Análise de Custos de Corrida de Táxi com Funções de Tempo e Distância

Problema Em uma cidade cobrase o custo de uma corrida com taxi assim ha uma tarifa fixa de R2 00 mais R1 50 por quiˆometro rodado mais R0 25 por minuto parado Um passageiro entrou no taxi percorreu 5 km em 7 min parou 10 min em um engarrafamento e depois percorreu mais 5 km em 8 min Estude o custo C como funcao do tempo t e como funcao da distˆancia percorrida d Ha diferencas Solucao Em primeiro lugar vejamos numa tabela o custo de corrida em cada trecho Tempo decorrido min Distˆancia percorrida km Custo da corrida R 7 5 9 5 2 1 5 5 17 5 12 9 5 0 25 10 25 10 19 5 12 1 5 5 Os graficos de C em funcao de t e em funcao de d ficam assim Figura 1 Grafico C t Figura 2 Grafico C d Como se pode observar na funcao Ct existem limites em todos os pontos en quanto que a funcao Cd nao possui limite em d 5 O problema nos mostra que um enunciado pode produzir funcoes com diferentes tipos de comportamento O limite e uma ferramenta capaz de distinguir estas funcoes 2 Tendo em vista a diversidade de situacoes envolvendo os limites urge definir a condicao de existˆencia do limite de uma funcao Sejam fx funcao definida em um intervalo a b e x0 a b Entao existe lim xx0 fx se existirem os limites laterais e eles forem iguais Exemplo 1 Estude a existˆencia do limite da funcao fx definida no domınio D a c c d cujo grafico esta esbocado na Figura 3 Figura 3 Estudo da existˆencia do limite do Exemplo 1 Solucao De acordo com a primeira condicao exposta acima devemos observar apenas os pontos x0 a c c d De fato No intervalo a c o limite nao existe apenas em x b pois os limites laterais sao distintos para x b No caso do intervalo c d o limite existe para todos os pontos 3 A questao da existˆencia do limite nao provoca nenhuma dificuldade a certas funcoes como as funcoes polinomiais por exemplo cujos graficos sao bem com portados sem buracosou saltos Estas funcoes sao caracterizadas assim Uma funcao y fx e contınua em x a se fx estiver definida em a e lim xa fx fa Se f for contınua em todos os pontos de seu domınio D entao dizemos que f e contınua em D Se f for contınua em R dizemos simplesmente que f e contınua c Para pensard Clique AQUI para manipular o comportamento de uma funcao contınua E possıvel uma funcao fx possuir limite em um ponto x a e no entanto ser descontınua em x a Com efeito considere a funcao fx x2 1 x 1 estudada no Capıtulo 2 Sabemos que lim x1 fx 2 todavia fx nao e contınua em x 1 pois nao existe f1 Exemplo 2 Determine os pontos de descontinuidade de fx x2 1 x 1 Solucao Vamos mostrar que nao ha outros pontos de descontinuidade alem de x 1 Com efeito vimos no Capıtulo 2 que se x 1 entao fx x 1 Logo a 1 e verdadeiro o resultado lim xa fx lim xax 1 a 1 fa Ou seja x 1 e o unico ponto de descontinuidade de fx Ha uma propriedade geometrica que dintingue uma funcao contınua das demais O grafico de uma funcao contınua e uma linha que pode ser totalmente tracada no papel sem a retirada do lapis no meio do seu tracado 4 Respostas dos exercıcios propostos Exercıcio 1 a b x 2 c x 0 d x 1 e x 1 f x 2 x 3 g x 0 x 2 h x 2 i j k l x 2 m x 1 n x 0 o x 0 p x 1 q x 1 r s x 3 t x 4 Exercıcio 2 a a 3 4 8