Lista de Exercicios sobre Enumerabilidade e Limites de Sequencias

4 Segundo Honorio e Souza 2020 p72 Dentro da Teoria de Conjuntos encontrase a necessidade de estudo sobre a enumerabilidade visto que através de suas definições obtémse uma importante ferramenta para a classificação dos conjuntos infinitos em relação a sua cardinalidade Fonte HONORIO F K SOUZA F P Enumerability of the set of algebraic numbers Colloquium Exactarum v12 n3 JulSet 2020 p7177 Disponível em httpsjournalunoestebrindexphpcearticleview38263181 acesso em 14 fev 2022 A respeito do conceito de enumerabilidade analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas I O conjunto N x Z pode ser classificado como não enumerável PORQUÊ II O conjunto N x Z corresponde a um produto cartesiano entre conjuntos enumeráveis A respeito dessas asserções assinale a opção correta Alternativas a As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa da I b As asserções I e II são proposições verdadeiras mas a II não é uma justificativa da I c A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa d A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira e As asserções I e II são proposições falsas 1 Considere os conjuntos indicados a seguir Ax ℝ 1 x 7 Bx ℝ x 5 Cx ℝ x 5 Dx ℝ 0 x 1 Com base nesses conjuntos julgue as afirmações a seguir classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Os conjuntos A B C e D possuem tanto supremos quanto ínfimos associados II Apenas os conjuntos A e D apresentam tanto supremos quanto ínfimos III Apenas os conjuntos A e D admitem ínfimos como elementos dos respectivos conjuntos IV Apenas os conjuntos B e D admitem supremos como elementos dos respectivos conjuntos Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas 2 Considere o estudo dos limites de sequências os quais são essenciais para a compreensão do conceito de convergência Diante desse assunto analise as afirmações apresentadas a seguir I A sequência xₙ com xₙ n 1 3n 1 é convergente com limite igual a 0 II A sequência yₙ com yₙ 1 1n é convergente com limite igual a 1 III A sequência zₙ com zₙ 2ⁿ 3ⁿ¹ é convergente com limite igual a 13 IV A sequência wₙ com wₙ nn 1 é divergente Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I e II b II e IV c III e IV d I II e III e I II e IV 3 Ao classificar sequências em conjunto com os teoremas convenientes podemos obter diversas informações como por exemplo conclusões a respeito da convergência das sequências Diante dessa temática analise as afirmações a seguir I A sequência xₙ tal que xₙ 2n 1 é decrescente e limitada II A sequência yₙ tal que yₙ 5n²2 é crescente e ilimitada III A sequência zₙ tal que zₙ n 12 é decrescente e limitada IV A sequência wₙ tal que wₙ 1ⁿn é crescente e ilimitada Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I e II b II e IV c III e IV d I II e III e I II e IV 5 Conforme descrito por Ávila 2006 p128 As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade A primeira a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão ¾ que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes Depois dessa ocorrência as séries infinitas só voltariam a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde no século XV Fonte ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3ed São Paulo Blucher 2006 O conceito de série é um dos conceitos essenciais para o estudo por exemplo das funções bem como da resolução de determinadas equações diferenciais Em relação a esse assunto analise o comportamento da série Σₙ₁ 2ⁿn em que n representa o fatorial do número natural n A respeito de sua convergência empregando o teste da razão podemos concluir que Alternativas a como limₙ aₙ₁aₙ 2 a série é convergente b como limₙ aₙ₁aₙ 0 a série é convergente c como limₙ aₙ₁aₙ 1 a série é convergente d como limₙ aₙ₁aₙ 2 a série é divergente e como limₙ aₙ₁aₙ a série é divergente Resolução 15 de março de 2023 Capítulo 1 Exercício 11 Resolução O item I é falso pois o conjunto B é o intervalo 5 que não é limitado inferiormente portanto não admite ínfimo O item II é verdadeiro pois apenas os conjuntos A e D são limitados inferiormente e superiormente O item III é falso já que infC 5 C isto é C também possui seu ínfimo como um de seus elementos O item IV é verdadeiro pois supA 7 A e C não possui supremo Além disso supB 5 B e supD 1 D Portanto a ordem correta é FVFV Exercício 12 Resolução I Falsa Veja que lim n n 13n 1 lim n n1 1nn3 1n lim n 1 1n3 1n 13 II Verdadeira pois 1n 0 quando n III Falsa Observe que 2n3n1 13 23n e como 23 1 temos que o limite é 0 quando n IV Verdadeira pois nn 1 n2 n quando n portanto é divergente Logo a resposta é alternativa b II e IV Exercício 13 Resolução I Verdadeira É limitada pois 2n 1 2 n N e decrescente pois se m n então m 1 n 1 1m 1 1n 1 2m 1 2n 1 Capítulo 1 II Verdadeira pois se n então n2 e é crescente pois n2 n 12 para todo n N III Falsa esta sequência é ilimitada n n 12 IV Falsa pois 1n n 1n 1 ou seja é limitada Logo a resposta é alternativa a I e II Exercício 14 Resolução O item I é falso pois os dois conjuntos são enumeráveis e o produto cartesiano de enumeráveis é um conjunto enumerável O item II é verdadeiro Portanto a resposta é alternativa d Exercício 15 Resolução Vamos calcular o limite das alternativas lim n an1 an lim n 2n1 n1 2n n lim n 2n n 1 2 lim n 1n 1 0 Portanto a resposta é alternativa b