Equações Diferenciais de Segunda Ordem Não Homogêneas - Método dos Coeficientes Indeterminados

Modelagem Matemática IV Prof Alysson Diógenes Equações Diferenciais de Segunda Ordem Até o bimestre passado foi resolvido problemas de equações diferenciais de segunda ordem homogêneas ou seja quando a equação diferencial se iguala a zero Existe um conjunto de equações porém que são chamadas de não homogêneas Essas equações são escritas na forma y p t y q t ygt Note que para cada equação não homogênea existe uma equação homogênea associada que é para quando g t 0 que é um caso particular da equação original e muitas vezes a solução da equação homogênea serve de base para a solução da equação geral A solução ge ral da equação não homogênea pode ser escrita na forma y Φ t c 1 y 1 t c 2 y 2 t Y t em que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada c 1 e c 2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução da equação não homogênea Em outras palavras a solução estabelece um procedimento P ara resolver a equação não homogênea precisamos fazer o seguinte Encontrar a solução geral c 1 y 1 t c 2 y 2 t da equação homogênea associada Esta solução é chamada muitas vezes de solução complementar e pode ser denotada por y c t Encontrar uma única solução Yt da equação não homogênea Referimonos a essa solução muitas vezes como uma solução particular Somar as duas funções encontradas nas etapas 1 e 2 Já discutimos como encontrar y c t pelo menos quando a equação homog ênea tem coeficientes constantes Portanto no restante desta aula focaremos nossa atenção em encontrar uma solução particular Yt da equação diferencial linear não homogênea Método dos Coeficientes Indeterminados O método dos coeficientes indeterminados requer uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular Yt mas com os coeficientes não especificados Substituímos então a expressão hipotética na equ ação diferencial não homogênea e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita Se tivermos sucesso teremos encontrado uma sol ução da equação diferencial e poderemos usála como a solução particular Yt Se não pudermos determinar os coeficientes então não existirá solução da forma que supusemos Neste caso temos que modificar a hipótese inicial e tentar novamente A maior vantagem do método dos coeficientes indeterminados é a facilidade de sua execução uma vez feita a hipótese sobre a forma de Yt Sua maior limitação é que é útil principalmente para equações para as quais é fácil escrever antecipadamente a forma correta da solução particular Por essa razão este método só é usado em geral para problemas nos quais a equação homogênea tem coeficientes constantes e o termo não homogêneo pertence a uma classe relativamente pequena de funções Em particular consideramos apenas termos não homogêneos consistindo em polinômios funções exponenciais senos e cossenos Apesar dessa limitação o método dos coeficientes indeterminados é útil para resolver muitos problemas que têm aplicações importantes No entanto os detalhes dos cálculos podem ser bastante tediosos e um sistema de álgebra computacional pode ser muito útil nas aplicações práticas Ilustraremos o método dos coeficientes indeterminados por meio de diversos exemplos e depois resumiremos algumas regras para usálo Exemplo 1 Encontre uma solução particular de y 3 y 4y 3 e 2t Solução Procuramos uma função Y tal que a combinação yt 3yt 4yt seja igual a 3e 2t Como uma função exponencial se reproduz pela diferenciação a maneira mais plausível de obter o resultado desejado é supor que y t é algum múltiplo de e 2t de tal forma que Y t A e 2t em que o coefi ciente A ainda precisa ser determinado Para encontrar A vamos calcular as duas primeiras derivadas de Y Y t 2A e 2t e Y t 4A e 2t e substituir y y e y na equaç ão diferencial não homogênea por Y Y e Y respectivamente Obtemos Y 3 Y 4Y3 e 2t 4A6A4A e 2t 3 e 2t Logo A 1 2 Assim a solução é y t 1 2 e 2t Exemplo 2 Encontre uma solução particular de y 3 y 4y 2sent Solução Por analogia com o Exemplo 1 vamos supor primeiro que Y t Asent em que A é uma constante a ser determinada Substituindo obtemos Y 3 Y 4Y2sent As derivadas são Y Asent Y Acost Asen t 3Acos t 4Asen t 2sent ou movendo todos os termos para o lado esquerdo da equação e juntando os termos envolvendo sen t e cos t chegamos a 25A sen t 3Acos t 0 Queremos que essa equação seja válida para todo t Então ela tem que ser válida em dois pontos especí fi cos como t 0 e t π2 Nesses pontos a equação se reduz a 3A 0 e 2 5A 0 respectivamente Essas condições contraditórias signi fi cam que não existe escolha da constante A que torne a equação válida para t 0 e t π2 muito menos para todo t Podemos concluir então que nossa hipótese sobre Yt não foi adequada A aparição de um termo em cosseno na equação sugere que modi fi quemos nossa hipótese original incluindo um termo em cosseno em Yt ou seja Y t Asen t Bcost em que A e B são constantes a serem determinadas Logo Y Asen t Bcost Y Acos t Bsent Substituindo Y 3 Y 4Y2sent Asen t Bcos t 3 Acos t Bsen t 4 Asen t Bcos t 2sen t Agrupando os termos A 3B4A sen t B3A4B cos t2sent Assim 5A3B2 3A5B0 Logo A 5 17 B 3 17 Por fim a solução geral é Y t 5 17 sen t 3 17 cost O método ilustrado nos exemplos precedentes também poderá ser usado quando a expressão à direita do sinal de igualdade for um polinômio Assim para encontrar uma solução particular de y 3 y 4y 4 t 2 1 supomos inicialmente que Yt é um polinômio de mesmo grau que o termo não homogêneo ou seja Yt At 2 Bt C Para resumir nossas conclusões até agora se o termo não homogêneo gt na equação diferencial for uma função exponencial e αt suponha que Yt é proporcional a essa mesma função exponencial se gt for igual a sen βt ou a cosβt suponha que Yt é uma combinação linear de sen βt e cosβt se gt for um polinômio de grau n suponha que Yt é um polinômio de grau n O mesmo princípio se estende ao caso em que gt é um produto de quaisquer dois ou três desses tipos de funções