem é par podemos também escrever ATsinctT ArectfT Nesta equação façamos T 2W Então obtemos Asinc2Wt A2Wrectf2W 218 Exercício 7 Encontre a transformada de Fourier da função gt 11 j2πt Resposta Gf expfuf 4 Deslocamento no tempo Se gt Gf então gt to Gfexpj2πfto Exemplo 7 Seja encontrar a transformada de Fourier dos pulsos mostrados na figura 214 12 Fig 214 Pulsos retangulares deslocados para a direita e para a esquerda em relação ao pulso da figura 210b Já vimos a transformada de Fourier do pulso retangular centrado na origem fig 210b como sendo ArecttT ATsincfT Ora o pulso g1t está deslocado para a direita de to T2 enquanto que o pulso g2t está deslocado para a esquerda de to T2 Portanto pela propriedade do deslocamento no tempo temos G1f ATsincfTexpjπfT 219 G2f ATsincfTexpjπfT 220 Observe que o deslocamento no tempo não altera o espectro de amplitudes do sinal Ocorre mudanças apenas no espectro de fases 5 Deslocamento na frequência Se gt Gf então gtexpj2πfct Gf fc Ou ainda gtexpj2πfct Gf fc Exemplo 8 Considere o pulso de radiofrequência mostrado na figura 215 Fig 215 Pulso de radiofrequência Matematicamente podemos representálo como gt ArecttTcos2πfct Porém cos2πfct 12expj2πfct expj2πfct Então a função gt pode ser expressa por gt A2recttTexpj2πfct A2recttTexpj2πfct 13 Sabemos entretanto que A2recttT AT2sincfT Então aplicando a propriedade 5 obtemos Gf AT2sincTf fc AT2sincTf fc Em particular se fcT 1 podemos usar a aproximação Gf AT2sincTf fc f 0 221 Gf AT2sincTf fc f 0 222 Como conseqüência da propriedade 5 podese mostrar facilmente que gtcos2πfct ½Gf fc Gf fc gtsen2πfct ½Gf fc Gf fc Conhecida como propriedade da modulação Exercício 8 Encontre a transformada de Fourier da senoide amortecida dada por gt exptsen2πfctut Resposta 2πfc1 j2πf2 2πfc2 6 Área sob gt Se gt Gf então gtdt G0 Exercício 9 Encontre a área sob a função gt Asinc2Wt Resposta A2W 7 Área sob Gf Se gt Gf então g0 Gfdf Exercício 10 Encontre a área sob a função Gf 11 j2πf Resposta ½ 8 Diferenciação no domínio do tempo e no domínio da frequência Se gt Gf então dgdt j2πfGf Ou de um modo geral dngdtn j2πfnGf 14 Se diferenciarmos a equação 29 com respeito a f temos dGdf j2πtgtexpj2πftdt indicando assim que a transformada da função entre colchetes é dGdf Ou seja j2πtgt dGdf que é a propriedade da diferenciação na frequência Exemplo 9 Transformada da função gt texptut Derivando gt temos dgdt exptut texptut ou dgdt exptut gt achando a transformada de Fourier de ambos os lados das equação acima temos j2πfGf 11 j2πf Gf donde tiramos Gf como sendo Gf 11 j2πf2 223 9 Integração no domínio do tempo Se gt Gf então t gτdτ 1j2πfGf G02δf Onde δf é a função impulso Exemplo 10 Transformada de um pulso triangular Seja considerar a figura 216 onde a forma de onda g2t é a integral da forma de onda g1t Fig 216 A transformada de g1t pode ser encontrada usando o exemplo da figura 214 Assim temos G1f ATsincfTexpjπfT ATsincfTexpjπfT ou simplificando G1f j2ATsincfTsenπfT 15 Então como g2t é a integral de g1t podemos aplicar a propriedade 9 para encontrar G2f 1j2πfG1f AT2sincfTsenπfTπfT G2f AT2sinc2fT 224 Observe que G10 0 10 Funções conjugadas Se gt Gf então gt Gf Exercício 11 Mostre que se gt é real temos Gf Gf 11 Multiplicação no domínio do tempo Se g1t G1f e g2t G2f então g1tg2t G1λG2f λdλ A integral do lado direito é a integral de convolução vista no capítulo 1 ou seja G1fG2f G1λG2fλdλ 225 Resumindo podemos dizer que uma multiplicação no domínio do tempo equivale a realizar uma convolução no domínio da freqüência e escrevemos g1tg2t G1fG2f Exemplo 11 Pulso sinc truncado Seja o pulso sinc limitado no tempo conforme mostra a figura 217 16 Fig 217 Pulso sicn truncado de duração 5W Então podemos escrever gt Sinc2WtrecttT Como foi visto sinc2Wt 12Wrectf2W recttT TsincfT Ora sendo gt o produto destas duas funções do tempo então aplicando a propriedade 11 escrevemos Gf 12Wrectλ2WTsincf λTdλ W Gf T2Wsincf λTdλ W W Gf T2Wsenπf λTπf λTdλ W Fazendo πfλT x nesta integral chegamos a integrais do tipo u senxx dx siu 226 0 Esta integral siu conhecida como integral seno não tem solução na forma de uma função analítica simples porém podemos encontrála tabelada em livros de cálculo em função do parâmetro u Suas propriedades principais são siu siu ou seja ela é uma função ímpar de u siu tem máximos e mínimos em múltiplos de π lim siu π2 u Voltando portanto à transformada de gt podemos escrever 17 Gf 12πWsiπWT πfT siπWT πfT Seu esboço gráfico é mostrado na figura 218 Fig 218 Transformada do pulso sinc truncado 12 Convolução no domínio do tempo Se g1t G1f e g2t G2f então g1τg2tτdτ G1fG2f ou seja g1t g2t G1fG2f Exemplo 12 Achar a transformada de Fourier da convolução entre os dois pulsos mostrados na figura 219 Fig 219 A convolução entre esses dois pulsos foi encontrada no capítulo 1 tendo como resultado o trapézio mostrado na figura 220 Fig 220 Resultado da convolução entre dois pulsos retangulares Portanto a transformada de Fourier desse trapézio pode ser encontrada aplicando a propriedade 12 Assim temos g1t 6A1sinc6f e g2t 4A2sinc4f g1t g2t G1fG2f 24A1A2sinc6fsinc4f 27 TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNÇÕES SINGULARES E FUNÇÕES PERIÓDICAS Função impulso usando a equação 210 que define a transformada de Fourier podemos escrever Fδt δtexpj2πftdt 18 onde pela propriedade da amostragem da função impulso tiramos δt 1 227 E usando a linearidade da transformada encontramos Kδt K Pela propriedade da dualidade e lembrando que a função impulso é par tiramos K Kδf Também pela equação 210 e usando a propriedade da amostragem encontramos δt to expj2πfto e δt to expj2πfto 228 Usando a equação 227 e aplicando a propriedade da dualidade e do deslocamento na frequência encontramos expj2πfct δf fc e expj2πfct δf fc 229 Funções senoidais Como sabemos as funções senoidais podem ser escritas em termos das exponenciais complexas como segue cos2πfct 12expj2πfct expj2πfct sen2πfct 1j2expj2πfct expj2πfct Então usando os pares de transformadas vistas em 228 encontramos cos2πfct 12δf fc δf fc 230 sen2πfct 1j2δf fc δf fc 231 Os espectros de amplitudes dessas senoides para seno e coseno podem ser vistos na figura 221 Fig 221 Espectro de amplitudes para o coseno e para o seno Função degrau unitário Já vimos no capítulo 1 que a função degrau pode ser dada pela integral da função impulso Portanto podemos aplicar a propriedade da integração no tempo para encontrar ut 1j2πf δf2 232 Função sinal A função sinal é definida como sgnt 1 t 0 0 t 0 1 t 0 233 Ou seja a função sinal pode ser escrita como 19 sgnt 2ut 1 Portanto usando a transformada de ut equação 232 e o princípio da linearidade temos sgnt 1jπf ou jsgnt 1πf 234 Em seguida aplicando a propriedade da dualidade e tendo em vista que sgnf sgnf encontramos 1πt jsgnf Sinais periódicos Seja um sinal periódico dado por gpt Cnexpj2πntTo gt mTo 235 n m onde Cn é o coeficiente complexo da série de Fourier que representa esse sinal e gt é a função geratriz que se repete para todo período To conforme ilustra a figura 222 Fig 222 Um sinal periódico qualquer Note que a função geratriz gt pode ser expressa como gt gpt To2 t To2 Então o coeficiente Cn pode ser calculado da forma To2 Cn 1Togtexpj2πntTodt To2 Ora essa integral representa a transformada de Fourier de gt na frequência nTo Portanto podemos escrever Cn 1ToGnTo gpt 1ToGnToexpj2πntTo 236 n Lembrando que expj2πntTo δf nTo então encontramos gpt gt mTo 1ToGnToδf nTo 237 m n Exemplo 13 Função amostragem ideal A função amostragem ideal consiste num trem de impulsos de período To denotado por gpt δt mTo m conforme mostra a figura 223a 20 a b Fig 223 a Função amostragem ideal e b sua transformada Como gt δt então Gf 1 e GnTo 1 para todo n Logo usando a equação 237 encontramos gpt δt mTo 1Toδf nTo 238 m n que também é um trem de impulsos no domínio da frequência conforme mostra a figura 223b As tabelas 21 e 22 a seguir dão alguns pares de transformadas de Fourier e um resumo das principais propriedades respectivamente TABELA 21 TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES FUNÇÃO NO TEMPO TRANSFORMADA DE FOURIER ArecttT ATsincfT sinc2Wt 12Wrectf2W expatut a 0 1a j2πf expat a 0 2aa2 2πf2 expπt2 Pulso Gaussiano expπf2 Pulso Gaussiano 1 t T t T 0 t T Tsinc2fT δt 1 1 δf δt to expj2πfto expj2πfct δf fc cos2πfct ½δf fc δf fc sen2πfct 12jδf fc δf fc Sgnt 1 jπf 1 πt jsgnf ut ½δf 1 j2πf δt iTo i 1Toδf nTo n TABELA 22 RESUMO DAS PRINCIPAIS PROPRIEDADES PROPRIEDADE DESCRIÇÃO MATEMÁTICA 1 Linearidade ag1t bg2t aG1f bG2f 2 Escalonamento no tempo gat 1aGfa 3 Dualidade Gt gf 21 4 Deslocamento no tempo gt to Gfexpj2πfto 5 Deslocamento na freqüência gtexpj2πfct Gf fc 6 Área sob gt gtdt G0 7 Área sob Gf g0 Gfdf 8 Diferenciação no tempo dg dt j2πfGf 9 Diferenciação na freqüência j2πtgt dGdf 9 Integração no tempo t gτdτ 1j2πfGf ½G0δf 10 Funções conjugadas gt Gf 11 Multiplicação no tempo g1tg2t G1λG2f λdλ 12 Convolução no tempo g1τg2t τdτ G1fG2f 28 DENSIDADE ESPECTRAL 1 Densidade espectral de energia Seja gt um sinal de energia definido para todo t com transformada Gf Já vimos que sua energia pode ser dada por E gt2dt onde usamos o módulo admitindo que gt também possa ser complexo Então temos gt2 gtgt Pela propriedade 10 temos gt Gf e gt Gf Usando a propriedade 11 tiramos gtgt GλGfλdλ E finalmente pela propriedade 6 encontramos que gtgtdt GλGλdλ Ou seja E gt2dt Gf2df 239 22 A equação 239 é conhecida como o teorema de Rayleigh A quantidade Gf2 tem dimensão de JouleHertz sendo portanto conhecida como a densidade espectral de energia Ela nos fornece a distribuição de energia do sinal ao longo do seu espectro e escrevemos ψgf Gf2 JHz 240 Exercício 12 Encontre a energia do sinal dado por gt Asinc2Wt 2 Densidade espectral de potência Vimos que para um sinal periódico a sua potência média pode ser dada por To2 P 1Togt2dt To2 Se gt for dado pela equação 236 poderemos chegar no seguinte resultado para a potência média P 1To 2GnTo2 241 n que é conhecido como o teorema de Parseval para a potência Fazendo analogia com a densidade de energia podemos definir a densidade espectral de potência como uma função tal que a área sob sua curva resulta na potência média isto é tal que P Sgfdf A função Sgf que satisfaz essa condição é encontrada como sendo Sgf 1To 2GnTo2δf nTo WHz 242 n 210 TRANSMISSÃO DE SINAIS ATRAVÉS DE SISTEMAS LINEARES Em um sistema de comunicação encontramos vários subsistemas lineares ou que podem ser aproximadamente lineares como os filtros e o próprio canal de comunicação onde precisamos analisar o relacionamento entre a excitação e a resposta de tais subsistemas 1 Resposta no tempo no domínio do tempo um sistema linear é descrito por sua resposta ao impulso ht ou seja a resposta do sistema à função δt com condições iniciais nulas Conhecendose a resposta ao impulso podemos encontrar a resposta yt a qualquer excitação arbitrária xt fazendo yt xτht τdτ ou yt hτxt τdτ 243 Ou seja a resposta de um sistema linear a uma excitação arbitrária é a convolução dessa excitação com a resposta ao impulso do sistema Assim escrevemos yt xtht htxt Nota Um sistema é dito causal se sua resposta ao impulso ht é nula para t 0 ou seja ele não deve responder antes da excitação ser aplicada Em tempo real para um sistema ser fisicamente realizável ele precisa ser causal Entretanto em muitas aplicações o sinal a ser processado está armazenado na memória de um computador Nessa situação o sistema pode ser não causal e fisicamente realizável 2 Resposta em frequência Seja um sistema linear e invariante no tempo LTI com resposta ao impulso ht excitado por uma exponencial complexa xt expj2πft Então usando a equação 2 43 encontramos 23 yt hτexpj2πft τdτ expj2πfthτexpj2πfτdτ yt expj2πftHf xtHf 244 Portanto a resposta de um sistema LTI a uma excitação exponencial complexa é essa mesma excitação multiplicada por uma constante Hf chamada de função de transferência do sistema Note que Hf é a transformada de Fourier da resposta ao impulso do sistema ou seja Hf htexpj2πftdt Para uma excitação qualquer sabemos que yt htxt Então aplicando a propriedade 12 encontramos que Yf HfXf 245 Observe que Yf2 Hf2Xf2 Desta forma encontramos que o relacionamento entre as densidades de energia dos sinais na entrada e na saída do sistema é dado por Hf2 A função de transferência pode ser uma quantidade complexa então podemos escrever Hf Hfexpjβf 246 Onde Hf é a resposta em amplitude do sistema e βf é a resposta em fase As duas juntas nos dão a resposta em frequência do sistema Se ht for real então temos Hf Hf e βf βf Em muitas aplicações preferese trabalhar com o logaritmo de Hf Assim lnHf lnHfexpjβf lnHf lnexpjβf lnHf αf jβf Onde αf é o ganho do sistema em nepers e βf é o ângulo de fase medido em radianos O ganho também pode ser medido em decibeis dB Neste caso fazemos αf 20logHf 247 A relação entre o ganho em dB e o ganho em neper é dada por αf 869αf Isto é 1 neper 869 dB Um parâmetro importante na resposta em frequência de um sistema é a sua largura de faixa ou banda passante isto é a faixa de frequências onde a resposta em amplitude permanece constante ou 24 aproximadamente constante O critério mais usado para a medida dessa largura é o critério de meia potência cujo cálculo é ilustrado na figura 224 a b Fig 224 Largura de banda de um sistema a passabaixas e b passafaixa Exemplo 14 Considere o pulso retangular xt ArecttT sendo transmitido através de um filtro RC cujo circuito é mostrado na figura 225 Determine a resposta em frequência deste filtro Fig 225 Filtro RC Da teoria de circuitos encontramos que Hf 11 j2πfRC onde RC é a constante de tempo do circuito A transformada de Fourier do pulso retangular como já foi visto é Xf ATsincfT Portanto a resposta em frequência dada pela equação 258 será Yf HfXf ATsincfT1 j2πfRC A largura de banda do sistema pode ser encontrada fazendo 11 2πBRC212 1 2 Donde tiramos B 12πRC Hz Exercício 13 Esboce a resposta em amplitude do circuito RC da figura 225 e constate que ele funciona como um filtro passabaixas Encontre a resposta ao impulso desse filtro Exercício 14 Encontre e esboce a resposta no tempo yt do exemplo 14 3 Transmissão sem distorção Um sistema não apresenta distorção se o sinal na sua saída for uma réplica exata do sinal na entrada exceto por uma possível mudança na escala de amplitudes ou um retardo constante Ou seja se xt for a excitação do sistema e yt for a sua resposta então para não haver distorção devemos ter yt Kxt td 248 No domínio da frequência aplicando a propriedade do deslocamento no tempo significa que 25 Yf KXfexpj2πftd Então a função de transferência do sistema deve ser do tipo Hf Kexpj2πftd Isto é sua resposta em amplitude deve ser constante e sua resposta em fase deve ser linear Então escrevemos Hf K e βf 2πftd 249 Estas condições na verdade só precisam ser satisfeitas na faixa de frequências de interesse do sinal A Segunda condição é muitas vezes especificada de maneira equivalente usando o tempo de retardo Definimos o tempo de retardo do sistema como tdf βf2πf que deve ser constante para a condição de não distorção Exemplo 15 Distorção causada por um filtro passabaixas Tomemos como exemplo o filtro da figura 225 donde podemos tirar sua resposta em amplitude e seu tempo de retardo como sendo Hf 1 1 fB212 tdf 12πftan1fB onde B 12πRC Esses resultados são plotados na figura 226 Como pode ser visto esse filtro produz alguma distorção visto que as condições da equação 262 não são satisfeitas Para f B o erro de magnitude é menor que 3 dB e o erro de fase é menor 123o Em engenharia esse tipo de erro é geralmente tolerável Fig 226 Resposta em amplitude e tempo de retardo Nota Em aplicações de áudio o ouvido humano é relativamente sensível à distorção de amplitude mas não à distorção de fase Isto porque um erro de fase de 15o para um filtro de áudio em 15 kHz produz um retardo de tempo de cerca de 3 µs Comparando esse erro com a duração de uma sílaba a qual está na faixa de 001 a 01 segundos o retardo é desprezível Em aplicações de vídeo analógico dáse o contrário A resposta em fase tornase relevante Isto porque o olho humano é mais sensível a retardo de tempo o qual resulta no borramento das bordas de um objeto A distorção de amplitude afeta apenas a intensidade da imagem 211 TRANSFORMADA DE HILBERT Quando o ângulo de fase de todas as componentes de um dado sinal gt sofre um deslocamento de 90o 90o para todas as frequências positivas e 90o para todas as frequência negativas o sinal 26 resultante no domínio do tempo gt é conhecido como a transformada de Hilbert de gt Seja gt um sinal qualquer com transformada de Fourier Gf A transformada de Hilbert de gt é dada por gt 1πgτt τ dτ 250 Sua transformada inversa será gt 1πgτt τ dτ 251 Podemos observar pela equação 257 que gt gt1πt 252 Como 1πt jsgnf então aplicando na equação 252 a propriedade da convolução no tempo encontramos Gf jsgnfGf 253 Ou seja Gf jGf f 0 0 f 0 jGf f 0 Observe que Gf Gf Exemplo 16 Encontre as transformadas de Hilbert dos sinais senoidais Seja gt cos2πfct Como já foi visto Gf 12δf fc δf fc Portanto usando a equação 259 temos Gf jsgnfGf j2 δf fc δf fcsgnf 1j2 δf fc δf fc que é a transformada de Fourier da função seno Logo gt sen2πfct De maneira similar para o sinal gt sen2πfct encontramos gt cos2πfct 212 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE HILBERT 1 gt e gt têm a mesma densidade espectral de energia ou de potência Corolários a Se gt é de banda limitada então gt também é de banda limitada b gt e gt têm a mesma energia se forem sinais de energia e a mesma potência se forem sinais e potência 27 2 gt e gt são ortogonais isto é gtgtdt 0 3 Se gt tem transformada de Hilbert gt então a transformada de Hilbert de gt é gt 213 SINAL ANALÍTICO ou PRÉENVOLTÓRIA Seja um sinal real gt com transformada de Hilbert gt Definimos como sinal analítico a função complexa gt gt jgt 254 Por exemplo a função expj2πfct é um sinal analítico já que expj2πfct cos2πfct jsen2πfct A definição de sinal analítico é muito útil na manipulação de sinais e sistemas passafaixa assim como o conceito de fasor que é usado na análise de correntes e tensões senoidais Podemos imaginar que o sinal analítico é uma generalização de um fasor girante com amplitude e fase arbitrárias A transformada de Fourier de gt pode ser encontrada da seguinte forma na equação 254 aplicando a propriedade da linearidade escrevemos Gf Gf jGf Gf sgnfGf Portanto temos Gf 2Gf f 0 G0 f 0 0 f 0 Ou seja o sinal analítico não tem componentes de frequências para f 0 Portanto sua transformada inversa pode ser dada por gt 2Gfexpj2πftdf 0 A figura 227 exemplifica o espectro de amplitudes de um sinal gt e de seu sinal analítico gt Fig 227 Espectro de um sinal e de sua préenvoltória 214 SINAIS PASSAFAIXA Dizemos que um sinal é passafaixa quando seu espectro de amplitudes existe apenas numa faixa de frequências 2W centrado em fc com fc W A figura 228 mostra um exemplo de um espectro de amplitudes de um sinal passafaixa 28 Fig 228 Exemplo de um espectro de um sinal passafaixa Se tomarmos a porção positiva do espectro da figura 228 com as amplitudes dobradas teremos o espectro de amplitudes de seu sinal analítico conforme mostra a figura 229a Agora se deslocarmos esse espectro para a origem obteremos um sinal gt denominado de envoltória complexa cujo espectro é mostrado na figura 229b que pela propriedade do deslocamento na frequência podemos escrever gt gtexpj2πfct 255 Em geral gt é uma quantidade complexa Portanto podemos representála como gt gct jgst Então expandindo a exponencial da equação 255 podemos escrever gt gct jgstcos2πfct jsen2πfct E observando a equação 254 encontramos que gt Regt gctcos2πfct gstsen2πfct 256 Essa representação é conhecida como forma canônica de gt As componentes gct e gst são chamadas respectivamente de componentes em fase e em quadratura do sinal gt Essas componentes são sinais passabaixas limitadas em W f W O sinal gt pode ser decomposto nessas duas componentes usando o esquema mostrado na figura 230a ou pode ser composto a partir dessas componentes usando o esquema da figura 230b a b Fig 229 Espectro de amplitudes da préenvoltória e da envoltória complexa 29 a b Fig 230 Componentes em fase e em quadratura de um sinal Nota Outra forma alternativa de expressarmos a envoltória complexa de um sinal tendo em vista que ela é uma quantidade complexa é a seguinte gt atexpjφt Neste caso gt pode ser expresso como gt atcos2πfct φt Onde at é referido como sendo a envoltória real de gt e φt como sendo a sua fase É conclusivo portanto que se representarmos um sinal passafaixa em termos de suas componentes em fase e em quadratura ou em termos de sua envoltória real e sua fase o conteúdo de sua informação fica completamente especificado pela envoltória complexa Exemplo 17 Determinar a envoltória complexa do pulso de RF dado por gt ArecttTcos2πfct Solução A transformada de Fourier desse pulso é dado pelas equações 220 e 221 ou seja Gf AT2sincTf fc f 0 Gf AT2sincTf fc f 0 Então a transformada de seu sinal analítico será Gf ATsincTf fc f 0 0 f 0 E a transformada de sua envoltória complexa será Gf ATsincfT Logo a envoltória complexa será dada por gt ArecttT 30 PROBLEMAS 1 Encontre a série trigonométrica de Fourier para o sinal de tensão na saída de um retificador de onda completa dado por gt Asen2t Encontre também a potência média desse sinal 2 Calcule a tensão v2t na saída do circuito da figura P21 correspondente à componente dc à 1a harmônica e à 3a harmônica dado que v1t é semelhante ao sinal g1t visto na figura 24 Fig P21 3 A saída de um retificador com capacitor e resistência de carga é o sinal periódico mostrado na figura P22 a Encontre a série exponencial complexa de Fourier para essa forma de onda b Calcule a porcentagem da potência média total contida na componente fundamental Fig P22 4 Se um sinal gt tem transformada de Fourier Gf determine a transformada de Fourier de cada um dos sinais abaixo a g1t g2 t b g2t g2 t2 c g3t g3texpjπt d g4t g2t 3 e g5t gtδt 5 f g6t dgdt g g7t dgdtcost h g8t ddtg2t 5 Encontre a transformada de Fourier das seguintes convoluções a utetut b recttTrecttT c 2rectt 223rectt 34 d utδt 3 e Arectt 25δt 2 6 Determine a transformada de Fourier do sinal gt exptutexp2tut a realizando a convolução primeiro para em seguida achar a transformada e b achando a transformada de cada termo e em seguida multiplicando os resultados 7 Determine a função gt cujo espectro de amplitudes e de fase são mostrados na figura P23 Fig P23 8 O espectro de amplitudes do sinal de tensão vt é mostrado na figura P24 Esboce o espectro de amplitudes do sinal st vtcos2πfct para a fc 3 kHz b fc 05 kHz 31 Fig P24 9 A função ht mostrada na figura P25a representa a resposta ao impulso de um sistema linear e invariante no tempo Encontre a resposta desse sistema para a entrada xt mostrada na figura P25b e esbocea a b Fig P25 a Resposta ao impulso e b Excitação 10 Encontre a resposta ao impulso de um sistema LTI quando sua função de transferência é dada por a Hf 8sinc4fexpj6πf b Hf 6sinc3f 6 11 Encontre a transformada de Fourier de cada um dos pulsos senoidais mostrados na figura P26 Fig P26 Pulsos senoidais 12 Encontre a transformada de Fourier do pulso triangular truncado mostrado na figura P27 Sugestão considere esse pulso como a soma de um pulso retangular com um pulso triangular Fig P27 Pulso triangular truncado 13 Um sinal xt de energia finita é aplicado a um dispositivo de lei quadrática cuja saída yt é dada por yt x2t Se a entrada xt é limitada na faixa W f W mostre que a saída yt será limitada na faixa 2W f 2W 14 Encontre o sinal gt cuja transformada de Fourier é dada por 32 Gf 1 f 0 12 f 0 0 f 0 15 Esboce o espectro de amplitudes do sinal de tensão com as frequências em kHz dado por vt 4cos10πt 10cos2πtcos10πt 2cos22πt 20cos210πt 16 Encontre analiticamente e graficamente a resposta no tempo de um sistema LTI cuja entrada é xt e cuja resposta ao impulso é ht dados respectivamente abaixo xt senπtut e ht δt δt 2 17 Encontre a transformada de Hilbert das seguintes funções a δt b δt 3 18 Determine o sinal analítico do sinal de corrente dado por it 1 kcos2πfmtcos2πfct com fc fm 19 a Determine a transformada de Fourier da senoide amortecida gt Aexpatcos2πfctut b Encontre o sinal analítico desse sinal assumindo que fc a 20 Esboce o espectro de amplitudes do sinal gt vtcos220000πt sabendo que o espectro de amplitudes de vt é dado pela figura P24 21 Encontre a transformada de Fourier do pulso trapezoidal mostrado na figura P28 com tb ta O que acontece quando tb ta E quando ta 0 sugestão use a propriedade da derivada no tempo Fig P28 Pulso trapezoidal 22 Encontre a transformada de Fourier do trem de pulsos triangulares periódicos mostrado na figura P29 Sugestão use a propriedade da derivada no tempo Fig P29 Trem de pulsos triangulares 23 Encontre as amplitudes da 1a e da 2a harmônica do sinal periódico dado por gt Ac1 2cos2πfmt 33 24 O sinal gt Acos2πfct só existe no intervalo 0 t T Encontre a convolução desse sinal com ele mesmo Esboce o resultado dessa convolução 25 Encontre a transformada de Fourier dos sinais abaixo a Acos8πtδt π b Arectt 2δ2t 2π 26 Encontre a transformada de Fourier do pulso dentedeserra definido por gt at t T 0 cc a Usando a integral de Fourier b Usando a propriedade da diferenciação 27 Determine a resposta ao impulso ht do sistema mostrado na figura P210 para a K 1 b K 1 Fig P210 28 Encontre as componentes par e ímpar do pulso retangular definido por gt Arectt T2T Em seguida encontre a transformada de Fourier de cada uma dessas partes 29 Considere um sinal periódico representado pela série de Fourier mostrada abaixo it 11 jnπexpj3nπt2 n a Determine o valor do período e o valor médio nível dc do sinal b Escreva a expressão que define a 3a harmônica em termos da função coseno c Esboce o espectro de frequências até a 2a harmônica 30 Obtenha a transformada inversa de Fourier da função Gf 10sinc2f3 j2πf 31 Seja o sinal gt 16cos20πt π4 6cos30πt π6 4cos40πt π8 a Calcule e plote a densidade espectral de potência b Qual a potência contida no intervalo de frequência que vai de 12 Hz a 22 Hz 32 Dado que os coeficientes da série exponencial de Fourier de xt são X1 X0 X1 Encontre os coeficientes de yt em função dos coeficientes de xt sabendo que yt xt to onde to é uma constante 33 Utilize o par de transformada de Fourier recttT TsincfT e as propriedades da linearidade e do deslocamento no tempo para obter a transformada de Fourier dos sinais mostrados na figura P211 34 a b Fig P211 34 Utilize o par de transformada de Fourier δt to expj2πfto e a propriedade da diferenciação para determinar a transformada de Fourier do sinal mostrado na figura P212 Fig P212 35 Utilize o par de transformada de Fourier exptut 11 j2πf e a propriedade da diferenciação no tempo para encontrar a transformada de Fourier do sinal dado por gt t2exptut 36 A figura P213 mostra a resposta em amplitude e em fase de um certo canal de transmissão Em que faixa ou faixas de frequências ocorre distorção de amplitude distorção de fase e transmissão sem distorção Fig P213 37 Usando a transformada de Fourier do pulso visto na figura 212 e usando a propriedade 2 encontre a transformada de Fourier do pulso gt expatuat 38 Utilizando a propriedade 6 calcule a área sob a curva dada por gt Asinc2Wt e mostre que sincxdx 1