Hidrostática e Fluidodinâmica: Conceitos e Aplicações

Física Geral e Experimental II Hidrostática e Fluidodinâmica Material Teórico Responsáveis pelo Conteúdo Prof Dr José Agostinho Gonçalves de Medeiros Prof Eduardo Landulfo Revisão Textual Profa Esp Márcia Ota 5 Introdução Pressão Variação da Pressão com a profundidade Lei de Pascal Medidas de Pressão Princípio de Arquimedes Fluidodinâmica A equação de Bernoulli Aplicações da Fluidodinâmica A proposta desta aula é apresentar os conceitos e as ideias relacionadas à mecânica de fluidos em repouso e em movimento Ao fim desta aula esperamos que seja capaz de Enunciar a Lei de Pascal e o princípio de Arquimedes Classificar o escoamento de um fluido Enunciar a equação de Bernoulli A leitura do Conteúdo Teórico com atenção é essencial para compreender os conceitos apresentados Nesta unidade a linguagem matemática é utilizada ao longo de todo o texto portanto você deve se familiarizar com as principais funções matemáticas utilizadas Os exemplos e exercícios resolvidos ajudam a consolidar os conceitos estudados Não deixe de utilizar todos os recursos disponíveis e acessar aos links sugeridos no texto Hidrostática e Fluidodinâmica 6 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Contextualização Uma combinação de erros humanos e falhas técnicas provocou o acidente do voo AF 447 da Air France que deixou 228 mortos em junho de 2009 ao cair no Oceano Atlântico segundo apontou o relatório final divulgado na manhã desta quintafeira 5 em Paris pelo BEA Escritório de Investigação e Análises órgão francês encarregado das investigações O G1 divulgou algumas das conclusões da investigação no início de junho Os pilotos não entenderam que o avião havia entrado em situação de estol perda de sustentação e começado a cair por esse motivo de acordo com o diretor do órgão Jean Troadec Ele afirmou ainda que nos momentos finais era praticamente impossível reverter a queda Não esperem que a gente aponte responsabilidades disse O BEA divulgou uma sequência de fatores que contribuíram para a queda primeiro a incoerência nas informações de velocidade devido ao congelamento dos sensores pitot provocou a queda do piloto automático Fonte httpgloboLR51oD Fonte Kolossos Wikimedia Commons O texto acima relata um dos mais graves acidentes aéreos dos últimos anos Talvez para uma grande maioria dos brasileiros tenha sido a primeira vez que tomaram contato com o termo sensores pitot Os sensores pitot medem a velocidade do avião e possuem o seu funcionamento baseado na equação de Bernoulli Conheça mais sobre sensores pitot em httpculturaaeronauticablogspotcombr201104tubodepitotcomofuncionahtml São inúmeros os instrumentos que estão baseados no princípio de Arquimedes princípio de Pascal e na equação de Bernoulli portanto o estudo da hidrostática e fluidodinâmica é de fundamental importância na formação dos engenheiros 7 Introdução Um fluido é uma coleção de moléculas aleatoriamente organizadas e mantidas juntas por uma força de coesão e por forças exercidas nas paredes de um recipiente Líquidos e Gases são fluidos Um líquido possui volume definido mas não tem forma definida Além disso um gás não tem nem volume nem forma definidos No estudo de fluidos a física pode observálos quando em repouso Fluidoestática ou em movimento Fluidodinâmica Figura 1 Fluidos podem ser um gás ou um líquido Fonte iStock Getty Images 8 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Pressão Fluido são em geral incompressíveis e quando submergimos um objeto em um fluido estático o mesmo tende a exercer força perpendicularmente às paredes do objeto A pressão exercida pelo fluido é definida como a razão da força pela área do objeto F P A Cuja unidade vai ser 1 Nm2 denominada pascal Pa 2 1 1 Pa N m Exemplo Um colchão dágua tem 300 m de comprimento por 400 m de largura por 300 cm de profundidade A pressão do colchão cheio da água sobre o assoalho é de densidade dágua 1000 kgm3 e g 98 ms2 a 294 x 104 N b 294 x 105 N c 294 x 103 N d 294 x 102 N e 294 x 10 N Resolução O peso do colchão vai ser A pressão é dada por 3 3 3528 10 294 10 300 400 F P Pa A 9 Variação da Pressão com a profundidade Quem já mergulhou no mar ou mesmo se projetou em uma piscina profunda percebeu que à medida que formos para o fundo do mar ou da piscina a pressão aumenta Como se sabe a densidade de uma substância é a razão da massa por unidade de volume Num fluido em repouso a densidade é igual em todo o líquido isto é o fluido é incompressível Se selecionarmos uma amostra de líquido contida em um cilindro imaginário com área transversal A que se estenda de uma profundidade d a d h A diferença de pressão entre o topo do cilindro e a parte de baixo deve ser contrabalançada pelo peso do líquido contido no volume do cilindro para que o sistema se mantenha em equilíbrio Sendo assim temos ˆ ˆ 0 ˆ o P A P A Mg F j j j Mas a massa do líquido pode ser reescrita em função da sua densidade e o volume contido no cilindro imaginário Figura 2 Uma parcela do fluido em um volume maior A força resultante nesta parcela deve ser zero pois o mesmo está em equilíbrio M ρ Ah E a relação da força acima PA P A Ahg o ρ o PA P A ρ Ahg Dividindo os dois lados por A o P P ρgh A pressão P em uma profundidade h abaixo de um ponto no líquido em que a pressão for Po aumenta de ρgh Se o líquido estiver exposto à atmosfera a superfície do líquido estará à pressão atmosférica Patm Normalmente a pressão atmosférica é definida como 5 100 1013 10 atm P atm Pa 10 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Lei de Pascal A lei de Pascal dita que a mudança de pressão aplicada a um fluido é transmitida sem perdas para todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente em que ele está contido Isso porque o fluido sendo incompressível faz com que qualquer mudança de pressão seja passada para todo o fluido Essa lei tem muitas aplicações conhecidas entre elas o macaco hidráulico No macaco hidráulico uma força de magnitude F1 é aplicada a um pistão de área A1 a pressão P F1 A1 é transmitida para uma seção maior A2 com força aplicada F2 como as pressões são iguais temos 1 2 1 2 F F P A A E assim a relação entre F1 e F2 passa a ser 2 2 1 1 A F F A Exemplo 1 Um veículo de 13300 N de peso é erguido em um posto de troca de óleo e um pequeno pistão exerce uma força em uma seção circular de 500 cm A pressão é transmitida por um líquido a um pistão de 150 cm de raio A pressão do ar para exercer essa força é de a 188 105 Pa b 188 104 Pa c 188 103 Pa d 188 102 Pa e 188 106 Pa Resolução 2 3 1 1 2 2 2 0050 13300 147778 148 10 0150 A F F N A π π A pressão do ar vai ser 3 5 1 2 1 148 10 188 10 0050 F P Pa A π Figura 3 Esquema de um macaco hidráulico Fonte DarbyshmrWikipedia Commons 11 Exemplo 2 Ao mergulharmos a uma profundidade de 500 m a pressão exercida no tímpano dos nosso ouvidos é de aproximadamente área do tímpano 1 cm2 densidade da água 100 x 103 kg m3 g98 ms2 a 1 x 104 Pa b 2 x 104 Pa c 3 x 104 Pa d 4 x 104 Pa e 5 x 104 Pa Resolução Pfundo Po 3 4 4 100 10 98 50 49 1 0 50 1 0 g h Pa ρ Exemplo 3 Uma comporta tem uma altura de 15 m e largura de 80 m Considerando que a pressão varia linearmente a força total exercida na parede é de g98 ms2 e densidade da água 1000 kgm3 a 882 x 108 N b 882 x 107 N c 196 x 106 N d 196 x 105 N e 882 x 104 N Resolução P g h g H y ρ ρ dF PdA g H y dy ρ ω 2 2 7 0 1 1 1000988015 882 10 2 2 H F PdA g H y dy g H N ρ ω ρ ω 12 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Medidas de Pressão Umas das informações fornecidas em um relatório meteorológico é a pressão barométrica que é a pressão atmosférica em torno do valor padrão fornecido Para se obter essa medida utilizase um barômetro comum inventado por Evangelista Torriccelli O barômetro de Torricelli era um simples artefato que consistia numa cuba preenchida por mercúrio líquido e com um tubo de cabeça para baixo emborcado nela A pressão na coluna de mercúrio dentro do tubo pode ser estimada sendo que na parte de cima fechada do tubo o espaço entre o topo da coluna e o final do tubo deverá estar em vácuo e portanto com pressão nula E da altura da coluna podemos estimar a pressão atmosférica 5 0 0 3 1013 10 0760 760 136 10 98 Hg Hg P P g h h mou mm g ρ ρ Um outro instrumento utilizado para medir a pressão de um gás contido em tubo em forma de U é o manômetro O manômetro é curvado para que o gás não escape pelo tudo aberto do outro lado e conhecendose a densidade do líquido que preenchemos o tubo e parte do balão podemos saber a pressão absoluta do gás 0 P P ρ g h Ou a pressão manométrica 0 P P ρ g h 13 Princípio de Arquimedes O conhecimento das propriedades dos fluidos em repouso já eram conhecidas desde a antiguidade Isso é natural pois há relatos de grandes frotas navais e para a construção das mesmas era necessário um bom conhecimento de hidrostática Na Grécia antiga Arquimedes era um destacado cientista que teve várias contribuições para a matemática física e engenharia E a ele devemos o conceito do empuxo ou força de flutuação Quando imergimos um corpo na água vemos que o mesmo pode afundar ou há casos em que ele fica boiando parcialmente submerso Sendo assim por equilíbrio deve haver uma força que se contraponha contra seu peso e esta força deve ser o empuxo E podese deduzir que a quantidade de líquido deslocada vezes a aceleração da gravidade é igual ao peso do fluido e igual ao empuxo Em outras palavras a magnitude da força de flutuação ou empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto Essa afirmação é o princípio de Arquimedes O empuxo pode ser compreendido como a diferença de pressões em um objeto na sua parte superior e inferior E Pb Pt A g h A g V fluido fluido ρ ρ Onde V é o volume do fluido deslocado pelo cubo Como ρfluidoV é a massa do fluido deslocado pelo objeto temos E M g Onde Mg é o peso do fluido deslocado pelo objeto Quando um objeto é totalmente submerso em um fluido o empuxo sempre será para cima E a força resultante será fluido fluido objeto objeto E P g V g V ρ ρ Mas o volume deslocado de líquido é igual ao volume do objeto portanto fluido objeto objeto objeto fluido objeto objeto E P g V g V g V ρ ρ ρ ρ 14 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica E aqui temos três situações a força resultante é para cima e o objeto retorna à superfície a força resultante é para baixo e o objeto afunda a força resultante é nula e o objeto permanece parado em equilíbrio Quando tivermos um objeto flutuando com uma parte submersa em equilíbrio teremos fluido objeto ρ ρ e as forças de empuxo e do peso do objeto se equilibram Agora os volumes do objeto e do fluido deslocado não são iguais mas E P 0 assim 0 fluido fluido objeto objeto g V g V ρ ρ fluido objeto objeto fluido V V ρ ρ A fração dos volumes é inversamente proporcional à razão das densidades Figura 7 Um objeto flutuando na superfície de um fluido sujeito a duas forças da gravidade Peso e Empuxo Como o objeto está em equilíbrio EP Exemplo 1 Um iceberg é uma grande ameaça à navegação pois boa parte dele está submersa Percentualmente esta fração é de densidade da água salgada 1030 kgm3 densidade do gelo 917 kgm3 a 95 b 89 c 78 d 50 e 20 Resolução 917 0890 89 1030 água gelo gelo água V f ou V ρ ρ fluido objeto ρ ρ fluido objeto ρ ρ fluido objeto ρ ρ 15 Exemplo 2 Uma bola de pingpongue tem 400 cm de diâmetro e densidade de 0064 gcm3 a força necessária para mantêla submersa na água é de a 0258 N b 0268 N c 0297 N d 0307 N e 0418 N Resolução 3 3 3 4 4 200 335103 3 3 Vbola r cm π π 3 100 0064 98 335103 10 0307383 0307 água bola E P g V N N ρ ρ Exemplo 3 Um cientista desenvolveu um barômetro de vinho de densidade de 984 kgm3 A altura h do vinho à pressão atmosférica vai ser de Patm1013x105 Pa a 155 m b 135 m c 125 m d 115 m e 105 m Resolução 5 0 1013 10 105048 1 05 984 98 Vinho P h mou m g ρ 16 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Exemplo 4 Para que um balão preenchido com Hélio suba 400 kg de carga até uma altura de 4000 m devese preenchêlo com um volume de Considere que a densidade do ar no solo seja 125 kgm3 e que a densidade do ar varie com altitude segundo a equação ρ ρ e 0 8000 z e que a densidade do Hélio seja 0180 kgm3 a 697 m3 b 695 m3 c 692 m3 d 687 m3 e 682 m3 Resolução Ao atingir 4000 m o balão está em equilíbrio e as forças de empuxo do ar e o peso do balão devem se cancelar Sendo assim 0 balão balão E P C E P C ar He V g V g M g ρ ρ Mas ρ ρ ar z e 0 8000 ρ ρ ρ 0 8000 8000 e z M z He V V M VPe He 0 Então a 4000 m V M e e z He ρ ρ 0 8000 4000 8000 400 1 25 0 180 691 8 692 3 3 m m 17 Fluidodinâmica Até o momento detemonos com fluidos em repouso Ao lançarmos nossa atenção aos fluidos em movimento podemos classificar o escoamento de um fluido de duas maneiras laminar onde as partículas constituintes seguissem um fluxo sem interferirem umas com as outras e um dado importante a velocidade das partículas do fluido passando em cada ponto é a mesma com o tempo Figura 8 Tipos de escoamento de um fluido Turbulento e desordenado ou Laminar e constante Fonte Adaptado de blognialbarkercom O outro tipo de escoamento é aquele em que após ser atingida uma velocidade crítica o fluxo deixa de ser ordenado e pequenos vórtices são formados e assim denominamos escoamento turbulento Uma grandeza importante na descrição de fluidos em movimento vai ser a viscosidade que retrata um certo grau de atrito interno ao fluido Esse atrito ou força viscosa é associada à resistência entre duas camadas adjacentes no fluido em relação ao seu movimento relativo isto é uma camada em relação à outra A viscosidade é responsável em transforma a energia cinética do fluido em energia interna Fluidos em geral são estruturas complexas e a sua descrição e compreensão não são completas Assim na Física certas considerações devem ser levadas em conta para que uma descrição das suas propriedades sejam razoáveis Essas considerações são aproximações que levam a um modelo de escoamento de fluido ideal que seriam 1 O fluido é não viscoso isto é o atrito interno é desprezado e um objeto movendo através de um fluido não estaria sujeito a forças viscosas 2 O escoamento é constante ou seja laminar e a velocidade em todos os pontos do fluido permanece constante 3 O fluido é incompressível ou seja de densidade constante 4 O fluido é irrotacional isto é não tem momento angular em nenhum ponto 18 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Consideremos um fluido ideal em um ducto de tamanho não uniforme Em um intervalo de tempo t o fluido em uma extremidade do ducto movese de 1 1 x v t se A1 é a área seccional do tubo nesta extremidade Então a massa do fluido contida e transportada vai ser 1 1 1 1 1 m A x A v t ρ ρ onde ρ é densidade constante do fluido ideal Figura 9 Esquema de escoamento num tubo com variações na sua vazão Analogamente na outra extremidade teremos para um mesmo intervalo de tempo a massa 2 2 2 m A v t ρ como o fluido é incompressivel e seu escoamento constante a massa que passa por uma extremidade deve ser igual à massa que passa pela outra extremidade isto é m1 m2 ou 1 1 2 2 1 1 2 2 Av t A v t Av A v constante ρ ρ Que é a equação de continuidade para fluidos Exemplo Uma cachoeira escoa com 600 m3s de água de uma queda de 100 m de largura A profundidade da água é de 200 m Assim sua velocidade é de a 3 ms b 2 ms c 1 ms d 6 ms e 03 ms Resolução A área de escoamento vai ser A 100 x 2 200 m2 A taxa de escoamento é de 600 m3s que é igual a A x v então 600 600 3 200 v m s A 19 A equação de Bernoulli Um fluido ao escoar através de uma região em que há variações de velocidade e altitude em relação ao solo terá variações na sua pressão conforme as mudanças ocorrerem O físico suíço Daniel Bernoulli foi o primeiro a considerar essa situação e em 1738 desenvolveu um equacionamento que estipulava a relação entre a velocidade de um fluido sua pressão e altitude elevação Para tanto ele considerou um segmento de um escoamento de um fluido ideal num intervalo t conforme a figura 9 As duas seções mostradas e destacadas azul claro nos permite calcular o trabalho realizado pelas forças F1 e F2 que são respectivamente iguais a P1A1 e P2A2 e assim 1 1 1 1 1 1 1 W F x P A x PV e 2 2 2 2 2 2 2 W F x P A x PV E a variação de trabalho vai ser 1 2 W P P V Essa variação de trabalho será parte devido à variação de energia cinética e parte devido à variação de energia potencial 2 2 2 1 1 2 K m v v 2 1 U mg y y e lembrando que podemos escrever que m ρV e que W K U 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 P P V V v v V y y ρ ρ isolando os termos referentes à seção 1 e à seção 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 P v gy P v gy ρ ρ ρ ρ E assim aplicando a conservação de energia total temos 2 1 2 P v gy constante ρ ρ Que é a equação de Bernoulli 20 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Exemplo 1 Um tubo de Venturi é aquele em que o fluxo de um fluido é medido A velocidade da vazão no ponto 2 para uma diferença de pressão P1 P2 é dada por a b c d e Resolução 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 P v gy P v gy ρ ρ ρ ρ 2 2 1 2 1 A v A v substituindo 2 em 1 P A A P v 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ρ ρ v 1 2 2 1 2 2 1 2 2 P P v A A A ρ 1 2 2 2 2 2 1 2 2 P P v A A A ρ 1 2 2 1 2 2 1 2 2 P P v A A A ρ 1 2 2 1 2 2 1 2 P P v A A A ρ 2 1 2 2 1 2 2 1 2 P P v A A A ρ 2 1 2 2 1 2 2 1 2 P P v A A A ρ 21 Exemplo 2 Um tanque fechado contendo um líquido de densidade ρ possui um furo na sua lateral a uma distância y1 do fundo do tanque O furo está aberto à atmosfera e seu diâmetro é bem menor que o diâmetro do tanque O ar acima do nível do líquido está a uma pressão P2 A velocidade que o líquido escoa quando deixa o furo e o nível dele estiver a uma distância h é de a b c d e Resolução Como o diâmetro do tanque é bem maior que o do furo temos que o topo do líquido está praticamente em repouso e assim v2 0 aplicando à equação de Bernoulli 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 P v gy P v gy ρ ρ ρ ρ 2 1 1 1 2 2 1 2 P v gy P gy ρ ρ ρ como 2 1 y y h v P P gh 1 2 1 2 2 ρ v P P gh 1 2 1 2 ρ v P P gh 1 1 2 2 2 ρ v P P gh 1 2 1 2 2 ρ v P P gh 1 2 1 2 ρ v P P gh 1 2 1 2 2 ρ 22 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Aplicações da Fluidodinâmica A fluidodinâmica apresenta muitas aplicações das quais destacamos a aerodinâmica que é responsável pelo estudos aeronáuticos Figura 10 Esquema das quatro forças da aerodinâmica atuando na asa de um avião Fonte Wikipedia Commons Para fazer um avião voar deve ser gerada uma força para compensar o peso Essa força é chamada sustentação e é gerada pelo movimento do avião através do ar A sustentação é uma força aerodinâmica aero significa ar e dinâmica significa movimento A sustentação é perpendicular em ângulo reto à direção do escoamento incidente vento O escoamento incidente e o sentidodireção do voo não são necessariamente os mesmos sobretudo em manobras Assim como acontece com o peso cada parte do avião contribui para uma única força de sustentação mas a maior parte da sustentação do avião é gerada pelas asas À medida que o avião se move através do ar há uma outra força aerodinâmica presente O ar resiste ao movimento do avião e essa força de resistência é denominada arrasto ou atrito Tal como a sustentação há muitos fatores que afetam a magnitude da força de arrasto como a forma do avião a viscosidade do ar e a velocidade E tal como acontece com a sustentação consideramse usualmente todos os componentes individuais como se estivessem agregados num único valor de arrasto de todo o avião O sentido da força de arrasto é sempre oposto ao sentido do voo e o arrasto atua através do centro de pressão Outra aplicação até então inusitada é a utilização da fluidodinâmica nos esportes como o tênis voleibol futebol beisebol etc Todos envolvem objetos esféricos ou esferoides bola de futebol americano que ao se moverem no ar ou seja num fluido vão sofrer os mesmos efeitos de sustentação e arrasto 23 Figura 11 Força de arrasto atuando numa bola de futebol Fonte Wikipedia Commons Explore Sugerimos aos entusiastas do esporte consultarem o artigo A aerodinâmica da bola de futebol por CE Aguiar e G Rubini httpwwwufvbrdesfutebolartigosRevista Brasileira de Ensino de Físicapdf 24 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Material Complementar Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade veja os vídeos indicados e consulte a bibliografia indicada Vídeos httpwwwfundacaolemannorgbrkhanportuguescienciasf sicaf uidos httpswwwyoutubecomwatchv6Zm044M68w httprevistaescolaabrilcombrcienciaspraticapedagogicavideocienciasf uidospressaobolhasabao604739shtml Vídeo Curso Unicamp httpunivesptvcmaiscombrf sicaiif uidos Leituras Cursos Unicamp Física Geral II Fluidos httpmidiacmaiscombrassetsfileoriginal5e65aa10ea18e05c27b856de0beca8e62281d38fpdf 25 Referências ALONSO M Física um curso universitário 12a edição São Paulo Edgard Blucher 2011 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física gravitação ondas e termodinâmica 9ª Edição Rio de Janeiro LTC editora 2012 LANDULFO E Meio Ambiente Física São Paulo Editora Senac 2005 NUSSENZVEIG H M Curso de Física básica fluidos oscilações e ondas calor 4a ed São Paulo Edgard Blücher Ltda 2002 V SEARS ZEMANSKY Física II Termodinâmica e Ondas 12a Edição São Paulo Addison Wesley 2003 SERWAY R JEWETT Jr J W Princípios de Física Vol2 São Paulo THOMPSON Editora 2004 TIPLER PA Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 4a Ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos SA 2000 26 Unidade Hidrostática e Fluidodinâmica Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de França UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário