Cálculo de Queda Livre e Antiderivadas

CAPER BUH AAW ANTIDERIEVADAS TAINED TREE ADA S dE INTEGRATS FINGER IRIALHS Po Winn Leura 1 Problema Um corpo é largado a 100 metros do solo em queda livre Determinar a quantos metros do solo ele estara apds 2 segundos de queda Solucdo Temos que a 98ms 59 10m e vp 0ms O problema sera resolvido a partir da observagao de que 1 at vt 2 ut st Para resolver 1 devese encontrar a fungdo cuja derivada é constante e igual a a 98ms No caso a resposta é ut 98tb sendo be R Para 2 procuramos a funcgaéo que tem como derivada vt 98t 6 Neste caso sera st 49 bt c sendo bcE R Os dados do enunciado ainda permitem encontrar os valores de b e c Com efeito v9 v0 0 v0 980b0 b0 so s0 100 s0 49060c100 c100 Ou seja st 49t 100 Em particular para t 2 ocorre o seguinte s2 49 2 100 196 100 80 4 Concluindo apdés 2 segundos de queda o corpo estara a 804 metros do solo O problema acima sugere um tipo de raciocinio inverso ao de derivar a que de nominamos antiderivagao Ou seja a antiderivada de fx é uma funcgao Fx tal que Fz fz Alguns autores também denominam a funcao Fx como primitiva de fx En contrar primitivas ou antiderivadas de fungoes elementares é consequéncia do conhecimento que se tem sobre derivadas Algumas propriedades também sao imediatamente decorrentes como 1 Se Fx for primitiva de fx entao kFx seré primitiva de kf x Vk R 2 Se Fx e Gx forem primitivas de fx e gx respectivamente entao a Fx Gx seraé a primitiva de fx gz b Fx Gx sera a primitiva de fx gx 2 Exemplo 1 Encontre a primitiva da funcao fx 274 e cosx Solugao Por uma rapida inspecao chegase a 2 2 e 52 5 lat x1 5 5 e e et e senx cosa 2 Logo Fx a esenz c Exemplo 2 Encontre a primitiva Fx de fx e Solucdo Como e3 3 e8 segue que Multiplicando ambos os membros por 13 TF OO 1 3a 1 3 e 3 e e 3 I 3 Simplificando no segundo membro 3131 oo OF 1 5 c3 3e Levando no primeiro membro 13 para dentro do parénteses a 1 32x 3x Koya ls Logo Fx 3 7 3 2 Exemplo 3 Encontre a primitiva Fx de fx cos 2 2 2 2 Solucao Sabemos que sen at F cos aa logo Multiplicando ambos os membros por 72 OR OU 7 2 7 2 2 n H 5 sen 52 57 COs oe oa 72 Simplificando no segundo membro 377 oO OO 7 2 2 5 sen or cos 72 oo 7 Levando no primeiro membro 9 para dentro do colchete EO nnOmomn0D 7 2 2 sen x cos x 2 7 7 7 2 Logo Fx 3 Sen 2 Exemplo 4 Encontrar uma férmula geral para a primitiva de fx n Q n 1 Solucao A derivada reduz o expoente em uma unidade portanto a primitiva aumenta o expoente em uma unidade Logo a primitiva de x tem expoente n Como x1 n12 ento dividimos ambos os membros por n 1 obtendo n1 5 x isto é n1 gntl Fx x nad 4 2 Exemplo 5 Encontre a primitiva de fx x a Solugéo Escrevendo na forma de expoente temos fz 22 Pelo exemplo 4 wp l21 p34 932 1 F SO ss Teay 3e1 o 3 tap te a Exercicio 1 Calcule a primitiva de cada funcdo que segue a fx 2v3a f 3h titi k verti f st 3 k fa 3 5Vt2 Vxt b st 5 t 1 2x x 4 g f 4 1 f cos c N ze t3 95t3 ve h gt 3e m fx 2sen 4x fle x i fr 3a n fx 3sec9z 3a242 1 3t e ft V4 j st Op 0 st 2cosec4t eee Antes de darmos sequéncia ao estudo de primitivas devemos introduzir um con ceito relacionado com a derivada que é de suma importancia os diferenciais Vimos que a derivada é a inclinagao de uma reta tangente obtida quando fazemos Ax 0 no quociente fa Az fz Ax dy re Assim usando a notacao dz teremos apos o limite o seguinte x 5 dy dx lim x0 fx x fx x Agora veremos o significado dos dois sımbolos utilizados nesta notacao de deri vada dy e dx Vocˆes se lembram de quando calculavamos limites usando tabelas Na medida em que consideravamos valores de x cada vez proximos do pontolimite suas imagens correspondentes se aproximavam cada vez mais do valor limite Quando fazemos estes calculos numa planilha eletrˆonica ou numa calculadora os valores de x ficam tao proximos do pontolimite que suas imagens se estabilizam num determinado valor Veja a tabela abaixo que simula o calculo de lim x1 x2 1 x 1 x fx x2 1x 1 09 19 099 199 0999 1999 09999 19999 099999 199999 0999999 1999999 09999999 19999999 099999999 1999999999 1 2 1 2 Quando isto ocorre dizemos que x esta tao proximo do pontolimite que sua diferenca que e x fica desprezıvel Neste caso mudamos a notacao de x para dx e chamamos esta grandeza de diferencial Ou seja uma diferencial dx e um incremento x que ficou desprezivelmente pequena 6 Veja agora uma tabela com valores x x x x 1 09 01 099 001 0999 0001 09999 00001 099999 000001 0999999 0000001 09999999 00000001 099999999 000000001 09999999999 0 099999999999 0 Vejam que quando os valores de x se aproximaram muito de 1 as diferencas x ficaram desprezıveis Podemos dizer que nestas duas ultimas linhas nao temos mais valores de x e sim de dx pois dx e um x muito pequeno A derivada de uma funcao pode ser portanto definida como razao de duas di ferenciais isto e f x dy dx cuja interpretacao pode ser vista no grafico que segue Figura 1 Interpretacao grafica das diferenciais 7 Se f x dy dx entao dy f xdx e e assim que calculamos o diferencial Exemplo 6 Calcule o diferencial das seguintes funcoes a fx x2 3x dy 2x 3dx b fx sen x dy cos xdx c fx ln x dy 1xdx Exercıcio 2 Calcule o diferencial das seguintes funcoes a fx x cos x b fx tg x c fx x ex Podemos usar diferenciais para resolver problemas de aproximacao Para fazer isto sempre consideramos que para valores muito pequenos x dx e y dy Vejam os exemplos Exemplo 7 A altura do paralelepıpedo de base quadrada e de 15 cm Se o lado da base muda de 10 para 1002 cm usando diferenciais calcular o aumento aproximado em seu volume Solucao O volume do paralelepıpedo de lado da base ℓ e altura h e dado por V ℓ2h onde h 15 e constante e ℓ e variavel Entao V 15ℓ2 e dV 30ℓdℓ Para este caso ℓ 10 e dℓ 0 02 Logo dV 6cm O volume cresce aproximadamente 6 cm Exemplo 8 Calcule o valor aproximado de 5 00012 Solucao 50001 e o resultado de uma variacao dx 0 0001 do valor x 5 Deste ultimo sabemos calcular o quadrado A funcao responsavel por esta operacao e fx x2 Temos dy 2xdx dy 2 5 0 0001 0 001 Esta e a variacao entre os quadrados de 5 e de 50001 Logo 5 00012 25 0 001 25 001 8 Exercicio 3 Resolva os problemas a O diametro de uma esfera é 9 cm Ao medilo introduzse um possivel erro de 005 cm Qual é a variacao do volume b Calcule o valor aproximado de 2 999 Voltemos as primitivas Fungoes mais complexas exigem a introducao da seguinte notacao que trata o calculo da primitiva segundo uma operacao direta dx Se Fx for primitiva de fa entéo escrevemos Fx fleoae O operador dx é chamado integral Dizemos entao que Fx é a integral de fz 5 Exemplo 9 Calcule a integral dx x Solugao n f 62 dr5 pe Se te 0 x9 7 8 8x8 Exemplo 10 Calcule a integral 2 cos2xdx 2 Solugao pp cos2xdx 2 sen 2 csen 2x c Como decorréncia da definicgao de antiderivacgao o operador integral é dotado das seguintes propriedades L ji fa de k fae ve ER 2 fa gx dx tae ooyaz 9 Exemplo 11 Usar as propriedades acima para calcular 26 4a dx Solucao 26 4 dx 2 eav4 f adr est at 2 4 3 1 c De3e 1 3 x c 10 Exercicio 4 Calcule as integrais a 20 8Vv dx e e dx i sn 2 3x dx 9 2a 4x5 3 mt 3e dz f 3e dx j 2cosa 2 32 dx 2 3 d lax 3 c 3 cue x le dx a 4x 1 dx 2 1e d dx h ooste 1 dx 1 tg x dx Exercicio 5 Resolva os problemas a Determine a fungao posigéo x xt de uma particula cuja velocidade é dada por vt 4tT7ea11 b Determine a fungao posicgaéo de uma particula que possui aceleracaéo dada por at 7t 2 e satisfaz v0 2 e 0 1 c Jogase uma bola para cima de uma altura inicial de 80 metros com uma velocidade inicial de 64 metros por segundo Deduza a fungao posicao que dé a alturas em pés como funcao do tempot em segundos Em que instante a bola atinge o solo d Uma pedra é jogada verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 ms Desprezando a resisténcia do ar determine i a distancia da pedra ao solo apés t segundos ii o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe iii o instante em que a pedra atinge o solo e a velocidade nesse instante ec Um balao sobe a uma taxa de 10ms No momento em que esta a de 80m do solo deixa cair um pacote Quanto tempo demora para o pacote chegar no chao f Um foguete decola da superffcie terrestre a uma caeleracéo de 20ms Qual é a sua velocidade apds 1 minuto de decolagem 11 SL Exercicio 6 Em cada figura determinar o grafico que corresponde A primitiva dada com a condicao dada 2 y y A 5 ax 15 0 0 15 v REA ss 3 L cx DS dx 1 Cor ex al a1 0 1 4 Figura 2 fx 6x f1 0 Figura 3 fx 2e f0 3 y 5 5 y ax ac 4 b2 5 Je x wt TAS ce Cx 2 y dx dx f A L ec ea 0 1 2 x Hh 0 1 2 GB3 1 Figura 4 fx cosx sen x Figura 5 fx r 2 3 7 f5 2 12 Exerefeio 1 Exercicio 2 Exerefeio 3 Exercicio 4 4 2 a az te i Zine e 3 11 b 44 e j 5 7 3in c 10ts c 3 d 2 At c ve 1 5 3 1 4sen e aa V Ta 1la 231 e 4 1 f ae ti 3v e m 5 cos4x 1 oe n tt 9a e g ge te 38 9 st 1 h ze 0 5 cote 4t c Exerefeio 5 5 2x a 5rd e g e e 9 3 4 h sen a 1 e b F 9 c 2 1 6m i cos2 32 c c gInalse e 3 3 2 1 3x d 2in2 e e j 2sen a 2 e ev 2 4 1 3 4 e 3 Fe k 42 040 3 x f ic P e 1 Incos a 13