Funções Exponenciais e Modelagem de Crescimento

CAPITULG Mx PUNCOES EXPONENCMARS Poo Wes Lunes 1 Problema Ao aplicarmos uma quantia Q R100 00 em um investimento que rende 2 ao mˆes que valor podera retirado apos 10 meses de aplicacao Solucao Apos o primeiro mˆes acumulase o seguinte montante M1 2 Q Q 1 2 Q No meses seguintes a este teremos sucessivamente M2 1 2 M1 1 22 Q segundo mˆes M3 1 2 M2 1 23 Q terceiro mˆes M4 1 2 M3 1 24 Q quarto mˆes Seguindo este caminho apos t meses o motante Mt da operacao varia segundo a funcao Mt 1 2t Q Generalizando para uma taxa i qualquer temse a formula 1 Mt 1 it Q Portanto apos t 10 meses obtemse o motante Mt 1 210 Q 1 219 100 121 90 reais Funcoes em que a variavel esta no expoente sao chamadas exponenciais ou seja Uma funcao da forma fx Qax em que Q R a R e a 1 e chamada funcao exponencial O modelamento no problema anterior pode ser generalizado em situacoes de dife rentes naturezas seja uma populacao que cresca 2 ao ano ou uma quantidade de fluido que entra em um reservatorio a uma taxa de 2 a hora Em todos es tes casos a funcao tera sempre a forma fx Q1 02x sendo Q a quantidade inicial Seguindo esse raciocınio as formas fx Q1 23x e fx Q0 75x por exem plo representam grandezas que alteram sua condicao inicial Q a cada unidade de tempo x em crescimento de 23 e decaimento de 15 respectivamente 2 Exercıcio 1 Indique a variacao percentual em cada modelo abaixo a fx Q1 2x b fx Q0 84x c fx Q1 04x d fx Q0 03x Exercıcio 2 Construa um modelo que represente cada situacao abaixo a O numero de bacterias de uma cultura e igual a 1000 e esse numero aumenta 31 a cada hora b A quantidade de agua em um reservatorio e igual a 200ℓ uma bomba a vacuo retira do reservatorio 6 de agua a cada minuto c Um fossil tinha 100g de massa e perdeu 12 de massa a cada ano d Depositar R150000 numa aplicacao que rende juros mensais de 1 5 Exercıcio 3 Na Tabela 1 ha trˆes funcoes exponenciais da forma fx ax Identifique o percentual de crescimento ou decaimento de cada uma x 0 1 2 3 4 fx 1 3 9 27 81 gx 1 01 001 0001 00001 hx 1 05 025 0125 00625 Tabela 1 Exercıcio 3 Exercıcio 4 Identifique qual das funcoes na Tabela 2 e exponencial x 0 1 2 3 4 5 fx 0 2 4 6 8 10 gx 1 2 4 8 16 32 hx 2 1 4 9 16 25 Tabela 2 Exercıcio 4 3 O crescimentodescrescimento de uma funcao exponencial fx Qax depende do valor de a nos seguintes termos fx e crescente se a 1 fx e decrescente se 0 a 1 Figura 1 Graficos de fx ax c Para pensard Clque AQUI para estudar o crescimentodecrescimento de fx ax Agora vejamos o que ocorre com fx Qax quando variamos o valor de Q Figura 2 Graficos de fx Q 2x para Q 0 4 Exercıcio 5 Na Figura 3 vemos os graficos das funcoes ax 32x bx 4 5x cx 4x e cx 2 3x ordenados aleatoriamente Identifique cada grafico a sua expressao algebrica correspondente Figura 3 Graficos do Exercıcio 5 5 Problema A férmula 1 calcula o montante de uma quantia aplicada mensal mente com uma taxa mensal No entanto é possivel aplicar Q a uma taxa anual por exemplo e estudar a capitalizagao em meses ou bimestres etc Vamos determinar a formula do montante para este caso Solugao Suponha na formula 1 que 7 seja uma taxa anual e defina n IN como o numero de partes de 1 ano Por exemplo e Num regime de capitalizacao bimestral n 6 pois 1 ano comercial equivale a 6 bimestres e Num regime de capitalizacao trimestral n 4 pois 1 ano comercial equivale a 4 trimestres e Num regime de capitalizacao didria n 360 pois 1 ano comercial equivale a 360 dias Portanto a quantia Q rende no final do primeiro intervalo desse periodo de tempo o valor i i 2a2 ef n n No final do segundo intervalo 0 montante é i i i i Ca eG a Ge043 n n n n Seguindo sucessivamente obtémse no final de 1 ano que equivale ao periodo n de capitalizacao um montante é igual a i n M1Q 1 n No final de t anos o montante é igual a j nt 2 mi 15 Na deducao da férmula 2 usamos uma taxa anual e dividimos 0 ano em n partes mas todo o raciocinio continua valido para uma taxa medida em um periodo qualquer e definindo n como o ntmero de partes deste periodo 6 Num regime de capitalizagao capitalizacao continua devese fazer n 00 na formula 2 Isto é i nt 3 Mt ii 1 ome ety O matematico suigo Leohnard Euler que viveu no século XVIII levantou esta questao tomando como hipdétese um caso mais simples Q t i 1 Obteve 1 lim 14 n 00 n Como calcular este limite 1 O primeiro impulso é pensar que 0 0 que implicaria em estudar o limite n jim 1 A partir daqui 0 estudante desavisado pensaria que 1 1 para todo 00 1 n n donde lim 1 1econcluiria que lim 1 1 n00 N 00 n 7 Todavia simulando em uma planilha eletronica encontramos uma tendéncia bem distinta Tabela 3 nee n 1 n 259374246 2704813829 1000 2716923932 10000 2718145927 100000 2718268237 1000000 2718280469 1 Tabela 3 Simulagoes para lim 1 noo n Euler provou que o limite existe pertence ao intervalo x R2 x 3 e que é um numero irracional Por tudo isto o nimero foi batizado como numero de Euler e denotado por e Sua expansao até a 15 casa decimal é e 2718281828459045 Logo 1 4 lim 1 e noo n Voltemos 4 Férmula 3 Ela pode ser desenvolvida da seguinte maneira j nt j nt Mt li 1 Q li 1 Qe Observe que 2 indica a taxa de crescimento de MW Portanto ha crescimento quando i 0 e decaimento quando i 0 Nesse sentido podemos definir 0 crescimento e decaimento de grandezas que variam continuamente da seguinte maneira Seja fx Qe uma grandeza que varia continuamente em fungao de uma variavel x com condigao inicial Q 0 e taxa de crescimento k 0 A grandeza fx esta relacionada a um problema de crescimento se k 0 eaum problema de decaimento sek 0 8 Exemplo 1 A populacéo de um pais cresce exponencialmente e possuia 60 milhoes de habitantes em 1997 e 90 milhoes em 2002 Determine a sua populagao em 2012 Solucéo Fazendo Q 60 temos Ft 60e Agora usamos o fato de que até o ano de 2002 decorreram 5 anos 90 3 3 53 F5 60e 90 5 J raf 5 60e Ga eae 2 Finalmente até 2012 passaramse 15 anos Logo 3 3 87 F15 60e 60 e 60 i 60 5 GO 2025 Resposta em 2012 havia 2025 milhoes de habitantes Exemplo 2 As substancias radioativas decaem pela emisséo espontanea de radiagao Chamamos de meizavida 0 tempo necessario para que determinada substancia caia pela metade Uma amostra de radio226 tem massa igual a 100g e sua meiavida é 1590 anos Qual é a sua massa depois de 1000 anos com a precisao de lmg Solugado Sendo Mt a massa do radio266 apds t anos e Q 100 temos Mt 100e Usando a informacao dada sobre a meiavida 1 1 1 1 1 1590 M 1590 100e19 100 ef 15 ek eh 2 2 2 2 Finalmente 1 1000 1000 k1000 i 1000 1 1590 1 1590 M1000 100e 100 e 100 5 100 5 64 665 Resposta Depois de 1000 anos a massa sera igual a 64665g 9 Exercıcio 6 Resolva os problemas a O bismuto210 tem uma meiavida de 50 dias Uma amostra tem massa inicial de 800 mg Encontre a massa remanescente depois de 30 dias b A meiavida do cesio137 e 30 anos Suponha que tenhamos uma amostra de 100 mg Quanto da amostra restara depois de 100 anos c Uma amostra de trıtio3 decai para 94 5 de sua quantidade original depois de um ano Qual e a meiavida do trıtio3 d A massa de uma substˆancia radioativa e dada pela expressao mt Qe00001t Se apos 5000 anos restaram 200 gramas da substˆancia qual era a massa inicial Q e Segundo o modelo de Ebbinghaus a fracao Ft de fatos ensinados lembrados t meses apos a aula lecionada e dada pela expressao Ft N 1 Nekt sendo N a fracao de fatos que nunca serao esquecidos e k uma constante que depende da capacidade de memorizacao do aluno Suponha que para um certo aluno N 0 3 e k 0 2 Que fracao de fatos sera lembrada por este aluno um mˆes apos a aula lecionada para ele E apos um ano f Um experimento destinado a estudar o crescimento sabidamente exponencial de uma colˆonia de bacterias forneceu os dados da Tabela 4 Minutos 0 10 No de bacterias 5000 8000 Tabela 4 Dados do Exercıcio f Determine o numero de bacterias pos 30 minutos g Uma populacao de protozoarios se desenvolve a uma taxa de crescimento re lativa constante de 07944 membro por dia abendo que a populacao inicial consistia em dois membros encontre o tamanho da populacao depois de 6 dias 10 h No intestino humano e comum a presenca da bacteria Escherichia coli Uma celula desta bacteria em um meio nutriente lıquido se divide em duas celulas a cada 20 minutos A populacao inicial de uma cultura e de 60 celulas Encontre o numero de celulas apos 8 horas i Uma cultura de bacterias inicialmente contem 100 celulas e cresce exponen cialmente de forma que depois de uma hora a populacao cresceu para 420 Encontre o numero de bacterias apos 3 horas j Uma cultura de bacterias cresce exponencialmente de forma que depois de de 2 horas existem 600 bacterias e 75000 depois de 8 horas Encontre o numero de celulas apos 5 horas 11 Assim como ocorre na trigomometria existe um limite envolvendo a exponencial 0 com base e que recai na indeterminacao 0 Veja o Teorema 1 ej Teorema 1 lim e1 1 h0 h 1 x Demonstracao Sabemos que e lim 1 5 mas se fizermos h 1z o XL00 Xx limite se transforma em e lim 1 hi h0 Podemos entao supor que para valores positivos suficientemente pequenos de h vale verifique em uma planilha eletronica ex 1h Neste sentido temos Logo e1 lim h40 h a Com base no Teorema 1 acima deduzimos a derivada de uma fungao de suma importancia para a Matematica e todas as Ciencias que aplicam Matematica Teorema 2 Derivada da exponencial de base ec Demonstracao etth Cee eee 1 li SF li Se P jim noo h h e1 e1 time oY tm EY Le ce h0 h h0 h a 12 Exercıcio 7 Calcule os limites a lim x 0 e2x 1 x b lim x 0 e2x 1 3x c lim x 0 1 e3x 5x d lim x 2x 1 ex Exercıcio 8 Use o Teorema 2 e o Exercıcio 7 item a para provar que 5 ecx c ecx c R Exercıcio 9 Observe as funcoes fx e gx na Figura 4 Baseando na formula 5 explique a frase uma funcao exponencial cresce na mesma proporcao de sua derivada Figura 4 Graficos do Exercıcio 9 13 Respostas dos exercıcios propostos Exercıcio 1 a 20 b 16 c 4 d 97 Exercıcio 2 a Q 10001 31t b Q 2000 94t c Q 1000 88t d Q 15001 015t Exercıcio 3 gx 2x A funcao fx e linear e hx e quadratica Exercıcio 4 200 para fx 90 para gx e 50 para hx Exercıcio 6 a 125 mg b 9921 mg c 123 d 329744 e a1364 b13072 f 48 g 67664 h 2 245 1091 i 73120386 j 670820 Exercıcio 8 a 2 b 2 3 c 3 5 d 0 Exercıcio 10 Use o fato de que se fx for uma exponencial entao f x fx e constante 14