Vibrações Mecânicas - Análise de Movimento Livre Amortecido em Tanque Suspenso

14 Um tanque é transportado por três cabos idênticos e desejase estimar seus valores máximos de descolamento velocidade e aceleração que resultarão de seu movimento livre de amortecimento na direção z Para uma massa de 2000 kg e cabos de aço com diâmetro de 43 mm cada determine estes valores Adote E 210 GPa e kcabo EAL 20 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL determine o valor da frequência natural não amortecida e o fator de amortecimento o valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 001 mm e mantido fixo o coeficiente de amortecimento enquanto triplicase sua rigidez e dividese sua massa pela metade como afetaria o tempo para xt 001 mm RESPOSTA TRANSIENTE DESLOCAMENTO mm TEMPO s 14 Substituindo cada cabo por molas k1 A1E1L1 k2 A2E2L2 k3 A3E3L3 A constante π4 431032 1452106 m2 E constante 210109 Pa L12 32 1252 222 L1 382 m L22 32 1252 222 L2 382 m L32 32 12 L3 316 m k1 1452106210109382 800103 Nm k2 1452106210109382 800103 Nm k3 1452106210109316 965103 Nm A energia potencial das 3 molas deve ser igual a uma única mola equivalente ΣU Ueq Umola 12 k x2 12 k1 x12 12 k2 x22 12 k3 x32 12 keq xeq2 onde x1 Zcosθ1 x2 Zcosθ2 x3 Zcosθ3 xeq Z θ1 tg1 3125222 5183 θ2 tg1 3125222 5183 θ3 tg1 31 7156 Xeq Z k1 Zcos2θ1 k2 Z cos2θ2 k3 Z cos2θ3 12 keq Z keq k1 cos2θ1 k2 cos2θ2 k3 cos2θ3 800103 cos25183 800103 cos25183 965103 cos27156 70762103 Nm keq O sistema agora é ΣF m a keq z m z m z keq z 0 Para movimento não amortecido a solução é do tipo Zt Z0cosωn t V0ωn senωn t ωn keqm 707621032000 1881 Hz O deslocamento inicial é obtido pela análise estática ΣF 0 keq z P 0 Z mgkeq 210098170762103 277103 m Z0 Supando que o movimento se inicia do repaoso V0 0 A equação do movimento é então Zt 277103 cos1881 t 277103 é a amplitude da função m portanto é o valor máximo do deslocamento Zt 277103 sen1881 t1881 amplitude 2771031881 0521 ms Z 0521 cos1881 t1881 amplitude 05211881 98 ms2 20 equações uteis frequência natural wn km 1 amortecida wd 1 ζ² wn 2 wd 2πTd 3 decremento logarítmico δ lnx₁x₂ 2πζ1 ζ² 4 5 4 x₁ 19 mm x₂ 15 mm δ ln1915 0236 dec logarítmico 5 0236 2πζ1 ζ² 2πζ0236² 1 ζ² 70649 ζ² ζ² 1 ζ 170749 0038 fator de amortecimento 3 do gráfico o período é Td 015 02 013 s wd 2π013 4833 Hz 2 4833 1 0038² wn wn 4837 hz freq natural não amortecida Como ζ 1 o sistema é subamortecido e a solução é Xt eζwnt x₀ cos1 ζ² wd t v₀ ζwn x₀wd1 ζ² sen1 ζ² wd t 6 a amplitude da função acima é At eζwnt x₀² v₀ ζwn x₀wd1 ζ²² 7 encontar x₀ e v₀ do gráfico x₀ 11 mm 6 sabendo que em t 002 x 1910³ 1 ζ² 1 1910³ e 00384837t 1910³ cos4833 t v₀ 1910³003848374833 sen4833 t 1838 1910³e¹838002 1910³ cos4833 x 002 v₀ 00354833 sen4833 x 002 00197 00108 v₀ 00350017 v₀ 0488 ms 7 Para amplitude menr que 001 mm 00110³ e¹838t 1110³² 0488 00354833² e¹838t 00110³0015 e¹838t ln064810³ 1838 t t 399 4 s Se k 3k e m m2 Ʊantes km Ʊdepois 3km2 6km ƱantesƱdepois km6 km 16 0408 Ʊdepois 48370408 11848 hz Sabendo que Cc 2 km antes e que Ʊₐntes CCcantes Ccdepois 23km2 Ʊdep CCcdepois Ʊₐntes Ccantes Ʊdep Ccdep ƱdƱd CcaCcd 32 KmKm 0816 Ʊd Ʊa0816 00380816 0046 0999 wd 1 Ʊdepois² wndepós 1 0046² 11848 11835 hz wd X₀ não muda nem v₀ a amplitude At nova é At e³ ω t x₀² v₀² ³ω x₀²ωd e⁰04611848t 1110³² 0488 004611848t1110³²11835 e⁵45t 04876 At 00110³ 04876 e⁵45t ln00110³04876 545 t t 156 diminú em 61