Apostila Cinemática dos Sólidos Unip

CAPÍTULO 1\n\nMOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO\n\n1.1 Introdução\nA Cinemática destina-se a descrever movimentos, sejam de um ponto material ou de um sólido, sem entretanto preocupar-se com as causas dos mesmos, o que será objeto de estudo da Dinâmica. Um sólido, ou corpo rígido, embora seja uma abstração da realidade, é muito ú́til pois facilita o estudo da Cinemática e da Dinâmica. Considera-se como sólido, um corpo que não sofre deformações, independentemente das forças a ele aplicadas. Formalmente, define-se que: a distância entre quaisquer dois pontos de um sólido é invariante.\n\n1.2 A classificação dos movimentos\nOs movimentos de um sólido podem ser classificados em: Movimento de Translação, Movimento de Rotação com Eixo Fixo, Movimento Plano e Movimento Geral.\n\n1.3 Movimento de Translação\nNo movimento de translação, um segmento definido por dois pontos do sólido, não muda de direção. Considerem-se dois pontos P e Q, de uma placa retangular, figura Fig.1.1, que se move em translação. A descrição do movimento destes pontos, é feita através das seguintes grandezas vetoriais: vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração. A figura Fig. 1.1, ilustra os vetores posição de cada um dos pontos P e Q, que podem ser expressos por:\n\\vec{r}_P = P - O\n\\vec{r}_Q = Q - O\nA figura Fig. 1.2, ilustra a relação entre os vetores posição através da soma vetorial dos mesmos. Expressando tal soma vetorial, tem-se:\n(P - O) + (Q - P) = (Q - O) eq. 1.1\nidentificando os termos na equação eq. 1.1, obtém-se a seguinte relação entre os vetores posição, dos pontos P e Q:\n\\vec{r}_P - (Q - P) = \\vec{r}_Q\nOs vetores velocidade dos pontos P e Q, são obtidos através das derivadas temporais, dos vetores posição, a saber:\n\\vec{v}_P = \\dot{\\vec{r}}_P = \\frac{d}{dt} (P - O)\n\\vec{v}_Q = \\dot{\\vec{r}}_Q = \\frac{d}{dt} (Q - O)\nderivando a equação eq. 1.1, em relação ao tempo, tem-se:\n\\frac{d}{dt} (P - O) + \\frac{d}{dt} (Q - P) = \\frac{d}{dt} (Q - O) vetor aceleração.\nA figura Fig. 1.1, ilustra os vetores posição de cada um dos pontos P e Q, que podem ser expressos por:\n\\vec{r}_P = P - O\n\\vec{r}_Q = Q - O\nA figura Fig. 1.2, ilustra a relação entre os vetores posição através da soma vetorial dos mesmos. Expressando tal soma vetorial, tem-se:\n(P - O) + (Q - P) = (Q - O) eq. 1.1\nidentificando os termos na equação eq. 1.1, obtém-se a seguinte relação entre os vetores posição, dos pontos P e Q:\n\\vec{r}_P - (Q - P) = \\vec{r}_Q\nOs vetores velocidade dos pontos P e Q, são obtidos através das derivadas temporais, dos vetores posição, a saber:\n\\vec{v}_P = \\dot{\\vec{r}}_P = \\frac{d}{dt}(P - O)\n\\vec{v}_Q = \\dot{\\vec{r}}_Q = \\frac{d}{dt} (Q - O)\nderivando a equação eq. 1.1, em relação ao tempo, tem-se:\n\\frac{d}{dt}(P - O) + \\frac{d}{dt}(Q - P) = \\frac{d}{dt}(Q - O) o vetor (Q - P) possui as seguintes propriedades:\n* seu módulo ou norma é constante, pois os pontos P e Q são pontos de um sólido, e a distância entre os mesmos é invariante;\n* sua direção é constante porque o sólido está em movimento de Translação;\ndesta forma tem-se:\n\\frac{d}{dt} (Q - P) = 0 ou seja: \\frac{d}{dt} (P - O) = \\frac{d}{dt} (Q - O)\nidentificando os termos como sendo as velocidades dos pontos P e Q, resulta:\n\\dot{\\vec{v}} = 0 eq. 1.2\nOs vetores aceleração dos pontos P e Q, são obtidos através das derivadas das velocidades dos mesmos, em relação ao tempo, ou seja:\n\\vec{a}_P = \\dot{\\vec{v}}_P = \\frac{d}{dt} \\vec{v}_P\n\\vec{a}_Q = \\dot{\\vec{v}}_Q = \\frac{d}{dt} \\vec{v}_Q\nderivando a eq. 1.2 tem-se:\n\\frac{d}{dt} \\dot{\\vec{v}}_P = \\frac{d}{dt} \\dot{\\vec{v}}_Q\nResumo:\n\"todos os pontos de um sólido em translação, apresentam velocidades e acelerações IGUAIS\"\nNota: neste tipo de movimento, basta estudar o movimento de um único ponto do sólido, pois, conhecendo a velocidade e aceleração do mesmo, serão conhecidas as velocidades e acelerações de todos os pontos do sólido. A título de exemplos de movimentos, apresentam-se:\n• a figura 1.3 ilustra movimento de translação curvilínea, onde o homem ilustrado descreve trajetória curvilínea mas não gira sobre si mesmo, ou seja, sua coluna vertebral permanece sempre vertical;\n\n• a figura 1.4 ilustra movimento de rotação em torno de eixo fixo, onde o homem ilustrado descreve trajetória curvilínea e gira sobre si mesmo, ou seja, sua coluna vertebral muda de direção permanentemente; TAREFA 01 - a\nNome_____________________\nR.A.: ____________\n\nConsiderando o que foi aprendido no último capítulo, pedem-se:\na) cite três propriedades do movimento de translação;\nb) dê exemplos de movimentos de translação, encontrados no cotidiano. TAREFA 01 - b\nNome____________________ R.A.:____\n\nEm algumas regiões, o processo de retirada d'água de um poço, é feito com a ajuda de um dispositivo como ilustrado. Com esta considerações, pede-se: \na) classificar o movimento do balde; \nb) classificar o movimento do contrapeso; \nc) classificar o movimento do \"pau de carga\". CAPÍTULO 2\n\nMOVIMENTO DE ROTAÇÃO COM EIXO FIXO\n\n2.1 Introdução\nEmbora o nome possa sugerir que este tipo de movimento seja muito particular, ele é encontrado na prática, em quantidades significativas, além de ser didaticamente útil numa primeira abordagem.\n\n2.2 Movimento de Rotação com eixo fixo\nNo movimento de rotação em torno de eixo fixo, todos os pontos do sólido descrevem trajetórias circulares pertencentes a planos ortogonais ao eixo de rotação e com centro de sobre o mesmo. A placa ilustrada na figura Fig. 2.1, gira em torno do eixo AB,\n\nenquanto o ponto P, descreve trajetória circular com raio R. Como todos os pontos do sólido descrevem movimentos do mesmo tipo, o estudo do movimento do ponto P pode ser estendido a todos os outros pontos do sólido. Desta forma, considere-se que o foco do estudo seja o ponto P, e assim pode-se esquecer a placa, como\n\nO ponto P move-se ao longo de sua trajetória circular, de raio R, e no intervalo de tempo \u2206t, ir\u00e1 percorrer um arco de comprimento \u2206S, que corresponde ao \u00e2ngulo \u2206\u03b8.\n\n2.3 Vetor Posi\u00e7\u00e3o\n\nNa figura Fig. 2.3, ilustra-se o vetor posi\u00e7\u00e3o do ponto P para o instante (t + \u2206t), tomando o ponto A como refer\u00eancia, ou seja: \nv \\vec{r}_p = (\\vec{P}(t + \\Delta t) - \\vec{A}) \n\nRessalte-se que com o movimento do ponto P, seu vetor posi\u00e7\u00e3o, embora mantenha norma constante, muda de dire\u00e7\u00e3o continuamente. Assim, em cada instante h\u00e1 h\u00e1 um vetor posi\u00e7\u00e3o diferente. \n\nNo instante t o vetor posi\u00e7\u00e3o ser\u00e1: \nv \\vec{r}_p = (\\vec{P}(t) - \\vec{A});\n\nno instante t + \u2206t, o vetor posi\u00e7\u00e3o ser\u00e1: \nv \\vec{r}_p = (\\vec{P}(t + \\Delta t) - \\vec{A}).