Atividade de Eletromagnetismo

Apresentação do problema Consideremos uma onda eletromagnética com frequência de f 5 GHz A qual é representada pelo campo elétrico Eis 10ejβz âx Vm Questão 1 A polarização da onda é linear e se dá na direção do eixo x indicada pelo versor unitário âx Questão 2 Vamos obter a representação do campo elétrico em forma instantânea Para isso vamos partir da representação fasorial dada que é Eis 10ejβz âx Vm A partir dessa representação conseguimos obter a representação instantânea do campo elétrico tomando a parte real do produto da representação fasorial com o termo termo temporal ejwt Ou seja Ezt ReEis ejwt Então usando a representação fasorial dada teremos o seguinte desenvolvimento Ezt Re Eis ejwt Re 10ejβz ejwt âx Re 10ejωtβz âx Re 10 cosωt βz j sinωt βz âx Re 10 cosωt βz âx Re 10 j sinωt βz âx 10 cosωt βz âx Vm Com isso temos então que o campo em sua representação instantânea é Ezt 10 cosωt βz âx Vm Questão 3 Agora obteremos a forma instantânea do campo magnético H associado a onda Para isso usaremos a Lei de Faraday a qual pode ser escrita em forma diferencial como E μ0 Ht Observe que temos E determinado pela questão 2 Nesse caso podemos prosseguir de forma direta determinando o termo acima do rotacional e prosseguindo com a integração no tempo Nesse sentido vamos calcular o rotacional acima com efeito E âx ây âz x y z Ex 0 0 âx y 0 y 0 ây x 0 z Ex âz x 0 y Ex Exz ây em que Ex 10 cosωt βz é a componente do eixo x do campo elétrico Com isso temos que efetuando a derivada em z segue que obtemos o rotacional de E E 10 β sinωt βz ây Vm Agora podemos determinar o campo H isolando esse termo na expressão da Lei de Faraday Com efeito temos 10β sinωt βz ây μ0 Ht Ht 10βμ sinωt βz ây Integrando a expressão acima na parte temporal temos que H 10βμ0 sinωt βz dt ây 10βμ0 ω cosωt βz ây Usando βω 1c e μ0 c η0 H 10βμ0 ω cosωt βz ây Vm Atividade 2 Ondas TEM no espaço livre e reflexão com incidência normal O objetivo deste trabalho é leválo a refletir sobre alguns dos conceitos e leis físicas apresentados nas Unidades 3 e 4 O eletromagnetismo é um dos pilares na formação do engenheiro eletricista portanto é fundamental que o formalismo e as ideias aqui apresentados sejam absorvidos com clareza o que só é possível por meio da leitura e da prática Vimos que o espaço livre pode ser tratado com um dielétrico perfeito isto é um meio sem perdas Portanto uma onda que se propaga nesse meio não sofre atenuação No entanto caso a onda venha a incidir na interface do espaço livre com outro meio material parte da sua energia pode ser transmitida para o segundo meio enquanto a outra parte é refletida Considere então que uma onda com frequência de 5 GHz representada pelo campo elétrico a seguir se propaga no espaço livre Eis 10ejβz âx Vm De acordo com o que você aprendeu ao longo das Unidades 3 e 4 responda às questões a seguir 1 Qual a polarização da onda 2 Escreva o campo elétrico na forma instantânea 3 A partir da Lei de Faraday equação 4 determine a forma instantânea do campo magnético H da onda 4 Suponha agora que a onda incide perpendicularmente sobre a interface entre o espaço livre z 0 e um dielétrico sem perdas z 0 caracterizado por ε 4ε0 e μ μ0 Determine os coeficientes de reflexão e transmissão para os dois meios envolvidos 5 Determine os fasores do campo elétrico para as ondas refletida Er e transmitida Et 6 Suponha mais uma vez que a onda Eis incide sobre a interface z0 mas agora a região z 0 é ocupada por um condutor perfeito σ O que irá acontecer com a onda transmitida Justifique sua resposta 7 Mostre que na situação descrita no item 6 a onda na região z 0 será uma onda estacionária descrita por Ei1 20 j sinβz âx Vm e indique o valor de β Procedimentos para elaboração 1 Primeiramente identifique qual o tipo de simetria do problema Utilizar o sistema de coordenadas mais apropriado facilita muito a solução 2 Organize seus cálculos A organização está diretamente ligada ao raciocínio desenvolvido e facilita a solução e também a correção 3 Explícite todos os cálculos realizados e identifique suas respostas com clareza 4 Não esqueça das unidades Referências HAYT JR W H BUCK J A Eletromagnetismo São Paulo McGraw Hill 2013 8 ed ISBN 9788580551549 NOTAROS B M Eletromagnetismo São Paulo Pearson 2011 ISBN 9788564574267 Questão 4 Consideremos a onda incidente perpendicular na interface entre dois meios dielétricos sem perdas Para os meios envolvidos temos as seguintes relações Meio 1 z 0 Espaço livre ε1 ε0 μ1 μ0 Meio 2 z 0 Dielétrico ε2 4ε0 μ2 μ0 Partindo das relações acima podemos calcular as impedâncias uma vez que elas são dadas por ηj μj εj para j 0 1 2 Usando a expressão acima para calcular as impendâncias temos que para o espaço livre e para o meio dielétrico o seguinte η1 μ1 ε1 μ0 ε0 η0 η2 μ2 ε2 μ0 4ε0 12 μ0 ε0 η0 2 em que usamos as relações dadas entre os coeficientes de permeabilidade magnética e a constante de permissividade elétrica entre o meio livre e o meio dielétrico dadas no enunciado da questão De posse disso podemos então calcular os coeficientes de reflexão Γ e transmissão τ Com efeito esses são Γ η2 η1 η2 η1 η02 η0 η02 η0 13 τ 1 Γ 23 Sendo assim os valores dos coeficientes de reflexão e transmissão para esse problema são respectivamente 13 e 13 Questão 5 Consideremos a onda eletromagnética incidente na interface entre os dois meios dielétricos sem perdas Partindo dos resultados obtidos na questão anterior sabemos que os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por Γ 13 τ 23 O campo elétrico incidente é conhecido e dado pelo fasor Eis 10ejβ1 z âx Vm Para determinar os fasores dos campos refletido e transmitido devemos considerar as propriedades das ondas eletromagnéticas na interface entre os meios O campo refletido terá sua direção de propagação invertida e amplitude modificada pelo coeficiente Γ enquanto o campo transmitido manterá a direção de propagação com amplitude alterada por τ Para determinar completamente os fasores dos campos refletido e transmitido precisamos primeiro calcular os números de onda β1 e β2 em cada meio Partimos da definição geral do número de onda βj ω μj εj 1 Para os meios 1 e 2 temos os seguintes números de onda β1 ω μ0 ε0 β2 ω μ0 4ε0 2ω μ0 ε0 2β1 Esta relação mostra que o número de onda dobra no meio dielétrico consequência direta da maior permissividade elétrica Com os números de onda determinados podemos escrever a forma geral dos fasores Eis 10ejβ1 z âx Vm Ers Γ 10ejβ1 z âx Vm Ets τ 10ejβ2 z âx Vm Substituindo os coeficientes Γ 13 e τ 23 obtidos anteriormente e a relação β2 2β1 chegamos aos fasores finais Ers 10 3 ejβ1zˆax Vm Ets 20 3 ej2β1zˆax Vm A dependência espacial dos fasores refletido e transmitido fica assim completamente determinada com O campo refletido propagandose no sentido z com número de onda β1 O campo transmitido propagandose no sentido z com número de onda β2 2β1 As amplitudes respeitando os coeficientes de reflexão e transmissão calculados 5 Questão 6 Quando a onda eletromagnética incide sobre um condutor perfeito σ na interface z 0 ocorre um fenômeno particular que pode ser analisado através das equações de Maxwell e das condições de contorno Partimos das seguintes considerações Num condutor perfeito o campo elétrico interno deve ser nulo Et 0 para z 0 em que o rótulo t é associado ao campo transmitido A condição de contorno para campos tangenciais em z 0 exige âz Ei Er âz Et 0 Para satisfazer esta condição o campo refletido deve compensar completamente o campo incidente na interface Isto implica que Erz0 Eiz0 Γ 1 ou seja Γ 1 Com isso o coeficiente de reflexão tem total contribuição na relação de refletância e transmitância Ou seja isso implica que toda a contribuição da onda consequentemente do campo elétrico é refletida Então nesse sentido a presença do condutor perfeito na região z 0 faz com que toda a contribuição da onda seja refletida inversão de fase e logo não haverá contribuição de onda que será transmitida Assim não haveria transmissão da onda já que não há propagação da onda no condutor perfeito Questão 7 Na situação com condutor perfeito z 0 sabemos da questão anterior que o coeficiente de reflexão é Γ 1 O campo total na região z 0 será a superposição do campo incidente e refletido E1s Eis Ers 2 Substituindo as expressões fasoriais com Γ 1 Eis 10ejβzˆax Vm Ers 10ejβzˆax Vm E1s Eis Ers 10ejβz ejβzˆax Vm Utilizando a identidade de Euler ejθ cosθ j sinθ Obteremos ejθ ejθ cosθ j sinθ cosθ j sinθ 2j sinθ Com isso o campo total na região z 0 pode ser escrito como E1s 102j sin βzˆax 20j sinβzˆax Vm Agora iremos determinar o valor de β o qual corresponde ao o número de onda no meio 1 espaço livre Com efeito esse termo é determinado por β ωµ0ε0 ω c 3 Para a frequência dada de 5 GHz β 2πf c 2π 5 109 3 108 10π 109 3 108 100π 3 10472 radm Com isso obtemos o valor de β 104 72radm 7