Questões Álgebra Linear

1) Consideremos a transformação, linear T:ℝ²→ℝ² definida por T(x,y) = (3x−2y,x+4y). Utilizar os vetores u = (1,2) e v = (3,−1) para mostrar que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v). 2) Dada a transformação linear T:V→W, tal que T(u) = 3u e T(v) = u−v, calcular em função de u e v: a) T(u + v) b) T(3v) c) T(4u − 5v) 3) Dentre as transformaçõesT:ℝ²→ℝ² definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares: a) T(x,y) = (x − 3y, 2x + 5y) b) T(x,y) = (x, x) c) T(x,y) = (x²,y²) d) T(x,y) = (x + 1,y) e) T(x,y) = (y − x,0) f) T(x,y) = (|x|,2y) g) T(x,y) = (senx,y) h) T(x,y) = (xy,x − y) i) T(x,y) = (3x,−2x) Questão 1. Seja T: ℝ² → ℝ²; u = (1, 2) e v = (3, -1) T(x, y) = (3x - 2y, x + 4y) T(3u + 4v) = 3T(u) + 4 T(v) Fazendo, 3u = 3(1,2) = (3,6) e 4v = 4(3,-1) = (12,-4), Então, 3u+4v = [(3,6) + (12,-4)] = [3+12, 6-4] = [15,2]. Temos: T(3u + 4v) = (15,2) = (3.15 - 2.2,15 + 2.4) = (41,23) T(u) = T(1,2)=(-1,9). Logo 3T(u) = 3(-1,9) = (-3,27) T(v) = T(3,-1) = (11,-1). Logo 4T(v)=4(11,-1) = (44,-4) = (-3,27) + (44,-7) = (41,23) ∴ T(3u + 4v) = (41, 23) = 3T(u) + 4T(v). Questão 2: Seja T: V → W; T(u)=3u e T(v) = u-v, logo a) T(u+v) = T(u) + T(v) = 3u + u-v = 4u - v b) T(3v) = 3T(v) = 3(u - v) = 3u - 3v c) T(4u-5v) = T(4u) - T(5v) = 4 T(u) - 5T(v) = 4.3u - 5(u-v) = 12u - 5u + 5v = 7u + 5v. Questão 3. Seja T: ℝ² → ℝ². Considere u (x₁,y₁) e v (x₂,y₂) ∈ ℝ² a) T(x,y) = (x-3y,2x+5y) T(u+v) = (x₁,y₁)+(x₂,y₂) = (x₁+x₂-3(y₁+y₂),2(x₁+x₂)+5(y₁+y₂)) = (x₁+x₂-3y₁-3y₂,2x₁+2x₂+5y₁+5y₂) = ((x₁-3y₁,2x₁+5y₁) + (x₂-3y₂,2x₂+5y₂) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. b) T(x,y) = (y,x) T(u+v) = (x₁,y₁)+(x₂,y₂) = (y₁+y₂, x₁+x₂) = (y₁,x₁) + (y₂,x₂) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. c) T(x,y) = (x²,y²) T(u+v) = ((x₁+x₂)², (y₁+y₂)²) = (x₁²+2x₁x₂+x₂², y₁²+2y₁y₂+y₂²) Como os termos 2x₁x₂ e 2y₁y₂ ficarão dependentes, logo T não é transformação linear. d) Considere x=y=c, temos: T(x,y) = (x+1,y) T(0,0) = (0+1,0) = (1,0)≠(0,0) Logo a transformação não é linear. e) T(x,y) = (y−x, 0) T(u+v) = (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (y₁+y₂-(x₁+x₂), 0) = (y₁-y₂-x₁-x₂,0) = (y₁-x₁,0) + (y₂-x₂,0) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. Questão 3. f) T(x,y) = (|x|, 2y), T(u+v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (|x1 + x2|, 2(y1 + y2)) Pela propriedade modular, temos: |x1 + x2| <= |x1| + |x2| Isso vale para toda igualdade. Logo, T não é transformação linear. g) T(x,y) = (sen x, y) T(u+v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (sen (x1 + x2), y1 + y2) Pelo fato de sen (x1 + x2) ≠ sen x1 + sen x2, a transformação não é linear. h) T(x,y) = (xy, x-y) = (x1, y1) + (x2, y2) = ((x1 + x2)(y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (x1y1 + x1y2 + y1x2 + x2y2, x1 + x2 - y1 - y2) = (xy1 + 2xy2 + y1x2 + x2y2, x1 + x2 - y1 - y2) Por causa do termo 2xy2, a transformação não é linear. i) T(x,y) = (3y, -2x) T(u+v) = (x1, y1) + (x2, y2) = (3(y1+y2), -2(x1+x2)) = (3y1 + 3y2, -2x1 - 2x2) = (3y1 - 2x1) + (3y2, -2x2) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear.