Conceitos de Ondas e Transferência de Energia

Física Geral e Experimental II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância Ondas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Dr José Agostinho Gonçalves de Medeiros Revisão Textual Profa Esp Natalia Conti 5 Nesta aula voltaremos nossa atenção para os conceitos de Ondas e a transferência de energia sem a transferência de matéria A variação de uma grandeza física se propaga com ou sem a necessidade de um meio e transporta energia são vários os tipos de ondas que podem ser estudadas pelo mesmo conjunto de equações ondas sonoras eletromagnéticas sísmicas etc Estes estudos permitem utilizar os vários tipos de ondas em tecnologias que estão presentes na sociedade moderna por exemplo microondas radares rádios dentre outros Apresentaremos também exercícios resolvidos para fixar os conceitos apresentados Os alunos devem ter especial atenção aos pontos destacados e aos exercícios resolvidos Pedido do professor Fique atento às atividades propostas e aos prazos de realização e de entrega das mesmas Não deixe de participar de todas as atividades propostas e visite os links fornecidos ao longo do texto eles trazem informações importantes que complementam o texto e facilitam o aprendizado Entender os conceitos físicos envolvidos em fenômenos observados na natureza e traduzi los em uma linguagem matemática é um desafio Convidamos a todos para esta aventura e desafio que é entender os conceitos básicos do universo em que vivemos A proposta desta Unidade é apresentar os conceitos e a essência do movimento ondulatório e a transferência de energia sem a transferência de matéria Ondas Introdução Ondas Senoidais em Cordas Velocidade de Ondas em Cordas Reflexão e Transmissão de Ondas Ondas Senoidais e Energia A Equação de Onda 6 Unidade Ondas Contextualização Podemos definir uma onda como uma perturbação que se propaga em um meio material ou no vácuo Muitos são os exemplos de fenômenos ondulatórios encontrados no nosso cotidiano Os instrumentos musicais produzem ondas mecânicas uma simples pedrinha jogada numa poça de água Ondas eletromagnéticas não precisam de um meio para se propagar a luz visível ondas de rádio sinais de TV raiosX são exemplos de ondas eletromagnéticas Independentemente de a onda necessitar ou não de um meio para se propagar esta transporta energia e essa energia pode ser utilizada para diversos fins Com o passar dos anos a física tem ganhado um espaço cada vez maior no cenário das inovações tecnológicas de modo que os conceitos leis e princípios físicos têm possibilitado a inovação e criação de produtos mais sofisticados personalizados seguros e eficazes por exemplo na indústria a automatização dos processos já é uma realidade há muito tempo o desenvolvimento de sensores e equipamentos de análise dependem basicamente de fenômenos ondulatórios O link abaixo apresenta um artigo que exemplifica o uso de um sensor sônico o título do artigo é Medição da variação da temperatura em painéis elétricos por ultrassom httpwwwcontroleinstrumentacaocombrarquivoed190arthtml Outro exemplo pode ser encontrado no link a seguir com o artigo Desenvolvimento de uma bengala eletrônica para locomoção de pessoas com deficiência visual httpwwwabcmorgbranaisconem2010PDFCON100608pdf 7 Introdução Ondas estão em todos os lugares Há dois tipos principais de ondas ondas mecânicas e ondas eletromagnéticas Ondas mecânicas são aquelas que necessitam de um meio para se propagar e ao passarem por este meio provocam uma perturbação no mesmo O caso mais simples é de uma pedrinha jogada numa poça dágua Ondas eletromagnéticas não precisam de um meio para se propagar a luz visível ondas de rádio sinais de TV raiosX são exemplos de ondas eletromagnéticas Nesta unidade vamos nos concentrar nas ondas mecânicas Quando observamos uma onda no mar vemos uma perturbação no oceano sem o qual não haveria a onda ou seja a água do mar é a propagação Um surfista ou uma simples boia na água são capazes de se deslocar na passagem da onda ao ganharem energia cinética pois a onda transferiu energia para os objetos no caminho da onda Isto é um conceito importante ou seja ondas carregam energia e a quantidade de energia transmitida através do meio dependem das características do mesmo e variam de caso a caso Resumindo Toda onda mecânica necessita de uma fonte de perturbação Toda onda mecânica necessita de um meio a ser perturbado A transmissão de energia através do meio depende das propriedades físicas do mesmo Uma onda que se propague e cause que os elementos do meio perturbado se movam perpendicular à direção de propagação é uma onda transversal Uma onda que se propague e cause que os elementos do meio perturbado se movam paralelamente à direção de propagação é uma onda longitudinal Figura 1 Ondas transversais a e ondas longitudinais b 8 Unidade Ondas Ondas Senoidais Quando um pulso se propaga por uma corda por exemplo consideramos o instante t0 que independentemente da forma do pulso é representado por uma função matemática qualquer que irá ser escrita na forma yx0fx Esta função descreve a posição y de um elemento da corda localizado em cada valor de x para o instante t 0 Figura 2 Pulso viajando para a direita com velocidade v em a t 0 b e um instante qualquer t y y vt v P x x v A 0 0 P Se o pulso viajar para a direita isto é no sentido de x 0 o mesmo após um intervalo de tempo t terá se deslocado de vt Como o formato do pulso não se altera o ponto P na figura será dado por yxtyxvt0 E em geral podese representar a posição transversal y para todas as posições e instantes em relação ao sistema de referência estacionário na origem O assim yxtfxvt Se o pulso estivesse se deslocando para a esquerda os elementos da corda seriam dados por yxtfxvt 9 A função y chamada às vezes de função de onda depende das duas variáveis x e t e é por isso escrita como yxt A função de onda representa a coordenada y de qualquer elemento localizado em x em qualquer instante t Exemplo Um pulso se deslocando para a direita ao longo do eixo x é representado pela função de onda 2 2 30 1 y x t x t Onde x e y estão em cm e t em segundos No instante t 0 e na posição x 05 cm a posição y terá valor a 12 cm b 13 cm c 14 cm d 15 cm e 16 cm Solução Para t 0 e x 05 a função será de 2 2 050 16 050 1 y cm Figura 3 Onda yxt 2 2 30 1 y x t x t viajando para a direita em t 0 verde t 15 s amarelo e t 25 s azul 10 Unidade Ondas Figura 4 Onda 2 2 30 1 y x t x t viajando para a esquerda em t 0 verde t 15 s amarelo e t 25 s azul Observe o sinal positivo na frente de 30 t Uma das funções mais comuns para se representar uma onda é a função de onda senoidal que é a mesma curva que aquela de senθθ A onda senoidal é o exemplo mais simples e pode ser utilizada para construir ondas mais complexas Como na figura abaixo há dois instantâneos de uma onda azul e amarelo em que um deles é a onda no instante t 0 e o outro instante a onda indo para a direita Se nos concentrarmos em um elemento específico da onda x 0 por exemplo veremos que este elemento se move verticalmente em movimento harmônico simples Figura 5 Instantâneos de uma em t 0 azul e t 15 s amarelo As duas funções podem ser representadas por uma função seno Quando averiguamos com cuidado cada instantâneo e nos concentramos em um elemento do meio vemos algumas características que servirão para caracterizar a função de onda Amplitude da onda A que é a diferença entre os pontos mais alto e mais baixo da onda 11 Comprimento de Onda λ que é a distância entre dois pontos com ordenadas iguais e que apresentem comportamento semelhantes nas vizinhanças destes pontos isto é a diferença entre dois picos por exemplo Período da onda T que é a diferença de tempo entre a passagem de dois picos consecutivos por uma coordenada prédeterminada Frequência da Onda f que é o número de picos que passam por um ponto por unidade de tempo Figura 6 Características de uma onda em a comprimento de onda e amplitude e em b período e amplitude A frequência pode ser dada pela expressão que relacionase com o período de uma onda 1 f T dada em hertz Hz que corresponde a s1 considerando que a unidade de T é em segundos A função de onda pode então ser representada como 2 v y x t Asen x t π λ 12 Unidade Ondas Por definição uma onda viaja o seu comprimento em um período T isto é v T λ Ainda podemos definir o número de onda angular k ou simplesmente número de onda e a frequência angular ω k 2π λ ω 2π T E a função de onda senoidal fica mais simplificada como y Asen kx t ω Finalmente vemos que a velocidade da onda pode ser dada por v w k e v λ f Se verificarmos a função de onda acima podemos ver que quando x 0 e t 0 a posição y será nula Se houver casos em que isso não ocorra adicionamos à expressão uma constante de fase ϕ yA senkx ωtϕ Exemplo Uma onda senoidal viaja na direção positiva de x e tem uma amplitude de 18 cm um comprimento de onda de 36 cm e frequência de 12 Hz A posição vertical para x 0 e t 0 é também de 18 cm O número de onda o período T e a frequência angular vão ser respectivamente a 0175 radcm0933 s8540 rads b 0275 radcm0833 s8540 rads c 0175 radcm 0833 s 7540 rads 13 d 0275 radcm0933 s7540 rads e 0175 radcm0833 s9540 rads Resolução 2 2 0174533 0175 36 1 008333 0833 12 p p l k rad cm T s ω2πf2π127539827540 rads Exemplo Uma onda senoidal propagase na direção positiva de x com amplitude de 150 cm comprimento de onda de 400 cm e frequência de 8 Hz Quando t0 e x0 o valor vertical y é 150 cm A constante de fase ϕ para esta onda será de a 2 rad π b π rad c 3 rad π d 4 rad π e 2π rad Resolução A função senoidal padrão é yA senkx ωtϕ Quando t 0 e x 0 temos y 150 então 1515 senϕ senϕ1ϕ90o ou π2 2 rad π 14 Unidade Ondas Ondas Senoidais em Cordas Quando prendemos uma corda podemos balançála para produzir ondas e ainda podemos prendêla em uma lâmina que oscile por um mecanismo automático por exemplo A onda formada pode ser formada por pulsos periódicos que apresentem um período T e uma frequência f bem definidos a ponto de termos a relação vλf verdadeira e concluirmos que a corda está em movimento harmônico simples Figura 7 Onda senoidal em uma corda acoplada a uma lamina oscilante Cada elemento da corda como o ponto P por exemplo oscila em movimento harmônico simples verticalmente P P P P A y y a c b d Lamina Oscilante A função de onda para a corda vai ser obviamente yA senkx ωtϕ E por simplificação vamos considerar que a fase ϕ0 e portanto yA senkx ωt Se agora derivarmos a expressão acima em relação ao tempo e mantivermos a posição 15 ù ú w w ú û y x constante dy y v Acos kx t dt t Esta é a velocidade transversal isto é a velocidade que o ponto P vai para cima e para baixo Ao derivarmos mais uma vez a expressão acima vamos obter a aceleração transversal 2 ù ú w w ú û y y y x constante dv v a Asen kx t dt t Os valores máximos da velocidade transversal e da aceleração transversal vão ser respectivamente Á vy max ω 2 a y max ω A Exemplo Uma corda oscila com frequência de 1500 Hz e a sua amplitude de movimento é de 220 cm e a velocidade de onda é de 10 ms A frequência angular ω e o número de onda k são respectivamente a 9425 rads e 9425 radm b 10425 rads e 9425 radm c 8425 rads e 9425 radm d 9425 rads e 9425 radm e 9425 rads e 10425 radm Resolução 2 2 2 1500 942478 9425 f rad s T π ω π π 942478 942478 9425 100 k rad m v ω 16 Unidade Ondas Velocidade de Ondas em Cordas Se observarmos uma onda se propagando por uma corda a velocidade com que um pulso se propaga na corda estará definida por quanto de tensão está aplicada à corda De acordo com a segunda lei de Newton a aceleração de um elemento da corda aumenta com a tensão a ela aplicada E a rapidez com que o elemento da corda retorna à posição de equilíbrio é definida pela velocidade do pulso que viajou pela corda Um outro aspecto importante é a densidade linear da corda isto é a quantidade de massa por unidade de medida que quanto maior for mais lentamente ocorre a propagação do pulso Desta maneira podemos ver através da análise dimensional que a velocidade de propagação vai depender da tensão T e da densidade linear da corda µ T v µ Veja que a tensão na corda T tem dimensão unidades de uma forçaou seja MLT2 e que a densidade tem dimensão ML desta maneira 2 2 2 ML T L T M T L µ E portanto 2 2 L L T T que tem dimensão de velocidade Uma análise mais detalhada pode ser realizada aplicando as leis de Newton Um pequeno elemento s forma um arco de círculo em referencial que se move com a mesma velocidade que a da propagação da onda Este elemento tem uma aceleração centrípeta igual a v2R que é a soma das componentes da força de tensão T aplicada nos dois extremos do elemento da corda e são tangentes ao arco formado pela passagem de um pulso cada componente conforme a figura tem componente Tsenθ mas como os angulos em questão são pequenos podemos utilizar a aproximação Senθθ e a força radial total será F2Tsenθ2Tθ 17 O elemento da corda tem massa mµs e como o elemento é parte de um círculo que subentende um ângulo 2θ ao centro de assim sR2θ e encontramos que mµs2µRθ Aplicando a segunda lei de Newton teremos que o elemento na direção radial tem aplicado uma força 2 mv F ma R e 2 2 2 m q q m R v T T v R Veja que aqui consideramos que o pulso é bem menor que o comprimento da corda Figura 8 Pulso se propagando por uma corda esticada e formando um arco de círculo e as forças aplicadas ao elemento de corda com as tensões na suas extremidades 18 Unidade Ondas Exemplo Uma corda de massa 0500 kg e comprimento de 500 m passa por uma polia que suporta uma massa de 250 kg A velocidade de um pulso que propague por essa corda vai ser de a 1765 ms b 1565 ms c 1465 ms d 1365 ms e 1265 ms Solução T mg 250x98 245 N 0500 01 500 245 156525 1565 01 m m m kg m l T m v m s s Refl exão e Transmissão de Ondas Quando uma onda viaja por um meio homogêneo e em um ponto há uma mudança nas propriedades do mesmo isto é a densidade sofre uma mudança parte da onda é refletida e parte dela é transmitida No caso de uma mudança brusca por exemplo uma onda em uma corda indo para a direita e a corda estiver presa a um suporte em uma parede a onda será totalmente refletida para a esquerda Figura 9 Onda viajando em um meio em que há mudança das propriedades do mesmo Parte da onda é transmitida parte é refletida 19 Figura 10 Onda refletida ao atingir uma parede Observe que a onda inverte verticalmente Figura 11 Onda refletida ao atingir um extremo em que há liberdade de movimentação Observe que a onda não inverte verticalmente Na equação de velocidade de propagação de uma onda em uma corda vimos que m T v Vemos que conforme µ aumentar isto é quanto maior for a densidade menor a velocidade na corda para uma dada tensão aplicada à mesma 20 Unidade Ondas Figura 12 Velocidade de um pulso em uma onda em função da sua densidade Em geral quando uma onda ou pulso propagase em um meio A e passa para um meio B então vA vB isto é quando o meio B for mais denso que o meio A e é invertida quando há reflexão Quando vA vB ou seja o meio B for menos denso que A não há inversão do pulso quando houver a reflexão Ondas Senoidais e Energia Como mencionado uma onda transporta energia através de um meio A onda ao se propagar por uma corda ao passar por um elemento da corda com comprimento x e massa m irá realizar trabalho e o movimento vertical deste elemento em movimento harmônico simples com velocidade angular ω e amplitude Α A energia cinética associada ao movimento da partícula é 2 1 2 K mv e aplicando ao elemento da corda teremos 2 1 2 D D y K m v onde vy é a velocidade transversal em y Se conhecermos a densidade linear desta corda podemos reescrever a equação acima como 2 1 2 D mD y K x v No limite em que x0 teremos 2 1 dx 2 m y dK v 21 Substituindo na expressão da velocidade transversal em um oscilador harmônico simples temos 2 2 2 2 1 2 1 2 m w w mw w dK Acos kx t dx A cos kx t dx Quando t0 a energia cinética fica como 2 2 2 1 2 mw dK A cos kx dx e se quisermos saber a energia cinética total para todos os elementos da corda com comprimento de onda λ a energia cinética total Kλ será 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 1 1 cos cos 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 2 2 4 K dK A kx dx A kx dx A x x sen kx A A k λ λ λ λ µω µω µω µω λ µω λ Analogamente cada elemento da corda terá também uma energia potencial e uma análise similar à realizada acima nos levará ao resultado 2 2 1 A 4 l mw l U Somandose as duas energias cinética e potencial nos fornecerá a energia total de uma onda com comprimento de onda λ 2 2 1 2 l l l mw l E K U A Se quisermos saber a potência transferida no processo isto é a taxa com que a energia é transferida por unidade tempo 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 l mw l æ ö D çl à mw mw l mw ç çè ø D A E E A A f A v t T T T 22 Unidade Ondas A taxa de energia transferida em uma onda senoidal é proporcional ao quadrado da frequência angular ao quadrado da amplitude e à velocidade de propagação da onda Exemplo Uma corda de coeficiente linear µ800102 kgm está sob uma tensão de 1200 N A potência que deve ser fornecida a ela para que seja gerada uma onda senoidal de 800 Hz e 600 cm de amplitude é de a 1409 W b 1410 W c 1411 W d 1412 W e 1413 W Resolução A expressão da potência é 2 2 1 à 2 mw A v 2 2 80 160 f rad s ω π π π 2 120 387298 800 10 m T v m s Assim 2 2 2 1 800 10 160 006 387298 140912 1409 2 à p W A Equação de Onda Não iremos fazer aqui a dedução em detalhes e convidamos os estudantes a consultarem as referências no texto para o desenvolvimento completo da equação linear de uma onda Todas a funções de onda são soluções de uma equação denominada equação de onda Esta equação que é uma equação diferencial ou seja a solução de uma equação diferencial não é um ponto ou um número mas sim uma função ou funções que satisfaçam a equação diferencial no caso de uma corda que tem uma onda se propagando por ela a equação de onda será dada por 2 2 2 2 2 1 y y x v t 23 Esta expressão se aplica a vários tipos de onda que se propaguem por uma corda E veja que a função yxt ao ser derivada duas vezes em relação à posição x será igual ao inverso da velocidade ao quadrado vezes a derivada segunda de y em relação ao tempo A função yA senkx ωt satisfaz esta condição Lembrando que a expressão vωk deverá ser utilizada para que a identidade seja comprovada Ondas Sonoras Ondas sonoras são um exemplo de ondas mecânicas que são longitudinais isto é a velocidade de propagação é paralela à perturbação causada pela onda A sua propagação se dá por um meio compressível cuja velocidade depende das propriedades inercial e elástica do meio A velocidade do som em um líquido ou gás depende do módulo bulk B e da densidade ρ r B v Para ondas acústicas senoidais a variação da posição de um elemento do meio é dada por maxcos s x t S kx ωt e a variação de pressão em relação à posição de equilíbrio é P P P P sen kx t equilibrio max ω Onde Pmax é a amplitude de pressão A onda de pressão tem uma diferença de fase de 90o com a onda de deslocamento sxt A relação entre a variação de pressão e o deslocamento máximos é dada por P v S max max ρ ω Figura 13 Variações da pressão do ar e a função de onda correspondente 24 Unidade Ondas Exemplo A velocidade do som na água é de modulo bulk 21 x 109 Nm2 a 0 oC e densidade de 100 x 103 kgm3 a 04 kms b 14 kms c 24 kms d 34 kms e 44 kms Solução v B v m s km s ρ 2 1 1 00 1449 1 4 x10 x10 9 3 Intensidade de Ondas Sonoras Normalmente ao medirmos as propriedades de uma onda sonora ao invés de se medir as variações de pressão ponto a ponto preferese medir a transferência de energia pela unidade de tempo por unidade de área isto é a intensidade da onda acústica que é dada pela razão da Potência pela área P2 2 D º à r max I A v E o nível sonoro de uma onda acústica em decibéis é dado por 0 10 æ ö ç b º ç ç çè ø I log I A constante I0 é uma intensidade de referência usualmente tomada do limiar de audição 1001012 Wm2 e I é a intensidade da onda acústica em watts por metro quadrado Exemplo Uma fonte sonora pontual emite uma potência acústica média de 1000 W a intensidade a 50 m vai ser de a 34 Wm2 b 32 Wm2 c 30 Wm2 d 28 Wm2 e 26 Wm2 25 Solução 2 2 1000 31831 32 4 4 50 à p p media I W r Obs 4πr2 é a área de uma esfera Exemplo Duas britadeiras idênticas emitem uma intensidade sonora que atingem um trabalhador com 20 x 107 Wm2 cada O nível sonoro ouvido pelo trabalhador devido às duas máquinas é de a 50 dB b 51 dB c 53 dB d 55 dB e 56 dB Solução 7 7 5 1 2 12 0 20 10 20 10 10 10 10 40 10 56 100 10 æ ö æ ö ç ç b ç ç ç ç ç ç è ø è ø I I log log log dB I Efeito Doppler Quando houver um movimento relativo entre o emissor da onda acústica e o observador haverá uma mudança de frequência A estes fenômenos chamamos efeito Doppler A frequência que o observado detecta é dada por æ ö ç ç ç ç è ø SOM o d SOM f v v f f v v Nesta expressão os sinais de vo e vf dependem do sentido da velocidade Um valor positivo para o observador vo ou para a fonte vf é substituído quando eles se aproximam um do outro enquanto que um valor negativo quando eles se afastam 26 Unidade Ondas Exemplo Um relógio de despertar tem um alarme que emite 600 Hz de frequência de som O mesmo cai de uma altura de 15 m A frequência do despertador ao atingir o chão vai ser de 2 343 98 vsom m s e g m s a 571 hz b 570 Hz c 569 Hz d 568 Hz e 567 Hz Solução A expressão do efeito Doppler é SOM o d SOM f v v f f v v O observador está parado portanto vo0 e o relógio está se afastando æ ö ç ç ç ç è ø SOM d SOM f v f f v v VS será a velocidade da queda 0 98 ˆ ˆ Sv t gtj tj ov a O tempo para atingir o solo será de 2 1 y 2 gt Como a altura é de 15 m e a altura inicial é zero 2 1 15 98 2 t 175 98 175 1715 t s v m s Portanto a frequência final será 343 600 571429 571 343 1715 æ ö ç ç ç ç è ø df Hz Hz 27 Material Complementar Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade veja os vídeos indicados e consulte a bibliografia indicada Vídeos httpwwwfundacoesorgbrkhanportuguescienciasfisicaondaseoptica Vídeos Cursos Unicamp httpunivesptvcmaiscombrfisicaiiondasi httpunivesptvcmaiscombrfisicaiiondasii httpunivesptvcmaiscombrfisicaiiondasiii Textos Cursos Unicamp Física Geral II Oscilações httpgooglKGgKbt httpgooglJEdIAs httpgooglT3P25C 28 Unidade Ondas Referências ALONSO M Física um curso universitário 12a edição São Paulo Edgard Blucher 2011 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física gravitação ondas e termodinâmica 9ª Edição Rio de Janeiro LTC editora 2012 LANDULFO E Meio Ambiente Física São Paulo Editora Senac 2005 NUSSENZVEIG H M Curso de Física básica fluidos oscilações e ondas calor 4a ed São Paulo Edgard Blücher Ltda 2002 V SEARS ZEMANSKY Física II Termodinâmica e Ondas 12a Edição São Paulo Addison Wesley 2003 SERWAY R JEWETT Jr J W Princípios de Física Vol2 São Paulo THOMPSON Editora 2004 TIPLER PA Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 4a Ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos SA 2000 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 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