Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais, Matrizes e Determinantes

1 O conceito de integral cria condições para se questionar se uma função fx qualquer contínua em seu domínio admite uma primitiva Fx de modo que fxFx Considere fx uma função contínua em seu domínio definida por fxx cosx2 Assinale a alternativa que apresenta Fx a primitiva de fx Alternativas a Fx 5 senx C b Fx 05 senx2 C c Fx 2 sen2x C d Fx 2senx2 C e Fx 3senx3 C 2 Uma das aplicações imputadas ao conceito de integral é a determinação de áreas de regiões delimitadas por funções contínuas em um determinado intervalo I ab Dada fx contínua em seu domínio determinada pela seguinte lei de formação fxx5 assinale a alternativa que apresenta a área da região B limitada por fx o eixo x no seguinte intervalo I2 10 Alternativas a B48 ua b B 58 ua c B68 ua d B78 ua e B88 ua 3 Quando se trata da resolução de equações diferenciais devese ter claro que agora as derivadas e as integrais são compreendidos como operadores de modo que uma assume ser o reverso da outra Dessa forma seja a seguinte equação diferencial Assinale a alternativa que apresenta fx que satisfaz a equação Alternativas a fx20x3C b fx4x5C c fxx5C d fxx3 e fx20x 4 Uma forma de organizar dados e diminuir o custo computacional no processamento de informações pode se dar pela organização matricial na qual os números são dispostos em forma de quadros Considere as seguintes matrizes Assinale a alternativa que apresenta a matriz CAB Alternativas a b c d e 5 Uma das aplicações dos determinantes está relacionada à resolução de sistemas lineares especificadamente na aplicação da Regra de Sarrus Seja a seguinte matriz A quadrada composta por 3 linhas e 3 colunas Marque a opção que apresenta o determinante associado à matriz A Alternativas a detA11 b detA16 c detA 27 d detA37 e detA34 6 Quando se trata da resolução de equações diferenciais devese ter claro que agora as derivadas e as integrais são compreendidos como operadores de modo que uma assume ser o reverso da outra Dessa forma seja a seguinte equação diferencial Assinale a alternativa que apresenta fx que satisfaz a equação Alternativas a fx20x3C b fx4x5C c fxx5C d fxx3 e fx20x 1 A derivada é um tipo específico de limite que possibilita conhecer como a função varia ao redor de um ponto p de seu domínio Seja fx uma função contínua em seu domínio definida pela seguinte lei fx 2x56x42x26 Assinale a alternativa que apresenta a derivada de segunda ordem de fx em relação a x Alternativas a fx15x324x24x b fx 4x372x24 c fx 40x372x24 d fx 5x314x24x e fx 9x34x242x 2 Uma motivação geométrica a respeito do conceito de derivada referese a determinação de uma reta tangente a uma curva em um ponto Aa fa Seja fxx5 uma função contínua Assinale a alternativa que apresenta a equação da reta que tangencia fx em p1 Alternativas a y 4x5 b y 5x4 c y9x5 d y5x9 e y5x5 3 O conceito de limites possibilita inferir sobre o comportamento da função ao redor do ponto tanto pela direita quanto pela esquerda Seja fx uma função contínua em seu domínio fxx23x4 Assinale a alternativa que apresenta o valor do limite L quando x tende a 1 Alternativas a L0 b L2 c L4 d L6 e L8 4 A função polinomial do segundo grau pode ser utilizada para expressar o lançamento de um projetil De um ponto D um dardo é lançado para frente e descreve um trajeto de uma parábola Seja fx uma função contínua em seu domínio definida por fx x2121 que descreve a posição em metros do dardo em relação ao tempo em segundos Assinale a alternativa que apresenta a altura máxima atingida pela peteca Alternativas a 121m b 100 m c 141 m d 320 m e 1024 m 5 Para que não seja necessário recorrer sempre à definição de derivadas construiu se as regras de derivação que possibilitam mais agilidade no processo de cálculo ao obter a derivada de função Seja fx uma função contínua em seu domínio definida por fxxx23x assinale a alternativa que apresenta fx Alternativas a fxx b fx 3x6 c fx6x3 d fx 3x26x e fx6x212x 1 Podese pensar a derivada e a integral como operadores inversos de modo que quando se tem uma função no integrando o objetivo é pensar na função que ao ser derivada gerou a função inicial Seja gx uma função contínua em seu domínio definida pela seguinte lei gx5x43 Assinale a alternativa que apresenta sua primitiva Gx Alternativas a Gxx2C b Gxx2xC c Gxx2C d Gxx3C e Gxx53xC 2 Nas equações diferenciais os processos de integração e derivação podem ser compreendidos como operadores inversos Considere a seguinte equação diferencial y7x6 Assinale a alternativa que apresenta fx que satisfaz a equação Alternativas a fx 7xC b fx x6C c fx x7C d fx6x7C e fx 13xC 3 Uma aplicação da integral definida é determinar a área da região compreendida entre a curva e o eixo x limitada pelo intervalo associado a função Lembrese também que a função a ser integrada deve ser contínua no intervalo Seja fx uma função contínua no intervalo I1 1 definida pela seguinte lei fx2x5 assinale a alternativa que se refere à área da região Z limitada por fx o eixo x em I Alternativas a B10 ua b B 11 ua c B 12 ua d B 13 ua e B14 ua 4 A organização matricial é de extrema importância para o contexto da programação Seja as seguintes matrizes Assinale a alternativa que apresenta a matriz CAB Alternativas a b c d e 5 Das várias formas de se resolver um sistema linear podese recorrer à Regra de Cramer que relaciona o determinante de matrizes associais ao sistema a sua solução Assinale a alternativa que apresenta o determinante associado à matriz A Alternativas a detA3 b detA2 c detA1 d detA0 e detA1 1 Ao estudar o conceito de limite temse que se atentar ao fato de que quando uma função fx tende a um ponto p de seu domínio o interesse é saber o comportamento da função valor da imagemda função quando se tende a p pela direita ou pela esquerda e não o valor de fp Seja fx uma função contínua em seu domínio definida pela seguinte lei Assinale a alternativa que apresenta o valor do limite L quando x tende a 18 Alternativas a L42 b L36 c L18 d L 3 e L0 2 O conceito de derivada é um tipo especial de limite que apresenta aplicabilidade em diversas áreas das ciências como por exemplo o cálculo da velocidade instantânea função de custo marginal de um determinado produto entre outras Seja fx uma função de R em R definida pela seguinte lei fxx53x33 Assinale a alternativa que apresenta a derivada de primeira ordem de fx em relação a x Alternativas a fx5x49x2 b fx 5x49x23 c fx 5x49x d fx 20x39x2 e fx29x5 3 Uma das clássicas aplicações da derivada se limita na determinação do coeficiente angular de uma reta tangente a uma função fx em um ponto A p fp Seja fx uma função de R em R definida pela seguinte lei fxx29x 20 Marque a alternativa que apresenta a reta tangente a fx em p5 Alternativas a y19x245 b y19x c y19x45 d y19x45 e y45x 4 A definição formal de derivada referese a um tipo específico de limite e sua determinação advém da resolução desse limite de acordo com as condições que a definem No entanto com o intuito de agilizar o cálculo de derivadas foram elaboradas as regras de derivação para cada um dos tipos de função Seja fx uma função contínua em seu domínio definida por fx2x5lnx assinale a alternativa que apresenta fx Alternativas a fx 2x45lnxx b fx 2x4lnx1 c fx 2x45lnx1 d fx 2x4 5lnx e fx 2x45lnx1 5 O movimento descrito por objetos em relação ao tempo pode ser descrito por uma função quadrática ou polinomial do segundo grau Seja fx uma função de R em R definida pela seguinte lei fxx2121 Essa função descreve a posição fx em metros em relação ao tempo x em segundos de uma bola que parte do chão ponto A até o ponto B quando retorna ao chão Marque a alternativa que apresenta a altura máxima atingida pela bola Alternativas a 0 m b 11m c 121m d 225 m e 1021m AV2 1 fx x cosx2 Fx x cosx2 dx 12 cos u du u x du 2x dx x dx 12 du 12 cos u du 12 sin u 12 sin x2 C 05 sin x2 C B 2 210 x 5 dx x22 5x 210 1022 510 222 52 50 50 2 10 100 12 88 uc E 3 5x4 dx 5x55 c x5 c C 4 3 1 2 2 0 1 30 11 20 21 1 2 D 5 2 3 0 2 3 1 0 1 1 0 1 5 9 2 5 10 27 6 11 A C idem questão 3 C AV SUBST 2 1 5x4 3 dx 5x55 3x C x5 3x C E 2 7x6 dx 7x77 C x7 C C 3 11 2x 5 dx 2x22 5x 11 1515 6 4 6 4 10 uc A 4 0 3 4 1 1 1 3 5 B 5 1 3 0 1 3 0 2 1 0 2 2 6 0 2 6 0 D 6 6 AV1 1 lim x18 x2 324x 18 lim x18 x 18x 18x 18 18 18 36 B 2 fx 5x4 9x2 A 3 fx x2 9x 20 f5 52 95 20 50 fx 2x 9 f5 25 9 19 5 50 y 50 19x 5 y 19x 95 50 y 19x 45 D 4 fx 2x5 ln x fx 2x5 ln x 2x5 ln x 10x4 ln x 2x5 1x 10x4 ln x 2x4 2x45 ln x 1 E 5 fx x2 121 fx 2x fx 0 x 0 f0 121 C Av Subs 1 1 fx 2x3 6x4 2x2 6 fx 10x4 24x3 4x fx 40x3 72x2 4 B 2 fx x5 f x 5x4 f1 15 1 f1 514 5 11 y 1 5x 1 y 5x 5 1 y 5x 4 B 3 lim x1 x2 3x 4 12 31 4 1 3 4 8 E 4 fx x2 121 fx 2x fx 0 x 0 f0 121 A 5 fx x3 3x2 fx 3x2 6x D