Condução de Calor - Lei de Fourier e Equação do Calor

1 CONDUÇÃO DE CALOR Prof Alysson Diógenes 2 OBJETIVOS Aprofundar o conhecimento da Lei de Fourier Relação com a geometria do domínio função gradiente Dependência física da Condutividade Térmica Apresentar a Equação do Calor 3 IMPORTÂNCIA DA CONDUÇÃO Sistema de refrigeração de processador de computador Fonte httpforumhardmobcombrshowthreadphpt207196 Forno para produção de vidro Fonte httpwwwfatorkcombrprodutoshtm Transmissão do calor gerado em equipamentos eletroeletrônicos para fora do equipamento Minimizar perdas de calor em processos industriais Ex produção de vidro cimento cerâmicos refino de petróleo siderurgia 4 DEFINIÇÃO Condução é o modo de transferência de calor em que há troca de energia devido a um gradiente de temperatura no corpo Ocorre pela transferência de energia devido à atividade molecular e atômica É um processo puramente difusivo que visa reestabelecer o equilíbrio térmico de meios postos em contato 5 O EXPERIMENTO DE FOURIER x A L Isolamento térmico Corpo de Prova Material condutor T1 T2 T1 T2 𝑞𝑥𝑇 𝑞𝑥 𝐴 𝑞𝑥 1 𝐿 𝑞𝑥 𝑘 𝑞𝑥𝑘𝐴 𝑇 𝐿 𝑞𝑥 lim 𝑥 0 𝑘𝐴 𝑇 𝑥 𝑘𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑥 6 O EXPERIMENTO DE FOURIER Unidimensional 1D Equação em termo de taxa Equação em termo de fluxo Tridimensional 3D Forma vetorial Componente do vetor e 𝑞𝑥𝑘𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑞 rsub over 𝑥 𝑘 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑞 rsub over 𝑥 𝑞 𝐴 𝑞 widevec left over widevec over widevec over widevec right 𝑘 𝑇 𝑘 𝑇 𝑥 𝑖 𝑇 𝑦 𝑗 𝑇 𝑧 𝑘 Conclusões 1 O calor se propaga na direção perpendicular às isotermas 2 2 Esta equação vale para isotrópico independente da direção 3 Não pode ser deduzida de princípios fundamentais Em vez disso é uma generalização de constatações físicas 4 Define a propriedade condutividade térmica Operador gradiente grad 7 DETERMINAÇÃO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE UM MATERIAL Normalmente determinada a partir da Lei de Fourier Em geral Depende do material da fase que o material se encontra e da temperatura Às vezes pode apresentar variação direcional ie materiais fibrosos 𝑘 𝑥𝑞 rsub over left right 𝑥 𝑇 𝑥 𝑘𝑠 ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠𝑘𝑙í 𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠𝑘𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 8 DETERMINAÇÃO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE UM MATERIAL Condutividade térmica de vários tipos de materiais Fonte Bergman T L Lavine A S Incropera F P DeWitt DP Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7th ed Hoboken John Wiley Sons p7172 2011 9 DETERMINAÇÃO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE UM MATERIAL Isolante térmico Material de teste Água Gelo Água quente entrando Água quente saindo 𝑚𝑒𝑇𝑒 𝑚𝑠𝑇 𝑠 q1 q3 q2 𝑇 𝑊 𝑇 𝑀 𝐿 Água Gelo 𝑥 𝑇 𝑇 𝑒 𝑇 𝑠 𝑇 𝑀 𝐴 Obs Na condução 1D em parede plana em regime permanente e sem geração o perfil de temperaturas é uma linha reta 𝑚𝑒𝑇𝑒 𝑚𝑠𝑇 𝑠 10 DETERMINAÇÃO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE UM MATERIAL Balanço de energia Para o circuito de água Para o material em estudo Igualando as equações e isolando 𝑄 𝑚𝑐𝑝𝑇 𝑚𝑐𝑝𝑇𝑒𝑇 𝑠 𝑞 𝑘𝐴𝑇 𝑊𝑇 𝑀 𝐿 𝑚𝑐𝑝 𝑇 𝑒𝑇 𝑠𝑘𝐴 𝑇 𝑀𝑇𝑊 𝐿 k 𝑚𝑐𝑝 𝐿𝑇 𝑒𝑇 𝑠 𝐴𝑇 𝑀𝑇 𝑊 11 OUTRAS PROPRIEDADES RELEVANTES Massa específica Quantidade de massa que determinada substância apresenta em certo volume Calor específico Quantidade de energia térmica necessária para uma substância variar sua temperatura Difusividade térmica Mede a capacidade de um material conduzir energia térmica em relação à sua capacidade de armazenála 𝜌 𝑘𝑔 𝑚3 𝑐𝑝 𝐽 𝑘𝑔 𝐾 𝛼 𝑘 𝜌 𝑐𝑝 𝑚2 𝑠 12 A EQUAÇÃO DO CALOR O objetivo principal da análise de condução é determinar o campo de temperatura em um meio resultante das condições impostas nas fronteiras Conhecido o campo de temperaturas podemos Encontrar e pela Lei de Fourier Estudar tensões térmicas no interior do meio Estudar compatibilidade de adesivos com as superfícies a serem unidas Otimizar a espessura de uma camada de material isolante 13 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS 𝑞𝑧 𝑞𝑥 𝑞𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑥 𝑧 𝑞𝑦 𝑞𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑔 𝐸 𝑎𝑟 Para uma base de tempo tomase Um volume de controle infinitesimal Volume infinitesimal em coordenadas retangulares Fonte Bergman T L Lavine A S Incropera F P DeWitt DP Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7th ed Hoboken John Wiley Sons p83 2011 14 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS Balanço de energia no volume de controle infinitesimal para um tempo 1 Termo Energia que entra 2 Termo Energia que sai 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑞 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑞𝑥 𝑥 𝑞𝑥 𝑥 Exemplo p a direção 𝑞𝑥 𝑥 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑞𝑥 𝑑𝑥 Isolando temos 𝑞𝑥 𝑑𝑥𝑞𝑥𝑞𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Para outras direções 𝑞𝑦 𝑑𝑦𝑞𝑦 𝑞 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑞𝑧 𝑑𝑧𝑞𝑧 𝑞𝑧 𝑧 𝑑𝑧 𝑞𝑥𝑞𝑦𝑞𝑧 𝑞𝑥𝑑𝑥𝑞𝑦 𝑑𝑦𝑞𝑧𝑑𝑧 15 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS 3 Termo Energia gerada no volume de controle 4 Termo Energia acumulada no volume de controle 𝐸𝑔 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Onde é a taxa na qual calor é gerado por unidade de volume 𝐸𝑎𝑟𝜌 𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 16 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS Combinando os termos Aplicando a Lei de Fourier e dividindo por temos a Equação do Calor em coordenadas cartesianas 𝑞𝑥𝑞𝑦𝑞𝑧 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝑞 y𝑑 y 𝑞z𝑑 z 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝜌 𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝐸 𝑒 𝐸 𝑠 𝐸 𝑔 𝐸 𝑎𝑟 𝑞𝑥𝑞𝑦𝑞𝑧 𝑞𝑥 𝑞𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 y 𝑞 y y 𝑑 y 𝑞z 𝑞z z 𝑑 z 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝜌 𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑞𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑞y y 𝑑 y 𝑞z z 𝑑 z 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝜌 𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑞𝑥𝑘𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑇 𝑥 𝑞 y𝑘𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑇 𝑦 𝑞z𝑘𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑇 𝑧 e 𝑥 𝑘 𝑇 𝑥 y 𝑘 𝑇 𝑦 z𝑘 𝑇 𝑧 𝑞𝜌 𝑐𝑝 𝑇 𝑡 ou 𝑘 𝑇 𝑞𝜌 𝑐𝑝 𝑇 𝑡 17 FORMAS SIMPLIFICADAS DA EQUAÇÃO DO CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS Dependendo da geometria do domínio e das condições de contorno não há solução analítica para a Equação do Calor em sua forma 3D Simplificação básica Unidimensional e em regime permanente 1Dp Simplificações adicionais Área de seção transversal constante Área e condutividade térmica constantes Área e condutividade térmica constantes e sem geração de calor Área variável constante e 𝑥 𝑘 𝑇 𝑥 𝑞0 Equação de Fourier 2 𝑇 𝑥2 𝑞 𝑘 0 Equação de Poisson 2 𝑇 𝑥2 0 Equação de Laplace 𝑥 𝐴 𝑇 𝑥 0 18 TRANSFERÊNCIA DE CALOR NUMÉRICA 2D em regime estacionário ou permanente ou seja não haverá alteração do perfil de temperaturas ao longo do tempo 19 EQUAÇÃO DO CALOR PARA CONDUÇÃO 2DP Equação de Laplace sem geração de calor Esta equação modela a transferência de calor por condução 2Dp É necessário domínio de cálculo duas condições de contorno cc para a direção x outras duas para a direção y É importante ter em mente que o vetor taxa de transferência de calor e fluxo de calor podem ser decompostos nas duas direções coordenadas 2𝑇 𝑥2 2𝑇 𝑦 20 𝑞𝑥𝑘 𝐴𝑥 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑞𝑦𝑘 𝐴𝑦 𝑑𝑇 𝑑𝑦 20 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS Muitas vezes a geometria do problema é mais complexa e as cc são tais que o perfil de temperaturas não é tão evidente Por essa razão na maioria dos problemas práticos métodos numéricos são usados para se conhecer o perfil de temperaturas e a taxa de transferência de calor Há vários métodos numéricos por exemplo Método de Elementos Finitos Método de Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos Método dos Elementos de Contorno etc Neste curso estudaremos o Método das Diferenças Finitas devido à sua simplicidade 21 2𝑇 𝑥2 2𝑇 𝑦 20 2𝑇 𝑥2𝑚𝑛 𝑇 𝑥𝑚 1 2 𝑛 𝑇 𝑥𝑚 1 2 𝑛 𝑥 𝑇 𝑥𝑚 1 2 𝑛 𝑇𝑚1𝑛𝑇 𝑚𝑛 𝑥 𝑇 𝑥𝑚 1 2 𝑛 𝑇 𝑚𝑛𝑇𝑚1 𝑛 𝑥 2𝑇 𝑥 2 𝑚𝑛 𝑇 𝑚1 𝑛2𝑇𝑚 𝑛𝑇 𝑚1𝑛 𝑥 2 Analisando na direção x De forma similar para a direção x 2𝑇 𝑦 2 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛12𝑇𝑚 𝑛𝑇 𝑚𝑛 1 𝑦 2 𝑇 𝑚𝑛1𝑇 𝑚𝑛 1𝑇𝑚1𝑛𝑇𝑚 1𝑛4𝑇 𝑚𝑛0 Combinando estes resultados na equação do calor e se fizermos Válida p um nó no interior do domínio E como as cc entram no problema Para cada caso específico há uma equação particular 22 4𝑇 𝑚𝑛𝑇 𝑚𝑛1𝑇 𝑚𝑛1𝑇𝑚1𝑛𝑇𝑚1𝑛 2 h 𝑥 𝑘 2𝑇 𝑚 𝑛 2𝑇 𝑚1𝑛𝑇𝑚 𝑛1𝑇𝑚 𝑛1 2h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 1 Nó interior Caso 3 Nó em uma superfície plana com convecção a ab Para obter a equação de diferenças finitas para uma superfície adiabática simetria adote ou igual a zero 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑇 h Tabela 42 Resumo das equações de diferenças finitas para os nós Configuração Equação das diferenças finitas para h 𝑥 𝑘 2𝑇 𝑚𝑛 𝑇𝑚1𝑛1 2 𝑇 𝑚𝑛1𝑇 𝑚𝑛1 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 2 Nó em uma superfície plana com convecção a 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑇 h h 𝑥 𝑘 2𝑇 𝑚𝑛 1 2 𝑇 𝑚1𝑛𝑇𝑚1𝑛𝑇 𝑚𝑛 1 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 4 Nó em uma superfície plana com convecção a 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑥 𝑦 𝑇 h 23 2 h 𝑥 𝑘 1𝑇 𝑚𝑛𝑇𝑚 𝑛1𝑇 𝑚1𝑛2 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 8 Nó no vértice externo com convecção 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑇 h h 𝑥 𝑘 2𝑇 𝑚𝑛 1 2 𝑇 𝑚1𝑛𝑇𝑚1𝑛𝑇 𝑚𝑛1 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 5 Nó em uma superfície plana com convecção a 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑥 𝑦 𝑇 h h 𝑥 𝑘 1𝑇𝑚 𝑛1 2 𝑇 𝑚𝑛1𝑇 𝑚1 𝑛 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 6 Nó no vértice externo com convecção 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑇 h h 𝑥 𝑘 1𝑇𝑚 𝑛1 2 𝑇 𝑚𝑛 1𝑇𝑚1𝑛 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 7 Nó no vértice externo com convecção 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑥 𝑦 𝑇 h h 𝑥 𝑘 1𝑇𝑚 𝑛1 2 𝑇 𝑚𝑛1𝑇 𝑚1𝑛 h 𝑥 𝑘 𝑇 Caso 9 Nó no vértice externo com convecção 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑥 𝑦 𝑇 h ab Para obter a equação de diferenças finitas para uma superfície adiabática simetria adote ou igual a zero Tabela 42 Continuação 24 Caso 11 Nó no vértice interno com convecção 𝑦 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 x 𝑇 h Caso 12 Nó no vértice interno com convecção 𝑦 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 x 𝑇 h Caso 10 Nó em um vértice interno com convecção 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑇 h Caso 13 Nó no vértice interno com convecção 𝑥 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 y 𝑇 h ab Para obter a equação de diferenças finitas para uma superfície adiabática simetria adote ou igual a zero Tabela 42 Continuação 25 4𝑇 𝑚𝑛 2𝑇𝑚1𝑛𝑇𝑚𝑛1𝑇𝑚𝑛12𝑞 over 𝑥 𝑘 Caso 14 Nó em uma superfície plana com fluxo de calor uniforme b 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑞 2𝑇𝑚 𝑛 1 2 𝑇𝑚 1𝑛𝑇𝑚1𝑛𝑇𝑚 𝑛1𝑞 over 𝑥 𝑘 Caso 15 Nó em uma superfície plana com fluxo de calor uniforme b 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑥 𝑦 𝑞 2𝑇𝑚 𝑛 1 2 𝑇𝑚 1𝑛𝑇𝑚1𝑛𝑇𝑚 𝑛1𝑞 over 𝑥 𝑘 Caso 16 Nó em uma superfície plana com fluxo de calor uniforme b 𝑚𝑛 𝑚1𝑛 𝑚1𝑛 𝑚𝑛1 𝑥 𝑦 𝑞 2𝑇𝑚 𝑛 1 2 𝑇𝑚 𝑛1𝑇𝑚 𝑛1𝑇𝑚1𝑛𝑞 over 𝑥 𝑘 Caso 17 Nó em uma superfície plana com fluxo de calor uniforme b 𝑚𝑛 𝑚𝑛1 𝑚𝑛1 𝑚1𝑛 𝑦 𝑥 𝑞 ab Para obter a equação de diferenças finitas para uma superfície adiabática simetria adote ou igual a zero Tabela 42 Continuação Fonte Adaptado e ampliado de Incropera F P DeWitt DP Fundamentos de Transferência de Calor e Massa 5th ed LTC Rio de Janeiro p 140 à 141 26 Para habilitar os cálculos iterativos no Programa Excell fazer Caminho 1 Opções Fórmulas Habilitar cálculo iterativo Caminho 2 Arquivo Opções Fórmulas Habilitar cálculo iterativo Para usar a opção de colorir automaticamente as células fazer Formatação Condicional Escalas de Cor Regra de escala de cor Escolher uma escala tricolor por valor mais baixo e deixar cor azul para valores intermediários usar percentil e cor amarela para valores mais elevados usar a cor vermelha Resp Temperatura máxima 1689 K na extremidade superior esquerda do domínio de cálculo tal como foi manipulado para os cálculos por Diferenças Finitas