Torção em Vigas de Concreto Armado NBR 6118 2023: Notas de Aula e Dimensionamento

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP Campus de BauruSP Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 2123 ESTRUTURAS DE CONCRETO II TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Prof Dr PAULO SÉRGIO BASTOS wwwpfebunespbrpbastos Bauru Maio2024 APRESENTAÇÃO Este texto tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2123 Estruturas de Concreto II do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP O texto apresenta as prescrições contidas na NBR 61182023 Projeto de estruturas de concreto para o projeto e dimensionamento de vigas de Concreto Armado submetidas à torção Inicialmente são apresentadas diversas informações teóricas como os casos e os valores mais comuns do momento de torção a torção de equilíbrio e de compatibilidade noções da torção simples comportamento das vigas de Concreto Armado sob torção analogia e formulação para a treliça espacial generalizada formas de ruptura por torção etc Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação que abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga como o dimensionamento à flexão e à força cortante ancoragem nos apoios e disposição da armadura longitudinal com o cobrimento dos diagramas de momentos fletores Agradecimento a Éderson dos Santos Martins pela confecção de alguns desenhos Críticas e sugestões serão bemvindas SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 2 CASOS MAIS COMUNS 1 3 CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO 3 4 TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE 4 5 TORÇÃO SIMPLES TORÇÃO DE ST VENANT 7 6 TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA 9 7 COMPORTAMETO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO SIMPLES 10 8 ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES 11 9 TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE 12 10 FORMA DE RUPTURA POR TORÇÃO 13 101 Ruptura por Tração 14 102 Ruptura por Compressão 14 103 Ruptura dos Cantos 14 104 Ruptura da Ancoragem 14 11 TORÇÃO SIMPLES DEFINIÇÃO DE FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA 15 111 Diagonais de Compressão 15 112 Armadura longitudinal 17 113 Estribos 17 12 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO ELU SEGUNDO A NBR 61118 18 121 Geometria da Seção Resistente 18 122 Torção de Compatibilidade 18 123 Torção de Equilíbrio 19 124 Armaduras Mínimas 20 125 Solicitações Combinadas 21 1251 Flexão e Torção 21 1252 Torção e Força Cortante 21 126 Fissuração Inclinada da Alma 22 127 Disposições Construtivas 22 1271 Estribos 22 1272 Armadura Longitudinal 23 13 MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO 23 14 EXEMPLO NUMÉRICO 1 24 141 Cálculo dos Esforços Solicitantes como Grelha 25 1411 Vãos Efetivos 25 1412 Modelo de Grelha 25 1413 Esforços Solicitantes 26 142 Dimensionamento da Viga V2 20 x 50 26 1421 Esforços Solicitantes Máximos 27 1422 Dimensionamento à Flexão 27 1423 Armadura de Pele 28 1424 Dimensionamento à Força Cortante 28 1425 Ancoragem da Armadura Longitudinal Negativa 29 1426 Detalhamento Final das Armaduras 30 143 Dimensionamento da Viga V1 35 x 50 31 1431 Esforços Solicitantes Máximos 31 1432 Dimensionamento à Flexão 32 1433 Armadura de Pele 33 1434 Dimensionamento à Força Cortante 33 1435 Ancoragem da Armadura Longitudinal Negativa 34 1436 Dimensionamento à Torção 34 1437 Detalhamento Final das Armaduras 37 15 EXEMPLO NUMÉRICO 2 38 151 Dimensionamento da Laje L3 41 1511 Ações Uniformemente Distribuídas na Área 41 1512 Ações Uniformemente Distribuídas no Contorno 41 1513 Cálculo dos Esforços Solicitantes 41 1514 Verificação da Laje à Força Cortante 41 1515 Determinação da Armadura Longitudinal de Flexão 41 1516 Detalhamento Final das Armaduras 42 152 Dimensionamento da Viga V1 19 x 40 43 1521 Ações a Considerar 43 1522 Esforços Solicitantes Internos 43 1523 Armadura Mínima de Flexão 46 1524 Armadura de Pele 46 1525 Dimensionamento das Armaduras Longitudinais Negativas 46 1526 Dimensionamento da Armadura Longitudinal Positiva 47 1527 Dimensionamento da Armadura Transversal à Força Cortante 48 1528 Ancoragem das Armaduras Longitudinais 49 1529 Dimensionamento à Torção 51 15210 Cobrimento do Diagrama de Momentos Fletores 55 15211 Detalhamento Final das Armaduras 56 16 EXEMPLO NUMÉRICO 3 56 161 Vãos Efetivos 58 162 Estimativa da Altura das Vigas 59 163 Cargas nas Lajes e nas Vigas 59 1631 Lajes 59 1632 Viga VS1 59 1633 Viga VS6 60 164 Modelo de Grelha para as Vigas do Pavimento 60 1641 Rigidez de Mola 61 1642 Arquivo de Dados 62 1643 Esforços Solicitantes 63 165 Dimensionamento da Viga VS1 19 x 60 64 1651 Armadura Mínima de Flexão 64 1652 Armadura de Pele 64 1653 Armaduras Longitudinais Negativas 64 1654 Armaduras Longitudinais Positivas 66 1655 Armadura Transversal à Força Cortante para o Tramo à Esquerda do Pilar Interno P2 67 1656 Ancoragem das Armaduras Longitudinais 68 1657 Dimensionamento à Torção 72 1658 Cobrimento do Diagrama de Momentos Fletores 75 1659 Detalhamento Final das Armaduras 76 166 Dimensionamento da Viga VS6 19 x 60 76 1661 Armadura Longitudinal Negativa no Apoio Interno P6 77 1662 Armadura Longitudinal Positiva à Direita do Pilar P6 77 1663 Armadura Longitudinal Positiva Entre os Pilares P9 e P6 77 1664 Armadura Transversal à Força Cortante 78 1665 Ancoragem das Armaduras Longitudinais 78 1666 Dimensionamento à Torção 79 1667 Cobrimento do Diagrama de Momentos Fletores Negativos 81 1668 Detalhamento Final das Armaduras 82 17 QUESTIONÁRIO 83 B1 ARQUIVO DE DADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 1 94 B2 RESULTADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 1 94 B3 ARQUIVO DE DADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 3 96 B4 RESULTADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 3 97 B5 ARQUIVO DE DADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS1 ENTRE OS PILARES P2 E P3 104 B6 RESULTADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS1 ENTRE OS PILARES P2 E P3 104 B7 ARQUIVO DE DADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS6 ENTRE OS PILARES P9 E P6 106 B8 RESULTADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS6 ENTRE OS PILARES P9 E P6 106 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 1 1 INTRODUÇÃO Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendoa girar sobre o seu próprio eixo é denominado momento de torção momento torçor ou torque O caso mais comum de torção ocorre em eixos de transmissão A torção simples torção uniforme ou torção pura não atuação simultânea com M e V excetuando os eixos de transmissão ocorre raramente na prática Geralmente a torção ocorre combinada com momento fletor e força cortante mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento estrutural De modo aproximado os princípios de dimensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante LEONHARDT e MÖNNIG 1982 Nas estruturas de concreto a ligação monolítica entre as vigas e as lajes e entre vigas apoiadas em outras vigas dá origem a momentos de torção que de modo geral podem ser desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio Entretanto no caso da chamada torção de equilíbrio como se verá adiante a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do elemento estrutural Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em vigas de Concreto Armado sob solicitação de torção simples Os resultados dos estudos justificaram o dimensionamento simplificado à torção considerandose as vigas com seção vazada oca e de parede fina segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais formuladas por BREDT Assim como feito no dimensionamento de vigas à força cortante na torção será feita também a analogia com uma treliça porém espacial A Treliça Generalizada com ângulo variável de inclinação das diagonais comprimidas é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente Como no dimensionamento para outros tipos de solicitação as tensões de compressão serão absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço na forma de duas diferentes armaduras uma longitudinal e outra transversal estribos A análise da torção em perfis abertos de paredes finas com aplicação da torção de Vlassov ou Flexo Torção não será aqui apresentada por não fazer parte do programa da disciplina na graduação 2 CASOS MAIS COMUNS Um caso comum de torção em vigas de Concreto Armado ocorre quando existe uma distância entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga como mostrado na Figura 1 e na Figura 2 Na Figura 1 a viga AB estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC aplica nesta um momento de torção que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC Na viga mostrada na Figura 2 a torção existirá se as cargas F1 e F2 forem diferentes Essa situação pode ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e variáveis se estes forem diferentes nas estruturas que se apoiam na viga em forma de T invertido O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço engastadas em vigas de apoio como por exemplo lajes marquises para proteção de porta de entrada de barracões lojas galpões etc Figura 3 e Figura 4 O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio de modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga A torção na viga tornase flexão no pilar devendo ser considerada no seu dimensionamento F A B C F1 2 F Figura 1 Viga em balanço com carregamento excêntrico Figura 2 Viga do tipo T invertido para apoio de estrutura de piso ou de cobertura UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 2 Figura 3 Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço A B C A B B C Figura 4 Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço Um outro caso de torção em viga de certa forma também comum nas construções ocorre em vigas com mudança de direção como mostrado na Figura 5 No ponto de mudança de direção um tramo aplica sobre o outro um momento de torção A torção também ocorre em vigas curvas com ou sem mudança de direção como mostrado na Figura 6 Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no seu dimensionamento intensa fissuração pode se desenvolver prejudicando a segurança e a estética da construção Figura 5 Torção em viga devido à mudança de direção UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 3 Figura 6 Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção 3 CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO Apresentamse na Figura 7 até a Figura 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais comuns na prática das estruturas onde m representa o momento torçor externo aplicado T o momento de torção solicitante e F a força concentrada m T m Figura 7 Momento de torção concentrado aplicado na extremidade de viga em balanço T m m m T m a a Figura 8 Momento de torção aplicado à distância a das extremidades de viga biengastada m T m 2 2 m T Figura 9 Momento de torção uniformemente distribuído em viga biengastada UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 4 m 2 2 2 m T T m 2 Figura 10 Momento de torção concentrado aplicado no centro de viga biengastada F e A B m F e a b m b T T m a A B Figura 11 Momento de torção concentrado aplicado fora do centro do vão de viga biengastada 4 TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE A torção nas estruturas de concreto pode ser dividida em duas categorias torção de equilíbrio e torção de compatibilidade Na torção de equilíbrio o momento de torção deve ser obrigatoriamente considerado pois ele é necessário para o equilíbrio da estrutura As estruturas mostradas na Figura 1 até a Figura 6 encontramse solicitadas por torção de equilíbrio devendo ser obrigatoriamente considerada A torção de compatibilidade ocorre comumente nos sistemas estruturais onde o caso de laje apoiada sobre uma viga de borda é o exemplo mais comum como mostrado na Figura 12 A laje ao tentar girar aplica um momento de torção mT na viga que tende a girar também sendo impedida pela rigidez à flexão dos pilares Surgem então momentos torçores solicitantes na viga e momentos fletores nos pilares Quando a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão a viga fissura e gira permitindo o giro da laje também Ocorre então uma compatibilização entre as deformações da viga e da laje e como consequência os momentos torçores na viga diminuem bastante podendo ser desprezados UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 5 f Laje m Viga de borda T Viga de bordo T m Laje E Momento de dimensionamento da laje T f M E m m Laje T m Laje M Pilar Figura 12 Torção de compatibilidade de laje com viga de apoio LEONHARDT e MÖNNIG 1982 Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado na Figura 13 e na Figura 14 Como se observa na Figura 14 a viga AB apoiase nas vigas CD e EF Figura 13 Esquema das vigas com os pilares A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada Neste caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades o que faz surgir os momentos de engastamento MA e MB que por outro lado passam a ser momentos torçores concentrados e aplicados em A e B UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 6 Figura 14 Esquema estrutural SÜSSEKIND 1985 Figura 15 Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção A intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas ou seja da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB Se a rigidez à torção das vigas CD e EF for zero a viga AB fica livre para girar em A e B levando a zero os momentos fletores MA e MB e consequentemente também os momentos torçores Figura 16 Nesta análise percebese que a torção é consequência da compatibilidade de deformações das vigas daí a chamada torção de compatibilidade Neste caso há o equilíbrio embora sem se considerar a ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF Por outro lado sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar o que acarreta uma significativa diminuição na rigidez da viga à torção Desse modo as vigas CD e EF ao fissurarem por efeito da torção proveniente da viga AB têm sua rigidez à torção diminuída diminuindo por consequência os momentos MA e T o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga AB UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 7 Figura 16 Caso de pequena rigidez à torção Podese assim resumir que a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária para o equilíbrio torção de equilíbrio e pode ser desconsiderada quando for de compatibilidade Considerandose o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas além da torção de compatibilidade existente entre as vigas a ligação monolítica entre as lajes e as vigas como mostrado na Figura 12 também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas de compatibilidade não imprescindível ao equilíbrio do sistema podendo assim serem desprezados também Somado a isso por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 12 a 20 cm e para as alturas correntes das vigas comumente até 60 cm a rigidez à torção não é significativa o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade justificando a sua desconsideração Outra análise que se faz é que se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades o momento de torção T será zero ou seja não existirá o momento de torção Ou por outro lado e o que é mais comum na prática das estruturas devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os pilares de apoio se as vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior que a rigidez à flexão da viga AB o momento fletor MA se aproxima do momento fletor de engastamento Portanto os momentos T e MA resultam do giro da viga AB em A e B que deve ser compatível com o ângulo de torção das vigas CD e EF em A e B 5 TORÇÃO SIMPLES TORÇÃO DE ST VENANT Numa barra de seção circular como a indicada na Figura 17 submetida a momento de torção com empenamento permitido torção livre surgem tensões principais inclinadas de 45 e 135 com o eixo longitudinal da barra As trajetórias das tensões principais desenvolvemse segundo uma curvatura helicoidal em torno da barra A trajetória das tensões principais de tração ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária ao longo de todo o perímetro da seção UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 8 Figura 17 Trajetórias das tensões principais na seção circular Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal da seção o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais simultaneamente como mostrado na Figura 18 Figura 19 e Figura 20 T Figura 18 Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção Figura 19 Tensões devidas à torção a tensões de cisalhamento b tensões principais de tração e compressão c trajetória helicoidal das fissuras MACGREGOR 1997 a b c UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 9 Figura 20 Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas ocorre como indicado na Figura 21 A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies externas da seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade Figura 21 Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal Por questão de simplicidade as vigas de Concreto Armado sob momento de torção são dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina Ao desprezar a parte correspondente à área interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico porque a espessura da casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de resistência ao momento de torção Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é excessivo sendo portanto pouco antieconômico 6 TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA Considere a seção vazada mostrada na Figura 22 com espessura t submetida ao momento de torção T Do equilíbrio estático da seção temse a igualdade da resultante das tensões com o momento de torção T que as originou t ds r T Eq 1 O produto t fluxo de cisalhamento ou de torção é constante e o produto ds r é o dobro da área do triângulo OAB d Ae vindo t d Ae 2 T Eq 2 45 T T 45 II I I II I I II II UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 10 r ds dA I T X LINHA MÉDIA x s s x A A t s t dt ds d ds s T I X O A B s Figura 22 Seção vazada com parede fina SÁNCHEZ 2001 Da Eq 2 surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina devida ao momento de torção t Ae 2 T Eq 3 com Ae sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina como indicada na Figura 23 t Ae Figura 23 Área Ae da seção vazada 7 COMPORTAMETO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO SIMPLES LEONHARDT e MÖNNIG 1982 descrevem os resultados de ensaios realizados por MÖRSCH entre 1904 e 1921 Foram estudados cilindros ocos à torção simples sem armadura com armadura longitudinal com armadura transversal com ambas as armaduras e com armadura em forma de hélice como mostrado na Figura 24 Os ensaios confirmaram que nas seções de Concreto Armado as tensões principais de tração e de compressão são inclinadas de 45 e com traçado helicoidal Após o surgimento das fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice apenas uma casca externa e com pequena espessura colabora na resistência da seção à torção Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou cheias com armaduras idênticas que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas armaduras UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 11 108 108 10 40 40 107 34 34 10 40 34 107 40 34 108 10 108 108 108 10 10 Figura 24 Seções estudadas por MÖRSCH LEONHARDT e MÖNNIG 1982 A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos para o momento de fissuração momento de torção correspondente à primeira fissura e para o momento de torção na ruptura Tabela 1 Momentos torçores de primeira fissura e de ruptura kNcm de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH Seção Momento Torçor de Primeira fissura Momento Torçor de Ruptura Sem armaduras 2330 2330 Com armadura longitudinal 2330 2380 Com armadura transversal 2500 2500 Com armaduras longitudinal e transversal 2470 3780 Com armadura helicoidal 2700 7000 A máquina de ensaio não levou a seção à ruptura Os ensaios demonstraram que na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45 e em forma de hélice com somente uma armadura seja longitudinal ou transversal o aumento de resistência é muito pequeno e desprezível com duas armaduras a resistência aumentou e com armadura helicoidal segundo a trajetória das tensões principais de tração o aumento de resistência foi muito efetivo Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a resistência do concreto à tração levando uma viga não armada à ruptura Se a viga for armada com barras longitudinais e estribos fechados transversais a viga pode resistir a um aumento de carga após a fissuração inicial 8 ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o comportamento de uma viga sob torção Uma delas é chamada de Flexão Esconsa skew bending theory e foi desenvolvida por LESSIG 1959 e atualizada por HSU 1968 A segunda teoria baseiase na analogia da seção vazada Teoria de Bredt com uma treliça espacial chamada de Treliça Generalizada A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 1929 estando em uso por diversas normas até os dias de hoje Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas A Figura 25 mostra o modelo de uma seção cheia fissurada sob torção simples As tensões de compressão são resistidas pelo concreto da UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 12 casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura longitudinal e armadura transversal estribos R s R s R s R s d C d C d C d C d C d C d C d C d C R se R se Fissuras Figura 25 Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada LEONHARDT e MÖNNIG 1982 A treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas de 45 com o eixo longitudinal Figura 26 Os banzos paralelos representam a armadura longitudinal as diagonais comprimidas desenvolvemse em hélice com inclinação de 45 representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos fechados a 90 com o eixo longitudinal da viga R s R se s R C d Cd 45 d C cos 45 d C cos 45 d C sen 45 d C sen 45 b b T M 45 45 R se Barras tracionadas Diagonais comprimidas M Esforços solicitantes no corte ll ll D a B ll ll Esforços nas barras do nó B estr m a b m m Figura 26 Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal LEONHARDT e MÖNNIG 1982 9 TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE A Figura 27 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular As fissuras apresentamse com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45 com o eixo longitudinal da viga UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 13 T Figura 27 Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção a zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras como mostrado na Figura 28 T V M Figura 28 Modelo para vigas com altos momentos fletores LEONHARDT e MÖNNIG 1982 No caso da força cortante elevada uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras sendo aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários Isso fica demonstrado nos modelos de treliça adotados onde as diagonais comprimidas da treliça para o cortante opõemse às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção As fissuras nesses casos apresentamse contínuas em forma de hélice e em três das quatro faces da viga Numa face onde as tensões de compressão superam a de tração não surgem fissuras Figura 29 T V M Figura 29 Modelo para vigas com altas forças cortantes LEONHARDT e MÖNNIG 1982 10 FORMA DE RUPTURA POR TORÇÃO Após a fissuração a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos diferentes na armadura ou no concreto No caso da armadura pode ocorrer escoamento dos estribos da armadura longitudinal ou de ambas as armaduras No caso de vigas superarmadas à torção o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 14 antes do escoamento das armaduras Além desses modos outras causas de ruptura podem ocorrer como descritos a seguir 101 Ruptura por Tração Após o surgimento das primeiras fissuras pode ocorrer uma ruptura brusca por efeito de torção que pode ser evitada com a colocação de uma armadura mínima a fim de resistir às tensões de tração por torção Segundo Leonhardt e Mönnig 1982 sendo as armaduras longitudinal e transversal diferentes a menor armadura determinará o tipo de ruptura e uma pequena diferença nas armaduras pode no entanto ser compensada por uma redistribuição de esforços Ao contrário do comportamento da viga sob força cortante onde a inclinação do banzo comprimido de concreto pode diminuir a intensidade da tração na alma da viga na torção essa diminuição não pode ocorrer dado que na analogia de treliça espacial não existe banzo comprimido inclinado 102 Ruptura por Compressão Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente na viga pode surgir um forte empenamento das faces laterais ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas podendo ocorrer o esmagamento do concreto Figura 30 T Compressão Tração R c R s c T t Cd 45 Superfície de dupla curvatura Figura 30 Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão LEONHARDT e MÖNNIG 1982 103 Ruptura dos Cantos A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos como indicada na Figura 31 origina uma força U que pode levar ao rompimento dos cantos da viga Os estribos e as barras longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura Vigas com tensões de cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar essa forma de ruptura 104 Ruptura da Ancoragem Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo levando ao seu escorregamento e pelo deslizamento das barras longitudinais O cuidado na ancoragem das armaduras pode evitar essa forma de ruptura UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 15 R c c R c R c R U U U Estribo T c R R c U Rompimento do canto Engastamento à torção Figura 31 Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas LEONHARDT e MÖNNIG 1982 11 TORÇÃO SIMPLES DEFINIÇÃO DE FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA Nas décadas de 60 e 70 do século passado a treliça clássica foi generalizada por LAMPERT THÜRLIMANN e outros com a admissão de ângulos variáveis para a inclinação das bielas de concreto Figura 32 sendo a treliça generalizada assim formada o modelo atualmente adotado pelas principais normas internacionais como ACI 31811 e MC90 do CEB 1990 A NBR 61181 também considera o modelo de treliça generalizada para o dimensionamento de vigas de concreto à torção em concordância com a treliça plana generalizada concebida na análise da força cortante 111 Diagonais de Compressão Considerando o plano ABCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 32 e que o esforço interno resistente deve ser igual ao esforço solicitante externo momento de torção TSd temse2 2 C sen T d Sd Eq 4 A força nas diagonais comprimidas surge da Eq 4 sen 2 T C Sd d Eq 5 Cd força na diagonal comprimida TSd momento de torção de cálculo ângulo de inclinação da diagonal comprimida distância entre os banzos A força de compressão Cd nas diagonais atua sobre uma seção transversal de área y t cos t Eq 6 y cos largura de influência de cada diagonal inclinada da treliça espacial t espessura da casca ou da parede da seção oca 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 ABNT 2023 242p 2 Cada par de forças paralelas Cd sen proporciona um momento interno resistente UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 16 Figura 32 Treliça espacial generalizada LIMA et al 2000 A força Cd origina a tensão de compressão no concreto das diagonais da treliça cd igual a t cos C y t C d d cd e considerando o valor de Cd dado na Eq 5 a tensão de compressão na diagonal cd é sen 2 t cos TSd cd t sen 2 T 2 Sd cd Eq 7 como e 2 A determinase a forma final para a tensão na diagonal comprimida t sen 2 A T e Sd cd Eq 8 A Eq 3 pode ser escrita como TSd t 2 Ae t de modo que a Eq 8 pode ser reescrita como sen 2 2 td cd Eq 9 inclinação da biela B A C D estribo barras longitudinais Y X Z cotg bielas comprimidas y y Nó A R d Rwd Cd R d Rwd Cd Cd d C Cd sen d C Plano ABCD A sen sen sen TSd cotg cotg cotg Ae t ue UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 17 112 Armadura longitudinal Conforme as forças indicadas no nó A da Figura 32 fazendo o equilíbrio de forças na direção x tem se 4 C cos 4 R d d Eq 10 com Rd resultante em um banzo longitudinal Como ywd s d f A 4 R a Eq 10 fica 4 C cos f A d s ywd Eq 11 Substituindo Cd Eq 5 fica cos sen 2 T 4 f A Sd ywd s Isolando a armadura longitudinal cotg f 2 T A ywd Sd s Eq 12 Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada a armadura deve ser distribuída no perímetro ue 4 de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento do eixo médio da seção vazada é cotg 4 f 2 T u cotg f T 2 u A ywd Sd e ywd Sd e s cotg A f 2 T u A ywd e Sd e s Eq 13 ou tg A f 2 T u A ywd e Sd e s Eq 14 As área total de armadura longitudinal Ae área interna delimitada pelo eixo da parede fina ver Figura 23 ue perímetro do contorno da área Ae 113 Estribos Na Figura 32 fazendo o equilíbrio do nó A na direção do eixo Z temse Rwd Cd sen Eq 15 onde Rwd representa a força nos montantes verticais e horizontais da treliça espacial Substituindo Cd Eq 5 temse 2 T sen sen 2 T R Sd Sd wd Eq 16 Sendo s o espaçamento dos estribos e cotg o comprimento de influência das barras transversais da treliça que representam os estribos onde atuam as forças Rwd ver Figura 32 o número de estribos neste comprimento é cotg s Sendo As90 a área referente a um estribo a força é UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 18 ywd s 90 wd f A s cotg R Eq 17 Igualando as Eq 16 e Eq 17 e isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos temse ywd 90 s Sd f A s g cot 2 T ywd Sd 90 s f cotg 2 T s A Com 2 Ae fica tg A f 2 T s A ywd e Sd s 90 Eq 18 com As90 sendo a área de um ramos vertical ou horizontal do estribo a 90 com o eixo longitudinal da viga 12 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO ELU SEGUNDO A NBR 61118 A NBR 6118 separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme item 1751 e Torção em Perfis Abertos de Parede Fina 1752 No texto subsequente será considerado apenas o dimensionamento à Torção Uniforme As condições da NBR 6118 item 17511 pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar As diagonais de compressão dessa treliça formada por elementos de concreto têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30 45 Esse modelo é o da treliça espacial generalizada descrito anteriormente O engenheiro projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de inclinação das bielas de compressão que deve ser igual ao ângulo adotado no dimensionamento da viga à força cortante 121 Geometria da Seção Resistente No caso de seções poligonais convexas cheias NBR 6118 175141 A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por u he A Eq 19 he 2 c1 Eq 20 A área da seção cheia u perímetro da seção cheia c1 distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural Caso Au resulte menor que 2c1 podese adotar he Au bw 2c1 e a superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto respeitando o cobrimento exigido nos estribos No item 175142 a norma também define como deve ser considerada a seção resistente de Seção Composta de Retângulos no item 175143 as Seções Vazadas e no item 1752 a Torção em Perfis Abertos de Parede Fina 122 Torção de Compatibilidade No caso de torção de compatibilidade a NBR 6118 17512 diz que é possível desprezála Quando a torção não for necessária ao equilíbrio caso da torção de compatibilidade é possível desprezá la desde que o elemento estrutural tenha a capacidade adequada de adaptação plástica e que todos os UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 19 outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito à torção seja menor ou igual a 2h para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica devese respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante tal que VSd 07 VRd2 Eq 21 onde VSd é a força cortante atuante no elemento e VRd2 é a máxima força cortante admitida pela diagonal de compressão 123 Torção de Equilíbrio Segundo a NBR 6118 17512 Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente E no item 17513 da NBR 6118 para a Torção Pura Admitese satisfeita a resistência de um elemento estrutural em uma dada seção quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições TSd TRd2 TSd TRd3 TSd TRd4 TRd2 limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto TRd3 limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural TRd4 limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais paralelas ao eixo do elemento estrutural A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida pela Eq 8 fazendo a tensão de compressão na diagonal de concreto ficar limitada ao valor máximo dado por 05v2 fcd Assim o máximo momento de torção que uma seção pode resistir sem que ocorra o esmagamento das diagonais comprimidas é 17515 TRd2 05v2 fcd Ae he sen 2 Eq 22 v2 1 fck250 fck em MPa ângulo de inclinação das diagonais de concreto arbitrado no intervalo 3045 Ae área limitada pela linha média da parede da seção vazada real ou equivalente incluindo a parte vazada he espessura equivalente da parede da seção vazada real ou equivalente no ponto considerado Segundo a NBR 6118 17516 Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente a uma única parede equivalente sendo que A resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural deve atender à expressão seguinte semelhante à Eq 18 já desenvolvida TRd3 As90s fywd 2Ae cotg Eq 23 e com TSd TRd3 calculase a área da armadura transversal tg A f 2 T s A ywd e Sd s 90 Eq 24 As90 área da seção transversal do número total de ramos de um estribo perpendicular ao eixo da peça contidos em uma única parede equivalente fywd resistência de cálculo de início de escoamento do aço da armadura passiva limitada a 435 MPa Para o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45 a Eq 24 transformase em UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 20 ywd e Sd 90 s A f 2 T s A Eq 25 Conforme a NBR 6118 17516 a resistência decorrente da armadura longitudinail deve atender à expressão seguinte já deduzida na Eq 14 TRd4 As ue 2Ae fywd tg Eq 26 e com TSd TRd4 calculase a área de armadura longitudinal tg A f 2 T u A ywd e Sd e s Eq 27 As soma das áreas das barras longitudinais ue perímetro da área Ae Para o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45 a Eq 27 transformase em ywd e Sd e s A f 2 T u A Eq 28 124 Armaduras Mínimas Segundo a NBR 6118 item 17512 as taxas geométricas mínimas para as armaduras resistentes aos esforços de tração oriundos da torção são dadas pelas expressões3 ywk m ct w sw sw e e s s f f 20 s b A h u A com fywk 500 MPa Eq 29 Fazendo Asmín As na Eq 29 a armadura longitudinal mínima fica e ywk m ct e s mín h f f 20 u A Eq 30 ue perímetro da área Ae fctm resistência média do concreto à tração fywk resistência de início de escoamento do aço da armadura 500 MPa he espessura equivalente da parede da seção vazada real ou equivalente no ponto considerado Na Eq 29 a área de armadura transversal Asw referese à força cortante onde Asw representa a área total dos ramos verticais do estribo ou seja ramos verticais contidos na região interna da largura da viga também estão considerados4 No caso da torção a armadura transversal As90 representa a área total dos ramos verticais do estribo contidos dentro da parede equivalente5 Considerando Asw como As90mín na Eq 29 ou seja As90mín como a área mínima relativa aos ramos verticais e horizontais do estribo contidos na parede equivalente temse6 3 O propósito da armadura mínima é evitar a ruptura brusca por tração 4 Normais ao eixo longitudinal do elemento estrutural 5 Na torção os ramos do estribo devem estar dentro da parede equivalente e geralmente eles têm apenas dois ramos verticais 6 Os ramos verticais devem ser perpendiculares ao eixo longitudinal da peça UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 21 w ywk ctm s 90mín b f f 20 s A Eq 31 s espaçamentos dos estribos verticais fctm resistência média do concreto à tração fywk resistência de início de escoamento do aço da armadura 500 MPa bw largura média da alma Fazendo o espaçamento s e o perímetro ue iguais a 100 cm 1 m na Eq 30 e Eq 31 as armaduras mínimas ficam e ywk m ct s mín h f 20f A Eq 32 w ywk m ct s 90mín b f 20f A Eq 33 com Asmín e As90mín em cm2m bw e he em cm fywk e fctm em kNcm2 3 2 ck ctm f 30 f com fck em MPa 125 Solicitações Combinadas As solicitações combinadas com torção encontramse descritas no item 177 da NBR 6118 1251 Flexão e Torção Conforme a NBR 6118 17711 Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais devendo ser atendidas complementarmente as prescrições de 17712 a 17714 descritas a seguir Armadura longitudinal Na zona tracionada pela flexão a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais considerandose em cada seção os esforços que agem concomitantemente Armadura longitudinal no banzo comprimido pela flexão No banzo comprimido pela flexão a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas Resistência do banzo comprimido Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra particularmente em vigas de seção celular o valor de cálculo da tensão principal de compressão não pode superar os valores estabelecidos na Seção 22 Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção calculada por e e d Td A h 2 T Eq 34 1252 Torção e Força Cortante Conforme a NBR 6118 1772 Na combinação de torção com força cortante o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto coincidentes para os dois esforços Quando for utilizado o modelo I ver 17422 para a força cortante que subentende 45º esse deve ser o valor considerado também para a torção UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 22 A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão 1 T T V V 2 Rd Sd 2 Rd Sd Eq 35 onde VSd é a força cortante de cálculo e TSd é o momento de torção de cálculo A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd Nessa questão é importante salientar que a área de armadura transversal calculada para a força cortante referese à área total contando todos os ramos verticais do estribo Já no caso da torção a área de armadura transversal calculada é apenas do ramo vertical contido em uma parede fina de espessura he Portanto para cálculo da armadura transversal total devese tomar o cuidado de somar as áreas de apenas um ramo vertical do estribo para ambos os esforços de força cortante e momento de torção 126 Fissuração Inclinada da Alma Conforme a NBR 6118 176 na verificação do EstadoLimite de Fissuração inclinada da alma por solicitação combinada de força cortante com torção Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais de concreto Em casos especiais em que isso for considerado importante devese limitar o espaçamento da armadura transversal a 15 cm 127 Disposições Construtivas As disposições construtivas para a torção em vigas constam no item 1834 da NBR 6118 A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser constituída por estribos normais ao eixo da viga combinados com barras longitudinais paralelas ao mesmo eixo e deve ser projetada de acordo com as prescrições de 175 Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente Consideramse efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente ver 17514 Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos vértices das seções retangulares Segundo LEONHARDT e MÖNNIG 1982 para seções de grandes dimensões é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção a fim de limitar a fissuração 1271 Estribos Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno envolvendo as barras das armaduras longitudinais de tração e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45 As seções poligonais devem conter em cada vértice dos estribos de torção pelo menos uma barra NBR 6118 1834 As prescrições para diâmetro e espaçamento dos estribos são as mesmas do dimensionamento à força cortante Devem ser obedecidas as prescrições de 18332 relativas ao diâmetro das barras que formam o estribo e ao espaçamento longitudinal dos mesmos com soldada por tela 42 mm para estribos formados 12 mm para barra lisa 10 b mm 5 w t Eq 36 onde bw é a largura da alma da viga O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador a fim de garantir um bom adensamento do concreto O espaçamento máximo deve atender as seguintes condições UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 23 se VSd 067 VRd2 smáx 06d 30 cm se VSd 067 VRd2 smáx 03d 20 cm Eq 37 O espaçamento transversal st entre os ramos verticais sucessivos dos estribos não pode exceder os seguintes valores 35cm d 60 s 20 V 0 80cm d s 20 V 0 V t máx 2 Rd t máx 2 Rd Sd Eq 38 1272 Armadura Longitudinal A armadura longitudinal de torção de área total As pode ter arranjo distribuído ou concentrado mantendose obrigatoriamente constante a relação As u onde u é o trecho de perímetro da seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área As Nas seções poligonais em cada vértice dos estribos de torção deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal NBR 6118 17516 As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos espaçadas no máximo em 350 mm Devese respeitar a relação As u onde u é o trecho de perímetro da seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área As exigida pelo dimensionamento NBR 6118 1834 13 MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO O momento de inércia à torção J e o módulo de inércia à torção Wt de vigas com seção retangular podem ser calculados com base nas equações j b h J 3 Eq 39 w b h W 2 t Eq 40 h n b j parâmetro dependente da relação n entre as dimensões dos lados do retângulo conforme a Tabela 2 b menor dimensão da seção retangular h maior dimensão da seção retangular Tabela 2 Valores de w e j n w j h b b h 00 0333 0333 01 0312 0312 02 0291 0291 03 0273 0270 04 0258 0249 05 0246 0229 06 0237 0209 07 0229 0189 08 0221 0171 09 0214 0155 10 0208 0141 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 24 14 EXEMPLO NUMÉRICO 1 Apresentamse a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de vigas de Concreto Armado quando solicitadas à torção Os cálculos abrangem também os dimensionamentos à flexão força cortante ancoragem nos apoios e cobrimento dos diagramas de momento fletor Uma viga em balanço como mostrada na Figura 33 e Figura 34 suporta em sua extremidade livre uma outra viga nela engastada submetida à uma força vertical concentrada F de 50 kN As distâncias e dimensões das duas vigas determinadas no prédimensionamento estão indicadas na planta de fôrma As vigas têm como carregamento somente a força F e o peso próprio Outras ações como do vento por exemplo são desprezadas São conhecidos a edificação situada em área urbana de cidade não litorânea e livre de quaisquer agentes agressivos em Classe de Agressividade Ambiental I ver Tabela A12 anexa ou a Tabela 61 da NBR 6118 o que leva ao concreto com fck 20 MPa e relação ac 065 ver Tabela A13 anexa ou a Tabela 71 da NBR 6118 Na Tabela A14 ou Tabela 72 da NBR 6118 encontrase para viga o cobrimento nominal cnom 25 cm com c 10 mm será adotado o concreto C257 b aço CA50 c peso específico do Concreto Armado conc 25 kNm3 d coeficientes de ponderação c f 14 e s 115 e possíveis esforços solicitantes adicionais provocados por ação do vento são desprezados F 975 V1 35 x 50 V2 20 x 50 V 20 x 50 P1 3560 150 Figura 33 Perspectiva da estrutura com a força F 50 kN aplicada Figura 34 Planta de fôrma RESOLUÇÃO A estrutura para sustentação da força F composta pelas vigas V1 e V2 Figura 34 é uma estrutura em balanço A viga V2 deve ser considerada engastada perfeitamente na viga V1 e esta por sua vez deve ser engastada perfeitamente no pilar P1 A viga V1 tem momento de torção aplicado na extremidade livre proveniente da flexão da viga V2 e a torção é de equilíbrio devendo ser obrigatoriamente considerada no dimensionamento da viga V1 sob pena de ruína caso desprezada Todas as estruturas devem ser cuidadosamente analisadas e dimensionadas mas estruturas em balanço como a deste exemplo devem ser objeto de especial atenção por parte do engenheiro Ainda devem ser bem executadas sob risco de problemas graves conduzirem à ruína da estrutura 7 O concreto adotado com fck 25 MPa por ter resistência maior que a mínima exigida para a CAA I possibilita diminuir a espessura do cobrimento em 5 mm conforme prescrição da NBR 6118 item 7476 Para concretos de classe de resistência superior à mínima exigida os cobrimentos definidos na Tabela 72 podem ser reduzidos em até 5 mm Embora possível esta redução não será aplicada neste Exemplo porque a estrutura está totalmente exposta ao ambiente UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 25 Os esforços solicitantes são calculados de dois modos primeiro considerandose a atuação conjunta das vigas em um modelo de grelha e segundo com o cálculo manual considerandose as vigas individualmente Para resolução da grelha será utilizado o programa GPLAN4 de CORRÊA et al 19928 141 Cálculo dos Esforços Solicitantes como Grelha 1411 Vãos Efetivos A viga V2 20 x 50 tem como vão efetivo e peso próprio vão livre o 80 cm da extremidade livre à face interna da V1 15 cm 03 5 0 h 03 17 5 cm 35 2 t 2 a 1 1 a1 15 cm a2 0 efV2 o a1 80 15 95 cm peso próprio gppV2 conc bw h 25 020 050 25 kNm A viga V1 35 x 50 tem como vão efetivo e peso próprio vão livre o 150 cm da extremidade livre à face do pilar 15 cm 03 5 0 h 03 30 cm 60 2 t 2 a 1 1 a1 15 cm a2 0 efV1 o a1 150 15 165 cm peso próprio gppV1 25 035 050 4375 kNm 1412 Modelo de Grelha A Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha com a numeração de nós e barras Na barra 2 correspondente à viga V1 deve ser considerado o momento de inércia à torção pois a torção que ocorre na viga V1 é de equilíbrio e não pode ser desprezada ou seja deve ser obrigatoriamente considerada no projeto da viga A viga V2 não tem torção e por isso não há necessidade de considerar inércia à torção9 O nó 2 deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito e os nós 1 e 3 não têm restrições nodais são livres 165 95 2 3 1 2 1 Figura 35 Esquema da grelha com distâncias e numeração dos nós e barras 8 O programa e o manual do GPLAN4 ou GPLAN5 dependendo da versão do programa operacional encontramse disponíveis em 171023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 9 Foi considerado apenas um pequeno valor 100 para a inércia à torção por necessidade do programa computacional de grelha UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 26 Supondo a viga trabalhando em serviço no Estádio II já fissurada para o módulo de elasticidade do concreto será considerado o valor secante O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão NBR 6118 item 82810 ck E ci 5600 f E 5600 25 01 28000 MPa 2800 kNcm2 com E 10 para brita de granito ou gnaisse O módulo secante Ecs é avaliado por Ecs i Eci com 01 80 f 20 80 ck i 01 0 8625 80 25 20 80 i ok Ecs 08625 2800 2415 kNcm2 Para o módulo de elasticidade transversal G NBR 6118 item 829 podese considerar a relação 1 0063 42 415 2 42 E G cs c kNcm2 O momento de inércia à torção J foi calculado com a Eq 39 Na Tabela 2 com n 07 encontrase o valor de 0189 para j e 70 50 35 h b n 405169 50 0189 35 j b h J 3 3 cm4 1413 Esforços Solicitantes O arquivo de dados de entrada no programa foi feito conforme o manual de utilização de CORRÊA et al 1992 e está apresentado no Anexo B1 Os resultados gerados pelo programa estão listados no Anexo B2 Os diagramas de esforços solicitantes característicos estão indicados na Figura 36 A flecha máxima para a grelha resultou igual a 05 cm no nó 1 aceitável em função dos valoreslimites indicados pela NBR 6118 T kNcm k k V kN 4863 596 524 50 M kNcm k 9237 4863 Figura 36 Diagrama de esforços solicitantes característicos calculados conforme o modelo de grelha 142 Dimensionamento da Viga V2 20 x 50 A título de exemplo e comparação com os esforços gerados com o modelo de grelha os esforços solicitantes nas vigas V1 e V2 serão calculados manualmente com as duas vigas consideradas individualmente 10 BASTOS PSS Fundamentos do Concreto Armado BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Set2023 96p Disponível em 171023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 27 1421 Esforços Solicitantes Máximos A viga V2 engastada na viga V1 tem o esquema estático e carregamento indicados na Figura 37 Força cortante no apoio engaste perfeito V 25 095 50 524 kN Momento fletor no apoio 0 95 50 2 0 95 52 M 2 M 4863 kNm 4863 kNcm Comparando os resultados dos esforços acima com aqueles obtidos no cálculo de grelha Figura 36 notase que os esforços solicitantes na viga V2 são idênticos 50 kN 25 kNm 95 50 V kN 524 4863 M kNcm k k Figura 37 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes na viga V2 1422 Dimensionamento à Flexão A NBR 6118 especifica que as vigas devem ter uma armadura de flexão mínima calculada segundo uma taxa de armadura mínima mín apresentada na norma Conforme a Tabela A6 para seção retangular e concreto C25 a taxa mínima de armadura mín deve ser de 015 Ac portanto Asmín 015 bw h 00015 20 50 150 cm2 Momento fletor máximo atuante na viga V2 Mk 4863 kNcm Md γf Mk 14 4863 6808 kNcm Considerando como altura útil d h 4 cm 50 4 46 cmver nota 11 d 2 w c M d K b 26 6808 20 46 2 na Tabela A1 temse x 014 045 ok Ks 0024 e dom 2 d K M A d s s 3 55 46 0 024 6 808 cm2 Asmín 150 cm2 ok e conforme a Tabela A3 podese indicar 2 16 mm 400 cm2 ou 3 125 375 cm2 Se adotados 3 125 em uma mesma camada a distância livre entre as barras deve ser suficiente para a passagem da agulha do vibrador para adensamento do concreto Considerando vibrador com ag 25 mm e t 5 mm diâmetro do estribo 15 2 3 1 25 50 52 2 20 ah cm 25 mm ok acg 25 20 25 50 3 125 ah 11 BASTOS PS Flexão Normal Simples Vigas BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP out2023 74p Disponível em 260324 httpswwwpfebunespbrpbastosconcreto1FlexaoSimplespdf UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 28 Posição do centro de gravidade da armadura acg 25 05 1252 36 cm foi adotado 4 cm para cálculo da altura útil coerente com o valor calculado de 36 cm 1423 Armadura de Pele Como a viga não tem altura superior a 60 cm segundo a NBR 6118 a armadura de pele não é necessária Porém a fim de evitar possíveis fissuras no concreto por efeito de retração que podem surgir mesmo em vigas com altura de 50 cm será colocada uma armadura de pele com área de 005 Ac 12 em cada face da viga Aspele 00005 20 50 050 cm2 4 42 mm 056 cm2 em cada face Tabela A3 distribuídos ao longo da altura ver Figura 38 com opção de 3 5 mm 060 cm2 em cada face 1424 Dimensionamento à Força Cortante A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas em BASTOS 202313 Para a seção retangular da viga será considerado o Modelo de Cálculo II e para fins didáticos com ângulo 38 ver nota 14 para a inclinação das diagonais de compressão com estribo vertical 45 A força cortante atuante de cálculo é Vk 524 kN VSd f Vk 14 524 734 kN a Verificação das diagonais de compressão Da Tabela A5 anexa para concreto C25 determinase a força cortante máxima a que a viga pode ser submetida VRd2 cos 0 87 b d sen w 087 20 46 sen 38 cos 38 3883 kN 3883 kN V 734 V Rd2 Sd ok portanto não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão b Cálculo da armadura transversal Para concreto C25 na Tabela A5 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é VSdmín c1 w V d cotg 0 040 b Com Vc0 708 20 46 41 10 25 30 70 60 d b f 60 V 3 2 w ctd c0 kN Como VSd 734 kN é maior que Vc0 devese calcular Vc1 com a equação c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 V V V V V V 70 2 708 3 388 73 4 708 3883 V 1 c kN 12 Esta área da armadura de pele era indicada na NB1 de 1978 e corresponde à metade da armadura preconizada pela versão de 2023 da norma 13 BASTOS PS Dimensionamento de vigas de Concreto Armado à força cortante BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP nov2023 77p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 14 O Modelo de Cálculo II com 38 conduz a uma armadura transversal muito próxima àquela resultante do Modelo de Cálculo I onde é fixo em 45 O estudante deve fazer o cálculo aplicando o MC I a fim de comparar os resultados UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 29 VSdmín 1173 70 2 0 0402046cotg 38 kN 1173 V 734 V Sdmín Sd kN portanto devese dispor a armadura transversal mínima Para CA50 a armadura transversal mínima é w ywk m ct swmín b f 20 f A cm2m com 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 2 05 20 50 20 0 256 A swmín cm2m c Detalhamento da armadura transversal Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 t 20010 20 mm Espaçamento máximo 067 VRd2 067 3883 2602 kN VSd 734 067 VRd2 2602 kN s 06 d 30 cm 06 d 06 46 276 cm Portanto smáx 276 cmver nota 15 Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm 2 5 040 cm2 temse 0 0205 s 0 40 s 195 cm smáx 276 cm ok A Figura 38 mostra o detalhamento dos estribos com dois ramos 5 mm espaçados a cada 15 cm para o espaçamento calculado de 195 cm16 1425 Ancoragem da Armadura Longitudinal Negativa A armadura negativa de flexão deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1 pois o equilíbrio da viga V2 depende do perfeito engastamento na V1 Uma ancoragem inadequada pode resultar em sérios riscos de ruptura ruína da viga V2 Conforme apresentado em BASTOS 202417 o comprimento de ancoragem básico deve ser calculado Na Tabela A7 e na Tabela A8 anexas constam os comprimentos de ancoragem dos aços CA50 e CA60 Na Tabela A7 aço CA50 para concreto C25 barra de diâmetro 125 mm em situação de má aderência o comprimento de ancoragem básico coluna sem gancho resulta 67 cm Considerando que a armadura negativa calculada foi 355 cm2 Asanc e que a armadura efetiva Asef será composta por 3 125 375 cm2 o comprimento de ancoragem necessário que leva em conta a diferença de áreas de armadura é 63 4 3 75 67 3 55 A A ef s anc s b b nec cm com comprimento de ancoragem necessário mínimo 15 O espaçamento máximo entre os ramos verticais do estribo stmáx também deve ser verificado Para a viga em questão é possível fazer estribo com dois ramos 16 O espaçamento foi adotado menor do que o calculado como uma segurança adicional por se tratar de uma viga em balanço É comum o projetista aumentar todas as armaduras adotadas quando se trata de estrutura em balanço como lajes e vigas pois são estruturas altamente suscetíveis de queda em função de possíveis erros na execução aumentos indevidos e não previstos nos carregamentos etc No caso citado o espaçamento poderia ser adotado ainda menor como 10 cm porque o acréscimo no consumo de aço é insignificante 17 BASTOS PS Ancoragem e emenda de armaduras BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP mar2024 26p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 30 6 cm r mín b nec b com bmín cm 10 12 5 cm 10 1 25 10 201 cm 67 30 30 b mín b bmín 201 cm O raio do pino de dobramento é r D2 5 2 5 1252 31 cm com D diâmetro do pino de dobramento 5 apresentado na Tabela A10 e r 55 31 55 125 100 cm Portanto cm 6 10 0 cm r 201 cm mín b nec b bnec 634 cm 201 cm ok O comprimento de ancoragem efetivo da viga de apoio V1 é a largura da viga menos a espessura do cobrimento bef b c 35 25 325 cm Verificase que o comprimento de ancoragem necessário é maior que o comprimento de ancoragem efetivo bnec 634 cm bef 325 cm Não é possível fazer a ancoragem dessa forma na viga de apoio Uma solução para tentar resolver o problema é fazer o gancho na extremidade das barras O comprimento de ancoragem com gancho é 44 4 634 70 b nec 1 b gancho cm 201 cm ok Verificase que o comprimento de ancoragem com gancho é superior ao comprimento de ancoragem efetivo bgancho 444 cm bef 325 cm de modo que o gancho não resolve o problema Uma solução possível na sequência entre outras é aumentar a armadura a ancorar para Ascorr e supondo a existência de grampo de ancoragem com 10 mm fica anc s gr ef b b s corr A 70 A 5 29 3 55 01 5 32 67 70 cm2 3 125 1 grampo 10 com área total de 3 125 2 080 535 cm2 1426 Detalhamento Final das Armaduras A Figura 38 mostra o detalhamento completo das armaduras da viga V2 A armadura de pele foi adotada embora não obrigatória neste caso As duas barras longitudinais inferiores N5 portaestribos construtivas foram adotadas 8 mm Em ambas foram acrescentados ganchos nas extremidades para melhorar a ligação com a viga V1 na qual a viga V2 está engastada O grampo 10 mm é a barra N3 colocado na segunda camada da armadura negativa Para garantir uma melhor vinculação engastamento da viga V2 na viga V1 as barras N2 foram desenhadas na forma de um estribo fechado para melhor ancoragem na viga V1 É importante que as barras N2 fiquem posicionadas sobre as barras longitudinais superiores negativas da viga V1 de modo a laçar essas barras VIGA DE APOIO Asef bcorr b 35 cm 50 V2 V1 3 125 bnec UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 31 N1 6 5 mm C 130 2N5 N2 3 125 C 275 N5 2 8 C 130 N4 2 x 4 42 C 125 N3 1 10 C 228 2 cam 45 20 45 15 30 14 15 45 V2 20 x 50 N1 6 c15 110 V1 4N4 4N4 N3 3N2 3N2 Figura 38 Detalhamento final das armaduras da viga V2 143 Dimensionamento da Viga V1 35 x 50 A viga V1 deve estar obrigatoriamente e perfeitamente engastada no pilar P1 como demonstrado no esquema estático Figura 39 O carregamento consiste no próprio peso e nas ações provenientes da viga V2 força vertical concentrada e momento torçor 1431 Esforços Solicitantes Máximos Força cortante Vk 4375 165 524 596 kN Momento fletor kNm 9242 165 52 4 2 4 375 165 M 2 k Mk 9242 kNcm Momento de torção Tk 4863 kNcm constante ao longo da viga Verificase que os esforços solicitantes acima são idênticos àqueles obtidos no cálculo segundo o modelo de grelha Figura 36 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 32 P1 165 4375 kNm 524 kN 4863 kNcm 596 524 V kN 9242 4863 M kNcm T kNcm k k k Figura 39 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes na viga V1 1432 Dimensionamento à Flexão A armadura mínima de flexão para seção retangular e concreto C25 tem taxa mínima de armadura mín 015 conforme a Tabela A6 portanto Asmín mín Ac 00015 35 50 263 cm2 O momento fletor solicitante característico máximo na viga V1 é 9242 kNcm O momento fletor de cálculo é Md f Mk 14 9242 12939 kNcm Considerando a altura útil d 46 cm temse d 2 w c M d K b 75 939 12 35 46 2 da Tabela A1 e com concreto C25 x 016 045 ok Ks 0025 e domínio 2 7 03 46 0 02512939 d K M A d s s cm2 Asmín 263 cm2 ok 6 125 750 cm2 ver Tabela A3 ou 4 16 800 cm2 Supondo t 10 mm o espaçamento livre entre as barras é 14 5 6 1 25 01 52 2 35 ah cm espaço livre suficiente para a passagem da agulha do vibrador supondo ag 25 mm A posição do centro de gravidade da armadura é acg 25 10 1252 41 cm foi adotado 4 cm para determinação da altura útil 25 25 50 35 5 125 1 10 ah 6 125 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 33 1433 Armadura de Pele A armadura de pele não é necessária porque a viga não tem altura superior a 60 cm A armadura para a torção que será colocada nas faces laterais da viga poderá também contribuir para evitar fissuras por retração do concreto 1434 Dimensionamento à Força Cortante Como já feito para a viga V2 no cálculo da armadura transversal será considerado o Modelo de Cálculo II com ângulo de 38 com aplicação de equações simplificadas para estribos verticais Vk 596 kN VSd f Vk 14 596 834 kN a Verificação das diagonais de compressão Na Tabela A5 para o concreto C25 determinase a força cortante máxima VRd2 cos 0 87 b d sen w 087 35 46 sen 38 cos 38 6795 kN 6795 kN V 834 V Rd2 Sd ok portanto não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão b Cálculo da armadura transversal Na mesma Tabela A5 para o concreto C25 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é VSdmín c1 w V d cotg 0 040 b Com Vc0 1239 35 46 41 10 25 30 70 60 d b f 60 V 3 2 w ctd c0 kN como VSd 834 kN Vc0 1239 kN temse que Vc1 Vc0 1239 kN VSdmín 2063 1239 0 0403546cotg 38 kN 2063 V 834 kN V Sdmín Sd kN portanto devese dispor a armadura transversal mínima Considerando aço CA50 a armadura mínima é w ywk m ct swmín b f 20 f A cm2m com 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 3 58 35 50 20 0 256 A swmín cm2m 00358 cm2cm c Detalhamento da armadura transversal Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 t 35010 35 mm Espaçamento máximo entre os estribos 067VRd2 067 6795 4553 kN VSdmáx 834 4553 kN s 06 d 30 cm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 34 06 d 06 46 276 cm Portanto smáx 276 cm Espaçamento máximo entre os ramos verticais dos estribos 020VRd2 020 6795 1359 kN VSdmáx 834 kN 1359 kN stmáx d 46 cm 80 cm Portanto como a viga tem largura de 35 cm é possível fazer estribos com dois ramos A Figura 40 mostra o detalhamento final dos estribos na viga combinados com a armadura transversal para a torção 1435 Ancoragem da Armadura Longitudinal Negativa A armadura longitudinal negativa calculada para a viga de 703 cm2 é a armadura a ancorar no pilar Asanc que tem seção transversal 3560 Para essa área o arranjo de barras escolhido é composto de 6 125 com área de 750 cm2 Asef Conforme a Tabela A7 para concreto C25 aço CA50 barra de alta aderência e situação de má aderência para a armadura negativa o comprimento de ancoragem básico coluna sem gancho é 67 cm para 125 mm Devido à diferença entre as áreas de armadura calculada e efetiva o comprimento de ancoragem necessário é 628 cm 7 50 67 7 03 A A ef s anc s b b nec E como mostrado nos cálculos da viga V2 temse cm 6 10 0 cm r 201 cm mín b nec b bnec 628 cm 201 cm ok O comprimento de ancoragem efetivo do pilar é bef b c 60 25 575 cm Verificase que o comprimento de ancoragem necessário é superior ao comprimento de ancoragem efetivo bnec 628 cm bef 575 cm que não possibilita fazer a ancoragem reta no pilar A primeira alternativa para resolver o problema é fazer gancho na extremidade das barras reduzindo o comprimento corrigido para 44 0 628 70 b gancho cm 201 cm ok O comprimento de ancoragem com gancho é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo bgancho 440 cm bef 575 cm o que possibilita fazer a ancoragem no pilar sem a necessidade de acréscimo de armadura ou de grampos Concluise que a ancoragem pode ser feita com 6 125 com gancho na extremidade das barras penetrando as barras no mínimo 440 cm dentro do pilar No entanto a favor da segurança a armadura negativa pode ser estendida no comprimento de bef dentro do pilar como mostrado na Figura 40 1436 Dimensionamento à Torção O momento de torção característico Tk é 4863 kNcm e o momento de cálculo é TSd f Tk 14 4863 6808 kNcm a Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal A bw h 35 50 1750 cm2 Perímetro da seção transversal u 2 bw h 2 35 50 170 cm 50 c bef b A s ef 25 bcorr 60 575 668 bnec 628 V1 P1 6 125 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 35 A Eq 19 e a Eq 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina 10 3 170 1750 u A he cm e he 2 c1 Supondo 125 mm t 10 mm e com cnom 25 cm temse c1 2 t cnom 1252 10 25 4125 cm he 2 4125 83 cm 1 c cnom Portanto os limites para he são 83 cm he 103 cm Será adotado he 100 cm A área efetiva e o perímetro do eixo da parede fina são Ae bw he h he 35 10 50 10 1000 cm2 ue 2 bw he h he 2 35 10 50 10 130 cm 35 50 10 10 h he e bw h O momento torçor máximo determinado pela Eq 22 com ângulo 38 igual ao aplicado no cálculo da viga à força cortante18 é TRd2 05 v2 fcd Ae he sen 2 05 1 25250 2514 1000 10 sen 2 38 7797 kNcm Para não ocorrer o esmagamento do concreto nas diagonais comprimidas de concreto conforme a Eq 34 devese ter 1 T T V V 2 Rd Sd 2 Rd Sd Como calculado no item c41 os valores de VRd2 e VSd são 6795 kN e 834 kN respectivamente Aplicando a Eq 34 temse 0 996 7 797 808 6 5 679 83 4 10 ok Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas bielas de compressão Caso resultasse valor superior à unidade haveria a necessidade de se fazer alguma alteração O aumento da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática sendo que o aumento da largura da viga é muito mais efetivo em aumentar a resistência à torção Porém há restrição no caso de viga embutida em parede pois a viga pode ficar aparente com uma largura maior que a da parede b Cálculo das armaduras para torção As armaduras mínimas para torção longitudinal e transversal são Eq 32 e ywk m ct s mín h f 20 f A 103 10 50 20 0 256 cm2m 18 O ângulo deve ser igual ao utilizado no cálculo da armadura transversal para a força cortante UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 36 w ywk m ct s 90mín b f 20f A 3 58 35 50 20 0 256 cm2m com 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa resistência média do concreto à tração direta Armadura longitudinal conforme a Eq 27 1002 0 115 tg38 1000 50 2 808 6 tg A f 2 T u A ywd e Sd e s cm2cm com ue 1 m 100 cm As 1002 cm2m Asmín 103 cm2m ok Armadura transversal composta por estribos a 90 conforme a Eq 24 0 0612 38 tg 115 1000 50 2 6 808 tg A f 2 T s A ywd e Sd s 90 cm2cm e para 1 m 100 cm de comprimento da viga As90 612 cm2m As90mín 358 cm2m ok Conforme a treliça espacial mostrada na Figura 32 As90 é a área de um ramo vertical de um estribo fechado com dois ramos verticais e ele deve estar contido dentro da parede fina ou seja dentro da espessura he c Detalhamento das armaduras c1 Armadura longitudinal A área de armadura longitudinal a ser distribuída ao longo do vão da viga pode ser obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção Como se observa nos diagramas de momentos fletores e momentos torçores Figura 36 e Figura 39 por simplicidade pode ser analisada apenas a seção onde ocorrem simultaneamente os momentos máximos M e T que é a seção de apoio engaste da viga no pilar A armadura longitudinal total determinada na seção de apoio pode ser estendida ao longo de todo o vão até a extremidade livre a favor da segurança dado que o momento fletor diminui A armadura longitudinal total considerando apenas a torção é aquela relativa ao perímetro ue 01002 u A e s cm2cm com ue 1300 cm Astot 01002 1300 1303 cm2 Esta área deve ser distribuída nas quatro faces da seção retangular da viga proporcionalmente conforme a NBR 6118 e observe que relativamente a ue que é o perímetro do eixo da parede fina cuja espessura neste caso é he Face superior da flexão As 703 cm2 da torção As bw he As 35 10 01002 251 cm2 Astotal 703 251 954 cm2 8 125 1000 cm2 Face inferior da flexão As 000 cm2 da torção As bw he As 35 10 01002 251 cm2 Astotal 251 cm2 4 10 mm 320 cm2 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 37 Faces laterais Astotal h he As 50 10 01002 401 cm2 5 10 mm 400 cm2 É importante ressaltar que devem ser dispostos 5 10 mm em ambas as faces laterais da viga Esta armadura pode atuar também para restringir as fissuras no concreto por efeito de retração não sendo necessário acrescentar armadura de pele embora neste caso a norma não a exija porque a viga não tem altura superior a 60 cm Para uma conferência da armadura longitudinal de torção podese determinar a armadura total em função da armadura calculada para as faces da viga Astot 2251 401 1304 cm2 ok c2 Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas à força cortante e à torção A armadura para a força cortante resultou igual à armadura mínima de 00358 cm2cm Considerando o estribo composto por dois ramos verticais e que a área mínima para a força cortante para um ramo vertical é 003582 00179 cm2cm a armadura transversal total é 0 0791 0 0612 0 0179 s A s A s A s 90 sw 1 ramo s tot cm2cm O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm e inferior a bw10 35010 35 mm Fazendo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 63 mm 1 63 mm 031 cm2 temse 0 0791 s 0 31 s 39 cm smáx 276 cmver nota 19 ok com smáx definido no item c43 O espaçamento resultou muito pequeno Fazendo com diâmetro de 8 mm 1 8 mm 050 cm2 encontrase 0 0791 s 0 50 s 63 cm smáx 276 cm ok O espaçamento ainda está pequeno Fazendo com diâmetro de 10 mm 1 10 mm 080 cm2 encontrase 0 0791 s 0 80 s 101 cm smáx 276 cm ok portanto será adotado estribo com dois ramos 10 mm c10 cm ver Figura 40 1437 Detalhamento Final das Armaduras A Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1 Como visto as armaduras para o momento fletor para a força cortante e para a torção foram calculadas separadamente e somadas na fase final O comprimento do gancho do lado esquerdo das barras N2 foi aumentado de 10 cm 8 8 125 10 cm para 40 cm para garantir uma melhor ancoragem da armadura no pilar Esta armadura substitui o arranjo de 6 125 conforme definido no item 1432 O gancho de 40 cm na extremidade direita das barras N2 visa reforçar a superfície de topo da viga V1 na ligação com a viga V2 Os ganchos nas extremidades dos estribos da V1 devem ser inclinados a 45 como prescrito pela NBR 6118 e com comprimento de 5 5 cm 19 O espaçamento entre os estribos deve ser suficiente para a passagem da agulha do vibrador com uma folga Recomendase que seja de pelo menos 7 a 8 cm para facilitar a penetração do concreto UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 38 O espaçamento entre as barras longitudinais para torção não deve superar 35 cm o que está atendido conforme se verifica no detalhamento ver item 127 Como a viga V2 está apoiada na viga V1 convém posicionar as barras N2 da V2 sobre as barras N2 da V1 obedecendo ao cobrimento de concreto P1 V1 35 x 50 40 N2 6 125 C 282 202 N3 2 125 C 202 2 cam N4 2 x 5 10 C 202 N5 4 10 C 202 6 N2 1 N3 5 N4 5 N4 4 N5 30 45 N1 15 10 C 160 1 N3 a N1 15 c10 40 Figura 40 Detalhamento final das armaduras da viga V1 15 EXEMPLO NUMÉRICO 2 Este exemplo referese ao projeto estrutural de uma laje em balanço marquise engastada na viga de apoio A marquise tem a função arquitetônica de proteger o hall de entrada de uma edificação A Figura 41 mostra uma perspectiva da estrutura a Figura 42 mostra a planta de fôrma a Figura 43 mostra um corte da laje da marquise e a Figura 44 mostra o pórtico do qual a viga V1 faz parte Para a estrutura pedese calcular e dimensionar as armaduras da viga V120 As seguintes informações são conhecidas a marquise estrutura em balanço composta pela laje L3 e as vigas V2 V3 e V6 acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção b edificação inserida em Classe de Agressividade Ambiental II Tabela 61 da NBR 6118 o que leva a fck 25 MPa e relação ac 060 Tabela 71 da NBR 6118 cnom 30 cm para c 10 mm Tabela 72 da NBR 6118 Será adotado o concreto C30 fck 30 MPa o qual é maior que o mínimo exigido C25 e assim o cobrimento pode ser reduzido em 05 cm assim cnom c 25 cm21 c o coeficiente de ponderação das ações permanentes e variáveis f será tomado como 14 Tabela 111 da NBR 6118 O coeficiente de ponderação do concreto c será tomado como 14 e o do aço s como 115 Tabela 121 da NBR 6118 d lajes e vigas da marquise em concreto aparente sem revestimentos e carga das lajes internas L1 e L2 na viga V1 plaje 50 kNm f sobre toda extensão da viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico de oito furos com espessura final de 23 cm 20 cm de revestimento de argamassa de cada lado altura de 260 m com peso específico alv de 32 kNm2 20 Este exemplo toma como base aquele apresentado em GIONGO 1994 21 A NBR 6118 item 747 prescreve que Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido os cobrimentos definidos na Tabela 72 podem ser reduzidos em até 5 mm Portanto como o concreto escolhido C30 é de classe superior ao mínimo exigido C25 o cobrimento pode ser diminuído em 05 cm ou seja de 30 para 25 cm Essa possível diminuição fica a critério do projetista Sabese que a espessura e a qualidade do concreto do cobrimento são os fatores mais importantes para garantir proteção à armadura contra a corrosão UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 39 g peso específico do concreto com armadura passiva concr 25 kNm3 Aços CA50 e CA60 h espessura média de 30 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da marquise L3 com argamassa de peso específico argimp 21 kNm3 i vigas V2 V3 e V6 são consideradas sem função estrutural como componentes da estética da marquise j a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados por se tratar de uma edificação de baixa altura apenas dois pavimentos em região não sujeita a ventos de alta intensidade Figura 41 Perspectiva da estrutura 19 10 788 10 P1 1930 P2 1930 P3 1930 V2 10 x 40 V3 10 x 40 V6 10 x 40 V1 19 x 40 A A Planta de Fôrma L3 h 10 cm Laje interna L1 Laje interna L2 140 10 1545 V4 20 x 35 V5 20 x 35 V7 20 x 35 394 394 Figura 42 Planta de fôrma da estrutura 22 22 A planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima Como as vigas V1 V3 e V6 são invertidas os traços de uma das faces das vigas estão desenhados com linha tracejada UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 40 V3 V2 V1 10 30 19 140 10 Corte A V4 L3 P1 40 Figura 43 Desenho em corte da marquise 450 30 359 30 359 30 4175 40 25 1930 P1 1930 P2 1930 P3 tramo 1 tramo 2 V 20 x 25 V1 19 x 40 V 19 x 40 300 260 40 Figura 44 Vista do pórtico com a viga V1 RESOLUÇÃO Como a laje L3 da marquise em balanço está em um nível inferior ao das lajes internas L1 e L2 na edificação não é possível considerar alguma vinculação entre as lajes ou seja a laje em balanço não tendo continuidade física com as lajes internas não pode ser considerada engastada nas lajes internas A única alternativa neste caso é engastar a laje L3 na viga V1 A flexão na laje em balanço age como momento de torção externo aplicado uniformemente distribuído ao longo da viga V1 o que origina o esforço solicitante de momento de torção T na viga o qual deve ser obrigatoriamente considerado no projeto e dimensionamento da V1 ainda que as lajes internas L1 e L2 restrinjam a torção aplicada na V1 Os momentos de torção T na viga V1 tornamse momentos fletores atuantes nos pilares P1 P2 e P3 devendo ser computados no dimensionamento desses pilares No caso de se desejar evitar a torção na viga V1 uma solução possível seria prolongar as vigas V4 V5 e V7 até a extremidade livre da laje L3 em balanço que passariam a ser responsáveis pelo equilíbrio da laje A laje por sua vez subdividida em duas passaria a atuar como duas lajes apoiadas nas vigas de borda sem engastamento na viga V1 e portanto sem atuação de torção na viga Outra solução seria o engastamento da laje L3 nas lajes internas L1 e L2 possível apenas se as lajes estivessem com a face superior no mesmo nível o que também eliminaria a torção na viga V1 Inicialmente será apresentado o dimensionamento da laje L3 e em seguida o dimensionamento da viga V1 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 41 151 Dimensionamento da Laje L3 Na laje ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente distribuídas no contorno externo da laje representadas pelas cargas das vigas V2 V3 e V6 A altura da laje L3 é de 10 cm 1511 Ações Uniformemente Distribuídas na Área As cargas atuantes na laje são as seguintes peso próprio gpp 25 010 250 kNm2 impermeabilização gimp 21 003 063 kNm2 ação variável q 05 kNm2 laje sem acesso público CARGA TOTAL p 363 kNm2 1512 Ações Uniformemente Distribuídas no Contorno No contorno da laje L3 há a ação do peso próprio das vigas V2 V3 e V6 em concreto aparente gppvigas 25 010 030 075 kNm 1513 Cálculo dos Esforços Solicitantes A laje L3 está engastada na viga V1 e como a laje é armada em uma direção y x 798153 52 2 os esforços solicitantes são calculados supondose a laje como viga de largura unitária 1 m Figura 45 Com vão livre o de 150 cm o vão efetivo da laje é 3cm 03 10 h 03 cm 59 19 2 t 2 a 1 1 a1 3 cm a2 0 ef o a1 150 3 153 cm Os esforços solicitantes máximos são 5 36 0 75 1 48 2 3 63 153 M 2 kNmm V 363 153 075 630 kNm 075 kN 363 kNm 536 M kNcmm K V kNm K 5 148 630 075 Figura 45 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes máximos na laje L3 1514 Verificação da Laje à Força Cortante A laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal De modo geral as lajes maciças com cargas totais baixas como neste caso não requerem armadura transversal e por isso o cálculo não será apresentado23 1515 Determinação da Armadura Longitudinal de Flexão Considerando que a laje L3 terá uma argamassa de impermeabilização assentada na face superior para proteção da laje e principalmente da armadura negativa o cobrimento será considerado 20 cm Supondo de 63 mm a altura útil d é 23 No seguinte texto está apresentada a formulação da NBR 6118 para verificação de lajes maciças à força cortante BASTOS PS Lajes de Concreto Armado BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Out2023 114p Disponível em 171023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 42 d h c 2 10 20 0632 77 cm A determinação da armadura principal negativa posicionada perpendicularmente ao eixo longitudinal da viga V1 e junto à face superior da laje considerando a altura útil d é d 2 w c M d b K 97 536 41 77 100 2 da Tabela A1 para concreto C30 x 009 045 ok Ks 0024 e dom 2 d K M A d s s 2 34 77 536 41 0 024 cm2m 63 c13 cm 242 cm2m ver Tabela A11 A armadura negativa da laje calculada como viga considerando os valores contidos na Tabela A6 e na Tabela A9 para concreto C30 deve ter o valor mínimo de 150 100 10 100 015 h 015 b A w s mín cm2m As 234 cm2m O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a cm 20 20 cm 2 10 2h s smáx 20 cm Na direção secundária perpendicular à direção principal a laje armada em uma direção deve ter uma armadura de distribuição de área 0 75cm m 150 50 A 50 c m m 09 0 47 cm m 2 34 20 A 20 A 2 mín s 2 2 s s distr Asdistr 090 cm2m 42 c15 cm 092 cm2m obedecendo ao espaçamento máximo de 33 cm entre as barras 1516 Detalhamento Final das Armaduras O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas está na Figura 46 Devese observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior isto é onde ocorrem as tensões normais de tração A armadura principal da laje deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1 onde está engastada24 O detalhe em gancho das barras N1 no interior da viga V1 garante a necessária ancoragem A armadura inferior barras N3 não é necessária ao equilíbrio da laje podendo ser dispensada No entanto nas lajes em balanço a sua colocação pode ser útil para aumentar a segurança da laje numa eventual ruína além de aumentar a ductilidade e diminuir a flecha da laje que deve ser verificada no caso de um projeto completo25 24 A ancoragem da armadura principal da laje pode ser avaliada de modo semelhante às vigas 25 A flecha da laje L3 por ser uma laje em balanço deve ser cuidadosamente avaliada No seguinte texto há a formulação e exemplos de aplicação BASTOS PSS Lajes de Concreto Armado BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Out2023 114p Disponível em 171023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 43 N1 N3 N2 9 42 c 15 CORR N1 61 63 c 13 C 230 36 16 6 6 166 N3 26 42 c 30 C 165 V1 Figura 46 Detalhamento esquemático das armaduras da laje 152 Dimensionamento da Viga V1 19 x 40 Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do peso próprio da parede de alvenaria existente das lajes internas L1 e L2 do edifício e da laje L3 em balanço reação de apoio e momento fletor na seção de engastamento da laje que leva à torção da viga Todas essas ações são uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga 1521 Ações a Considerar peso próprio gpp 25 019 040 190 kNm parede gpar 32 260 832 kNm laje L3 marquise plaje 630 kNm laje interna L1 ou L2 plaje 50 kNm CARGA TOTAL p 2152 kNm 1522 Esforços Solicitantes Internos O modelo adotado para o esquema estrutural da viga para a determinação dos momentos fletores e torçores e forças cortantes é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos molas Para a avaliação dos momentos torçores há que se considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares P1 P2 e P3 A viga V1 é simétrica em geometria e carregamento de modo que os vãos livres e efetivos dos dois tramos são iguais vão livre o 394 10 30 15 359 cm 12 cm 03 4 0 h 03 15 cm 30 2 t 2 a 1 1 a1 12 cm a2 ef o a1 359 12 12 383 cm O apoio intermediário da viga pilar P2 pode ser considerado como um apoio simples pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 44 temse que o comprimento equivalente do lance inferior do pilar é e 450 cm e e4 4504 1125 cm Como a dimensão do pilar na direção da viga bint 30 cm é UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 44 menor que e4 1125 cm pode considerar o pilar intermediário como um apoio simples Caso bint resultasse maior que e4 os dois tramos da viga deveriam ser considerados engastados no pilar P226 A Figura 47 mostra o esquema estático da viga com os carregamentos atuantes vãos efetivos numeração das barras e nós etc Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade como o programa Ftool27 383 1915 2152 kNm 1915 1 y 2 1 2 383 1915 1915 3 3 4 4 5 x Figura 47 Esquema estático carregamento e numeração dos nós e barras da viga V1 Considerando que os pilares extremos P1 e P3 nos quais a viga se encontra vinculada estão engastados na estrutura de fundação bloco de duas estacas e vigas baldrames o coeficiente de rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI228 A rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por Kmola Kpinf Kpsup Supondo a viga trabalhando em serviço no Estádio II já fissurada para o módulo de elasticidade do concreto será considerado o valor secante O módulo de elasticidade tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão NBR 6118 item 828 ck E ci 5600 f E 5600 30 21 36807 MPa 36807 kNcm2 com E 12 para brita de basalto ou diabásio O módulo de elasticidade secante Ecs é avaliado por Ecs i Eci com 01 80 f 20 80 ck i 01 0 875 80 30 20 80 i ok Ecs 0875 36807 3221 kNcm2 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1 e P3 é Ipsup Ipinf 42750 12 30 19 12 b h 3 3 cm4 Observe que a dimensão do pilar considerada ao cubo é aquela coincidente com a direção do eixo longitudinal da viga Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior dos pilares são 2 447960 2 450 3221 42750 4 2 4EI K p inf kNcm 3 671940 2 300 3221 42750 4 2 4EI K p sup kNcm 26 Ver BASTOS PS Vigas de Concreto Armado Dimensionamento flecha e fissuração BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Abril2024 173p Disponível em 290424 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 27 Para o exemplo foi aplicado o programa para cálculo de pórtico plano chamado PPLAN4 de CORRÊA et al 1992 28 Quando o pilar for considerado apoiado na estrutura de fundação o coeficiente de rigidez poderá ser tomado como 3EIe Pilares sobre blocos de uma estaca devem ser considerados simplesmente apoiados articulados UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 45 Rigidez da mola Kmola Kpinf Kpsup 2447960 3671940 6119900 kNcm Para determinação dos esforços solicitantes na viga foi aplicado o programa FTOOL29 conforme a A viga mostrada na Figura 47 A Figura 48 mostra a tela do programa e a Figura 49 mostra o esquema estático com os vínculos distâncias e carregamento na viga A Figura 50 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores valores característicos máximos obtidos no programa Na Figura 50 também estão incluídos os esforços de torção T provocados pelo momento fletor na laje em balanço 536 kNm que é momento de torção externo na viga Figura 48 Tela da viga V1 no Ftool FTOOL httpswwwftoolcombrFtool Figura 49 Esquema estático com os vínculos distâncias e carga uniformemente distribuída na viga V1 FTOOL httpswwwftoolcombrFtool Os momentos de torção máximos nos apoios são calculados considerandose cada tramo individualmente biengastado nas extremidades Conforme mostrado na Figura 50 o momento de torção máximo é 1026 2 3 83 5 36 Tk kNm 1026 kNcm Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal para os esforços solicitantes de força cortante e momentos fletores e torçores 29 FTOOL versão 40004 jan18 Disponível em 6072021 httpswwwftoolcombrFtool UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 46 1690 3101 1582 52 172 90 1582 1026 1026 375 V kN K 449 1690 M kNcm K P1 P2 P3 536 kNm 383 m 383 m 536 kNm 1026 1026 T kNm K 375 449 Figura 50 Diagramas de momentos torçores Tk kNcm forças cortantes Vk kN e momentos fletores Mk kNcm na viga V1 FTOOL httpswwwftoolcombrFtool 1523 Armadura Mínima de Flexão Conforme a Tabela A6 para seção retangular e concreto C30 a taxa mínima de armadura mín deve ser de 015 Ac portanto Asmín 00015 19 40 114 cm2 1524 Armadura de Pele A armadura de pele não é necessária dado que a viga não tem altura superior a 60 cm Para a viga com largura de 19 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por efeito de retração do concreto 1525 Dimensionamento das Armaduras Longitudinais Negativas a Apoio interno P2 Os momentos fletores característico e de cálculo são Mk 3101 kNcm Md f Mk 14 3101 4341 kNcm Por simplicidade e porque o momento fletor negativo no apoio do pilar P2 é pequeno não será feita redução de M para δM Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 36 cm A laje em balanço L3 está comprimida pelo momento fletor negativo de modo que pode contribuir com a viga e forma uma viga de seção L A largura colaborante proporcionada pela laje conforme a NBR 6118 é30 b3 010 06 383 23 cm A largura colaborante é bf bw b3 19 23 42 cm 30 Ver BASTOS PS Flexão Normal Simples Vigas BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP out2023 74p Disponível em 260324 httpswwwpfebunespbrpbastosconcreto1FlexaoSimplespdf UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 47 d 2 f c M K b d 12 5 341 4 4236 2 para o concreto C30 na Tabela A1 x xd 006 045 ok Ks 0024 e domínio 2 18 2125 Ainda resulta que 08x hf 10 cm e o cálculo é de seção L como se fosse retangular bf h A armadura resulta d K M A d s s 2 89 36 0 024 4 341 cm2 Asmín 114 cm2 2 125 1 8 250 050 300 cm2 ou 4 10 mm 320 cm2 A distância livre horizontal entre as barras deve ser superior a 25 mm a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador Supondo o diâmetro do estribo igual a 63 mm a distância livre resulta 74 2 80 1 25 2 0 63 52 2 19 ah cm distância mais que suficiente para a passagem da agulha do vibrador A distância da base da viga ao CG da armadura é acg 25 063 1252 38 cm 40 cm valor adotado b Apoios extremos P1 e P3 Os momentos fletores característico e de cálculo são Mk 1690 kNcm Md f Mk 14 1690 2366 kNcm Considerando seção L com bf 42 cm e d 36 cm d 2 f c M K b d 230 366 2 4236 2 Tabela A1 com concreto C30 x xd 004 045 ok Ks 0023 domínio 2 e 08x hf A armadura é d K M A d s s 151 36 0 023 2 366 cm2 Asmín 114 cm2 2 10 mm 160 cm2 210 1526 Dimensionamento da Armadura Longitudinal Positiva Os momentos fletores característico e de cálculo são Mk 1582 kNcm Md f Mk 14 1582 2215 kNcm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 48 Considerando que as lajes internas L1 e L2 sejam também maciças de concreto no dimensionamento ao momento fletor positivo máximo podese considerar a contribuição da laje para formar uma seção L dado que a laje está comprimida b1 010 06 383 23 cm bf bw b1 19 23 42 cm d 2 f c M K b d 111 215 2 4236 2 Tabela A1 com concreto C30 x xd 006 045 ok Ks 0024 domínio 2 e 08x hf A armadura é d K M A d s s 1 48 36 0 024 2 215 cm2 Asmín 114 cm2 2 10 mm 160 cm2 2 10 1527 Dimensionamento da Armadura Transversal à Força Cortante A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas em BASTOS 202331 Será adotado o Modelo de Cálculo I 45 para a inclinação da diagonais comprimidas a Pilar interno P2 As forças cortantes característica e de cálculo são Vk 449 kNcm VSd f Vk 14 449 629 kN a1 Verificação das diagonais de compressão Da Tabela A4 para o concreto C30 determinase a força cortante máxima VRd2 051 bw d 051 19 36 3488 kN VSd 629 kN VRd2 3488 kN ok não ocorrerá esmagamento do concreto nas diagonais de compressão a2 Cálculo da armadura transversal Da mesma Tabela A4 para o concreto C30 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é VSdmín 0132 bw d 0132 19 36 903 kN VSd 629 kN VSdmín 903 kN portanto devese dispor a armadura transversal mínima A armadura mínima é calculada pela equação w ywk m ct swmín b f 20f A cm2m com 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 31 BASTOS PS Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP nov2023 77p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 49 195 19 50 20 0 256 A swmín cm2m A força cortante de cálculo nos pilares extremos VSd 525 kN é também menor que a força cortante mínima o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois tramos da viga V1 a3 Detalhamento da armadura transversal Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 t 19010 19 mm Espaçamento máximo32 067 VRd2 067 3488 2337 kN VSdmáx 629 kN 2337 kN s 06d 30 cm 06d 06 36 216 cm Portanto smáx 216 cm 1528 Ancoragem das Armaduras Longitudinais a Armadura positiva nos pilares extremos P1 e P3 Como a viga tem simetria de carregamento e geometria a ancoragem nos pilares P1 e P3 é idêntica Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores a segundo o Modelo de Cálculo I para estribos verticais33 d V V V 50 d a c máx Sd Sdmáx com a 05d Na Flexão Simples Vc Vc0 06fctd bw d 06 0145 19 36 595 kN 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f 1 45 30 41 30 70 3 2 MPa 0145 kNcm2 7 1852 5 59 5 52 5 52 5 36 50 a a fração resultou com valor negativo portanto a 05d 18 cm A armadura a ancorar no apoio é yd Sd s anc f V d a A 0 60 115 50 5 52 36 18 cm2 A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima vão apoio apoio vão s vão apoio apoio vão s anc s 50 M e de valor M negativo se M 4 A 1 50 M de valor M 0 ou negativo se M 3 A 1 A Sendo Mdapoio 14 1690 2366 kNcm e Mdvão 14 1582 2215 kNcm fica 32 Deve ser verificado também o espaçamento entre os ramos verticais dos estribos stmáx 33 BASTOS PS Ancoragem e emenda de armaduras BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP mar2024 26p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 50 M d apoio 2 366 kNcm Mdvão2 22152 1107 kNcm Portanto Asanc 14 Asvão 1484 037 cm2 Asanc 060 cm2 14 Asvão 037 cm2 ok portanto ancorar 060 cm2 A armadura positiva do vão adjacente é composta por 2 10 mm 160 cm2 barras que deverão ser obrigatoriamente estendidos até os apoios Portanto Asef 160 cm2 Asanc 060 cm2 O comprimento de ancoragem básico b conforme a Tabela A7 para barra com diâmetro de 10 mm concreto C30 aço CA50 região de boa aderência e sem gancho é 33 cm O comprimento de ancoragem necessário resulta 12 4 160 33 0 60 A A ef s anc s b b nec cm O comprimento de ancoragem necessário deve atender a um comprimento de ancoragem mínimo 6 cm r mín b nec b com bmín cm 10 10 0 cm 10 01 10 cm 99 33 30 30 b mín b bmín 100 cm O diâmetro do pino de dobramento D com D determinado na Tabela A10 vale 5 O raio r resulta r D2 52 5 102 25 cm r 55 25 55 10 80 cm Assim temse cm 6 cm 08 r 10 0 cm mín b nec b bnec 124 cm 100 cm ok O comprimento de ancoragem efetivo no apoio é bef b c 30 25 275 cm Verificase que o comprimento de ancoragem necessário sem gancho é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo bcorr 124 cm bef 275 cm Isto significa que é possível fazer a ancoragem reta no comprimento de 124 cm A favor da segurança as duas barras serão estendidas até a face externa do pilar obedecido o cobrimento como mostrado na Figura 53 barras N534 34 Para uma melhor ancoragem e a favor da segurança o gancho pode ser feito na extremidade das barras 40 30 b c 25 bef 275 143 bcorr A s ef bnec UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 51 b Armadura positiva no pilar intermediário P2 Estendendo 2 10 160 cm2 da armadura longitudinal positiva até o pilar intermediário esta armadura deve ser superior à mínima Sendo Mdapoio 14 3101 4341 kNcm e Mdvão 14 1582 2215 kNcm fica M d apoio 4 341 kNcm Mdvão2 22152 1107 kNcm Portanto As anc 14 Asvão 1484 037 cm2 Asef 160 cm2 14 Asvão 037 cm2 As duas barras de 10 mm devem se estender pelo menos 10 além da face do apoio c Armadura negativa nos pilares extremos P1 e P3 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico da viga nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face externa do pilar respeitandose a espessura do cobrimento e possuir um gancho direcionado para baixo com comprimento de pelo menos 35 Para diâmetro de 10 mm o diâmetro de dobramento deve ser de 15 como indicado na Figura 51 Figura 51 Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos 1529 Dimensionamento à Torção O momento de torção característico Tk é 1026 kNcm e o momento de cálculo é TSd f Tk 14 1026 1436 kNcm A armadura transversal para a força cortante foi dimensionada segundo o Modelo de Cálculo I 45 ângulo que também deve ser considerado no dimensionamento da viga à torção a Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal A bw h 19 40 760 cm2 Perímetro da seção transversal u 2 bw h 2 19 40 118 cm A Eq 19 e a Eq 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina 35 cm 210 35 5 30 40 D 15 para CA50 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 52 46 118 760 u A he cm e he 2c1 Com c 25 cm e supondo 125 mm e t 8 mm temse c1 2 t cnom 1252 08 25 3925 cm he 2c1 2 3925 79 cm 1 c cnom Portanto os limites para he são 79 cm he 64 cm ou seja he 64 cm e he 79 cm de modo que não é possível adotar um valor para he que atenda aos limites Na torção para resolver o problema aumentar a largura da viga é a solução mais efetiva embora outras soluções sejam possíveis Uma nova largura pode ser determinada fazendo he Au 2c1 79 cm que é o valor máximo para he Com Au 79 resulta a largura de 26 cm e 79 cm he 79 cm que resolve o problema com a seção 26 x 40 Resta verificar se o projeto arquitetônico permite a viga com esta largura No caso por exemplo de não ser permitido aumentar a largura de 19 cm a altura necessária para resolver o problema é de 94 cm o que também resulta 79 cm he 79 cm Concluise portanto que aumentar a altura da viga não é uma solução eficiente Quando ocorre Au 2c1 e não se deseja fazer alterações na seção transversal a NBR 6118 permite adotar he Au bw 2c1 he Au 64 cm bw 2c1 19 2 3925 112 cm ok he 64 cm A área Ae é então definida pelos eixos das barras dos cantos respeitandose o cobrimento exigido nos estribos Ae bw 2c1 h 2c1 19 79 40 79 3563 cm2 c b h e u 1 64 e Ae h 40 h 64 e c1 19 w Neste caso o perímetro da área equivalente Ae deve ser tomado como ue 2 bw 2c1 h 2c1 2 19 79 40 79 864 cm O momento torçor máximo determinado pela Eq 22 com ângulo 45 igual ao ângulo aplicado no cálculo da viga à força cortante no caso o Modelo de Cálculo I é TRd2 05 v2 fcd Ae he sen 2 05 1 30250 3014 3563 64 sen 2 45 21500 kNcm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto conforme a Eq 34 devese ter 1 T T V V 2 Rd Sd 2 Rd Sd Como o momento de torção T tem valor máximo igual nos três apoios a verificação das diagonais de compressão será feita para a força cortante máxima atuante na viga VSdP2 629 kN no pilar P2 A força cortante máxima calculada para a viga é VRd2 2941 kN e substituindo os valores encontrase 0 88 1500 2 436 1 1 294 62 9 10 ok Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 53 b Cálculo das armaduras As armaduras mínimas para torção longitudinal e transversal são Eq 32 e ywk m ct s mín h f 20 f A 0 74 46 50 20 0 290 cm2m w ywk m ct s 90mín b f 20f A 2 20 19 50 20 0 290 cm2m com 2 90 30 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa resistência média do concreto à tração direta Armadura longitudinal conforme a Eq 27 0463 0 115 tg45 50 3563 2 436 1 tg A f 2 T u A ywd e Sd e s cm2cm com ue 100 cm As 463 cm2m Asmín 066 cm2m ok Armadura transversal estribos conforme a Eq 24 0 0463 45 tg 115 50 3563 2 1 436 tg A f 2 T s A ywd e Sd s 90 cm2cm com s 100 cm As90 463 cm2m As90mín 195 cm2m ok c Detalhamento das armaduras c1 Armadura longitudinal A área de armadura longitudinal em cada face da seção retangular da viga é obtida pela soma das armaduras longitudinais de flexão e de torção Deve ser feita uma análise dos diagramas de momentos fletores e de momentos torçores de forma a que a armadura longitudinal final cubra tanto os momentos fletores quanto os torçores conforme suas variações ao longo dos tramos Se analisados os diagramas mostrados na Figura 50 observase que o momento de torção máximo T ocorre nos apoios e diminui em direção ao centro do tramo Assim por simplicidade podem ser analisadas as seções correspondentes aos apoios pilares combinandose as armaduras longitudinais de flexão e de torção nessas seções Observe que a armadura longitudinal de torção foi calculada em função de ue que neste caso não é o perímetro do eixo da parede fina e sim o perímetro da área equivalente Ae delimitada pelos eixos das barras longitudinais dos cantos da seção transversal Portanto Ae e ue foram calculados em função de c1 distância do centro da barra do canto à face da seção e não em função de he Pilares P1 e P3 Face superior da flexão As 151 cm2 da torção As bw 2c1 As 19 79 00463 051 cm2 Astotal 151 051 202 cm2 3 10 240 cm2 Face inferior da flexão As 060 cm2 Asanc UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 54 da torção As bw 2c1 As 19 79 00463 051 cm2 Astotal 060 051 111 cm2 esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do vão que se estende até os apoios extremos 2 10 mm 160 cm2 Faces laterais Astotal h 2c1 As 40 79 00463 149 cm2 3 8 mm 150 cm2 Esta armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto A armadura longitudinal total considerando apenas a torção é aquela relativa ao perímetro ue 0 0463 u A e s cm2cm com ue 864 cm 4 00 0 046386 4 A s tot cm2 Para uma conferência podese determinar a armadura total em função da armadura calculada para as faces da viga Astot 2051 149 400 cm2 ok Pilar P2 ambos os tramos da viga adjacentes ao pilar devido à simetria Face superior da flexão As 289 cm2 da torção As 19 79 00463 051 cm2 Astotal 289 051 340 cm2 3 125 375 cm2 Face inferior da flexão As 037 cm2 Asanc da torção As 19 79 00463 051 cm2 Astotal 037 051 088 cm2 esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do vão que se estende até o apoio intermediário 2 10 mm 160 cm2 Faces laterais Astotal h he As 40 79 00463 149 cm2 3 8 mm 150 cm2 c2 Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada com a soma das áreas relativas à força cortante e à torção A armadura para a força cortante resultou igual à armadura mínima de 00195 cm2cm ao longo de toda a viga Considerando o estribo composto por dois ramos verticais e que a área mínima relativa à força cortante para um ramo é 001952 000975 cmcm2 a armadura transversal total é s A s A s A s 90 sw 1 ramo s tot 000975 00463 00561 cm2cm onde As90 representa a área de um ramo vertical do estribo O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a bw10 19010 19 mm Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm 1 5 mm 020 cm2 temse 0 0561 s 0 20 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 55 s 37 cm smáx 216 cm este espaçamento máximo é válido para a força cortante e para a torção O espaçamento resultou muito pequeno Considerando o estribo com diâmetro de 63 mm fica 0 0561 s 0 31 s 55 cm smáx 216 cm O espaçamento também resultou pequeno Considerando o estribo com diâmetro de 8 mm fica 0 0561 s 0 50 s 89 cm 9 cm smáx 216 cm Portanto podese dispor estribos 8 mm c9 cm em toda a extensão dos vãos livres dos dois tramos da viga a favor da segurança A rigor as regiões próximas ao centro dos tramos pode ter uma armadura transversal menor onde os esforços solicitantes V e T são menores ver Figura 50 A Figura 53 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1 15210 Cobrimento do Diagrama de Momentos Fletores A decalagem a do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinada como 18 cm ver item b51 O cobrimento do diagrama de momentos fletores deve ser feito apenas para a armadura negativa no pilar P2 porque as armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras que devem se estender obrigatoriamente até os apoios As armaduras longitudinais mostradas na Figura 52 consideram a flexão e a torção ou seja as armaduras somadas Os comprimentos de ancoragem básicos sem gancho para barras 10 e 125 mm em região de má aderência aço CA50 e concreto C30 conforme a Tabela A7 são respectivamente 48 e 60 cm A Figura 52 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo Como a viga é simétrica o cobrimento foi feito sobre um tramo apenas Figura 52 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo A a centro do pilar P2 2 10 face externa do pilar B 10 120 a a 3 10 67 b B A 54 b 10 85 10 3 125 125 18 18 10 cm 15 b 60 b 48 10 cm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 56 15211 Detalhamento Final das Armaduras A Figura 53 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1 As barras N5 foram estendidas até as faces do pilar intermediário P2 com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras dado que elas trabalham também à torção N5 2 10 C 431 15 35 N2 3 10 C 356 P1 N1 40 c9 V1 19 x 40 N2 3 10 C 356 A N5 2 10 C 431 A N3 3 125 C 240 120 N4 2 x 3 8 CORR 40 120 P2 N1 40 c9 40 15 N1 80 8 C108 14 3 N3 35 P3 35 2x3 N4 2 N5 Figura 53 Detalhamento final das armaduras da viga V1 16 EXEMPLO NUMÉRICO 3 A Figura 54 Figura 55 e Figura 56 mostram a planta de fôrma de um pavimento a estrutura em três dimensões e um corte esquemático da estrutura de concreto de uma edificação com dois pavimentos Essa estrutura simples já teve as vigas VS1 e VS2 dimensionadas BASTOS 202435 e agora a viga VS1 tem seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços internos de torção bem como também o concreto foi alterado do C30 para o C35 O propósito do exemplo é dimensionar e detalhar as armaduras das vigas VS1 e VS6 ambas submetidas à momento de torção São conhecidos coeficientes de ponderação c f 14 s 115 peso específico do Concreto Armado conc 25 kNm3 aço CA50 conforme NBR 6120 argamassa de revestimento com argrev 19 kNm3 e argamassa de contrapiso com argcontr 21 kNm3 edificação inserida em área urbana de cidade Classe de Agressividade Ambiental II Tabela 61 da NBR 6118 o que leva a fck 25 MPa e relação ac 060 Tabela 71 da NBR 6118 cnom 30 cm para c 10 mm Tabela 72 da NBR 6118 Será adotado o concreto C35 fck 35 MPa o qual é maior que o mínimo exigido C25 e assim o cobrimento pode ser reduzido em 05 cm assim cnom c 25 cm36 OBSERVAÇÕES 35 BASTOS PS Vigas de Concreto Armado Dimensionamento flecha e fissuração BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Abril2024 173p Disponível em 290424 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 36 A NBR 6118 item 747 prescreve que Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido os cobrimentos definidos na Tabela 72 podem ser reduzidos em até 5 mm Portanto como o concreto escolhido C35 é de classe superior ao mínimo exigido C25 o cobrimento pode ser diminuído em 05 cm ou seja de 30 para 25 cm Essa possível diminuição fica a critério do projetista Sabese que a espessura e a qualidade do concreto do cobrimento são os fatores mais importantes para garantir proteção à armadura contra a corrosão UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 57 a há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas VS1 e VS6 constituída por blocos cerâmicos de oito furos dimensões de 9 x 19 x 19 cm espessura final de 23 cm e altura de 240 m com carga por metro quadrado de área de 320 kNm2 valor esse que considera os diferentes pesos específicos do bloco cerâmico e das argamassas de assentamento 1 cm e de revestimento 15 cm37 b a laje é do tipo préfabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 233 kNm2 c ação variável carga acidental da NBR 6120 q nas lajes de 20 kNm2 d revestimento piso final em porcelanato sobre a laje com piso 020 kNm2 e espessura do revestimento inferior da laje 15 cm espessura do contrapiso 30 cm f a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados por se tratar de uma edificação de baixa altura apenas dois pavimentos em região não sujeita a ventos de alta intensidade 1930 P8 719 1930 VS5 19 x 45 P5 P9 1919 VS6 19 x 60 P6 1930 389 719 P1 523 VS2 19 x 70 1919 VS1 19 x 60 330 1930 45 16 P2 1930 P3 L1 L2 L3 L4 284 719 1919 VS3 19 x 60 P7 P4 VS4 19 x 45 523 1930 Figura 54 Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6 37 Valores encontrados em GIONGO JS Concreto armado projeto estrutural de edifícios São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos Usp Dep de Estruturas 1994 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 58 Figura 55 Perspectiva da estrutura RESOLUÇÃO Todas as vigas do pavimento superior serão representadas segundo um modelo de grelha Figura 58 para a determinação dos esforços solicitantes e deslocamentos verticais flechas As vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastes elásticos Devido à mudança de direção que existe nos tramos finais das vigas VS1 e VS6 entre os pilares P3 e P6 surgem esforços de torção nesses tramos térreo superior cobertura 300 255 VB1 19 x 30 30 700 19 300 3055 tramo 2 60 VS1 19 x 60 tramo 1 1919 P1 240 60 19 1930 P2 VC1 19 x 60 1930 P3 tramo 3 VS6 Figura 56 Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1 161 Vãos Efetivos Por questão de simplicidade e porque o erro cometido será pequeno e a favor da segurança na discretização dos nós da grelha os apoios verticais pilares serão considerados no centro geométrico dos UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 59 pilares Essa simplificação leva a vãos para as vigas um pouco maiores que aqueles que resultariam caso se considerassem os vão efetivos exatos O modelo de grelha está mostrado na Figura 58 162 Estimativa da Altura das Vigas A largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos assentado na posição deitada ou seja na dimensão de 19 cm Para a estimativa da altura da viga VS1 foi aplicada a seguinte equação relativa ao tramo de maior vão 59 9 12 719 12 h ef cm h 60 cm A viga VS6 embora não tenha as nervuras das lajes préfabricadas apoiadas sobre ela terá a mesma seção transversal da VS1 isto é 19 x 60 cm porque no trabalho conjunto das duas vigas no trecho onde ocorre a mudança de direção o tramo final da viga VS1 trabalhará de certa forma apoiandose sobre o tramo final da VS6 o que vai acarretar uma alta solicitação de flexão nessa viga na seção sobre o pilar P6 Quanto à instabilidade lateral como as vigas têm lajes apoiadas em toda a extensão dos vãos a estabilidade está garantida 163 Cargas nas Lajes e nas Vigas Como se pode observar na Figura 54 existe o carregamento das lajes L1 e L2 sobre a viga VS1 pois as nervuras da laje nela se apoiam Na viga VS6 as lajes L2 e L4 aplicam apenas uma pequena parcela de carga dado que as nervuras das lajes não se apoiam sobre a viga 1631 Lajes Para as lajes de piso do pavimento superior considerouse a laje do tipo préfabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 233 kNm2 A carga total por m2 de área da laje é peso próprio gpp 233 kNm2 revestimento argam inferior gargrev 19 0015 029 kNm2 arg regularização contrapiso gargcontr 21 003 063 kNm2 piso final porcelanato gpiso 020 kNm2 ação variável q 200 kNm2 CARGA TOTAL plaje 545 kNm2 1632 Viga VS1 Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda extensão composta por blocos cerâmicos de oito furos espessura final de 23 cm e altura de 240 m e peso específico 320 kNm2 da laje préfabricada com carga total de 545 kNm2 e comprimento de 5325 m distância entre o centro da viga VS2 e a face externa da viga VS1 e o peso próprio da viga com seção transversal de 19 x 60 cm o carregamento total atuante nos tramos entre os pilares P1 e P3 é peso próprio gpp 25 019 060 285 kNm parede de alvenaria gpar 320 240 768 kNm laje plaje 545 53252 1451 kNm CARGA TOTAL p 2504 kNm No tramo onde ocorre a mudança de direção trecho inclinado entre o pilar P3 e a viga VS6 com comprimento de 389 cm a carga da laje na VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje préfabricada Figura 57 O vão entre o pilar P3 e a viga VS6 389 cm foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga com as nervuras da laje tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm A carga da laje sobre a viga VS1 foi calculada segundo esses comprimentos médios Os comprimentos médios de laje de 474 cm e 341 cm resultaram nas seguintes cargas UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 60 2372 2 0 095 5 45 4 74 7 68 2 85 p474 kNm 2009 2 0 095 5 45 3 41 7 68 2 85 p341 kNm A carga de 2372 kNm foi aplicada na barra 12 da grelha mostrada na Figura 58 e a carga de 2009 kNm foi aplicada na barra 13 No arquivo de dados de entrada da grelha mostrado no Anexo B3 podese observar essas cargas nas barras no comando CBR38 341 523 474 284 P3 1930 P2 1930 474 389 1930 P6 P5 1930 1945 1945 973 973 973 973 direção das nervuras Figura 57 Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no tramo inclinado da viga VS1 1633 Viga VS6 A carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à largura de uma lajota com 30 cm A carga atuante na viga VS6 é39 peso próprio gpp 25 019 060 285 kNm parede de alvenaria gpar 320 240 768 kNm laje glaje 545 030 164 kNm CARGA TOTAL p 1217 kNm 164 Modelo de Grelha para as Vigas do Pavimento A NBR 6118 considera que as vigas contínuas quando calculadas individualmente e separadas do restante da estrutura tenham a vinculação obrigatoriamente considerada com os pilares de apoio especialmente com os pilares extremos No caso dos pilares internos pode ser utilizado o critério seguinte O comprimento equivalente dos pilares e tomado de eixo a eixo das vigas na base e no topo é de 300 cm ver Figura 56 De acordo com a NBR 6118 e mostrado em BASTOS 202440 para definição do tipo de vínculo da viga com pilares internos devese comparar a dimensão do pilar na direção da viga bint com e4 3004 75 cm Dos pilares internos com bint 19 cm temse os pilares P2P5P8 e com bint 30 cm os pilares P3P4P5P6 e na comparação 38 Essas cargas também podem ser observadas no Anexo B4 que mostra os resultados do programa de grelha na parte relativa à GERACAO DE CARGAS EM BARRAS 39 A carga p 1217 kNm foi aplicada nas barras 14 e 15 da grelha mostrada na Figura 58 No arquivo de dados de entrada da grelha ver Anexo B3 podese observar essas cargas nas barras no comando CBRG Também pode ser observada no Anexo B4 que mostra os resultados do programa de grelha na parte relativa à GERACAO DE CARGAS EM BARRAS 40 BASTOS PS Vigas de Concreto Armado Dimensionamento flecha e fissuração BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Abril2024 173p Disponível em 290424 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 61 bint 19 cm e4 75 cm bint 30 cm e4 75 cm Portanto todos os pilares internos podem ser considerados como apoios simples para todas as vigas No caso dos pilares extremos neste exemplo as vigas serão consideradas vinculadas aos pilares por meio de engastes elásticos via rigidez de mola O pilar P3 será considerado como apoio simples e não engaste elástico devido à continuidade da viga VS1 com o tramo inclinado Para determinação dos esforços solicitantes segundo o modelo de grelha pode ser utilizado um programa computacional com essa finalidade Para o exemplo foi aplicado o programa GPLAN4 de CORRÊA et al 199241 A Figura 58 mostra o modelo de grelha representativo das vigas do pavimento superior com a numeração dos nós e barras42 No total são 16 nós e 19 barras Alguns nós posicionados no meio de algumas barras foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação de flecha nas vigas 19 18 14 15 1 2 3 4 5 11 10 6 7 8 9 12 16 15 14 13 13 12 11 10 9 5 1 6 2 7 3 8 4 17 16 x y 1 3 1 3 2 1 4 4 Figura 58 Numeração dos nós das barras das propriedades das barras e indicação dos engastes elásticos nos pilares extremos 1641 Rigidez de Mola A rigidez da mola dos engastes elásticos pode ser avaliada pela equação Kmola Kpsup Kpinf Como os comprimentos equivalentes dos lances inferior e superior e a seção transversal dos pilares extremos são idênticos as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e podem ser calculadas como43 Kpsup Kpinf 2 4 EI A rigidez da mola vale portanto 2 8 EI Kmola 41 O programa e o manual do GPLAN4 ou GPLAN5 dependendo da versão do programa operacional encontramse disponíveis em 171023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 42 Os números externos no desenho indicam as propriedades das barras 43 BASTOS PS Vigas de Concreto Armado Dimensionamento flecha e fissuração BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Abril2024 173p Disponível em 290424 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 62 Supondo a viga trabalhando em serviço no Estádio II já fissurada para o módulo de elasticidade do concreto será considerado o valor secante O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão NBR 6118 item 828 ck E ci 5600 f E 5600 35 21 39756 MPa 39756 kNcm2 com E 12 para brita de basalto ou diabásio O módulo de elasticidade secante Ecs é avaliado por Ecs i Eci com 01 80 f 20 80 ck i 01 0 8875 80 35 20 80 i ok Ecs 08875 39756 3528 kNcm2 Para o módulo de elasticidade transversal G NBR 6118 item 829 podese considerar a relação 1 470 42 528 3 42 E G cs c kNcm2 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1 P7 e P9 seção 1919 é Ipsup Ipinf 10860 12 1919 3 cm4 Rigidez da mola44 2 8 EI Kmola 2 043418 2 300 8352810860 kNcm O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 seção 1930 considerando a direção da viga VS2 é Ipsup Ipinf 17148 12 3019 3 cm4 2 8 EI Kmola 3 226568 2 300 8352817148 kNcm O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P2 e P8 seção 1930 considerando a direção da viga VS5 é Ipsup Ipinf 42750 12 19 30 3 cm4 2 8 EI Kmola 043840 8 2 300 83528 42750 kNcm 1642 Arquivo de Dados Para o arquivo de dados de entrada da grelha seguiramse as recomendações contidas no manual de utilização do programa computacional GPLAN445 O arquivo de dados de entrada para o programa GPLAN4 está mostrado no Anexo B3 44 Se as dimensões e comprimento equivalente dos pilares forem diferentes nos lances inferior e superior os valores devem ser calculados individualmente para cada lance 45 CORRÊA MRS RAMALHO MA CEOTTO LH Sistema PPLAN3GPLAN3 Manual de utilização São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP Departamento de Engenharia de Estruturas 1992 80p Disponível em 171023 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 63 Para o módulo de elasticidade do concreto adotouse o valor calculado de 3528 kNcm2 e para o módulo de elasticidade transversal G o valor de 1470 kNcm2 Nas barras com mudança de direção 12 13 e 14 é necessário considerar o momento de inércia à torção Nas demais barras onde possa existir torção de compatibilidade a NBR 6118 permite desconsiderar e assim apenas um pequeno valor foi adotado para não causar problema no processamento do programa foi considerado o valor de 100 Os momentos de inércia à torção J das barras 12 13 e 14 foram calculados com a Eq 39 e a Tabela 2 considerando a seção transversal 19 x 60 cm 0 317 60 19 h b n 109470 60 0 266 19 j b h J 3 3 cm4 1643 Esforços Solicitantes A Figura 59 e a Figura 60 mostram os diagramas de esforços solicitantes característicos forças cortantes momentos fletores e momentos torçores obtidos no programa GPLAN4 para as vigas VS1 e VS6 respectivamente A listagem completa dos resultados calculados pelo programa encontrase no Anexo B4 A flecha calculada deslocamentos z pelo programa para os nós 2 03 cm 7 03 cm 11 05 cm 12 04 cm e 14 04 cm embora não sendo exatamente as flechas máximas das vigas servem como valores indicativos da deslocabilidade vertical A maior flecha de 05 cm no nó 11 é menor que a flecha máxima permitida pela NBR 6118 de 10 mm para a situação de Efeitos em elementos não estruturais considerando que sobre a viga existirá uma parede de alvenaria Concluise que a seção transversal adotada para a viga é suficiente 796 1004 641 640 185 360 P1 P2 P3 barras 12 e 13 V kN k M kNcm barras 12 e 13 3088 3141 P1 9521 P2 10600 P3 k 2632 2800 6031 barras 12 e 13 P2 P3 1616 T kNcm k 325 130 Figura 59 Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS1 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 64 74 562 706 360 P9 P6 barra 14 V kN k M kNcm 453 P9 P6 12300 k 2842 T kNcm k barra 14 355 P9 1540 P6 barra 14 1540 214 Figura 60 Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS6 165 Dimensionamento da Viga VS1 19 x 60 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços solicitantes máximos de M V e T mostrados na Figura 59 1651 Armadura Mínima de Flexão Conforme a Tabela A6 para seção retangular e concreto C35 a taxa mínima de armadura mín deve ser de 0164 Ac portanto Asmín 000164 19 60 187 cm2 1652 Armadura de Pele A armadura de pele não é necessária dado que a viga não tem altura superior a 60 cm NBR 6118 No entanto a fim de evitar fissuras de retração que possam surgir na viga será colocada uma armadura de pele com área de 005 Ac área da armadura de pele conforme a NB178 em cada face da viga Aspele 00005 19 60 057 cm2 4 42 mm 056 cm2 em cada face distribuídos ao longo da altura ver Figura 65 Como opção temse 3 5 mm 060 cm2 1653 Armaduras Longitudinais Negativas Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos positivos e negativos No dimensionamento à flexão a contribuição da capa mesa das lajes préfabricadas treliçadas não será considerada para formar seções L ou T UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 65 a Apoio pilar interno P2 Como o momento fletor negativo é apenas um pouco maior que o momento fletor máximo positivo no tramo esquerdo não será feita a redução de M para δM como permitida pela NBR 6118 Momentos fletores característico e de cálculo Mk 10600 kNcm Md f Mk 14 10600 14840 kNcm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm d 2 w c M d K b 04 840 14 1956 2 da Tabela A1 para concreto C35 x xd 016 045 ok Ks 0025 e dom 2 d K M A d s s 6 63 56 0 02514840 cm2 Asmín 187 cm2 4 125 mm 500 cm2 2 10 mm 160 cm2 total 660 cm2 h a 4 125 2 10 Considerando que o vibrador de agulha que será aplicado no adensamento do concreto tenha agulha com diâmetro de 25 mm a distância livre horizontal entre as barras da primeira fiada deve superar 25 mm Supondo estribo com diâmetro de 63 mm e c 25 cm para o detalhamento mostrado a distância livre resulta 62 3 4 1 25 0 63 52 2 19 ah cm 26 mm distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador b Apoio pilar interno P3 Neste pilar devido aos esforços de torção e mudança na direção dos tramos ocorrem dois diferentes valores para o momento fletor negativo O cálculo será feito para o maior valor de 3088 kNcm Momento fletor de cálculo Md f Mk 14 3088 4323 kNcm d 2 w c M d K b 138 323 4 1956 2 da Tabela A1 para concreto C35 x xd 004 045 ok Ks 0023 e dom 2 d K M A d s s 178 56 0 023 4323 cm2 Asmín 187 cm2 2 10 mm 1 8 mm 210 cm2 210 18 c Apoio pilar extremo P1 Momentos fletores característico e de cálculo Mk 3141 kNcm Md f Mk 14 3141 4397 kNcm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 66 d 2 w c M d K b 136 397 4 1956 2 da Tabela A1 para concreto C35 x xd 004 045 ok Ks 0023 e dom 2 d K M A d s s 181 56 0 023 4 397 cm2 Asmín 187 cm2 210 18 2 10 mm 1 8 mm 210 cm2 1654 Armaduras Longitudinais Positivas a Entre os pilares P1 e P2 Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada préfabricada com capa de concreto de espessura 4 cm normalmente não se considera a contribuição dessa capa de pequena espessura para formar a mesa da seção T de modo que a viga será calculada como seção retangular Momentos fletores característico e de cálculo Mk 9521 kNcm Md f Mk 14 9521 13329 kNcm d 2 w c M d K b 54 329 13 1956 2 da Tabela A1 para concreto C35 x xd 014 045 ok Ks 0024 e dom 2 d K M A d s s 5 71 56 0 02413329 cm2 Asmín 187 cm2 5 125 5 125 625 cm2 b Entre os pilares P2 e P3 Os momentos fletores no tramo entre os pilares P2 e P3 resultaram negativos no modelo de grelha ver Figura 59 Neste caso é importante verificar a ocorrência de momento fletor positivo conforme exige a NBR 6118 fazendo o tramo isolado como mostrado na Figura 61 O pilar P3 será considerado apoio simples devido à mudança de direção dos tramos nesse pilar 2504 kNm 1 1 2 330 P2 P3 Figura 61 Esquema estático carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do momento fletor positivo considerando engaste perfeito no apoio interno P2 da viga VS1 O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 está apresentado no Anexo B5 O relatório com os resultados encontrase no Anexo B6 O momento fletor positivo máximo para o esquema mostrado na Figura 58 resulta 1909 kNcm Esse momento deve ser considerado no dimensionamento da armadura longitudinal positiva do tramo Momentos fletores característico e de cálculo UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 67 Mk 1909 kNcm ver Anexo B5 Md f Mk 14 1909 2673 kNcm d 2 w c M d K b 22 3 673 2 1956 2 da Tabela A1 para concreto C35 x xd 003 045 ok Ks 0023 e dom 2 d K M A d s s 110 56 0 023 2 673 cm2 Asmín 187 cm2 2 10 18 2 10 mm 160 cm2 1 8 mm 050 cm2 total 210 cm2 c À direita do pilar P3 Momentos fletores característico e de cálculo Mk 6031 kNcm Md f Mk 14 6031 8443 kNcm d 2 w c M d K b 17 443 8 1956 2 da Tabela A1 para concreto C35 x xd 009 045 ok Ks 0024 e dom 2 d K M A d s s 3 62 56 0 024 8 443 cm2 Asmín 187 cm2 3 125 3 125 375 cm2 1655 Armadura Transversal à Força Cortante para o Tramo à Esquerda do Pilar Interno P2 O dimensionamento à força cortante será feito com as equações simplificadas apresentadas em BASTOS 202346 Será considerado o Modelo de Cálculo I 45 ângulo de inclinação das diagonais de compressão O cálculo está apresentado apenas para a força cortante máxima na viga VS1 Forças cortantes característica e de cálculo Vk 1004 kNcm VSd f Vk 14 1004 1406 kN a Verificação das diagonais de compressão Na Tabela A4 para o concreto C35 determinase a força cortante máxima VRd2 058 bw d 058 19 56 6171 kN 6171 V 1406 V Rd2 Sd kN ok não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão 46 BASTOS PS Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP nov2023 77p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 68 b Cálculo da armadura transversal Na Tabela A4 para o concreto C35 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é VSdmín 0147 bw d 0147 19 56 1564 kN 1564 V 1406 V Sdmín Sd kN portanto devese dispor a armadura mínima transversal Como todas as demais forças cortantes atuantes são menores que Vk de 1004 kN concluise que todos os tramos devem ter a armadura transversal mínima A armadura mínima é calculada pela equação w ywk m ct swmín b f 20f A cm2m com 3 21 35 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 2 44 19 50 20 0 321 A swmín cm2m c Detalhamento da armadura transversal Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 t 19010 19 mm Espaçamento máximo 067 VRd2 067 6171 4135 kN VSd 1406 4135 kN s 06 d 30 cm 06 d 06 56 336 cm portanto smáx 30 cm Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo 020 VRd2 020 6171 1234 kN VSd 1406 1234 kN st 06 d 35 cm 06 d 06 56 336 cm portanto stmáx 336 cm d Detalhamento da armadura transversal No tramo da viga VS1 do lado esquerdo do pilar P2 temse Asw Aswmín 244 cm2m 00244 cm2cm Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm 1 5 mm 020 cm2 temse 0 0244 s Asw cm2cm 0 0244 s 0 40 s 164 cm smáx 30 cm ok portanto estribo 5 mm c16 cm para os tramos ver a Figura 65 1656 Ancoragem das Armaduras Longitudinais a Armadura positiva no pilar extremo P1 As forças cortantes característica e de cálculo na viga na posição do pilar P1 é Vk 796 kN VSd 14 796 1114 kN UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 69 Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores a segundo o Modelo de Cálculo I para estribos verticais d V V V 50 d a c máx Sd Sdmáx com a 05d Na Flexão Simples Vc Vc0 06fctd bw d 06 0160 19 56 1021 kN 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f 160 35 41 30 70 3 2 MPa 0160 kNcm2 3354 102 1 1114 1114 56 50 a cm d 56 cm portanto a 56 cm A armadura a ancorar no apoio é yd Sd s anc f V d a A 2 56 115 50 4 111 56 56 cm2 A armadura a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima vão apoio apoio vão s vão apoio apoio vão s anc s 50 M e de valor M negativo se M 4 A 1 50 M de valor M 0 ou negativo se M 3 A 1 A Sendo Mdapoio 14 3141 4397 kNcm e Mdvão 14 9521 13329 kNcm fica M d apoio 4 397 kNcm Mdvão2 133292 6665 kNcm Portanto Asanc 13 Asvão 5713 190 cm2 Asanc 256 cm2 13 Asvão 190 cm2 ok Se resultar Asanc menor que o valor mínimo devese seguir nos cálculos com Asanc igual ao valor mínimo 13 ou 14 do Asvão A armadura positiva do vão adjacente ao pilar é composta por 5 125 mm onde 2 125 posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios pilares Portanto podese considerar que as barras 2 125 Asef 250 cm2 atendem a área necessária a ancorar de 256 cm2 A armadura a ancorar deve penetrar no pilar no comprimento de ancoragem necessário bnec Conforme a Tabela A7 o comprimento de ancoragem básico sem gancho para barra de diâmetro 125 mm concreto C35 aço CA50 e em região de boa aderência é 38 cm O comprimento de ancoragem necessário é 389 2 50 38 2 56 A A ef s anc s b b nec cm 6 cm r mín b nec b com bmín c bef b bcorr Asef bnec P1 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 70 cm 10 12 5 cm 10 1 25 10 114 cm 38 30 30 b mín b bmín 125 cm Com D diâmetro do pino de dobramento 5 ver Tabela A10 o raio do pino de dobramento é r D2 5 2 5 1252 31 cm r 55 31 55 125 100 cm Portanto cm 6 10 0 cm r 12 5 cm mín b nec b bnec 389 cm 125 cm ok O comprimento de ancoragem efetivo do apoio é bef b c 19 25 165 cm Numa primeira análise verificase que o comprimento de ancoragem necessário é superior ao comprimento de ancoragem efetivo bnec 389 cm bef 165 cm Isto significa que não é possível fazer a ancoragem reta A próxima tentativa de ancoragem é fazer o gancho na extremidade das barras O comprimento de ancoragem com gancho é 27 2 389 70 b gancho cm Verificase que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem pois o comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo bgancho 272 cm bef 165 cm A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio para Ascorr e supondo que não será colocado grampo adicional fica anc s ef b b s corr A 70 A 413 2 56 5 16 38 70 cm2 Para atender a armadura corrigida podese estender até o pilar as quatro barras da primeira fiada ou seja Asef 500 cm2 4 125 que atende com folga à armadura corrigida Figura 62 O diâmetro D do pino de dobramento para a confecção do gancho é 547 Ver na Figura 65 o detalhamento final das armaduras da viga Figura 62 Detalhe da ancoragem nos pilares extremos 47 Para execução de projetos em obra os desenhos de armaduras devem mostrar as curvaturas de dobras de barras 19 P1 25 15 2 125 4 125 D 5 63 cm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 71 b Armadura positiva nos pilares internos Estendendo 2 125 dos vértices dos estribos da armadura longitudinal positiva do vão até o pilar intermediário P2 Asanc 250 cm2 esta armadura deve ser superior à armadura mínima a ancorar Sendo Mdapoio 14 10600 14840 kNcm e Mdvão 14 9521 13329 kNcm fica M d apoio 14840 kNcm Mdvão2 133292 6665 kNcm Portanto Asanc 14 Asvão 5714 143 cm2 Asanc 250 cm2 14 Asvão 143 cm2 ok As duas barras de 125 mm devem se estender 10 além da face do pilar No caso do tramo à esquerda do pilar P3 como o vão é pequeno não há necessidade de interromper parte da armadura antes dos apoios ou seja podese estender até os apoios todas as barras da armadura longitudinal positiva 2 10 1 8 210 cm2 Esta área deve ser superior à armadura mínima a ancorar de 14 Asvão 1104 028 cm2 Portanto Asanc 210 cm2 14 Asvão 028 cm2 ok No tramo à direita do pilar P3 temse Sendo Mdapoio 14 2632 3685 kNcm e Mdvão 14 6031 8443 kNcm fica M d apoio 3 685 kNcm Mdvão2 84432 4222 kNcm Portanto Asanc 13 Asvão 3623 121 cm2 ancorando as duas barras dos vértices dos estribos 2 125 mm 250 cm2 é atendida a área mínima de 121 cm2 Para a força cortante Vk 1004 kN no tramo à esquerda do pilar P2 o valor da decalagem do diagrama de momentos fletores a segundo o Modelo de Cálculo I é VSd 14 1004 1406 kN d V V V 50 d a c máx Sd Sdmáx com a 05d Na Flexão Simples Vc Vc0 06fctd bw d 06 0160 19 56 1021 kN 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f 160 35 41 30 70 3 2 MPa 0160 kNcm2 1022 102 1 1406 1406 56 50 a cm d 56 cm portanto a 56 cm este valor máximo será adotado para os demais tramos c Armadura negativa no pilar extremo P1 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face externa do pilar respeitandose a espessura do cobrimento e possuir um gancho direcionado UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 72 para baixo com comprimento de pelo menos 35 O diâmetro de dobramento deve ser de 15 para CA50 como indicado na Figura 63 2 10 1 8 35 cm 35 5 Figura 63 Ancoragem da armadura negativa no pilar extremo P1 1657 Dimensionamento à Torção O tramo à direita do pilar P3 está submetido ao momento de torção característico Tk de 1616 kNcm ver Figura 59 O momento de torção de cálculo é TSd γf Tk 14 1616 2262 kNcm a Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal A bw h 19 60 1140 cm2 Perímetro da seção transversal u 2 bw h 2 19 60 158 cm As Eq 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina 27 158 1140 u A he cm e he 2c1 Sendo c 25 cm e supondo 125 mm e t 8 mm encontrase c1 2 t cnom 1252 08 25 3925 cm he 2c1 2 3925 785 cm 1 c cnom Portanto os limites para he são 785 cm he 72 cm ou seja he 72 cm e he 785 cm Não é possível adotar um valor para he que atenda aos limites Neste caso entre outras soluções podese aumentar as dimensões da seção transversal da viga48 Porém quando ocorre Au 2c1 e não se deseja fazer alterações na seção transversal da viga a NBR 6118 permite adotar 48 No caso de se aumentar a seção transversal da viga a solução que melhor resolve o problema é aumentar a largura bw ver o Exemplo 2 D 15 15 cm para CA50 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 73 he Au bw 2c1 he Au 72 cm bw 2c1 19 785 1115 cm ok he 72 cm A área Ae deve ser definida pelos eixos das barras dos cantos respeitandose o cobrimento exigido nos estribos Ae bw 2c1 h 2c1 19 785 60 785 5815 cm2 O perímetro da área equivalente neste caso é ue 2 bw 2c1 h 2c1 2 19 785 60 785 ue 1266 cm h h 60 h u c1 e Ae e 72 e 72 1 c bw 19 O momento torçor máximo determinado pela Eq 23 com ângulo 45 igual ao aplicado no cálculo da viga à força cortante Modelo de Cálculo I é TRd2 05 v2 fcd Ae he sen 2 05 1 35250 3514 5815 72 sen 2 45 45008 kNcm Para não ocorrer esmagamento do concreto nas bielas comprimidas conforme a Eq 34 devese ter 1 T T V V 2 Rd Sd 2 Rd Sd Sendo VRd2 6171 kN e VSdmáx 896 kN de Vk 640 kN do tramo direito no pilar P3 aplicando os valores numéricos na Eq 34 fica 0 65 5008 4 262 2 1 617 89 6 10 ok Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão b Cálculo das armaduras As armaduras mínimas para torção longitudinal e transversal são Eq 32 e ywk m ct s mín h f 20f A 0 92 27 50 20 0 321 cm2m w ywk m ct s 90mín b f 20f A 2 44 19 50 20 0 321 cm2m com 3 21 35 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa resistência média do concreto à tração direta Armadura longitudinal conforme a Eq 27 0447 0 115 tg45 50 5815 2 262 2 tg A f 2 T u A ywd e Sd e s cm2cm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 74 com ue 100 cm As 447 cm2m Asmín 092 cm2m ok Armadura transversal estribos conforme a Eq 24 0 0447 45 tg 115 50 5815 2 2 262 tg A f 2 T s A ywd e Sd s 90 cm2cm com s 100 cm As90 447 cm2m As90mín 244 cm2m ok c Detalhamento das armaduras O diagrama de Tk na Figura 59 mostra que as armaduras para torção devem ser mantidas obrigatoriamente constantes ao longo do tramo como mostradas no detalhamento final na Figura 65 c1 Armadura longitudinal A armadura longitudinal de torção pode ser combinada com a armadura longitudinal de flexão considerando as seções onde ocorreram os momentos fletores máximos no pilar P3 e no vão A análise deve ser feita para cada uma das quatro faces da viga mantendose a proporcionalidade de armadura Seção adjacente ao pilar P3 Face superior da flexão As 151 cm2 armadura de flexão calculada para Mk 2632 kNcm da torção As bw 2c1 As 19 785 00447 050 cm2 Astotal 151 050 201 cm2 2 125 250 cm2 Na região sob momento fletor negativo a resistência será proporcionada por 2 125 e no restante do tramo sob momento fletor positivo serão colocados 2 8 mm que atendem com folga a armadura necessária para torção 050 cm2 e as barras trabalham também como portaestribos Face inferior da flexão As 121 cm2 armadura mínima a ancorar no pilar P3 da torção As bw 2c1 As 19 785 00447 050 cm2 Astotal 121 050 171 cm2 Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva à direita do pilar P3 que será estendida do vão e ancorada no pilar 3 125 mm 375 cm2 Faces laterais Astotal h 2c1 As 60 785 00447 233 cm2 3 10 mm 240 cm2 Esta armadura em cada face deve estenderse do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6 essa armadura contribui também para evitar possíveis fissuras por retração do concreto Região do máximo momento fletor positivo Face superior da flexão As 000 cm2 da torção As 19 785 00447 050 cm2 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 75 Astotal 050 cm2 2 8 100 cm2 Face inferior da flexão As 362 cm2 da torção As 19 785 00447 050 cm2 Astotal 362 050 412 cm2 3 125 1 8 425 cm2 Faces laterais Astotal h 2c1 As 60 785 00447 233 cm2 3 10 mm 240 cm2 Para uma conferência podese calcular a armadura longitudinal total considerando apenas a torção relativa ao perímetro ue 0 0447 u A e s cm2cm com ue 1266 cm 5 66 0 04471266 A s tot cm2 A armadura total em função das áreas calculadas para as faces da viga é Astot 2050 233 566 cm2 ok c2 Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas à força cortante e à torção A armadura para a força cortante máxima entre o pilar P3 e a interseção com a viga VS6 resultou na armadura mínima de 00244 cm2cm Considerando o estribo composto por dois ramos verticais e que a área relativa à força cortante para um ramo é 002442 00122 cmm2 a armadura transversal total é 0 0569 0 0447 0 0122 s A s A s A s 90 sw 1 ramo s total cm2cm 569 cm2m onde As90 representa a área de um ramo vertical do estribo O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm Supondo estribo fechado de dois ramos verticais com diâmetro de 63 mm 1 63 031 cm2 temse 0 0569 s 0 31 s 54 cm que é um espaçamento muito pequeno Alterando o diâmetro para 8 mm 1 8 050 cm2 temse 0 0569 s 0 50 s 88 cm smáx 30 cm ok Portanto podese escolher estribo 8 mm c9 cm Na Figura 65 encontrase mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1 1658 Cobrimento do Diagrama de Momentos Fletores Conforme os cálculos da decalagem a executados podese considerar o valor de 56 cm d para todos os tramos a ser aplicado no deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo Os comprimentos de ancoragem básicos para concreto C35 e conforme a Tabela A7 colunas sem gancho são para 10 mm 43 cm para má aderência e 30 cm para boa aderência e para 125 mm 54 cm para má aderência e 38 cm para boa aderência UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 76 A Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais positivas e negativas 196 142 100 214 120 107 43 54 56 117 face do pilar P1 a P1 a b 38 38 b 2 125 2 125 10 125 B A 1 125 10 a 10 125 A 10 125 125 B B 56 A a a 2 10 1 8 43 10 54 125 B A 110 54 125 2 125 346 3 125 P2 a 105 8 125 P3 56 a 1 8 8 a 258 121 43 54 10 a 2 125 a 2 10 a 56 Figura 64 Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1 1659 Detalhamento Final das Armaduras A Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga Este desenho é feito comumente na escala 150 O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 125 ou 120 N15 2 125 C 747 N12 2 125 C 621 VS1 19 x 60 N6 1 8 C 145 N11 1 125 C 398 2 cam N3 2 10 C 606 N1 44 c16 15 115 15 35 35 110 P1 N8 2 10 C 230 2 cam 50 N10 2 x 3 10 C 540 N17 3 125 C 540 N14 1 8 C 340 N16 2 10 C 340 215 120 N9 2 x 4 42 C 1056 N13 1 8 C 340 100 40 40 N2 50 8 C 148 N1 63 5 C 148 50 55 14 50 3N17 3N10 1N14 3N10 N5 2 8 C 430 N2 50 c9 N7 2 125 C 405 N4 2 125 C 660 100 145 40 195 P2 120 260 50 120 P3 N1 19 c16 VS6 1N11 2N15 4N9 2N5 2N12 4N9 2N7 2N8 2N4 Figura 65 Detalhamento final das armaduras da viga VS1 166 Dimensionamento da Viga VS6 19 x 60 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços solicitantes internos máximos de M V e T como mostrados na Figura 60 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 77 1661 Armadura Longitudinal Negativa no Apoio Interno P6 Momentos fletores característicos e de cálculo Mk 12300 kNcm Md f Mk 14 12300 17220 kNcm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 55 cm d 2 w c M d K b 43 220 17 1955 2 Da Tabela A1 x xd 019 045 ok Ks 0025 e dom 2 d K M A d s s 7 83 55 0 02517220 cm2 Asmín 187 cm2 5 125 625 cm2 2 10 160 cm2 total 785 cm2 h a 5 125 2 10 Supondo que o concreto será adensado com um vibrador com diâmetro de agulha de 25 mm a distância livre horizontal entre as barras longitudinais das camadas superiores deve ser superior a esse diâmetro Considerando estribo com diâmetro de 5 mm para o detalhamento mostrado a distância livre entre as barras da primeira camada resulta 72 3 1 25 4 50 52 2 19 ah cm distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador Supondo que o centro de gravidade da armadura esteja posicionado 05 cm abaixo da face inferior das barras da primeira camada a distância entre a face tracionada e o CG é acg 25 05 125 05 48 cm valor compatível com a altura útil d 55 cm 1662 Armadura Longitudinal Positiva à Direita do Pilar P6 Momentos fletores característicos e de cálculo Mk 2842 kNcm Md f Mk 14 2842 3979 kNcm Com altura útil d 56 cm d 2 w c M d K b 15 0 979 3 1956 2 da Tabela A1 x xd 004 045 ok Ks 0023 e dom 2 2 10 18 d K M A d s s 163 56 0 023 3 979 cm2 Asmín 187 cm2 2 10 1 8 total 210 cm2 1663 Armadura Longitudinal Positiva Entre os Pilares P9 e P6 Para verificação do momento fletor positivo máximo na viga VS6 entre os pilares P9 e P6 será calculado o momento considerando o tramo engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar P9 Figura 66 A rigidez da mola relativa ao pilar P9 com seção 1919 é de 2043418 kNcm valor já determinado UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 78 1217 kNm 1 1 y 2 x 523 P9 P6 Figura 66 Esquema estático carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do momento fletor positivo considerando engaste perfeito no apoio intermediário P6 da viga VS6 O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 está apresentado no Anexo B7 O relatório com os resultados encontrase no Anexo B8 O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 59 resulta 2129 kNcm muito superior ao valor de 453 kNcm calculado segundo o modelo de grelha Aliás o tramo apresentase sob momentos fletores negativos em quase toda a extensão No dimensionamento da armadura positiva do tramo deve ser considerado o maior valor conforme indicado na NBR 6118 Os momentos fletores característicos e de cálculo são Mk 2129 kNcm Md f Mk 14 2129 2981 kNcm d 2 w c M d K b 20 0 981 2 1956 2 da Tabela A1 x xd 003 045 ok Ks 0023 e dom 2 d K M A d s s 1 22 56 0 023 2 981 cm2 Asmín 187 cm2 2 10 18 2 10 1 8 total 210 cm2 1664 Armadura Transversal à Força Cortante Na viga VS6 a força cortante máxima é Vk 706 kN VSd 988 kN valor menor que a força cortante mínima calculada VSdmín 1564 kN o que leva à armadura transversal mínima em toda extensão da VS6 Aswmín 244 cm2m 1665 Ancoragem das Armaduras Longitudinais a Armadura positiva no pilar extremo P9 No pilar extremo P9 existe um pequeno momento fletor positivo 453 kNcm para o qual deve existir uma armadura de flexão resistente A armadura mínima de flexão do tramo adjacente 2 10 1 8 pode ser estendida até o pilar e é mais do que suficiente para resistir a este momento fletor Por simplicidade e a favor da segurança podese estender as três barras até o pilar P9 fazendose o gancho na extremidade das barras ver Figura 68 b Armadura positiva no pilar interno P6 A armadura mínima a ancorar no pilar tomando o tramo à direita que está sob momento fletor positivo é M d apoio 17220 kNcm Mdvão2 39792 1990 kNcm Portanto Asanc 14 Asvão 1634 041 cm2 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 79 As armaduras positivas de flexão dos dois tramos adjacentes ao pilar P6 2 10 1 8 210 cm2 atendem à armadura mínima a ancorar As barras devem estenderse 10 além da face do pilar Para a força cortante máxima de Vk 706 kN no pilar P6 o valor da decalagem do diagrama de momentos fletores a segundo o Modelo de Cálculo I é VSd 14 706 988 kN d V V V 50 d a c máx Sd Sdmáx com a 05d Na flexão simples Vc Vc0 06fctd bw d 06 0160 19 56 1021 kN 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f 160 35 41 30 70 3 2 MPa 0160 kNcm2 Como VSd é menor que Vc0 deve ser tomado a 05d 05 56 28 cm valor a ser adotado para os dois tramos adjacentes ao pilar P6 1666 Dimensionamento à Torção No tramo final da VS6 ocorre o momento de torção característico Tk de 1540 kNcm constante ao longo do tramo O momento de torção de cálculo é TSd γf Tk 14 1540 2156 kNcm Os valores de A e u são os mesmos já calculados para a viga VS1 pois a seção transversal é idêntica A 1140 cm2 e u 158 cm As Eq 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina 27 158 1140 u A he cm e he 2c1 Sendo c 25 cm e supondo 125 mm e t 8 mm encontrase c1 2 t cnom 1252 08 25 3925 cm he 2c1 2 3925 785 cm 1 c cnom Portanto os limites para he são 785 cm he 72 cm ou seja he 72 cm e he 785 cm Não é possível adotar um valor para he que atenda aos limites Neste caso onde ocorreu Au 2c1 foram apresentadas soluções nos exemplos anteriores para resolver o problema Uma solução é fornecida pela NBR 6118 que permite adotar he Au bw 2c1 he Au 72 cm bw 2c1 19 785 1115 cm ok he 72 cm A área Ae é definida pelos eixos das barras dos cantos respeitando o cobrimento exigido nos estribos Ae bw 2c1 h 2c1 19 785 60 785 5815 cm2 h h 60 h u c1 e Ae e 72 e 72 1 c bw 19 O perímetro da área equivalente é UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 80 ue 2 bw 2c1 h 2c1 2 19 785 60 785 1266 cm O momento torçor máximo determinado pela Eq 23 com ângulo 45 igual ao aplicado no cálculo da viga à força cortante considerando o Modelo de Cálculo I é TRd2 05 v2 fcd Ae he sen 2 05 1 35250 3514 5815 72 sen 2 45 45008 kNcm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto conforme a Eq 34 devese ter 1 T T V V 2 Rd Sd 2 Rd Sd Sendo VRd2 6171 kN e VSdmáx 14 706 988 kN força cortante máxima atuante no tramo com torção aplicando os valores numéricos na Eq 34 fica 0 64 5008 4 156 2 1 617 988 10 ok Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão a Cálculo das armaduras As armaduras mínimas para torção já calculadas para a viga VS1 são Asmín 092 cm2m e As90mín 244 cm2m Armadura longitudinal conforme a Eq 27 0426 0 115 tg45 50 5815 2 2156 tg A f 2 T u A ywd e Sd e s cm2cm com ue 100 cm As 426 cm2m Asmín 092 cm2m ok Armadura transversal estribos conforme a Eq 24 0 0426 45 tg 115 50 5815 2 2156 tg A f 2 T s A ywd e Sd s 90 cm2cm com s 100 cm As90 426 cm2m As90mín 244 cm2m ok b Detalhamento das armaduras b1 Armadura longitudinal Analisando os diagramas de momentos fletores e momentos torçores mostrados na Figura 60 observase que pode ser considerada somente a seção onde ocorre o momento fletor máximo negativo no pilar P6 para calcular a armadura longitudinal combinada de modo a atender a ambos momentos A área total de armadura pode então ser obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção calculadas para cada uma das quatro faces externas da viga Face superior da flexão As 783 cm2 da torção As bw 2c1 19 785 00426 047 cm2 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 81 Astotal 783 047 830 cm2 5 125 3 10 865 cm2 Face inferior da flexão As 041 cm2 armadura mínima a ancorar no pilar P6 da torção As bw 2c1 19 785 00426 047 cm2 Astotal 041 047 088 cm2 Esta armadura será atendida pela armadura mínima positiva que se estende até o pilar 2 10 1 8 210 cm2 Faces laterais Astotal h 2c1 60 785 00426 222 cm2 3 10 mm 240 cm2 Esta armadura deverá se estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1 b2 Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas à força cortante e à torção A armadura para a força cortante máxima entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1 resultou na armadura mínima de 00244 cm2cm Considerando o estribo composto por dois ramos verticais e que a área relativa à força cortante para um ramo é 002442 00122 cmm2 a armadura transversal total é 0 0548 0 0426 0 0122 s A s A s A s 90 sw 1 ramo s total cm2cm 548 cm2m Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 8 mm 1 8 050 cm2 temse 0 0548 s 0 50 s 91 cm smáx 30 cm ok Portanto podese dispor estribo 8 mm c9 cm Na Figura 68 encontrase mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS6 1667 Cobrimento do Diagrama de Momentos Fletores Negativos O valor da decalagem a para deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 28 cm O comprimento de ancoragem básico para barras 125 mm em situação de má aderência aço CA50 e concreto C35 é 54 cm coluna sem gancho A Figura 67 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo feito para determinação do comprimento das barras da armadura longitudinal negativa UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 82 125 54 54 125 54 125 54 125 156 258 125 188 2 125 2 125 1 125 3 10 Figura 67 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo negativos 1668 Detalhamento Final das Armaduras A Figura 68 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga Este desenho é feito normalmente na escala 150 O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 125 ou 120 Atenção máxima deve ser dispensada ao detalhamento final pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada N6 3 10 C 280 2 cam 155 125 10 N9 1 8 C 545 50 N10 1 8 C 359 1N10 55 125 155 N12 2 10 C 359 N8 2 x 3 10 C 349 N5 1 125 C 280 2 cam 10 N7 2 x 4 42 C 535 N11 2 10 C 545 40 50 N1 31 5 mm C 148 N4 2 125 C 450 N2 30 c9 N1 31 c16 45 N3 2 125 C 909 260 3N8 50 190 14 2N12 3N6 3N8 2N4 1N5 2N3 VS 6 19 x 60 P9 P6 VS1 N2 30 8 mm C 148 Figura 68 Desenho com a armadura final da viga VS6 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 83 17 QUESTIONÁRIO 1ª Comente sobre os casos mais comuns de torção nas estruturas das edificações 2ª O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade Cite exemplos 3ª Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de torção externa uniforme no tramo 4ª O que é torção de St Venant 5ª Para uma seção circular mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à torção 6ª E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção 7ª Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada 8ª Indique numa figura o que é a área Ae e o perímetro u 9ª Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura 10ª Por que uma viga de Concreto Armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca e com espessura da casca constante 11ª Por que se pode fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial 12ª Como se configura a treliça espacial generalizada 13ª Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção 14ª Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção 15ª Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada 16ª Como a norma define a espessura da casca da seção vazada 17ª Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto 18ª Como são as equações que definem as armaduras para a torção 19ª No caso de torção combinada com força cortante como se verifica a biela comprimida de concreto 20ª Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção 21ª Como é calculada a armadura mínima para a torção 22ª Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos Qual é o espaçamento máximo 23ª Por que os estribos para torção não podem ser abertos 24ª Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building code requirements for structural concrete and Commentary ACI 31811 2011 503p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 ABNT 2023 242p BASTOS PS Fundamentos do Concreto Armado BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP set2023 90p Disponível em 260324 httpswwwpfebunespbrpbastosconcreto1Fundamentos20CApdf BASTOS PS Flexão normal simples Vigas BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP out2023 74p Disponível em 260324 httpswwwpfebunespbrpbastosconcreto1FlexaoSimplespdf BASTOS PS Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP nov2023 77p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm BASTOS PS Ancoragem e emenda de armaduras BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP mar2024 26p Disponível em 260324 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm BASTOS PSS Vigas de Concreto Armado dimensionamento flecha e fissuração BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Abril2024 173p Disponível em 290424 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON Model Code 1990 MC90 CEBFIP Bulletin DInformation n 204 Lausanne 1991 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 84 CORRÊA MRS RAMALHO MA CEOTTO LH Sistema PPLAN4GPLAN4 Manual de utilização São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP Departamento de Engenharia de Estruturas 1992 80p GIONGO JS Concreto armado Vigas submetidas a esforços de torção São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP Departamento de Engenharia de Estruturas 1996 40p GIONGO JS Concreto armado projeto estrutural de edifícios São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos Usp Dep de Estruturas 1994 LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado v 1 Rio de Janeiro Ed Interciência 1982 305p LIMA JS GUARDA MC PINHEIRO LM Análise de torção em vigas de acordo com a nova NBR 6118 In 42 CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO IBRACON Fortaleza ago2000 CDROM 16p MACGREGOR JG WIGHT JK Reinforced concrete Mechanics and design 4a ed Upper Saddle River Ed Prentice Hall 2005 1132p SÁNCHEZ E Dimensionamento à torção novas prescrições normativas brasileiras In Nova normalização brasileira para o concreto estrutural 2001 p155185 SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 1 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1985 376p BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado v 3 Rio de Janeiro Ed Interciência 1982 273p NAWY EG Reinforced concrete A fundamental approach Englewood Cliffs Ed Prentice Hall 2005 5a ed 824p SÁNCHEZ E Análise crítica do projeto de revisão da NB1 Prescrições para o dimensionamento à torção In XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL 2000 CDROM 7p UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 85 ANEXO A TABELAS Tabela A1 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA50 001 1034 827 689 591 517 478 445 0023 2 002 519 415 346 296 259 240 224 0023 003 347 278 232 198 174 161 150 0023 004 262 209 174 149 131 121 113 0023 005 210 168 140 120 105 97 91 0023 006 176 141 117 100 88 81 76 0024 007 151 121 101 86 76 70 65 0024 008 133 106 89 76 66 61 57 0024 009 119 95 79 68 59 55 51 0024 010 107 86 71 61 54 50 46 0024 011 98 78 65 56 49 45 42 0024 012 90 72 60 51 45 42 39 0024 013 84 67 56 48 42 39 36 0024 014 78 62 52 45 39 36 34 0024 015 73 58 49 42 37 34 31 0024 016 69 55 46 39 34 32 30 0025 017 65 52 43 37 32 30 28 0025 018 62 49 41 35 31 28 27 0025 019 59 47 39 34 29 27 25 0025 020 56 45 37 32 28 26 24 0025 021 54 43 36 31 27 25 23 0025 022 51 41 34 29 26 24 22 0025 023 49 39 33 28 25 23 21 0025 024 47 38 32 27 24 22 20 0025 025 46 37 31 26 23 21 20 0026 026 44 35 29 25 22 20 19 0026 027 43 34 28 24 21 20 18 0026 3 028 41 33 28 24 21 19 18 0026 029 40 32 27 23 20 19 17 0026 030 39 31 26 22 19 18 17 0026 031 38 30 25 22 19 18 16 0026 032 37 30 25 21 18 17 16 0026 033 36 29 24 21 18 17 15 0026 034 35 28 23 20 18 16 15 0027 035 34 27 23 20 17 16 15 0027 036 33 27 22 19 17 15 14 0027 037 33 26 22 19 16 15 14 0027 038 32 26 21 18 16 15 14 0027 040 31 25 20 18 15 14 13 0027 042 29 24 20 17 15 14 13 0028 044 28 23 19 16 14 13 12 0028 045 28 22 19 16 14 13 12 0028 046 27 22 18 16 14 13 12 0028 048 27 21 18 15 13 12 11 0028 050 26 21 17 15 13 12 11 0029 052 25 20 17 14 12 12 11 0029 054 24 19 16 14 12 11 10 0029 056 24 19 16 14 12 11 10 0030 058 23 18 15 13 12 11 10 0030 060 23 18 15 13 11 10 10 0030 062 22 18 15 13 11 10 10 0031 063 22 17 15 12 11 10 09 0031 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 86 Tabela A2 Área e massa linear de fios e barras de aço NBR 7480 Diâmetro mm Massa kgm Área mm2 Perímetro mm Fios Barras 24 0036 45 75 34 0071 91 107 38 0089 113 119 42 0109 139 132 46 0130 166 145 5 5 0154 196 175 55 0187 238 173 6 0222 283 188 63 0245 312 198 64 0253 322 201 7 0302 385 220 8 8 0395 503 251 95 0558 709 298 10 10 0617 785 314 125 0963 1227 393 16 1578 2011 503 20 2466 3142 628 22 2984 3801 691 25 3853 4909 785 32 6313 8042 1005 40 9865 12566 1257 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 87 Tabela A3 Área de aço e largura bw mínima Diâm As cm2 Número de barras mm bw cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 As 014 028 042 056 070 084 098 112 126 140 bw Br 1 8 11 14 16 19 22 25 27 30 Br 2 9 13 16 19 23 26 30 33 36 5 As 020 040 060 080 100 120 140 160 180 200 bw Br 1 9 11 14 17 20 22 25 28 31 Br 2 9 13 16 20 23 27 30 34 37 63 As 031 062 093 124 155 186 217 248 279 310 bw Br 1 9 12 15 18 20 23 26 29 32 Br 2 10 13 17 20 24 28 31 35 39 8 As 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 bw Br 1 9 12 15 18 21 25 28 31 34 Br 2 10 14 17 21 25 29 33 36 40 10 As 080 160 240 320 400 480 560 640 720 800 bw Br 1 10 13 16 19 23 26 29 33 36 Br 2 10 14 18 22 26 30 34 38 42 125 As 125 250 375 500 625 750 875 1000 1125 1250 bw Br 1 10 14 17 21 24 28 31 35 38 Br 2 11 15 19 24 28 32 36 41 45 16 As 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 bw Br 1 11 15 19 22 26 30 34 38 42 Br 2 11 16 21 25 30 34 39 44 48 20 As 315 630 945 1260 1575 1890 2205 2520 2835 3150 bw Br 1 12 16 20 24 29 33 37 42 46 Br 2 12 17 22 27 32 37 42 47 52 22 As 380 760 1140 1520 1900 2280 2660 3040 3420 3800 bw Br 1 12 16 21 25 30 34 39 43 48 Br 2 13 18 23 28 33 39 44 49 54 25 As 490 980 1470 1960 2450 2940 3430 3920 4410 4900 bw Br 1 13 18 23 28 33 38 43 48 53 Br 2 13 19 24 30 35 41 46 52 57 32 As 805 1610 2415 3220 4025 4830 5635 6440 7245 8050 bw Br 1 15 21 28 34 40 47 53 60 66 Br 2 15 21 28 34 40 47 53 60 66 40 As 1260 2520 3780 5040 6300 7560 8820 10080 11340 12600 bw Br 1 17 25 33 41 49 57 65 73 81 Br 2 17 25 33 41 49 57 65 73 81 largura bw mínima bwmín 2 c t no barras ahmín no barras 1 Br 1 brita 1 dmáx 19 mm Br 2 brita 2 dmáx 25 mm Valores adotados t 63 mm cnom 20 cm Para cnom 20 cm aumentar bwmín conforme cnom 25 cm 10 cm cnom 30 cm 20 cm cnom 35 cm 30 cm cnom 40 cm 40 cm agr máx mín h 12d cm 2 a w h v Øt Ø c b a a UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 88 Tabela A4 Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I Modelo de Cálculo I estribo com 90 c 14 s 115 aços CA50 e CA60 Flexão Simples Concreto VRd2 kN VSdmín kN Asw cm2m C20 d 0 35 b w d 0101b w w Sd 017 b d 2 55 V C25 d 0 43 b w d 0117 b w w Sd 0 20 b d 2 55 V C30 d 0 51b w d 0132 b w w Sd 0 22 b d 2 55 V C35 d 0 58 b w d 0147 b w w Sd 0 25 b d 2 55 V C40 d 0 65 b w d 0160 b w w Sd 0 27 b d 2 55 V C45 d 0 71b w d 0173 b w w Sd 0 29 b d 2 55 V C50 d 0 77 b w d 0186 b w w Sd 0 31b d 2 55 V bw largura da viga cm VSd força cortante de cálculo kN d altura útil cm Tabela A5 Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I Modelo de Cálculo II estribo vertical com 90 c 14 s 115 aços CA50 e CA60 Flexão Simples Concreto VRd2 kN VSdmín kN Asw cm2m C20 cos 0 71b dsen w c1 w V dcotg 0 035b d V V 2 55 tg c1 Sd C25 cos 0 87 b dsen w c1 w V 0 040b dcotg C30 cos 102 b dsen w c1 w V 0 045b dcotg C35 cos 116 b dsen w c1 w V 0 050b dcotg C40 cos 130 b dsen w c1 w V 0 055b dcotg C45 cos 142 b dsen w c1 w V 0 059b dcotg C50 cos 154 b dsen w c1 w V 0 064b dcotg bw largura da viga cm VSd força cortante de cálculo kN d altura útil cm ângulo de inclinação das bielas de compressão VC1 força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça kN UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 89 Tabela A6 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas com seção transversal retangular Tabela 173 da NBR 6118 fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 mín a 0150 0150 0150 0164 0179 0194 0208 0211 0219 0226 0233 0239 0245 0251 0256 a Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA50 dh 08 c 14 e s 115 Caso esses fatores sejam diferentes mín deve ser recalculado mín AsmínAc Tabela A7 Comprimento de ancoragem cm para o aço CA50 nervurado COMPRIMENTO DE ANCORAGEM cm para Asef Ascalc CA50 nervurado mm Concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 63 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 8 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 10 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 125 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 16 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 20 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 25 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 32 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 40 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 Valores de acordo com a NBR 6118 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada c 14 s 115 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo 100 mm 10 30 b mín b UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 90 Tabela A8 Comprimento de ancoragem cm para o aço CA60 entalhado COMPRIMENTO DE ANCORAGEM cm para Asef Ascalc CA60 mm Concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 42 71 50 61 43 54 38 49 34 45 31 41 29 38 27 50 35 43 30 38 26 34 24 31 22 29 20 27 19 5 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 6 101 71 87 61 77 54 70 49 64 45 59 41 55 38 71 50 61 43 54 38 49 34 45 31 41 29 38 27 7 118 83 102 71 90 63 81 57 74 52 69 48 64 45 83 58 71 50 63 44 57 40 52 36 48 34 45 31 8 135 94 116 81 103 72 93 65 85 59 79 55 73 51 94 66 81 57 72 50 65 46 59 42 55 38 51 36 95 160 112 138 97 122 86 110 77 101 71 93 65 87 61 112 78 97 68 86 60 77 54 71 49 65 46 61 43 Valores de acordo com a NBR 6118 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada c 14 s 115 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo 100 mm 10 30 b mín b Tabela A9 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes em lajes Tabela 191 da NBR 6118 Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Armaduras negativas s mín Armaduras negativas de bordas sem continuidade s 067mín Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções s 067mín Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção s mín Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção ss 20 da armadura principal ss 09 cm2m s 05 mín s Asbw h Os valores de mín constam da Tabela A6 Tabela A10 Diâmetro dos pinos de dobramento D Tabela 91 da NBR 6118 Bitola mm Tipo de aço CA25 CA50 CA60 20 4 5 6 20 5 8 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 91 Tabela A11 Área de armadura por metro de largura cm2m ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA cm2m Espaçamento cm Diâmetro Nominal mm 42 5 63 8 10 125 5 277 400 630 1000 1600 2500 55 252 364 573 909 1455 2273 6 231 333 525 833 1333 2083 65 213 308 485 769 1231 1923 7 198 286 450 714 1143 1786 75 185 267 420 667 1067 1667 8 173 250 394 625 1000 1563 85 163 235 371 588 941 1471 9 154 222 350 556 889 1389 95 146 211 332 526 842 1316 10 139 200 315 500 800 1250 11 126 182 286 455 727 1136 12 115 167 262 417 667 1042 125 111 160 252 400 640 1000 13 107 154 242 385 615 962 14 099 143 225 357 571 893 15 092 133 210 333 533 833 16 087 125 197 313 500 781 17 081 118 185 294 471 735 175 079 114 180 286 457 714 18 077 111 175 278 444 694 19 073 105 166 263 421 658 20 069 100 158 250 400 625 22 063 091 143 227 364 568 24 058 083 131 208 333 521 25 055 080 126 200 320 500 26 053 077 121 192 308 481 28 049 071 112 179 286 446 30 046 067 105 167 267 417 33 042 061 095 152 242 379 Elaborada por PINHEIRO 1994 Diâmetros especificados pela NBR 7480 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 92 Tabela A12 Classes de agressividade ambiental CAA Tabela 61 da NBR 6118 Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submersa II Moderada Urbano1 2 Pequeno III Forte Marinho1 Grande Industrial1 2 IV Muito forte Industrial1 3 Elevado Respingos de maré NOTAS 1 Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda uma classe acima para ambientes internos salas dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura 2 Podese admitir uma classe de agressividade mais branda uma classe acima em obras em regiões de clima seco com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove 3 Ambientes quimicamente agressivos tanques industriais galvanoplastia branqueamento em indústrias de celulose e papel armazéns de fertilizantes indústrias químicas elementos em contato com solo contaminado ou água subterrânea contaminada Tabela A13 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto Tabela 71 da NBR 6118 Concretoa Tipob c Classe de agressividade ambiental CAA I II III IV Relação águacimento em massa CA 065 060 055 045 CP 060 055 050 045 Classe de concreto NBR 8953 CA C20 C25 C30 C40 CP C25 C30 C35 C40 a O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 12655 b CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado c CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 93 Tabela A14 Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para c 10 mm Tabela 72 da NBR 6118 Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental CAA I II III IVc Cobrimento nominal mm Concreto Armado Lajeb 20 25 35 45 VigabPilar 25 30 40 50 Elementos estruturais em contato com o solod 30 40 50 Concreto Protendidoa Laje 25 30 40 50 VigaPilar 30 35 45 55 Notas a Cobrimento nominal da bainha ou dos fios cabos e cordoalhas O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto armado b Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas de 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm c Nas superfícies expostas a ambientes agressivos como reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV d No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 94 ANEXO B ARQUIVOS DE DADOS E RESULTADOS DOS PROGRAMAS PPLAN4 E GPLAN4 B1 ARQUIVO DE DADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 1 OPTE22222 TORCAO UNESP DISC CONCRETO II TORÇÃO EXEMPLO 1 NO 11650 2095 316595 RES 2111 BAR 11311 22321 PROP 11100020833310050 21175036458340516950 MATL 1241510063 FIMG CARR1 CBR 110251 21043751 CNO 150 FIMC FIME B2 RESULTADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 1 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS USP SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 ANALISE DE GRELHAS VERSAO FEV92 PROJETO TORCAO CLIENTE UNESP DISC CONCRETO II GRELHA TORÇÃO EXEMPLO 1 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y 1 165000 000 0 0 0 2 000 95000 1 1 1 3 165000 95000 0 0 0 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 3 0 1 95000 0000 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 95 2 2 0 3 0 2 165000 10000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA 1 1 10000E04 20833E06 10000E03 5000 2 1 17500E04 36458E06 40517E06 5000 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM 1 241500E04 100630E04 00000E00 0000E00 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO CARGA I CARGA F REL CL REL IL IDENT 1 1 0250 0250 1000 000 CBR 2 1 0437 0437 1000 000 CBR GERACAO DE CARGAS NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y IDENT 1 50000 000 000 CNO ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 1 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 2 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 2 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES 59594 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y 1 3095357 0024235 0008469 2 0000000 0000000 0000000 3 0936757 0019679 0008469 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 1 50000 005 000 3 52375 4862803 000 2 2 59594 9237424 4862807 3 52375 000 4862807 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 96 RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y 1 000 005 000 2 59594 4862807 9237424 3 000 004 000 SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS 59594 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES 59594 ERRO PERCENTUAL 0000192 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 010 50000 005 000 1 110 50237 476132 000 1 210 50475 954515 000 1 310 50712 1435154 000 1 410 50950 1918049 000 1 510 51187 2403201 000 1 610 51425 2890609 000 1 710 51662 3380273 000 1 810 51900 3872194 000 1 910 52137 4366370 000 1 1010 52375 4862803 000 2 010 59594 9237424 4862807 2 110 58872 8260082 4862807 2 210 58150 7294651 4862807 2 310 57428 6341132 4862807 2 410 56706 5399523 4862807 2 510 55984 4469825 4862807 2 610 55263 3552038 4862807 2 710 54541 2646162 4862807 2 810 53819 1752197 4862807 2 910 53097 870142 4862807 2 1010 52375 001 4862807 Analise completa fim do processamento B3 ARQUIVO DE DADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 3 OPTE22222 UNESP BAURU TORÇÃO EM VIGAS EXEMPLO 3 GRELHA PAV NOGP 1510014380 610505231438523 NOGL 111211438807124359265 13151010467191046 NO 1610491046 RESG 154122020434182043418 6104102003226568 3151212008043840 RES 13122020434182043418 81 161 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 97 BARG 141112111 581617121 911113114111 1213116412131 16171156741 18191358741 BAR 14111031 1510511 PROP 11114034200010060 21133054308310070 31114034200010947060 4185514428110045 MATL 135281470 FIMG CARR1 CBRG 141125041 581140031 9111125041 14151112171 16171111941 18191113571 CBR 12123721 13120091 FIMC FIME B4 RESULTADOS DA GRELHA DO EXEMPLO 3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS USP SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 ANALISE DE GRELHAS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU TORÇÃO EM VIGAS CLIENTE EXEMPLO 3 GRELHA GRELHA PAV COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y 1 000 000 10000E38 20434E07 20434E07 2 359500 000 0 0 0 3 719000 000 10000E38 80438E07 00000E00 4 1078500 000 0 0 0 5 1438000 000 10000E38 20434E07 20434E07 6 000 523000 10000E38 00000E00 32266E07 7 359500 523000 0 0 0 8 719000 523000 1 0 0 9 1078500 523000 0 0 0 10 1438000 523000 10000E38 00000E00 32266E07 11 1438000 807000 0 0 0 12 1243500 926500 0 0 0 13 000 1046000 10000E38 20434E07 20434E07 14 359500 1046000 0 0 0 15 719000 1046000 10000E38 80438E07 00000E00 16 1049000 1046000 1 0 0 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 98 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 359500 10000 2 2 0 3 0 1 359500 10000 3 3 0 4 0 1 359500 10000 4 4 0 5 0 1 359500 10000 5 6 0 7 0 2 359500 10000 6 7 0 8 0 2 359500 10000 7 8 0 9 0 2 359500 10000 8 9 0 10 0 2 359500 10000 9 13 0 14 0 1 359500 10000 10 14 0 15 0 1 359500 10000 11 15 0 16 0 1 330000 10000 12 16 0 12 0 3 228277 8520 13 12 0 11 0 3 228277 8520 14 11 0 10 0 3 284000 0000 15 10 0 5 0 1 523000 0000 16 1 0 6 0 4 523000 0000 17 6 0 13 0 4 523000 0000 18 3 0 8 0 4 523000 0000 19 8 0 15 0 4 523000 0000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA 1 1 11400E04 34200E06 10000E03 6000 2 1 13300E04 54308E06 10000E03 7000 3 1 11400E04 34200E06 10947E06 6000 4 1 85500E03 14428E06 10000E03 4500 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM 1 352800E04 147000E04 00000E00 0000E00 GERACAO DO CARREGAMENTO CARR1 GRELHA GRELHA PAV GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO CARGA I CARGA F REL CL REL IL IDENT 1 1 2504 2504 1000 000 CBRG 2 1 2504 2504 1000 000 CBRG 3 1 2504 2504 1000 000 CBRG 4 1 2504 2504 1000 000 CBRG 5 1 4003 4003 1000 000 CBRG 6 1 4003 4003 1000 000 CBRG 7 1 4003 4003 1000 000 CBRG 8 1 4003 4003 1000 000 CBRG 9 1 2504 2504 1000 000 CBRG 10 1 2504 2504 1000 000 CBRG 11 1 2504 2504 1000 000 CBRG 14 1 1217 1217 1000 000 CBRG 15 1 1217 1217 1000 000 CBRG UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 99 16 1 1194 1194 1000 000 CBRG 17 1 1194 1194 1000 000 CBRG 18 1 1357 1357 1000 000 CBRG 19 1 1357 1357 1000 000 CBRG 12 1 2372 2372 1000 000 CBR 13 1 2009 2009 1000 000 CBR ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 16 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 19 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES 1663431 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y 1 0000000 0004584 0012320 2 2551578 0003588 0003080 3 0000000 0002591 0000000 4 2551569 0000186 0003080 5 0000000 0002218 0012320 6 0000000 0000000 0012551 7 2612892 0000000 0003052 8 0000000 0000001 0000343 9 2427865 0005716 0002880 10 0000000 0011432 0011179 11 5397304 0020637 0015996 12 3743881 0004008 0012330 13 0000000 0004584 0015373 14 3541721 0003588 0001852 15 0000000 0002592 0007964 16 0000000 0026120 0004540 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 1 72766 2517474 041 2 17253 7461077 041 2 2 17253 7461076 041 3 107271 14922130 041 3 3 107271 14922140 098 4 17253 7461058 098 4 4 17253 7461059 098 5 72766 2517499 098 5 6 116761 4049563 000 7 27147 12058500 000 6 7 27147 12058500 000 8 171055 23568300 000 7 8 169529 23568500 234 9 25622 11509900 234 8 9 25622 11509900 234 10 118286 5146579 234 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 100 9 13 79644 3141349 041 14 10375 9309855 041 10 14 10375 9309856 041 15 100393 10600700 041 11 15 64081 10600480 1048 16 18551 3087902 1048 12 16 63972 2631553 1615580 12 9825 5791522 1615580 13 12 9825 5791515 1615579 11 36036 2799781 1615579 14 11 36036 2842176 1539775 10 70599 12300030 1539775 15 10 56209 12299790 032 5 7440 453422 032 16 1 26104 936837 006 6 36342 3614002 006 17 6 36342 3614002 079 13 26104 936837 079 18 3 32592 2084299 010 8 38379 3597758 010 19 8 38379 3597524 214 15 32592 2084080 214 RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y 1 98870 936796 2517480 2 000 000 000 3 247135 2084242 000 4 000 000 000 5 80206 453324 2517467 6 189445 000 4049636 7 000 000 000 8 417343 000 002 9 000 000 000 10 245095 002 3606835 11 000 000 000 12 000 005 006 13 105748 936796 3141269 14 000 000 000 15 197067 2085169 004 16 82523 004 006 SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS 1663431 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES 1663431 ERRO PERCENTUAL 0000367 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 010 72766 2517474 041 1 110 63764 63339 041 1 210 54762 2067177 041 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 101 1 310 45761 3874076 041 1 410 36759 5357357 041 1 510 27757 6517021 041 1 610 18755 7353068 041 1 710 9753 7865497 041 1 810 751 8054308 041 1 910 8251 7919502 041 1 1010 17253 7461078 041 2 010 17253 7461076 041 2 110 26255 6679035 041 2 210 35256 5573375 041 2 310 44258 4144098 041 2 410 53260 2391204 041 2 510 62262 314692 041 2 610 71264 2085438 041 2 710 80266 4809186 041 2 810 89268 7856551 041 2 910 98270 11227530 041 2 1010 107271 14922130 041 3 010 107271 14922140 098 3 110 98270 11227540 098 3 210 89268 7856560 098 3 310 80266 4809196 098 3 410 71264 2085450 098 3 510 62262 314678 098 3 610 53260 2391190 098 3 710 44258 4144084 098 3 810 35256 5573360 098 3 910 26255 6679020 098 3 1010 17253 7461060 098 4 010 17253 7461059 098 4 110 8251 7919482 098 4 210 751 8054288 098 4 310 9753 7865476 098 4 410 18755 7353046 098 4 510 27757 6517000 098 4 610 36759 5357335 098 4 710 45761 3874053 098 4 810 54762 2067153 098 4 910 63764 63364 098 4 1010 72766 2517500 098 5 010 116761 4049563 000 5 110 102370 110687 000 5 210 87979 3310841 000 5 310 73588 6215019 000 5 410 59198 8601849 000 5 510 44807 10471330 000 5 610 30416 11823460 000 5 710 16025 12658250 000 5 810 1635 12975680 000 5 910 12756 12775770 000 5 1010 27147 12058510 000 6 010 27147 12058500 000 6 110 41538 10823890 000 6 210 55929 9071935 000 6 310 70319 6802625 000 6 410 84710 4015969 000 6 510 99101 711963 000 6 610 113492 3109392 000 6 710 127883 7448096 000 6 810 142273 12304150 000 6 910 156664 17677550 000 6 1010 171055 23568300 000 7 010 169529 23568500 234 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 102 7 110 155139 17732590 234 7 210 140748 12414030 234 7 310 126357 7612821 234 7 410 111966 3328958 234 7 510 97576 437556 234 7 610 83185 3686723 234 7 710 68794 6418541 234 7 810 54403 8633010 234 7 910 40012 10330130 234 7 1010 25622 11509900 234 8 010 25622 11509900 234 8 110 11231 12172320 234 8 210 3160 12317390 234 8 310 17551 11945120 234 8 410 31942 11055490 234 8 510 46332 9648519 234 8 610 60723 7724196 234 8 710 75114 5282525 234 8 810 89505 2323505 234 8 910 103895 1152863 234 8 1010 118286 5146581 234 9 010 79644 3141349 041 9 110 70642 439949 041 9 210 61640 1937833 041 9 310 52639 3991997 041 9 410 43637 5722544 041 9 510 34635 7129473 041 9 610 25633 8212785 041 9 710 16631 8972479 041 9 810 7629 9408556 041 9 910 1373 9521016 041 9 1010 10375 9309857 041 10 010 10375 9309856 041 10 110 19377 8775080 041 10 210 28378 7916686 041 10 310 37380 6734674 041 10 410 46382 5229044 041 10 510 55384 3399798 041 10 610 64386 1246933 041 10 710 73388 1229550 041 10 810 82390 4029650 041 10 910 91392 7153367 041 10 1010 100393 10600700 041 11 010 64081 10600480 1048 11 110 55818 8622139 1048 11 210 47555 6916481 1048 11 310 39292 5483509 1048 11 410 31029 4323223 1048 11 510 22765 3435622 1048 11 610 14502 2820707 1048 11 710 6239 2478477 1048 11 810 2024 2408932 1048 11 910 10287 2612074 1048 11 1010 18551 3087901 1048 12 010 63972 2631553 1615580 12 110 58557 1233018 1615580 12 210 53143 41911 1615580 12 310 47728 1193233 1615580 12 410 42313 2220950 1615580 12 510 36898 3125061 1615580 12 610 31484 3905565 1615580 12 710 26069 4562464 1615580 12 810 20654 5095756 1615580 12 910 15240 5505443 1615580 12 1010 9825 5791523 1615580 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 103 13 010 9825 5791515 1615579 13 110 5239 5963446 1615579 13 210 653 6030688 1615579 13 310 3934 5993239 1615579 13 410 8520 5851101 1615579 13 510 13106 5604272 1615579 13 610 17692 5252754 1615579 13 710 22278 4796546 1615579 13 810 26864 4235647 1615579 13 910 31450 3570059 1615579 13 1010 36036 2799781 1615579 14 010 36036 2842176 1539775 14 110 39493 1769668 1539775 14 210 42949 599002 1539775 14 310 46405 669823 1539775 14 410 49861 2036806 1539775 14 510 53318 3501947 1539775 14 610 56774 5065247 1539775 14 710 60230 6726705 1539775 14 810 63686 8486321 1539775 14 910 67143 10344100 1539775 14 1010 70599 12300030 1539775 15 010 56209 12299790 032 15 110 49844 9526490 032 15 210 43479 7086072 032 15 310 37115 4978538 032 15 410 30750 3203889 032 15 510 24385 1762126 032 15 610 18020 653246 032 15 710 11655 122748 032 15 810 5290 565858 032 15 910 1075 676083 032 15 1010 7440 453424 032 16 010 26104 936837 006 16 110 19860 265118 006 16 210 13615 1140479 006 16 310 7370 1689247 006 16 410 1126 1911421 006 16 510 5119 1807001 006 16 610 11363 1375988 006 16 710 17608 618380 006 16 810 23853 465820 006 16 910 30097 1876615 006 16 1010 36342 3614002 006 17 010 36342 3614002 079 17 110 30097 1876614 079 17 210 23853 465820 079 17 310 17608 618381 079 17 410 11363 1375988 079 17 510 5119 1807001 079 17 610 1126 1911421 079 17 710 7370 1689247 079 17 810 13615 1140480 079 17 910 19860 265118 079 17 1010 26104 936836 079 18 010 32592 2084299 010 18 110 25495 565340 010 18 210 18398 582440 010 18 310 11300 1359041 010 18 410 4203 1764463 010 18 510 2894 1798707 010 18 610 9991 1461772 010 18 710 17088 753658 010 18 810 24185 325635 010 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 104 18 910 31282 1776108 010 18 1010 38379 3597758 010 19 010 38379 3597524 214 19 110 31282 1775875 214 19 210 24185 325405 214 19 310 17088 753887 214 19 410 9991 1462000 214 19 510 2894 1798934 214 19 610 4203 1764689 214 19 710 11300 1359265 214 19 810 18398 582662 214 19 910 25495 565120 214 19 1010 32592 2084080 214 Analise completa fim do processamento B5 ARQUIVO DE DADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS1 ENTRE OS PILARES P2 E P3 OPTE22222 UNESP BAURUSP DISC CONCRETO II TORÇÃO MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P2 E P3 COM ENGASTE NO PILAR P2 VS1 19 x 60 NOGL 121003300 RES 1111 211 BAR 11211 PROP 11114034200060 MATL 13528 FIMG CARR1 CBR 11025041 FIMC FIME B6 RESULTADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS1 ENTRE OS PILARES P2 E P3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURUSP DISC CONCRETO II TORÇÃO CLIENTE MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P2 E P3 COM ENGASTE NO PI PORTICO VS1 19 x 60 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1 000 000 1 1 1 2 330000 000 1 1 0 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 105 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 330000 10000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1 352800E04 00000E00 00000E00 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL CL REL IL IDENT 1 1 2504 1000 000 CBR ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 2 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 1 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X 000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y 82632 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 1 0000000 0000000 0000000 2 0000000 0000000 0001554 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 1 000 51645 3408570 2 000 30987 000 RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1 000 51645 3408570 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 106 2 000 30987 000 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y 82632 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y 82632 ERRO PERCENTUAL 0000000 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 010 000 51645 3408570 1 110 000 43382 1840628 1 210 000 35119 545371 1 310 000 26855 477200 1 410 000 18592 1227085 1 510 000 10329 1704285 1 610 000 2066 1908799 1 710 000 6197 1840628 1 810 000 14461 1499771 1 910 000 22724 886229 1 1010 000 30987 000 Analise completa fim do processamento B7 ARQUIVO DE DADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS6 ENTRE OS PILARES P9 E P6 OPTE22222 UNESP BAURUSP DISC CONCRETO II TORÇÃO MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P9 E P6 VS6 19 x 60 NOGL 121005230 RES 1112002043418 2111 BAR 11211 PROP 11114034200060 MATL 13528 FIMG CARR1 CBR 11012171 FIMC FIME B8 RESULTADOS DO EXEMPLO 3 VIGA VS6 ENTRE OS PILARES P9 E P6 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURUSP DISC CONCRETO II TORÇÃO CLIENTE MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P9 E P6 PORTICO VS6 19 x 60 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 107 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1 000 000 10000E38 10000E38 20434E07 2 523000 000 1 1 1 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 523000 10000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1 352800E04 00000E00 00000E00 GERACAO DO CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS6 19 x 60 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL CL REL IL IDENT 1 1 1217 1000 000 CBR ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 2 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 1 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X 000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y 63649 CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS6 19 x 60 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 1 0000000 0000000 0002461 2 0000000 0000000 0000000 UNESP BauruSP Torção em Vigas de Concreto Armado 108 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 1 000 25311 502906 2 000 38338 3909607 RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1 000 25311 502906 2 000 38338 3909607 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y 63649 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y 63649 ERRO PERCENTUAL 0000000 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 010 000 25311 502906 1 110 000 18946 654405 1 210 000 12581 1478832 1 310 000 6216 1970374 1 410 000 149 2129031 1 510 000 6514 1954803 1 610 000 12879 1447691 1 710 000 19244 607693 1 810 000 25608 565188 1 910 000 31973 2070956 1 1010 000 38338 3909607 Analise completa fim do processamento