Exercícios Resolvidos - Variáveis Aleatórias, Distribuições e Estatísticas de Ordem

8 Se X é uniformemente distribuída no intervalo 01 e Y é exponencialmente distribuída com parâmetro λ1 determine a distribuição de a Z X Y b W XY Suponha que X e Y são variáveis independentes 9 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição comum exponencial de parâmetro λ Calcule a função densidade de probabilidade de a Z X Y b W X X Y 32 Mostre que a mediana de uma amostra aleatória de tamanho 2n1 de uma distribuição uniforme em 01 tem distribuição beta com parametros n1 n1 29 Suponha que n variáveis X1 Xn formam uma amostra aleatória de uma distribuição contínua para a qual a função densidade de probabilidade é f e a função de distribuição é F Sejam X1 Xn as estatísticas de ordem dessa amostra Determine a A densidade conjunta de X1 e Xn b A densidade de A Xn X1 a variável A definida desta forma é denominada a amplitude da amostra 24 Se X e Y são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo 0 1 determine a densidade conjunta de U e V quando a U X Y e V XY b U X Y V XY c U X Y V XX Y 20 Se X e Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros α λ e β λ respectivamente Calcule a densidade conjunta de U X Y e V XX Y Neste caso U e V são independentes 19 Seja X Y um ponto aleatório no plano no IR2 Supondo que as coordenadas cartesianas do ponto X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão determine a densidade conjunta das coordenadas polares deste ponto Lembremos que as coordenadas polares de um ponto podem ser expressas em função de suas coordenadas cartesianas do seguinte modo R sqrtX2 Y2 θ arctgY X 17 Se X e Y são variáveis aleatórias independentes com funções densidade iguais a fx ex para x 0 obtenha a densidade conjunta de X Y e 3X 2Y Neste caso X Y e 3X 2Y são independentes