Estudo do Aprendizado em Animais: Limites e Funções

EITAIPCHEUEW BEY TCORMEKCE ETS GQUM CEINGRERINECE CS Po Wegner Leone 1 Problema Suponha que um estudante de psicologia deseja estudar o aprendizado em animais e para tanto realizou um experimento em que um rato teve que atra vessar varias vezes o mesmo labirinto Foi observado que o tempo necessario para n tentativas de atravessar o labirinto variou de acordo com a funcao 1 Tn 5n 17 n O que acontece com o tempo quando o numero de tentativas aumenta indefinida mente Solucao Crescer indefinidamente significa n O primeiro impulso para o calculo de limites desta natureza e substituir o sımbolo na expressao e manipulalo algebricamente No entanto esta manipulacoes so sao permitidas para numeros e nao e um numero e um limite Para utilizar o infinito em limites sem equıvocos conceituais trabalharemos inicialmente com a funcao que julgamos ser a base fundamental para isto dada no Exemplo 1 Exemplo 1 Faca uma estimativa dos valores da funcao fx 1 x proximos do pontolimite x 0 Interprete os resultados Solucao Observando a Tabela 1 concluımos que Valores 0 Valores 0 x fx x fx 01 10 01 10 001 100 001 100 0001 1000 0001 1000 00001 10000 00001 10000 Tabela 1 Simulacoes para lim x0 1 x Quanto mais proximos de 0 estao os valores positivos de x maiores sao suas respectivas imagens Quanto mais proximos de 0 estao os valores negativos de x menores sao suas respectivas imagens Isto nos mostra que 2 se x 0 entao as imagens de fx tendem a infinito positivo se x 0 entao as imagens de fx tendem a infinito negativo Usando as notacoes e para o infinito positivo e negativo respectivamente podemos escrever lim x0 1 x e lim x0 1 x Figura 1 Grafico da funcao fx 1 x c Para pensard Que tipo de entidades sao os infinitos positivo e negativo Sao respectiva mente o maior e o menor numeros reais Podese concluir do exemplo anterior que 1 0 3 O limite do Exemplo 1 e fundamental para estudarmos outros limites que envol vem o infinito Em sıntese ele diz que se um numero tende a ser muito pequeno o seu inverso tende a ser muito grande c Para pensard Clique AQUI para estudar o comportamento da funcao fx 1 x Exemplo 2 Estude o limite lim x2 3 x 2 Solucao Se x 2 entao x 2 0 Estudando os limites laterais 1 Temos que x 2 0 x 2 Logo x 2 x 2 0 1 x 2 Portanto 1 x 2 0 3 x 2 0 lim x2 3 x 2 2 No outro lado x 2 x 2 0 Logo 1 x 2 Portanto 1 x 2 0 3 x 2 0 lim x2 3 x 2 Exemplo 3 Estude o limite lim x1 x 1 x 1 Solucao lim x1 x 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1x 1 lim x1 x 1 x 1x 1 lim x1 1 x 1 Nao existe lim x1 1 x 1 pois nao se pode ter x 1 no radical Consideremos agora lim x1 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 0 1 x 1 Logo lim x1 x 1 x 1 4 a Exercicio 1 Utilize o Geogebra para esbocar os graficos das funcées dos Exem plos 2 e 3 para confirmar os calculos realizados eee a Exercicio 2 Estude os limites que seguem e confira os resultados esbocando o grafico no Geogebra 22 9 2 a im 4 lim 2 Gn 49 g limo 2 x Je3 ON Ta O Maa th him aay 5 x oa x im f lim 2 i in c lim im em Tea i6 eee Exemplo 4 Resolver o limite da fungao 1 do problema que introduziu este capitulo 5n 17 Solugao O problema consiste em resolver o limite lim onvit N00 n Lembremos da funcgao fz 1x do Exemplo 1 Vimos que lim 1x 00 z0 Agora escreva n 1x Eclaro que lim 1n 0 donde noo 5n 17 lim Tn lim one it n00 n00 n 1 5n 17 lm 4 noo 1 n n 17 lim s 95 noo n 5 2 Exemplo 5 Calcule o limite lim ate zoo x Solugao Seguindo o raciocinio do calculo do limite do Problema 1 temos 2 Xx 242 x 2a 1x 00 lim lim lim 0 roto 72 2x400 1 zoo 1x1 01 la x Qa 4a E lo 6 Calcule 0 limite lim WW xemplo alcule o imite lim 92 5rL7 Solugao Qax 4a im aoo 97 5a 7 2a 4a 12 in H xco 9x 5a 7 123 24 4ax lin r00 9x 5 ax 72 O numerador da fracgao tende para 2 e o denominador tende para 0 Além disso as trés parcelas do denominador dentro do processolimite sempre assumem valores 9 5 7 negativos ist éz4 0 O limite portanto toma a forma Luv 2 lim z0 Logo seguindo a Tabela 1 do Exemplo 1 a fragao final tende para oo 6 eee Exercicio 3 Estude os limites lim fx e lim fx em cada caso L00 wLCoO a fx 2 1000000 c fx 1 2xx 5 b fx 2 42 4 d fx a 1 4x 9x 9 ec RESOLVIDO fa Solugao x6 4x 9x 9 Ba 9 f f2 i M Taras et Ar 9 1 4 j fa fe 25 5 ie6 x x 9 5 fe 38224 k f 3 5a 5x 6x wre V 1 1 RESOLVIDO fx VZ2 Solucao of e 6 fa 1 Vvard m fz TL n fz r6 eee eee px SC Exercicio 4 Seja fx aa sendo px e qx dois polindmios nao nulos qx Determine quais sao as relacoes entre os graus destes polindmios para que a lim fx 00 b lim fx 0 e lim fle e 4 Ge eR eee Exemplo 7 Considere a fungao fx Ss Sabendo que os li me eae bP mites laterais para x 2 e para x 3 sao infinitos positivo eou negativo determine a e b Clique aqui para ver a solucao 7 Exercıcio 5 Considere as seguintes informacoes sobre a funcao que segue fx x a2 x b2x c f1 0 lim x3 fx lim x3 fx lim x2 fx lim x2 fx Determine os valores de a b e c Quando desenvolvemos os limites na secoes anteriores percebemos como a analise grafica contribui para a sua compreensao Neste sentido perguntamos Como interpretar um limite envolvendo infinito a partir do grafico de uma funcao Exemplo 8 Considere o grafico da funcao fx na Figura 2 Figura 2 Grafico da funcao fx do Exemplo 8 Nao e difıcil ver que lim x3 fx lim x3 fx lim x fx 1 lim x fx 1 8 Estes limites sao indicadores da existˆencia das retas pontilhadas no grafico da Figura 2 Estas retas x 3 e y 1 sao chamadas de assıntotas Enquanto x 3 e uma assıntota vertical y 1 e uma assıntota horizontal Dizemos que a reta x a e uma assıntota vertical de fx se lim xa fx eou lim xa fx Dizemos que a reta y b e uma assıntota horizontal de fx se lim x fx b Exercıcio 6 Determine as assıntotas verticais e horizontais de cada funcao fx dada se existirem a fx x 2 x2 1 b fx 3x2 x2 5x 6 c fx 2x2 2 x2 9 d fx 4x3 x 1x 1x 2 Exercıcio 7 Para cada grafico de fx e a dados nas Figuras 3 4 e 5 calcule lim xa fx lim xa fx lim x fx lim x fx 9 Figura 3 a 1 Figura 4 a 2 e a 2 Figura 5 a 2 e a 1 10 Exercicio 8 Resolva os problemas a Suponha que para remover 7 da poluigao causada por um derramamento de petréleo seja preciso gastar C mil reais sendo 12 Cx 100 x i Quanto custa remover 25 da poluigao ii O que acontece quando x 1007 E possivel remover toda a poluigao iii Por que foi necessdrio o limite 4 esquerda b De acordo com a Teoria da Relatividade a massa m de um objeto varia de acordo com a sua velocidade v quando esta atinge valores préximos a veloci dade da luz c de acordo com a férmula mo m y2 V1 2 sendo mp a massa deste objeto quando em repouso Estude e interprete lim m Por que foi necessario o limite a esquerda UC c De acordo com a Lei da Gravitacgaéo Universal de Newton as particulas do universo se atraem com uma forcga F diretamente proporcional ao produto das massas M1 Mg e inversamente proporcional ao quadrado da distancia r Em simbolos m1 mM2 Fy 0 8 sendo G uma constante de proporcionalidade denominada constante gravita cional Calcule e interprete lim Fir rT0o d O gerente de uma loja observou que o custo total C para fabricar x unidades de um produto varia de acordo com a funcao Cx 7 5x2 120000 reais O custo médio é Cl x Ax Calcule lim Ax e interprete o resultado w00 11 ec Uma lente convexa tem distancia focal f cm Se um objeto esta colocado a p cm da lente entao a distancia g cm da imagem a lente esta relacionada com p e f através da equacao da lente bio pq f Conforme a Figura 6 p deve ser maior do que f para que os raios sejam convergentes Cheeta A Trregert Figura 6 Lente do item e Explique o que esta acontecendo ao tamanho da imagem quando p f Por que é necessario o limite lateral f Suponha que daqui a t anos a populagao de um pais seja igual a Pt 0 2t 1500 mil pessoas e que a renda bruta deste pais seja Et 9t 0 5t 179 milhoes de ddélares A renda per capita é definida como Pt Rt Estude a renda per capita deste pais a longo prazo e interprete os resultados 12 Respostas dos exercıcios propostos Exercıcio 2 a Lateral direito lateral esquerdo b Lateral direito lateral esquerdo c Lateral direito lateral esquerdo d Lateral direito lateral esquerdo e Lateral direito lateral esquerdo f Lateral direito lateral esquerdo g Lateral direito lateral esquerdo h Lateral direito lateral esquerdo i Lateral direito lateral esquerdo Exercıcio 3 a lim x fx e lim x fx b lim x fx e lim x fx c lim x fx e lim x fx d lim x fx e lim x fx f lim x fx e lim x fx g lim x fx lim x fx 2 h lim x fx lim x fx 3 5 i lim x fx lim x fx 0 j lim x fx e lim x fx k lim x fx e lim x fx m lim x fx e lim x fx n lim x fx 1 e lim x fx 1 13 Exercıcio 4 a graup grauq b graup grauq c graup grauq Exercıcio 5 a 1 b 3 e c 2 Exercıcio 6 a Assıntota vertical e assıntota horizontal 0 b Assıntota vertical e assıntota horizontal 3 c Assıntota vertical e assıntota horizontal 2 d Assıntota vertical 1 e assıntota horizontal 4 Exercıcio 7 Figura 3 lim x1 fx lim x1 fx lim x fx 1 lim x fx 1 Figura 4 lim x2 fx lim x2 fx lim x2 fx lim x2 fx lim x fx 0 lim x fx 0 Figura 5 lim x2 fx lim x2 fx lim x1 fx lim x1 fx lim x fx 1 lim x fx 1 14 Exercıcio 8 a i C25 4 ii lim x100 12x 100 x b lim vc m c lim r Fr 0 d lim x Ax 7 5 e q f lim t Rt 0 067 15