Filtros Digitais FIR: Guia Completo sobre Projeto e Aplicações

Filtros digitais Introdução Para que serve um filtro Um filtro elétrico serve para separar o conteúdo espectral de um sinal elétrico Podemos eliminar faixas de frequência de um sinal por meio de filtragem Podemos enfatizar faixas de frequência de um sinal por meio de filtragem Filtros digitais 3 Exemplo Filtragem de áudio Filtros digitais 4 Filtro passaalta Filtros digitais 5 Filtros digitais Filtros digitais Filtros digitais tarefa21m O que significa projetar um filtro Projetar um filtro significa calcular os coeficientes da função de transferência para satisfazer uma determinada especificação que é descrita a partir de uma ponderação técnica Por exemplo desejase projetar um filtro que elimine uma interferência de 60Hz de um sinal de eletrocardiograma Filtros digitais 9 No caso de filtros digitais podemos utilizar estruturas recursivas filtros IIR ou estruturas nãorecursivas FIR O projeto destes dois tipos de filtro é feito de forma diferente devido às propriedades diferentes que eles apresentam A seguir nesta apresentação falaremos sobre o projeto de filtros FIR Filtros digitais 10 Filtros FIR Por que usálo Filtros FIR xn h0 h1 hM 1 hM yn 13 Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line xn Diagrama de blocos e equação diferença T T T T T c0 c1 c2 c3 cN2 cN1 cN xn1 xn2 xn3 xnN xnN1 xnN2 c0 xn c1 xn1 c2 xn2 c3 xn3 cN2 x nN2 cN1xnN1 cNxnN yn c0 xn c1 xn1 c2 xn2 cN1 xnN1 cN xnN 𝑦 𝑛 𝑖0 𝑁 𝑐𝑖 𝑥𝑛 𝑖 1º atraso 2º atraso 3º atraso N1º atraso Nº atraso N2º atraso Os coeficientes são a própria resposta ao impulso unitário 14 Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line Exemplo 2 Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line Diagrama de blocos e função de transferência yn c0 x n c1 x n1 c2 x n2 cN1 x nN1 cN xnN 𝑌 𝑧 𝑐0𝑋 𝑧 𝑐1𝑧1𝑋 𝑧 𝑐2𝑧2𝑋 𝑧 𝑐𝑁𝑧𝑁𝑋 𝑧 𝑌 𝑧 𝑐0 𝑐1𝑧1 𝑐2𝑧2 𝑐𝑁𝑧𝑁 𝑋 𝑧 H 𝑧 𝑐0 𝑐1𝑧1 𝑐2𝑧2 𝑐𝑁𝑧𝑁 H 𝑧 𝑐0𝑧𝑁𝑐1𝑧𝑁1𝑐2𝑧𝑁2 𝑐𝑁 𝑧𝑁 todos os pólos na origem filtro FIR é sempre estável 𝐻 𝑧 𝑖0 𝑁 𝑐𝑖 𝑧𝑖 𝑖0 𝑁 𝑐𝑁𝑖 𝑧𝑁𝑖 𝑧𝑁 𝑧𝑁 0 N raízes em z 0 Os filtros nãorecursivos quando projetados corretamente apresentam uma propriedade muito importante para sistemas sensíveis à fase dos sinais Eles podem ser projetados para apresentarem um atraso de grupo constante Considere que a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é Hjω um numero complexo cujo valor depende de ω Usando a fórmula de Euler podemos escrever 𝐻 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑒𝑗Θ𝜔 O atraso de grupo é definido como 𝐴𝐺 𝑑 Θ𝜔 𝑑𝜔 Filtros FIR 15 Filtros FIR SerieFourierdelaydemonstrationm 16 Modelos Matemáticos de Canais de Comunicação Canal ideal Sistema linear invariante no tempo Hjω xt yt Kxtτ0 𝐻𝑗𝜔 𝑌𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 𝐾𝑒𝑗𝜔𝜏0 𝜃𝜔 𝜔𝜏0 𝜏𝑔 𝑑𝜃𝜔 𝑑𝜔 𝜏0 Fase linear com a frequência Atraso de grupo constante Um canal ideal sem distorção deve ter um ganho constante e uma fase linear com a a frequência Filtros FIR Um filtro causal e não recursivo pode ser caracterizado pela equação Sua função de transferência pode ser obtida como O atraso de grupo é definido como 𝝉𝒈 𝒅𝜽𝝎 𝒅𝝎 18 Filtros FIR Para que o atraso de grupo seja constante a fase deve ser linear τ constante 19 Filtros FIR 𝝉 𝟏 𝟐 𝑵 𝟏 𝑻 𝒉 𝒏 𝒉 𝑵 𝒏 𝟏 𝒏 𝟎 𝟏 𝟐 𝑵 𝟏 Filtros FIR Center of symmetry N10 Center of symmetry N11 21 Filtros FIR Outra solução possível 𝝉 𝟏 𝟐 𝑵 𝟏 𝑻 𝒉 𝒏 𝒉 𝑵 𝒏 𝟏 𝒏 𝟎 𝟏 𝟐 𝑵 𝟏 M N1 ordem do filtro 22 Filtros FIR Filtros FIR Como projetálo Projeto de um filtro FIR Especificação Série de Fourier Hz Janelamento Hjz Filtros FIR Passabaixa Passaalta Passafaixa Rejeitafaixa Filtros FIR Especificação ideal No eixo ωT π corresponde a fsa2 ωT radianos ωT radianos ωT radianos ωT radianos 25 Filtros FIR Exemplo Filtro passabaixa supondo que T1 s Como esta especificação é periódica com período igual a a 2π podemos aproximála por uma série de Fourier 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑛 ℎ𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 26 Filtros FIR Filtros FIR Filter type Magnitude response Hejω Impulse response hn Lowpass 1 for 0 ω ωc 0 for ωc ω π ωcπ for n 0 1πn sinωc n for n 0 Highpass 0 for 0 ω ωc 1 for ωc ω π 1 ωcπ for n 0 1πn sinωc n for n 0 Filtros FIR Filter type Magnitude response Hejω Impulse response hn Bandpass 0 for 0 ω ωc1 1 for ωc1 ω ωc2 0 for ωc2 ω π ωc2 ωc1π for n 0 1πn sinωc2 n sinωc1 n for n 0 Bandstop 1 for 0 ω ωc1 0 for ωc1 ω ωc2 1 for ωc2 ω π 1 ωc2 ωc1π for n 0 1πn sinωc1 n sinωc2 n for n 0 Filtro FIR Exemplo Projete um filtro FIR passaalta de acordo com a seguinte especificação de filtro ideal Hjf 1 fHz 4000 fs 20000 Hz 10000 ωT rad π 2π400020000 2π5 0 30 Filtros FIR A fórmula para os coeficientes do filtro passaalta Tabela 51 do livro do Diniz Silva e Netto é 0 n n n sen 1 n h 0 n 1 c c n hn 10 155991E17 9 0033636743 8 0023387232 7 0026728265 6 0050455115 5 155991E17 4 0075682673 3 0062365952 2 0093548928 1 0302730691 0 06 1 0302730691 2 0093548928 3 0062365952 4 0075682673 5 155991E17 6 0050455115 7 0026728265 8 0023387232 9 0033636743 10 155991E17 31 Filtros FIR 32 n hn 10 155991E17 9 0033636743 8 0023387232 7 0026728265 6 0050455115 5 155991E17 4 0075682673 3 0062365952 2 0093548928 1 0302730691 0 06 1 0302730691 2 0093548928 3 0062365952 4 0075682673 5 155991E17 6 0050455115 7 0026728265 8 0023387232 9 0033636743 10 155991E17 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 z h h 9 z h 8 z h7 z h 6 z h 5 z h 4 z 3 z h h 2 z h 1 z h 0 z 1 z h 2 z h 3 z h 4 z h 5 z h 6 z h 7 z h 8 z h 9 z h 10 z h z H 33 Filtros FIR h0 T 1cos 2 h T 2 cos 2 2h T 3 cos 3 h 2 T 4 cos 4 2 h T 5 cos 5 2h T 6 cos6 h 2 T 7 cos7 2 h T 8 cos 8 2 h T 9 cos 9 2 h T 10 cos10 2 h H e T j 1256637 0505143 02 0 02 04 06 08 1 12 000 063 126 188 251 314 Oscilações de Gibbs 34 Filtros FIR Janelas hjn hn wn Retangular wn 1 Hamming e Hann Hamming α 054 e Hann α 05 Blackman 35 Filtros FIR 02 0 02 04 06 08 1 12 000 063 126 188 251 314 Modulo Janela de Hamming 36 Filtros FIR Firpassaaltaexemplom 37 Filtros FIR Plotando a resposta clc all close all clear all coeficientes do filtro vão em um vetor h 0 0004223 0004743 00082858 002208 0 0053587637 00515645 008607155 029654393 06 029654393 008607155 00515645 0053587637 0 002208 00082858 0004743 0004223 0 calculo da resposta em frequencia Hretw freqzh plotw absHret legend Retangular 02 0 02 04 06 08 1 12 000 063 126 188 251 314 Hamming Retangular Comparação 38 Filtros FIR