Exercicios Resolvidos - Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem Nao Homogeneas

Modelagem Matemática IV Prof Alysson Diógenes Exercícios de equações diferenciais de 22ª ordem não homogêneas Valor 10 ponto Encontre a solução analítica dos problemas a seguir Faça upload da solução manuscrita até o dia 23112022 𝑦 2𝑦 3𝑦 3𝑒2𝑡 𝑦 𝑦 2𝑦 2𝑡 4𝑡2 𝑦 𝑦 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 y 2y 3y 3e2t Solução da Homogênea y 2y 3y 0 λ2 2λ 30 λ 2 4 12 2 2 4 2 3 1 yht Ae3t Bet AB ℝ Solução Particular Vamos buscar uma solução particular do tipo yp Ke2t yp 2Ke2t yp 4Ke2t 4Ke2t 4Ke2t 3Ke2t 3e2t 3Ke2t 3e2t 0 e2t3 3K 0 K 1 Logo ypt e2t Assim temos a seguinte solução yt yht ypt yt Ae3t Bet e2t AB ℝ 2 y y 2y 2t 4t2 Solução da Homogênea y y 2y 0 λ2 λ 2 0 λ 1 1 8 2 1 3 2 2 1 yht Ae2t Bet AB ℝ Solução Particular Vamos procurar uma solução do tipo ypt a t2 b t c ypt 2 a t b ypt 2 a ypt ypt 2 ypt 2t 4t2 2a 2a t b 2a t2 2 b t 2 c 2t 4 t2 t24 2a t2b 2a 2 2a 2c b 0 4 2a 0 a 2 2b 2a 2 0 b 3 2a 2c b 0 c 72 Logo ypt 2 t2 3 t 72 Assim temos a seguinte solução geral yt yht ypt yt Ae2t Bet 2 t2 3 t 72 AB ℝ 3 y y 3 sin2t t cos2t Solução da Homogênea y y 0 λ² 1 0 λ j yht A sint B cost A B ℝ Solução Particular Vamos procurar uma solução do tipo ypt A sin2t B t cos2t ypt 2A cos2t Bcos2t 2t sin 2t ypt 4 A sin 2t B 2 sin 2t 2 sin 2t 4 cos 2t t ypt sin2t4A 4B 4 B t cos 2t ypt ypt 3 sin 2t t cos 2t sin2t 4A 4B 4 B t cos 2t A sin 2t B t cos 2t sin 2t 3A 4B 3 B cos 2t 3 sin 2t t cos 2t sin 2t 3A 4B 3 t cos2t 3B 1 0 3 A 4 B 3 0 3 B 1 0 B 13 A 1 43 B 99 49 59 A Logo ypt 59 sin 2t 13 t cos2t Assim tomos a seguinte Solução Geral yt yht ypt yt A sint B cost 59 sin2t 13 t cos2t A B ℝ