Questões Álgebra Linear

Questão 1. Seja T: R^2 -> R^2, u = (1, 2) e v = (3, -1) T(x, y) = (3x - 2y, x + 4y) T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v) Fazendo, 3u = 3(1, 2) = (3, 6) e 4v = 4(3, -1) = (12, -4). Então, 3u + 4v = [(3, 6) + (12, -4)] = [3 + 12, 6 - 4] = [15, 2]. Temos: T(3u + 4v) = (15, 2) = (3.15 - 2.2, 15 + 2.4) = (41, 23) T(u) = T(1, 2) = (-1, 9), logo 3T(u) = 3(-1, 9) = (-3, 27) T(v) = T(3, -1) = (11, 1), logo 4T(v) = 4(11, -1) = (44, -4) = (-3, 27) + (44, -4) = (41, 23) ∴ T(3u + 4v) = (41, 23) = 3T(u) + 4T(v). Questão 2 Seja T: V -> W; T(u) = 3u e T(v) = u - v, logo a) T(u + v) = T(u) + T(v) = 3u + (u - v) = 4u - v b) T(3v) = 3T(v) = 3(u - v) = 3u - 3v c) T(4u - 5v) = T(4u) - T(5v) = 4T(u) - 5T(v) = 4.3u - 5(u -v) = 12u - 5u + 5v = 7u + 5v. Questão 3. Seja T: R^2 -> R^2. Considere u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ R^2 a) T(x, y) = (x - 3y, 2x + 5y) T(u + v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 - 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) + 5(y1 + y2)) = (x1 + x2 - 3y1 - 3y2, 2x1 + 2x2 + 5y1 + 5y2) = (x1 - 3y1, 2x1 + 5y1) + (x2 - 3y2, 2x2 + 5y2) T(u + v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. b) T(x, y) = (y, x) T(u + v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (y1 + y2, x1 + x2) = (y1, x1) + (y2, x2) T(u + v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. c) T(x, y) = (x², y²) T(u + v) = (x1, y1) + (x2, y2) = ((x1 + x2)², (y1 + y2)²) = (x1² + 2x1x2 + x2², y1² + 2y1y2 + y2²) Como os termos 2x1x2 e 2y1y2 ficaram dependentes, logo T não é transformação linear. d) Considere x = y = c, temos: T(x, y) = (x + 1, y) T(0, 0) = (0 + 1, 0) = (1, 0) ≠ (0, 0), logo a transformação não é linear. e) T(x, y) = (y - x, 0) T(u + v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (y1 + y2 - (x1 + x2), 0) = (y1 - x1 - x2, 0) + (y2 - x2, 0) = (y1 - x1, 0) + (y2 - x2, 0) T(u + v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. 1) Consideremos a transformação, linear T: R^2 -> R^2 definida por T(x, y) = (3x - 2y, x + 4y). Utilizar os vetores u = (1, 2) e v = (3, -1) para mostrar que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v). 2) Dada a transformação linear T: V -> W, tal que T(u) = 3u e T(v) = u - v, calcular em função de u e v: a) T(u + v) b) T(3v) c) T(4u - 5v) 3) Entre as transformações T: R^2 -> R^2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares: a) T(x, y) = (x - 3y, 2x + 5y) b) T(x, y) = (x, x) c) T(x, y) = (x², y²) d) T(x, y) = (x + 1, y) e) T(x, y) = (y - x, 0) f) T(x, y) = (|x|, 2y) g) T(x, y) = (senx, y) h) T(x, y) = (xy, x + y) i) T(x, y) = (3y, -2x) Questão 3. f) T(x,y) = (|x|, 2y), T(u+v) = (x1,y1) + (x2,y2) = (|x1|+|x2|, 2(y1+y2)) Pela propriedade modular, temos: |x1|+|x2| ≤ |x1+x2| Não vale para toda igualdade. Logo T não é transformação linear. g) T(x,y) = (sen x, y) T(u+v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (sen (x1+x2), y1+y2) Pelo fato de sen (x+x2) ≠ sen x1 + sen x2, a transformação não é linear. h) T(x,y) = (x,y) (x-y) T(u+v) = (x1,y1) + (x2,y2) = ((x1+x2)(y1+y2), (x1+x2) - (y1+y2)) = (x1y1 + x1y2 + y1x2 + x2y2, x1+x2 - y1-y2) = (xy1 + 2 x1y2 + y1x2, x1+x - y1 - y2) Por causa do termo 2x1y2, a transformação não é linear. i) T(x,y) = (3y,-2x) T(u+v) = (x1,y1) + (x2,y2) = (3(y1+y2), -2 (x1+x2)) = (3y1+3y2, -2x1 - 2x2) = (3y1 -2x1) + (3y2, -2x2) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear.