Síntese Analítica dos Mecanismos: Estratégias e Procedimentos

A imaginação é mais importante que o conhecimento Com os fundamentos da análise de posição já estabelecidos podemos agora usar essas técnicas de síntese de mecanismos para posições de saída especificadas analiticamente SÍNTESE ANALÍTICA DOS MECANISMOS Os pontos ou posições preestabelecidos para sucessivos locais do elo de saída acoplador ou seguidor no plano são geralmente referidos como pontos de precisão ou posições de precisão O procedimento para a síntese analítica de duas posições do movimento é mostrado a seguir A diade WZ1 define a metade esquerda do mecanismo A diade U1S1 define a metade direita do mecanismo Note que Z1 e S1 estão ambos incorporados ao acoplador rígido elo 3 Existem oito variáveis nessas duas equações w1 β1 z θ α2 p21 e δ2 Podemos resolver apenas duas Três das oito estão definidas no enunciado do problema ou seja α2 p21 e δ2 Das cinco restantes w θ β2 z estaremos forçados a escolher três como escolhas arbitrárias ou livres assumir valores para assim resolver as outras duas Uma estratégia é assumir valores para os três ângulos θ β2 e φ com a premissa que desejamos especificar a orientação θ φ dos vetores W1 e Z1 dos dois elos para atender restrições de projeto e também especificar a variação angular β2 do elo 2 para adequar alguma restrição de acionamento Essa escolha também tem a vantagem de conduzir o conjunto de equações a um sistema linear nas variáveis e consequentemente uma solução mais simples Para essa solução as equações podem ser simplificadas igualandose os valores assumidos e especificados a algumas constantes Na Equação 56a temos A cos θ cos β2 1 sen θ sen β2 B cos φ cos α2 1 sen φ sen α2 C p21 cos δ2 Z1 e Z2 são conhecidos da Equação 58a com z e φ assumidos como escolhas arbitrárias Para futuramente simplificar as expressões combinamos outros termos conhecidos A cos β2 1 B sen β2 C cos α2 1 F p21 sen δ2 Substituindo AW1 B W1k CZ1 D Z1 E E AW1 B W1k CZ1 D Z1 E F E a solução será W1i ACZ1 D Z1 E BCZ1 D Z1 F 2A W1i ACZ1 D Z1 F BCZ1 D Z1 E 2A FIGURA 52 Diante direita mostrada em duas posições A primeira estratégia também pode ser aplicada nas Equações 510 assim como foram usadas nas Equações 56 para resolver os módulos dos vetores U e S assumindo valores dos ângulos σ ψ e γ2 As quantidades p21 δ2 e α2 também são definidas a partir do enunciado do problema Na Equação 510a temos A cos σ cos γ2 1 sen σ sen γ2 B cos ψ cos α2 1 sen ψ sen α2 511a C p21 cos δ2 E na Equação 510b temos D sen α cos γ₂ 1 cos α sen γ₂ Note que existem infinitas possibilidades de solução para esse problema porque podemos escolher qualquer conjunto de valores para três escolhas arbitrárias das variáveis neste caso de duas posições Desenhe o elo APB em escala no plano nas suas duas posições desejadas A₁P₁B₁ e A₂P₂B₂ como mostrado Compare com a solução gráfica w 248 θ 71 que permite uma abordagem razoável dada a precisão gráfica O vetor W1 é o elo 2 do mecanismo de quatro barras Um sistema pequeno como esse pode ser resolvido à mão pelo método da eliminação mas o colocaremos na forma de matriz para mostrar que a abordagem geral funcionará independentemente do número de equações As Equações 513a podem ser escritas como o produto de duas matrizes iguais a uma terceira matriz A inversa da matriz A pode ser encontrada podemos resolver a Equação 513 para a variável B multiplicando ambos os lados da equação pela inversa de A Note que diferente da multiplicação escalar a multiplicação de matrizes não é comutativa isto é A x B não é igual a B x A Vamos antes multiplicar cada lado da equação pela inversa W₂ Z₂ P₂₁ Z₁ W₁ 0 w eθ β₂ 1 z eφ α₂ 1 p₂₁eiθ z eiθ w eiθ 0 Podemos estender o mesmo tratamento para definir duas diades uma em cada lado do mecanismo de quatro barras usada na síntese de movimento de duas posições para três para proceder à síntese de quatro ou cinco posições no plano Wix w cos heta Z1x z cos phi Wiy w sin heta Z1y z sin phi Essa é a forma geral da Equação 513c O vetor das incógnitas B pode ser resolvido pela prémultiplicação da inversa da matriz dos coeficientes A pelo vetor constante C ou pela geração da matriz aumentada como na Equação 518 A Figura 55 mostra o mesmo problema da síntese de três posições como foi feito graficamente no Exemplo 36 Compara essa figura com a Figura 39 P21 2798 mm δ2 3119 P31 3919 mm δ3 1634 α2 450 α3 93 β2 3423 β3 3248 y2 309 y3 806 A serem encontrados Vetores W1 Z1 S1 U1 Número do elo Solução analítica Comprimento calculado mm 1 903 2 683 3 140 4 320 PontosAcoplador 151 6131 graus AbertasFechada FECHADA Início Alfa2 0 radsec 2 Início Omega2 1 radsec Início Teta2 29 graus Final Teta2 11 graus Delta Teta2 9 graus Segunda diade US A 01419 B 05135 C 02929 D 07071 E 23936 F 08367 G 09866 H 00131 K 01616 L 37607 M 14490 N 11026 Esse problema também pode ser resolvido com o software FOURBAR ver Apêndice A usandose o mesmo método derivado na Seção 57 Como a derivação foi feita em termos de coordenadas polares dos vetores da diferença de posição P21 e P31 considerouse mais conveniente suprimir as coordenadas cartesianas desses vetores para o programa FOURBAR E geralmente mais preciso medir as coordenadas xy de um esboço das posições desejadas do que medir ângulos com um transferidor O programa portanto pedirá as coordenadas retangulares de P21 e P31 Para esse exemplo eles são p21x 2394 p21y 1449 p31x 3761 p31y 1103 Os ângulos α2 e α3 devem ser medidos a partir do diagrama e fornecidos em graus Esses seis itens constituem o pacote dos dados Note que esses dados são informações relativas da segunda e da terceira posições em relação à primeira Nenhuma informação sobre suas localizações absolutas é necessária O sistema de referência global pode ser tomado qualquer ponto no plano Tomamos sua posição no primeiro ponto de posição P1 por conveniência As escolhas arbitrárias β2 e β3 para a primeira diade γ2 γ3 para a segunda diade devem também ser entradas para o software FOURBAR assim como são no software MATRIX ver Apêndice A O software FOURBAR resolve as equações matriciais 527 com os valores da Equação 525 e obtém as coordenadas dos vetores W e Z posteriormente com valores da Equação 531 na matriz obtém os vetores U e S As equações 52 são então resolvidas para encontrar os elos 1 e 3 e os componentes apropriados dos vetores são somados para obter as localizações dos pivôs fixos O2 e O4 O comprimento dos elos é recolocado na parte principal do software FOURBAR e outros parâmetros do mecanismo podem ser calculados o mecanismo pode ser animado Note que existem dois modos de montagem para qualquer mecanismo de quatro barras aberto ou fechado ver Figura 45 e essa técnica de síntese analítica não fornece informação sobre qual modo de montagem é necessário para se obter a solução desejada Dessa forma você deve tentar ambos os modos de montagem no software FOURBAR para encontrar a correta depois de determinar os comprimentos próprios dos elos com esse método Observe também que o software FOURBAR sempre desenha horizontalmente o elo fixo do mecanismo Desse modo a animação da solução é orientada diferentemente da Figura 55 O mecanismo finalizado é o mesmo da Figura 39c que mostra a diade motora adicionada para mover os elos 2 3 e 4 pelos três pontos de precisão Você pode abrir o arquivo E05024br no software FOURBAR para ver as movimentações da solução analítica sintetizada O mecanismo também pode ser aberto no software SIXBAR ver Apêndice A para que se veja a movimentação completa do mecanismo de seis barras finalizado A Figura 56 mostra a diade WZ nas três posições Como queremos relacionar os pivôs fixos dos vetores W e U com nossos pontos de precisão colocaremos a origem do nosso sistema global de eixos no ponto de precisão P1 O vetor de posição R1 pode ser desenhado a partir da raiz do vetor W1 para a origem global em P1 R2 para P2 e R3 para P3 O vetor R1 define a localização do pivô fixo no plano referente à origem global em P1 Subsequentemente teremos de repetir esse procedimento para as três posições do vetor U à direita do mecanismo como fizemos na solução de três posições da Seção 58 O procedimento é apresentado aqui em detalhe apenas para a extremidade esquerda do mecanismo vetores W Z Cabe ao leitor substituir U por W e S por Z nas Equações 532 para gerar a solução global em P1 Podemos escrever as equações para cada ponto de precisão W1 Z1 R1 W2 Z2 R2 W3 Z3 R3 532a Substitua o número complexo equivalente para os vetores W e Zij weH zeHφ R1 weHθβ2 zeHφα2 R2 weHθβ3 zeHφα3 R3 532b Expandindo weH zeHφ R1 weHφβ2 zeHφα2 R2 weHφβ3 zeHφα3 R3 532c Note que W weH Z zeHφ 532d e W Z R1 WeHβ2 ZeHφα2 R2 WeHβ3 ZeHφα3 R3 532e Anteriormente escolhemos β2 e β3 e resolvemos para os vetores W e Z Agora queremos na verdade especificar x e y componentes do pivô fixo O2 R1x R1y como uma de nossas duas escolhas livres Assim deixamos β2 e β3 para serem resolvidos Esses ângulos estão contidos nas expressões transcendentes das equações Note que se assumirmos valores para β2 e β3 como antes haverá apenas uma solução para W e Z e o determinante da matriz aumentada dos coeficientes das Equações 532e for igual a zero A R ej alpha2 R ej alpha3 B R ej alpha3 R3 C R2 R ej alpha2 então A B ej beta2 C ej beta3 0 A Equação 533d expressa a somatória dos vetores ao redor da malha fechada Os ângulos beta2 e beta3 estão contidos dentro das expressões transcendentais tornando a solução embaraçosa O procedimento é similar aquele usado para a análise do mecanismo de quatro barras na Seção 45 Substitua o número complexo equivalente em todos os vetores da Equação 533d Expandida usando a identidade Euler Equação 44a Separe a parte real da parte imaginária para obter duas equações simultâneas para as incógnitas beta2 e beta3 Divide e some as expressões para eliminar uma incógnita Simplifique o resultado e substitua as identidades da metade do ângulo tangente para livrarse da mistura de senos e cossenos Será reduzido afinal em uma equação quadrática da metade do ângulo tangente procurado nesse caso beta3 beta2 pode então ser encontrado substituindo beta3 na equação original Os resultados são beta3 2 arctan left fracKz pm sqrtK12 K22 K32K1 K3 right beta2 arctan left fracA4 sen beta3 A4 cos beta4A4 sen beta3 A4 cos beta4 right em que K1 A2 A4 A3 A6 K2 A3 A4 A5 A6 K3 fracA12 A22 A32 A42 A622 e A1 C32 C42 A2 C3 C6 C4 C5 A3 C4 C6 C3 C5 A4 C2 C3 C1 C4 A5 C4 C6 C3 C5 A6 C1 C3 C2 C4 Note que uma função arco tangente de argumento duplo deve ser usada para obter os quadrantes para os ângulos beta2 e beta3 Note também que o sinal negativo no numerador e no denominador da equação para beta2 parece poder ser cancelado mas não deve ser Ele é necessário para determinar o quadrante correto de beta3 na função arco tangente de argumento duplo 52 e psi3 que são as magnitudes e ângulos dos vetores de posição R1 R2 e R3 e os ângulos alpha2 e alpha3 que definem a variação no ângulo do acoplador Veja Figura 56 para representação das variáveis Note que na Equação 534a há duas soluções para cada ângulo assim como houve para as duas posições na análise do mecanismo de quatro barras na Seção 45 e Figura 45 Uma solução trivial nesse caso será necessária em que beta2 alpha2 alpha3 A solução não trivial é a desejada Esse procedimento então é repetido na solução das Equações 534 do lado direto do mecanismo utilizando o lido desejado para o pivô fixo O4 para calcular os ângulos Y2 e Y3 necessários para o elo 4 Temos agora que reduzir o problema para aqueles da síntese das três posições sem pivôs especificados como descrito na Seção 57 e Exemplo 52 Na realidade tivemos de encontrar os valores particulares de beta2 beta3 gamma2 e gamma3 os quais correspondem a solução que utiliza os pivôs fixos desejados A tarefa restante é resolver para os valores de Wx Wy Zx Zy usando as Equações 525 por meio da Equação 531 A4 00265 A5 00491 A6 4819 K1 23684 K2 03672 K3 21791 Os valores encontrados para os ângulos dos elos que combinam com a escolha da posição do pivô fixo O2 são beta2 1197circ beta3 2397circ Para o pivô O₄ C₁ 1238 C₂ 0091 C₃ 2169 C₄ 0324 C₅ 0957 C₆ 0174 A₁ 4808 A₂ 00682 A₃ 2132 A₄ 02032 A₅ 00682 A₆ 2714 K₁ 5774 K₂ 06185 K₃ 5580 Os valores de ângulo dos elos encontrados que combinam com a escolha de posição fixa do pivô O₄ são γ₂ 278 γ₃ 996 6 Nesse momento o problema foi reduzido ao mesmo da seção anterior isto é encontre o mecanismo dadas as escolhas livres dos ângulos β₂ β₃ γ₂ e γ₃ acima usando equações 525 até 531 Os dados necessários para os cálculos restantes são aqueles dados nos passos 2 3 e 5 desse exemplo nominando para diade 1 p₂₁ₖ p₂₁ᵧ p₃₁ₖ p₃₁ᵧ a₂ a₃ b₂ b₃ para diade 2 p₂₁ₖ p₂₁ᵧ p₃₁ₖ p₃₁ᵧ a₂ a₃ b₂ b₃ Ver Exemplo 52 e Seção 57 para o procedimento Uma calculadora matricial Mathcad TKSolver Matlab MATRIX ou FOURBAR ver Apêndice A pode solucionar esse exemplo e computará as coordenadas dos vetores dos elos Wₓ 8665 Wᵧ 5003 Zₓ 8455 Zᵧ 5333 Uₓ 2535 Uᵧ 9732 Sₓ 345 Sᵧ 10062 7 Os comprimentos dos elos são computados da mesma forma do Exemplo 52 e são mostrados na Tabela 52 Este exemplo pode ser aberto e animado no programa FOURBAR a partir do arquivo E05034br Se a mesma coisa é feita para o vetor Z mantendose α₂ constante em um valor arbitrário e iterandose α₃ de 0 a 2π outro círculo será gerado Esse círculo é o lugar geométrico de todas as possíveis localizações da origem do vetor Z para o valor de α₂ escolhido Visto que a raiz do vetor Z é conectada à seta do vetor W e sua ponta descreve um círculo sobre o pivô O₂ no mecanismo finalizado esse local geométrico é chamado de círculo de pontos centrais O vetor Z define pontos no círculo de pontos centrais de acordo com o sistema global de coordenadas As componentes x y dos vetores W e Z são definidas pelas equações 525 e 526 Negando as componentes x y de Z encontraremos as coordenadas dos pontos no círculo de pontos centrais para qualquer valor assumido de α₂ já que o ângulo α₃ é iterado de 0 a 2π Ver Figura 58 e Figura 54 Para a diade do lado direito será necessário separar os pontos centrais e círculos de pontos centrais As componentes x y de M S U definem pontos no círculo de pontos centrais O₄ para qualquer valor assumido de γ₂ já que γ₃ é iterado de 0 a 2π Ver Figura 58 e Figura 54 Negativando as componentes x y de Z encontraremos as coordenadas dos pontos no círculo de pontos centrais para qualquer valor assumido de α₂ já que α₃ é iterado de 0 a 2π Vetor U é calculado usando os ângulos γ₂ e γ₃ e o vetor S usando ângulos α₂ e α₃ ambos das equações 530 e 531 Note que existe uma infinidade de soluções porque estamos escolhendo o valor de um ângulo arbitrariamente Desse modo existirão números infinitos de escolhas de pontos centrais e círculos de pontos centrais Um programa de computador pode ajudar na escolha do projeto do mecanismo que tenha pivôs em localizações convenientes O programa FOURBAR ver Apêndice A calculará as soluções das equações de síntese analíticas derivadas nesta seção para a seleção pelo usuário de todas as possíveis escolhas livres necessárias para a síntese de três posições ambos com e sem especificação dos locais dos pivôs fixos A Figura 59 mostra o ponto central e os círculos de pontos centrais para o mecanismo de movimentação linear de Chebyschev para as escolhas β₂ 26 α₂ 9741 α₃ 15818 da diade esquerda e γ₂ 36 α₂ 9741 α₃ 15818 da diade direita Nesse exemplo os dois círculos SÍNTESE ANÁLITICA DOS MECANISMOS maiores são os círculos de pontos centrais que definem o lugar geométrico dos possíveis pivôs fixos O2 e O4 Os dois círculos menores definem o lugar geométrico dos possíveis pivôs móveis I2 e I4 Note que o sistema de coordenadas tem origem no ponto de precisão de referência nesse caso P1 do qual foram medidos todos os parâmetros usados nas análises Esses círculos definem o lugar geométrico de todos os mecanismos possíveis que atingem os três pontos de precisão P1 P2 e P3 que foram especificados em escolhas particulares dos ângulos B2 γ2 e α2 Um exemplo de mecanismo é desenhado no diagrama para ilustrar uma possível solução 511 SÍNTESE ANALÍTICA DE QUATRO E CINCO POSIÇÕES As mesmas técnicas derivadas acima para síntese de duas e três barras podem ser estendidas para quatro e cinco posições escrevendo mais equações vetoriais de malha fechada uma para cada ponto de precisão Para facilitar vamos agora colocar as equações com laços dos vetores em uma forma mais geral aplicável para qualquer número de pontos de precisão A Figura 54 servirá também para ilustrar a notação geral da solução Os ângulos α2 α3 B2 B3 γ2 e γ3 serão designados agora como αk βk e γk e k 2 para n onde k representa os pontos de precisão e n 2 3 4 ou 5 representa o número total de posições a serem resolvidas A equação geral de malha fechada tornase definida por Wk Zk Pk1 Z1 Wi 0 k 2 para n 535a que depois de substituir a forma de número complexo e simplificar tornase W1 eiβk 1 zeiαk 1 Pk1eiβk k 2 para n 535b Isto pode ser colocado em uma forma mais compacta substituindose a notação de vetor por aqueles termos em que se aplicam W weiφ Z zeiφ Pk1 Pk1eiβk 535c então Weiβk 1 Zeiαk 1 Pk1eiβk k 2 para n 535d A Equação 535d é chamada de equação de forma padrão de Erdman e Sandor Substituindose os valores de αk βk e γk na Equação 535d para todos os pontos de precisão desejados o requisito desejado das equações simultâneas pode ser escrito para a diade esquerda do mecanismo A equação de forma padrão também aplicase para a diade direita US com as devidas alterações nos nomes das variáveis requeridas TABELA 53 Número de variáveis e escolhas livres para movimentos pontos de precisão analíticos e síntese de trajeto programado N de Posições N de Variáveis escalares N de Equações escalares N de Variáveis prescritas N de Escolhas livres N de Soluções disponíveis 2 8 2 3 3 3 3 3 12 4 6 4 16 6 9 1 20 8 12 finito Esta não é uma função contínua O relacionamento se mantém apenas para os pontos k discretos especificados Para sintetizar os comprimentos dos elos necessários para satisfazer a Equação 536 escrevemos as equações vetoriais da malha ao redor dos pares de posição do mecanismo como foi feito nos exemplos anteriores Entretanto queremos agora incluir os elos 2 e 4 na malha já que o elo 4 é o de saída Ver Figura 510 W2 Z2 Z1 Wi U2 U1 W3 Z3 Z1 Wi U3 U1 537a Rearranjando W2 Z2 Z1 Wi U2 U1 W3 Z3 Z1 Wi U3 U1 537b mas jY R1 R2 R3 P3 P2 P1 P31 Z1 P1 Z2 α3 α2 ζ2 Z5 Φ 3 4 Z2 Z1 ZS Yk fβk k 1 2 n n 7 536 P21 U2 U1 P31 U3 U1 N de Posições N de Variáveis escalares N de Equações escalares N de Variáveis prescritas N de Escolhas livres N de Soluções disponíveis SÍNTESE ANALÍTICA DOS MECANISMOS veram está abordagem na forma padrão a qual foi descrita em detalhe neste capítulo Esse método deriva soluções na forma fechada para dois três e quatro pontos de precisão e é estendida para cinco posições que podem sofrer dos possíveis defeitos de circuito ramo e ordem CRO comuns a todos os métodos de ponto de precisão O método de Suh e Radcliffe é similar ao de Freudenstein e outros mas não convergem para soluções singulares ou imaginárias Recentes descobertas na teoria matemática dos polinômios têm criado novos métodos de solução chamados de métodos de continuação ou métodos homotópicos os quais não só atingidos pelos mesmos problemas de convergência como outros métodos e podem também determinar todas as soluções das equações iniciais de qualquer valor escolhido assumido Métodos de continuação são uma solução geral para essas classes de problemas sendo convencionais e suficientemente rápidos para permitir múltiplos desenhos a serem investigados em um tempo razoável A equação da curva do acoplador é muito complexa e tão logo seja conhecida no estudo dos mecanismos ou propriamente por essa matéria em qualquer lugar nenhum outro resultado matemático tem sido encontrado com características algébricas semelhantes àquelas das curvas do acoplador É uma solução bastante complexa e que requer iteração Exemplos de síntese de um mecanismo de 10 elos para gerar a trajetória do acoplador Conte e Kakatsios e Tricamo determinaram métodos para atender a um número pequeno de pontos de precisão simultaneamente otimizando as características dinâmicas dos mecanismos automação para robôs Um algoritmo de otimização estocástica global é usado para evitar convergências não desejadas para um mínimo local subótimo Suh C H and C W Radcliffe 1966 Synthesis of Planar Linkages With Use of the Displacement Matrix ASME Paper 66MECH19 9 pp Kakatosis A J and S J Tricamo 1986 Design of Planar Rigid Body Guidance Mechanisms with Simultaneously Optimized Kinematic and Dynamic Characteristics ASME Paper 86DET142 Projete um mecanismo para levar o corpo da Figura P51 através das duas posições P2 e P3 aos ângulos mostrados na figura Utilize síntese analítica sem considerar os pivôs fixos mostrados Dica tente uma solução gráfica grosseira para criar valores realísticos para as escolhas livres CINEMÁTICA E DINÁMICA DOS MECANISMOS CAPÍTULO 5 SÍNTESE ANALÍTICA DOS MECANISMOS DADOS PARA OS PROBLEMAS 521 A 526 SÍNTESE ANALÍTICA DOS MECANISMOS CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS MECANISMOS SÍNTESE ANALÍTICA DOS MECANISMOS CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS MECANISMOS CAPÍTULO 5 288 FIGURA P59 Dados para os problemas 538 a 540 543 Repita o Problema 540 utilizando os dados mostrados na Figura P510 como alternativa todas as dimensões em mm 2497 3744 510 290 300 O2 O4 760 450 450 4355 D1 1134 D2 190 C3 D3 C2 C1 834 todas as dimensões em mm 225 3428 2714 310 1998 10 X 120 O2 O4 834 D3 FIGURA P510 Dados para os problemas 541 a 543