Eletromagnetismo 2 - Lista de Exercícios 1 - UPE

Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Lista de exercícios 1 Um disco circular de metal cujo raio é igual a metros gira no sentido antihorário com frequência angular constante de 𝜔 rads Ele está imerso em um campo magnético constante 𝐻 𝐻0𝑎 𝑧 Am o qual é paralelo ao eixo de rotação Contatos deslizantes estão localizados no eixo de rotação e na borda do disco conforme a figura a seguir Determine o valor da tensão medida no voltímetro ideal 2 Uma bobina circular condutora de raio 𝑏 metros possui 𝑁 espiras e está localizada no plano 𝑥𝑦 e centrada na origem Essa bobina sofre a ação de um campo magnético cuja densidade de fluxo é dada por 𝐵 𝐵0𝜌 sen 𝜔𝑡 𝑎 𝑧 Wbm2 em que 𝜔 é a frequência angular em rads Calcule a tensão induzida na bobina 3 Uma barra condutora desliza com velocidade constante 𝑢 𝑢𝑎 𝑥 sobre um par de trilhos condutores Esses estão separados por uma distância ℎ O sistema está em um campo magnético uniforme 𝐵 𝐵0𝑎 𝑧 Determine o valor de 𝑉0 tensão induzida sobre o resistor 4 Os campos 𝐸 e 𝐻 em um meio dielétrico 𝜀 9𝜀0 𝜇 𝜇0 𝜎 0 são dados por 𝐸 10 cos𝜔𝑡 𝜋𝑦𝑎 𝑥 𝑉𝑚 𝐻 10 𝜂 cos𝜔𝑡 𝜋𝑦𝑎 𝑧 𝐴𝑚 Use as equações de Maxwell para determinar 𝜔 e 𝜂 5 Utilizando as equações de Maxwell e a equação de continuidade de corrente 𝐽 𝜌𝑣 𝑡 prove que a densidade de corrente de deslocamento é 𝐽 𝑑 𝐷 𝑡 6 Uma barra condutora está conectada a um par de trilhos através de conectores flexíveis em um campo magnético 𝐵 6 cos 10𝑡 𝑎 𝑥 𝑚𝑊𝑏𝑚2 Se o eixo 𝑧 é a posição de equilíbrio da barra e sua velocidade é 2 cos 10𝑡 𝑎 𝑦 𝑚𝑠 determine a tensão induzida na barra 7 Mostre que se 𝐽 0 e 𝑄 0 as quatro equações de divergência Leis de Gauss para campos elétricos e magnéticos nas formas diferenciais e integrais podem ser obtidas sem a necessidade de utilizar a equação de continuidade 8 Um cilindro condutor com raio de 7 𝑐𝑚 e altura de 15 𝑐𝑚 gira a uma frequência de 600 rotações por minuto num campo radial 𝐵 02𝑎 𝜌 𝑇 Contatos deslizantes conectam as partes superior e inferior a um voltímetro Calcule a tensão induzida 9 Uma haste condutora de comprimento 60 𝑐𝑚 possui uma extremidade fixa em uma origem aterrada estando livre para girar no plano 𝑥𝑦 Considere que a haste gire a 60 revoluções por segundo em um campo magnético 𝐵 100𝑎 𝑧 𝑚𝑇 Calcule a tensão na extremidade da haste 10 A densidade de fluxo magnético cresce à uma taxa de 8 𝑊𝑏𝑚2𝑠 na direção positiva de 𝑧 Uma espira condutora quadrada com lado igual à 20 𝑐𝑚 está centrada na origem do plano 𝑥𝑦 e possui uma resistência distribuída de 5 Ω Determine a magnitude a direção e o sentido da corrente induzida na espira condutora 1 Teremos uma fem induzida devido ao movimento A velocidade de um anel de raio r é V u r Logo a tensão total será sabendo que dVemf VHo dr Vemf ₀ρ u r Ho dr u Ho ρ²2 Volts 2 Teremos uma Tensão induzida pela variação do fluxo Temos Vemf N dΦbdt Mas Φb 2π Bo sen ωt ₀b ρ² dρ 2π Bo b³3 sen ωt logo Vemf 2π N Bo b³3 u cos ωt Volts 3 Teremos uma variação de fluxo dada por dΦbdt Bo ddt h x onde x é o comprimento do loop Mas dxdt u logo dΦbdt Bo h u e Vo dΦbdt Bo h u 4 E 10 cosωt πy ax Vm e H 10η cosωt πy az Am Das equações de Maxwell sabemos que Lei de Faraday x E Bt μ Ht π10 sen ωt πy 10 μ uη sen ωt πy u π η μ π η μ₀ Mas como j 0 num meio não condutor x H ε Et 10πη 10 μ ε u πη ε Logo ημ₀ 1η ε η² μ₀ε μ₀9ε₀ η μ₀9ε₀ Com isso u πμ₀ μ₀9ε₀ π9ε₀ μ₀ Vemf Bo u sen ut dy dz Bo u0 cos² ut dz ᵞLYₗₐ₀ L Vemf Bo u L y a sen ut Bo u0 L cos² ut Mas como dydt u0 cos ut y u0 sen utu Vemf Bo u0 L sen² ut Bo u a L sen ut Bo u0 L cos² ut Com Bo 610³ Wbm² u0 2 ms e L e a são as dimensões dos trilhos que não foram dadas 7 Se ĵ 0 x H Dt Mas tomando a divergência x H 0 t D Logo D 0 e D dV D dA 0 Lei de Gauss para θ0 Mas como x E B t x E 0 t B 5 Deja a Lei de AmpéreMaxwell dada por x H J Jd Se tomarmos a divergência temos x H 0 J Jd Mas J ρt logo Jd ρt Mas pela Lei de Gauss ρ D então Jd t D ou seja Jd Dt 0 Jd Dt Logo B 0 e B dA 0 8 Uma fem induzida pelo movimento surge Vemf u x B dl uB dl uBL Mas u ωR ω 600 rpm 628 rads B 02 T L 015 m e R 007 m Logo Vemf u R L B 0132 volts 9 Temos Vemf u x B dl σ u r B dr Vemf u L² B2 Como u 60 revs 377 rads L 006 m e B 01 T logo Vemf 0068 volts 6 Nesse caso a tensão induzida será Vemf Bt dA u x B dl Como B Bo cos ωt ax Bt ω Bo sin ωt ax e u u₀ cos ωt ay 10 Sabemos que dBdt 8 Wbm² s de modo que Vemf A dBdt 02 02 8 032 volts Como iL Vemf R logo iL 0325 0064 A O sinal negativo em Vemf significa que a corrente se propaga no sentido horário na espira