Lajes de Concreto Armado - Notas de Aula UNESP Bauru

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP BauruSP Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 2117 ESTRUTURAS DE CONCRETO I LAJES DE CONCRETO ARMADO Prof Dr PAULO SÉRGIO BASTOS wwwpfebunespbrpbastos BauruSP Out2023 APRESENTAÇÃO Este texto tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2117 Estruturas de Concreto I do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP O texto apresentado está conforme as novas prescrições contidas na NBR 61182023 Projeto de estruturas de concreto para o projeto e dimensionamento dos elementos estruturais de concreto O texto apresenta o estudo das lajes maciças das lajes nervuradas e lajes préfabricadas Os esforços nas lajes maciças são determinados pela Teoria das Placas Críticas e sugestões serão bemvindas SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 2 DEFINIÇÃO 1 3 LAJE MACIÇA 1 31 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO 1 32 VÃO EFETIVO 2 33 VINCULAÇÃO NAS BORDAS 3 34 AÇÕES A CONSIDERAR 6 341 Peso Próprio 6 342 Contrapiso 7 343 Revestimento Inferior da Laje 7 344 Piso 7 345 Parede 7 3451 Laje Armada em Duas Direções 9 3452 Laje Armada em Uma Direção 9 346 Ações Variáveis 10 35 ESPESSURA MÍNIMA 11 36 COBRIMENTO MÍNIMO 12 37 ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE 14 38 MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES 14 381 Laje Armada em Uma Direção 15 382 Laje Armada em Duas Direções 17 383 Compatibilização dos Momentos Fletores 18 384 Momentos Volventes 19 39 REAÇÕES DE APOIO 20 310 FLECHA 21 3101 Verificação do Estádio 22 3102 Flecha Imediata 23 3103 Flecha Diferida no Tempo 24 3104 Flechas Máximas Admitidas 25 3105 Flecha Imediata 27 31051 Laje Armada em Duas Direções 27 31052 Laje Armada em Uma Direção 28 311 DIMENSIONAMENTO 28 3111 Flexão 29 3112 Força Cortante 30 31121 Lajes sem Armadura para Força Cortante 30 31122 Lajes com Armadura para Força Cortante 31 312 DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 32 3121 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas 32 3122 Diâmetro Máximo 33 3123 Espaçamentos Máximo e Mínimo 33 3124 Bordas Livres e Aberturas 34 3125 Comprimento da Armadura Negativa nos Apoios com Continuidade de Lajes 35 3126 Comprimento da Armadura Positiva 36 3127 Armaduras Complementares 36 315 TABELAS DE ARMADURAS 37 316 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM UMA BORDA LIVRE 38 3161 Detalhamento das Armaduras 40 31611 Lajes com Três Bordas Apoiadas 40 31612 Lajes com Três Bordas Engastadas 41 3162 Exemplo Numérico de Aplicação 41 317 EXEMPLO NUMÉRICO DE CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS DE UMA EDIFICAÇÃO 43 3171 Vãos Efetivos e Vinculação nas Bordas 45 3172 PréDimensionamento da Altura das Lajes 45 3173 Cálculo das Ações Atuantes 47 3174 Reações de Apoio nas Vigas de Borda 49 3175 Momentos Fletores e Dimensionamento das Armaduras Longitudinais de Flexão 51 3176 Verificação de Flechas 55 31761 Flecha na Laje L2 55 31762 Flecha na Laje L1 57 31763 Flecha na Laje L4 59 3177 Verificação da Força Cortante 60 3178 Detalhamentos das Armaduras Longitudinais de Flexão 61 4 LAJES NERVURADAS 65 41 DEFINIÇÃO 65 42 TIPOS 67 43 CÁLCULO SIMPLIFICADO 68 44 AÇÕES 70 45 MOMENTOS FLETORES NOS APOIOS INTERMEDIÁRIOS 71 46 DIMENSIONAMENTO 71 461 Flexão nas Nervuras 72 462 Força Cortante 72 47 EXEMPLO 72 471 Laje em Cruz nervuras nas duas direções cc 65 cm 72 5 LAJES PRÉFABRICADAS 76 51 DEFINIÇÕES 76 52 LAJE TRELIÇA 77 521 Nervura Transversal 79 522 Armadura Complementar 80 523 Armadura de Distribuição 80 524 Parede Sobre Laje 80 525 Escolha da Laje 81 6 REFERÊNCIAS 82 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 1 1 INTRODUÇÃO Neste texto serão estudadas as lajes denominadas usualmente como maciças e as lajes nervuradas moldadas no local ou com partes préfabricadas1 As lajes maciças de forma retangular apoiadas sobre as quatro bordas são as lajes mais comuns nas estruturas correntes de Concreto Armado As lajes com uma e com duas bordas livres menos comuns na prática serão também estudadas O processo de cálculo das lajes maciças apresentado é aquele que foi desenvolvido no século passado onde os esforços solicitantes atuantes e as flechas são determinados segundo a Teoria das Placas desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade O cálculo é feito com auxílio de tabelas e pode ser desenvolvido manualmente sem auxílio de programas computacionais Tem o aval da NBR 611820232 e aplicação segura demonstrada por milhares de edificações já executadas 2 DEFINIÇÃO As lajes são classificadas como elementos de superfície planos e bidimensionais que são aqueles onde duas dimensões comprimento e largura são da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimensão a espessura As lajes são também chamadas placas Destinamse a receber a maioria das cargas aplicadas em uma edificação normalmente de pessoas móveis máquinas e equipamentos paredes veículos e os mais variados tipos de cargas que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte As cargas são comumente perpendiculares ao plano da laje e podem ser divididas em distribuídas na área distribuídas linearmente ou forças concentradas Embora menos comuns também podem ocorrer ações externas na forma de momentos fletores normalmente aplicados nas bordas das lajes As cargas são geralmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje mas eventualmente também podem ser transmitidas diretamente aos pilares quando são chamadas lajes lisas com ou sem capitel 3 LAJE MACIÇA Laje maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto contendo armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais e apoiada em vigas ou paredes ao longo das bordas Lajes com uma ou mais bordas livres são casos particulares de lajes maciças As lajes podem ser de Concreto Armado ou de Concreto Protendido e neste texto são apresentadas apenas as lajes maciças retangulares de Concreto Armado A laje lisa e a laje cogumelo são também lajes maciças de concreto porém nessas lajes as cargas e outras ações são transferidas diretamente aos pilares sem intermédio de apoios nas bordas Por uma questão de tradição no Brasil é costume chamar a laje apoiada nas bordas como laje maciça Nas pontes e edifícios de múltiplos pavimentos e em edificações de grande porte as lajes maciças são as mais comuns entre os diferentes tipos de laje existentes As lajes maciças de concreto com espessuras que normalmente variam de 8 a 15 cm são projetadas para os mais variados tipos de edificações como edifícios de múltiplos pavimentos residenciais comerciais etc muros de arrimo escadas reservatórios edificações de grande porte como escolas indústrias hospitais pontes e viadutos etc De modo geral não são aplicadas em edificações residenciais e outras de pequeno porte pois nesses tipos de edificação as lajes nervuradas préfabricadas apresentam vantagens nos aspectos custo e facilidade de construção 31 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO As lajes maciças podem ser classificadas segundo diferentes critérios como em relação à forma geométrica dos tipos de vínculos nos apoios quanto à direção etc As formas geométricas podem ter as mais variadas formas possíveis porém a forma retangular é a grande maioria dos casos da prática Hoje em dia com os avançados programas computacionais existentes as lajes podem ser facilmente calculadas e dimensionadas segundo quaisquer formas geométricas e carregamentos que tiverem Uma classificação muito importante das lajes maciças é aquela referente à direção ou direções da armadura principal Existem dois casos laje armada em uma direção ou laje armada em duas direções 1 As lajes préfabricadas são também chamadas lajes mistas 2 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 ABNT 2023 242p UNESPBauruSP Lajes de Concreto 2 a Laje armada em uma direção As lajes armadas em uma direção tem relação entre o lado maior e o lado menor superior a dois isto é 2 x y Eq 1 x vão menor Figura 1 y vão maior 1 m y x Figura 1 Vãos da laje retangular armada em uma direção Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão chamada direção principal Na outra direção chamada secundária os esforços solicitantes são muito menores e por isso são comumente desprezados nos cálculos Os esforços solicitantes e as flechas são calculados supondose a laje como uma viga com largura de 1 m segundo a direção principal da laje b Laje armada em duas direções em cruz Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são importantes segundo as duas direções principais da laje A relação entre os lados é menor que dois tal que 2 x y Eq 2 x lado menor Figura 2 y lado maior y x Figura 2 Vãos da laje retangular armada em duas direções 32 VÃO EFETIVO Os vãos efetivos das lajes nas direções principais NBR 6118 item 14624 considerando que os apoios são suficientemente rígidos na direção vertical devem ser calculados pela expressão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 3 2 1 o ef a a Eq 3 com h 30 t 2 a 1 1 e h 30 t 2 a 2 2 Eq 4 As dimensões o t1 t2 e h estão indicadas na Figura 3 1 0 t t2 h Figura 3 Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo das lajes 33 VINCULAÇÃO NAS BORDAS De modo geral são três os tipos de apoio das lajes paredes de alvenaria ou de concreto vigas e pilares de concreto Dentre eles as vigas de borda formam o tipo de apoio mais comum nas lajes das edificações Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes tornase necessário estabelecer os vínculos da laje com os apoios sejam eles pontuais como os pilares ou lineares como as vigas de borda Devido à complexidade do problema devem ser feitas algumas simplificações de modo a possibilitar o cálculo manual Os três tipos comuns de vínculo das lajes são o apoio simples o engaste perfeito e o engaste elástico Como as tabelas usuais para cálculo das lajes só admitem apoios simples engaste perfeito e apoios pontuais a vinculação nas bordas deve se resumir apenas a esses três tipos Com a utilização de programas computacionais é possível admitir também o engaste elástico A idealização teórica de apoio simples ou engaste perfeito nas lajes correntes das estruturas raramente ocorre na realidade No entanto segundo Cunha e Souza 1994 o erro cometido é pequeno não superando os 10 a bordas simplesmente apoiadas O apoio simples surge nas bordas onde não existe ou não se admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas O apoio pode ser uma parede de alvenaria ou uma viga de concreto No caso de vigas de concreto de dimensões correntes a rigidez da viga à torção é pequena de modo que a viga gira e deformase acompanhando as pequenas rotações da laje o que acaba garantindo a concepção teórica do apoio simples Figura 4 Cuidado especial há de se tomar na ligação de lajes com vigas de alta rigidez à torção Pode ser mais adequado engastar perfeitamente a laje na viga dispondose uma armadura geralmente negativa na ligação com a viga Os esforços de torção daí decorrentes devem ser obrigatoriamente considerados no projeto da viga de borda 50 20 10 Figura 4 Viga de borda como apoio simples para a laje UNESPBauruSP Lajes de Concreto 4 b engaste perfeito O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço como marquises varandas etc Figura 5 É considerado também nas bordas onde há continuidade entre duas lajes vizinhas Figura 5 Laje em balanço engastada na viga de apoio Quando duas lajes contínuas têm espessuras muito diferentes como mostrado na Figura 6 pode ser mais adequado considerar a laje de menor espessura L2 engastada na de maior espessura L1 mas a laje com maior espessura pode ser considerada apenas apoiada na borda comum as duas lajes L1 h1 h1 h2 h2 L2 Figura 6 Lajes adjacentes com espessuras muito diferentes No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda comum o critério simplificado para se considerar a vinculação é o seguinte Figura 7 se L 3 a 2 a laje L1 pode ser considerada com a borda engastada na laje L2 se L 3 a 2 a laje L1 fica com a borda simplesmente apoiada apoio simples Eq 5 Em qualquer dos casos a laje L2 tem a borda engastada na laje L1 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 5 L2 L1 a L Figura 7 Lajes parcialmente contínuas c engaste elástico No caso de apoios intermediários de lajes contínuas surgem momentos fletores negativos devido à continuidade das lajes A ponderação feita entre os diferentes valores dos momentos fletores que surgem nesses apoios conduz ao engastamento elástico Figura 8 No entanto para efeito de cálculo inicial dos momentos fletores ML1 e ML2 as lajes que apresentam continuidade devem ser consideradas perfeitamente engastadas nos apoios intermediários L1 L2 M M L1 L2 Figura 8 Engastamento elástico na continuidade das lajes decorrente dos momentos fletores negativos diferentes Conforme as tabelas de BARÉS que serão utilizadas neste texto ver tabelas nos anexos para cálculo das lajes maciças retangulares a convenção de vinculação é feita com diferentes estilos de linhas como mostrado na Figura 9 engaste perfeito apoio simples livre Figura 9 Convenção de estilo de linha para os vínculos engaste perfeito apoio simples e borda livre Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas das lajes retangulares as lajes recebem uma numeração de modo a diferenciar as combinações de vínculos A numeração mostrada na Figura 10 é a sugerida nas tabelas de Barés3 3 Em tabelas de cálculo de lajes de outros autores a numeração pode ser diferente da indicada por Barés UNESPBauruSP Lajes de Concreto 6 4A 1 2A 2B 3 4B 5A 5B 6 7 8 9 10 Figura 10 Numeração das lajes em função dos vínculos nas bordas de acordo com as tabelas de Barés 34 AÇÕES A CONSIDERAR As ações ou carregamentos a se considerar atuando nas lajes são os mais variados desde pessoas até móveis equipamentos fixos ou móveis paredes divisórias água solo etc As lajes recebem as cargas de utilização e as transmitem para os apoios geralmente vigas nas bordas Nos edifícios as lajes ainda atuam como diafragma rígido elemento de rigidez infinita no seu próprio plano distribuindo as forças horizontais do vento para os elementos da estrutura de contraventamento pórticos paredes núcleos de rigidez etc responsáveis por proporcionar a necessária Estabilidade Global aos edifícios Para determinação das ações atuantes nas lajes devese recorrer às normas sendo as principais a NBR 6118 a NBR 8681 e a NBR 6120 e devem ser cuidadosamente avaliadas No caso de cargas específicas não abordadas por normas brasileiras podese recorrer a normas estrangeiras à bibliografia especializada consulta aos fabricantes de equipamentos mecânicos e máquinas etc Nas lajes de edificações correntes geralmente as ações principais a serem consideradas são as ações permanentes g e as cargas variáveis q4 As principais ações permanentes diretas que devem ser determinadas são as seguintes 341 Peso Próprio O peso próprio da laje maciça é função da altura h e do peso específico conc do Concreto Armado igual a 25 kNm3 conforme a NBR 6118 O peso próprio de laje com altura constante é uniformemente distribuído na área da laje e para um metro quadrado de área pode ser calculado como Figura 11 4 As cargas variáveis q eram chamadas cargas acidentais na versão de 1980 da NBR 6120 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 7 gpp conc h 25 h Eq 6 gpp peso próprio da laje kNm2 h altura da laje m 1 m 1 m h Figura 11 Peso próprio calculado para 1 m2 de laje 342 Contrapiso A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das lajes recebe o nome de contrapiso ou argamassa de regularização A sua função é de nivelar e diminuir a rugosidade da laje preparandoa para receber o revestimento de piso final A espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada Recomendase adotar espessura não inferior a 3 cm A argamassa do contrapiso tem comumente o traço 13 em volume sendo considerado o peso específico contr de 21 kNm3 conforme a NBR 6120 Tabela 1 do item 53 A carga permanente do contrapiso é função da espessura e do contrapiso gcontr contr e 21 e Eq 7 gcontr carga permanente do contrapiso kNm2 e espessura do contrapiso m 343 Revestimento Inferior da Laje Na superfície inferior das lajes é padrão executar uma camada de revestimento de argamassa sobreposta à camada fina de chapisco Para essa argamassa menos rica em cimento podese considerar o peso específico rev de 19 kNm3 conforme a NBR 6120 Tabela 1 do item 53 De modo geral este revestimento tem pequena espessura mas recomendase adotar espessura não inferior a 15 ou 2 cm A carga permanente desse revestimento é grevinf rev e 19 e Eq 8 grevinf carga permanente do revestimento inferior kNm2 e espessura do revestimento m 344 Piso O piso é o revestimento final na superfície superior da laje assentado sobre a argamassa de regularização Para a sua correta quantificação é necessário definir o tipo ou material do qual o piso é composto o que normalmente é feito com auxílio do projeto arquitetônico que define o tipo de piso de cada ambiente da edificação Os pisos mais comuns são os de madeira de cerâmica carpetes ou forrações e de rochas como granito e mármore A Tabela 1 da NBR 6120 fornece os pesos específicos de diversos materiais valores estes que auxiliam no cálculo da carga de piso por metro quadrado de área de laje 345 Parede O modo de calcular a carga de parede sobre laje maciça depende do peso da parede e de se a laje é armada em uma ou em duas direções Para determinar o peso da parede é necessário conhecer o tipo da unidade de alvenaria que compõe a parede tijolo bloco etc o tipo e espessura do revestimento nas faces argamassa gesso etc e a largura e altura da parede A NBR 6120 auxilia no cálculo do peso da parede pois em sua Tabela 2 item 54 fornece o peso específico de paredes de alvenaria estrutural e de vedação com alguns tipos de unidade como bloco de concreto e bloco ou tijolo cerâmico e em função da espessura do revestimento das faces No caso particular de parede de vedação com bloco cerâmico vazado com furos horizontais e quando o peso específico da alvenaria alv Tabela 1 é dado em kNm2 o peso da parede é UNESPBauruSP Lajes de Concreto 8 Ppar alv h Eq 9 Ppar peso da parede kN h altura da parede m comprimento da parede m Tabela 1 Peso específico de alvenaria de vedação com blocos cerâmicos vazados com furos horizontais parte da Tabela 2 da NBR 61205 Alvenaria de Vedação Espessura nominal do elemento cm Peso específico kNm2 Espessura de revestimento por face cm 0 1 2 Bloco cerâmico vazado com furo horizontal NBR 152701 9 07 11 16 115 09 13 17 14 11 15 19 19 14 18 23 Nota na composição de pesos de alvenarias foi considerado o seguinte argamassa de assentamento vertical e horizontal de cal cimento e areia com 1 cm de espessura e peso específico de 19 kNm3 revestimento com peso específico médio de 19 kNm3 proporção de um meio bloco para cada três blocos inteiros sem preenchimento de vazios com graute etc Existe também a possibilidade de fazer o cálculo do peso da parede considerandose os pesos específicos aparentes dos componentes individuais blocos e argamassas de assentamento e de revestimento e conhecendose a geometria da parede largura dos blocos espessura das juntas de assentamento e espessura dos revestimentos das faces No item 53 a NBR 6120 fornece em sua Tabela 1 o peso específico aparente ap de diversos materiais de construção ver Tabela 2 Tabela 2 Peso específico aparente de materiais de construção parte da Tabela 1 da NBR 61206 Material Peso específico aparente ap kNm3 Blocos artificiais e pisos Blocos de concreto vazados função estrutural classes A e B NBR 6136 14 Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas função estrutural NBR 152701 12 Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças função estrutural NBR 152701 14 Blocos cerâmicos maciços 18 Blocos de concreto celular autoclavado Classe C25 NBR 13438 55 Blocos de vidro 9 Blocos sílicocalcáreos 20 Lajotas cerâmicas 18 Porcelanato 23 Terracota 21 Argamassas e concretos1 Argamassa de cal cimento e areia 19 Argamassa de cal 12 a 18 152 Argamassa de cimento e areia 19 a 23 212 Argamassa de gesso 12 a 18 152 Argamassa autonivelante 24 Concreto simples 24 Concreto armado 25 1 os pesos específicos de argamassas e concretos são válidos para o estado endurecido 2 Para os valores indicados por uma faixa de variação na falta de determinação experimental mais rigorosa podese considerar o valor médio entre parênteses 5 Na Tabela 2 da NBR 6120 constam também os pesos específicos de alvenarias estrutural e de vedação com outros tipos de blocos 6 Na Tabela 1 da NBR 6120 constam os pesos específicos aparentes de diversos outros materiais de construção como madeiras metais rochas naturais etc UNESPBauruSP Lajes de Concreto 9 Devido à ausência de pesos específicos como aqueles apresentados na Tabela 1 durante as décadas passadas foi comum calcular o peso da parede apenas com o peso específico aparente ap dado pela versão de 1980 da NBR 6120 de 13 kNm3 para blocos cerâmicos com furos horizontais sendo o peso da parede calculado como Ppar ap h e Eq 10 Ppar peso da parede kN7 h altura da parede m comprimento da parede m e espessura total final da parede m Por exemplo aplicando a Eq 10 para uma parede com bloco cerâmico com furos horizontais com espessura de 9 cm e argamassa de revestimento com 2 cm nas duas faces o peso de 1 m2 da parede é Ppar ap h e 13 009 004 169 kNm2 Este valor é muito próximo ao valor dado pela NBR 6120 160 kNm2 apresentado na Tabela 1 No entanto a mesma aproximação não ocorre para as demais espessuras do bloco 115 14 e 19 cm 3451 Laje Armada em Duas Direções Para as lajes armadas em duas direções considerase simplificadamente a carga peso total das paredes uniformemente distribuída na área da laje de forma que a carga na laje é o peso total das paredes Ppar dividido pela área da laje y x par laje par par P A P g Eq 11 3452 Laje Armada em Uma Direção Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados em função da disposição da parede sobre a laje Para o caso de parede com direção paralela à direção principal da laje direção do menor vão considerase simplificadamente a carga da parede distribuída uniformemente em uma área da laje adjacente à parede com largura de 23 x como mostrado na Figura 12 23 x x y I II I Figura 12 Parede paralela à direção principal da laje armada em uma direção A laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes Nas regiões I não ocorre a carga da parede que fica limitada apenas à região II Portanto dois cálculos de esforços solicitantes necessitam ser feitos para as regiões I e II A carga uniformemente distribuída devida à parede na faixa 23 x é 2 x par x x par par 2 P 3 3 2 P g Eq 12 7 O cálculo é simplificado porque considera no peso da parede apenas o peso específico aparente do bloco 13 kNm3 e não considera o maior peso específico das argamassas de assentamento e de revestimento das faces de 19 kNm3 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 10 gpar carga uniforme da parede na laje kNm2 Ppar peso da parede kN x menor vão da laje m No caso de parede com direção perpendicular à direção principal a carga da parede deve ser considerada como uma força concentrada P na viga que representa a laje Figura 13 sendo P o peso da parede relativo a 1 m de comprimento x y 1 m P Figura 13 Parede perpendicular à direção principal da laje armada em uma direção 346 Ações Variáveis Conforme o item 6 da NBR 6120 De maneira geral os valores das ações são verificados caso a caso conforme as particularidades do projeto As ações variáveis devem respeitar os valores característicos nominais mínimos indicados nesta Seção considerando as reduções permitidas em 612 reduções estas que devem ser registradas nos documentos do projeto As ações variáveis são classificadas de modo geral como ações variáveis normais As ações variáveis especiais ocorrem em casos específicos indicados nesta Seção Quanto às cargas variáveis As estruturas devem ser projetadas para suportar as cargas variáveis indicadas na Tabela 10 Áreas sujeitas a várias categorias de utilização devem ser calculadas para a categoria que produzir os efeitos mais desfavoráveis Exceto onde especificado os pavimentos devem ser projetados para as cargas uniformemente distribuídas e verificados para a atuação isolada das cargas concentradas o que for mais desfavorável Exceto onde especificado as cargas concentradas indicadas são assumidas atuando uniformemente distribuídas em uma área de 75 cm 75 cm e localizadas de modo a produzir os efeitos mais desfavoráveis Os valores informados na Tabela 10 não incluem o peso próprio de estruturas de arquibancadas plataformas passarelas mezaninos etc exceto onde indicado As cargas variáveis devem ser consideradas como quaseestáticas Para cargas que possam induzir efeitos de ressonância ou outra resposta dinâmica significativa da estrutura por exemplo danças saltos movimentos de máquinas etc esses efeitos devem ser levados em consideração por meio de fatores dinâmicos ou análise dinâmica específica Exceto onde indicado as cargas variáveis uniformemente distribuídas da Tabela 10 podem ser multiplicadas por um coeficiente de redução conforme descrito em 612 Portanto a Tabela 10 da NBR 6120 deve ser consultada quando da definição das cargas variáveis atuantes nas lajes dos pavimentos As cargas variáveis da norma para alguns casos estão apresentadas na Tabela 3 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 11 Tabela 3 Valores característicos nominais das cargas variáveis parte da Tabela 10 da NBR 6120 Local Carga uniformemente distribuída kNm2 Balcões sacadas varandas e terraços ij Residencial Comercial corporativos e escritórios Com acesso público hotéis hospitais escolas teatros etc 25 3 4 Edifícios residenciais Dormitórios Sala copa cozinha Sanitários Despensa área de serviço e lavanderia Quadras esportivas Salão de festas salão de jogos Áreas de uso comum Academia Forro acessíveis apenas para manutenção e sem estoque de materiais Sótão Corredores dentro de unidades autônomas Corredores de uso comum Depósitos Áreas técnicas ver item nesta Tabela Jardins ver item nesta Tabela 15 15 15 2 5a 3a 3a 3a 01a r 2a 15 3 3 a Redução de cargas variáveis não permitida i Conforme o caso devese prever cargas adicionais devido a mudanças futuras por exemplo fechamento com vidro nivelamento do piso mudança de uso etc j Nas bordas de balcões varandas sacadas e terraços com guardacorpo prever carga variável de 2 kNm além do peso próprio do guardacorpo Considerar também forças horizontais variáveis conforme 63 r Para forros inacessíveis e sem possibilidade de estoque de materiais não é necessário considerar cargas variáveis devido ao uso 35 ESPESSURA MÍNIMA A NBR 6118 item 13241 estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças deve respeitar a 7 cm para lajes de cobertura não em balanço b 8 cm para lajes de piso não em balanço c 10 cm para lajes em balanço d 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN e 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN f 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas com o mínimo de 42 para lajes de piso biapoiadas e 50 para lajes de piso contínuas g 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel No dimensionamento das lajes em balanço os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional n de acordo com o indicado na Tabela 132 aqui apresentado na Tabela 4 Tabela 4 Valores do coeficiente adicional n para lajes em balanço Tabela 132 da NBR 6118 h cm 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 n 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 n 195 005h h altura da laje cm Nota O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço quando de seu dimensionamento UNESPBauruSP Lajes de Concreto 12 36 COBRIMENTO MÍNIMO Segundo a NBR 6118 item 74 a durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação águacimento e a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade permitese que sejam adotados simultaneamente os requisitos mínimos expressos na Tabela 5 Tabela 5 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto Tabela 71 da NBR 6118 Concretoa Tipob c Classe de agressividade ambiental CAA I II III IV Relação águacimento em massa CA 065 060 055 045 CP 060 055 050 045 Classe de concreto NBR 8953 CA C20 C25 C30 C40 CP C25 C30 C35 C40 a O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 12655 b CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado c CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido Para determinar a espessura do cobrimento é necessário antes definir a Classe de Agressividade Ambiental a qual o elemento ou a estrutura está inserida Nos projetos das estruturas correntes a agressividade do ambiente deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 6 e pode ser avaliada simplificadamente segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes NBR 6118 item 642 O responsável pelo projeto estrutural de posse de dados relativos ao ambiente em que será construída a estrutura pode considerar classificação mais agressiva que a estabelecida na Tabela 61 NBR 6118 item 643 Tabela 6 Classes de agressividade ambiental CAA Tabela 61 da NBR 6118 Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submersa II Moderada Urbano1 2 Pequeno III Forte Marinho1 Grande Industrial1 2 IV Muito forte Industrial1 3 Elevado Respingos de maré NOTAS 1 Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda uma classe acima para ambientes internos salas dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura 2 Podese admitir uma classe de agressividade mais branda uma classe acima em obras em regiões de clima seco com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove 3 Ambientes quimicamente agressivos tanques industriais galvanoplastia branqueamento em indústrias de celulose e papel armazéns de fertilizantes indústrias químicas elementos em contato com solo contaminado ou água subterrânea contaminada Conhecendo o ambiente no qual a estrutura será construída o projetista estrutural pode considerar condições de agressividade maiores que aquelas mostradas na Tabela 6 item 643 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 13 A NBR 6118 item 74 estabelece valores para o cobrimento nominal de armaduras Para garantir o cobrimento mínimo cmín o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal cnom que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução c c c c mín nom Eq 13 As dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm item 7473 No entanto Para estruturas projetadas de acordo com a ABNT NBR 90628 quando houver um controle adequado de qualidade e limites rígidos de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc 5 mm mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto Permitese então a redução dos cobrimentos nominais conforme a Tabela 72 em 5 mm item 7474 Em geral o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser n c c n feixe nom barra nom Eq 14 No item 7476 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20 a espessura nominal do cobrimento ou seja dmáxagr 12cnom A Tabela 7 apresenta valores de cobrimento nominal de lajes vigas e pilares para a tolerância de execução c de 10 mm em função da Classe de Agressividade Ambiental Tabela 7 Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para c 10 mm Tabela 72 da NBR 6118 Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental CAA I II III IVc Cobrimento nominal mm Concreto Armado Lajeb 20 25 35 45 VigabPilar 25 30 40 50 Elementos estruturais em contato com o solod 30 40 50 Concreto Protendidoa Laje 25 30 40 50 VigaPilar 30 35 45 55 Notas a Cobrimento nominal da bainha ou dos fios cabos e cordoalhas O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto armado b Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas de 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm c Nas superfícies expostas a ambientes agressivos como reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV d No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm Para concretos de classe de resistência superior à mínima exigida os cobrimentos definidos na Tabela 72 ver Tabela 7 podem ser reduzidos em até 5 mm item 7476 No caso de elementos estruturais préfabricados os valores relativos ao cobrimento das armaduras Tabela 72 devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062 item 7477 O cobrimento nominal tem a notação geralmente simplificada para apenas a letra c Figura 14 8 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto e execução de estruturas de concreto prémoldado NBR 9062 ABNT 2017 86p UNESPBauruSP Lajes de Concreto 14 c c Armaduras longitudinais h Figura 14 Cobrimento da armadura longitudinal na laje maciça 37 ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE Para projetar uma laje é necessário conhecer de início a sua altura h Figura 15 Existem diferentes procedimentos para estimativa da altura da laje sendo um deles dependente da altura útil d definida como a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face comprimida da seção d c h Figura 15 Altura útil d para armadura de flexão positiva em laje maciça A altura d pode ser estimada como n 10 52 d Eq 15 d altura útil da laje cm n número de bordas engastadas da laje dimensão da laje em metro sendo y x 70 Eq 16 com x y e x e y em metro Com a altura útil d da Eq 15 e supondo armadura em apenas uma camada a altura h é h d 2 c Eq 17 Como altura final para a laje devese aproximar o valor dado pela Eq 17 para o número inteiro mais próximo obedecendose a altura mínima prescrita para as lajes Nos cálculos de dimensionamento a altura útil d deve ser conhecida de modo que deve ser recalculada em função da altura h escolhida d h c 2 Eq 18 Como não se conhece inicialmente o diâmetro da barra longitudinal esse diâmetro deve ser estimado No caso das lajes correntes o diâmetro varia comumente de 5 a 10 mm e para efeito de cálculo inicial podese estimar o diâmetro de 10 mm 38 MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES Os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças são determinadas conforme a laje é armada em uma ou em duas direções As lajes armadas em uma direção são calculadas como vigas segundo a direção principal e as lajes armadas em duas direções podem ser aplicadas diferentes teorias como a Teoria da Elasticidade e a das Charneiras Plásticas UNESPBauruSP Lajes de Concreto 15 381 Laje Armada em Uma Direção No caso de laje armada em uma direção considerase simplificadamente que a flexão na direção do menor vão da laje é preponderante à flexão da outra direção de modo que a laje é suposta como uma viga com largura de um metro 100 cm segundo a direção principal da laje como mostrado na Figura 16 Os momentos fletores da direção secundária são desprezados 1 m Figura 16 Momentos fletores em laje armada em uma direção A Figura 17 Figura 18 e Figura 19 mostram os casos de vinculação possíveis de existirem quando se consideram apenas apoios simples e engastes perfeitos Estão indicadas as equações para cálculo das reações de apoio momentos fletores máximos e flechas imediatas para carregamento uniformemente distribuído Flecha máxima EI p 384 5 a 4 i máx M p 2 p p 2 2 8 p Figura 17 Laje armada em uma direção sobre apoios simples e com carregamento uniforme Flecha máxima EI p 185 1 a 4 i 5 8 p M máx 8 2 p 8 p 3 p p 1422 2 Figura 18 Laje armada em uma direção sobre apoio simples e engaste perfeito com carregamento uniforme UNESPBauruSP Lajes de Concreto 16 Flecha máxima EI p 384 1 a 4 i 2 p p M máx p 24 2 p 2 p 12 2 p 12 2 Figura 19 Laje armada em uma direção biengastada com carregamento uniforme As lajes em balanço como as lajes de marquises e varandas são também casos típicos de lajes armadas em uma direção que devem ser calculadas como viga segundo a direção do menor vão Figura 20 Laje em balanço Planta de fôrma M Esquema estático e diagrama de M Figura 20 Laje em balanço armada em uma direção No caso de lajes contínuas armadas em uma direção como mostrado na Figura 21 com duas bordas livres linhas tracejadas o cálculo pode ser feito supondo viga contínua com largura de um metro na direção dos vãos dos apoios Para a obtenção dos esforços solicitantes e flechas máximas nas lajes devese separar o carregamento total em carregamento permanente e carregamento variável Os esforços solicitantes máximos podem ser obtidos aplicandose os carregamentos nas lajes separadamente sendo o primeiro o carregamento permanente e em seguida o carregamento variável com alternância de sua atuação nas lajes Os esforços finais são somados obtendose assim os esforços máximos mais desfavoráveis UNESPBauruSP Lajes de Concreto 17 1 m Viga com B 1m Viga de apoio Laje Figura 21 Lajes contínuas armadas em uma direção 382 Laje Armada em Duas Direções O comportamento de lajes retangulares armadas em duas direções com bordas simplesmente apoiadas nos quatro lados é diferente das lajes armadas em uma direção de modo que o cálculo dos momentos fletores é bem mais complexo Sob a ação de uma carga P a laje apoiase no trecho central das bordas e os cantos quando não restringidos levantamse do apoio como mostrado na Figura 22 Existindo ancoragem ou uma sobrecarga nos cantos o levantamento fica impedido e surgem momentos fletores principais negativos M1 que causam tração no lado superior da laje na direção da diagonal e positivos M2 na direção perpendicular à diagonal que causam tração no lado inferior da laje Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou momentos de torção e recebem a notação Mxy Figura 22 Laje retangular com bordas simplesmente apoiadas nos quatro lados sob ação de força concentrada com e sem ancoragem de canto Leonhardt e Mönnig 1982 As direções dos momentos fletores principais M1 e M2 está mostrada na Figura 23 em função da relação entre os lados No centro os momentos fletores principais desenvolvemse perpendicularmente às bordas e nos cantos com ângulo de 45 Figura 23 Direções dos momentos fletores principais em lajes armadas em duas direções sob bordas simplesmente apoiadas LEONHARDT MÖNNIG 1982 Sem ancoragem de canto ou sem sobrecarga Com sobrecarga no canto Com ancoragem de canto Linhas de apoio M 1 M 2 P My Mx x y 1 x 15 y x y 2 x y x y UNESPBauruSP Lajes de Concreto 18 Os esforços solicitantes e as deformações nas lajes armadas em duas direções podem ser determinados por diferentes teorias sendo as mais importantes as seguintes a Teoria das Placas desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade podem ser determinados os esforços solicitantes e as flechas em qualquer ponto da laje b Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas c Métodos Numéricos como dos Elementos Finitos de Contorno etc d Processos aproximados A Teoria da Elasticidade considera o material como elástico linear vale a Lei de Hooke homogêneo e isótropo e com base nela a Teoria das Placas proporciona a equação geral das placas equação diferencial de quarta ordem não homogênea a qual foi obtida por Lagrange em 1811 que relaciona a deformada elástica w da placa com a carga p unitária uniformemente distribuída na área da placa A equação tem a forma D p y w y x w 2 x w 4 4 2 2 4 4 4 Eq 19 w deslocamento vertical da placa p carregamento na placa D rigidez da placa à flexão dada por 2 3 1 12 E h D Eq 20 A solução da equação geral das placas é tarefa muito complexa o que motivou o surgimento de diversas tabelas de diferentes origens e autores com coeficientes que proporcionam o cálculo dos momentos fletores e das flechas para casos específicos de apoios e carregamentos Há tabelas de autores como Czerny StiglatWippel Bares Szilard entre outros De modo geral abrangem os casos de lajes retangulares triangulares circulares apoiadas em pilares com bordas livres etc sob carregamento uniforme e triangular No caso deste texto são utilizadas as tabelas apresentadas no anexo Tabela A8 a Tabela A17 desenvolvidas por Bares e adaptadas por PINHEIRO 1994 A Tabela A8 até a Tabela A12 são tabelas para lajes com carregamento uniformemente distribuído na área da laje e a Tabela A13 até a Tabela A17 são para carregamento triangular conforme os desenhos mostrados nas tabelas Conforme as tabelas de Bares os momentos fletores negativos ou positivos são calculados com a expressão 100 p M 2 x Eq 21 M momento fletor kNmm coeficiente tabelado de acordo com cada tipo de laje e em função de y x sendo x e y coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos atuantes nas direções paralelas a x e y respectivamente x e y coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes nas bordas perpendiculares às direções x e y respectivamente p valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje kNm2 x menor vão da laje m 383 Compatibilização dos Momentos Fletores Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras os momentos fletores negativos em uma borda comum a duas lajes contíguas são geralmente diferentes ver Figura 24 A NBR 6118 item 14762 permite que seja feita uma compatibilização dos momentos fletores negativos Quando houver predominância de cargas permanentes as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas realizandose a compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada No caso de análise plástica a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e vão em procedimento iterativo até a obtenção de valores equilibrados nas bordas Permitese simplificadamente UNESPBauruSP Lajes de Concreto 19 a adoção do maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de compatibilização onde o momento fletor negativo X de duas lajes adjacentes é tomado como 2 X X X 80 X 2 1 1 com X1 X2 Eq 22 Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados quando for o caso conforme indicado no esquema mostrado na Figura 24 Se ocorrer diminuição do momento fletor alívio este não é considerado sendo desprezado Acrescentese que a compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita nas duas direções da laje A rigor as relações apresentadas na Eq 50 Eq 51 e Eq 52 devem ser verificadas o que configura um trabalho laborioso caso os cálculos sejam efetuados manualmente Uma opção ao procedimento da compatibilização de momentos fletores é adotar para a borda comum a maior armadura negativa que simplifica muito o cálculo e não resulta um procedimento antieconômico M 1 2 M X2 X1 X3 X2 1 X X2 M 1 X2 X3 M 2 M 3 XA B X M 2 M 1 X 1 XA 2 M X 2 X 3 B 3 X 2 X 1 2 08 X1 08 X X 2 X 2 3 3 M M Momentos fletores não compatibilizados Momentos fletores compatibilizados 3 M Figura 24 Compatibilização dos momentos fletores negativos e positivos 384 Momentos Volventes Nos cantos das lajes com bordas simplesmente apoiadas surgem momentos fletores negativos importantes que causam tração no lado superior da laje na direção da diagonal e positivos na direção perpendicular à diagonal que causam tração no lado inferior da laje Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou momentos de torção Mxy Para os momentos volventes devem ser dispostas armaduras convenientemente calculadas e que podem ser dispostas simplificadamente como mostradas na Figura 25 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 20 Ancorar com segurança Embaixo Em cima 025 x 025 x Em cima e em baixo como alternativa Figura 25 Armadura para os momentos volventes nos cantos 39 REAÇÕES DE APOIO Assim como no cálculo dos momentos fletores solicitantes e das flechas no cálculo das reações da laje nas bordas as lajes serão analisadas em função de serem armadas em uma ou em duas direções No caso das lajes armadas em uma direção as reações de apoio são provenientes do cálculo da viga suposta como visto no item 381 Considerase que as cargas na laje caminhem para as vigas nas bordas perpendiculares à direção principal da laje Nas outras duas vigas laterais a favor da segurança podese considerar uma carga uniforme referente à área do triângulo adjacente à viga como mostrada na área hachurada da Figura 26 com valor x viga 015p V Eq 23 Vviga carga da laje sobre a viga lateral kNm p carga total uniformemente distribuída na área da laje kNm2 x menor vão da laje m Viga de borda 30 60 60 30 Direção principal y x Área do triângulo Figura 26 Carga nas vigas laterais paralelas à direção principal da laje armada em uma direção A NBR 6118 item 14761 prescreve que Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações a as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios de 1474 sendo que essas reações podem ser de maneira aproximada consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio b quando a análise plástica não for efetuada as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas a partir dos vértices com os seguintes ângulos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 21 45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio considerado engastado se o outro for considerado simplesmente apoiado 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre A Figura 27 mostra o esquema prescrito pela norma onde cada viga de apoio da laje receberá a carga que estiver nos triângulos ou trapézios a ela relacionada 45 45 45 45 30 45 45 45 45 60 60 30 Figura 27 Definição das áreas de influência de carga para cálculo das reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas direções No Anexo estão apresentadas as Tabelas A5 a A7 com coeficientes que auxiliam o cálculo das reações de apoio para lajes armadas em duas direções com carregamento uniformemente distribuído As reações são calculadas pela equação 10 p V x Eq 24 V reação de apoio kNm coeficiente tabelado em função de y x onde x reação na borda simplesmente apoiada perpendicular à direção de x y reação na borda simplesmente apoiada perpendicular à direção de y x reação na borda engastada perpendicular à direção de x y reação na borda engastada perpendicular à direção de y p valor da carga uniforme atuante na laje kNm2 x menor vão da laje m 310 FLECHA Assim como nas vigas o EstadoLimite de Deformações Excessivas ELSDEF definido pela NBR 6118 item 324 como o estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal dados em 133 ver 1732 deve ser também verificado nas lajes de concreto No item 1931 a NBR 6118 recomenda que sejam usados os critérios propostos no item 1732 considerando a possibilidade de fissuração Estádio II As prescrições contidas no item 1732 tratam dos deslocamentos flechas nas vigas de Concreto Armado o que implica que a norma indica que as flechas nas lajes sejam tratadas do mesmo modo como nas vigas O texto do item 1732 EstadoLimite de Deformação é o seguinte A verificação dos valoreslimites estabelecidos na Tabela 133 para a deformação da estrutura mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturais lineares analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme a Seção 11 deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural ou seja que levem em consideração a presença da armadura a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo assim como das propriedades dos materiais principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração no momento de sua efetiva solicitação Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados existe uma grande variabilidade das deformações reais Não se pode esperar portanto grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 22 A avaliação da flecha nas vigas e lajes é feita de maneira aproximada onde segundo o item 17321 O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear de modo que as seções ao longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no estádio I desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração e no estádio II em caso contrário Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na Seção 8 sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência 3101 Verificação do Estádio Para o cálculo da flecha é necessário conhecer o Estádio de cálculo da seção crítica considerada Segundo a NBR 6118 item 1731 Nos estadoslimites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II A separação entre esses dois comportamentos é definida pelo momento de fissuração Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada t c ct r y I f M Eq 25 sendo 12 para seções T ou duplo T 13 para seções I ou T invertido 15 para seções retangulares onde é o fator de forma geométrica que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto fct é a resistência à tração direta do concreto conforme 825 com o quantil apropriado a cada verificação particular Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o fctkinf no estadolimite de formação de fissuras e o fctm no estadolimite de deformação excessiva ver 825 No caso da utilização de armaduras ativas deve ser considerado o efeito da protensão no cálculo do momento de fissuração Na falta de ensaios o valor médio da resistência à tração direta fctm pode ser avaliado em função da resistência característica do concreto à compressão fck por meio das expressões NBR 6118 item 825 a para concretos com fck 50 MPa 3 2 ck ctm f 30 f Eq 26 com fctkinf 07 fctm Eq 27 fctksup 13 fctm Eq 28 b para concretos com fck 50 MPa fctm 212 ln 1 01fck 8 Eq 29 com fctm e fck em MPa Sendo fckj 7 MPa a Eq 26 a Eq 29 podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias Os valores fctkinf e fctksup são os valores mínimo e máximo para a resistência à tração direta Se o momento fletor solicitante de uma seção na laje é maior que o momento fletor de fissuração a seção está no Estádio II ou seja está fissurada Neste caso devese considerar o módulo de elasticidade secante Ecs e a posição da linha neutra deve ser calculada no Estádio II Por outro lado no caso do momento fletor solicitante na laje ser menor que o momento de fissuração a seção está no Estádio I ou seja não está fissurada As deformações podem ser determinadas no Estádio I com o momento de inércia da seção bruta de concreto Ic ver Eq 32 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 23 Para o momento fletor na laje a ser comparado com o momento fletor de fissuração deve ser considerada a combinação rara A esse respeito no item 1183 a NBR 6118 trata das combinações de serviço classificadas em quase permanentes frequentes e raras As combinações raras ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras A combinação rara de serviço conforme mostrada na Tabela 114 da NBR 6118 11832 a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico Fq1k e todas as demais ações variáveis são consideradas com seus valores frequentes 1 Fqk O cálculo da ação de serviço é feito segundo a equação Fdser Σ Fgik Fq1k Σ 1j Fqjk Eq 30 Fgk ações permanentes características 1 fator de redução de combinação frequente para ELS ver Tabela 112 da NBR 6118 Fq1k ação variável principal direta característica Fqjk demais ações variáveis características Nas lajes de edificações residenciais correntes de modo geral existe apenas uma carga variável conforme definida na NBR 6120 de modo que a Eq 30 fica reduzida aos dois primeiros termos 3102 Flecha Imediata A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado um primeiro carregamento importante na peça e não leva em conta os efeitos da fluência A NBR 6118 item 1732119 prescreve que Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas podese utilizar a expressão de rigidez equivalente dada a seguir cs c II 3 a r c 3 a r cs eqto E I I M M 1 I M M E EI Eq 31 Ic momento de inércia da seção bruta de concreto sendo para seção retangular 12 b h I 3 c Eq 32 III momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II calculado com cs s e E E Eq 33 Mr momento de fissuração do elemento estrutural cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas Ma momento fletor na seção crítica do vão considerado ou seja o momento fletor máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento fletor no apoio para balanços para a combinação de ações considerada nessa avaliação Ecs módulo de elasticidade secante do concreto O módulo de elasticidade pode ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 85221 e 85222 O módulo secante pode ser estimado pela expressão ci i cs E E Eq 34 sendo 01 80 f 20 80 ck i 9 A norma fornece também um outro valor para a rigidez equivalente no caso de vãos de vigas contínuas UNESPBauruSP Lajes de Concreto 24 Na falta de resultados de ensaios a NBR 6118 item 828 permite estimar o valor do módulo de elasticidade inicial do concreto Eci aos 28 dias segundo a expressão a para fck 50 MPa ck E ci 5600 f E Eq 35 E 12 para basalto e diabásio E 10 para granito e gnaisse E 09 para calcário E 07 para arenito b para fck 50 MPa 3 1 ck E 3 ci 1 25 10 f 215 10 E Eq 36 com Eci e fck em MPa Para cálculo do momento fletor Ma deve ser considerada a combinação rara com a ação definida na Eq 30 Para o cálculo do momento de inércia no Estádio II é necessário conhecer a posição da linha neutra neste Estádio Como a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção homogeneizada xII tem a equação 0 x A d d A x 2 x b II s e II s e 2 II 0 A d A d b 2 x A A b 2 x s s e II s s e 2 II se As 0 a equação tornase 0 b 2 A d x b 2 A x e s II e s 2 II Eq 37 com b 1 m 100 cm no caso das lajes maciças O momento de inércia no Estádio II será 2 II s e 2 II s e 2 II II 3 II II x A d d A x 2 x bx 12 b x I se As 0 a equação tornase 2 II s e 2 II II 3 II II x A d 2 x b x 12 b x I Eq 38 3103 Flecha Diferida no Tempo A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do carregamento atuar na estrutura ao longo do tempo causando a sua deformação lenta ou fluência Segundo a NBR 6118 item 173212 A flecha adicional diferida decorrente das cargas de longa duração em função da fluência pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado pela expressão 50 1 f Eq 39 d b A s Eq 40 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 25 As área da armadura comprimida se existir b largura da seção transversal d altura útil coeficiente função do tempo que pode ser obtido diretamente na Tabela 8 ou ser calculado pelas expressões seguintes t t 0 Eq 41 t 0680996 t t032 para t 70 meses Eq 42 t 2 para t 70 meses Eq 43 Tabela 8 Valores do coeficiente em função do tempo Tabela 171 da NBR 6118 Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente t 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 t tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida t0 idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração considerandose como t 0 o momento da concretagem No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes podese tomar para t0 o valor ponderado a seguir i 0i i 0 P P t t Eq 44 Pi parcelas de carga t0i idade em que se aplicou cada parcela Pi em meses O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por 1 f 3104 Flechas Máximas Admitidas As flechas máximas ou deslocamentoslimites como definidos pela NBR 6118 item 133 são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estadolimite de deformações excessivas da estrutura Os deslocamentos limites são classificados em quatro grupos básicos relacionados a seguir a aceitabilidade sensorial o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável A limitação da flecha para prevenir essas vibrações em situações especiais de utilização deve ser realizada como estabelecido na Seção 23 b efeitos específicos os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção c efeitos em elementos não estruturais deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que apesar de não fazerem parte da estrutura estão a ela ligados d efeitos em elementos estruturais os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados incorporandoas ao modelo estrutural adotado Os valoreslimites de deslocamentos que visam proporcionar um adequado comportamento da estrutura em serviço estão apresentados na Tabela 9 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 26 Tabela 9 Limites para deslocamentos Tabela 133 da NBR 6118 Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite Aceitabilidade sensorial Visual Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Total 250 Outro Vibrações sentidas no piso Devido a cargas variáveis de utilização 350 Efeitos estruturais em serviço Superfícies que devem drenar água Coberturas e varandas Total 250a Pavimentos que devem permanecer planos Ginásios e pistas de boliche Total 350 contra flechab Ocorrido após a construção do piso 600 Elementos que suportam equipamentos sensíveis Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento De acordo com recomendação do fabricante do equipamento Efeitos em elementos não estruturais Paredes Alvenaria caixilhos e revestimentos Após a construção da parede 500c e 10 mm e 00017 radd Divisórias leves e caixilhos telescópicos Ocorrido após a instalação da divisória 250c e 25 mm Movimento lateral de edifícios Provocado pela ação do vento para combinação frequente 1 030 H1700 e Hi850e entre pavimentosf Movimentos térmicos verticais Provocado por diferença de temperatura 400g e 15 mm Forros Movimentos térmicos horizontais Provocado por diferença de temperatura Hi500 Revestimentos colados Ocorrido após a construção do forro 350 Revestimentos pendurados ou com juntas Deslocamento ocorrido após a construção do forro 175 Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos Deslocamento provocado pelas ações decorrentes da frenação H400 Efeitos em elementos estruturais Afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados incorporandoos ao modelo estrutural adotado a As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas de modo a não se ter acúmulo de água b Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas Entretanto a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que 350 c O vão deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve d Rotação nos elementos que suportam paredes e H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos f Este limite aplicase ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais Não podem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento quando Hi representa o comprimento do lintel g O valor referese à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno continua UNESPBauruSP Lajes de Concreto 27 NOTAS 1 Todos os valoreslimites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem Quando se tratar de balanços o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço 2 Para o caso de elementos de superfície os limites prescritos consideram que o valor é o menor vão exceto em casos de verificação de paredes e divisórias onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve limitandose esse valor a duas vezes o vão menor 3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na Seção 11 4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas 5 Para determinação da flecha de longa duração adotar a combinação quase permanente 3105 Flecha Imediata 31051 Laje Armada em Duas Direções Para as lajes armadas em duas direções a flecha imediata pode ser calculada com auxílio dos coeficientes constantes das Tabelas A1 a A4 ver anexo para carregamentos uniformes e triangulares Usase a equação I E p 1200 b a 4 x i Eq 45 Considerando a largura b igual a 100 cm para as lajes a Eq 45 tornase I E p 12 a 4 x i Eq 46 ai flecha imediata p valor do carregamento na laje considerando a combinação quase permanente x menor vão b largura unitária da laje coeficiente tabelado em função de ou ver Tabelas A1 a A4 anexas EI rigidez da laje à flexão No item 1183 a NBR 6118 trata das combinações de serviço classificadas em quase permanentes frequentes e raras As combinações quase permanentes podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estadolimite de deformações excessivas Na combinação de serviço quase permanente conforme mostrada na Tabela 114 da NBR 6118 todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes 2 Fqk O valor da ação de serviço na combinação quase permanente é dado pela equação Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk Eq 47 Fgik ações permanentes características 2j fator de redução de combinação quase permanente para ELS ver Tabela 112 da NBR 6118 Fqjk ações variáveis características Se Ma Mr EI EIeq Se Ma Mr EI Ecs Ic Eq 48 A flecha total é obtida multiplicando a flecha imediata por 1 f at ai 1 f Eq 49 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 28 31052 Laje Armada em Uma Direção Assim como a armadura longitudinal o cálculo das flechas nas lajes armadas em uma direção se faz supondo viga com largura de um metro As equações mostradas nas Figuras 17 18 e 19 fornecem o valor da flecha imediata A flecha total é obtida multiplicando a flecha imediata por 1 f como indicada na Eq 49 311 DIMENSIONAMENTO No item 192 a NBR 6118 especifica que Na determinação dos esforços resistentes das seções de lajes submetidas a forças normais e momentos fletores devem ser usados os mesmos princípios estabelecidos nos itens 1721 a 1723 Nas regiões de apoio das lajes devem ser garantidas boas condições de dutilidade atendendose às disposições de 14643 O item 172 referese aos Elementos lineares sujeitos a solicitações normais Estadolimite último de modo que os esforços resistentes nas lajes podem ser determinados como no caso das vigas O item 1464 trata da Análise linear com ou sem redistribuição e o item 14643 apresenta os Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade válidos para vigas e lajes onde a norma afirma que a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 50 Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões Quando for efetuada uma redistribuição reduzindose um momento fletor de M para δM em uma determinada seção transversal a profundidade da linha neutra nessa seção xd para o momento reduzido δM deve ser limitada por a xd δ 044125 para concretos com fck 50 MPa b xd δ 056125 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 51 O coeficiente de redistribuição deve ainda obedecer aos seguintes limites a δ 090 para estruturas de nós móveis b δ 075 para qualquer outro caso Eq 52 Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica com verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas A NBR 6118 item 1471 Estruturas com elementos de placa estabelece duas hipóteses básicas para a análise das placas lajes a manutenção da seção plana após a deformação em faixas suficientemente estreitas b representação dos elementos por seu plano médio Na determinação dos esforços solicitantes nas lajes deverá ser avaliada a necessidade da consideração da aplicação da alternância das sobrecargas Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kNm2 e que seja no máximo igual a 50 da carga total a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de alternância de cargas Segundo a NBR 6118 1722 o estadolimite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 171 Os domínios de deformações estão apresentados na Figura 28 A ruptura convencional pode ocorrer segundo os seguintes modos e domínios UNESPBauruSP Lajes de Concreto 29 por deformação plástica excessiva de alongamento reta a tração uniforme domínio 1 tração não uniforme sem compressão domínio 2 flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto c cu e com o máximo alongamento permitido por encurtamentolimite do concreto domínio 3 flexão simples seção subarmada ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço s yd domínio 4 flexão simples seção superarmada ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento s yd domínio 4a flexão composta com armaduras comprimidas domínio 5 compressão não uniforme sem tração reta b compressão uniforme yd 4 3 1 d 10 A reta a s2 A d As1 h 2lim x 4a 5 0 x3lim reta b C 0 B Alongamento Encurtamento 2 cu c2 c2 c2 cu cu h Figura 28 Domínios de deformações no EstadoLimite Último de uma seção transversal A análise das lajes pode ser feita segundo a Análise linear com ou sem redistribuição item 1473 Análise plástica item 1474 ou Análise não linear item 1475 As análises plástica e não linear não se encontram apresentadas neste texto A análise linear com ou sem redistribuição Aplicamse às estruturas de placas os métodos baseados na teoria da elasticidade com coeficiente de Poisson igual a 02 item 1473 3111 Flexão Conhecidos os momentos fletores máximos atuantes na laje o dimensionamento à flexão normal simples pode ser feito de modo semelhante às vigas supondo faixas vigas com largura de um metro 100 cm Fazendo uso das equações com coeficientes tabelados K10 deve ser determinado o coeficiente Kc d 2 w c M d K b Eq 53 com bw 100 cm 10 BASTOS PS Flexão Normal Simples Vigas BauruSP Unesp Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Dez202077p disponível em 4102023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 30 d 2 c M K 100 d Eq 54 com Md em kNcm e d em cm Com a Tabela A25 do Anexo determinamse os coeficientes βx e Ks e o domínio em que a laje está Com βx xd é determinada a posição x da linha neutra de modo a verificar os valores limites para a relação xd conforme a Eq 50 Se for efetuada uma redistribuição de momentos fletores devese também verificar os limites impostos mostrados na Eq 51 e na Eq 52 Se atendidos todos os valores limites a área de armadura em cm2m é calculada com d K M A d s s Eq 55 Na Tabela A26 encontramse o diâmetro e o espaçamento das barras para uma dada área de armadura em cm2m 3112 Força Cortante A força cortante em lajes e elementos lineares com bw 5d é verificada no item 194 da NBR 6118 A norma faz distinção entre laje sem e com armadura transversal para a força cortante 31121 Lajes sem Armadura para Força Cortante As lajes maciças ou nervuradas conforme 174112b podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante quando a força cortante de cálculo a uma distância d da face do apoio obedecer à expressão Rd1 Sd V V Eq 56 VSd é a força cortante solicitante de cálculo A força cortante resistente de cálculo VRd1 é d b 015 40 21 k V w cp 1 Rd Rd1 Eq 57 c Sd cp A N Eq 58 NSd força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento compressão com sinal positivo Não existindo a protensão ou força normal que cause a compressão a Eq 57 tornase d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Eq 59 Rd 025 fctd Eq 60 fctd fctkinf c Eq 61 d b A w 1 s 1 não maior que 002 Eq 62 bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d k coeficiente que tem os seguintes valores para elementos onde 50 da armadura inferior não chega até o apoio k 1 para os demais casos k 16 d não menor que 1 com d em metros UNESPBauruSP Lajes de Concreto 31 Rd tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento O seu valor deve ser limitado ao correspondente a uma resistência característica do concreto à compressão fck igual a 60 MPa As1 área da armadura de tração que se estende até não menos que d bnec além da seção considerada Figura 29 com bnec definido como NBR 6118 9425 mín b ef s calc s b b nec A A Eq 63 10 para barras sem gancho 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 3 07 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9422 da norma 05 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9422 da norma e gancho com cobrimento normal no plano normal ao do gancho 3 b comprimento de ancoragem básico mostrado na Tabela A27 e Tabela A28 NBR 6118 9424 Ascalc área de armadura calculada Asef área de armadura efetiva mm 100 10 30 b mín b Eq 64 As 45 45 sd d Vsd 45 bnec b nec b nec d s A s A V Seção considerada Figura 29 Comprimento de ancoragem necessário para as armaduras nos apoios Na zona de ancoragem de elementos com protensão com aderência prévia a equação que define VRd1 só se aplica quando os requisitos de ancoragem são satisfeitos conforme 945 Analogamente aplicase aos elementos contendo armadura passiva No caso da prétração deve ser levada em conta a redução da protensão efetiva no comprimento de transmissão A distribuição dessa armadura ao longo da laje deve respeitar o prescrito em 183231 considerando para a o valor 15d 31122 Lajes com Armadura para Força Cortante No caso de se projetar a laje com armadura transversal para a força cortante a NBR 6118 recomenda que sejam seguidos os critérios apresentados em 1742 que trata do dimensionamento de vigas à força cortante A tensão nos estribos deve ser NBR 6118 1942 A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores máximos sendo permitida interpolação linear UNESPBauruSP Lajes de Concreto 32 250 MPa para lajes com espessura até 15 cm 435 MPa fywd para lajes com espessura maior que 35 cm 312 DETALHAMENTO DAS ARMADURAS As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que durante a execução seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem NBR 6118 20111 3121 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados em 17351 Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos definidos para elementos estruturais lineares NBR 6118 19331 A ruptura frágil das seções transversais quando da formação da primeira fissura deve ser evitada considerandose para o cálculo das armaduras um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctksup devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 1733 NBR 6118 17351 a armadura máxima No item 19333 a NBR 6118 informa que O valor máximo da armadura de flexão deve respeitar o limite dado em 17352 Este item trata de valoreslimites para armaduras longitudinais de vigas12 A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto açoconcreto NBR 6118 17351 Sobre a armadura máxima a NBR 6118 173524 prescreve que A soma das armaduras de tração e de compressão As As não pode ter valor maior que 4 Ac calculada na região fora da zona de emendas devendo ser garantidas as condições de dutilidade requeridas em 14643 As As 4 Ac Eq 65 b armadura mínima Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão assim como controlar a fissuração são necessários valores mínimos de armadura passiva definidos na Tabela 191 Alternativamente estes valores mínimos podem ser calculados com base no momento mínimo conforme 173521 Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas NBR 6118 19332 No item 173521 a NBR 6118 apresenta o procedimento para determinar a armadura mínima de tração de vigas em função de um momento fletor mínimo porém também apresenta que Alternativamente a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da Tabela 173 Os valores mínimos para as armaduras de tração de lajes são apresentados na Tabela 10 e os valores da taxa de armadura mínima mín encontramse na Tabela 1113 11 A NBR 6118 apresenta no item 205 prescrições para lajes armadas com telas soldadas nervuradas 12 A NBR 6118 item 1471 estabelece que na análise de placas lajes pode ser considerada como hipótese básica que a seção permanece plana após a deformação em faixas suficientemente estreitas Ou seja as armaduras das lajes podem ser calculadas como uma viga 13 Em elementos estruturais exceto elementos em balanço cujas armaduras sejam calculadas com um momento fletor igual ou maior ao dobro de Md não é necessário atender à armadura mínima Neste caso a determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento assim como os efeitos de temperatura deformações diferidas e recalques de apoio Devese ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração NBR 6118 173521 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 33 Tabela 10 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes Tabela 191 da NBR 6118 Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Elementos estruturais com armadura ativa aderente Elementos estruturais com armadura ativa não aderente Armaduras negativas s mín s mín p mín s mín 05p mín ver 19332 Armaduras negativas de bordas sem continuidade s 067mín Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções s 067mín s mín p mín s mín p mín Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção s mín s mín p mín s mín p mín Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção ss 20 da armadura principal ss 09 cm2m s 05 mín s Asbw h p Apbw h Os valores de mín são definidos em 173521 Tabela 11 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas com seção transversal retangular Tabela 173 da NBR 6118 fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 mín a 0150 0150 0150 0164 0179 0194 0208 0211 0219 0226 0233 0239 0245 0251 0256 a Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA50 dh 08 c 14 e s 115 Caso esses fatores sejam diferentes mín deve ser recalculado mín AsmínAc A NBR 6118 19332 também acrescenta que Nos apoios de lajes que não apresentem continuidade com panos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio devese dispor de armadura negativa de borda conforme a Tabela 191 Essa armadura deve se estender até pelo menos 015 do vão menor da laje a partir da face do apoio14 3122 Diâmetro Máximo Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h8 NBR 6118 201 3123 Espaçamentos Máximo e Mínimo As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores NBR 6118 201 20 cm 2h s Eq 66 Para barras com diâmetro maior ou igual a 20 mm o espaçamento máximo pode ser igual a 15 vezes o diâmetro das barras A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20 da armadura principal mantendose ainda um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm A emenda dessas barras deve 14 No item consta também a prescrição para o caso de lajes lisas e lajescogumelo UNESPBauruSP Lajes de Concreto 34 respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal Ver a quantidade de armadura secundária na Tabela 10 A norma não especifica valores para o espaçamento mínimo A rigor podese adotar o valor recomendado para as barras de uma mesma camada horizontal das armaduras longitudinais das vigas agr máx mín h d 21 cm 2 a Eq 67 Devese considerar também que o espaçamento mínimo deve ser aquele que não dificulte a disposição e amarração das barras da armadura o completo preenchimento da peça pelo concreto e o envolvimento das barras pelo concreto De modo geral na prática adotamse espaçamentos entre barras superiores a 7 ou 8 cm A norma também não especifica o diâmetro mínimo para a armadura negativa das lajes No entanto normalmente considerase que o diâmetro deva ser de no mínimo 63 mm a fim de evitar que a barra possa se deformar durante as atividades de execução da laje Barras de diâmetros maiores ficam menos sujeitas a entortamentos além de levarem a espaçamentos maiores sobre as vigas Portanto barras com diâmetros de 8 e 10 mm são mais indicadas para a armadura negativa 3124 Bordas Livres e Aberturas As bordas livres e as faces das lajes maciças junto as aberturas devem ser adequadamente protegidas por armaduras transversais e longitudinais Os detalhes típicos sugeridos para armadura complementar mostrados na Figura 201 são indicativos e devem ser adequados em cada situação considerando a dimensão e o posicionamento das aberturas o carregamento aplicado nas lajes e a quantidade de barras que está sendo interrompida pelas aberturas NBR 6118 202 A Figura 32 mostra as indicações da norma Figura 30 Bordas livres e aberturas das lajes maciças Figura 201 da NBR 6118 Relativamente a furos e aberturas que atravessam elementos estruturais a NBR 6118 item 1325 prescreve Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais seu efeito na resistência e na deformação deve ser verificado e não podem ser ultrapassados os limites previstos nesta Norma obedecido o disposto em 213 De maneira geral os furos têm dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural enquanto as aberturas não Um conjunto de furos muito próximos deve ser tratado como uma abertura A NBR 6118 item 13252 também prescreve que Em lajes lisas ou lajescogumelo a verificação de resistência e deformação previstas em 1325 deve sempre ser realizada Lajes de outros tipos podem ser dispensadas dessa verificação quando armadas em duas direções e sendo verificadas simultaneamente as seguintes condições 2h ou b 2h ou b UNESPBauruSP Lajes de Concreto 35 a as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 110 do vão menor x ver Figura 131 b a distância entre a face de uma abertura e o eixo teórico de apoio da laje deve ser igual ou maior que 14 do vão na direção considerada e c a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão A Figura 31 mostra as especificações da norma y 1 4 y x x y a 1 4 x a a 10 y a 10 x x x Furo Figura 31 Dimensõeslimites para aberturas de lajes com dispensa de verificação Figura 131 da NBR 6118 3125 Comprimento da Armadura Negativa nos Apoios com Continuidade de Lajes A NBR 6118 não especifica o comprimento das barras da armadura negativa Por este motivo será adotado o critério recomendado na versão da norma NB 1 de 1978 É suposto um diagrama triangular para o momento fletor negativo sobre a borda comum às duas lajes como mostrado na Figura 32 O triângulo tem a base com comprimento 2 025x onde x é o maior vão entre os vãos menores das duas lajes 2 x 1 x x Eq 68 A armadura negativa deve estenderse o comprimento de ancoragem b além da seção de momento fletor nulo como indicado na Figura 32 Na Tabela A27 e Tabela A28 anexas encontramse os comprimentos de ancoragem para os aços CA50 e CA6015 em função da resistência do concreto O comprimento de ancoragem deve ser considerado com gancho porque geralmente fazse o gancho nas extremidades das barras negativas Na Figura 32 estão mostrados três arranjos diferentes para as barras da armadura negativa O arranjo de número 1 é o mais simples porém conduz ao maior consumo de aço e os arranjos 2 e 3 são mais econômicos Na prática de modo geral o arranjo 3 tem a preferência porque as barras são idênticas variando se apenas o seu ponto de início O comprimento total para a barra negativa do arranjo 3 é ganchos b 0 25 x 51 C Eq 69 x vão da laje conforme definido na Eq 68 b comprimento de ancoragem ver Tabela A27 e Tabela A28 ganchos comprimento dos ganchos nas extremidades da barra 15 As barras de diâmetro 63 mm ou maior geralmente são aço CA50 e 5 mm ou menor são CA60 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 36 1 2 1 2 L1 L2 b b 025 025 As 1 2 3 x x x y y x Figura 32 Extensão da armadura negativa nos apoios com continuidade entre lajes 3126 Comprimento da Armadura Positiva A NBR 6118 201 apresenta que Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 1941 e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios não se permitindo escalonamento desta armadura A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio 16 3127 Armaduras Complementares Em Leonhardt e Mönnig 1982 encontramse alguns detalhes construtivos de armaduras de lajes descritos a seguir a Lajes apoiadas em uma só direção Malha construtiva contra fissuras Comprim 015 vão Figura 33 Detalhe da armadura para apoio externo 16 No item 384 são apresentados os momentos volventes UNESPBauruSP Lajes de Concreto 37 b Armadura construtiva entre laje e viga de apoio para diminuir as fissuras na ligação 02 Armadura construtiva Ex Ø 63 c 20 ou Figura 34 Armadura construtiva na ligação lajeviga c Apoio paralelo à direção do vão não considerado estaticamente Arm distribuição corrida A sy Asx 09 cm²m 02 Viga de apoio Figura 35 Armadura de distribuição positiva A A sx s x 4 x 4 x Figura 36 Armadura negativa no apoio não considerado 315 TABELAS DE ARMADURAS Todas as armaduras positivas negativas construtivas etc devem ser convenientemente desenhadas para a sua correta execução Para maior clareza as armaduras positivas e negativas devem ser desenhadas em plantas de fôrma diferentes a fim de não sobrecarregar o desenho e causar confusões Na planta as barras são numeradas da esquerda para a direita e de cima para baixo As barras devem ser agrupadas na prancha das armaduras conforme mostrado na Tabela 12 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 38 Tabela 12 Especificação das barras Nº Quant Comprimento Unit cm Total m O consumo de aço mostrado em cada prancha de desenho é resumido como mostrado na Tabela 13 em função do diâmetro das barras e da classe do aço Tabela 13 Resumos dos aços Resumo CA50 Massa kgm Comprimento total m Massa total kg TOTAL 316 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM UMA BORDA LIVRE As lajes maciças retangulares com uma borda livre são particularmente importantes no projeto das escadas marquises e outros casos A Figura 37 mostra as direções dos momentos principais m1 e m2 atuantes em lajes retangulares apoiadas em três lados com uma borda livre sob a ação de carga uniformemente distribuída As direções dos momentos principais dependem muito da relação yx como se pode verificar na Figura 40 Para relações entre lados yx 05 os momentos volventes Mxy também chamados momentos de torção são maiores que o momento no meio da borda livre Mr Nessas lajes portanto deve ser disposta uma armadura de canto suficiente e uma ancoragem segura contra a força que tende a levantar o canto Na borda livre a armadura inferior deve ter um espaçamento menor que no resto do vão e a borda livre deve ser protegida com uma armadura em forma de estribo conforme a Figura 41 Lajes com yx 15 podem ser consideradas como apoiadas em uma direção na região y x O anexo no final deste texto apresenta a Tabela A11 Tabela A12 Tabela A16 e Tabela A17 para cálculo dos momentos fletores em lajes com uma borda livre para alguns casos de vinculação que não abrangem todos os casos possíveis y x 05 y x x y y x 2 y x x y y x 1 Figura 37 Momentos principais nas lajes apoiadas em três lados com uma borda livre UNESPBauruSP Lajes de Concreto 39 A Tabela A18 até a Tabela A23 extraídas de ROCHA 198717 e de HAHN 1966 possibilitam o cálculo das flechas e dos momentos fletores com carga uniforme e carga triangular A Tabela A24 possibilita o cálculo das reações de apoio somente para o caso de carregamento uniforme A notação para os momentos fletores é a seguinte Mx e My momentos positivos no centro nas direções x e y respectivamente Mr momento positivo no centro da borda livre na direção x Xx e Xy momentos negativos no centro da borda engastada nas direções x e y respectivamente Xr momento negativo no extremo da borda livre na direção x Mxy momento volvente nos cantos As equações a empregar estão indicadas na Tabela A18 até a Tabela A23 Os valores de P são os seguintes a carga uniforme na área P F x y Eq 70 b carga concentrada uniforme na borda livre P F1 x Eq 71 a momento T uniforme na borda livre P T Eq 72 F carga uniforme distribuída na área da laje kNm2 ou valor máximo da carga triangular F1 carga concentrada uniforme aplicada na borda livre kNm T momento fletor na borda livre kNm x vão paralelo à borda livre A Tabela A24 como comentado serve para cálculo das reações de apoio para carga distribuída uniforme na área da laje Em função das vinculações cada tipo de laje tem um número indicativo As posições das reações estão indicadas nos esquemas das lajes As fórmulas também estão indicadas sendo p o valor da carga uniforme distribuída na área da laje A Figura 38 mostra a forma como se distribuem as reações notandose a existência das reações concentradas R negativas que tendem a levantar os cantos A e B y 2V 2Vx Vx x V x 2V R R Vy y V x y Figura 38 Reações da laje sobre três apoios A reação negativa nos cantos vale R 2 Mxy Eq 73 17 Em ROCHA 1987 itens 2105 e 2106 encontramse exemplos resolvidos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 40 Nos cantos deve haver garantia contra o seu levantamento Se a laje estiver ligada a vigas ou se houver pilares nos cantos A e B ela estará suficientemente ancorada 3161 Detalhamento das Armaduras Em Leonhardt e Mönnig 1982 encontramse os detalhamentos das armaduras das lajes com uma borda livre em função do tipo de vinculação nos apoios 31611 Lajes com Três Bordas Apoiadas As Figura 39 e Figura 40 ilustram as armaduras a serem dispostas nessas lajes Nos cantos da laje devem ser dimensionadas armaduras para o momento volvente Mxy Como uma alternativa para simplificar a armadura de canto pode ser feita a simplificação indicada na Figura 42 Nas bordas livres deve ser feito o detalhamento indicado na Figura 44 a a M máx y y 2 y 2 A para M sx x A para Mr sx y 04 1 Asy 2 A para M sy ymax 1 Asy 2 y x 2 h b1 L Seção aa Figura 39 Armadura de lajes retangulares com apoios simples em três lados para carga uniforme Ancorar com segurança Embaixo Em cima 025 x 025 x Em cima e em baixo como alternativa Figura 40 Armadura para os momentos volventes nos cantos h 2h b Figura 41 Detalhe da armadura na borda livre UNESPBauruSP Lajes de Concreto 41 31612 Lajes com Três Bordas Engastadas Nesse caso são pequenos os momentos volventes nos cantos As armaduras positivas ao longo do vão Figura 42 e negativas das bordas engastadas Figura 43 são dispostas de modo semelhante ao das lajes apoiadas em todo contorno Na borda livre ambas as armaduras devem ser reforçadas conforme mostrado na Figura 41 a a b b A para M x sx A para M sx r Asy mín Armadura mínima 025 x sy A 025 y Seção bb x Asx Não é usual Seção aa 025 x Figura 42 Armadura inferior de laje retangular apoiada em três lados engastados com carga uniforme A armadura de engastamento deve ser prolongada ao vão adjacente ou ser ancorada com segurança 12 y ey 12 f yerm ey para m f 025 025 y x 12 f ey para m f ex xere f para m x xerm Figura 43 Armadura superior de laje retangular apoiada em três lados engastados com carga uniforme 3162 Exemplo Numérico de Aplicação Considerando a laje da Figura 44 calcular os esforços solicitantes Dado F 60 kNm2 carga total uniformemente distribuída na área RESOLUÇÃO UNESPBauruSP Lajes de Concreto 42 51 03 54 x y 45 m y 30 m x Figura 44 Dimensões e vinculações da laje Da Tabela A22 para a carga 1 uniforme na área temse os coeficientes mr 225 my 130 nx 141 mx 276 nr 112 ny 193 a Cálculo dos momentos fletores 81 0 kN 54 03 06 F P y x 3 60 kNm 360 kNcm 5 22 0 81 m P M r r kNcm 2 93 kNm 293 6 27 0 81 m P M x x 0 62 kNm 62 kNcm 130 0 81 m P M y y kNcm 7 23 kNm 723 2 11 0 81 n P X r r 574 kNcm 5 74 kNm 1 14 0 81 n P X x x kNcm 4 20 kNm 420 3 19 0 81 n P X y y Devido aos lados engastados o momento volvente Mxy é pequeno nesta laje e não precisa ser considerado A Figura 45 mostra os momentos fletores plotados na laje 30 m x 45 m y 420 574 723 360 62 293 Figura 45 Momentos fletores kNcm b Reações de apoio Conforme a Tabela A24 temse o caso A25 de vinculação Os coeficientes tabelados são UNESPBauruSP Lajes de Concreto 43 Vx1 050 Vx2 028 Vy 022 As reações são kNm 09 0 50 03 06 pL V R x1 x x1 kNm 05 0 28 03 06 pL V R x2 x x2 kNm 95 0 22 54 06 pL V R y y y A Figura 46 apresenta as reações de apoio plotadas no desenho da laje Verificação Result 50 90 45 59 30 807 kN 810 kN Se o cálculo for feito conforme indica a NB611803 por áreas de influência os valores são Rx1 90 kN Rx2 52 kN Ry 57 kN 90 59 50 Figura 46 Reações de apoio kNm 317 EXEMPLO NUMÉRICO DE CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS DE UMA EDIFICAÇÃO Na Figura 47 está mostrada a planta de arquitetura simplificada do apartamento de um pavimento com a disposição das paredes divisórias de alvenaria Na Figura 48 está mostrada uma planta de fôrma também simplificada da estrutura do pavimento O objetivo deste exemplo é ilustrar os cálculos manuais que devem ser feitos para o dimensionamento das lajes maciças do pavimento Para o projeto das lajes maciças as seguintes informações serão consideradas espessura média de 30 cm para o contrapiso camada de regularização e peso específico da argamassa argcontr de 21 kNm3 espessura média de 20 cm para o revestimento da face inferior das lajes e peso específico da argamassa argrev de 19 kNm3 piso final com peças cerâmicas de peso específico 015 kNm2 em toda a área de piso do pavimento paredes com blocos cerâmicos com furos horizontais de dimensões 9 x 19 x 19 cm com peso específico alv de 13 kNm3 Todas as paredes externas têm espessura final de 23 cm e todas as paredes internas têm espessura final de 13 cm altura de 28 m para as paredes conforme a Tabela 3 a carga variável na laje L1 em balanço é q 25 kNm2 varanda com acesso público e as demais lajes ver Tabela 3 ou Tabela 10 da NBR 6120 todas as vigas com largura de 20 cm edificação em zona urbana de cidade em Classe de Agressividade Ambiental II Porém conforme as Notas 1 e 2 da Tabela 6 podese admitir uma classe de agressividade mais branda uma classe acima de modo que será considerada a Classe de Agressividade Ambiental I para a Classe de Agressividade Ambiental I na Tabela 5 encontramse relação ac 065 e concreto C20 Será considerado nos cálculos o concreto C25 com brita 1 de granito na Tabela 7 verificase que para Classe de Agressividade Ambiental I o cobrimento nominal de lajes de Concreto Armado é c 20 cm com c 10 mm aços CA50 e CA60 coeficientes de ponderação c f 14 s 115 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 44 Escada 600 450 650 170 397 567 365 402 282 382 382 385 417 150 400 140 282 550 452 417 Sala EstarJantar Cozinha Área Serviço Quarto Banh Quarto Quarto Sala Íntima Suíte Banheiro Hall Banh Varanda Figura 47 Planta arquitetônica simplificada do pavimento L8 L9 L10 300 500 400 270 500 300 800 180 670 200 400 300 500 270 400 600 620 170 600 L2 L3 L1 L4 L5 L6 L7 Figura 48 Planta de fôrma simplificada da estrutura do pavimento UNESPBauruSP Lajes de Concreto 45 3171 Vãos Efetivos e Vinculação nas Bordas Para cálculo dos vãos efetivos é necessário conhecer a altura das lajes o vão livre nas duas direções e a largura das vigas de apoio Por outro lado para estimativa da altura das lajes conforme a Eq 15 é preciso conhecer os vãos efetivos Para resolver o problema será adotada inicialmente a altura de 10 cm para todas as lajes Considerando que a largura de todas as vigas de apoio é de 20 cm os vãos efetivos Eq 3 e Eq 4 nas duas direções das lajes serão os vãos livres acrescidos dos valores 3 cm 10 30 h 30 10 cm 20 2 t 2 a a 1 2 1 a1 a2 3 cm Portanto 6 cm a a 0 2 1 0 ef Os vãos efetivos de todas as lajes estão mostrados na Tabela 14 bem como a relação y x entre os lados e o tipo de laje Os vínculos nas bordas e o tipo de laje estão mostrados na Figura 49 Tabela 14 Vãos efetivos das lajes cm Laje x y Tipo Observação L1a 163 laje armada em uma direção L2 586 606 103 3 laje armada em duas direções L3 586 656 112 3 laje armada em duas direções L4 286 786 275 laje armada em uma direção L5 486 486 100 6 laje armada em duas direções L6 256 486 190 6 laje armada em duas direções L7 386 486 126 5A laje armada em duas direções L8 286 486 170 5A laje armada em duas direções L9 256 286 112 5B laje armada em duas direções L10 286 386 135 3 laje armada em duas direções NOTA a a laje da varanda L1 tem três bordas livres e uma borda sobre uma viga de apoio onde está engastada na laje L2 Portanto a laje L1 deve ser tratada como laje armada em uma direção e calculada como viga na direção do vão do balanço x 163 cm ou seja como uma barra engastada em uma extremidade L2 e livre na outra ver Figura 49 e Figura 20 Admitemse dois tipos de vínculos das lajes nas bordas apoio simples ou engaste perfeito No caso do pavimento deste exemplo todas as lajes encontramse apoiadas nas bordas superiores das vigas ou seja nenhuma das lajes está rebaixada Além disso as superfícies superiores de todas as lajes encontramse no mesmo nível Sendo assim as lajes serão consideradas contínuas umas com as outras com os vínculos nas bordas mostrados na Figura 49 A laje L1 está engastada na laje L2 no entanto a laje L2 não pode ser considerada engastada na laje L1 por esta estar em balanço 3172 PréDimensionamento da Altura das Lajes A estimativa da altura útil das lajes pode ser feita com a Eq 15 10 n 52 d A Tabela 15 mostra as alturas calculadas tomadas como h d c 2 d 20 102 d 25 cm O valor resultante para h foi arredondado para o inteiro mais próximo considerando que a altura mínima é de 8 cm para lajes de piso não em balanço Exemplo de cálculo para a laje L3 d 25 01 2 459 106 cm h d 25 106 25 131 cm portanto h 13 cm Lajes em balanço não têm a altura estimada com a Eq 15 por isso a altura da laje L1 será adotada igual a 12 cm A altura mínima especificada pela NBR 6118 para laje de piso em balanço é de 10 cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 46 L1 L2 tipo 3 n 2 L3 tipo 3 n 2 L4 L5 Laje armada em 1 direção n 2 L6 tipo 6 n 4 tipo 6 n 4 L7 tipo 5A n 3 L8 tipo 5A n 3 L9 tipo 5B n 3 L10 tipo 3 n 2 Figura 49 Vínculos das lajes nas vigas de borda Tabela 15 Prédimensionamento da altura das lajes Laje x cm y cm 07y cm m n d cm hd cm L2a 586 606 103 424 424 2b 98 12 L3 586 656 112 459 459 2 106 13 L4 286 786 275 550 286 2 66 9 L5 486 486 100 340 340 4 71 10 L6 256 486 190 340 256 4 54 8 L7 386 486 126 340 340 3 75 10 L8 286 486 170 340 286 3 63 9 L9 256 286 112 200 200 3 44 8c L10 286 386 135 270 270 2 62 9 NOTAS a a laje L2 foi considerada de maneira simplificada com forma retangular sem o hall de entrada ao lado da escada Assim pode ser feito porque o hall tem uma área muito pequena se comparada à área restante da laje b não ocorre continuidade da laje L2 com a escada de modo que o número de bordas engastadas n é 2 como mostrado na Figura 49 A laje L2 não pode ser considerada engastada na laje L1 porque esta laje está em balanço A laje L1 deve estar engastada em um elemento estrutural e no caso está engastada na laje L2 o que é possível porque as superfícies superiores das duas lajes está no mesmo nível o que possibilita o correto posicionamento da armadura negativa da laje L1 avançando no interior da laje L2 c para a laje L9 a altura resultou 7 cm no entanto foi adotada a altura mínima especificada pela norma de 8 cm d após ser feita a determinação das alturas das lajes devese analisar os resultados visando uniformizar as alturas para simplificar o cálculo e a execução No exemplo a laje L3 poderia ser considerada com altura igual à da laje L2 de 12 cm ou a laje L2 ser feita com 13 cm como a laje L3 As demais lajes L4 a L10 poderiam ter uma altura única uniformizada como 9 ou 10 cm As flechas resultantes e as quantidades de armadura das lajes mostrarão se a altura adotada foi suficiente No caso de não ser a altura de uma laje específica poder ser alterada Neste exemplo não será feita a uniformização das alturas das lajes UNESPBauruSP Lajes de Concreto 47 3173 Cálculo das Ações Atuantes O cálculo das ações atuantes nas lajes fica facilitado com o auxílio da Tabela 16 Para o carregamento total p nas lajes devem ser consideradas todas as ações possíveis como peso próprio revestimento do lado inferior da laje contrapiso argamassa de regularização sobre a laje paredes cargas variáveis e todas as demais porventura existentes As cargas variáveis q foram tomadas na Tabela 10 da NBR 6120 e na Tabela 3 deste texto conforme a utilização de cada laje prevista no projeto arquitetônico Tabela 16 Ações nas lajes kNm2 Laje h cm Peso próprio Revest inferior5 Revest piso1 Parede7 gpar Perman total gtot Carga Variável q Total p gtot q L1 12 300 038 078 0173 433 25 683 L2 126 300 038 078 012 428 15 578 L3 13 325 038 078 067 508 15 658 L44 9 225 038 078 341 202 541 165 506 202 706 L5 10 250 038 078 174 540 15 690 L6 8 200 038 078 158 474 15 624 L7 10 250 038 078 097 463 15 613 L8 9 225 038 078 097 438 15 588 L9 8 200 038 078 370 686 15 836 L10 9 225 038 078 341 15 491 Observações 1 as cargas permanentes do contrapiso e do piso encontramse somadas gcontr piso 003 21 015 078 kNm2 onde econtr 3 cm argcontr 21 kNm3 e piso final cerâmico com 015 kNm2 2 a laje L4 compõe a cozinha e a área de serviço com cargas variáveis de 15 kNm2 e 20 kNm2 respectivamente Como uma simplificação a favor da segurança foi adotada a carga de 20 kNm2 para toda a área da laje 3 a laje em balanço L1 não tem parede sobre ela mas tem um gradil de parapeito ao longo de suas três bordas livres com carga adotada neste caso de 50 kgfm 05 kNm A carga do gradil ao longo da borda livre com comprimento de 6 m deve ser computada como força concentrada na extremidade livre da viga que representa a laje e será considerada quando do cálculo dos esforços solicitantes na laje ver Figura 51 A carga do gradil apoiado sobre as duas bordas livres menores pode ser simplificadamente distribuída na área da laje e somada às demais cargas atuantes na área da laje Essa carga do gradil na área é 2 05 163163 60 017 kNm2 onde 163 m é o comprimento estimado para o gradil tomado igual a x 4 a laje L4 foi dividida em duas regiões uma com carga de parede e outra sem carga de parede 5 carga do revestimento inferior das lajes grevinf 002 19 038 kNm2 com erevinf 2 cm e argrev 19 kNm3 6 carga do peso próprio da laje L2 gpp 012 25 300 kNm2 com h 12 cm e concr 25 kNm3 7 o cálculo das cargas das parede sobre as lajes estão mostrados abaixo A Figura 50 mostra a planta arquitetônica sobreposta à planta de fôrma da estrutura o que auxilia na visualização e no cálculo da carga das paredes sobre as lajes A equação básica tomada para cálculo das cargas das paredes sobre as lajes é laje alv par A e h g alv peso específico de bloco cerâmico de vedação com furos horizontais tomado como 13 kNm3 e espessura final das paredes blocos mais revestimento de argamassa nas duas faces tomada como 13 cm 9 cm da largura do bloco cerâmico e 2 cm de revestimento em cada face h altura de todas as paredes 280 m comprimento total de parede sobre a área da laje não contados comprimentos de portas Alaje área da laje calculada com os vãos efetivos ver Tabela 14 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 48 567 Escada L8 L9 L10 300 500 800 180 670 200 400 500 270 400 600 620 170 600 L2 L3 L1 L4 L5 L6 L7 Figura 50 Paredes sobrepostas na planta de fôrma da estrutura Exemplos de cálculo das cargas das paredes nas lajes a Laje L2 090 m 012 06 5 86 6 13 013 2 80 0 90 gpar kNm2 b Laje L3 545 m 0 67 56 5 86 6 13 013 2 80 5 45 gpar kNm2 c Região da Laje L4 com carga de parede conforme a Eq 12 190 m 65 1 2 86 2 3 13 013 2 80 190 g 2 par kNm2 d Laje L5 870 m 174 86 4 86 4 13 013 2 80 8 70 gpar kNm2 e Laje L6 415 m 158 56 4 86 2 13 013 2 80 415 gpar kNm2 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 49 f Laje L7 386 m 0 97 86 4 86 3 13 013 2 80 3 86 gpar kNm2 g Laje L8 286 m 0 97 86 4 86 2 13 013 2 80 2 86 gpar kNm2 h Laje L9 286 2 572 m 3 70 56 2 86 2 13 013 2 80 5 72 gpar kNm2 3174 Reações de Apoio nas Vigas de Borda As reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas direções estão mostradas na Tabela 17 e são relativas a faixas de largura de 1 m das lajes O cálculo das reações foi feito com aplicação da Eq 24 e com auxílio das Tabelas A5 A6 e A7 Exemplo de cálculo para a laje L2 7 69 10 2 27 5 78 5 86 10 p V x x x kNm 25 11 10 3 32 5 78 5 86 10 p V x x x kNm 7 35 10 217 5 78 5 86 10 p V x y y kNm 1074 10 317 5 78 5 86 10 p V x y y kNm Tabela 17 Reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas direções kNm Laje Tipo x m p kNm2 x x y y Vx Vx Vy Vy L2 3 586 103 578 227 332 217 317 769 1125 735 1074 L3 3 586 112 658 236 346 217 317 910 1334 837 1222 L5 6 486 100 69 250 250 838 838 L6 6 256 190 624 368 250 588 399 L7 5A 386 126 613 213 313 317 504 741 750 L8 5A 286 170 588 272 398 317 457 669 533 L9 5B 256 112 811 321 171 250 666 355 519 L10 3 286 135 491 273 399 217 317 383 560 305 445 No caso de lajes armadas em uma direção as lajes L1 e L4 as reações de apoio devem ser calculadas supondo as lajes como vigas na direção do vão principal vão menor As reações de apoio nas lajes L1 e L4 estão mostradas na Figura 51 Figura 52 e Figura 53 A laje L1 está em balanço e como já comentado em sua extremidade livre deve ser considerada a carga relativa ao peso próprio do gradil 05 kNm e também a carga linear vertical de 2 kNm sobre o gradil nota j da Tabela 10 da NBR 612018 Figura 51 A carga vertical total distribuída na área da laje é de 683 kNm2 conforme indicado na Tabela 16 A largura da viga que representa a laje é adotada como 1 m de forma que a carga de 683 kNm2 passa a ser 683 kNm e os esforços solicitantes mostrados na Figura 51 são relativos a faixas de 1 m de largura da laje 18 Nas bordas de balcões varandas sacadas e terraços com guardacorpo prever carga variável de 2 kNm além do peso próprio do guardacorpo Considerar também forças horizontais variáveis conforme 63 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 50 Figura 51 Esquema estático carregamentos e esforços solicitantes característicos na laje L1 por metro de largura de laje A laje L4 deve ser dividida em três regiões sendo duas sem carga de parede I e outra com carga de parede II A posição e o comprimento da parede estão indicadas na Figura 52 Observase que a carga da porta foi desprezada Considerando o carregamento total nas regiões I e II da laje conforme mostrado na Tabela 16 os esforços solicitantes na laje L4 nas regiões I e II estão indicados nas Figura 53 e Figura 54 A região II tem a largura determinada como 191 3 2 86 2 3 2 x m Figura 52 Divisão da laje L4 em regiões com carga de parede e sem carga de parede Figura 53 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes na região I da laje L4 163 1215 1241 Vk 25 kNm M k kN 608 kNm 25 kN 05 kNm gradil L1 600 163 20 05 kNm 683 kNm2 683 kNm 1363 1314 kNm kNmm 286 m 406 380 285 191 310 786 m I II I 541 kNm 2 541 kNm 2 706 kNm 2 parede 541 KNm 286 m 311 553 M k KNm 967 Vk KN 580 kNm kNmm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 51 Figura 54 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes na região II da laje L4 As reações de apoio das lajes do pavimento devem ser indicadas em um desenho esquemático da planta de fôrma da estrutura como mostrado na Figura 5519 Para facilitar a plotagem cada laje tem indicada a direção x não necessariamente na horizontal e sim segundo a direção do vão x menor vão Figura 55 Reações de apoio características Vk kNm das lajes nas vigas de borda 3175 Momentos Fletores e Dimensionamento das Armaduras Longitudinais de Flexão Os momentos fletores solicitantes nas lajes armadas em duas direções encontramse mostrados na Tabela 18 e foram calculados conforme a Eq 21 Exemplo de cálculo para a laje L2 5 84 100 2 94 5 78 5 86 100 p M 2 2 x x x kNmm 1475 100 7 43 5 78 5 86 100 p M 2 2 x x x kNmm 19 A plotagem das reações de apoio das lajes deve ser feita com muito cuidado para evitar erros no posicionamento e consequentemente erros no cálculo de cargas sobre as vigas de apoio das lajes kNm kNmm kNm 411 731 M k 286 m 706 kNm 767 1278 Vk kN L6 L3 285 191 310 1241 781 746 x 1090 1222 1142 838 x 910 837 1334 399 750 580 767 580 967 1278 967 838 838 838 588 588 399 x 741 504 750 519 355 L9 666 666 x x x x 669 457 533 533 445 305 560 383 L8 L4 L5 L2 L1 L10 L7 1363 1125 769 735 1074 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 52 5 32 100 2 68 5 78 5 86 100 p M 2 2 x y y kNmm 1425 100 718 5 78 5 86 100 p M 2 2 x y y kNmm Tabela 18 Momentos fletores solicitantes característicos nas lajes armadas em duas direções kNmm Laje Tipo x m p kNm2 x x y y Mx Mx My My L2 3 586 103 578 294 743 268 718 584 1475 532 1425 L3 3 586 112 658 319 787 267 736 721 1778 603 1663 L5 6 486 100 69 202 515 202 515 329 839 329 839 L6 6 256 190 624 399 824 101 572 163 337 041 234 L7 5A 386 126 613 323 881 264 736 295 805 241 672 L8 5A 286 170 588 484 1034 222 810 233 497 107 390 L9 5B 256 112 811 287 676 191 565 153 359 102 300 L10 3 286 135 491 424 965 245 788 170 388 098 316 No caso de lajes armadas em uma direção como as lajes L1 e L4 os cálculos de momentos fletores devem ser feitos em função do esquema estático e dos carregamentos nas lajes como exemplificado na Figura 51 até a Figura 54 Os momentos fletores característicos estão plotados na Figura 56 conforme os valores contidos na Tabela 1820 A Figura 56 mostra que não existe momento fletor na borda da laje L2 adjacente à laje L1 porque a laje L2 não está engastada na laje L1 Para facilitar a plotagem cada laje tem indicada a direção x direção do vão menor x Figura 56 Momentos fletores característicos Mk kNcmm 20 A plotagem dos momentos fletores nas lajes deve ser feita com muito cuidado para evitar erros no posicionamento de momentos fletores e consequentemente erros de posicionamento das armaduras de flexão 329 x 337 805 388 672 359 316 390 359 839 337 553 839 839 390 311 411 311 603 721 x 540 593 x 1778 1663 1778 1215 1498 1447 672 839 839 497 234 300 234 731 553 191 310 285 L10 h 9 cm L9 h 8 cm L8 h 9 cm L7 h 10 cm L6 h 8 cm L5 h 10 cm L4 h 9 cm L3 h 13 cm L2 h 12 cm L1 h 11 cm x x 233 107 x 102 153 x 170 98 241 295 163 x 41 329 1314 h 12 532 584 1475 1425 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 53 Conforme os valores constantes na Tabela 7 e Classe de Agressividade Ambiental I com c de 10 mm para cálculo das armaduras de flexão positivas será considerado o cobrimento nominal de 20 cm No caso das armaduras negativas o cobrimento nominal pode ser reduzido para 15 cm de acordo com a possibilidade apresentada na Nota b da Tabela 721 Estimando o diâmetro de 10 mm para as barras das armaduras e que d h c 2 a altura útil d resulta d h 25 cm para os momentos fletores positivos d h 20 cm para os momentos fletores negativos De acordo com a Tabela 10 a armadura mínima negativa para lajes armadas em uma ou duas direções e positiva para lajes armadas em uma direção deve ter s mín Para o concreto C25 a taxa de armadura mínima Tabela 11 é h b A w s mín 015 e fazendo bw 100 cm a armadura mínima resulta Asmín 015h cm2m para h em centímetro Para as lajes armadas em duas direções a armadura mínima positiva deve ser multiplicada pelo fator 067 tal que Asmín 067 015h 010h cm2m para h em centímetro Na Figura 57 estão plotados os momentos fletores e as respectivas áreas de armadura já considerando os valores de armadura mínima Todos os cálculos de armadura resultaram o domínio 2 e a relação xd 045 ver Eq 50 foi atendida em todos os casos Os momentos fletores determinados com a Eq 21 para as lajes armadas em duas direções são relativos a faixas de largura de 1 m 100 cm de modo que se deve considerar bw 100 cm Observe na Figura 56 que são diferentes os momentos fletores negativos de duas lajes em uma mesma viga de borda Isso acontece porque as lajes foram calculadas isoladas individualmente Neste caso a NBR 6118 permite que seja feita uma compatibilização de momentos fletores negativos e de acordo com a tradição brasileira por meio da Eq 22 ver Figura 24 A norma também permite adotar a maior armadura negativa em uma borda comum a duas lajes contíguas22 Por exemplo entre as lajes L2 e L3 existem os momentos fletores de 1425 kNcmm e 1663 kNcmm Figura 56 e considerando a altura útil de cada laje d h 2 com f 14 as áreas de armadura resultam L2 05 1425 41 10 100 M d b K 2 d 2 w c e com concreto C25 na Tabela A25 temse Ks 0025 domínio 2 βx xd 018 045 ok 4 99 10 1425 0 025 41 d K M A d s s cm2m 015h 015 12 180 cm2m ok L3 25 1663 41 11 100 M d b K 2 d 2 w c e na Tabela A25 Ks 0025 domínio 2 βx xd 017 045 ok 5 30 11 0 025 41 1663 d K M A d s s cm2m 015h 015 13 195 cm2m ok 21 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas de 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm 22 NBR 6118 item 14762 Quando houver predominância de cargas permanentes as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas realizandose a compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada No caso de análise plástica a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e vão em procedimento iterativo até a obtenção de valores equilibrados nas bordas Permitese simplificadamente a adoção do maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum UNESPBauruSP Lajes de Concreto 54 Portanto entre as duas armaduras negativas calculadas adotase a maior 530 cm2m a qual será disposta ao longo da borda comum às duas lajes ver Figura 57 Os detalhamentos das armaduras positivas e negativas estão apresentados na Figura 58 e Figura 59 Como a laje L1 está em balanço a armadura de flexão deve ser calculada com o momento fletor negativo majorado pelo coeficiente de ponderação das ações f 14 e também pelo coeficiente adicional n cujo valor na Tabela 4 para a altura de 12 cm é 135 A altura útil é d h 2 cm 12 2 10 cm e a armadura resulta 04 1351314 41 10 100 M d b K 2 d 2 w c e na Tabela A25 Ks 0025 domínio 2 βx xd 023 045 ok 6 21 10 1 351314 0 025 41 d K M A d s s cm2m 015h 015 12 180 cm2m ok Figura 57 Momentos fletores característicos Mk kNcmm e áreas de armadura de flexão cm2m Para o momento fletor positivo de 584 kNcmm da laje L2 h 12 cm e d h 25 12 25 95 cm a armadura positiva é 110 584 41 59 100 M d b K 2 d 2 w c e na Tabela A25 Ks 0024 domínio 2 βx xd 008 045 ok 2 07 59 584 0 024 41 d K M A d s s cm2m 010h 010 12 120 cm2m ok 285 310 191 553 265 731 365 234 131 300 168 234 131 497 239 839 367 839 367 672 282 1447 507 1498 524 1215 473 1778 566 1663 530 1778 566 x 593 210 540 191 x 721 231 603 193 311 411 311 390 187 839 367 839 367 553 265 337 189 839 367 359 201 390 187 316 152 359 201 672 282 388 186 805 352 337 189 x 329 148 329 148 41 080 x 163 295 132 241 103 98 090 170 090 x 153 102 080 x 107 233 120 x x L1 h 11 cm L2 h 12 cm L3 h 13 cm L4 h 9 cm L5 h 10 cm L6 h 8 cm L7 h 10 cm L8 h 9 cm L9 h 8 cm L10 h 9 cm 090 099 161 212 161 093 h 12 cm 621 532 188 584 1425 1475 499 1314 207 516 0 0 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 55 3176 Verificação de Flechas Na Tabela 19 encontramse os valores calculados para a flecha total das lajes As flechas nas lajes armadas em duas direções foram calculadas com auxílio do coeficiente encontrado na Tabela A1 até a Tabela A4 e por meio da Eq 46 Já nas lajes armadas em uma direção L1 e L4 as flechas foram calculadas com as equações contidas nas Figura 17 Figura 18 e Figura 19 supondo as lajes como vigas na direção do menor vão As variáveis contidas na Tabela 19 indicam g carregamento permanente total na laje q carga variável 2 fator de redução de combinação quase permanente para o EstadoLimite de Serviço adotado igual a 03 ou 04 p g 2q carregamento total na laje considerando o carregamento permanente acrescido do carregamento variável corrigido pelo fator de redução para combinação quase permanente Mr momento fletor de fissuração da laje Ma momento fletor na laje com carregamento correspondente à combinação rara coeficiente tabelado encontrado na Tabela A1 à Tabela A4 EI rigidez à flexão da laje ai flecha imediata at flecha total na laje considerando a fluência do concreto A fim de facilitar o entendimento dos cálculos feitos com auxílio de uma planilha eletrônica com resultados mostrados na Tabela 19 os cálculos das flechas nas lajes L1 L2 e L4 estão demonstrados na sequência Tabela 19 Flecha imediata ai e total at nas lajes Laje Tipo x cm g kNm2 q kNm2 2 q kNm2 p g 2 q h cm Mr kNcm Ma kNcm EI kNcm2 ai cm at cm L11 163 433 25 1002 533 12 923 989 29790540 018 042 L2 3 586 103 428 15 045 473 12 923 584 272 34675200 036 085 L3 3 586 112 508 15 045 553 13 1083 721 296 44086467 036 085 L4 286 506 20 060 566 9 519 411 14628600 014 032 L5 6 486 100 54 15 045 585 10 641 329 149 20066667 020 047 L6 6 256 190 474 15 045 519 8 410 163 290 10274133 005 012 L7 5A 386 126 463 15 045 508 10 641 295 300 20066667 014 033 L8 5A 286 170 438 15 045 483 9 519 233 459 14628600 008 020 L9 5B 256 112 661 15 045 706 8 314 153 208 10274133 005 012 L10 3 286 135 341 15 045 386 9 519 170 399 14628600 006 014 NOTAS 1 Existe também carga de gradil de parapeito na borda da extremidade livre da laje 2 para maior segurança no cálculo da flecha na laje em balanço 2 foi adotado como 04 locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo ou de elevada concentração de pessoas como edifícios comerciais de escritórios estações e edifícios públicos 31761 Flecha na Laje L2 A laje L2 com 103 é uma laje armada em duas direções A altura da laje h é 12 cm o menor vão x é de 586 cm o carregamento total permanente g é de 428 kNm2 a carga variável é de 15 kNm2 O momento fletor de fissuração que é aquele correspondente ao surgimento da primeira fissura na laje pode ser calculado com a Eq 25 t c ct r y I f M A resistência do concreto à tração direta fct pode ser considerada com o valor médio adotandose o valor fornecido na NBR 6118 Eq 26 que possibilita determinar a resistência média à tração direta em função da resistência característica do concreto à compressão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 56 2 565 25 30 f 30 f f 3 2 3 2 ck ctm ct MPa 02565 kNcm2 Momento de inércia da laje considerando seção homogênea não fissurada Eq 32 14400 12 12 100 12 b h I 3 3 c cm4 O fator é 15 para seção retangular A distância yt entre o centro de gravidade da seção e a fibra mais tracionada é igual a h2 923 6 51 0 256514400 Mr kNcm O momento fletor atuante na laje correspondente à combinação rara de serviço é Eq 30 Fdser Σ Fgik Fq1k Σ 1j Fqjk A laje L2 tem apenas uma carga variável importante que deve ser considerada de 15 kNm2 de modo que Fdser coincide com o carregamento total na laje mostrado na Tabela 16 de 578 kNm2 Para esse carregamento os momentos fletores positivos na área interna da laje resultaram 584 e 532 kNcm mostrados na Figura 56 Portanto para Ma devese considerar o maior valor 584 kNcm Observase que Ma 584 kNcm é menor que o momento fletor de fissuração Mr 923 kNcm o que significa que a laje L2 não estará fissurada quando submetida ao carregamento total de 578 kNm2 isto é a laje estará no Estádio I em serviço como comumente ocorre com as lajes maciças dimensionadas segundo a Teoria das Placas A flecha imediata na laje armada em duas direções pode ser calculada com a Eq 46 I E p 12 a 4 x i Com a Tabela A1 anexa determinase o fator 272 para laje do tipo 3 e carregamento uniformemente distribuído na área da laje O módulo de elasticidade secante do concreto para brita de granito E 10 é ck E i ci i cs 5600 f E E 24080 0 86 01 5600 25 MPa 0 86 80 25 20 80 80 f 20 80 ck i que multiplicado pelo momento de inércia fornece a rigidez à flexão da laje 34675200 12 10012 2 4080 EI 3 kNcm2 Para o carregamento p deve ser adotada a combinação quase permanente dada pela Eq 47 O fator de redução de carga 2 para combinação quase permanente pode ser adotado igual a 03 locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo nem de elevadas concentrações de pessoas edifícios residenciais Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk 428 03 15 473 kNm2 A flecha imediata na laje será 0 36 34675200 000473586 0 12 2 72 a 4 i cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 57 A flecha total que leva em conta a fluência do concreto da laje é dada pela Eq 49 at ai 1 f O fator f é dado pela Eq 39 como 50 1 f onde é igual a zero porque na laje em questão não existe armadura comprimida As armadura superior na área do centro da laje Basta portanto determinar que é dado pela Eq 41 t t 0 t será adotado igual a 200 para o tempo t superior a 70 meses Eq 43 Assumindo que a carga de longa duração atuará na laje a partir de um mês após executada valor conservador neste caso na Tabela 8 encontrase t0 068 Resulta para o valor 132 0 68 2 00 A flecha total na laje será at 036 1 132 085 cm Para a flecha máxima permitida na laje L2 conforme a Tabela 9 podese considerar a Aceitabilidade sensorial deslocamentos visíveis em elementos estruturais onde o valor limite é 250 586250 234 cm Quanto à possibilidade de vibração devida a cargas variáveis o limite é 350 586350 167 cm Como a parede apoiada na laje L2 é muito pequena e próxima à borda a flecha máxima para Efeitos em elementos não estruturais não necessita ser avaliada Portanto a flecha resultante para a laje de 085 cm é menor que as flechas máximas permitidas 234 e 167 cm o que significa que a laje L2 pode ser executada com altura de 12 cm e poderia até ter a altura um pouco menor como 11 cm por exemplo É importante observar que se deve sempre evitar a ocorrência de flechas elevadas visando impedir o surgimento de vibrações indesejáveis que prejudicam o conforto dos usuários bem como o possível aparecimento de fissuras em paredes apoiadas sobre lajes Um procedimento mais conservador quanto à escolha da altura das lajes é mais indicado de início até que se obtenha a experiência no projeto de lajes 31762 Flecha na Laje L1 A laje L1 é uma laje em balanço engastada na laje L2 e deve ter a flecha calculada como uma viga em balanço A altura da laje é 12 cm vão x de 163 cm carregamento total permanente g de 433 kNm2 e carga variável de 25 kNm2 O momento fletor de fissuração é Eq 25 t c ct r y I f M O momento de inércia da seção bruta sem considerar as armaduras de aço considerando uma faixa de 100 cm é 12 10012 I 3 c 14400 cm4 O fator é 15 para seções retangulares A distância yt entre o centro de gravidade da seção e a fibra mais tracionada é igual a h2 923 6 51 0 256514400 Mr kNcm O momento fletor atuante na laje correspondente à combinação rara de serviço é Eq 30 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 58 Fdser Σ Fgik Fq1k Σ 1j Fqjk A laje L1 tem apenas uma carga variável importante de 25 kNm2 de modo que Fdser coincide com o carregamento total na laje mostrado na Tabela 16 de 683 kNm2 A carga vertical de 20 kNm prevista para ser aplicada no parapeito da extremidade livre da laje conforme a NBR 6120 Figura 51 não necessita ser considerada no cálculo da flecha Para o carregamento total na área da laje e também a carga do gradil na borda livre da laje 05 kNm o momento fletor na seção de engastamento da laje resulta 9 89 163 50 2 6 83 163 M 2 a kNm Observase que Ma 989 kNcm é maior que o momento fletor de fissuração Mr 923 kNcm o que significa que a laje L1 estará fissurada quando submetida ao carregamento total de 683 kNm2 isto é na seção de engaste a laje estará no Estádio II em serviço Portanto conforme a Eq 48 deve ser considerada a rigidez equivalente dada pela Eq 31 cs c II 3 a r c 3 a r cs eq E I I M M 1 I M M E EI Para cálculo de EIeq vários valores devem ser calculados A razão modular entre os módulos de elasticidade dos materiais Eq 33 com o módulo de elasticidade secante do concreto de 24080 MPa conforme já calculado para a laje L2 é cs s e E E 2408 21000 872 Desprezando a armadura construtiva inferior da laje As 0 com a Eq 37 calculase a posição da linha neutra no Estádio II xII considerando a altura útil d de 10 cm e a área escolhida para a armadura negativa da laje composta por 8 mm c8 cm 625 cm2 ver Figura 59 a qual atende à área de armadura calculada de 621 cm2m 0 b 2 A d x b 2 A x e s II e s 2 II 0 100 2 6 2510 8 72 x 100 2 6 25 8 72 x II 2 II xII 270 cm O momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II conforme a Eq 38 é 2 II s e 2 II II 3 II II x A d 2 x b x 12 b x I 2 2 3 II 2 70 8 72 6 25 10 2 2 70 100 2 70 12 100 2 70 I 35604 cm4 A rigidez equivalente será 3 560 4 989 923 1 989 14400 923 2408 EI 3 3 eq 29790540 kNcm2 EIeq 29790540 kNcm2 Ecs Ic 2408 14400 34675200 kNcm2 ok A flecha imediata máxima que ocorre na extremidade da laje em balanço pode ser calculada pela equação clássica UNESPBauruSP Lajes de Concreto 59 I E P 3 1 I E p 8 1 a 3 x 4 x i Para a carga uniformemente distribuída p deve ser adotada a combinação quase permanente dada pela Eq 47 O fator de redução de carga 2 para combinação quase permanente por questão de segurança neste caso pode ser adotado igual a 04 locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo ou de elevada concentração de pessoas edifícios comerciais de escritórios estações e edifícios públicos Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk 433 04 25 533 kNm2 Esta carga deve ser multiplicada pela largura da viga 1 m portanto 533 kNm A carga do gradil P é 05 kNm A flecha imediata na laje resulta 790540 29 163 50 3 1 790540 29 0533163 0 8 1 a 3 4 i 018 cm A flecha total que leva em conta a fluência do concreto da laje considerando o valor já calculado para f de 132 é at ai 1 f 018 1 132 042 cm Para a flecha máxima permitida conforme a Tabela 9 podese considerar23 a aceitabilidade sensorial 250 2 163250 130 cm b vibração devida a cargas variáveis 350 2 163350 093 cm Como não existe parede apoiada na laje L1 a flecha máxima para Efeitos em elementos não estruturais não necessita ser avaliada A flecha resultante de 042 cm é menor que as flechas máximas permitidas 130 e 093 cm o que significa que a laje L1 tem altura adequada 12 cm 31763 Flecha na Laje L4 A laje L4 é uma laje armada em uma direção e deve ser calculada como viga segundo a direção principal x relativa à região com carga total maior a região com parede A altura da laje é 9 cm o vão x é 286 cm o carregamento total permanente g no trecho com parede é 506 kNm2 e a carga variável é 20 kNm2 O momento fletor de fissuração calculado de forma análoga aos dois itens anteriores é 519 kNcm e o momento fletor atuante Ma é 411 kNcm o que significa que a laje está no Estádio I em serviço não fissurada Neste caso pode ser considerado o momento de inércia da seção bruta de concreto O momento de inércia da seção bruta sem considerar o efeito da armadura é 12 100 9 I 3 c 6075 cm4 A rigidez da laje à flexão é Ecs Ic 2408 6075 14628600 cm4 A flecha imediata máxima na laje pode ser calculada com a equação mostrada na Figura 18 vínculos engasteapoio simples I E p 185 1 a 4 x i 23 O vão deve ser multiplicado por dois quando se trata de balanço ver nota a da Tabela 9 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 60 Para a carga p deve ser adotada a combinação quase permanente Eq 47 O fator de redução de carga 2 para combinação quase permanente pode ser adotado igual a 03 locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos nem de concentração de pessoas edifícios residenciais Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk 506 03 20 566 kNm2 A flecha imediata na laje é 14628600 0566 286 0 185 1 a 4 i 014 cm A flecha total que leva em consideração a fluência do concreto e com o valor já calculado para f de 132 é at ai 1 f 014 1 132 032 cm A flecha limite neste caso como a laje tem carga de parede Efeitos em elementos não estruturais conforme a Tabela 4 pode ser considerada como 500 com o vão na direção da parede que coincide com o vão principal 500 286500 057 cm A flecha calculada de 032 cm é menor que a flecha limite 057 cm Caso resultasse o contrário a altura da laje deveria ser aumentada Considerando a existência ou não de paredes sobre as lajes ver Figura 50 as flechas limites da NBR 6118 Tabela 4 e a flecha total ver a Tabela 19 para as demais lajes resulta L3 amáx 500 656500 131 cm at 085 cm at amáx L5 amáx 500 486500 097 cm at 047 cm at amáx L6 amáx 500 486500 097 cm at 012 cm at amáx L7 amáx 500 386500 077 cm at 033 cm at amáx L8 amáx 500 286500 057 cm at 020 cm at amáx L9 amáx 500 286500 057 cm at 012 cm at amáx L10 amáx 250 286250 114 cm at 014 cm at amáx Verificase que todas as flechas calculadas resultaram menores que as flechas máximas permitidas Caso alguma laje apresentasse flecha maior que a flecha limite a sua altura deveria ser aumentada 3177 Verificação da Força Cortante Raramente as lajes maciças de edifícios residenciais necessitam de armadura transversal para resistência às forças cortantes A título de exemplo serão verificadas as lajes L1 e L4 a Laje L1 A laje é em balanço e tem reação de apoio força cortante na laje característica de 1363 kNm Vk Para não ser necessária a armadura transversal devese ter Eq 56 VSd VRd1 A força cortante de cálculo deve considerar o coeficiente de ponderação f 14 e o coeficiente de ponderação adicional n 135 porque a laje está em balanço VSd f n Vk 14 135 1363 2576 kNm A força cortante máxima que pode ser resistida VRd1 é Eq 59 d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Rd 025fctd fctkinf c 0 3206 41 25 30 70 25 0 3 2 MPa 003206 kNcm2 A área de armadura negativa especificada para a laje L1 é 8 mm c8 cm o que representa 625 cm2 ver Figura 59 e altura útil da armadura negativa é d h 2 12 2 10 cm Com bw 100 cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 61 d b A w 1 s 1 002 0 00625 10 100 25 6 1 002 ok Considerando que 100 da armadura negativa principal chega até a viga de apoio k 16 d 16 010 15 1 ok 40 0 00625 10010 21 51 0 03206 V Rd1 6973 kNm Portanto VSd 2576 kNm VRd1 6973 kNm o que significa que não é necessário dispor armadura transversal na laje L1 a Laje L4 Será considerado o trecho que tem a parede apoiada na laje com a maior reação de apoio característica de 1278 kNm Vk Para não ser necessária a armadura transversal devese ter Eq 56 VSd VRd1 VSd f Vk 14 1278 1789 kNm A força cortante máxima que pode ser resistida VRd1 é Eq 59 d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Rd 025fctd fctkinf c 03206 MPa 003206 kNcm2 A área de armadura positiva especificada para a laje L4 no trecho da parede é 5 mm c9 cm o que representa 222 cm2 ver Figura 58 e altura útil da armadura positiva é d h 25 9 25 65 cm Com bw 100 cm d b A w 1 s 1 002 0 0034 56 100 22 2 1 002 ok Considerando que 100 da armadura positiva chega até a viga de apoio k 16 d 16 0065 1535 1 ok 56 40 0 0034 100 21 0 03206 1 535 V Rd1 4286 kNm Portanto VSd 1789 kNm VRd1 4286 kNm o que significa que não é necessário colocar armadura transversal na laje L4 Nas demais lajes também não é necessário colocar estribos como armadura transversal 3178 Detalhamentos das Armaduras Longitudinais de Flexão A Figura 58 e a Figura 59 mostram o detalhamento das armaduras longitudinais das lajes positivas e negativas Os critérios aplicados para determinação do comprimento das barras foram apresentados nos itens 3125 e 3126 Os espaçamentos das barras devem obedecer aos valores mostrados na Eq 66 s 2h e s 20 cm A norma não especifica um espaçamento mínimo para as barras de armaduras de lajes maciças mas podese indicar por motivos construtivos um espaçamento mínimo de 8 cm para a armadura negativa e um valor um pouco inferior para a armadura positiva O ideal muitas vezes é que o espaçamento de ambas armaduras fique entre 8 e 20 nas lajes correntes A escolha do diâmetro e espaçamento das barras positivas e negativas pode ser feita com auxílio da Tabela A26 em função das áreas de armadura apresentadas na Figura 57 Exemplos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 62 a armaduras positivas da laje L3 193 cm2m 63 mm c16 cm 197 cm2m ou 5 mm c10 cm 200 cm2m barras N3 231 cm2m 63 mm c13 cm 242 cm2m ou 5 mm c8 cm 250 cm2m barras N17 b armadura negativa de 530 cm2m da laje L3 530 cm2m 8 mm c9 cm 556 cm2m ou 10 mm c15 cm 533 cm2m barras N1 c armadura negativa de 367 cm2m da laje L5 367 cm2m 8 mm c13 cm 385 cm2m ou 63 mm c85 cm 371 cm2m barras N3 e N5 A armadura secundária de distribuição da laje L4 armada em uma direção foi determinada segundo a área mínima indicada na Tabela 10 sendo 0 42 cm m 212 20 A 20 0 90 cm m A 0 68cm m 0159 50 A 50 cm m 90 A 2 princ s 2 distr s 2 mín s 2 s distr verificase na Tabela A26 que pode ser escolhida a armadura 42 mm c15 092 cm2m Na laje em balanço L1 não há necessidade de colocar armadura negativa perpendicular à armadura principal negativa No entanto convém colocar uma armadura construtiva próxima à superfície inferior da laje na direção do balanço e ancorada na viga de apoio da laje São as barras N13 mostradas na Figura 58 A fim de não considerar os momentos volventes como a NBR 6118 permite neste caso todas as barras das armaduras positivas foram estendidas 100 até os apoios O critério utilizado para definir o comprimento foi de estender as barras 5 cm além do eixo das vigas internas e até a face externa das vigas de periferia do edifício menos 2 cm para considerar o cobrimento de concreto c na extremidade ponta da barra Por exemplo para a barra N3 C 670 8 5 683 cm onde 670 cm é a distância de eixo a eixo das vigas até onde a barra estendese 8 cm é quanto a barra adentra a viga vertical do lado direito e 5 cm além do eixo da viga interna do lado esquerdo UNESPBauruSP Lajes de Concreto 63 L1 N2 25 Ø 63 C 633 N1 11 Ø 63 C 813 N3 36 Ø 63 C 683 N11 40 c15 N1 11 c16 N2 25 c16 N12 12 c15 N17 50 c13 N3 36 c16 N13 40 c15 N10 19 Ø 42 C 813 N11 40 Ø 63 C 613 N1212 Ø 63 C213 N1340 Ø 5 C176 N17 50 Ø 63 C613 N16 15 Ø 42 C510 N14 25 c15 N9 19 N14 15 N7 19 N14 44 c11 N6 19 N423 c12 N7 53 Ø 42 C275 c17 N4 69 Ø 5 C313 N6 19 Ø 42 C510 N5 37 Ø 5 C510 c15 c15 N8 32 Ø 5 C413 N9 19 Ø 42 C413 c15 N14 84 Ø 42 C313 N16 15 N15 37 c13 N5 37 c13 c12 N4 25 N4 21 c9 N1019 c15 N7 34 c14 c17 N15 57 Ø 5 C510 N8 32 c15 N15 20 c19 Figura 58 Detalhamento das armaduras positivas O comprimento das barras das armaduras negativas foi determinado para o arranjo 3 mostrado na Figura 32 e conforme a Eq 68 e Eq 69 Por exemplo a armadura negativa N1 na borda comum entre as lajes L2 e L3 530 cm2m ver Figura 57 Para definir o comprimento da barra inicialmente podese calcular c1 025x b 025 586 21 1675 cm c1 comprimento da barra de um lado da viga arranjo 3 x maior valor entre os vãos menores das duas lajes No caso das lajes L2 e L3 os vãos menores são ambos iguais a 586 cm b 21 cm comprimento de ancoragem da barra 8 mm com gancho região de boa aderência e C25 determinado na Tabela A27 O valor calculado para c1 deve ser arredondado para múltiplo de 10 cm de modo que a barra terá 170 cm de comprimento de um lado da viga e a metade desse valor do outro O comprimento total da barra será C 170 1702 8 9 272 cm onde 8 e 9 são os comprimentos dos ganchos nas extremidades da barra O comprimento do gancho deve ser definido em função da altura da laje e do cobrimento da armadura Considerando cobrimento c 20 cm temse gancho h 4 cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 64 b armadura negativa N3 na borda comum entre as lajes L4 e L5 367 cm2m Figura 57 c1 025x b 025 486 21 1425 cm 486 286 x x 486 cm b 21 cm comprimento de ancoragem da barra 8 mm com gancho região de boa aderência e C25 determinado na Tabela A27 Arredondando c1 1425 cm para o valor múltiplo de 10 cm mais próximo definese o comprimento da barra de um lado da viga como 140 cm de modo que o comprimento total da barra é C 140 1402 5 6 221 cm onde 5 e 6 são os comprimentos dos ganchos nas extremidades da barra As quantidades de barras como indicadas nas cotas setas das armaduras positivas e negativas Figura 58 e Figura 59 são calculadas dividindose o comprimento da cota geralmente de face à face das vigas de apoio das lajes pelo espaçamento das barras da armadura Por exemplo a barra N3 da armadura positiva da laje L3 está disposta entre as faces das vigas na extensão de 580 cm 600 20 que dividido por 16 cm espaçamento das barras resulta a quantidade de 3625 que deve ser arredondado para o inteiro mais próximo portanto 36 barras O procedimento é semelhante na quantificação das barras da armadura negativa Como exemplo as barras N3 da armadura negativa entre as lajes L4 e L5 dispostas na extensão de 480 cm 500 20 que dividido por 13 cm espaçamento das barras resulta a quantidade de 369 arredondado para 37 barras As barras negativas N2 e N13 mostradas no detalhamento da armadura negativa Figura 59 formam uma armadura adotada para proporcionar resistência ao momento volvente que ocorre no canto da laje L3 onde duas bordas simplesmente apoiadas convergem Os momentos volventes ocorrem com maior intensidade em cantos de lajes com bordas simplesmente apoiadas conforme detalhe da armadura mostrada na Figura 2524 Nas lajes L4 e L10 a armadura para momentos volventes não foi disposta porque os vãos dessas lajes são pequenos 24 A armadura adotada diminui a possibilidade de surgimento de fissuras na face superior da laje próximas aos cantos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 65 N8 16 Ø 63 C128 40 80 4 4 9 9 9 9 6 4 120 60 N7 53 Ø 63 C190 N4 23 Ø 63 C145 45 90 5 5 N12 45 c85 N11 29 c85 6 9 85 170 N12 45 Ø 8 C270 N11 29 Ø 8 C268 170 85 9 4 5 8 85 170 N10 82 Ø 8 C268 6 5 120 60 N9 35 Ø 63 C191 5 N6 19 Ø 63 C144 45 90 4 5 4 5 90 45 N6 19 Ø 63 C146 N5 37 Ø 8 C220 70 140 6 4 N13 10 Ø 5 C170 N13 10 c15 N2 10 c15 N2 10 Ø 5 C170 N1 64 Ø 8 C272 170 85 9 8 N1 64 c9 N10 82 c95 N14 75 Ø 8 C349 167 167 7 8 N14 75 c8 6 5 140 70 N3 37 Ø 8 C221 N3 37 Ø 8 C221 6 70 140 N9 35 c11 N8 16 N7 53 c9 c16 N5 37 c13 N6 19 c15 N6 19 c15 N3 37 c13 N4 23 c12 N3 37 c13 Figura 59 Detalhamento das armaduras negativas 4 LAJES NERVURADAS 41 DEFINIÇÃO A NBR 6118 item 1477 define laje nervurada como as lajes moldadas no local ou com nervuras prémoldadas cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte A resistência do material de enchimento material inerte Figura 60 não é considerada ou seja não contribui para aumentar a resistência da laje nervurada São as nervuras unidas e solidarizadas pela mesa capa que proporcionam a necessária resistência e rigidez UNESPBauruSP Lajes de Concreto 66 Figura 60 Enchimento com blocos de concreto celular autoclavado material inerte SICAL 2001 A laje nervurada é particularmente indicada quando há necessidade de vencer grandes vãos ou resistir a altas ações verticais Ao vencer grandes vãos a quantidade de pilares e vigas resultam menores As lajes nervuradas podem ser armadas em uma direção unidirecional ou em duas direções bidirecional ou em cruz em função da existência de nervuras em uma ou em duas direções A Figura 61 ilustra uma planta de fôrma onde uma laje nervurada com nervuras em duas direções vence grandes vãos Figura 61 Laje nervurada em cruz ou bidirecional CÓDIGO ENGENHARIA 2001 Os materiais de enchimento podem ser constituídos por diversos materiais como bloco cerâmico furado bloco de concreto bloco de concreto celular autoclavado Figura 60 isopor Figura 62 etc As nervuras podem também ficar expostas ou aparentes quando não são colocados materiais inertes entre elas Figura 63 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 67 Figura 62 Laje nervurada protendida com cordoalhas engraxadas e isopor como material de enchimento Figura 63 Laje nervurada com moldes plásticos httpwwwflickrcomphotosatex As lajes nervuradas apresentam as seguintes vantagens em relação às lajes maciças de concreto menor peso próprio menor consumo de concreto redução de fôrmas maior capacidade de vencer grandes vãos maiores planos lisos sem vigas 42 TIPOS Em função da forma e disposição do material de enchimento há diversas possibilidades para a execução das lajes nervuradas conforme indicado na Figura 64 O esquema indicado na Figura 64a é o mais comum encontrado na prática devido à sua facilidade de execução O esquema b com a mesa no lado inferior é indicado para proporcionar maior resistência aos momentos fletores negativos como nos balanços Os esquemas de b a h embora possíveis não são comuns na prática UNESPBauruSP Lajes de Concreto 68 b w b w h f h f 60 a b c e g d f h h f h f Fôrma perdida Não estrutural Junta seca Placa prémoldada f h Não estrutural Fôrma perdida f h Fôrma perdida f h f h h f Figura 64 Várias disposições possíveis para as lajes nervuradas ANDRADE 1982 43 CÁLCULO SIMPLIFICADO A laje nervurada pode ser entendida como um elemento estrutural constituído por vigas em uma direção ou em duas direções ortogonais ou não solidarizadas pela mesa capa de concreto O comportamento estático é intermediário entre o de grelha e o de laje maciça No item 1477 a NBR 6118 indica que Todas as prescrições anteriores relativas às lajes podem ser consideradas válidas desde que sejam obedecidas as condições de 13242 onde as prescrições anteriores referemse às Estruturas com elementos de placa item 147 Portanto a norma permite o cálculo da laje nervurada como placa laje no regime elástico desde que as condições apresentadas no item 13242 sejam obedecidas O cálculo da laje nervurada como laje maciça é chamado simplificado Quando as condições de 13242 não ocorrem a norma diz que item 1477 devese analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça apoiada em uma grelha de vigas As condições da norma apresentadas em 13242 são de dois tipos relativas às especificações para as dimensões da laje e relativas ao projeto da laje Conforme o desenho em corte mostrado na Figura 65 as especificações quanto às dimensões são as seguintes a A espessura da mesa quando não existirem tubulações horizontais embutidas deve ser maior ou igual a 115 da distância entre as faces das nervuras o e não menor que 4 cm b O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm Para tubulações com diâmetro maior que 10 mm a mesa deve ter a espessura mínima de 4 cm ou 4 cm 2 no caso de haver cruzamento destas tubulações c A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm d Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 69 h h f mesa arm da mesa b 5 w armadura principal nervura o capa enchimento ou vazio enchimento ou vazio cc Figura 65 Seção transversal de uma laje nervurada Quanto ao projeto item 13242 Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições a para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras permitese a consideração dos critérios de laje isto é nas lajes maciças verificad a como nas nervuras cortante força ficação da mesa à flexão 65cm não é necessário fazer veri cc b para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm exigese a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas permitese essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm isto é nas vigas verificad a como nas nervuras cortante força ão da mesa à flexão a verificaç é necessário fazer 110cm 65cm cc nas lajes maciças verificad a como nas nervuras 12cm força cortante 90cme b wnerv cc c para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm a mesa deve ser projetada como laje maciça apoiada na grelha de vigas respeitandose os seus limites mínimos de espessura isto é laje maciça apoiada nas nervuras mesa calculada como cc 110cm Esta recomendação é reforçada pelo texto do item 1477 Quando essas hipóteses não forem verificadas devese analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça apoiada em grelha de vigas Os limites mínimos de espessura referemse às espessuras mínimas estabelecidas pela norma para as lajes maciças apresentadas no item 13241 O cálculo simplificado consiste em determinar os esforços solicitantes momentos fletores e reações de apoio e deslocamentos flechas de acordo com as tabelas desenvolvidas para as lajes maciças segundo a Teoria das Placas tabelas de Bares Czerny etc A NBR 6118 item 1477 especifica que as lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras desprezadas a rigidez transversal e a rigidez à torção Em versão anterior da norma NB 178 era previsto que nas lajes nervuradas armadas em uma direção unidirecionais deveriam ser dispostas nervuras transversais a cada 2 m sempre que houvesse cargas concentradas a distribuir na laje e sempre que o vão principal ultrapassasse 4 m Essa recomendação deve ser adotada porque aumenta a resistência e rigidez da laje Quando for necessário o projeto de uma laje nervurada de modo mais refinado que aquele proporcionado pelo cálculo simplificado devese calcular os esforços solicitantes e deslocamentos considerandose a laje como uma grelha ou o que é ainda mais refinado considerar o método dos Elementos Finitos O cálculo da laje como uma grelha é simples e fácil de ser implementado além de conduzir a UNESPBauruSP Lajes de Concreto 70 resultados confiáveis e de boa precisão No Brasil existem programas computacionais comerciais para o projeto de lajes nervuradas que permitem o cálculo por analogia de grelha e pelo método dos Elementos Finitos 44 AÇÕES As ações nas lajes nervuradas podem ter várias e diferentes causas como previstas nas normas NBR 6118 item 11 e NBR 8681 sendo as mais importantes as ações permanentes g e as cargas variáveis q conforme apresentadas na NBR 6120 As cargas de paredes apoiadas na laje podem ser determinadas segundo os mesmos critérios de cálculo especificados para as lajes maciças como apresentados no item 34 As demais cargas permanentes devem ser obrigatoriamente consideradas e calculadas O peso próprio das lajes nervuradas pode ser calculado por metro quadrado de área Uma forma de cálculo consiste em separar uma área da laje cujo centro coincide com o cruzamento de duas nervuras com lados de dimensões iguais à distância entre os eixos das nervuras Na Figura 66 está mostrada a área de uma laje com nervuras em duas direções igualmente espaçadas com 24 cm de altura total e espessura de capa de 4 cm O procedimento consiste em determinar o volume de concreto e as espessuras médias de concreto e de enchimento correspondentes à área delimitada da laje O volume de concreto resulta Vc 48 x 48 x 4 48 x 8 x 20 2 20 x 8 x 20 23296 cm3 capa nervura nervura A espessura média de concreto é 1011 48 48 23296 Área V e c c cm 20 8 20 20 8 20 Figura 66 Área da laje considerada no cálculo do peso próprio A espessura média do material de enchimento é a diferença entre a altura total da laje e a espessura média de concreto 24 1011 1389 e h e c ench cm Considerando conc 25 kNm3 e ench 6 kNm3 o peso próprio total da laje é concreto 01011 x 25 253 kNm2 enchimento 01389 x 60 083 Total gpp 336 kNm2 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 71 45 MOMENTOS FLETORES NOS APOIOS INTERMEDIÁRIOS Semelhantemente às lajes maciças contínuas sobre vigas de apoio comuns nas lajes nervuradas também surgem momentos fletores negativos que solicitam as lajes na região do apoio como ilustrado na Figura 67 O projeto de lajes nervuradas contínuas e com a mesa superior capa apoiada na borda superior das nervuras quanto aos momentos fletores negativos pode ser feito admitindose uma das seguintes hipóteses obedecendose os limites impostos para a posição da linha neutra xd quando for o caso a a seção da nervura seção retangular com armadura simples negativa é suficiente para resistir ao momento fletor negativo b se a seção da nervura é insuficiente com armadura simples podese utilizar armadura dupla desde que bw 8 cm c a seção da nervura é insuficiente mas podese aumentar a seção normalmente aumentase a altura d eliminar a continuidade isto é considerar as lajes isoladas e totalmente independentes o que significa dizer que estará se considerando o momento fletor negativo igual a zero Neste caso a fim de evitar fissuras devese colocar uma armadura negativa construtiva como por exemplo 63 mm cada 15 ou 20 cm ou em maior quantidade em função dos vãos e carregamentos principalmente Outra solução consiste em impor uma armadura negativa nas nervuras e então determinar o momento fletor resistente proporcionado pelas nervuras Este momento fletor seria imposto à laje na seção sobre a viga de apoio o que pode ser feito facilmente por meio de engastes elásticos Os esforços e deformações calculadas para a laje nervurada seriam função do momento fletor negativo aplicado na borda com a garantia da seção no apoio estar verificada Uma solução bem menos usual na prática consiste em fazer a laje nervurada com mesa dupla na extensão dos momentos fletores negativos Esta solução leva à maior resistência aos momentos negativos com a desvantagem da execução da laje ser mais trabalhosa Nervuras Apoio Intermediário M M X Figura 67 Lajes nervuradas com continuidade na região de momentos fletores negativos 46 DIMENSIONAMENTO Os momentos fletores determinados de acordo com a Teoria das Placas Mx My Mx ou Xx e My ou Xy são momentos atuantes em faixas de largura unitária No caso de lajes nervuradas com nervuras nas duas direções bidirecionais é necessário determinar o momento fletor atuante em cada nervura o que depende da distância entre as nervuras UNESPBauruSP Lajes de Concreto 72 461 Flexão nas Nervuras Quando a mesa está comprimida no cálculo da armadura de flexão As podese considerar a contribuição da mesa Neste caso o cálculo é para seção T bf h Quando a mesa está tracionada o cálculo é como seção retangular bw h pois a mesa tracionada não pode ser considerada no cálculo à flexão Devem ainda ser observados extensão da armadura longitudinal cobrimento do diagrama de momentos fletores ancoragem da armadura longitudinal nos apoios taxas mínimas de armadura fissuração etc 462 Força Cortante O dimensionamento das lajes nervuradas à força cortante é feito em função do espaçamento entre as nervuras Quando a distância de eixo a eixo das nervuras é menor que 65 cm a força cortante deve ser verificada de forma análoga ao das lajes maciças como apresentado no item 3112 Quando essa distância é superior a 65 cm e menor que 110 cm a força cortante nas nervuras deve ser verificado como nas vigas de Concreto Armado o que será estudado na disciplina Estruturas de Concreto II Neste caso sempre haverá uma armadura transversal nas nervuras mesmo que mínima ao longo de todo o comprimento da nervura A NBR 6118 item 201 especifica que Os estribos em lajes nervuradas quando necessários não podem ter espaçamento superior a 20 cm 47 EXEMPLO 471 Laje em Cruz nervuras nas duas direções cc 65 cm São conhecidos concreto C30 c 20 cm aço CA50 brita 1 conc 25 kNm3 carga variável q 20 kNm2 piso final cerâmico piso 015 kNm2 f c 14 s 115 enchimento da laje com blocos cerâmicos furados bloco cer 13 kNm3 espessura de 2 cm para o revestimento inferior de argamassa arg revest 19 kNm3 e de 3 cm para o contrapiso arg contrap 21 kNm3 A planta de fôrma com o detalhe das nervuras está mostrada na Figura 68 600 700 19 8 19 8 8 9 9 9 9 8 9 9 9 9 8 20 20 20 20 44 44 4 19 8 38 8 46 Figura 68 Planta de fôrma com detalhe das nervuras UNESPBauruSP Lajes de Concreto 73 RESOLUÇÃO 1º Cálculo das cargas Para cálculo do peso próprio da laje será considerada a área de laje mostrada na Figura 69 19 8 19 18 8 18 44 46 Figura 69 Área da laje a ser considerada para cálculo do peso próprio Volume de concreto Vc 46 x 44 x 4 46 x 8 x 19 2 18 x 8 x 19 20560 cm3 Espessura média equivalente de concreto 1016 46 44 20560 Área V e c c cm Espessura média do material de enchimento 1284 23 1016 e h e c ench cm Carga total atuante na laje concreto 01016 25 254 kNm2 enchimento 01284 13 167 revest infer 002 19 038 contrapiso 003 21 063 piso 015 carga variável q 200 Total p 737 kNm2 2º Esforços solicitantes a Momentos fletores Laje do tipo 1 apoiada nos quatro lados 117 600 700 x y Tabela A8 x 553 y 422 100 p M 2 x x x 1467 100 53 7 37 6 5 2 kNmm 1467 kNcmm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 74 100 p M 2 x y y 1120 100 22 7 37 6 4 2 kNmm 1120 kNcmm b Reações de apoio Na Tabela A5 encontramse x 287 e y 250 As reações nas vigas de apoio da laje são 10 p V x x x 1269 10 2 87 7 37 6 kNm 10 p V x y y 1106 10 2 50 7 37 6 kNm c Esforços solicitantes por nervura Os esforços por nervura são obtidos multiplicandose os esforços por metro pela distância entre os eixos das nervuras observandose a distância conforme a direção considerada Mxnerv 1467 044 645 kNcm Mynerv 1120 046 515 kNcm Vxnerv 1269 044 558 kNm Vynerv 1106 046 509 kNm 3º Dimensionamento à flexão O detalhamento esquemático das armaduras de flexão nas duas direções está mostrado na Figura 70 a Direção x Md f M 645 x 14 903 kNcm d h 25 cm 23 25 205 cm A mesa está comprimida pelos momentos fletores positivos de modo que a seção resistente à flexão pode ser suposta T com largura colaborante bf igual à distância de eixo a eixo das nervuras Considerando inicialmente que a seção T será calculada como se fosse retangular com dimensões bf h temse 20 5 903 20 5 44 M d b K 2 d 2 w c Tabela A25 x 004 domínio 2 Ks 0023 x xd 004 045 ok x 004 205 082 cm 08x hf 4 cm confirma o cálculo como seção retangular 101 20 5 0 023 903 d K M A d s sx cm2nerv 2 8 mm 100 cm2 0 28 0 0015 8 23 A mín s cm2nerv b Direção y Semelhantemente ao que foi feito para a direção x porém com d h 3 cm 23 3 20 cm Md f M 14 515 721 kNcm 255 721 46 20 K 2 c Tabela A25 x 003 domínio 2 Ks 0023 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 75 0 83 20 0 023 721 Asy cm2nervura 2 8 mm 100 cm2 A NBR 6118 item 1837 especifica que deve existir uma armadura nos planos de ligação entre mesas e almas de vigas de pelo menos 15 cm2 por metro exemplos 5 c13 154 cm2 ou 63 c20 158 cm2 Como foi considerada a mesa da laje para compor vigas de seção T nas duas direções será disposta uma armadura em malha próxima à face inferior da capa com 5 c13 cm Essa armadura aumenta a resistência da capa à flexão e à força cortante 25 sy 2 Ø 8 A 3 2 Ø 8 A sx Figura 70 Detalhamento das armaduras de flexão nas nervuras 4º Verificações A verificação da resistência da mesa à flexão não é necessária pois cc 65 cm nas duas direções e não há força concentrada aplicada sobre a laje É necessário verificar a laje nervurada à força cortante e como cc é menor que 65 cm esta verificação pode ser feita como laje maciça Essa verificação não será efetuada mas geralmente as lajes nervuradas apoiadas em vigas de borda bem como as lajes maciças não necessitam de armadura transversal A ancoragem das armaduras longitudinais das nervuras nas vigas de apoio e a flecha máxima que ocorre na laje necessitam ser calculadas e verificadas 5º Detalhamento final O detalhamento esquemático das armaduras está mostrado na Figura 71 As barras N1 e N3 são as armaduras das nervuras e as barras N2 e N4 são as barras de reforço da mesa dispostas próximas à face inferior N1 12 x 2 Ø 8 N3 15 x 2 Ø 8 N1 24 Ø 8 C 755 N3 30 Ø 8 C 655 20 20 20 20 10 10 10 10 N2 45 Ø 5 C 710 N4 52 Ø 5 C 610 N2 45 c13 N4 52 c13 Figura 71 Detalhamento das armaduras da laje UNESPBauruSP Lajes de Concreto 76 5 LAJES PRÉFABRICADAS As normas brasileiras NBR 14859 Partes 1 2 e 3 apresentam as características exigíveis para lajes préfabricadas de concreto A NBR 15522 trata das vigotas e prélajes de concreto Definese como laje pré fabricada ou prémoldada a laje que tem suas partes constituintes fabricadas em escala industrial no canteiro de uma fábrica Pode ser de Concreto Armado ou de Concreto Protendido São aplicadas tanto nas edificações de pequeno porte como também nas de grande porte Neste texto se dará ênfase às lajes préfabricadas para as construções de pequeno porte como casas edifícios de baixa altura sobrados galpões etc 51 DEFINIÇÕES Conforme as várias normas citadas no item anterior as seguintes lajes préfabricadas podem ser assim definidas a laje préfabricada unidirecional são as lajes constituídas por nervuras principais longitudinais dispostas em uma única direção Podem ser empregadas algumas nervuras transversais perpendiculares às nervuras principais b laje préfabricada bidirecional laje nervurada constituída por nervuras principais nas duas direções c prélaje são placas com espessura de 3 cm a 5 cm e larguras padronizadas constituídas por concreto estrutural executadas industrialmente fora do local de utilização definitivo da estrutura ou mesmo em canteiros de obra Englobam total ou parcialmente a armadura inferior de tração integrando a seção de concreto da nervura As prélajes podem ser unidirecionais ou bidirecionais e as placas podem ser de concreto armado ou de concreto protendido d laje alveolar protendida conjunto formado por painéis alveolares protendidos préfabricados montados por justaposição lateral eventual capa de concreto estrutural e material de rejuntamento As lajes préfabricadas uni e bidirecionais são constituídas por nervuras também chamadas vigotas ou trilhos de concreto e armadura blocos de enchimento e capeamento superior de concreto São muito comuns em edificações de baixa altura em lajes de piso e de cobertura forro Nas décadas passadas foi bastante comum a laje com nervuras em forma de T invertido Figura 72 a qual caiu em desuso substituída pelas lajes do tipo treliçada Figura 73 e Figura 74 e protendida Figura 72 Laje préfabricada com nervuras em T invertido A seguir são apresentadas as principais características desses dois tipos de laje préfabricada Figura 73 Laje préfabricada do tipo treliçada FAULIM 1998 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 77 Figura 74 Laje préfabricada do tipo treliçada FAULIM 1998 52 LAJE TRELIÇA A laje treliça surgiu na Europa com o propósito de ser uma opção mais econômica que as lajes maciças de concreto sendo utilizada em vários países do mundo Possibilitam vencer grandes vãos com menor peso próprio e redução de mão de obra durante sua execução Na laje treliça a armadura das nervuras tem a forma de uma treliça espacial Figura 75 O banzo inferior é constituído por duas barras e o banzo superior por uma barra Os banzos inferior e superior são unidos por barras diagonais inclinadas em sinusóide soldadas por eletrofusão Proporcionam rigidez ao conjunto melhoram o transporte e manuseio das vigotas já prontas e aumentam a resistência aos esforços cortantes Figura 75 Armação em forma de treliça espacial FAULIM 1998 As vigotas ou trilhos são constituídos pela armação treliçada com as barras do banzo inferior envolvidas por concreto em forma de uma placa fina como mostrado na Figura 76 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 78 Figura 76 Nervura da laje treliça FAULIM 1998 As vigotas em conjunto com a capa de concreto ou mesa fornecem a resistência necessária à laje atuando para resistir aos momentos fletores e às forças cortantes Servem de apoio também aos blocos cerâmicos ou de isopor EPS As vigotas treliçadas constituem as nervuras principais vigas da laje treliça As vigotas podem conter barras longitudinais adicionais que proporcionam maior resistência à flexão possibilitando vencer vãos maiores Os blocos de enchimento exercem a função de dar forma ao concreto Figura 77 dando forma às nervuras e à capa além de proporcionarem superfícies inferiores lisas Os materiais de enchimento devem ser preferencialmente leves e de custo baixo sendo mais comuns os de material cerâmico principalmente para as edificações de pequeno porte Outros materiais são o concreto celular autoclavado e o EPS Por serem elementos vazados e constituídos de material mais leve que o concreto reduzem o peso próprio das lajes Os blocos cerâmicos são produzidos segundo diversas e diferentes dimensões conforme o fabricante Tabela 20 São normalmente fornecidos pelo fabricante em conjunto com as vigotas da laje treliça Figura 77 Bloco cerâmico de enchimento FAULIM 1998 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 79 Tabela 20 Dimensões dos blocos cerâmicos de enchimento FAULIM 1998 Designação H 72520 H 73020 H 103020 H 123020 H 163020 H 203020 Altura h cm 7 7 12 16 20 10 Largura cm 25 30 30 30 30 30 Comprimento c cm 20 20 20 20 20 20 Massa Unitária kgpeça 20 23 30 38 48 52 521 Nervura Transversal As nervuras transversais devem ser dispostas na direção perpendicular às nervuras principais a cada dois metros São construídas entre os blocos afastados entre si para permitir a penetração do concreto e a colocação de armadura longitudinal como indicado na Figura 78 As nervuras transversais exercem a função de travamento lateral das nervuras principais levando a uma melhor uniformidade do comportamento estrutural das nervuras contribuindo na redistribuição dos esforços solicitantes Figura 78 Nervura transversal FAULIM 1998 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 80 522 Armadura Complementar A armadura complementar tem a função de aumentar a resistência das lajes aos momentos fletores positivos e negativos A armadura positiva é composta por barras de aço dispostas ao longo do comprimento das nervuras as quais se somam às duas barras do banzo inferior Pode estar situada dentro da placa de concreto ou sobre ela como indicado na Figura 79 A armadura longitudinal negativa é posicionada próxima à face superior da capa Figura 80 e tem o objetivo de aumentar a resistência da laje aos momentos negativos Figura 79 Armadura complementar positiva FAULIM 1998 Figura 80 Armadura complementar negativa FAULIM 1998 523 Armadura de Distribuição É a armadura que fica posicionada transversalmente às nervuras e sobre a barra do banzo superior da treliça Figura 81 Esta armadura tem algumas funções aumentar a resistência da mesa à flexão e à força cortante fazer as nervuras trabalharem mais conjuntamente e melhorar a ligação entre a mesa e as nervuras a fim de criar a seção T Figura 81 Armadura complementar na capa FAULIM 1998 524 Parede Sobre Laje Parede paralela às nervuras pode ser sustentada pela associação de duas ou mais nervuras ou por uma viga de concreto moldada no local com a altura da laje Figura 82 e Figura 83 Ambas as soluções requerem um cálculo de verificação ou dimensionamento a fim de evitar fissuras eou flechas indesejáveis UNESPBauruSP Lajes de Concreto 81 Figura 82 Parede sobre três nervuras Fonte Catálogo ArcelorMittal Figura 83 Parede sobre região maciça de concreto Fonte httpfaqaltoqicombrcontent2741651pt brparedesdealvenariaapoiadasemlajespremoldadashtml 525 Escolha da Laje Para a escolha das dimensões da laje os principais parâmetros iniciais são os seguintes vãos efetivos ações abrangendo os carregamentos permanentes e variáveis vinculação nos apoios tipo de utilização da laje Com o auxílio de tabelas ou programas computacionais normalmente fornecidas pelo fabricante da laje podese determinar as características da laje para diversas finalidades como as especificações da armadura em treliça a lajota cerâmica as armaduras complementares nervuras transversais etc Devese ter atenção especial com relação à flecha final da laje A Figura 84 ilustra imagens do programa computacional do fabricante Faulim25 Especial atenção deve ser dispensada a lajes com possibilidade de vibração em função da utilização como pisos de academias de ginástica por exemplo 25 Faulim httpwwwfaulimcombrdepartamentotecnicosoftwareslistagemphp UNESPBauruSP Lajes de Concreto 82 Figura 84 Programa computacional para projeto de laje treliçada da empresa FAULIM 6 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 ABNT 2023 242p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 6120 ABNT 2019 60p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Ações e segurança nas estruturas Procedimento NBR 8681 ABNT 2003 18p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Lajes préfabricadas de concreto Parte 1 Vigotas minipainéis e painéis Requisitos NBR 148591 ABNT 2016 8p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Lajes préfabricadas de concreto Parte 2 Elementos inertes para enchimento e fôrma Requisitos NBR 148592 ABNT 2016 18p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Lajes préfabricadas de concreto Parte 3 Armadura treliçadas eletrossoldadas para lajes préfabricadas Requisitos NBR 148593 ABNT 2017 12p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Lajes alveolares prémoldadas de concreto protendido Requisitos e procedimentos NBR 14861 ABNT 2011 36p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Laje préfabricada Avaliação do desempenho de vigotas e prélajes sob carga de trabalho NBR 15522 ABNT 2007 12p HAHN J Vigas continuas porticos placas y vigas flotantes sobre lecho elastico Barcelona Ed Gustavo Gili 1972 LAJES FAULIM 1998 Manual LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado vol 13 Rio de Janeiro Ed Interciência 1984 PINHEIRO L M Concreto armado tabelas e ábacos São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP Departamento de Engenharia de Estruturas 1994 ROCHA A M Concreto armado vol 3 São Paulo Ed Nobel 1987 SICAL 2001 Catálogos SOUZA VCM CUNHA AJP 1994 Lajes em Concreto Armado e Protendido Niterói Ed da Universidade Federal Fluminense 580p UNESPBauruSP Lajes de Concreto 83 TABELAS ANEXAS Tabela A1 FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE x y Tipo de Laje 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6 100 476 326 326 246 225 225 184 184 149 105 526 368 348 272 260 235 208 196 163 110 574 411 370 296 297 245 231 208 177 115 620 455 389 318 335 253 254 218 190 120 664 500 409 340 374 261 277 228 202 125 708 544 426 361 414 268 300 237 214 130 749 588 443 380 456 274 322 246 224 135 790 632 458 399 501 277 342 253 234 140 829 674 473 415 541 280 362 261 241 145 867 715 487 431 583 285 380 267 249 150 903 755 501 446 625 289 398 273 256 155 939 795 509 461 666 291 414 278 262 160 971 832 518 473 706 292 430 282 268 165 1004 868 522 486 746 292 445 283 273 170 1034 903 526 497 784 293 459 284 277 175 1062 936 536 506 821 293 471 286 281 180 1091 969 546 516 858 294 484 288 285 185 1116 1000 553 525 893 294 496 290 288 190 1141 1029 560 533 925 295 507 292 290 195 1165 1058 568 541 958 295 517 294 293 200 1189 1087 576 549 990 296 528 296 296 1563 1563 650 650 1563 313 650 313 313 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga uniforme x menor vão y maior vão E módulo elasticidade h altura da laje UNESPBauruSP Lajes de Concreto 84 Tabela A2 FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE e B b a Tipo b a 7 a b y x 8 a x b y 9 a x b y 10 a y x b B B B B 030 5313 15000 5313 15000 030 030 21571 41259 13464 23163 4198 11002 3764 9700 030 035 16397 30959 9526 16437 3748 9670 3165 7805 035 040 12222 20659 5588 9711 3298 8337 2565 5909 040 045 8876 16099 4173 7135 2906 7161 2089 4671 045 050 6529 11539 2758 4559 2514 5985 1613 3433 050 055 5296 9240 2135 3438 2212 5142 1322 2707 055 060 4063 6940 1511 2316 1909 4298 1031 1981 060 065 3358 5648 1207 1803 1680 3700 853 1596 065 070 2652 4356 903 1289 1450 3101 674 1211 070 075 2214 3564 741 1031 1279 2667 563 982 075 080 1775 2771 578 773 1108 2233 452 753 080 085 1523 2354 482 632 978 1925 384 619 085 090 1271 1937 386 490 847 1616 315 484 090 095 1092 1648 326 408 749 1396 271 404 095 100 913 1358 266 325 650 1176 226 324 100 105 946 1385 271 326 691 1219 234 326 105 110 979 1411 276 328 732 1260 242 327 110 115 1012 1438 281 329 772 1301 249 329 115 120 1045 1464 286 330 813 1346 257 330 120 125 1069 1477 288 331 846 1372 261 331 125 130 1093 1491 290 331 880 1397 264 331 130 135 1118 1504 293 332 913 1423 268 332 135 140 1142 1517 295 333 946 1448 271 333 140 145 1166 1531 297 333 980 1474 275 333 145 150 1190 1544 299 334 1013 1499 278 334 150 155 1204 1550 300 334 1035 1509 279 334 155 160 1218 1555 300 334 1057 1519 280 334 160 165 1231 1561 301 335 1079 1529 281 335 165 170 1245 1566 301 335 1101 1539 282 335 170 175 1259 1572 302 335 1223 1550 283 335 175 180 1273 1578 302 335 1144 1560 284 335 180 185 1287 1583 303 335 1166 1570 285 335 185 190 1300 1589 303 336 1188 1580 286 336 190 195 1314 1594 304 336 1210 1590 287 336 195 200 1328 1600 304 336 1232 1600 288 336 200 1563 1600 313 336 1563 1600 313 336 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga uniforme h altura da laje menor valor entre a e b coeficiente centro da laje b coeficiente centro da borda livre E módulo de elasticidade UNESPBauruSP Lajes de Concreto 85 Tabela A3 VALORES de PARA CÁLCULO DE FLECHA EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR b a Tipo b y 11 a x p a 12 b p y x a 13 b p y x 14 p x a b y 15 b p y x a a 16 b p y x p x 17 a b y p x 18 a b y 050 782 287 366 157 782 287 366 157 050 593 258 332 154 494 238 309 147 055 550 248 319 151 437 221 284 142 060 507 238 306 147 379 203 259 137 065 467 228 291 144 330 187 236 130 070 426 217 275 141 280 170 213 122 075 390 206 261 138 244 155 194 114 080 354 195 246 134 207 140 174 106 085 323 185 231 129 180 126 156 098 090 292 174 216 124 152 111 137 090 095 265 162 202 118 134 099 121 083 100 238 150 187 112 115 087 105 075 105 262 171 211 130 122 093 114 082 110 286 192 235 148 129 099 123 090 115 311 213 262 168 136 105 130 096 120 335 234 289 188 143 111 137 102 125 359 254 315 208 149 117 144 107 130 381 274 339 228 152 121 147 111 135 403 294 363 248 154 124 150 115 140 425 314 386 268 157 127 153 119 145 446 333 409 288 160 130 155 122 150 464 353 428 309 162 132 157 124 155 482 372 448 330 164 134 158 126 160 501 391 468 351 167 136 160 128 165 519 410 487 371 169 138 162 131 170 536 426 505 390 172 143 164 134 180 571 455 540 425 179 154 168 143 185 588 469 557 443 182 159 170 147 190 605 483 574 461 185 165 172 151 195 623 498 591 478 189 170 174 156 200 640 512 608 496 192 176 176 160 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga máxima h altura da laje menor valor entre a e b E módulo de elasticidade coeficiente da flecha máxima UNESPBauruSP Lajes de Concreto 86 Tabela A4 FLECHAS EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR VALORES DE e B b a Tipo b a a 19 b p y x a 20 b p y x 21 p x a b y p x 22 a b y B B B B 030 1531 4000 1531 4000 030 030 7383 12305 4633 7528 1303 3040 1158 2461 030 035 5730 9565 3324 5253 1133 2642 946 1918 035 040 4077 6825 2015 2977 962 2244 733 1374 040 045 3230 5308 1533 2192 875 1938 601 1100 045 050 2383 3790 1051 1407 788 1632 469 825 050 055 1938 3004 847 1066 706 1413 411 671 055 060 1493 2217 642 724 624 1194 353 516 060 065 1245 1800 519 558 552 1015 309 405 065 070 996 1382 396 391 479 835 264 293 070 075 845 1131 327 302 429 717 228 231 075 080 693 879 258 212 378 598 192 169 080 085 601 728 217 165 338 513 162 136 085 090 508 577 175 118 297 427 132 102 090 095 437 486 149 093 266 367 114 082 095 100 365 394 123 067 234 306 095 062 100 105 383 396 126 064 255 316 101 060 105 110 402 398 128 062 276 326 108 058 110 115 420 400 131 059 296 336 114 056 115 120 438 402 133 056 317 346 120 054 120 125 452 398 135 053 334 346 123 052 125 130 466 395 136 051 351 345 126 050 130 135 480 391 138 048 368 345 129 047 135 140 494 387 139 046 386 345 131 045 140 145 507 384 141 043 403 344 134 043 145 150 521 380 142 041 420 344 137 041 150 155 531 376 142 040 434 342 138 040 155 160 542 371 142 039 448 339 138 039 160 165 552 367 143 038 462 337 139 038 165 170 562 362 143 037 476 334 140 037 170 175 573 358 143 036 490 332 141 036 175 180 583 354 143 035 504 330 141 035 180 185 593 349 143 035 518 327 142 035 185 190 603 345 144 034 532 325 143 034 190 195 614 340 144 033 546 322 143 033 195 200 624 336 144 032 560 320 144 032 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga máxima h altura da laje menor valor entre a e b E módulo de elasticidade coeficiente centro da laje b coeficiente centro da borda livre UNESPBauruSP Lajes de Concreto 87 Tabela A5 REAÇOES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME x y Tipo x y 1 y x x y 2A x y y x 2B y x x y x y x y y x x y 100 250 250 183 275 402 275 402 183 100 105 262 250 192 280 410 282 413 183 105 110 273 250 201 285 417 289 423 183 110 115 283 250 210 288 422 295 432 183 115 120 292 250 220 291 427 301 441 183 120 125 300 250 229 294 430 306 448 183 125 130 308 250 238 295 432 311 455 183 130 135 315 250 247 296 433 316 462 183 135 140 321 250 256 296 433 320 468 183 140 145 328 250 264 296 433 324 474 183 145 150 333 250 272 296 433 327 479 183 150 155 339 250 280 296 433 331 484 183 155 160 344 250 287 296 433 334 489 183 160 165 348 250 293 296 433 337 493 183 165 170 353 250 299 296 433 340 497 183 170 175 357 250 305 296 433 342 501 183 175 180 361 250 310 296 433 345 505 183 180 185 365 250 315 296 433 347 509 183 185 190 368 250 320 296 433 350 512 183 190 195 372 250 325 296 433 352 515 183 195 200 375 250 329 296 433 354 518 183 200 200 500 250 500 296 433 438 625 183 200 Tabela elaborada por PINHEIRO 1994 conforme NBR 6118 10 p V x p carga uniforme x menor vão os alívios foram considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais UNESPBauruSP Lajes de Concreto 88 Tabela A6 REAÇOES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME x y Tipo x y 3 x y y x 4A x y y x 4B y x x y x x y y x y x y 100 217 317 217 317 144 356 356 144 100 105 227 332 217 317 152 366 363 144 105 110 236 346 217 317 159 375 369 144 110 115 245 358 217 317 166 384 374 144 115 120 253 370 217 317 173 392 380 144 120 125 260 380 217 317 180 399 385 144 125 130 263 390 217 317 188 406 389 144 130 135 273 399 217 317 195 412 393 144 135 140 278 408 217 317 202 417 397 144 140 145 284 415 217 317 209 422 400 144 145 150 289 423 217 317 217 425 404 144 150 155 293 429 217 317 224 428 407 144 155 160 298 436 217 317 231 430 410 144 160 165 302 442 217 317 238 432 413 144 165 170 306 448 217 317 245 433 415 144 170 175 309 453 217 317 253 433 418 144 175 180 313 458 217 317 259 433 420 144 180 185 316 463 217 317 263 433 422 144 185 190 319 467 217 317 272 433 424 144 190 195 322 471 217 317 278 433 426 144 195 200 325 475 217 317 283 433 428 144 200 200 438 625 217 317 500 433 500 144 200 Tabela elaborada por PINHEIRO 1994 conforme NBR 6118 10 p V x p carga uniforme x menor vão os alívios foram considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais UNESPBauruSP Lajes de Concreto 89 Tabela A7 REAÇOES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME x y Tipo x y 5A x y y x 5B x y y x x 6 y y x x x y x y y x y 100 171 250 303 303 171 250 250 250 100 105 179 263 308 312 171 250 262 250 105 110 188 275 311 321 171 250 273 250 110 115 196 288 314 329 171 250 283 250 115 120 205 300 316 336 171 250 292 250 120 125 213 313 317 342 171 250 300 250 125 130 222 325 317 348 171 250 308 250 130 135 230 336 317 354 171 250 315 250 135 140 237 347 317 359 171 250 321 250 140 145 244 357 317 364 171 250 328 250 145 150 250 366 317 369 171 250 333 250 150 155 256 375 317 373 171 250 339 250 155 160 261 383 317 377 171 250 344 250 160 165 267 390 317 381 171 250 348 250 165 170 272 398 317 384 171 250 353 250 170 175 276 404 317 387 171 250 357 250 175 180 280 411 317 390 171 250 361 250 180 185 285 417 317 393 171 250 365 250 185 190 289 422 317 396 171 250 368 250 190 195 292 428 317 399 171 250 372 250 195 200 296 433 317 401 171 250 375 250 200 200 438 625 317 500 171 250 500 250 200 Tabela elaborada por PINHEIRO 1994 conforme NBR 6118 10 p V x p carga uniforme x menor vão os alívios foram considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais UNESPBauruSP Lajes de Concreto 90 Tabela A8 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 1 y x x y 2A x y y x 2B y x x y Tipo x y x y x y y x x y x y 100 423 423 291 354 840 354 840 291 100 105 462 425 326 364 879 377 879 284 105 110 500 427 361 374 918 399 917 276 110 115 538 425 398 380 953 419 949 268 115 120 575 422 435 386 988 438 980 259 120 125 610 417 472 389 1016 455 1006 251 125 130 644 412 509 392 1041 471 1032 242 130 135 677 406 544 393 1064 486 1054 234 135 140 710 400 579 394 1086 500 1075 225 140 145 741 395 612 391 1105 512 1092 219 145 150 772 389 645 388 1123 524 1109 212 150 155 799 382 676 385 1139 534 1123 204 155 160 826 374 707 381 1155 544 1136 195 160 165 850 366 728 378 1167 553 1148 187 165 170 874 358 749 374 1179 561 1160 179 170 175 895 353 753 369 1188 568 1172 174 175 180 916 347 756 363 1196 575 1184 168 180 185 935 338 810 358 1205 581 1194 167 185 190 954 329 863 353 1214 586 1203 159 190 195 973 323 886 345 1217 590 1208 154 195 200 991 316 908 336 1220 594 1213 148 200 200 1250 316 1250 336 1220 703 1250 148 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 x p carga uniforme x menor vão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 91 Tabela A9 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 3 x y y x 4A x y y x 4B y x x y Tipo x y x x y y x y y x x y x y 100 269 699 269 699 201 309 699 309 699 201 100 105 294 743 268 718 232 323 743 322 720 192 105 110 319 787 267 736 263 336 787 335 741 183 110 115 342 828 265 750 293 346 826 346 756 173 115 120 365 869 262 763 322 356 865 357 770 163 120 125 386 903 256 772 363 364 903 366 782 156 125 130 406 937 250 781 399 372 933 374 793 149 130 135 424 965 245 788 434 377 969 380 802 141 135 140 442 993 239 794 469 382 1000 386 811 133 140 145 458 1017 232 800 503 386 1025 391 813 126 145 150 473 1041 225 806 537 390 1049 396 815 119 150 155 486 1062 216 809 570 390 1070 400 820 114 155 160 499 1082 207 812 603 389 1091 404 825 108 160 165 510 1099 199 814 635 385 1108 407 828 103 165 170 521 1116 191 815 667 381 1124 410 830 098 170 175 531 1130 185 816 697 379 1139 412 831 095 175 180 540 1143 178 817 727 376 1153 414 832 091 180 185 548 1155 172 817 755 372 1165 415 833 087 185 190 556 1167 166 818 782 367 1177 416 833 083 190 195 563 1178 163 819 809 360 1183 416 833 080 195 200 570 1189 160 820 835 352 1188 417 833 076 200 200 703 1250 160 820 1250 352 1188 417 833 076 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 x p carga uniforme x menor vão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 92 Tabela A10 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 5A x y y x 5B x y y x x 6 y y x Tipo x y x x y y x x y y x x y y x y 100 202 546 252 617 252 617 202 546 202 515 202 515 100 105 227 598 256 646 270 647 197 556 222 550 200 529 105 110 252 650 260 675 287 676 191 565 242 585 198 543 110 115 276 711 263 697 302 699 184 570 265 614 194 551 115 120 300 772 265 719 316 722 177 575 287 643 189 559 120 125 323 881 264 736 328 740 170 575 297 667 183 564 125 130 345 859 261 751 340 757 162 576 306 690 177 568 130 135 366 874 257 763 350 770 155 575 319 709 171 569 135 140 386 888 253 774 359 782 147 574 332 728 165 570 140 145 405 916 248 783 367 791 141 573 343 743 157 571 145 150 423 944 243 791 374 800 135 572 353 757 149 572 150 155 439 968 239 798 380 807 129 569 361 768 143 572 155 160 455 991 234 802 386 814 123 566 369 779 136 572 160 165 470 1013 228 803 391 820 118 562 376 788 129 572 165 170 484 1034 222 810 395 825 113 558 383 797 121 572 170 175 497 1053 215 813 399 830 107 556 388 805 117 572 175 180 510 1071 208 817 402 834 100 554 392 812 113 572 180 185 520 1088 202 816 405 838 097 555 396 818 107 572 185 190 530 1104 196 814 408 842 094 556 399 824 101 572 190 195 540 1120 188 813 410 845 091 560 402 829 099 572 195 200 550 1135 180 812 412 847 088 564 405 833 096 572 200 200 703 1250 180 812 417 833 088 564 417 833 096 572 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 x p carga uniforme x menor vão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 93 Tabela A11 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo x 7 b y a x 8 y a b Tipo b a x y yb x y yb y yb b a 030 1133 1589 2844 1044 1422 2555 4189 7700 030 035 1063 1560 2719 885 1286 2237 3569 6294 035 040 994 1531 2594 725 1150 1919 2950 4888 040 045 913 1448 2447 622 1039 1682 2589 4136 045 050 832 1364 2300 520 928 1444 2228 3384 050 055 758 1295 2156 457 835 1282 1964 2876 055 060 683 1225 2011 394 742 1119 1700 2367 060 065 621 1159 1871 346 676 994 1526 2055 065 070 559 1092 1731 298 610 869 1351 1743 070 075 509 1024 1586 261 554 777 1228 1538 075 080 459 955 1441 223 498 684 1105 1333 080 085 416 909 1361 196 465 615 1012 1191 085 090 373 863 1280 168 431 546 919 1049 090 095 339 814 1194 147 397 496 845 949 095 100 305 764 1108 126 362 445 771 848 100 105 305 794 1131 123 368 445 780 848 105 110 306 824 1155 119 374 446 788 847 110 115 306 853 1178 116 380 447 797 846 115 120 307 883 1201 112 386 447 805 846 120 125 303 901 1212 109 390 447 809 846 125 130 300 919 1222 106 393 447 813 846 130 135 297 938 1233 103 397 448 817 846 135 140 294 956 1243 099 401 448 820 845 140 145 291 974 1254 096 405 449 824 845 145 150 288 992 1264 092 408 449 828 845 150 155 284 1004 1269 090 409 449 829 845 155 160 281 1016 1274 088 410 449 829 845 160 165 277 1029 1280 086 411 449 830 845 165 170 274 1041 1285 084 412 449 830 845 170 175 270 1053 1290 082 413 450 831 845 175 180 266 1065 1295 080 413 450 831 845 180 185 263 1077 1300 078 414 450 832 845 185 190 259 1090 1306 076 415 450 832 845 190 195 256 1102 1311 074 416 450 833 845 195 200 252 1114 1316 072 417 450 833 845 200 200 252 1250 1316 072 417 450 833 845 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 p carga uniforme menor valor entre a e b Mb momento ao longo da borda livre UNESPBauruSP Lajes de Concreto 94 Tabela A12 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo x 9 y a b x 10 y a b Tipo b a x x y yb x x y yb y yb b a 030 1250 5000 078 622 125 5000 211 867 1456 3700 030 030 733 4308 078 622 489 3833 211 867 1456 3700 030 035 517 3998 189 789 257 3308 318 974 1484 3553 035 040 300 3687 300 956 025 2783 425 1081 1513 3406 040 045 178 3389 362 1054 054 2394 453 1077 1426 3121 045 050 056 3091 424 1152 132 2004 480 1072 1340 2836 050 055 025 2802 462 1182 162 1740 486 999 1248 2526 055 060 106 2513 500 1211 192 1476 492 925 1156 2217 060 065 147 2290 525 1212 191 1291 468 855 1081 1963 065 070 188 2066 549 1212 190 1106 443 784 1006 1708 070 075 206 1884 561 1181 182 986 414 715 942 1517 075 080 223 1702 572 1150 173 865 386 645 877 1325 080 085 226 1559 566 1105 164 778 359 586 819 1187 085 090 228 1416 560 1059 154 691 333 526 760 1049 090 095 225 1299 548 1007 140 625 311 481 712 950 095 100 221 1182 536 955 125 559 288 435 664 851 100 105 233 1191 572 991 125 559 298 437 682 850 105 110 245 1200 608 1027 124 558 308 439 699 850 110 115 257 1208 644 1062 124 558 318 441 717 649 115 120 269 1217 680 1098 124 557 327 443 734 848 120 125 267 1220 709 1120 120 557 334 444 744 848 125 130 264 1222 737 1142 117 557 341 445 754 847 130 135 262 1225 755 1164 114 557 349 446 764 847 135 140 259 1228 793 1185 111 558 356 447 773 847 140 145 257 1231 822 1207 109 558 363 448 783 846 145 150 254 1233 850 1229 106 558 370 449 793 846 150 155 256 1235 868 1237 104 558 374 449 797 846 155 160 258 1236 886 1245 101 558 377 449 800 846 160 165 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278 536 232 840 448 288 376 532 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 menor valor entre a e b UNESPBauruSP Lajes de Concreto 96 Tabela A14 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo 14 p y a x b p x 15 y a b 16 p y a x b Tipo b a x xi xs y x y y x x y y b a 050 215 500 333 068 641 180 612 298 667 096 360 050 050 213 512 336 068 442 180 612 259 614 096 360 050 055 211 509 335 073 397 187 587 243 590 093 359 055 060 208 506 333 078 352 194 561 227 565 089 358 060 065 204 500 329 083 315 196 542 210 535 103 353 065 070 199 493 324 088 278 198 522 192 505 116 347 070 075 193 483 317 092 252 194 499 175 475 121 338 075 080 187 472 309 095 226 189 475 157 445 125 328 080 085 181 464 300 097 208 183 449 145 447 124 317 085 090 174 456 290 099 186 177 423 133 389 123 306 090 095 167 444 279 100 169 169 399 122 365 121 296 095 100 160 432 267 101 151 162 375 111 340 119 285 100 105 170 464 281 118 152 172 389 113 350 129 303 105 110 179 496 294 134 154 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adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 menor valor entre a e b UNESPBauruSP Lajes de Concreto 97 Tabela A15 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo 17 p x b y a b p a 18 y x Tipo b a x x y y x xi xs y y b a 050 423 583 116 464 215 500 333 080 292 050 050 362 512 116 464 207 494 323 080 292 050 055 338 483 123 461 199 484 316 079 295 055 060 313 453 131 458 191 474 308 078 297 060 065 290 418 139 453 181 459 293 080 298 065 070 267 382 147 447 170 444 278 082 298 070 075 247 348 152 433 162 426 262 087 294 075 080 227 313 156 419 153 408 245 092 291 080 085 208 284 155 402 144 389 228 097 289 085 090 188 255 154 385 134 370 211 101 286 090 095 172 230 152 373 124 350 194 102 278 095 100 155 205 149 361 114 330 176 103 270 100 105 158 199 160 375 117 343 175 114 290 105 110 160 193 171 389 120 356 175 125 309 110 115 160 190 180 403 121 366 173 134 326 115 120 159 186 189 418 122 376 173 142 343 120 125 156 180 198 432 120 383 169 151 359 125 130 157 176 205 446 122 392 167 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122 565 165 188 412 335 070 075 148 805 201 322 122 509 164 171 394 289 075 080 150 746 207 313 122 453 163 155 377 244 080 085 147 701 205 298 116 422 155 139 356 207 085 090 143 655 203 283 110 390 147 122 336 170 090 095 139 615 200 267 101 368 138 109 318 145 095 100 135 574 197 251 091 345 129 095 301 119 100 105 140 593 214 260 090 352 134 092 313 114 105 110 145 612 231 270 089 350 139 089 324 110 110 115 149 630 248 279 088 367 143 085 336 105 115 120 154 649 265 288 086 374 148 082 347 100 120 125 157 665 278 288 083 380 152 079 353 096 125 130 159 680 295 288 080 386 155 076 359 091 130 135 161 696 310 288 077 392 159 073 365 087 135 140 164 711 324 288 074 398 162 069 370 083 140 145 166 727 339 288 071 404 166 066 376 078 145 150 169 743 354 288 068 410 169 063 382 074 150 155 168 753 365 286 066 413 172 061 385 071 155 160 167 764 376 284 064 417 175 059 388 068 160 165 166 774 387 282 062 421 176 056 391 066 165 170 165 785 398 280 060 425 178 054 394 063 170 175 164 795 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borda livre y M r y X x y M Carregamento 1 Carregamento 3 2 F kNm y x P F 1 x P F 1 kNm F P 05F x y Carregamento 2 F x y r r m M P x x m P M y y m P M xy xy m P M y y n X P Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 131 125 121 117 115 114 115 120 130 152 194 294 602 105 mx 181 181 181 183 188 197 210 233 270 342 480 790 174 293 my 84 77 70 64 59 55 52 54 57 68 72 85 107 124 ny 121 113 105 98 91 85 79 74 71 68 68 71 81 90 mxy1 262 195 146 110 84 64 48 40 33 29 26 26 30 35 2 mr 273 254 238 226 216 213 210 217 235 276 352 535 110 189 mx 223 227 233 243 256 275 305 350 423 550 805 137 307 504 my 48 46 45 44 43 43 44 46 50 57 68 85 112 132 ny 101 98 95 92 89 87 85 84 84 85 89 98 115 132 mxy1 174 187 215 282 510 343 161 101 75 63 59 65 74 3 mr 43 43 43 43 44 46 48 52 57 64 80 116 21 26 mx 217 198 175 152 142 137 125 126 135 161 222 33 52 70 my 398 357 325 296 270 245 221 208 186 162 141 125 115 118 ny 353 299 213 165 129 103 84 70 59 51 45 42 43 45 mxy 75 73 70 68 66 65 64 64 65 66 68 74 91 107 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 102 Tabela A20 Momentos fletores em lajes com uma borda livre X y M r x x Carregamento 1 Carregamento 2 M y M y P F x 1 P F x y F kNm 2 1 kNm F x y r r m M P x x m P M y y m P M xy xy m P M r r n X P x x n P X Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 213 204 190 177 166 153 143 129 124 117 114 116 135 164 mx 252 239 228 218 209 201 194 189 187 186 195 216 266 318 my 76 71 66 61 57 53 49 43 37 31 30 31 32 35 nr 116 107 98 90 83 76 69 63 57 51 45 40 38 33 nx 124 116 111 106 102 98 93 89 86 83 82 82 81 80 mxy 34 314 292 270 248 226 204 184 164 146 129 115 104 99 2 mr 51 51 51 52 52 55 56 56 56 57 58 61 70 84 mx 78 60 46 347 258 218 177 140 110 91 79 75 73 80 my 24 23 22 22 22 23 23 24 24 25 30 43 72 138 nr 18 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 19 20 20 nx 208 134 83 56 38 29 214 162 120 93 77 63 53 52 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 103 Tabela A21 Momentos fletores em lajes com uma borda livre X r M y x x Xx Carregamento 1 y M Carregamento 2 M y 2 F kNm F1 kNm 1 x P F y x P F x y r r m M P x x m P M y y m P M xy xy m P M r r n X P x x n P X Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 353 331 307 282 259 235 214 193 175 160 148 145 154 172 mx 371 351 333 314 299 284 269 257 247 238 238 248 282 323 my 108 102 96 90 83 76 68 60 53 48 424 382 375 375 nr 173 160 148 136 124 112 100 88 76 65 55 48 43 41 nx 172 165 155 145 135 126 118 110 102 96 91 87 84 83 2 mr 72 72 72 72 72 72 71 71 71 70 70 72 78 88 mx 140 105 77 56 42 33 27 21 17 15 14 14 14 15 my 20 20 20 20 20 20 20 20 20 22 26 35 65 120 nr 23 23 23 23 22 22 22 22 21 21 21 21 21 20 nx 275 174 106 70 461 346 250 186 135 101 79 63 53 52 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 104 Tabela A22 Momentos fletores em lajes com uma borda livre y r M X y X x x y M Carregamento 1 Carregamento 3 P F x y F kNm 2 F1 kNm P F x 1 y x P 05F Carregamento 2 F x y r r m M P x x m P M y y m P M r r n X P x x n P X y y n X P Carre gamento 20 18 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 301 267 237 225 210 198 186 174 164 156 151 154 160 191 252 410 540 mx 332 303 273 276 270 265 260 259 260 265 279 305 349 440 635 118 196 my 201 195 137 130 123 115 106 95 83 73 67 66 71 80 105 247 550 nr 147 133 119 112 103 96 90 84 78 72 67 63 60 59 60 69 76 nx 179 163 148 141 134 130 126 123 121 122 123 129 136 151 174 223 261 ny 253 229 205 193 180 167 154 141 128 115 103 92 84 80 79 84 91 2 mr 95 72 566 459 371 319 282 306 367 486 101 mx 38 343 317 304 306 326 384 512 66 89 165 my 77 751 733 678 620 551 524 620 75 98 178 nr 443 393 330 276 226 182 145 113 115 118 142 nx 193 176 162 151 145 144 153 179 204 240 402 ny 181 168 155 142 130 118 108 102 104 110 138 3 mr 55 55 55 56 56 56 56 56 57 57 58 59 66 72 98 140 185 mx 73 61 49 55 47 39 32 26 21 191 171 183 201 235 291 45 58 my 735 621 518 228 234 235 240 238 232 220 202 183 164 144 128 118 114 nr 26 26 26 26 26 26 25 24 24 23 23 22 23 24 29 36 42 nx 81 63 473 348 242 161 116 119 104 108 118 137 147 ny 301 230 152 105 70 48 34 24 141 101 76 61 55 52 51 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 105 Tabela A23 Momentos fletores em lajes com uma borda livre X y M r x y X x Carregamento 2 y M Carregamento 1 M y P F x y F kNm 2 P F x 1 1 kNm F x y r r m M P x x m P M y y m P M r r n X P x x n P X y y n X P Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 358 234 310 286 264 243 224 209 199 198 213 268 464 770 mx 398 383 370 358 349 343 340 343 356 386 456 636 126 228 my 163 152 141 130 119 109 995 910 834 800 834 108 208 417 nr 178 166 153 141 128 116 104 93 82 74 68 68 76 86 nx 187 178 170 162 156 150 145 143 142 147 158 181 230 272 ny 264 246 228 211 193 176 158 142 126 111 98 90 90 96 2 mr 70 70 71 71 72 72 73 73 74 79 92 130 212 335 mx 143 112 85 63 475 355 282 240 221 233 271 343 54 84 my 22 22 22 22 22 22 22 21 21 19 17 15 13 12 nr 23 23 23 22 22 22 21 21 21 22 22 26 33 41 nx 262 165 102 68 471 358 270 205 158 132 121 125 139 156 ny 250 120 59 35 20 124 86 59 53 52 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 106 Tabela A24 Reações de apoio das lajes com uma borda livre Carregamento uniforme A23 Vx1 x2 V Vy A24 Vx Vx A25 Vx1 x2 V Vy A26 Vx Vy x V y V Vx x V A21 Vy A22 Vx x V Vy x y x x x v p R x1 x x1 v p R x2 x x2 v p R y y y v p R Caso 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 A21 Vx 045 045 044 043 042 041 039 037 034 031 028 022 016 013 Vy 028 020 032 034 036 040 044 049 054 059 064 072 080 084 A22 Vx 034 032 030 028 027 026 024 021 019 018 015 014 012 010 Vy 030 034 038 040 042 042 044 048 050 052 054 056 062 068 A23 Vx1 054 053 053 052 051 051 050 048 047 045 043 039 036 034 Vx2 037 036 035 035 034 033 032 031 028 026 023 021 018 015 Vy 015 018 020 021 023 024 026 029 035 036 040 046 051 056 A24 Vx 043 042 042 041 041 040 040 039 038 037 035 032 029 027 Vy 014 016 016 018 018 020 020 022 024 026 030 036 042 046 A25 Vx1 050 050 049 048 046 046 041 038 034 032 028 023 018 014 Vx2 028 027 027 026 025 024 023 022 021 018 015 012 010 010 Vy 022 023 024 026 029 032 035 038 042 045 051 057 063 066 A26 Vx 042 041 040 039 038 037 035 034 032 030 027 023 019 017 Vy 016 016 020 022 024 026 030 032 036 040 046 054 062 066 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 107 Tabela A25 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA50 001 1034 827 689 591 517 478 445 0023 2 002 519 415 346 296 259 240 224 0023 003 347 278 232 198 174 161 150 0023 004 262 209 174 149 131 121 113 0023 005 210 168 140 120 105 97 91 0023 006 176 141 117 100 88 81 76 0024 007 151 121 101 86 76 70 65 0024 008 133 106 89 76 66 61 57 0024 009 119 95 79 68 59 55 51 0024 010 107 86 71 61 54 50 46 0024 011 98 78 65 56 49 45 42 0024 012 90 72 60 51 45 42 39 0024 013 84 67 56 48 42 39 36 0024 014 78 62 52 45 39 36 34 0024 015 73 58 49 42 37 34 31 0024 016 69 55 46 39 34 32 30 0025 017 65 52 43 37 32 30 28 0025 018 62 49 41 35 31 28 27 0025 019 59 47 39 34 29 27 25 0025 020 56 45 37 32 28 26 24 0025 021 54 43 36 31 27 25 23 0025 022 51 41 34 29 26 24 22 0025 023 49 39 33 28 25 23 21 0025 024 47 38 32 27 24 22 20 0025 025 46 37 31 26 23 21 20 0026 026 44 35 29 25 22 20 19 0026 027 43 34 28 24 21 20 18 0026 3 028 41 33 28 24 21 19 18 0026 029 40 32 27 23 20 19 17 0026 030 39 31 26 22 19 18 17 0026 031 38 30 25 22 19 18 16 0026 032 37 30 25 21 18 17 16 0026 033 36 29 24 21 18 17 15 0026 034 35 28 23 20 18 16 15 0027 035 34 27 23 20 17 16 15 0027 036 33 27 22 19 17 15 14 0027 037 33 26 22 19 16 15 14 0027 038 32 26 21 18 16 15 14 0027 040 31 25 20 18 15 14 13 0027 042 29 24 20 17 15 14 13 0028 044 28 23 19 16 14 13 12 0028 045 28 22 19 16 14 13 12 0028 046 27 22 18 16 14 13 12 0028 048 27 21 18 15 13 12 11 0028 050 26 21 17 15 13 12 11 0029 052 25 20 17 14 12 12 11 0029 054 24 19 16 14 12 11 10 0029 056 24 19 16 14 12 11 10 0030 058 23 18 15 13 12 11 10 0030 060 23 18 15 13 11 10 10 0030 062 22 18 15 13 11 10 10 0031 063 22 17 15 12 11 10 09 0031 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 108 Tabela A26 ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA cm2m Espaçamento cm Diâmetro Nominal mm 42 5 63 8 10 125 5 277 400 630 1000 1600 2500 55 252 364 573 909 1455 2273 6 231 333 525 833 1333 2083 65 213 308 485 769 1231 1923 7 198 286 450 714 1143 1786 75 185 267 420 667 1067 1667 8 173 250 394 625 1000 1563 85 163 235 371 588 941 1471 9 154 222 350 556 889 1389 95 146 211 332 526 842 1316 10 139 200 315 500 800 1250 11 126 182 286 455 727 1136 12 115 167 262 417 667 1042 125 111 160 252 400 640 1000 13 107 154 242 385 615 962 14 099 143 225 357 571 893 15 092 133 210 333 533 833 16 087 125 197 313 500 781 17 081 118 185 294 471 735 175 079 114 180 286 457 714 18 077 111 175 278 444 694 19 073 105 166 263 421 658 20 069 100 158 250 400 625 22 063 091 143 227 364 568 24 058 083 131 208 333 521 25 055 080 126 200 320 500 26 053 077 121 192 308 481 28 049 071 112 179 286 446 30 046 067 105 167 267 417 33 042 061 095 152 242 379 Elaborada por PINHEIRO 1994 Diâmetros especificados pela NBR 7480 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 109 Tabela A27 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b cm para Asef Ascalc e aço CA50 nervurado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 63 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 8 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 10 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 125 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 16 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 20 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 225 170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 25 189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 32 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 40 303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66 Valores de acordo com a NBR 611814 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência b Sem e Com ganchos nas extremidades Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo mm 100 10 30 b mín b c 14 s 115 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 110 Tabela A28 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b cm para Asef Ascalc e aço CA60 entalhado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 34 50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 42 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 5 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 6 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 7 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 8 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 95 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 Valores de acordo com a NBR 611814 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência b Sem e Com ganchos nas extremidades Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo mm 100 10 30 b mín b c 14 s 115