Equações Diferenciais de Primeira Ordem - Modelagem Matemática IV

Modelagem Matemática IV Prof Alysson Diógenes Equações diferenciais de Primeira Ordem Se a função f na Eq a seguir depender linearmente da variáv el dependente y então a Eq é dita uma equação linear de primeira ordem dy dt fyt Na aula anterior discutimos um tipo restrito de equações lineares de primeira ordem as que têm coeficientes constantes Um exemplo típico é dy dt bay em que a e b são constantes dadas Lembrese de que uma equação dessa forma descreve o movimento de um objeto em queda na atmosfera Agora consideraremos a equação linear de primeira ordem geral obtida substituindo se os coeficientes a e b na Equação por funções arbitrárias de t Em geral escreveremos a equação diferencial linear de primeira ordem geral na forma padrão dy d t p t ygt em que p e g são funções dadas da variável independente t Algumas vezes é mais conveniente escrever a equação na forma Pt dy d t Q t yGt na qual P Q e G são dadas Em alguns casos é possível resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem imediatamente por integração como no exemplo a seguir Exemplo 1 Resolva a equação diferencial 4 t 2 dy d t 2ty4t Solução A expressão à esquerda do sinal de igualdade na Equação é uma combinação linear de dy dt e y uma combinação que também aparece em cálculo na regra para a derivada de um produto De fato 4 t 2 dy d t 2ty d d t 4 t 2 y Assim d d t 4 t 2 y 4t E por mais que y é desconhecido eu posso integrar essa função 4 t 2 y 2 t 2 C Isolando y y 2 t 2 C 4 t 2 Infelizmente a maioria das equações diferenciais lineares de primeira ordem não pode ser resolvida como no Exemplo 1 já que as expressões à esquerda do sinal de igualdade nem sempre são iguais à derivada do produto de y com outra função Entretanto Leibniz descobriu que se a equação diferencial for multiplicada por determinada função μ t então a equação transformase em uma que é imediatamente integrável usandose a regra para a derivada de um produto exatamente como no Exemplo 1 A função μ t é chamada de fator integrante e nossa tarefa principal é determinar como encontrála para uma equação dada Mostraremos primeiramente como esse método funciona em um exemplo e depois como funciona para a equação diferencial geral de primeira ordem na forma padrão Exemplo 2 Encontre a solução geral da equação diferencial dy d t 1 2 y 1 2 e t3 Desenhe o grá fi co de algumas curvas integrais representativas ou seja desenhe o grá fi co de soluções correspondentes a diversos valores da constante arbitrária c Encontre também a solução particular cujo grá fi co contém o ponto 0 1 Solução O primeiro passo é multiplicar a Eq 9 por uma função μ t ainda a determinar assim μ t dy d t 1 2 μ t y 1 2 μ t e t3 O problema agora é se podemos escolher μ t de tal modo que a expressão à esquerda do sinal de igualdade na Eq 10 seja a derivada do produto μty Para qualquer função diferenciável μt temos d dt μ t y μ t dy d t d μ t d t y Portanto a expressão à esquerda do sinal de igualdade na Eq 10 e a expressão à direita d o sinal de igualdade na Eq anterior serão idênticas se escolhermos μ t satisfazendo d μ t d t 1 2 μ t Nossa busca por um fator integrante terá sucesso se pudermos e ncontrar uma solução da Eq anterior Talvez você possa ident ifi car imediatamente uma função que satisfaz a Eq que função bem conhecida do cálculo tem derivada igual à metade da função original De maneira mais sistemática escreva a Eq como 1 μt d μ t d t 1 2 Ou d μ t μ t dt 2 Integrando ln μ t t 2 C Isolando μ t μ t C e t2 A função μ t é um fator integrante para a Eq inicial Como não precisamos do fator integrante mais geral possível escolheremos c igual a um na Equação e usaremos μ t e t2 Vamos voltar à Eq inicial e multiplicála pelo fator integrante e t2 para obter e t2 dy d t e t2 2 y 1 2 e t2 e t3 Ou e t2 dy d t e t2 2 y 1 2 e 56 De modo que arranjando a equação temos d dt e t2 y 1 2 e 5 t 6 Integrando e t2 y 3 5 e 5t 6 C Isolando y y 3 5 e t3 C e t2 Substituindo o ponto 01 ou seja t0 e y1 1 3 5 e 03 C e 0 2 C 2 5 A solução então é y 3 5 e t3 2 5 e t2 E a solução gráfica é Exercício para entrega na próxima aula Generalize a resolução anterior e aplique na solução de um problema