Fenômenos Oscilantes: Conceitos e Aplicações

Física Geral e Experimental II Fenômenos Oscilantes Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Dr José Agostinho Gonçalves de Medeiros Revisão Textual Profa Esp Natalia Conti 5 A proposta desta aula é informálo a respeito dos conceitos de Fenômenos Oscilantes em especial dos movimentos periódicos harmônicos simples Serão apresentadas as equações que descrevem o movimento tais como as equações da posição velocidade e aceleração Ao fim desta aula esperamos que seja capaz de interpretar conceituar e calcular Movimento harmônico simples Energia do oscilador harmônico simples Comparar o movimento harmônico simples com o movimento circular uniforme Modelar um pêndulo simples Oscilações amortecidas A leitura do Conteúdo Teórico com atenção é essencial para compreender os conceitos apresentados é usual encontrarmos conceitos que a princípio divergem do que observamos no dia a dia Os exemplos e exercícios resolvidos ajudam a consolidar os conceitos estudados Não deixe de utilizar todos os recursos disponíveis e acessar os links sugeridos no texto Nesta aula voltaremos nossa atenção para os conceitos de Fenômenos Oscilantes especificamente dos fenômenos harmônicos Inicialmente será considerado um movimento mais simples que pode ser descrito por funções periódicas do tipo seno ou cosseno A partir das equações do movimento e da lei de conservação da energia são obtidas as relações para o calculo da energia cinética e potencial Ao final do texto é abordado um sistema mais realista considerando sistemas não conservativos Apresentaremos também exercícios resolvidos para fixar os conceitos apresentados Os alunos devem ter especial atenção aos pontos destacados e aos exercícios resolvidos Fenômenos Oscilantes Introdução Movimento Periódico Energia do Oscilador Harmônico Simples Movimento Harmônico Simples versus Movimento Circular Uniforme Pêndulo Simples Oscilações Amortecidas Oscilações Forçadas 6 Unidade Fenômenos Oscilantes Contextualização Fenômenos Oscilantes Em todo o universo físico é possível encontrar sistemas oscilantes que se comportam de maneira harmônica que oscilam em períodos constantes Mesmo em situações encontradas no cotidiano este tema possui grande importância Os engenheiros ao realizar os seus projetos devem conhecer os fenômenos oscilantes e prever os seus efeitos no projeto final Projetos de instrumentos musicais motores edifícios pontes sistemas de transmissão sistemas elétricos etc são exemplos de projetos que devem incluir um estudo de fenômenos oscilantes Um clássico exemplo de um projeto que inicialmente não considerou os efeitos dos movimentos oscilantes é a ponte Tacoma Texto retirado do link abaixo httpptwikipediaorgwikiPonteTacomaNarrows Em 7 de Novembro de 1940 caiu a ponte pênsil de 1600 metros Tacoma Narrows apenas poucos meses após a sua inauguração De madrugada os ventos atingiram os 70kmh fazendo a estrutura oscilar muito deslizando em alta velocidade A polícia fechou então a ponte ao tráfego Às 9h30 a ponte oscila em 8 ou 9 segmentos com amplitude de 09m e frequência de 36 ciclos por minuto Às 10h00 dáse um afrouxamento da ligação do cabo de suspensão norte ao tabuleiro o que faz a ponte entrar num modo de vibração torcional a 14 ciclos por minuto O eixo da via os dois pilares e o meio da ponte são nodos A partir daí a situação não se alterou muito durante cerca de uma hora até que às 11h00 se desprende um primeiro pedaço de pavimento e às 11h10 a ponte entra em colapso caindo no rio Os grandes defeitos da ponte foram a sua enorme falta de rigidez transversal e torcional pois estava ausente o reticulado por baixo do tabuleiro e a frente aerodinâmica do perfil Não houve vítimas deste acidente Uma nova ponte foi construída no local e ainda se encontra em funcionamento Explore Link vídeo sobre a ponte de Tacoma httpswwwyoutubecomwatchvdvRHK4yA8rc httpswwwyoutubecomwatchvmfQk6ac4res 7 Introdução Os fenômenos periódicos são assim chamados por serem repetitivos e ocorrerem após um intervalo de tempo fixo Uma bola a boias nas ondas do mar o pêndulo de um relógio são exemplos de movimentos ou eventos repetitivos Estas repetições são chamadas de oscilações que podem ser simuladas como movimentos chamados harmônicos simples Estes movimentos podem servir para repetir outros fenômenos baseados em ondas mecânicas que podem ser ondas sonoras sísmicas que provocam terremotos ondas na água Figura 1 Ondas na superfície de água iStockGetty Images Movimento Periódico O movimento periódico de um objeto é aquele que se repete em intervalos regulares de tempo O objeto retorna a uma posição após um intervalo de tempo fixo Na natureza e no nosso dia a dia há várias situações descritas pelo movimento periódico A Terra voltando a uma distância na órbita do Sol nós irmos e voltarmos do trabalho um ônibus ou metrô que retorna a uma estação Há outros eventos que não enxergamos e descrevem movimento oscilatório simples tais como moléculas em sólido ondas luminosas ondas de rádio Um tipo especial de movimento periódico é aquele de uma força atuando em um objeto que seja proporcional à posição do objeto relativa a alguma posição de equilíbrio Fonte iStockGetty Images 8 Unidade Fenômenos Oscilantes a b c FS x x m x 0 FS 0 x m x 0 x FS x m x 0 Figura 2 Sistema mola e objeto descrevendo um movimento periódico movimento harmônico simples Na figura 2 o bloco está conectado a uma mola presa à parede a Quando o bloco se desloca para a direita da posição de equilíbrio a força atua para a esquerda b Quando o bloco se encontra na posição x 0 a força é nula FS 0 c Quando o bloco se afasta para a esquerda da posição de equilíbrio a força atua para a direita Pela lei de Hooke sabemos que a força da mola força restauradora é FS kx Se esta for a única força atuando na mola sabemos pela segunda lei de Newton que kx max x k a x m Esta aceleração é proporcional à posição do bloco e a sua direção é oposta ao deslocamento do equilíbrio Sistemas que se comportam desta maneira apresentam um movimento harmônico simples E se quisermos representar matematicamente este movimento sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade ou simplesmente a segunda derivada da posição em relação ao tempo 2 2 2 2 dv d x a dt dt d x k x dt m 9 Por razões algébricas iremos definir a razão km como k w2 m e assim temos que 2 2 w2 d x x dt A solução para a equação diferencial acima é uma função xt que quando derivada seja ela mesma e multiplicada por ω2 Sabese que as funções trigonométricas Seno e Cosseno apresentam este comportamento portanto pode apresentar a seguinte função como solução da equação abaixo x t Acos ωt φ onde A e ω φ são constantes Vejamos se a função acima satisfaz a equação inicialmente proposta cos w f w w f dx A d t Asen t dt dt 2 2 2 w w f w w f d x A d sen t Acos t dt dt isto é provamos que 2 2 w2 d x x dt As constantes presentes nesta equação são 1 A a amplitude do movimento que é o valor máximo da posição da partícula quer na direção positiva ou na direção negativa de x 2 ω que é a frequência angular cuja unidade é em radianossegundo rads É a medida de quão rápido as oscilações estão ocorrendo a frequência angular depende da constante de elástica da mola k e da massa m w k m 3 A constante angular φ é chamada constante de fase ou ângulo de fase inicial e determina se quando t0 Se a partícula estiver na posição máxima em t 0 a fase será nula A quantidade ωt φ é chamada de fase do movimento Observe que a função xt é periódica e portanto se repete a cada vez que a quantidade t ω ϕ aumentar de 2π 10 Unidade Fenômenos Oscilantes 4 O período T do movimento é o intervalo de tempo em que a partícula completa um ciclo A cada fase de 2π rad o ciclo se reinicia assim 2 t T t ω φ ω φ π 2p w T 5 A frequência de movimento é o inverso do período A frequência é o número de oscilações que a partícula sofre por unidade de tempo 1 2 w p f T A unidade em ciclos por segundo é chamada de hertz Hz Podemos ainda escrever a frequência e o período em função da constante k e da massa m 2 2 1 1 2 p p w p m T k k f T m A partir da equação solução podemos obter a equação da velocidade e da aceleração 2 2 2 A w w f w w f dx v sen t dt d x a Acos t dt 11 Como é sabido os valores máximos mínimos das funções trigonométricas seno e cosseno são 1 e assumindo isto temos que os valores máximos da posição velocidade e aceleração vão ser max min max min 2 max min x A v A a A ω ω Podemos substituir pela constante k e a massa m e teremos max min 2 max min w w k v A m A k a A A m Exemplo Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x Sua posição varia de acordo com a equação 500cos 04 3 æ ö p ç ç çè ø x t Onde x está em metros t está em segundos e o ângulo em radianos A amplitude frequência e período do movimento serão respectivamente a 500 m 0064 Hz 1571 s b 250 m 0064 Hz 1 s c 500 m 04 Hz 20 s d 500 m 0064 Hz 1571 s e 250 m 04 Hz 1571 s 12 Unidade Fenômenos Oscilantes Comparando com a equação cos x A ωt φ temos que A 500 m e 04 rad s ω e portanto 04 0063662 2 2 w p p f Hz e 1 1 15708 1571 0063662 T s f Exemplo Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x Sua posição varia de acordo com a equação 500cos 04 3 æ ö p ç ç çè ø x t Onde x está em metros t está em segundos e o ângulo em radianos A sua velocidade e aceleração no instante t 2 s será de a 192 ms e 033 ms2 b 033 ms e 192 ms2 c 192 ms e 022 ms2 d 192 ms e 022 ms2 e 192 ms e 022 ms2 A velocidade e aceleração são dadas por 2 2 2 A w w f w w f dx v sen t dt d x a Acos t dt Assim 2 2 2 04 500 04 200 04 3 3 04 500 04 08 04 3 3 æ ö æ ö p p ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö æ ö p p ç ç ç ç ç ç è ø è ø dx v sen t sen t dt d x a cos t cos t dt Em t 2 s 2 200 04 2 192 3 08 04 2 022 3 æ ö p ç ç çè ø æ ö p ç ç çè ø v sen m s a cos m s Trocando Ideias Não esqueça de utilizar a sua calculadora em radianos 13 Exemplo Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x Sua posição varia de acordo com a equação 500cos 04 3 æ ö p ç ç çè ø x t Onde x está em metros t está em segundos e o ângulo em radianos A velocidade e aceleração máximas serão a 50 ms e 04 ms2 b 20 ms e 08 ms2 c 30 ms e 06 ms2 d 20 ms e 08 ms2 e 10 ms e 04 ms2 A velocidade e a aceleração máximas são dadas por max min 2 2 2 max min 04 500 20 04 500 08 v A m s a A m s ω ω Exemplo Um bloco de 500 g está conectado a uma mola com constante elástica de 25 Nm O bloco terá um período de oscilação de a 25 s b 26 s c 27 s d 28 s e 29 s 25 223607 05 2 2 28 223607 w p p w k rad s m T s 14 Unidade Fenômenos Oscilantes Energia do Oscilador Harmônico Simples Vamos assumir uma mola com massa desprezível e determinamos sua energia cinética como 2 2 2 2 1 1 2 2 w w f K mv m A sen t A energia potencial de uma mola esticada de x é 2 2 2 1 1 2 2 w f U kx kA cos t E a energia mecânica vai ser 2 2 2 1 2 é ù w f w f ê ú ë û E K U kA sen t cos t Lembrando que tomamos 2 k ω m e que a identidade trigonométrica 2 2 1 sen cos θ θ a energia final será 2 1 E 2 kA Isto é a energia mecânica total de um oscilador harmônico simples é uma constante de movimento e proporcional ao quadrado da amplitude Note que K e U são sempre positivos e a sua soma sempre é 2 1 E 2 kA Energia Cinética roxo e Potencial verde versus tempo período para um oscilador harmônico 15 Exemplo Uma carreta de 15 kg está conectada a uma mola de constante elástica de 200 Ns A energia total do sistema para uma oscilação com amplitude máxima de 10 cm é de a 01 J b 1 J c 10 J d 5 J e 05 J 2 2 1 1 200 01 1 2 2 E kA J Pelo princípio da conservação podemos deduzir a velocidade em função da posição para um oscilador 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 w E K U mv kx kA k v A x A x m A aplicação do modelo do oscilador harmônico simples é muito utilizada em várias áreas da física e acaba sendo um bom modelo para uma larga variedade de fenômenos físicos A partir de alguns valores notáveis de tempo em função do período de uma oscilação é possível saber os valores correspondentes de posição velocidade aceleração e energias cinética e potencial Tempo período Posição amplitude Velocidade Aceleração Energia Cinética Energia Potencial Energia Total t x v a K U KU 0 A 0 ω2A 0 2 ½ kA 2 ½ kA T4 0 ωA 0 ½ kA2 0 2 ½ kA T2 A 0 ω2A 0 ½ kA2 2 ½ kA 3T4 0 ωA 0 ½ kA2 0 2 ½ kA T A 0 ω2A 0 ½ kA2 ½ kA2 16 Unidade Fenômenos Oscilantes Movimento Harmônico Simples versus Movimento Circular Uniforme Como mencionado no nosso dia a dia muitos equipamentos e dispositivos apresentam uma relação entre o movimento oscilatório e o movimento circular Por exemplo os pistões de um motor sobem e descem oscilação e ainda assim o movimento resultante é circular Figura 3 Motores a vapor e esquema que mostra a conversão de um motor de ciclos alternativos em movimento de rotação o gif animado encontrase em httpenwikipediaorgwikiReciprocatingmotion Considere uma partícula executando um movimento circular de raio a Vamos considerar que o sistema de coordenadas cartesiano tenha sua origem no centro do círculo A velocidade angular da partícula vai ser ω e podemos verificar que o ângulo θ varia conforme t θ ω e é fácil observar que as coordenadas cartesianas são cos x acos a t y a sen a sen t θ ω θ ω 17 Se neste movimento quando t 0 houver um ângulo inicial ϕ as equações tornamse cos x a t y a sen t ω φ ω φ Portanto o movimento circular uniforme é a combinação de dois movimentos harmônicos simples em x e y Exemplo Uma partícula faz uma rotação no sentido horário em um círculo de 500 m de raio com velocidade angular constante de 12 rads No instante t 0 a partícula encontrase em x 300 m e está movendo para a direita A posição de x em t 4 s será a 075 m b 075 m c 115 m d 115 m e 500 m cos 12 500 500cos12 x A t w rad s A m x t ω φ φ Quando x 300 t 0 assim 1 300 500 300 5313 09273 500 cos cos ou rad φ φ Então teremos 500 cos 12 09273 x t e em t 4 s 500cos 12 4 09273 115258 115 x m 18 Unidade Fenômenos Oscilantes Pêndulo Simples O pêndulo simples é outro sistema que apresenta movimento periódico Ele consiste de uma massa m suspensa por um fio de massa desprezível e comprimento L fixo na parte superior O movimento ocorre no plano vertical e é acionado pela força gravitacional Quando o ângulo máximo de oscilação for menor que 10o o movimento se assemelha a um oscilador harmônico simples As forças atuantes são a tração T para cima e a força gravitacional mg para baixo A componente tangencial mgsenθ que sempre restaura a posição da massa presa para a posição em que θ 0 onde a posição é a mais baixa em relação ao solo Aplicandose a segunda lei de Newton 2 2 q tan d s F mgsen m dt Como s Lθ e L é constante temos 2 2 q q d g sen dt L Mas para pequenos ângulos senθ θ e assim 2 2 q q d g dt L Esta equação é da mesma estrutura que a do movimento harmônico simples e tem como solução max cos t θ θ ω φ Onde θmax é o ângulo máximo de oscilação e a frequência angular ω w g L 19 g é a aceleração da gravidade O período de oscilação vai ser 2 2 p w p L T g O período e frequência de oscilação de um pêndulo depende somente do comprimento da linha fio e da aceleração da gravidade Oscilações Amortecidas Os movimentos oscilantes até o momento são aqueles ideais isto é a oscilação vai ocorrer indefinidamente pela ação de uma força única e restauradora Mas os sistemas reais apresentam forças não conservativas como o atrito que retardam o movimento A força retardadora é proporcional em geral à velocidade do objeto R bv onde b é o coeficiente de amortecimento e novamente aplicando a segunda lei de Newton ao sistema temos 2 2 ˆ ˆ ˆ åF kxi bvi m ai dx d x kx b m dt dt a solução para tal sistema é um pouco avançada e será apresentada sem prova porém sua forma não é tão complicada assim 2 cos w f b t m x Ae t onde a frequência angular de oscilação é 2 2 2 2 2 æ ö æ ö ç ç w w ç ç ç ç è ø è ø o k b b m m m onde w o k m que é a frequência natural de oscilação sem amortecimento Vamos perceber que a amplitude de oscilação decai exponencialmente com o tempo e significa que a posição vai tendendo à posição de equilíbrio e a velocidade de oscilação vai diminuindo Gráf co de posição versus o tempo para um oscilador amortecido b008 kgs b02 kgs As linhas tracejadas laranja são chamadas de envelope 20 Unidade Fenômenos Oscilantes Oscilações Forçadas Quando os sistemas oscilantes decrescem devido às forças não conservativas há meios de se compensar a perda de energia ao se aplicar uma força externa ao sistema de maneira a realizar trabalho sobre o sistema ou seja ceder energia perdida nos desgastes e resistências internas do sistema oscilante Ao empurrarmos uma criança no balanço quando este oscila com menor amplitude é um exemplo de nosso dia a dia Um exemplo de um oscilador forçado é um oscilador amortecido acionado por uma força externa que varie periodicamente FtFo sen t ω onde ω é a frequência angular e F0 é uma constante mais uma vez aplicando a segunda lei de Newton 2 0 2 w å dx d x F ma F sen t b kx m dt dt A solução passo a passo também foge do escopo deste curso e apresentaremos tão somente os resultados Depois que a força atuando no sistema estacionário comece a surtir efeito a amplitude de oscilações irá aumentar Depois de um período longo de tempo comparado ao tempo de oscilação a energia por ciclo adicionada ao sistema irá se equiparar à energia transformada em energia interna em cada ciclo e um novo estado estacionário será alcançado e as oscilações irão proceder com amplitude constante x Acos ωt φ e 0 2 2 2 2 0 æ ö ç w w w ç çè ø F m A b m e 0 ω k m é a frequência natural do sistema sem amortecimento isto é para b0 O sistema irá oscilar com grandes amplitudes quando a frequência da força atuante for próxima da frequência natural ou quando 0 ω ω Quando a frequência estiver muito próxima o sistema entra em ressonância e a amplitude atinge valores muito elevados o que pode causar danos estruturais ao sistema Um exemplo muito famoso é o da ponte de Tacoma no estado de Washington quando em 1940 a força de um vento moderado mas com frequência muito próxima à da frequência de ressonância da ponte fez com que a mesma entrasse em colapso Explore Ponte de Tacoma entrando em colapso para ver o vídeo acesse httpswwwyoutubecomwatchv3mclp9QmCGs 21 Material Complementar Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade veja os vídeos indicados e consulte a bibliografia indicada Textos Cursos Unicamp Física Geral II Oscilações httpgoogl4cSDZQ Vídeos Cursos Unicamp Física Geral II Oscilações Parte 1 httpswwwyoutubecomwatchvWBUcT8NVwuk Fundação Lemann httpgooglnLjfWE 22 Unidade Fenômenos Oscilantes Referências ALONSO M Física um curso universitário 12a edição São Paulo Edgard Blucher 2011 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física gravitação ondas e termodinâmica 9ª Edição Rio de Janeiro LTC editora 2012 LANDULFO E Meio Ambiente Física São Paulo Editora Senac 2005 NUSSENZVEIG H M Curso de Física básica fluidos oscilações e ondas calor 4a ed São Paulo Edgard Blücher Ltda 2002 SEARS ZEMANSKY Física II Termodinâmica e Ondas 12a Edição São Paulo Addison Wesley 2003 SERWAY R JEWETT Jr J W Princípios de Física Vol2 São Paulo THOMPSON Editora 2004 TIPLER PA Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 4a Ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos SA 2000 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário