Método das Forças em Teoria das Estruturas na Engenharia Civil

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Disciplina TEORIA DAS ESTRUTURAS Tópico MÉTODO DAS FORÇAS Professor Elias Rodrigues Liah Engo Civil MSc Goiânia 2014 MÉTODO DAS FORÇAS O Método das Forças na solução de uma estrutura hiperestática considera os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na seguinte ordem 1 Condições de equilíbrio 2 Condições sobre o comportamento dos materiais leis constitutivas 3 Condições de compatibilidade Na prática entretanto a metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática é Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade MÉTODO DAS FORÇAS A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é em geral uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal SP As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos Para facilitar o entendimento do método é feita uma apresentação com base em um exemplo que é mostrado na Figura 51 Metodologia de análise pelo Método das Forças A configuração deformada do pórtico da Figura 51 é mostrada de forma exagerada Todas das barras da estrutura têm os mesmos valores para área A 5103 m2 e momento de inércia I 5104 m4 da seção transversal e para o módulo de elasticidade E 2108 kNm2 do material MÉTODO DAS FORÇAS Hiperestáticos e Sistema Principal Para analisar a estrutura com respeito às condições de equilíbrio são mostradas na Figura 52 as cinco componentes de reações de apoio da estrutura São três as equações do equilíbrio global da estrutura no plano ΣFx 0somatório de forças na direção horizontal igual a zero ΣFy 0somatório de forças na direção vertical igual a zero ΣMo 0somatório de momentos em relação a um ponto qualquer igual a zero Como a estrutura é hiperestática não é possível determinar os valores das reações de apoio da estrutura utilizando apenas as três equações de equilíbrio que são disponíveis O número de incógnitas excedentes ao número de equações de equilíbrio é definido como g grau de hiperestaticidade No exemplo g 2 MÉTODO DAS FORÇAS Conforme mencionado a solução do problema hiperestático pelo Método das Forças é feita pela superposição de soluções básicas isostáticas Para isso criase uma estrutura isostática auxiliar chamada Sistema Principal SP que é obtida da estrutura original hiperestática pela eliminação de vínculos O SP adotado no exemplo da Figura 51 é a estrutura isostática mostrada na Figura 53 MÉTODO DAS FORÇAS Observase na Figura 53 que foram eliminados dois vínculos externos da estrutura original a imposição de rotação θA nula do apoio da esquerda e a imposição de deslocamento horizontal ΔHB nulo do apoio da direita O número de vínculos que devem ser eliminados para transformar as estrutura hiperestática original em uma estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade g A escolha do SP é arbitrária qualquer estrutura isostática escolhida é válida desde que seja estável estaticamente Os esforços associados aos vínculos eliminados são as reações de apoio MA e HB que estão indicadas na Figura 52 X1 MA reação momento associada ao vínculo de apoio θA 0 X2 HB reação horizontal associada ao vínculo de apoio ΔHB 0 Os hiperestáticos do exemplo são mostrados na Figura 53 com sentidos que foram convencionados como positivos momento positivo no sentido antihorário e força horizontal positiva com sentido da esquerda para a direita MÉTODO DAS FORÇAS Restabelecimento das condições de compatibilidade A solução do problema pelo Método das Forças recai em encontrar os valores que X1 e X2 devem ter para juntamente com o carregamento aplicado recompor os vínculos de apoio eliminados Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP O caso básico 0 mostrado na Figura 54 isola o efeito da solicitação externa carregamento aplicado no SP A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20 nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP são chamados de termos de carga Um termo de carga é definido formalmente como δ0i termo de carga deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no SP com hiperestáticos com valores nulos MÉTODO DAS FORÇAS O sinal negativo da rotação δ10 indica que a rotação tem o sentido contrário do que é considerado para o hiperestático X1 no caso 1 a seguir Analogamente o sinal positivo de δ20 indica que este deslocamento tem o mesmo sentido que é considerado para o hiperestático X2 no caso 2 a seguir MÉTODO DAS FORÇAS Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP A Figura 56 mostra a configuração deformada do SP no caso 2 De maneira análoga ao caso 1 o hiperestático X2 é colocado em evidência considerandose um valor unitário multiplicado pelo seu valor final A rotação δ12 e o deslocamento horizontal δ22 provocados por X2 1 nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP também são coeficientes de flexibilidade As unidades destes coeficientes por definição são unidades de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático X2 MÉTODO DAS FORÇAS Restabelecimento das condições de compatibilidade A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados podese utilizar superposição de efeitos para restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do SP Isto é feito a seguir Superposição das rotações do nó inferior esquerdo nó A δ10 δ11 X1 δ12 X2 0 Superposição dos deslocamentos horizontais no nó inferior direito nó B δ20 δ21 X1 δ 22 X2 0 Sistema de equações de compatibilidade MÉTODO DAS FORÇAS A solução deste sistema de equações de compatibilidade resulta nos seguintes valores das reações de apoio X1 e X2 X1 1339 kNm X2 1729 kN O sinal de X1 é positivo pois tem o mesmo sentido antihorário do que foi arbitrado para X1 1 no caso 1 e o sinal de X2 é negativo pois tem o sentido contrário da direita para a esquerda ao que foi arbitrado para X2 1 no caso 2 tal como indica a Figura 57 MÉTODO DAS FORÇAS Os valores encontrados para X1 e X2 fazem com que θA 0 e ΔHB 0 Dessa forma atingiuse a solução correta da estrutura pois além de satisfazer as condições de equilíbrio que sempre foram satisfeitas nos casos 0 1 e 2 também satisfaz as condições de compatibilidade Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua Esta seção analisará uma estrutura com duas alternativas para o SP uma eliminando vínculos externos de apoio e outra eliminando a continuidade interna na sua configuração deformada No exemplo adotado vai ficar claro que a segunda alternativa é a mais conveniente pois resulta em cálculos bem mais simples para a determinação dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade MÉTODO DAS FORÇAS Sistema Principal obtido por eliminação de apoios Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP Neste caso somente a solicitação externa atua no SP e os valores dos hiperestáticos são nulos X1 0 e X2 0 MÉTODO DAS FORÇAS Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP Neste caso somente o hiperestático X1 atua no SP sem a solicitação externa e com X2 0 MÉTODO DAS FORÇAS Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP Neste caso somente o hiperestático X2 atua no SP sem a solicitação externa e com X1 0 MÉTODO DAS FORÇAS Cálculo de δ20 MÉTODO DAS FORÇAS Cálculo de δ11 MÉTODO DAS FORÇAS Cálculo de δ12 e δ21 28022014 16 MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DAS FORÇAS Reações de apoio e diagrama de momentos fletores finais MÉTODO DAS FORÇAS Sistema Principal obtido por introdução de rótulas internas Nesta outra opção para o SP são eliminados vínculos internos de continuidade de rotação da elástica configuração deformada da viga Neste caso são introduzidas duas rótulas nas seções dos dois apoios internos Os hiperestáticos X1 e X2 são momentos fletores associados à continuidade de rotação da viga nestas seções tal como mostrado na Figura 519