Controle de Sistemas Dinâmicos

CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS Márcio Belloni 2 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE 3 2 PROJETO DE CONTROLADORES NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA VISÃO CLÁSSICA 43 3 PROJETO DE COMPENSADORES CONTROLADORES NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA VISÃO CLÁSSICA 67 4 INTRODUÇÃO AO CONTROLE EM TEMPO DISCRETO 92 5 PROJETO DE CONTROLADORES EM TEMPO DISCRETO 127 6 PROJETO DE CONTROLADORES ATRAVÉS DA REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS CONTROLE MODERNO 148 3 1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE Caro aluno este primeiro bloco trata a terminologia da área de sistemas de controle dinâmicos bem como das principais características destes sistemas Apresentaremos a análise da resposta temporal de sistemas sobre polos e zeros estabilidade para então definir as funções de transferência utilizadas na análise de sistemas em malha fechada Finalmente a partir da definição da malha fechada será apresentado um método o lugar das raízes que é utilizado no projeto de controladores 11 Sistemas de controle Iniciaremos os nossos estudos com a seguinte frase que nos acompanhará Dizer que a engenharia é uma ciência exata é uma afirmação não exata pois envolve decisões e necessita adequar as ciências exatas aos casos reais Certamente esta frase traz estranheza ao ser lida pela primeira vez mas se o aluno prestar mais atenção e isto irá se acontecer principalmente durante o exercício da profissão pois é exatamente como aplicar as ciências exatas aos casos concretos a finalidade primordial da engenharia Mais que isto é permear por conceitos de todas as ciências pois o projeto de engenharia vislumbra aspectos legais econômicos físicos químicos biológicos sociais éticos dentre outros O engenheiro é profissional multidisciplinar e polivalente que precisa caminhar pelas veredas da ciência Modelagem e sistemas de controle explana exatamente esta multidisciplinariedade e a necessidade de aplicar o conhecimento das ciências exatas aos casos concretos que por vezes não são nem ao menos apresentados nos cursos de graduação Um exemplo desta necessidade é o estudo de fatores climáticos O clima é um sistema complexo com agentes emergentes e um número imensurável de variáveis onde a modelagem deve buscar ferramentas de estudos de probabilidades para prever resultados e comportamentos 4 Os casos reais são complexos e tendemos a simplificar os mesmos de forma a encontrar resultados que se aproximem do real satisfazendo os requisitos dos projetos com certa margem de tolerância Ou seja quando usamos os conceitos das forças de Newton não consideramos todas as forças atuantes em um sistema O engenheiro deve ter isto em mente de forma a respeitar estas condições estas limitações dos modelos mesmo com coeficientes de segurança atuando matematicamente nos mesmos Lembrese caro aluno que os sistemas embora sejam observados de forma fechada e isolada formam uma cadeia de eventos sendo que uns influenciam e são influenciados por outros por meio de trocas energéticas Assim é impossível um modelo exatamente idêntico ao caso real Por isto temos as ferramentas de modelagem e controle de sistemas Terminologia e características da área de controle Para iniciar os estudos devemos compreender o que são sistemas A coleção de objetos envolvidos para a realização de uma função ou diversas funções especificamente na intenção de atingir resultados determinados por objetivos bem definidos forma é o que se denomina sistema Veja que sistemas podem ser definidos como algo abstrato e não necessariamente algo físico e material como por exemplo sistemas econômicos e sociais Desta forma podemos identificar que um sistema de controle é um conjunto de componentes conectados ou relacionados entre sim de tal maneira que consigam comandar dirigir regular outros sistemas ou a si mesmos Para que os sistemas de controle possam efetuar e cumprir com os seus objetivos eles devem atuar sobre o sistema em determinadas grandezas o que matematicamente pode ser identificado como variáveis controladas As variáveis controladas são grandezas ou condições de interesse do sistema de controle grandezas estas que são mediadas e controladas pelo sistema Contudo não há somente variáveis controladas mas também existem grandezas de interesse do sistema que devem ser alteradas de forma a garantir o controle de medição das variáveis controladas Estas variáveis que 5 são alteradas pelo controlador na intenção de afetar e alterar a variável controlada são denominadas variáveis manipuladas As variáveis controladas costumam ser a saída de um sistema de controle Assim controlar significa medir o valor da variável controlada de um sistema e aplicar alterações na variável manipulada para corrigir ou limitar os valores da variável controlada de forma que mantenha dentro das diretrizes do controle em si Os sistemas de controle podem atuar sobre processos que evoluem progressivamente e ainda caracterizam mudanças graduais possuindo finalidades específicas Exemplos de processos químicos físicos econômicos e biológicos Os processos industriais são essencialmente químicos e físicos mas a área de controle pode estudar a dinâmica do nível de açúcar no sangue a partir da variação da quantidade de insulina inserida ou mesmo o comportamento da inflação em função de variáveis de entrada Na indústria química petroquímica papel e celulose farmacêutica alimentícia automobilística siderúrgica enfim na maioria dos processos industriais existe uma área específica que cuida do controle e dos equipamentos pertinentes a área de instrumentação e controle ou simplesmente controle de processos Dois tipos de controle automático oposto a manual ocorrem o controle dinâmico a variáveis contínuas trabalhase principalmente com a realimentação da variável controlada para realizar a ação de controle e o controle de eventos discretos trabalhase com ações de lógica temporização contadores etc implementados através dos controladores lógicos programáveis CLP Para melhor compreender o objeto de estudo desta disciplina vejamos um exemplo de sistema de controle dinâmico a variáveis contínuas o sistema de controle de nível de um gerador de vapor GV O GV é utilizado em processos industriais para gerar vapor a partir da troca térmica entre dois fluídos Por exemplo utilizamos um GV para geração de vapor enviado para uma turbinagerador elétrico com intuito de gerar energia em usinas nucleares 6 Para que o gerador de vapor cause um vapor de qualidade é necessário manter o nível em um valor fixo e prédefinido chamado de valor de referência também conhecido setpoint ou valor desejado Se isto não for feito podemos gerar um vapor com água ou descobrir os tubos em U o que no exemplo da usina nuclear como em AngraBrasil pode danificar a turbina ou até gerar um acidente nuclear Assim utilizase um sistema de controle de nível que possui um controlador um sensor ou elemento primário e um atuador para controlar alguma variável da planta que é o sistema ou objeto a ser controlado conforme representado na figura a seguir Fonte autor Figura 11 Sistema de controle de nível de um gerador de vapor GV Este sistema de controle de nível pode ser representado por um diagrama de blocos conforme representado na figura 12 com designação dos componentes genéricos e das variáveis utilizadas na teoria de controle Acrescentamse às variáveis manipuladas e controladas definidas anteriormente as variáveis de perturbação ou distúrbio No exemplo em questão temos as seguintes variáveis Variável manipulada que modifica a variável controlada de forma desejada No exemplo é a corrente de saída do controlador Podese entender que são variáveis manipuladas todas as variáveis até a entrada da planta no caso a abertura do orifício da válvula ou a vazão de água de alimentação 7 Variável de Perturbação ou distúrbio que afetam a variável controlada de forma não desejada vazão de vapor Variável controlada ou variável de saída variável que deve ser mantida no valor desejado nível no GV Variável de referência setpoint SP ou valor desejado é o valor onde a variável a ser controlada deve ser mantida sinal de tensão Variável da realimentação ou variável de processo PV variável de saída do sensor que está relacionado com o atuador Erro o cálculo desta variável é executado dentro do controlador e é dado pela diferença entre o valor de referência e a variável de processo O detector de erro gera uma saída que é dada pela diferença entre a variável de referencia e a variável de processo Fonte autor Figura 12 Diagrama de blocos do sistema de controle de nível de um gerador de vapor GV Sempre que o sistema de controle for realimentado terá um diagrama de blocos dado pelos componentes e as variáveis acima representadas Observação em processos industriais a variável de processo saída do sensor e a variável manipulada de saída do controlador são valores de corrente de 4 a 20 mA Com a utilização de sistemas digitais e redes de comunicação para a automação estas Entrada valor de referência Variável controlada saída Controlador Erro Atuador Variável manipulada Planta Sensor Vazão de água Variável manipulada Variável de perturbação vazão de vapor Variável de processo Válvula GV Nível do GV Corrente Corrente 8 variáveis passaram a ser digitais isto é o sensor gera um sinal digital para ser enviado através de uma rede como a profinet profibus device net CAN AsI entre outras O mesmo ocorre com os controladores que passaram a ser digitais e geram sinais por rede ou sinais de tensão analógica Em um processo caso a saída seja em corrente e o sinal é de tensão é necessário convertêlo através de um condicionar de sinais ou simplesmente um conversor de tensão para corrente Em sistemas de controle a necessidade de controlar como foi citada vem do fato que o equipamento pode não operar adequadamente se fosse mantido fixo o valor de suas variáveis No caso do GV não é possível ajustar a vazão de água em um único valor para manter o nível constante pois na primeira variação de vazão de vapor que ocorrer o nível será alterado Assim o engenheiro da área de controle deve propor um controle automático realimentado sempre que ocorre a um distúrbio ou perturbação no processo b mudanças nos parâmetros da planta ou c desejase alterar as características da resposta transitória do sistema ou o erro de regime permanente valor do erro quando a variável controlada fica constante O sistema de controle realimentado é conhecido também como malha fechada que como foi citado tem como principal característica medir o sinal da variável controlada e enviálo para o controlador onde é calculado o sinal de erro Este sinal é a entrada de um algoritmo de controle que pode ser dado por um circuito a amplificador operacional controle em tempo contínuo ou através de um sistema computacional controle em tempo discreto A saída do controlador é tratada por um condicionador de sinal e enviada para o atuador que altera uma variável de entrada da planta variável manipulada com o objetivo de ajustar a variável controlada Para controlar uma planta é necessário conhecer a sua dinâmica ou o seu comportamento no tempo como também propor o controlador mais adequado Assim procedese pelo estudo da dinâmica dos sistemas através do desenvolvimento de modelos matemáticos não somente da planta mas também do atuador e do sensor para então definir o controlador e os seus ganhos com o objetivo de o sistema de controle atingir as especificações de desempenho propostas transitório tempo de 9 acomodação sobressinal tempo de subida e do regime erro de regime permanente ou erro do estado estacionário além do tipo de resposta esperada Na indústria de processos os controladores mais utilizados são o PID Proporcional IntegralDerivativo e os compensadores de avanço atraso e avançoatraso Contrapondo ao sistema em malha fechada existem casos onde podemos utilizar a malha aberta Nesta situação a variável controlada não é enviada para o controlador sendo portanto uma situação especial onde o sistema não tem perturbações nem mudança de parâmetros e aceitase uma resposta razoável para o sistema Por exemplo imagine o ciclo de uma lavadora automática As operações de colocar de molho lavar e enxaguar em uma lavadora são executadas sequencialmente A lavadora não verifica a qualidade da limpeza nas roupas após o ciclo A malha aberta será utilizada quando o sistema é bem conhecido e não possui agentes de distúrbio interno ou externo que tragam perturbação na qualidade da saída Sistemas de malha aberta são reconhecidamente baseados no tempo Veja abaixo um exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha aberta Imagine um sistema formado por um aquecedor nele não se deseja que o sinal de saída mantenha uma temperatura ideal qualquer mas que apenas sofra a ação do aquecimento Assim o sinal de saída não influenciará o sinal de entrada e também não será medido Neste caso temos um sistema em malha aberta segundo a imagem abaixo Fonte autor Figura 13 Diagrama de blocos de um sistema em malha aberta Segundo Ogata 2010 as principais vantagens dos sistemas de controle em malha aberta são 10 a Simples de ser construídos e tem fácil manutenção b Menos dispendiosos do que é um sistema correspondente em malha fechada c Não apresenta um problema de estabilidade d São adequados quando existem dificuldades de medição de saída ou quando a medição precisa da saída não é economicamente possível E as principais desvantagens do sistema de controle de malha aberta são a Distúrbios e mudanças na calibração causam erros e a saída pode apresentar diferenças em relação ao padrão desejado b Para que a saída mantenha a qualidade requerida é necessária uma regulagem periódica Assim uma torradeira com uma temporização é um controle em malha aberta pois não existe um sensor para qualificar por exemplo a cor da torrada ou mesmo a característica ideal para a torrada Finalmente temos algumas definições e características que são utilizadas na área de controle Controle clássico e moderno no controle clássico são utilizadas as funções de transferência de cada elemento do sistema de controle enquanto no controle moderno utilizamos a representação por equações de estado e avaliamse os elementos variáveis de estado que são associadas aos fluxos de energia do sistema Em ambos os casos avaliase principalmente a questão da estabilidade relativa do sistema e sua robustez Controle em tempo contínuo e controle em tempo discreto quando utilizamos controladores analógicos implementados com amplificadores analógicos ou seja a saída do controlador é definida em cada instante de tempo e dizemos que o controle é dado em tempo contínuo Dizemos que a saída do controlador mt é definida para 𝒕 ℝ e é dada por 𝒎𝒕 𝑲𝒅𝒊𝒏 𝒆𝒕 onde 𝑲𝒅𝒊𝒏 representa um ganho dinâmico variável dependendo do controlador utilizado No controle em tempo discreto a saída m e a entrada e são dadas por sequências de valores que são estabelecidos em instantes bem definidos os instantes de amostragem onde 𝒎𝑲𝑻 𝑲𝒅𝒊𝒏 𝒆𝑲𝑻 assim 11 teremos valores de saída de controle e erro definidos somente em 0T 1T 2T e assim por diante Então 𝒕𝒌 𝒌𝑻 com 𝑻 fixo e 𝒌 ℝ Controle manual e controle automático no controle manual a ação sobre a saída do controlador é feita por um operador enquanto no controle automático o controle é feito por um circuito analógico ou um sistema digital Regulador ou Seguidor ou servossistema se o controle é do tipo regulador significa que o objetivo é manter uma variável de processo em um valor constante SP constante mesmo na presença de distúrbios enquanto o seguidor a variável de processo segue uma função do tempo prédeterminada Ação de controle onoff ligadesliga e ação de controle contínua na ação de controle onoff a saída do controlador assume dois valores 0 ou 100 do seu valor máximo isto é valores discretos Na ação de controle contínua a saída com controlador varia de 0 a 100 do seu valor máximo Análise temporal de sistemas dinâmicos No estudo de controle é necessário conhecer a dinâmica do processo a ser controlado e dos demais componentes do sistema de controle proposto Assim através do desenvolvimento de modelos matemáticos determinase uma equação que representa o comportamento das variáveis de entrada e saída de cada elemento Utilizando a transformada de Laplace gerase uma representação algébrica e a função de transferência que é utilizada para representar cada elemento do diagrama de blocos Estes elementos do sistema de controle podem ser representados por dinâmicas de primeira ordem ou segunda ordem ou até ordem superior O estudo da resposta temporal e da estabilidade é fundamental para se propor um controlador adequado para o sistema de controle Vamos colocar rapidamente estes conceitos Função de Transferência na visão clássica do controle um sistema é representado por uma equação diferencial que relaciona uma variável de saída com uma variável de 12 entrada A função de tranrência é definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída função de resposta response function e a transformada de Laplace da entrada função de excitação driving function admitindose todas as condições iniciais nulas OGATA 2010 A utilização da transformada de Laplace para definir a função de transferência é primordial para que consiga sim representar o sistema definido em função do tempo para equações no domínio da frequência Assim teremos a situação para a função de transferência Gs segundo o descrito abaixo 𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑮𝒔 𝓛𝒔𝒂í𝒅𝒂 𝓛𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊çõ𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂𝒔 Suponha que o sinal de entrada seja definido pela função Us e que a saída seja representada como um sinal definido pela função Ys Então a função de transferência irá considerar esses sinais segundo descrito abaixo 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 Teremos então uma relação algébrica entre a entrada e a saída do sistema dada por Gs O bloco da figura 14 ilustra tal fato Fonte autor Figura 14 Bloco fundamental da função de transferência Polos e zeros de uma função de transferência estes valores da variável s são muito importantes na avaliação da resposta temporal de sistemas Eles estão associados às raízes do denominador polos e do numerador zeros de Gs Temos então a seguinte definição Gs Us Ys 13 Polos p são os valores de s que anulam o denominador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender ao infinito Zerosz são os valores de s que anulam o numerador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender a zero Podem existir zeros no infinito o número de zeros no infinito corresponde à diferença entre os polos finitos e os zeros finitos isto é 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos Exemplo Determine os polos e zeros da função Gs abaixo 𝑮𝒔 𝟗 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 Veja que o numerador não possui um valor que consiga zerar Gs Deste modo pode se dizer que a função de transferência apresentada não possui zeros finitos mas sim dois zeros no infinito Para que Gs devese encontrar os polos que serão dois pois tratase de um polinômio de segunda ordem ou um trinômio de segundo grau 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 𝟎 As raízes serão 𝒑𝟏 𝟏 𝟐 𝟖𝟐𝟏 𝟏 𝒋𝟐 𝟖𝟐 e 𝒑𝟐 𝟏 𝒋𝟐 𝟖𝟐 Resposta de sistemas de primeira ordem estes sistemas são representados por equações diferenciais com derivadas de primeira ordem Ao obter a função de transferência trabalhase com dois parâmetros o ganho do sistema e a constante de tempo sendo dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 A resposta para uma entrada degrau ut A1t será dada por 14 𝒚𝒕 𝑲𝑨𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 Na figura 15 representase a resposta do sistema a saída yt em função de uma entrada ut do tipo degrau Fonte autor Fonte Autor Figura 15 Gráfico da resposta ao degrau para um sistema de primeira ordem genérico Os parâmetros da resposta ao degrau são o ganho K que representa o valor da função de transferência quando o sistema entra em regime a constante de tempo que representa o valor do tempo onde a amplitude atinge 63 do valor final Além destes temos que o valor final é dado por 𝒗𝒇 𝑲𝑨 O valor do polo do sistema está relacionado com a constante de tempo sendo 𝒑 𝟏 𝑻 Temos ainda os parâmetros de tempo dados pelo tempo de subida e tempo de acomodação 1T 2T 3T 4T 𝟎 𝟔𝟑𝒗𝒇 𝟎 𝟖𝟔𝒗𝒇 𝟎 𝟗𝟓𝒗𝒇 𝟎 𝟗𝟖𝟏𝒗𝒇 15 Tempo de subida ou Rise Time Tr Por definição o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 até 90 de seu valor final Tomemos o tempo t1 onde a amplitude é 10 de vf e o tempo t2 onde ela é 90 de vf Vale então que 𝑻𝒓 𝒕𝟐 𝒕𝟏 O gráfico da figura 16 apresenta o tempo de subida de um sistema de primeira ordem Tempo de Acomodação Assentamento ou Estabilização ou Settling Time Ts Por definição é o tempo necessário para o sistema variar dentro de uma faixa de 2 do valor final O seu cálculo pode ser dado de forma aproximada em função da constante de tempo 𝑻𝒔 𝟒𝑻 No gráfico da resposta temporal da figura 16 indicase que quando o tempo corresponder às quatro constantes de tempo a saída será 981 de vf Ou seja está acima de 98 o que equivale a dizer dentro da faixa de 2 do valor final Fonte autor Figura 16 Gráfico da resposta temporal para a entrada degrau de um sistema de primeira ordem com Tr e Ts indicados 16 Resposta de sistemas de segunda ordem estes sistemas são representados por equações diferenciais com derivadas de segunda ordem Ao obter a função de transferência trabalhase com três parâmetros o ganho do sistema a frequência natural ωn e o fator de amortecimento 𝝃 A função de transferência é dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝜻𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 A resposta ao degrau dependerá do valor do fator de amortecimento ou dos polos do sistema sendo dados por 𝒑𝟏𝟐 𝜻𝝎𝒏 𝝎𝒏𝜻𝟐 𝟏 Definemse dois novos parâmetros a frequência amortecida e a constante de atenuação sendo dadas por 𝝎𝒅 𝝎𝒏𝟏 𝜻𝟐 e 𝝈 𝝎𝒏𝜻 Estes valores podem ser associados com a resposta de sistemas de segunda ordem A constante de atenuação fornece o grau de decaimento da resposta do sistema e a frequência de amortecimento fornece o período de oscilação do sistema principalmente quando a resposta é do tipo oscilatória Temos então as seguintes respostas para um sistema de segunda ordem Resposta superamortecida se 𝜻 𝟏 os polos são reais e distintos Resposta criticamente amortecida se 𝜻 𝟏 os polos são reais e iguais Resposta subamortecida se 𝟎 𝜻 𝟏 os polos são complexos com parte real e imaginária Resposta oscilatório pura se 𝜻 𝟎 os polos são imaginários puros Os gráficos da resposta temporal para uma entrada degrau da figura 17 ilustram os tipos de respostas de um sistema de segunda ordem em função dos polos e do valor do coeficiente de amortecimento 17 Fonte autor Figura 17 Respostas de sistemas de segunda ordem em função dos polos e do fator de amortecimento As características de desempenho podem ser apresentadas ao analisar a resposta transitória aquela que antecede o regime permanente como abaixo 18 Fonte FELICIO2010 Figura 18 Especificação de parâmetros para a resposta do sistema de segunda ordem subamortecido à entrada degrau O tempo onde ocorre o valor de pico qotp pode ser encontrado ao se analisar o máximo da função Este valor máximo pode ser encontrado quando a taxa de variação instantânea de qo no tempo resulta nula Ogata2010 nos apresenta que a Tempo de atraso td se trata do tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final pela primeira vez b Tempo de subida tr é o tempo requerido para que a resposta passe de 10 a 90 ou de 5 a 95 ou de 0 a 100 do valor final Para sistemas de segunda ordem subamortecidos o tempo de subida de 0 a 100 é o normalmente utilizado Para os sistemas superamortecidos o tempo de subida de 10 a 90 é o mais comumente utilizado c Tempo de pico tp é o tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal 19 d Máximo sobressinal em porcentagem Mp é o valor máximo de pico da curva de resposta medido a partir da unidade Se o valor final da resposta em regime permanente diferir da unidade então é comum utilizar porcentagem máxima de sobressinal ou máximo sobressinal 𝑴𝒑 definida por 𝑴𝒑 𝒄𝒕𝒑 𝒄 𝒄 𝒙𝟏𝟎𝟎 e Tempo de acomodação ts é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa geralmente de 2 ou 5 em torno do valor final aí permanecendo indefinidamente O tempo de acomodação está relacionado à maior constante de tempo do sistema de controle Podese determinar qual porcentagem deve ser utilizada no critério de erro a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão Existem algumas fórmulas para os parâmetros definidos para o sistema de segunda ordem O tempo de subida tr é dado por 𝒕𝒓 𝟏 𝝎𝒅 𝒕𝒈𝟏 𝝎𝒅 𝝈 O tempo de pico tp corresponde ao primeiro pico do sobressinal assim 𝒕𝒑 𝝅 𝝎𝒅 Uma vez conhecido o tempo de pico o sobressinal Mp ocorrerá no tempo de pico então fácil entender que 𝑴𝒑 𝒆 𝜻 𝟏𝜻𝟐 𝝅 ou 𝑴𝒑 𝒆 𝝈 𝝎𝒅𝝅 𝟏𝟎𝟎 20 O tempo de acomodação ts irá ser definido considerando a tolerância que geralmente é entre 𝟓 e 𝟐 Segundo Ogata 2002 para 2 o valor de ts será de quatro vezes a constante de tempo e para 5 será de três vezes a constante de tempo Iremos trabalhar com a variação de 𝟐 Logo 𝒕𝒔 𝟒𝑻 𝟒 𝜻𝝎𝒏 𝟒 𝝈 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟐 Exemplo Determine o tipo de resposta do sistema dado a seguir 𝑮𝒔 𝟗 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 Polos raízes de 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝟖𝟐𝟏 Por ter raízes complexas o sistema será subamortecido Verificando o valor do fator de amortecimento 𝟐𝛚𝐧𝛇 𝟐 𝛚𝐧 𝟐 𝟗 Então 𝟐𝛇𝟗 𝟐 𝛇 𝟎 𝟑𝟑𝟒 𝟏 O que confirma que o sistema é subamortecido O gráfico da resposta ao degrau está apresentado na figura 19 21 Fonte autor Figura 19 Raízes complexas apresentam um sistema subamortecido Sistemas de terceira ordem em diante têm respostas ao degrau dadas por combinações de respostas de sistemas de primeira e segunda ordem Estabilidade quanto ao aspecto de estabilidade existem duas definições a estabilidade absoluta que diz que um sistema é estável se todos os seus polos estiverem do lado esquerdo estrito não inclui o eixo imaginário do plano s Em outras palavras os polos devem ter parte real negativa Já a estabilidade relativa diz respeito a quanto um sistema pode ser estável ou seja podemos tomar uma planta propor um controlador e definir seus ganhos polos e zeros para obter uma resposta mais rápida não oscilatória e com outras especificações que são mais adequadas para a planta em questão Nessa situação ser mais rápido significa ser mais estável que o sistema sem controle ou com ganhos definidos de forma inadequada Exemplo de avaliação de estabilidade o sistema dado pela função de transferência abaixo será estável Justifique 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟒𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 22 Solução para verificar se será estável devemos determinar os polos Lembrando que o polo é o valor de s que anula o denominador de Gs e portanto faz Gs tender ao infinito teremos o primeiro polo como raiz da equação 𝒔 𝟒 𝟎 𝒔 𝟒 ou 𝒑𝟏 𝟒 Os demais polos serão raízes de 𝟏𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 Então 𝒔𝟐𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟒𝒋 𝟐 Finalmente 𝒔𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 𝒐𝒖 𝒑𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 O sistema será estável pois todos os polos têm parte real negativa Assim estão à esquerda do eixo imaginário conforme representado no plano s da figura 110 Fonte autor Figura 110 Plano s com a representação dos polos da função de transferência dada Plano s jω estável instável 2j σ 1 4 2j Marginalmente estável polos no eixo imaginário 23 12 A malha fechada Como foi apresentado no diagrama de blocos do sistema de controle de nível realimentado ou malha fechada normalmente temos uma interconexão entre os blocos em um ramo que relaciona a entrada e saída de forma direta que é o ramo que inclui controlador atuador e planta e o ramo de realimentação e possui o bloco do sensor Podemos determinar as funções de transferência de cada elemento e analisar o diagrama de blocos para realizarmos o projeto do controlador que como foi citado possui funções de transferência conhecidas bastando definir o melhor controlador e seus ganhos a fim de obter uma resposta adequada para o sistema em malha fechada Normalmente empregamse algumas ferramentas de projeto como os métodos lugar das raízes Nyquist diagramas de Bode dentre outros O estudo da resposta temporal do sistema em malha fechada é fundamental para podermos aplicar os métodos e determinar o controlador adequado Assim avaliar a estabilidade a resposta do sistema em malha fechada frente às especificações de desempenho desejado é de suma importância Neste estudo trabalhase com as funções de transferência de malha aberta e de malha fechada que são obtidas a partir da simplificação do diagrama de blocos do sistema de controle realimentado As notações aqui adotadas para os nomes das variáveis de entrada e saída dos blocos bem como as funções de transferência dos blocos obedecem a um critério para facilitar o entendimento rápido da variável e do bloco sendo adotado em alguns dos livros da área de controle Utilizemos então um exemplo de um sistema de controle para apresentar o diagrama de blocos com as funções de transferência de cada bloco Tratase do sistema de controle de controle de temperatura de um forno 24 Fonte autor Figura 111 Sistema físico de controle de temperatura de um forno Este sistema possui um sensor de temperatura o termopar que mede temperatura gerando um sinal de tensão da ordem de milivolts que será amplificado e transformado em um sinal de corrente PV variável de processo para ser enviado para o controlador Este elemento é normalmente associado ao bloco do sensor No controlador o sinal do sensor é comparado com o valor desejado SP Set Point gerando um erro que entra em um algoritmo de controle para gerar uma saída do controlador Este sinal de saída é enviado para um circuito de potência que gera um nível de corrente e tensão adequados para acionar as resistências elétricas O circuito de potência e as resistências podem ser agrupados em um único bloco Cada componente isto é o atuador o sensor e a planta podem ser modeladas segundo as variáveis de entrada e saída consideradas para obter seus blocos de função de transferência O controlador já tem um bloco conhecido uma vez que é definido previamente Assim ao final teremos a representação através do diagrama de blocos da figura 112 Forno elétrico Resistência Termopar Circuito de condicionamento de sinal Corrente 4 a 20mA Temperatura Circuito de Potência Controlador Valor de referência Corrente 4 a 20mA Potência Térmica 25 Fonte autor Figura 112 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura do forno Por questão de compreensão do diagrama vamos definir as funções de transferência verificando quem é cada variável e fornecer a variável do exemplo ao invés de representar no diagrama de blocos Temos as seguintes funções de transferência Hs FT do sensor no exemplo é a função de transferência do termopar associado ao circuito de condicionamento de sinal GAs FT do atuador no exemplo é a função de transferência da resistência associada ao circuito de potência GPs FT da planta no exemplo é a função de transferência do forno elétrico GCs FT do controlador no exemplo pode ser a função de transferência de um PID ou de um compensador de avanço etc Se a implementação for feita com um amplificador operacional devemos associar este componente com um conversor de tensão para corrente As variáveis indicas são descritas por rt valor de referência ou valor desejado ou set point SP No exemplo é um sinal de tensão por exemplo se o controlador está utilizando um amplificador operacional Controlador GCs Rs Ms Cs GAs Atuador Planta GPs Us Es et rt mt ut ct Bs bt Hs Sensor 26 et é o sinal de erro e é dado por et rt bt No exemplo é um sinal de tensão bt é o sinal de saída do sensor No exemplo é a corrente de saída do circuito de condicionamento de sinal mt é o sinal de saída do controlador variável manipulada No exemplo é a corrente de saída do controlador ut é o sinal de saída do atuador também é uma variável manipulada No exemplo é a potência térmica produzida pela resistência ct é o sinal de saída da planta que representa a variável controlada No exemplo é a temperatura do forno Assim as funções de transferência para cada bloco devem ser obtidas a partir da relação entre as variáveis de entrada e saída de cada bloco Para efeito do projeto do controlador definemse as seguintes funções de transferência Função de transferência do ramo direto 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝑪𝒔 𝑬𝒔 𝑮𝑪𝒔𝑮𝑨𝒔𝑮𝑷𝒔 É obtida a partir dos blocos dados no ramo direto que estão em cascata conforme representado na figura 113 equivale a Fonte autor Figura 113 Representação do ramo direto para definição da GRDs GCs Ms Cs GAs GPs Us Es GRDs Cs Es 27 Função de transferência de malha aberta é obtida pela relação entre Rs e Bs supondo que se abre a malha fechada na entrada negativa do detector de erro A figura 114 representa esta situação onde se trabalha com dois blocos em cascata o GRDs e o Hs A função de transferência de malha aberta será dada por 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑩𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 equivale a Fonte autor Figura 114 Diagrama de blocos da função de transferência de malha aberta Observando o diagrama de blocos a esquerda da figura 114 verificase que os dois blocos estão em cascata e que RsEs uma vez que o sinal Bs foi desacoplado do detector de erro Assim a função de transferência de malha aberta Gmas será dada por 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑩𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 Função de transferência de malha fechada ela é a relação entre a entrada Rs e a saída do sistema Cs para o sistema em malha fechada representado na figura 115 Ponto onde a malha é aberta GRDs Rs Cs Es ct Bs Hs Gmas Bs Rs 28 equivale a Fonte autor Figura 115 Diagrama de blocos da função de transferência de malha fechada Através de cálculos chegase no seguinte valor para a função de transferência de malha fechada Gmfs 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 Como GRDsHs Gmas a função de transferência de malha fechada é também dada por 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Em Ogata 2010 é feita a dedução da fórmula Gmfs A partir do seu cálculo podemos verificar a resposta temporal do sistema e os parâmetros da resposta transitória apresentados anteriormente tipo de resposta sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação Quando se fala em malha fechada podemos também analisar o erro Es e seu valor quando o sistema entra em regime isto é o Erro de Regime Permanente Este valor é também um parâmetro de desempenho mas para a parte em regime permanente da resposta utilizado no projeto de controladores e deve estar relacionado apenas com a variável de entrada Rs Assim o erro de regime será igual a Gmfs Cs Rs Rs Es GRDs Cs ct Bs Hs 29 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑬𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝑹𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 O valor do erro é calculado a partir da entrada Rs e da função de transferência de malha aberta A dedução desta fórmula pode ser encontrada em Ogata 2010 Existe ainda uma simplificação no cálculo deste erro para as entradas degrau rampa e parábola Finalmente outro estudo importante é sobre a estabilidade em malha fechada Como foi citado podemos determinar a estabilidade verificando a posição dos polos no eixo imaginário No entanto por vezes o sistema pode ter um denominador de terceira ordem em diante ou ainda podemos ter um sistema em malha fechada onde queremos determinar para que valores de um ganho do sistema em malha fechada ele será estável Nesta situação utilizamos o critério de Routh que será apresentado a seguir Critério de Routh para estabilidade O critério não informa quais são os valores dos polos mas fornece a informação se o sistema é estável ou não não informa se é instável ou marginalmente estável Dado um sistema qualquer representado por uma FT Gs onde GskNsDs Igualando Ds0 denominamos a equação obtida como equação característica que genericamente é dada por 𝒂𝟎𝒔𝒏 𝒂𝟏𝒔𝒏𝟏 𝒂𝟐𝒔𝒏𝟐 𝒂𝒏𝟏𝒔𝟏 𝒂𝒏 𝟎 Este sistema será ESTÁVEL se e somente se obedecer às seguintes condições Condição 1 Necessária Todos os coeficientes a0 a1 a2 an devem ter o mesmo sinal e serem nãonulos Condição 2 Suficiente Todos os termos da série de Routh devem ter o mesmo sinal e serem nãonulos A série de Routh 2ª coluna da tabela a seguir é obtida a partir do seguinte algoritmo 30 Tabela 11 Algoritmo utilizado para calcular a série de Routh Fonte autor Exemplos de aplicação do critério podem ser encontrados em Ogata 2010 13 Métodos de análise de sistemas dinâmicos no tempo contínuo Os métodos de análise permitem definir o comportamento da dinâmica e da estabilidade de sistemas em malha fechada permitindo projetar o controlador do sistema Veremos aqui somente o método do lugar das raízes Existem outras ferramentas de projeto como o diagrama de Nyquist a carta de Nichols e os diagramas de bode Método do Lugar das Raízes O método do lugar das raízes é uma representação gráfica no plano s dos polos de malha fechada de um sistema de controle realimentado quando se varia um ganho específico do sistema Normalmente utilizase o ganho do controlador como se verificará adiante No caso do controlador PID utilizase o ganho proporcional Este ganho normalmente é positivo isto é 𝒌 𝟎 com 𝒌 ℝ 2ª coluna 31 Como foi determinado anteriormente a função de transferência de malha fechada é dada por 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica isto é 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟎 Podemos dizer que o Lugar das Raízes é um conjunto de curvas do plano s onde estão localizados os polos de malha fechada A condição para um polo pertencer ao lugar das raízes implica que 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏 Como sabemos essa função de transferência é um número complexo assim podemos avaliála na frequência e definir duas condições para que essa função seja igual a 1 Condição do módulo 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏 Condição da fase ou ângulo 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟖𝟎𝒐 𝒓 𝟑𝟔𝟎𝒐 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒓 𝟎 𝟏 𝟐 Lembrando que 𝑮𝒎𝒂𝒔 pode ser escrito na forma de produto de zeros dividido por produtos de polos incluindo o ganho isto é 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝒌 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔 𝒛𝒎 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 Aplicando as duas condições determinase o ganho k da malha aberta inclui o ganho do sistema e do controlador e a relação de fase ou ângulo entre os ângulos dos binômios dos polos e dos zeros do sistema em malha aberta isto é 32 𝒌 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔 𝒛𝒎 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 Para os ângulos vale 𝒔 𝒛𝟏 𝒔 𝒛𝟐 𝒔 𝒛𝒎 𝒔 𝒑𝟏 𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 𝟏𝟖𝟎𝒐 𝒓 𝟑𝟔𝟎𝒐 Esta condição de fase permite avaliar se um polo de malha fechada pertence ou não ao lugar das raízes Para entender qual é o ângulo veja a figura 116 dada a seguir Fonte autor Figura 116 Representação do vetor de um polo com o seu ângulo ou fase indicado Existem duas formas de se determinar o lugar das raízes LGR a por cálculo analítico utilizando o denominador de Gmfs ou b através de esboço baseado em regras básicas a Cálculo analítico do LGR Exemplo 1 Determinar o LGR do sistema dado na figura 117 p jω σ s θ 33 Fonte autor Figura 117 Representação de um sistema em malha fechada Observação Note que BsCs pois Hs1 realimentação unitária Solução para determinar o lugar das raízes devemos calcular o valor do denominador de Gmfs e impor que ele vale zero 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Calculando GRDs 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝑮𝑪𝒔𝑮𝑨𝒔𝑮𝑷𝒔 𝒌𝒑𝟓 𝟐 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 Podemos agora calcular Gmfs 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 O valor dos polos é obtido através da equação característica da malha fechada isto é 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝟎 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒐𝒖 𝒑 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 Tratase de uma equação de primeiro grau portanto teremos apenas um único polo que irá variar em função da variação do ganho do controlador em questão Kp Rs Es Ms Cs 5 Bs Us 34 Fornecendo alguns valores para kP chegamos no valor dos polos de malha fechada p apresentados na tabela 12 dada seguir Tabela 12 valores dos polos de malha fechada em função do ganho do controlador Fonte autor Note que os polos de malha fechada devem ser definidos para KP0 e variando de forma contínua Na tabela foi colocado o valor de KP 0 a fim de chamar a atenção pois quando este valor for nulo estaremos calculando o polo de malha aberta Calculando Gmas 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏 Polo de Gmas 𝒔 𝟒 𝟎 𝒑 𝟒 Zero de Gmas não existe um numerador em s logo não existe zero finito No entanto existe um zero no infinito O polo de Gmas é 4 Isso não ocorre por acaso pois dizemos que o LGR começa nos polos de malha aberta e termina nos zeros de malha fechada quando o ganho tende ao infinito o polo de malha fechada será Plotandose no plano s os valores dos polos de malha fechada com a variação contínua do ganho KP obtemos o LGR apresentado na figura 118 Fonte autor Figura 118 Lugar das raízes do sistema do exemplo KP 0 01 05 1 10 100 p 4 5 9 14 104 1004 4 σ jω 35 O Lugar das Raízes neste caso é uma reta que sai do 4 e conforme aumentase o ganho temos valores negativos cada vez maiores para os polos Assim o LGR representa a evolução dos polos de malha fechada com o aumento do ganho do controlador Ao aumentar o ganho o polo fica cada vez mais negativo o que implica em respostas ao degrau com menor tempo de acomodação portanto o sistema em malha fechada fica mais estável Observação é possível determinar o lugar das raízes utilizando o octave com os comandos dados a seguir a Entrar com a função de transferência de malha aberta sem o ganho KP isto é 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟒 Comandos n 10 d 1 4 gmatfnd b Determinação do lugar das raízes Comando rlocusgma Ao fornecer o último comando obtemos o LGR representado na figura 119 36 Fonte autor Figura 119 Lugar das raízes do sistema do exemplo 1 obtido no Octave Exemplo 2 Determine o LGR do sistema dado na figura 120 Note que a função de transferência do sensor Hs não foi representada o que implica que Hs1 e foi dada apenas a função do ramo direto GRDs Fonte autor Figura 120 Diagrama de blocos do sistema em malha fechada do exemplo 2 Solução podemos fazer o mesmo procedimento Calcular Gmfs e determinar os seus polos em função do ganho K 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 37 Simplificando iremos obter para a função de transferência de malha fechada o seguinte valor 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝑲𝒔 𝑲 Equação característica 𝒔𝟐 𝑲𝒔 𝑲 𝟎 Determinação dos polos de malha fechada 𝒑𝟏𝟐 𝑲 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟐 𝟏 𝑲 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟐 Temos então dois polos de malha fechada que variam com o valor de K Dependendo do valor de K podemos ter polos de malha fechada complexos e reais Observando a raiz podemos concluir que dependendo do radicando da raiz podemos ter polos reais e distintos polos reais e iguais e polos complexos Se 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 os polos de malha fechada serão reais e iguais Isto ocorre para K0 e K4 pois são os valores que anulam o radicando da raiz 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 𝑲 𝑲 𝟒 𝟎 E os polos serão iguais a 𝑲 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝑲 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟐 Note que K deve ser maior que zero Para K0 estamos calculando na verdade os polos de malha aberta Se 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 os polos serão complexos Isso ocorre para 𝟎 𝑲 𝟒 Se 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 os polos serão reais e distintos Como K deve sempre ser maior que zero isto ocorre se 𝑲 𝟒 Com isto podemos determinar a tabela 13 que apresenta os valores dos polos de malha fechada em função do ganho K e daí traçar o lugar das raízes 38 Tabela 13 valores dos dois polos de malha fechada em função do ganho do controlador K 0 05 1 2 3 4 5 10 100 p1 0 025066j 05086j 11j 15086j 2 138 112 101 p2 0 025066j 05086j 11j 15086j 2 361 887 9898 Fonte Autor Com esta tabela é possível observar que inicialmente os dois polos de malha fechada são complexos com parte real negativa Isso ocorre até K4 quando ficam reais negativos e iguais a 2 Posteriormente observase que um dos polos tende a 1 e o outro para Estes valores representam os zeros de malha aberta assim dizemos que os polos de malha fechada iniciam a partir dos polos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta que é uma das regras para se fazer o esboço do LGR 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 Polos de Gmas 𝒔𝟐 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟎 Note que temos dois polos n2 Zero de Gmas 𝒔 𝟏 𝟎 𝒛𝟏 𝟏 Temos um único zero finito m1 O número de zeros no infinito vale 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 𝟐 𝟏 𝟏 Assim existe um zero no infinito 𝒛𝟐 Obviamente para se ter um gráfico mais preciso do lugar das raízes quando os polos são complexos é necessário fornecer mais pontos No entanto podemos utilizar o Octave e obter o LGR da figura 21 conforme os comandos n 1 1 d 1 0 0 gmatfnd 39 rlocusgma Fonte autor Figura 121 Lugar das raízes do sistema do exemplo 2 obtido no Octave O método do lugar das raízes pode ser obtido através de regras básicas obtendose um esboço Isto pode ser interessante quando se deseja avaliar rapidamente o comportamento do sistema sem utilizar um programa como o Octave Estas regras estão apresentadas em Castrucci 2018 e podem ser simplificadas para gerar quatro regras que facilitam a elaboração do lugar das raízes Estas regras estão apresentadas a seguir Regras Básicas para elaboração do LGR 1 O lugar das raízes começa nos polos de malha aberta e termina nos zeros de malha aberta O número de polos de malha aberta será igual a n e o número de zeros finitos será igual a m Podem existir zeros no infinito 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos 2 O número de ramos corresponde ao número de polos de malha aberta Nramosn 40 3 Ramos no eixo real existem ramos ou parte de ramos no eixo real Os ramos no eixo real estão à esquerda de um número ímpar que representa a soma de polos e zeros de malha aberta contados da direita para a esquerda 4 Assíntotas são retas que saem do eixo real a partir do Centro das Assíntotas σC formando um ângulo com o eixo real βl Os ramos que vão para o infinito tendem ou estão apoioados nas assíntotas Fórmulas para cálculo das assíntotas No de assíntotas Nanm Centro das assíntotas σC 𝝈𝑪 𝒑𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝒛𝒋 𝒎 𝒋𝟏 𝒏 𝒎 Ângulo das Assíntotas com o eixo real 𝜷𝒍 𝟐𝒍 𝟏 𝒏 𝒎 𝟏𝟖𝟎𝒐 Onde l varia de 0zero a nm1 Observação estas regras são básicas e suficientes para determinar um esboço rápido do LGR Podemos utilizar uma regra que exige mais cálculos que trata dos pontos em que os ramos saem e retornam para o eixo real que são os pontos de partida e chagada sobre o eixo real Dado que 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲 𝑵𝒔 𝑫𝒔 com 𝑫𝒔 𝟎 Sabemos que temos um polo de malha fechada quando 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟎 𝟏 𝑲 𝑵𝒔 𝑫𝒔 𝟎 41 Com isto podemos determinar o valor de k 𝑲 𝑫𝒔 𝑵𝒔 Provase que os pontos de partida e chegada são calculados fazendo 𝒅𝑲 𝒅𝒔 𝟎 𝒅𝑲 𝒅𝒔 𝑫𝒔 𝑵𝒔 𝑫𝒔𝑵𝒔 𝑵𝒔𝟐 No último exemplo de cálculo analítico podemos determinar os pontos de saída e chegada já que 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Logo 𝒅𝑲 𝒅𝒔 𝟐𝒔 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟎 A derivada será zero se o numerador for nulo Assim 𝟐𝒔 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 𝟎 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟎 Isso ocorre se 𝒔 𝟐 𝒔 𝟎 Se ao substituir as raízes s e s no ganho K resultar um número real e positivo teremos essas raízes como pontos de chegada ou partida 𝑲 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝑲 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟎𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 Então o ponto de partida dos polos de malha fechada é em zero 0 e o ponto de chegada é em 2 Nestes valores é importante ressaltar que K é nulo no ponto de 42 partida o que implica que os polos são de malha aberta A partir daí teremos polos complexos de malha fechada até que K seja igual a 4 quando os polos de malha fechada passam a ser reais e negativos Conclusão Neste bloco foram apresentados os conceitos básicos da área de controle sobre a estratégia da realimentação de sistemas ou malha fechada que é muito utilizada na indústria A partir daí utilizandose das funções de transferência dos componentes de malha fechada podemos projetar o controlador para um sistema dinâmico qualquer Para tanto apresentamos o método do lugar das raízes e os parâmetros da resposta temporal Bibliografia Consultada OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO L C Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª Edição Editora RiMa São Carlos 2010 CASTRUCCI P L BITTAR A SALES R M Controle automático 2ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 43 2 PROJETO DE CONTROLADORES NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA VISÃO CLÁSSICA Caro aluno bemvindo ao bloco 2 Nesta unidade apresentamos os controladores mais utilizados na indústria os controladores PID proporcional integral e derivativo Em seguida faremos o projeto destes controladores utilizando ferramentas computacionais como o Matlab Por fim conheceremos métodos de sintonia e otimização 21 Controladores PID funcionamento e características Diversos controladores utilizados na indústria são na sua maioria controladores PID ou variações destes Os controladores como vimos até agora são utilizados com a estratégia em malha fechada que é composta basicamente pelo controlador atuador e planta no ramo direto e pelo sensor no ramo de realimentação Nesta estratégia de controle o controlador possui um detector de erro que compara o sinal de entrada variável de referência com o valor medido da variável controlada gerando o erro que é o sinal de entrada do controlador A saída do controlador é um sinal que é enviado para o atuador Plantas mais complexas podem exigir uma estratégia de controle também mais complexa existindo assim outras técnicas de controle Um exemplo clássico para entender como o controlador PID funciona é a condução de um veículo Quando conduzimos um veículo saímos da velocidade zero e pressionamos o pedal do acelerador para atingir a velocidade que desejamos na pista Por exemplo se a velocidade da pista for de 100 kmh vamos pressionar o pedal do acelerador até que eu veículo atinja a velocidade Veja que a velocidade é incrementada pelo ganho e isto ocorre segundo o controle visual do velocímetro Esta é a parte proporcional do controlador PID O que teremos então será um gráfico típico de uma função afim ou rampa A etapa onde aceleramos o carro de zero quilômetros a 100 km por hora é a parte do sistema de controle PID denominada proporcional apresentada pelo ganho 44 identificado como Kp Assim a equação proporcional para a saída do domínio do tempo é 𝒖𝒕 𝑲𝒑𝒆𝒕 Ao atingir a velocidade desejada de 100 km por hora controlamos esta velocidade por meio do acelerador Sendo assim teremos as características de integração do controlador PID com o ganho Ki determinado segundo abaixo 𝒖𝒕 𝑲𝒊 𝒆𝒕𝒅𝒕 Ao identificar aclives e declives iremos controlar o acelerador do veículo oferecendo a potência necessária para vencer os obstáculos aumentando ou reduzindo a velocidade de forma a manter o controle dentro do 100 km por hora Esta é a etapa derivativa do sistema PID 𝒖𝒕 𝑲𝒅 𝒅𝒆𝒕 𝒅𝒕 Por vezes iremos perceber que o veículo passa um pouco de 100kmh pois não controlamos a velocidade diretamente mas por meio de maior ou menor curso do acelerador que fornece mais ou menos potência ao motor culminando no controle da velocidade Esse valor que passa do valor pretendido como uma sobreelevação a que o sistema está sujeito é denominado sobressinal em inglês overshoot Desta forma o controlador PID pode ser representado por uma saída no domínio do tempo pela seguinte equação 𝒎𝒕 𝑲𝑷𝒆𝒕 𝑲𝒊 𝒆𝒕𝒅𝒕 𝑲𝒅 𝒅𝒆𝒕 𝒅𝒕 O controlador também pode ser dado em função dos ganhos Kp Ti e Td onde o primeiro é o ganho proporcional Ti é o tempo integrativo e Td é o tempo derivativo e a equação será dada por 45 𝒎𝒕 𝒌𝑷 𝒆𝒕 𝟏 𝑻𝒊 𝒆𝒕𝒅𝒕 𝑻𝒅 𝒅𝒆𝒕 𝒅𝒕 Note então a relação entre os ganhos Ki e Kd e os tempos Td e Ti 𝑲𝒊 𝒌𝑷 𝑻𝒊 e 𝑲𝒅 𝒌𝑷𝑻𝒅 Se aplicarmos a transformada de Laplace sobre a equação acima iremos obter a função de transferência do controlador PID Com os tempos integrativo e derivativo 𝑮𝑪𝒔 𝑴𝒔 𝑬𝒔 𝒌𝑷 𝟏 𝟏 𝑻𝒊𝒔 𝑻𝒅𝒔 𝒌𝑷 𝑻𝒅𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝑻𝒊 𝒔 Com os ganhos integrativo e derivativo 𝑮𝑪𝒔 𝑴𝒔 𝑬𝒔 𝒌𝑷 𝑲𝒊 𝒔 𝑲𝒅𝒔 Alguns livros trabalham com as ações integral e derivativa do erro utilizando os tempos Ti e Td e outros pelos respectivos ganhos não havendo uma vantagem clara entre uma representação e outra Podemos trabalhar com o controlador PID só com ações P PD e PI dependendo do que se deseja implementar Assim no domínio da frequência para o controlador proporcional e integral podemos representar segundo a função de transferência abaixo identificada 𝑮𝑷𝑰𝒔 𝑲𝑷 𝑲𝒊 𝒔 ou 𝑮𝑷𝑰𝒔 𝒌𝑷 𝟏 𝟏 𝑻𝒊𝒔 𝒌𝑷 𝐬 𝟏 𝑻𝒊 𝒔 No caso do controlador proporcional e derivativo a função de transferência terá as seguintes características 𝑮𝑷𝑫𝒔 𝑲𝑷 𝑲𝒅𝒔 ou 𝑮𝑷𝑫𝒔 𝒌𝑷𝟏 𝑻𝒅𝒔 46 Ou ainda o controlador proporcional integral e derivativo pode ser visto como uma Cascata do controlador proporcionalintegral com o proporcionalderivativo da seguinte forma 𝑮𝑷𝑫𝒔𝑮𝑷𝑰𝒔 𝑲𝑷 𝑲𝒅𝒔 𝑲𝑷 𝑲𝒊 𝒔 Para uma apresentação mais elegante da função de transferência podemos trabalhar a mesma da seguinte forma 𝑮𝑷𝑰𝑫𝒔 𝑲𝑷 𝑲𝒊 𝒔 𝑲𝒅𝒔 𝑲𝒅𝒔𝟐 𝑲𝑷𝒔 𝑲𝒊 𝒔 Assim Kp Ki e Kd são os ganhos das parcelas PID e definem as intensidades de cada ação de controle Note que o controlador possui um polo na origem do eixo imaginário e dois zeros dessa forma a equação do controlador PID também pode ser escrita da seguinte forma 𝑮𝑷𝑰𝑫𝒔 𝑲𝒄 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔 Finalmente existem algumas implementações da ação derivativa que associam um polo na posição p com o objetivo de filtrar ruídos que por acaso existam no sinal de erro Assim a função de transferência do controlador pode ser dada através da seguinte expressão 𝑮𝑷𝑰𝑫𝒔 𝑲𝑷 𝑲𝒊 𝒔 𝑲𝑫𝒔 𝒔 𝒑 Considerando a outra forma de representação da função de transferência do controlador teremos 𝑮𝑷𝑰𝑫𝒔 𝑲𝒄 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔𝒔 𝒑 47 22 Projeto de controladores através do lugar das raízes com a utilização de ferramentas computacionais No caso do controlador PID projetar controladores significa apresentar quais ações serão utilizadas e determinar os valores de Kp Kd e Ki que atendam às especificações de desempenho do sistema Projeto do controlador PID Podemos utilizar diversas técnicas de projeto por tentativa e erro cancelamento de polos e zeros verificando a partir das especificações de desempenho do sistema em malha fechada o posicionamento dos polos de malha fechada que atendem à estas especificações No exemplo a seguir utilizaremos a técnica de cancelamento de polos e zeros De início verificamos quais são os polos de malha aberta Em seguida determinamos a posição dos polos de malha fechada utilizando as especificações de desempenho A partir daí definemse os zeros e polos do controlador para que o lugar das raízes com o PID passe pelo polo de malha fechado desejado Finalmente determinamos o ganho do sistema em malha aberta garantindo que o polo desejado é do sistema em malha fechada com o controlador projetado Exemplo projetar um controlador para o sistema em malha fechada dado a seguir na figura 21 Fonte autor Figura 21 Diagrama de blocos do sistema em malha fechada do exemplo de projeto de controlador 𝟏 𝟎 𝟏𝒔 𝟏𝟎 𝟐𝒔 𝟏 Gcs Rs Es Ms Cs Bs 48 Considere as seguintes especificações de desempenho Tempo de acomodação menor ou igual à 08 segundos 𝒕𝒔 𝟎 𝟖 utilizando o critério de 5 Sobressinal percentual menor ou igual a 15 𝑴𝒑 𝟏𝟓 Solução Em um primeiro momento vamos impor o controlador mais simples que é o controlador proporcional e elabore seu Lugar das Raízes Para Gcs kp teremos uma função de malha aberta dada por 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝒌𝒑 𝟏 𝟎 𝟏𝒔 𝟏𝟎 𝟐𝒔 𝟏 𝒌𝒑 𝟏 𝟎 𝟏𝒔 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝒔 𝟓 Logo 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝒌𝒑 𝟓𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔 𝟓 O LGR pode ser elaborado no Octave através dos seguintes comandos n50 dconv1 101 5 gmatfnd rlocus gma Observação o comando conv é utilizado para fazer o produto dos dois binômios do denominador de Gmas isto é 𝒔 𝟏𝟎 𝐞 𝒔 𝟓 Obtemos então o seguinte lugar das raízes 49 Fonte autor Figura 22 Lugar das raízes do sistema em malha fechada considerando o controlador proporcional Vamos elaborar o projeto do controlador PID utilizando a função de transferência com os polos e zeros definida anteriormente 𝑮𝑷𝑰𝑫𝒔 𝑲𝒄 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔𝒔 𝒑 Os polos de malha fechada devem satisfazer as especificações de desempenho Para a especificação do tempo de acomodação com o critério de 5 temos que 𝒕𝒔 𝟑 𝝈 𝟎 𝟖 𝝈 𝟑 𝟎 𝟖 𝝈 𝟑 𝟕𝟓 O valor de 𝝈 representa a parte real dos polos complexos conjugados em módulo de malha fechada Lembre que 𝝈 𝜻𝝎𝒏 50 Podemos adotar qualquer valor maior ou igual a 375 Na situação limite vamos adotar 375 Com a especificação do sobressinal é possível determinar o valor da parte imaginária do polo de malha fechada pois 𝜻 𝒍𝒏𝑴𝒑 𝝅𝟐 𝐥𝐧𝟐 𝑴𝒑 Com o valor de 𝜻 é possível calcular a parte imaginária do polo de malha fechada utilizando o valor de 𝝈 adotado na condição dada para o tempo de acomodação O sobressinal deve ser menor ou igual a 15 Vamos adotar o valor de 15 valor limite Assim podemos calcular o valor de 𝜻 que resulta em 𝜻 𝒍𝒏𝟎 𝟏𝟓 𝝅𝟐 𝐥𝐧𝟐 𝟎 𝟏𝟓 𝟎 𝟓𝟏𝟔𝟗 Com isto podemos determinar 𝝎𝒏 impondo que 𝜻𝝎𝒏 𝝈 𝝎𝒏 𝝈 𝜻 𝟑 𝟕𝟓 𝟎 𝟓𝟏𝟔𝟗 𝟕 𝟐𝟓𝟒𝟖 𝒓𝒂𝒅𝒔 O valor da parte imaginária é igual a 𝝎𝒅 que é calculado por 𝝎𝒅 𝝎𝒏𝟏 𝜻𝟐 Logo 𝝎𝒅 𝟕 𝟐𝟓𝟒𝟖𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟔𝟗𝟐 𝟔 𝟐𝟏 𝒓𝒂𝒅𝒔 Os polos de malha fechada resultam em 𝒑𝟏𝟐 𝟑 𝟕𝟓 𝒋𝟔 𝟐𝟏 Com o controlador proporcional não é possível obter estes polos pois como pode ser observado na figura 22 o lugar das raízes não passa por este polo Para garantir que o sistema em malha fechada com o controlador PID proposto tenha estes polos de malha fechada devemos analisar o posicionamento dos polos e zeros de malha aberta de 51 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒄 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔𝒔 𝒑 𝟓𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔 𝟓 Temos então que definir os dois zeros z1 e z2 do controlador o polo p da parte derivativa e o ganho kc Para que o lugar das raízes com o controlador PID passe por estes polos de malha fechada basta cancelar os dois polos da malha aberta utilizando os dois zeros e verificar que teremos ainda dois polos um já definido na origem e outro em p A sua escolha deve ser feita lembrando que quando temos dois polos o lugar das raízes sempre tem a configuração dada pela figura 22 onde os polos de malha fechada quando complexos terão sempre a mesma parte real que deve ser igual a 375 Esta parte representa a metade do segmento entre os dois polos 0 e p Escolhendo o polo em 75 teremos que a parte real do polo atendida pois a metade do segmento será igual a 752 375 Assim utilizando 𝒛𝟏 𝟏𝟎 𝐞 𝒛𝟐 𝟓 teremos a seguinte função de malha aberta 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒄 𝒔 𝟏𝟎𝒔 𝟓 𝒔𝒔 𝒑 𝟓𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔 𝟓 Teremos um novo Gmas 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒄 𝟓𝟎 𝒔𝒔 𝒑 Com p75 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒄 𝟓𝟎 𝒔𝒔 𝟕 𝟓 Falta apenas determinar o valor do ganho Garantese até o momento que o LGR passa pelos polos Desejamos agora que o sistema em malha fechada tenha esses valores de polo Isso é obtido através da determinação do ganho do controlador Podemos calcular o ganho lembrando que os polos de malha fechada são as raízes da equação característica que é dada por 52 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟎 𝟏 𝑲𝒄 𝟓𝟎 𝒔𝒔 𝟕 𝟓 𝟎 𝑲𝒄 𝒔𝒔 𝟕 𝟓 𝟓𝟎 Utilizando um dos polos de malha fechada é possível determinar o valor do ganho que resulta em 𝑲𝒄 𝟑 𝟕𝟓 𝒋𝟔 𝟐𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝒋𝟔 𝟐𝟏 𝟕 𝟓 𝟓𝟎 𝟑 𝟕𝟓 𝒋𝟔 𝟐𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝒋𝟔 𝟐𝟏 𝟓𝟎 Então 𝑲𝒄 𝒋𝟔 𝟐𝟏𝟐 𝟑 𝟕𝟓𝟐 𝟓𝟎 𝒋𝟔 𝟐𝟏𝟐 𝟑 𝟕𝟓𝟐 𝟓𝟎 𝟑𝟖 𝟓𝟔 𝟏𝟒 𝟎𝟔 𝟓𝟎 Finalmente 𝑲𝒄 𝟏 𝟎𝟓𝟐𝟓 O controlador projetado será igual a 𝑮𝑪𝒔 𝟏 𝟎𝟓𝟐𝟓 𝒔 𝟏𝟎𝒔 𝟓 𝒔𝒔 𝟕 Para verificarmos o lugar das raízes e a resposta temporal do sistema em malha fechada podemos trabalhar com o Octave porém temos que calcular a função de transferência de malha fechada para verificar se as especificações de desempenho foram atingidas No entanto podemos utilizar o programa Matlab que possui uma ferramenta o sisotool ou o rltool que fornece os valores diretos utilizando os seguintes comandos 53 Com o último comando será aberta uma tela onde podemos selecionar o diagrama do lugar das raízes o mapa de polos e zeros da malha fechada para o controlador projetado e a resposta ao degrau da malha fechada Nas figuras 23 e 24 estão representados o mapa de polos e zeros do sistema em malha fechada e a resposta ao degrau de malha fechada 54 Fonte autor Figura 23 Mapa de polos e zeros da malha fechada com o controlador projetado Fonte autor Figura 24 Resposta ao degrau do sistema em malha fechada com o controlador projetado 55 Através da figura 23 observase que o sobressinal é da ordem de 15 e através da figura 24 que o tempo de acomodação é igual a 073s atendendose às especificações de desempenho É importante ressaltar que poderíamos adotar outros polos de malha fechada que garantissem valores menores de sobressinal e tempo de acomodação Devese tomar muito cuidado com a técnica de cancelamento de polos e zeros pois qualquer alteração na planta pode modificar as suas características e alterar o valor dos polos o que não garantiria o cancelamento implicando em um desempenho inadequado para o sistema em malha fechada 23 Outras técnicas de projeto de controladores sintonia prática de controladores e outros métodos com a utilização de otimização de parâmetros com experiências sobre estas técnicas Muitas soluções na indústria possuem como característica o uso controlador PID devido a sua simplicidade de funcionamento o que permite uma operação simplificada além da versatilidade de poder ser aplicado à uma série de situações Como vimos para a aplicação do PID são necessárias informações de três ganhos muito bem definidos a Kp o ganho proporcional b Kd o ganho derivativo ou Td c Ki o ganho integral ou Ti Já verificamos como projetar o controlador baseandose nos requisitos do projeto mas também devese atentar aos ajustes finos em busca dos valores aceitáveis destes três ganhos já apresentados Os processos onde se buscam os valores ótimos dos ganhos do PID são denominados sintonia de PID Uma abordagem simples e eficiente é a busca desta otimização por meio de tentativa e erro denominado sintonia manual do PID Neste método em uma análise a partir da resposta ao degrau por meio de simulação ou testes reais é possível decidir um valor para os ganhos Uma abordagem deste método consiste em considerar o ganho diferencial e integral nulos 56 Desta forma o ganho proporcional é incrementado lentamente até que o sistema oscile no limiar da estabilidade Então tornase a trabalhar com o ganho proporcional de forma a diminuir sua amplitude e encontrar o ponto conhecido como decaimento de um quarto da amplitude onde o valor de amplitude será de um quarto do valor máximo na oscilação Assim basta incrementar o ganho integral e diferencial para que se alcance a resposta ao degrau desejada É possível observar os efeitos do aumento do ganho integral e diferencial na tabela 21 dada a seguir Outro ponto importante é o valor de ultrapassagem percentual definido como o quanto a variável controlada no instante de pico ultrapassa o valor de estado estacionário ou valor final expresso como uma percentagem do valor de estado estacionário Tabela 21 Efeito do aumento dos ganhos do PID na resposta ao degrau Ganho Máxima Ultrapassagem percentual Tempo de acomodação Erro em Regime permanente Aumenta Kp Aumenta Impacto mínimo Diminui Aumenta Ki Aumenta Aumenta Nulo Aumenta Kd Diminui Diminui Nenhum impacto Fonte autor Métodos práticos de sintonia foram muito utilizados em processos industrias Os métodos de sintonia de ZieglerNichols trabalham a partir de informações da malha aberta e malha fechada sempre considerando a resposta a um degrau unitário A vantagem destes métodos por serem práticos é que não existe a necessidade de desenvolver modelos matemáticos e aplicar as ferramentas de projeto ou seja estarmos no chão de fábrica testando o sistema para propor um controlador 57 A desvantagem é que a sintonia não fornece a melhor solução Assim novos ajustes para refinar a resposta do sistema em malha fechada são sempre necessários Vejamos os dois métodos práticos Método da malha aberta de Ziegler Nichols Primeiro Método Neste método o sistema deve ter uma resposta ao degrau em malha aberta que se aproxima de um sistema dado por um atraso de tempo L associado a um sistema de primeira ordem com constante de tempo T isto é 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝒌 𝒆𝑳𝒔 𝒔𝑻 𝟏 Por se tratar de um processo prático devemos aplicar um degrau no sistema em malha aberta e observar a saída da malha aberta Se obtivermos a curva de resposta em forma de S conforme apresentado na figura 25 podemos a partir de L e T determinar os ganhos do PID da função de transferência dada por Fonte Ogata 2010 Figura 25 Resposta de malha aberta para uma entrada degrau de amplitude unitária 58 O atraso L e a constante de tempo T podem ser determinados traçando uma reta tangente ao ponto de inflexão da curva com formato de S e determinando as intersecções com a reta formada pelo valor do estado estacionário e o eixo dos tempos Com base nessas constantes o controlador PID e suas variações podem ser definidas pela tabela dada a seguir Tabela 22 Tipos de controladores e valor dos ganhos em função dos parâmetros L e T Fonte Ogata 2010 Método de malha fechada de Ziegler Nichols Segundo Método Neste método montase o sistema de controle e impõese somente um controlador proporcional retirando as ações derivativa e integrativa O controlador é colocado em modo automático e variase o ganho proporcional até que o sistema comece a oscilar de forma mantida com amplitude constante Anotase o ganho que será crítico Kcr e o período da oscilação que é designado como período crítico Pcr Com estes valores é possível determinar os ganhos do controlador a ser proposto utilizando a tabela dada a seguir 59 Tabela 23 Tipos de controladores e valor dos ganhos em função dos parâmetros Kcr e Pcr Fonte Ogata 2010 Este último método pode ser aplicado teoricamente utilizando o modelo da planta sensor e atuador juntos A partir daí aplicase o critério de Routh para determinar o kcr Este valor de ganho deve ser substituído na equação característica bem como o valor de s que deve ser dado por 𝒔 𝒋𝝎 com isto determinase 𝝎𝒄𝒓 e posteriormente o Pcr através de 𝑷𝒄𝒓 𝟐𝝅 𝝎𝒄𝒓 Sugerese a leitura dos exercícios encontrados em Ogata 2010 sobre os métodos de sintonia de ZieglerNichols Variações destes métodos podem ser encontradas na literatura da área de controle Projeto por tentativa e erro utilizando o Matlab Outra forma de projetar é por tentativa e erro utilizando a ferramenta sisotool ou rltool do Matlab Vejamos um exemplo a seguir Podese verificar os ajustes dos zeros e polos por meio da ferramenta do Matlab denominada Control System Toolbox Consideremos um sistema em malha fechada representado pela função de transferência abaixo 𝑮𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝒃𝒔 𝟐𝜻𝝎𝒏 60 Neste sistema considere também as seguintes constantes 𝒃 𝟏𝟎 𝜻 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝝎𝒏 𝟒 Uma forma de projetar o controlador PID é representar a transferência por meio do Matlab na linha de comando b10 l0707 w4 s tfs G1ssbs2lw G 1 s3 1566 s2 5656 s Continuoustime transfer function sisotool G Com isto o processo será apresentado e tratado pelo controlador 61 Fonte autor Selecione a aba Automated Tuning e o controlador PID Desmarque Design with first order derivative filter Na aba Analysis Plots selecione Plot 1 Step e a Caixa Plots 1 Selecione Show Analysis Plot 62 Fonte autor Selecione a aba Graphical Tuning e deixe somente a caixa Root Locus preparada Clique em Show Design Plot Fonte autor 63 Você deverá ver as seguintes janelas onde serão exibidos o gráfico do lugar das raízes e a resposta ao degrau unitário Fonte autor Vamos selecionar os seguintes requisitos o pico de amplitude será no máximo de 101 ou seja o sobressinal ou erro deverá ser de no máximo 02 e Ts deve ser menor que dois segundos Apenas ajustando os locais das raízes podese obter o resultado desejado 64 Fonte autor Fonte autor Então basta retornar à função de transferência ao terminal com File Export Export to Workspace 65 Fonte autor C 16545 s1438 s08713 s Continuoustime zeropolegain model Podese obter os valores de Kp Kd e Ki usando a sintaxe pid Conclusão Aprendemos neste bloco os conceitos de modelagem matemática dos controladores P PD e PID projetando o mesmo por diversas formas respeitando o lugar das raízes Também verificamos a importância dos valores de ganho do controlador proporcional do derivativo e do integral Por fim projetamos o controlador com ajustes dos lugares das raízes via Matlab e obtivemos os valores dos ganhos Kp Kd e Ki Vimos que é possível ajustar os ganhos do controlador através de métodos práticos Hoje em dia os controladores industrias possuem auto ajuste do ganho mas não é sempre que fornecem uma resposta otimizada 66 Bibliografia Consultada OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO L C Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª Edição Editora RiMa São Carlos 2010 67 3 PROJETO DE COMPENSADORES CONTROLADORES NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA VISÃO CLÁSSICA Olá aluno neste bloco iremos conhecer os compensadores no domínio da frequência traçaremos e interpretaremos os diagramas de Bode aprofundando a utilização desta importante ferramenta através do projeto de controladores compensadores de avanço atraso e atrasoavanço com base nas especificações de desempenho na frequência 31 Diagramas de Bode definições características e traçado dos diagramas Entre as décadas de 1930 e 1940 Nyquist Bode e Nichols desenvolveram métodos de resposta em frequência O diagrama de Bode é um sistema gráfico formado por um gráfico logarítimico que representa o ganho em decibéis sendo este o módulo de uma função de transferência e um gráfico formado pelo ângulo de fase ambos em relação à frequência O ganho sendo em decibéis será representado pela seguinte expressão 𝑮𝒋𝝎𝒅𝑩 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝑮𝒋𝝎 Os gráficos que compõe o diagrama de Bode serão apresentados em escala semilogarítmica possuindo a abscissa em escala logarítmica o ganho e o ângulo representados na forma linear Como a resposta em regime permanente pode ser apresentada por meio do módulo e ângulo de fase podemos apresentar isto em um gráfico Basicamente os gráficos que compõem o diagrama de Bode irão nos apresentar o que ocorre com o sistema quando ele sofre a incidência de um sinal com uma frequência Vejamos por exemplo um sistema constante de um polo real 𝑮𝒋𝝎 𝟏 𝒋𝝎 𝟏 A resposta terá a mesma frequência considerando 𝒋𝝎 mas terá uma amplitude e uma fase diferente Desta forma podemos concluir que a fase e a amplitude terão novos 68 valores Vejamos que para a análise de módulo deveremos considerar ora um valor de 𝝎 muito maior que um ora muito menor que um Para 𝝎 𝟏 𝑮𝒋𝝎𝒅𝑩 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝑮𝒋𝝎 𝑮𝒋𝝎𝒅𝑩 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝝎𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝝎𝟐 Veja que para 𝝎 𝟏 o ganho será de 20 dB Considerando 𝐥𝐨𝐠𝝎 como um valor x teremos a função de uma reta 𝑮𝒙𝒅𝑩 𝟐𝟎𝒙 Assim formase a assíntota de altas frequências apresentada na figura 41 Fonte autor Figura 31 Diagrama do módulo de um sistema de primeira ordem com a assíntota de altas frequências Para 𝝎 𝟏 𝑮𝒋𝝎𝒅𝑩 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝑮𝒋𝝎 𝑮𝒋𝝎𝒅𝑩 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝝎𝝃 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏 69 Veja em tão que para 𝝎 𝟏 teremos um ganho de 0dB Veja que considerando 𝐥𝐨𝐠𝝎 como um valor x teremos a função constante 𝑮𝟏𝒅𝑩 𝟎𝒅𝑩 Assim formase a assíntota de baixas frequências descrita na figura 42 Fonte autor Figura 32 Diagrama do módulo de um sistema de primeira ordem com a assíntota de baixas frequências Para desenvolver o gráfico de fases lembrese que esta função poderá ser reescrita da forma complexa considerando j𝝎 Para 𝝎 𝟏 𝑮𝝎 𝟏 𝟏 𝟏 𝜽 𝟎𝒐 ou 𝟎 𝒓𝒂𝒅 Para 𝝎 𝟏 𝑮𝝎 𝟏 𝟏 𝒋𝝎 𝜽 𝝅 𝟐 Para 𝝎 𝟏 𝑮𝟏 𝟏 𝒋𝟏 𝟏 𝜽 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝟏 𝝅 𝟒 70 Assim podemos concluir o seguinte gráfico de fases Fonte autor Figura 33 Diagrama da fase de um sistema de primeira ordem Para encontrar os diagramas de Bode podemos recorrer aos programas de tratamento matemático como o Octave Assim utilizando os comandos do programa iremos obter os diagramas de Bode apresentados a seguir 𝝎 𝟏 𝝎 𝟏 𝝎 𝟏 71 Fonte autor Figura 34 Diagramas de bode do sistema de primeira ordem a partir do Octave 32 Projeto dos compensadores de avanço atraso e avançoatraso O projeto de controladores na frequência é realizado com o Lugar das raízes ou com os diagramas de Bode Neste item iremos propor controladores que atuam de forma diferente do controlador PID Eles não acrescentam um polo na origem como faz a parte integral de um PI mas alteram o ângulo de fase do sistema para que consigamos melhorar as especificações de desempenho na frequência atingindo os requisitos propostos para o sistema Para a análise do sistema em malha fechada utilizamos uma técnica de projeto que considera os diagramas de Bode para a função de transferência de malha aberta conforme será demonstrado a seguir 72 Parâmetros de desempenho na frequência Inicialmente vamos definir como se analisa o diagrama de bode relacionando com a resposta temporal Isso fica evidente quanto trabalhamos com sistemas de primeira ordem Um bom exemplo de sistema físico que permite visualizar esta relação é um motor CC com imãs permanentes de qualidade Nesta situação a inércia do motor é quem dita o comportamento dinâmico do sistema Assim o motor pode ser aproximado por uma função de transferência de primeira ordem com o polo mecânico dominante Frequência de Corte e Faixa de Passagem Imagine que façamos o seguinte experimento introduzimos no motor um sinal de tensão senoidal e observamos a posição ao longo do tempo através de um potenciômetro de instrumentação multivoltas Variamos a frequência de entrada mantendo a sua amplitude e medimos a defasagem com relação a fase da entrada e a amplitude do sinal de saída Enquanto estivermos em baixas frequências 20Hz 50Hz 100Hz para obter ω basta multiplicar por 𝟐𝝅 o motor responde com uma amplitude sempre igual Porém quando aumentarmos o valor da frequência a amplitude começa a diminuir até o motor vibrar e depois parar Neste instante o motor não consegue variar pois a inércia não o permite Ou seja isso caracteriza a resposta de um sistema de primeira ordem com o polo mecânico devido principalmente à inércia Um valor interessante que consideramos o início da queda da amplitude é a frequência de corte ωc neste instante o módulo da relação de saída pela entrada começa a cair aproximadamente 20dBdécada A frequência de corte corresponde ao valor da frequência onde o módulo é igual a 3dB e a faixa de passagem são os valores da frequência entre 0 rads e a frequência de corte Na verdade a frequência de corte é o valor do polo do sistema de primeira ordem Assim quanto maior em modulo for o polo maior será a faixa de passagem e mais rápido o sistema entra em regime Exemplo Traçar os diagramas de Bode do sistema de primeira ordem 73 𝑮𝒔 𝟑𝟎 𝒔 𝟑𝟎 Solução basta calcular o módulo e a fase de 𝑮𝒋𝝎 𝑮𝒋𝝎 𝟑𝟎 𝒋𝝎 𝟑𝟎 Módulo em dB 𝑴𝒅𝑩 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝑮𝒋𝝎 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟑𝟎 𝝎𝟐 𝟑𝟎𝟐 Fase em graus 𝜽 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝝎 𝟑𝟎 Os diagramas podem ser montados fornecendo valores da frequência e calculando o módulo e a fase descritos A figura a seguir ilustra os diagramas obtidos Polo em 30 e conforme a figura a seguir frequência de corte será igual a 30 rads ou seja está relacionada a faixa de passagem com o polo do sistema e o fato que quanto maior for o polo mais rápido o sistema estabiliza Fonte autor Figura 35 Diagramas de Bode com a indicação da frequência de corte 74 Assim percebese que um sistema terá uma resposta rápida quanto maior for a frequência de corte ou a faixa de passagem FP valores entre 0 rads e a frequência de corte que está diretamente relacionada com a frequência de corte para sistemas dinâmicos de primeira ordem Outros parâmetros utilizados no projeto de controladores na frequência são as margens de estabilidade Margem de Fase e Margem de Ganho Margem de Ganho MG e Margem de Fase MF Estas medidas informam quanto um polo de malha fechada está longe do eixo imaginário região inicial onde o sistema deixa de ser estável O ideal é se distanciar desta situação quando os polos de um sistema estiverem no eixo imaginário provavelmente se existir Margem de Ganho e Margem de Fase serão nulos Assim quando se deseja afastar os polos de malha fechada do eixo imaginário é interessante termos margens de ganho e de fase positivas Vamos analisar um sistema em malha fechada a partir de sua função de transferência 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Polos de malha fechada 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟎 Analisando no eixo imaginário 𝒔 𝒋𝝎 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒋𝝎 𝟎 𝑮𝒎𝒂𝒋𝝎 𝟏 𝑴 𝟏 𝑴𝒅𝑩 𝟎 𝒇𝒂𝒔𝒆 𝟏𝟖𝟎𝒐 Assim quando o sistema em malha fechada for marginalmente estável implica em ele ter o módulo nulo quando a fase for 180o na função de transferência de malha aberta 75 Definição das margens de ganho e de fase Margem de ganho representa o valor do módulo na frequência onde o gráfico da fase cruza o 𝟏𝟖𝟎𝒐 Margem de fase representa a distância do gráfico da fase até 𝟏𝟖𝟎𝐨 depende do tipo de sistema na frequência onde o gráfico do módulo cruza o zero em dB O exemplo da figura a seguir apresenta valores de MG e MF de um sistema de terceira ordem dado por uma função de transferência igual a 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒔𝟑 𝟏𝟏𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 Fonte autor Figura 36 Diagramas de Bode com indicação da margem de fase e margem de ganho 76 O resultado indica que se fecharmos a malha com um controlador proporcional de ganho 1 o sistema terá uma resposta estável porque as margens de fase e de ganho são positivas Nem sempre temos margem de ganho pois sistemas de primeira e segunda ordens tem gráfico da fase que não cruza o 180o Mas basta nesta situação avaliarmos a margem de fase e se ao acrescentarmos o controlador a margem de ganho não fica negativa Note que ao colocar um compensador com um polo e zero ele poderá somar uma fase na frequência onde está a margem de fase e aumentar este parâmetro tornando o sistema mais estável Como vimos as margens de fase e de ganho são positivas pois todos os sistemas têm mais polos que zeros a ordem do denominador em geral é maior que a do numerador o que acarreta tal fato Quando se projeta um compensador esperase elevar as margens de fase e de ganho ou aumentar a faixa de passagem Valores que são considerados satisfatórios para estes parâmetros são 𝑴𝑮 𝟔𝒅𝑩 𝒆 𝑴𝑭 𝟑𝟎𝒐 Vamos examinar os controladores que são chamados de compensadores pois têm como ideia básica introduzir polos e zeros no sistema para que os diagramas de Bode do sistema sem o compensador possam ser somados com os diagramas de Bode do compensador no sentido de aumentar a faixa de passagem e as margens de ganho e de fase Compensadores de Avanço Atraso e Avanço e Atraso O compensador de avanço de fase Este compensador acrescenta um polo um zero e um ganho ao sistema em malha aberta O ganho tem como objetivo satisfazer a condição de erro de regime Já o polo e o zero são escolhidos de forma a ter uma resposta em frequência de um filtro passa alta com uma fase máxima que deve ser associada com a fase do sistema não compensado na posição onde se define a margem de fase com o objetivo de aumentála Por ter um 77 comportamento de filtro passa alta o compensador acaba aumentando a faixa de passagem Vejamos o comportamento deste controlador A função de transferência deste compensador é dada por 𝑮𝒄𝒔 𝒌𝒄 𝒔 𝟏 𝑻 𝒔 𝟏 𝜶𝑻 𝒌𝒄𝜶 𝑻𝒔 𝟏 𝜶𝑻𝒔 𝟏 𝒌 𝑻𝒔 𝟏 𝜶𝑻𝒔 𝟏 𝟎 𝟏 𝜶 𝟏 No projeto devemos determinar os valores dos parâmetros e 𝜶 𝑻 e do ganho 𝒌 do controlador Em função do polo ser maior que o zero em módulo os diagramas de Bode do compensador têm as características indicadas na figura a seguir É possível determinar o ponto de máximo onde está o máximo valor do ângulo de avanço de fase do controlador 𝝓𝒎 basta calcular a fase da função de transferência do controlador derivar e igualar a zero Com isto determinase 𝝎𝒎 e com este valor determinase 𝝓𝒎 e o módulo onde ocorre este valor Os valores obtidos são dados por 𝝎𝒎 𝟏 𝜶𝑻 𝝓𝒎 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝜶 𝟏 𝜶 e 𝑴 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝜶 78 Fonte autor Figura 37 Diagramas de Bode de um compensador de avanço Nota sobre o erro de regime a especificação do erro de regime para entrada degrau pode ser dada pela constante de erro estático Este tipo de representação tem como objetivo facilitar o cálculo do erro de regime estacionário ou em regime permanente Veja a tabela a seguir valores de erro de regime em função da entrada e do número de polos na origem que a função de transferência de malha aberta possui O número de polos na origem é denominado de tipo de Gmas Se Gmas possui um polo na origem dizemos que ele é do tipo 1 e assim por diante Se não possui nenhum polo na origem dizemos que Gmas é do tipo zero As entradas avaliadas são o degrau a rampa e a parábola Os valores de erro quando são diferentes de zero e finitos calculados com base nas constantes de posição de velocidade e de aceleração respectivamente e suas fórmulas são dadas por 𝝎𝒎 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝜶 𝝓𝒎 79 A seguir estão representados os erros de regime para cada uma das entradas e em função do tipo de Gmas Tabela 31 Tabela de erros de regime em função das entradas degrau rampa e parábola e do tipo de Gmas Fonte autor Os valores das constantes serão dados por Procedimento de Projeto 1 Determine o ganho de malha aberta inclui o ganho do controlador e do sistema a fim de satisfazer o erro de regime Com este valor determine a margem de fase MF e de ganho Se o sistema não compensado possuir uma margem de ganho MG 80 infinita ou indeterminada podese supor que o compensador não irá alterála e isto não deve influenciar no projeto 2 Determine o ângulo de fase 𝝓 que deve ser adicionado pelo controlador para que se tenha a margem de fase especificada 3 Para determinar o ângulo de avanço de fase do controlador 𝝓𝒎 acrescente a 𝝓 de 5o valor inicial a 20o O objetivo aqui é compensar eventuais posicionamento próximos da frequência onde está definida a margem de fase 4 Com o valor de 𝝓𝒎 calcule o parâmetro 𝜶 utilizando a fórmula 𝜶 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒎 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒎 5 Com o valor de 𝜶 e o gráfico do módulo do sistema não compensado determine a frequência 𝝎𝒎 onde 𝑴 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝜶 6 Com os valores de 𝜶 e 𝝎𝒎 determine o parâmetro 𝑻 do controlador através de 𝝎𝒎 𝟏 𝜶𝑻 𝑻 𝟏 𝝎𝒎𝜶 7 Monte o diagrama do sistema compensado e verifique se a margem de fase e a margem de ganho estão adequadas Caso seja necessário volte ao cálculo de 𝝓𝒎e altere o seu valor Sugerese partir do 5o aumentar para 10o caso seja necessário e repita os demais passos 8 Com o compensador definido verifique a resposta ao degrau para o sistema não compensado e com o sistema compensado Verifique a melhora na estabilidade através do parâmetro do tempo de acomodação No item seguinte é feito o projeto do compensador de atraso 81 O compensador de atraso Este compensador acrescenta um polo um zero e um ganho ao sistema em malha aberta O ganho tem como objetivo satisfazer a condição de erro de regime Já o polo e o zero são escolhidos de forma a ter uma resposta em frequência de um filtro passa baixa Seu objetivo é causar atenuação da resposta em frequência do sistema compensado em altas frequências e deve ser associada com a fase do sistema não compensado na posição onde se define a margem de fase com o objetivo de aumentá la ainda assim Por ter um comportamento de filtro passa baixa o compensador acaba reduzindo a faixa de passagem Vejamos o comportamento deste controlador A função de transferência deste compensador é dada por 𝑮𝒄𝒔 𝒌𝒄 𝒔 𝟏 𝑻 𝒔 𝟏 𝜷𝑻 𝒌𝒄𝜷 𝑻𝒔 𝟏 𝜷𝑻𝒔 𝟏 𝒌 𝑻𝒔 𝟏 𝜷𝑻𝒔 𝟏 Normalmente 𝟏 𝜷 𝟏𝟎 No projeto devemos determinar os valores dos parâmetros e 𝜷 𝑻 e do ganho 𝒌 do controlador Em função do polo ser menor que o zero em módulo os diagramas de Bode do compensador têm as características indicadas na figura a seguir 82 Fonte autor Figura 38 Diagramas de Bode de um compensador de atraso O objetivo é atenuar o sinal em altas frequências para conseguir satisfazer a margem de fase e ao mesmo tempo reduzir as altas frequências no sinal de saída o que traz uma redução da oscilação do sistema O ponto de mínimo da fase do compensador não está associado a posição da nova margem de fase ou seja o polo e o zero do controlador devem ser escolhidos para que não acarrete em redução da margem de fase Ao reduzir o módulo do sistema compensado em relação ao não compensado este controlador aumenta a Margem de Fase e leva para o valor especificado Além disso este compensador acarreta Ganho elevado em baixas frequências melhorando o desempenho em regime permanente Atua atenuando o sinal do módulo e não utilizando a característica de atraso de fase Isto é conseguido forçando o polo e o zero do sistema para que sejam 83 escolhidos para que o ponto de mínimo da fase não influencie a fase do sistema compensado na região da margem de fase do sistema compensado Como reduz a faixa de passagem o sistema em malha fechada tende a ficar um pouco mais lento Para que isto não prejudique a questão de estabilidade o parâmetro T do controlador deve ser suficientemente maior do que a maior constante de tempo do sistema Um procedimento também pode ser estabelecido no projeto deste controlador 1 Utilizando a informação do erro de regime determine o ganho k do controlador 2 Com o ganho k elabore os diagramas de Bode do sistema não compensado Meça as margens de fase e de ganho 3 Com a margem de fase especificada mais um valor adicional de fase de 5o a 15o determine o ângulo de fase 𝝓 onde 𝝓 𝟏𝟖𝟎𝒐 𝑴𝑭𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂 𝟓𝒐 4 Com o valor de 𝝓 e do diagrama de fase do sistema não compensado determinar a frequência 𝝎𝝓 5 Com essa frequência determinar o parâmetro 𝜷 fazendo 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝜷 𝑮𝒋𝝎𝝓 em dB 6 Com essa frequência determinar o valor de 𝑻 𝑻 𝟓𝒐 𝝎𝝓 7 Monte o diagrama de Bode do sistema compensado e verifique se a margem de fase e a margem de ganho estão adequadas Caso seja necessário volte à etapa do cálculo da fase item 3 e aumente a fase adicional para 10o e repita os demais cálculos 84 8 Com o compensador definido verifique a resposta ao degrau para o sistema não compensado e com o sistema compensado verificando as melhoras na resposta do sistema O compensador de avançoatraso Este compensador utiliza as duas características dos dois controladores e seu projeto deve ser feito combinando as duas técnicas e procedimentos elaborados para cada um dos projetos A função de transferência do controlador associa as duas funções de transferência 𝑮𝒄𝒔 𝒌𝒄 𝒔 𝟏 𝑻𝟏 𝒔 𝟏 𝜶𝑻𝟏 𝒔 𝟏 𝑻𝟐 𝒔 𝟏 𝜷𝑻𝟐 Para facilitar o projeto podese utilizar 𝜶 𝟏 𝜷 O controlador fica igual a 𝑮𝒄𝒔 𝒌𝒄 𝒔 𝟏 𝑻𝟏 𝒔 𝜷 𝑻𝟏 𝒔 𝟏 𝑻𝟐 𝒔 𝟏 𝜷𝑻𝟐 Maiores detalhes sobre o projeto deste controlador podem ser encontrados em Ogata 2010 85 33 Exemplo de projeto de compensadores Exemplo Projeto de compensador de avanço Projete um compensador para o sistema dado a seguir de modo que a constante de erro estático de velocidade Kv seja 20 s1 a margem de fase seja pelo menos de 50 e a margem de ganho seja pelo menos de 10dB Fonte autor Figura 39 Diagramas de blocos de um projeto de um compensador de avanço Solução seguindo o procedimento dado 1 Determinação do ganho do controlador através da análise do erro de regime Na verdade o ganho do controlador é associado ao da planta e determinase o ganho k dado em 𝑮𝒄𝒔 𝒌 𝑻𝒔 𝟏 𝜶𝑻𝒔 𝟏 Este ganho associado ao sistema gera a função de transferência de malha aberta do sistema não compensado sem o polo e o zero No caso deste sistema será igual a 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟒𝑲 𝒔𝒔 𝟐 Note que a função de malha aberta do sistema não compensado possui um polo na origem isto é em s0 sendo assim do tipo 1 Portanto segundo a tabela de erros o 86 erro de regime para entrada degrau é diferente de zero e calculado a partir da constante de velocidade 𝑲𝒗 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑮𝒎𝒂𝒔 Assim 𝑲𝒗 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝟒𝒌 𝒔𝒔 𝟐 𝟒𝒌 𝟎 𝟐 𝟐𝒌 Como 𝑲𝒗 𝟐𝟎 𝟐𝒌 𝟐𝟎 𝒌 𝟏𝟎 Agora devemos verificar através dos diagramas de Bode apresentado na figura a seguir as margens de ganho e de fase do sistema não compensado isto é 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟒𝟎 𝒔𝒔 𝟐 Fonte autor Figura 310 Diagramas de Bode do sistema não compensado 87 2 Determine o ângulo de fase 𝜙 que deve ser adicionado pelo controlador para que se tenha a margem de fase especificada 𝝓𝑴𝑭𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂 𝑴𝑭 𝝓 𝟓𝟎 𝟏𝟖 𝟑𝟐 3 Para determinar o ângulo de avanço de fase do controlador 𝜙𝑚 acrescente a 𝜙 de 5o valor inicial a 20o 𝝓𝒎 𝝓 𝟓𝒐 𝟑𝟐 𝟓 𝟑𝟕𝒐 4 Com o valor de 𝜙𝑚 calcule o parâmetro 𝛼 utilizando a fórmula 𝜶 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒎 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒎 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒎 𝜶 𝟎 𝟐𝟒𝟖𝟔 5 Com o valor de α e o gráfico do módulo do sistema não compensado determine a frequência ωm onde 𝑴 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝜶 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟖𝟔 𝟔 𝟎𝟓𝒅𝑩 Fonte autor Figura 311 Diagramas de Bode do sistema não compensado para determinação da frequência ωm ωm884 88 Com o valor de α e o gráfico do módulo do sistema não compensado determine a frequência ωm onde 𝐍𝐨 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐨 𝝎𝒎 𝟖 𝟖𝟒𝒓𝒂𝒅𝒔 6 Com os valores de α e ωm determine o parâmetro T do controlador através de 𝝎𝒎 𝟏 𝜶𝑻 𝑻 𝟏 𝝎𝒎𝜶 𝑻 𝟏 𝟖 𝟖𝟒𝟎 𝟐𝟒𝟖𝟔 Logo 𝑻 𝟎 𝟐𝟐𝟔𝟗 7 Monte o diagrama do sistema compensado e verifique se a margem de fase e a margem de ganho estão adequadas Caso seja necessário volte ao cálculo de 𝝓𝒎e altere o seu valor Sugerese partir de 5o e aumentar para 10o caso seja necessário e repita os demais passos Função de transferência do controlador sem o ganho pois o mesmo foi incorporado à função de transferência de malha aberta 𝑮𝒄𝒔 𝒌 𝑻𝒔 𝟏 𝜶𝑻𝒔 𝟏 𝑮𝒄𝒔 𝟎 𝟐𝟐𝟔𝟗𝒔 𝟏 𝟎 𝟐𝟐𝟔𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟖𝟔𝒔 𝟏 𝑮𝒄𝒔 𝟎 𝟐𝟐𝟔𝟗𝒔 𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝟔𝟒𝒔 𝟏 Sistema compensado 𝑮𝑺𝑪𝒔 𝟎 𝟐𝟐𝟔𝟗𝒔 𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝟔𝟒𝒔 𝟏 𝟒𝟎 𝒔𝒔 𝟐 𝟗 𝟎𝟕𝟔𝒔 𝟒𝟎 𝟎 𝟎𝟓𝟔𝟒𝒔𝟑 𝟏 𝟏𝟏𝟑𝒔𝟐 𝟐𝒔 89 Fonte autor Figura 312 Diagramas de Bode do sistema compensado com a nova margem de fase Embora não tenha atingido exatamente os 50o podemos utilizar este controlador ou somar 10o ao valor do ângulo para obter um novo 𝝓𝒎 e voltar ao passo 4 A opção foi a de manter esta solução Note que a faixa de passagem também aumentou 8 Com o compensador definido verifique a resposta ao degrau para o sistema não compensado e com o sistema compensado Verifique também a melhora na estabilidade através do parâmetro do tempo de acomodação As respostas ao degrau do sistema em malha fechada não compensado mas com o ganho do controlador e do sistema compensado foram feitos a partir do cálculo da função de transferência de malha fechada sendo dadas por 90 Fonte autor Figura 313 Resposta ao degrau unitário da malha fechada do sistema não compensado e do sistema compensado Como se verifica a resposta do sistema compensado tem um tempo de acomodação muito menor que o do sistema não compensado demonstrando a qualidade do controlador Também houve uma redução significativa do erro de regime Conclusão Aprendemos neste bloco o que são os diagramas de Bode para que servem e como são aplicados no projeto de compensadores de avanço atraso e avançoatraso Também foram apresentados os parâmetros de desempenho que são utilizados no projeto na frequência 91 Bibliografia Consultada OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO L C Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª Edição Editora RiMa São Carlos 2010 92 4 INTRODUÇÃO AO CONTROLE EM TEMPO DISCRETO Caro aluno até o momento nós vimos os sistemas de controle baseados em sinais de entrada e saída analógicos ou seja constantes no tempo Neste bloco daremos início aos sistemas de controle em tempo discreto onde não há mais um sinal contínuo no tempo mas um sinal discreto onde num tempo muito específico podemos analisar os resultados Veremos também como chegar a este resultado utilizando a ferramenta Simulink do Matlab além de conhecer os métodos de solução como a transformada Z e análise de estabilidade 41 Definições e características dos sistemas em tempo discreto visão geral componentes do sistema e seu funcionamento AD amostragem quantização e digitalização DA Formas de abordagem para sistemas em tempo discreto O que define o sinal como contínuo tempo ou discreto basicamente é a forma como se comporta no tempo Quando se fala no sinal contínuo no tempo podemos perceber que durante o tempo pode ser definido com uma noção infinitesimal Para melhor ilustração vejamos o gráfico abaixo Fonte autor Figura 41 Saída de um sistema contínuo no tempo 93 Este gráfico é a saída de um sistema contínuo no tempo sujeito ao sinal degrau Veja que é possível uma análise em qualquer instante de tempo do sinal resultado Um sistema em tempo discreto terá uma saída também em tempo discreto onde o tempo é muito bem definido e irá respeitar um gráfico com as seguintes características Fonte autor Figura 42 Saída de um sistema discreto no tempo O sistema discreto aquele que atua sobre um sinal discreto é um estudo relativamente recente Este estudo vem se desenvolvendo cada vez mais graças ao rápido desenvolvimento dos sistemas digitais onde a eletrônica digital é extremamente atuante e traz simplicidades e uma grande versatilidade de usos trazendo diversas vantagens sobre os sistemas analógicos Podem ser replicados com maior facilidade São menos vulneráveis às condições ambientais Possuem maior imunidade á ruídos Podem ser sistemas programáveis com maior facilidade O sistema digital permite que seja programável em nível de softwares e não de hardware podendo ser rapidamente integrados às necessidades da vida moderna 94 Basicamente estes sistemas possuem três características marcantes o amplificador o atraso e a junção somadora Isto permite que seja criado um sistema de controle computadorizado segundo o esquema abaixo ilustrado Fonte autor Figura 43 Esquema de um sistema digital computadorizado Neste caso existe a conversão AD e DA do sinal O sistema digital poderá estar recebendo e apresentando na saída sinais analógicos baseados nos sinais digitais Fonte autor Figura 44 Conversão de um sinal contínuo no tempo em um sinal discreto 95 Os sistemas de controle em tempo discreto possuem as seguintes características Total liberdade e grande exatidão para ajustar os parâmetros Fácil alteração da lei de controle Menor sensibilidade ao ruído Menor variação devido ao envelhecimento de componentes e variações ambientais Possibilidade de utilizar as leis de controle mais complexas inclusive com otimização em tempo real Como vimos podemos nos basear em um sistema computadorizado para estudar os sistemas de controle em tempo discreto As malhas em tempo discreto são implementadas por microcontroladores ou microprocessadores onde os microcontroladores são mais utilizados em sistemas de atuação e sensoriamento de forma denominada e embarcados Estes sistemas possuem a velocidade de processamento onde são representados em Hz Por isto consideramos a entrada do clock que nada mais é do que a referência de contagem em Hz para o sistema em tempo discreto Este clock representa quantas operações podem ser efetuadas pelo sistema durante um segundo e como sabemos a frequência é o inverso do período 𝒇𝑯𝒛 𝟏 𝑻𝒔 Assim um computador que possua um clock de 2MHz por exemplo irá ter um período de 500 microssegundos ou seja haverá um ciclo à cada 500 microssegundos O microprocessador então precisa de um tempo fixo para resolver cada operação Desta forma a saída 𝒚𝒕 não terá valores em todo período mas em momentos distintos de clock Por consequência isto também ocorrerá com o sinal de erro et e o sinal ut também respeitará esta premissa Assim o controlador irá respeitar não um sinal 𝒖𝒕 e tampouco um erro 𝒆𝒕 mas sim um erro segundo o seguinte sinal de erro e entrada 96 𝒆𝒌 𝒆𝒌𝑻 𝒌 ℕ 𝒖𝒌 𝒖𝒌𝑻 𝒌 ℕ Assim dizemos que 𝒆𝒌 e 𝒖𝒌 são sinais discretos pois não estão definidos para todo valor de k mas apenas para valores naturais Veja que isto diverge dos sinais contínuos que são definidos pelo conjunto dos números reais Desta forma para diferenciar um sinal em tempo discreto de um sinal em tempo contínuo a boa prática recomenda o uso de parênteses para o tempo contínuo e colchetes para o tempo discreto Voltando ao sistema de controle em tempo discreto podemos utilizar a seguinte representação em diagrama de blocos de uma possível malha fechada apresentada na figura 45 AD et Computador DA Sensor Interface Interface ekT mkT Planta Freqüência de amostragem 1T Fonte autor Figura 45 Representação do diagrama de blocos de uma malha de controle fechada Na figura observase a existência do conversor AD que transforma um sinal analógico do erro em um sinal discreto Neste caso o detector de erro é um dispositivo analógico implementado por exemplo com amplificadores operacionais Mas o conversor AD pode ser aplicado no sinal da variável de processo sinal de saída do sensor quando este for analógico e existe também a possibilidade de o sinal do sensor ser digital Nestas duas situações o detector de erro é implementado em um programa ou rotina no nosso computador que gera o sinal de erro e o coloca em uma equação do controlador chamada de equação de diferenças Podemos dizer o seguinte 97 Um programa de computador gera interrupções a cada instante de amostragem para realizar a leitura do sinal do sensor Se o sinal for analógico sinal definido em cada instante de tempo é convertido em DIGITAL pelo conversor AD Nesta mesma interrupção um comando do programa escreve no conversor DA o valor da saída do controlador que foi calculado no intervalo anterior intervalo entre duas amostragens Assim existe um processo cíclico Em uma interrupção do computador que ocorre em cada instante de amostragem é feita a leitura do sinal do sensor com conversor DA ou sinal já digitalizado Com o valor do sinal do sensor o programa faz o cálculo do erro e da saída que será colocada no conversor DA no próximo instante de amostragem Este processo se repete enquanto o programa estiver rodando Vejamos o que ocorre nos conversores e no computador Conversor AD O conversor AD transforma o sinal analógico em digital executando os seguintes processos amostragem do sinal quantização do sinal e digitalização A amostragem do sinal é realizada por um circuito que mantém no instante de amostragem Ts ou Ta ou simplesmente T o sinal da variável a ser convertida fixa durante alguns microssegundos com o objetivo do circuito gerar o valor discreto que será quantizado e digitalizado Um modelo do amostrador é representado na figura 46 Nela vemos uma chave normalmente aberta que ficará fechada por microssegundos nos instantes de amostragem e que irá gerar o sinal discreto Como isso ocorre ao longo do tempo a variável de saída será uma sequência de valores discretos 98 Fonte autor Figura 46 Representação de um amostrador segundo a interpretação de chave O sinal ft pode ser uma rampa e depois supondo que o amostrador trabalha com muitos níveis de quantização será transformado em um sinal discreto ft ou simplesmente fKT conforme ilustrado na figura 46 para um intervalo de amostragem de 005s Teremos a seguinte sequência de valores 𝒇𝒌𝑻 𝒇𝒌 𝟎 𝟎 𝟓 𝟏 𝟎 𝟏 𝟓 O sinal é definido em intervalo de tempo T intervalo ou tempo de amostragem fixo como vimos no caso 005s Posteriormente os valores são classificados em níveis de acordo com o número de bits que o conversor trabalha Assim se trabalharmos com 8 bits teremos 256 níveis do nível 0 ao nível 255 Como vemos temos um número de palavras digitais finitas para representar o sinal de tensão que depende do número de bits Para ilustrar tal fato se trabalhássemos com 2 bits apenas para ler tensões a serem convertidas de 0 a 10 volts o exemplo de sinal anterior teria apenas 4 níveis 0V 33V 66V e 99V Os sinais de 0V 05V10V e 15V seriam todos representados no mesmo nível de quantização e com a mesma palavra digital isto é nível 0 e palavra digital 00 T 𝒇𝒕 𝟏𝟎𝒕 𝒄𝒐𝒎 𝒕 ℝ Gráfico do sinal contínuo ft t s 𝒇𝒌𝑻 𝟏𝟎𝑲𝑻 𝒄𝒐𝒎 𝒕 ℝ Gráfico do sinal discreto fkt T005 e k1 2 3 15 10 05 0T 1T 2T 3T kT s 99 Assim é importante o conversor possuir no mínimo 8 bits Atualmente trabalhase com 10 ou 12 bits Podemos determinar o nível e a palavra digital a ser amostrado através da fórmula 𝑽 𝑽𝟎 𝚫𝒒 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 Onde 𝑽 é a tensão a ser convertida 𝑽𝟎 é a tensão mínima do conversor AD 𝚫𝒒 é o intervalo de quantização e 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 é o nível de quantização expresso em algarismos decimais e que será truncado ou arredondado de acordo com o AD utilizado por ser um número inteiro O nível convertido em binário corresponderá a palavra digital do conversor O valor do intervalo de quantização corresponde a 𝚫𝒒 𝚫𝐕 𝟐𝒏 𝟏 𝑽𝒎𝒂𝒙 𝑽𝒎𝒊𝒏 𝟐𝒏 𝟏 Onde 𝒏 corresponde ao número de bits do conversor AD e 𝚫𝐕 o intervalo de tensão que o conversor trabalha Por exemplo um conversor unipolar de 0 a 10V terá um intervalo de tensão de 10V Já um conversor bipolar de 5V a 5V também terá um intervalo de tensão de 10V com o valor mínimo negativo em 5V Exemplo o Arduíno possui conversor AD que trabalha com 10 bits convertendo sinais de 0 a 5volts Se o sinal de tensão ft t fosse convertido com um tempo de amostragem de 01 segundos qual seria o valor de tensão no décimo instante de amostragem Qual seria o nível de quantização e a palavra digital correspondente a este nível se o conversor é unipolar e trunca o valor do nível Solução o amostrador toma o sinal contínuo e leva para o tempo discreto ou seja 𝒕 𝒕𝒌 𝒌𝑻 O décimo valor amostrado será dado para k9 começa em k0 Assim teremos 𝒇𝒕 𝒕 𝒇𝒌𝑻 𝒌𝑻 Para k9 e T01s temos que 𝒇𝟗𝑻 𝟗 𝟎 𝟏 𝟎 𝟗𝑽 100 O valor do nível será igual a 𝑽 𝟎 𝚫𝒒 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 Com 𝚫𝒒 igual a 𝚫𝒒 𝟓 𝟎 𝟐𝟏𝟎 𝟏 𝟓 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟏 𝟓 𝟏𝟎𝟐𝟑 Logo 𝟎 𝟗 𝟎 𝟓 𝟏𝟎𝟐𝟑 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝟏𝟎𝟐𝟑 𝟎 𝟗 𝟓 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝟏𝟖𝟒 𝟏𝟒 Finalmente 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝟏𝟖𝟒 Para descobrir o valor binário basta fazer divisões sucessivas por dois tomando o resto do fim das divisões para o início Veja como no exemplo determinamos a palavra digital Fonte Autor Note que foi acrescentado dois zeros a esquerda para indicar que a palavra tem 10 bits sendo igual a 00101110002 101 Conversor DA Este conversor transforma uma palavra digital em um nível de tensão fazendo exatamente o processo inverso do AD Por exemplo digamos que a saída do controlador mkT ou mk no instante 0T é igual a 1023 em binário e estamos trabalhando com o DA de 10 bits A conversão que ocorre neste instante fornecerá uma tensão de 5volts Este valor será mantido até o próximo instante de amostragem ou seja 1T quando ocorre uma nova escrita no conversor Este valor é mantido constante por um circuito o RETENTOR DE ORDEM ZERO ROZ No inglês ZOH Zero Order Hold Fonte autor Figura 47 Representação de um sinal que é reconstruído em um DA Note que o sinal é denominado como variação em escada uma vez que ele pode mudar de valor somente nos instantes de amostragens Essa variação nem é percebida quando o instante de amostragem é reduzido e o tempo de avaliação do sinal é grande Tempo de amostragem Ta ou T Mas qual é o tempo de amostragem ideal O tempo de amostragem mínimo pode ser dado pela teoria de processamento digitais de sinais utilizando o teorema de Shannon que representa uma situação limite onde se consegue depois de amostrar um sinal 102 reconstruílo sem perder a informação sobre ele O resultado mais satisfatório é obtido de forma prática observando a resposta temporal do sistema e utilizando algum parâmetro da resposta como o tempo de acomodação ou a constante de tempo para sistemas de primeira ordem Por exemplo se o a constante de tempo de um sistema é de 01 segundos podemos tomar o tempo de amostragem como sendo 120 de 01seg ou seja Ta 0005s Teremos vinte pontos representando o sinal no intervalo de tempo correspondente à constante de tempo Se observarmos que os cálculos são inúmeros o que não é verdade normalmente e o tempo de processamento é maior que o intervalo entre amostragens dizemos que o controlador não roda em tempo real A solução é reduzir o número de pontos amostrados tomando por exemplo Ta001s ou 10ms O tempo de amostragem ou melhor a frequência de amostragem pode também estar associada à frequência de corte do sistema em malha aberta Finalmente ressaltamos que é possível fazer uma analogia direta entre a metodologia de análise de sistemas em tempo contínuo sistemas analógicos e sistemas em tempo discreto sistemas digitais no sentido que a partir das equações do sistema aplicando uma transformação torna possível obter a função de transferência e a partir daí determinar a dinâmica do sistema em funções dos polos e zeros verificar a estabilidade etc Fonte autor Figura 48 Analogia entre as duas formas de implementação do controle 103 42 Transformada Z definição cálculo propriedades equações de diferenças função de transferência pólos e zeros Os sistemas em tempo contínuo podem ser representados pelas equações diferenciais ordinárias com a forma característica 𝒅𝒏𝒚𝒕 𝒅𝒕𝒏 𝒂𝟏 𝒅𝒏𝟏𝒚𝒕 𝒅𝒕𝒏𝟏 𝒂𝟐 𝒅𝒏𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝒏𝟐 𝒂𝒏𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒂𝒏𝒚𝒕 𝒃𝟎 𝒅𝒎𝒖𝒕 𝒅𝒕𝒎 𝒃𝟏 𝒅𝒎𝟏𝒖𝒕 𝒅𝒕𝒎𝟏 𝒃𝟐 𝒅𝒎𝟐𝒖𝒕 𝒅𝒕𝒎𝟐 𝒃𝒎𝟏 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒏𝒖𝒕 Considerando 𝒏 𝒎 e 𝒂𝟏 𝒂𝒏 e 𝒃𝟎 𝒃𝒎 constantes O sistema é dinâmico porque as derivadas conferem uma característica de memória onde o valor de 𝒚𝒕 em determinado instante não depende do valor de 𝒖𝒕 neste mesmo instante Mas como os sistemas de controle em tempo discreto dependem de um 𝒚𝒌 e um 𝒖𝒌 utilizamos equações de diferenças quais sejam 𝒚𝒌 𝒏 𝒂𝟏𝒚𝒌 𝒏 𝟏 𝒂𝟐𝒚𝒌 𝒏 𝟐 𝒂𝒏𝟏𝒚𝒌 𝒏 𝟏 𝒂𝒏𝒚𝒌 𝒃𝟎𝒚𝒌 𝒎 𝒃𝟏𝒚𝒌 𝒎 𝟏 𝒃𝟐𝒚𝒌 𝒎 𝟐 𝒃𝒎𝟏𝒚𝒌 𝒎 𝟏 𝒃𝒎𝒚𝒌 Também considerando 𝒏 𝒎 e 𝒂𝟏 𝒂𝒏 e 𝒃𝟎 𝒃𝒎 constantes o sistema é dinâmico porque as derivadas conferem uma característica de memória onde o valor de 𝒚𝒌 em determinado instante não depende do valor de 𝒖𝒌 neste mesmo instante Exemplo Seja um sistema LIT abaixo com condição inicial y00 a tempo discreto 𝒚𝒌 𝟏 𝟏 𝟐 𝒚𝒌 𝟐𝒖𝒌 Submetido à uma entrada unitária em tempo discreto representada pela função abaixo 104 𝒖𝒌 𝟎 𝒌 𝟎 𝟏 𝒌 𝟎 Determine a saída do sistema Resposta Esta solução da equação de diferenças não determina uma fórmula fechada mas a sequência de valores Para solucionar considere k0 na equação a diferenças 𝒚𝟏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝒚𝟏 𝟐 Se temos o valor de 𝒚𝟏 podese obter 𝒚𝟐 usando k1 𝒚𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝒚𝟐 𝟑 Prosseguindo para k3 4 5 𝒚𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝒚𝟑 𝟕 𝟐 𝒚𝟒 𝟏 𝟐 𝟕 𝟐 𝟐 𝟏 𝒚𝟒 𝟏𝟓 𝟒 𝒚𝟓 𝟏 𝟐 𝟏𝟓 𝟒 𝟐 𝟏 𝒚𝟓 𝟑𝟏 𝟖 Isto resultará no gráfico abaixo Fonte autor Figura 49 Saída para yk da equação a diferenças 105 O valor em regime permanente se aproxima cada vez mais de 4 Desta forma é possível encontrar uma função para yk apenas considerando oi domínio dos números naturais diferentes de zero Considerando que para 𝒚𝟏 k0 𝒚𝟏 𝟏 𝟐 𝒚𝟎 𝟐𝒖𝟎 𝒚𝟏 𝟏 𝟐 𝒚𝟎 𝟐𝒖𝟎 Para 𝒌 𝟐 𝒚𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒚𝟎 𝟐𝒖𝟎 𝟐𝒖𝟏 𝒚𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝒚𝟎 𝒖𝟎 𝟐𝒖𝟏 Para 𝒌 𝟑 𝒚𝟑 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 𝟐𝒖𝟐 𝒚𝟑 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 𝟐𝒖𝟐 𝒚𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝒚𝟎 𝒖𝟎 𝟐𝒖𝟏 𝟐𝒖𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝒚𝟎 𝟏 𝟐 𝒖𝟎 𝒖𝟏 𝟐𝒖𝟐 Para 𝒌 𝟒 𝒚𝟒 𝟏 𝟐 𝒚𝟑 𝟐𝒖𝟑 𝒚𝟒 𝟏 𝟐 𝒚𝟑 𝟐𝒖𝟑 𝒚𝟒 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝒚𝟎 𝟏 𝟐 𝒖𝟎 𝒖𝟏 𝟐𝒖𝟐 𝟐𝒖𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝒚𝟎 𝟏 𝟐 𝒖𝟎 𝒖𝟏 𝟐𝒖𝟐 Assim podemos concluir o seguinte O termo 𝒚𝟎 sempre aparece multiplicado por 𝟏 𝟐 𝒌 Os sinais de entrada até o instante 𝒌 𝟏 e com potência de 𝟏 𝟐 variando de 𝒌 𝟏 𝒂 𝟎 Assim a fórmula geral para yk é 106 𝒚𝒌 𝟏 𝟐 𝒌 𝒚𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 𝒌𝒊𝟏 𝒖𝒊 𝒌 𝟎 𝒌𝟏 𝒊𝟎 Assim para y5 k5 y00 uk1 para k0 𝒚𝟓 𝟏 𝟐 𝟓 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒𝒊 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟖 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝒊𝟎 𝟑𝟏 𝟖 A Transformada Z Para representar um sinal discreto podemos utilizar a função de Euler para a transformada de Fourier no tempo discreto 𝒚𝒆𝒋𝝎 𝒚𝒌𝒆𝒋𝝎𝒌 𝒌 Pela identidade de Euler podemos encontrar uma função senocosseno que remete a 𝒚𝒆𝒋𝝎 Trazendo isto para xk temos o seguinte 𝒚𝒆𝒋𝝎𝒌 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒌 𝒋𝒔𝒆𝒏𝒐𝝎𝒌 Isso resulta no número complexo com módulo unitário segundo a identidade trigonométrica 𝒚𝒆𝒋𝝎𝒌 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝎𝒌 𝒔𝒆𝒏𝒐𝟐𝝎𝒌 𝟏 107 Então como já se pode presumir ou com 𝒚𝒆𝒋𝝎𝒌 𝟏 teremos a representação do número complexo como um círculo de raio unitário com ângulo ϕ Fonte autor Figura 410 Círculo unitário no plano dos números imaginários Se 𝐱𝐞𝐣𝛚𝐤 𝟏 na forma polar poderemos escrever como 𝟏𝛗 e se multiplicarmos um valor real ao número do módulo podemos identificar qualquer valor de um número real Por isso 𝐱𝐞𝐣𝛚 é um somatório de 𝐲𝐤𝐞𝐣𝛚𝐤 pela igualdade chegamos à transformada Z 𝐞𝐣𝛚 𝐳 A transformada Z do sinal yk é usualmente representada pela letra Z manuscrita aplicada ao sinal de forma similar a letra L manuscrita para a transformada de Laplace De forma similar à notação usada para a transformada de Laplace alternativamente denotaremos a transformada Z do sinal yk pelo sinal Yz 108 Sua definição matemática é Yz Zyk que é igual ao somatório de k igual a menos infinito até infinito de yk vezes z elevado a menos k 𝒀𝒛 𝓩𝒚𝒌 𝒚𝒌𝒛𝒌 𝒌 Vamos usar um exemplo da determinação da transformada z de sinal a partir da definição Determinemos a transformada Z do sinal yk obtido amostrandose 𝒚𝒌 𝟏 𝟒 𝒌 𝒌 𝟎 𝟏 𝟗 𝒌 𝒌 𝟎 Para aplicar a definição da transformada z podese separar os somatórios 𝒀𝒛 𝒚𝒌𝒛𝒌 𝒌 𝟏 𝟗 𝒌 𝒛𝒌 𝟏 𝒌 𝟏 𝟒 𝒌 𝒛𝒌 𝒌𝟎 Para uma solução podemos introduzir a variável l em kl1 𝒀𝒛 𝟏 𝟗 𝒍𝟏 𝒛𝒍𝟏 𝒍𝟎 𝟏 𝟒 𝒌 𝒛𝒌 𝒌𝟎 Agora considerando 𝒔𝟏 𝟏 𝟗 𝒍𝟏 𝒛𝒍𝟏 𝒍𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟒 𝒌 𝒛𝒌 𝒌𝟎 Veja que temos duas progressões geométricas quais sejam s1 e s2 109 s1 é uma PG com razão 𝟏 𝟗 𝒛 que converge se 𝒛 𝟗 e s2 é uma PG com razão 𝟏 𝟒 𝒛𝟏 que converge se 𝒛 𝟏 𝟒 Então temos os seguintes valores 𝒀𝒛 𝟏 𝟗 𝒛 𝟏 𝟏 𝟗 𝒛 𝟏 𝟒 𝟎 𝒛𝟎 𝟏 𝟏 𝟒 𝒛𝟏 𝒀𝒛 𝒛 𝟗 𝒛 𝟒𝒛 𝟒𝒛 𝟏 𝒀𝒛 𝒛 𝟗 𝒛 𝟒𝒛 𝟒𝒛 𝟏 𝟏 𝟒 𝒛 𝟗 Da mesma forma que utilizamos a transformada de Fourier para o tempo discreto na intenção de desenvolver a transformada de z podemos fazer ou mesmo para a transformada inversa de z Vamos pegar como exemplo a transformada inversa de Fourier no tempo discreto e considerar z 𝒚𝒌 𝟏 𝟐𝝅 𝒚𝒆𝒋𝝎 𝒆𝒋𝝎𝒌𝒅𝝎 𝝅 𝝅 𝒚𝒌 𝟏 𝟐𝝅 𝒚𝒛 𝒛𝒌 𝒅𝝎 𝝅 𝝅 𝒅𝒛 𝒅𝝎 𝒋𝒓𝒆𝒋𝝎 𝒋𝒛 𝒅𝝎 𝒅𝒛 𝒋𝒛 Nos limites de 𝝅 e 𝝅 temos os mesmos para 𝝎 Contudo temos que definir os limites para z Relembrando o círculo unitário os limites de integração é o r que multiplica o raio unitário Assim podemos considerar que 110 𝒚𝒌 𝟏 𝟐𝝅𝒋 𝒚𝒛𝒛𝒏𝟏 𝒅𝒛 𝒓 Convergência e polos e zeros Para melhor compreender convergência partiremos da função de transferência abaixo elencada 𝑮𝒌 𝟐𝒌 𝒚𝒌 𝟐𝒌𝒖𝒌 Fonte autor Figura 411 Gráfico em tempo discreto de yk Questionase se esta função possui uma transformada z e se ela converge para um valor real Veja que se tratase de uma função exponencial onde o valor de 𝟐𝒌 pode ter um 𝒌 Assim dizse que a função não converge porque ela não converge à um número real mas sim ao infinito exceto no caso abaixo Para que a função não tenda ao infinito é necessário que a transformada z tenha um valor real Assim tomemos a transformada z da função proposta 𝒀𝒛 𝟐𝒌𝒛𝒌 𝒏𝟎 𝟐𝒌𝒛𝟏𝒌 𝒏𝟎 𝟐 𝒛 𝒌 𝒏𝟎 111 Se z1r a função somente convergirá para o número real se z for maior que dois já que um número menor que um elevado ao exponente infinito tende a zero Por exemplo tomemos um z igual a 4 𝒀𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 Confirmando a transformada z na função proposta 𝒚𝒌 𝟐𝒌𝒖𝒌 𝒀𝒛 𝟐 𝒛 𝒌 𝟏 𝟐 𝒛 𝟏 𝟐 𝒛 𝟐 𝟐 𝒛 𝟑 𝟐 𝒛 𝒏𝟎 Tratase de uma progressão geométrica onde a razão é 𝒒 𝟐 𝒛 e o termo inicial é 1 𝒔 𝒂𝟏 𝟏 𝒒 𝒀𝒛 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛 𝒛 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 O zero e o polo são facilmente identificados verificando as raízes do denominador e numerador da função de transferência Para o zero 𝒛 𝟎 Para o polo 𝒑 𝟐 𝒛 𝟐 𝟎 𝒛 𝟐 Temos os seguintes pares de transformada de Laplace descritos na tabela 41 112 Tabela 41 Tabela de pares de transformada Z e transformada de Laplace Fonte CASTRUCCI P L et al 2018 113 Propriedades da transformada z Se existe uma transformada z de uma soma existe uma igualdade com a soma das transformadas z 𝒚𝒌 𝟏 𝟐 𝒌 𝒖𝒌 𝟑 𝟐 𝒌 𝒖𝒌 𝟏 𝒚𝒌 𝒂𝒙𝟏 𝒃𝒙𝟐 𝒀𝒛 𝒂𝒙𝟏𝒛 𝒃𝒙𝟐𝒛 A propriedade de inversão no tempo nos indica que para um sinal yk sua inversão será yk Exemplo 𝒚𝒌 𝟏 𝟐 𝒌 𝒖𝒌 𝒚𝒌 𝟏 𝟐 𝒌 𝒖𝒌 𝒀𝒌 𝟏 𝟐 𝒌 𝒖𝒌 𝒛𝒌 𝟎 𝒏 Para melhor trabalhar a transformada consideremos m k Lembremos também que num sinal degrau não existem valores negativos 𝒀𝒎 𝟏 𝟐 𝒎 𝒛𝒎 𝒏𝟎 𝟏 𝟐 𝒛 𝒎 𝒏𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛 𝒛𝟏 𝒛𝟏 𝟏 𝟐 Assim podemos concluir o seguinte 𝓩𝒚𝒌 𝒚𝒛𝟏 A propriedade do deslocamento no tempo pode ser definida como a transformada z onde há um deslocamento do sinal 𝒀𝒛 𝒚𝒌𝒛𝒌 𝒌 114 𝓩𝒚𝒌 𝒌𝟎 𝒚𝒌 𝒌𝟎𝒛𝒌 𝒌 Fonte autor Figura 412 Ao adotar ykk0 o sinal atrasa em relação à k Para melhor análise podemos substituir o deslocamento para melhor observar 𝒎 𝒌 𝒌𝟎 𝒌 𝒎 𝒌𝟎 Assim podemos concluir que 𝓩𝒚𝒎 𝒚𝒎𝒛𝒎𝒌𝟎 𝒎 𝓩𝒚𝒎 𝒛𝒌𝟎 𝒚𝒎𝒛𝒎 𝒎 Veja que não importa se chamamos de k ou m Então a transformada z de um sinal deslocado no tempo é o produto entre a quantidade que deslocou a fase do sinal 𝒛𝒌 e da transformada z do sinal em fase 𝒀𝒛 𝓩𝒀𝒌 𝒌𝟎 𝒛𝒌𝒀𝒛 Temos então com relação ao deslocamento no tempo discreto que a função pode estar em atraso ou avanço 115 ATRASO 𝒈𝒌 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒌 𝟎 𝟏 𝟐 𝒏 𝟏 𝒇𝒌 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒌 𝒏 Atraso de uma unidade 𝑮𝒛 𝒛𝟏 𝑭𝒛 Atraso de n unidades 𝑮𝒛 𝒛𝒏 𝑭𝒛 AVANÇO 𝒈𝒌 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒌 𝟎 𝟏 𝟐 𝒏 𝟏 𝒇𝒌 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒌 𝒏 Avanço de uma unidade 𝑮𝒛 𝒛 𝑭𝒛 𝒛𝒇𝟎 Avanço de n unidades 𝑮𝒛 𝒛𝒏 𝑭𝒛 𝒇𝒌 𝒛𝒏𝒌 𝒏𝟏 𝒌𝟎 Outras propriedades Teorema do valor inicial 𝐥𝐢𝐦 𝒌𝟎 𝒇𝒌 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝑭𝒛 Teorema do valor final 𝐥𝐢𝐦 𝒌 𝒇𝒌 𝐥𝐢𝐦 𝟏 𝒛𝟏 𝒔𝟎 𝑭𝒛 Estes teoremas auxiliam no cálculo dos valores iniciais e finais das funções em tempo discreto Vamos ver um exemplo de cálculo de transformada Z através da definição e do cálculo da soma de uma sequência 116 Exemplo calcule a transformada Z da sequência dada abaixo é igual a 𝒈𝒌 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟏𝟐𝟓 Solução A transformada Z de 𝒈𝒌 será dada por 𝑮𝒛 𝒈 𝒌𝟎 𝒌 𝒛𝒌 Aplicando a fórmula 𝑮𝒛 𝒈𝟎 𝒛𝒐 𝒈𝟏 𝒛𝟏 𝒈𝟐 𝒛𝟐 𝒈𝟑 𝒛𝟑 Substituindo os valores de 𝒈𝒌 teremos 𝑮𝒛 𝟎 𝟏 𝟏 𝒛𝟏 𝟎 𝟓 𝒛𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝒛𝟑 𝑮𝒛 𝟎 𝟏 𝒛𝟏 𝟎 𝟓 𝒛𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝒛𝟑 𝑮𝒛 𝑺 𝒂𝟏 𝟏 𝒒 𝒂𝟏 𝒛𝟏 𝒆 𝒒 𝟎 𝟓 𝒛𝟏 Logo 𝑮𝒛 𝑺 𝒛𝟏 𝟏 𝟎 𝟓 𝒛𝟏 𝒐𝒖 𝑮𝒛 𝟏 𝒛 𝟎 𝟓 Na tabela temos o par 𝒂𝒌 𝒛 𝒛 𝒂 Neste caso não temos no numerador o termo em z pois existe um atraso isto é 𝒂𝒌𝟏 𝟏 𝒛 𝒂 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 𝟏 𝐞 𝟎 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 𝟎 Se aplicarmos a transformada inversa teremos a função discreta que originou a sequência com 𝒂 𝟎 𝟓 117 𝒈𝒌 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒌 𝟎 𝟎 𝟓𝒌𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒌 𝟏 Esta função discreta fornece os valores obtidos da sequência o que confirma o cálculo correto da transformada Z Solução das equações de diferenças através da Transformada Z A solução das equações de diferenças diante de uma entrada eou diante de uma condição inicial qualquer pode ser resolvida utilizando a transformada Z tal qual era feito no tempo contínuo aplicando as propriedades de avanço ou atraso Dessa forma devemos aplicar a transformada Z sobre a equação de diferenças isolar a saída em z e substituir o valor da entrada em z utilizando a tabela de pares de transformada Z Por último devemos calcular a transformada inversa para obter a saída no tempo discreto O exemplo a seguir apresenta essa solução aqui chamada de solução analítica Exemplo cálculo do valor da sequência da saída e da solução analítica de um sistema em tempo discreto Dada a equação de diferença a seguir com os seguintes dados O sinal de entrada é dado por 𝒖𝒌 𝟏 𝒌 𝟎 𝟎 𝒌 𝟎 Condições iniciais 𝒚𝟎 𝟏 A equação de diferenças é dada por 𝟑𝒚𝒌 𝟏 𝟒𝒚𝒌 𝒖𝒌 Determine a sequência três novos termos e a solução analítica Solução Sequência determinando a partir de 𝒚𝟎 𝟏 Para 𝒌 𝟏 trabalharemos com a equação isolando 𝒚𝒌 𝟏 118 𝒚𝒌 𝟏 𝟏 𝟑 𝒖𝒌 𝟒 𝟑 𝒚𝒌 Para 𝒌 𝟎 𝒚𝟏 𝟏 𝟑 𝒖𝟎 𝟒 𝟑 𝒚𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 Para 𝒌 𝟏 𝒚𝟐 𝟏 𝟑 𝒖𝟏 𝟒 𝟑 𝒚𝟏 𝟏 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 𝟏 𝟒 𝟑 Para 𝒌 𝟐 𝒚𝟑 𝟏 𝟑 𝒖𝟐 𝟒 𝟑 𝒚𝟐 𝟏 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 𝟗 Observação note que a saída é dada por uma sequência crescente e alternada Solução analítica transformada Z 𝒁𝟑𝒚𝒌 𝟏 𝟒𝒚𝒌 𝒁𝒖𝒌 Devemos considerar as condições iniciais 𝟑𝒛𝒀𝒛 𝒛𝒚𝟎 𝟒𝒀𝒛 𝑼𝒛 𝟑𝒛𝒀𝒛 𝟑𝒛 𝟏 𝟒𝒀𝒛 𝑼𝒛 Substituindo as condições iniciais e a entrada tipo impulso 𝑼𝒛 𝟏 𝟑𝒛𝒀𝒛 𝟑𝒛 𝟏 𝟒𝒀𝒛 𝟏 𝟑𝒛 𝟒𝒀𝒛 𝟏 𝟑𝒛 𝒀𝒛 𝟏 𝟑𝒛 𝟒 𝟑𝒛 𝟑𝒛 𝟒 Da tabela de pares de transformada 𝒂𝒌 𝐜𝐨𝐬𝒌𝝅 𝒛 𝒛 𝒂 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 Para um atraso 𝒂𝒌𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒌 𝟏𝝅 𝟏 𝒛 𝒂 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 𝟏 𝟐 𝟑 119 Temos a primeira função que está atrasada de uma unidade não tem o termo em z indicando que possui um atraso e temos que colocar o termo que está multiplicando z em evidência Logo 𝒀𝒛 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝒛 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑𝒛 𝟏𝒛 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝒛 𝟒 𝟑 𝒛 𝟏𝒛 𝟒 𝟑 Aplicando a transformada inversa de Z 𝒚𝒌 𝟒 𝟑 𝒌 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 𝟎 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 𝒌𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒌 𝟏𝝅 𝟒 𝟑 𝒌 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝝅 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 𝟏 𝟐 𝟑 Observação podemos verificar se a solução analítica obtida está correta comparando os valores obtidos diretamente pela determinação da sequência conforme calculado abaixo 𝒌 𝟎 𝒚𝟎 𝟒 𝟑 𝟎 𝟏 𝒌 𝟏 𝒚𝟏 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟏 𝟏𝝅 𝟒 𝟑 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒌𝝅 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝒌 𝟐 𝒚𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟏𝝅 𝟒 𝟑 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏𝟔 𝟗 𝒚𝟐 𝟒 𝟗 𝟏𝟔 𝟗 𝟏𝟐 𝟗 𝟒 𝟑 Os valores obtidos são iguais demonstrando que a solução está correta 120 43 Estabilidade em tempo discreto mapeamento de polos e zeros do tempo contínuo para o tempo discreto definições para estabilidade e resposta temporal de sistemas em tempo discreto Exercício de aplicação O conceito de estabilidade já foi definido para um sistema em tempo contínuo que também pode ser aplicado para um sistema em tempo discreto Se introduzirmos uma entrada limitada e o sistema produzir uma saída também limitada e que entra em regime dizemos que o sistema é estável Se a saída for limitada mas não entrar em regime dizemos que ela é marginalmente estável Se a saída não for limitada dizemos que o sistema é instável Mas é através do posicionamento de polos que como em tempo contínuo definimos se um sistema é estável ou não Para definir então quando o sistema é estável vamos estabelecer a relação entre o plano s e o plano z ou seja mapear um polo do sistema contínuo do plano s para o plano z e daí estabelecer as relações de estabilidade e de resposta temporal Mapeamento do plano s para o plano z Podemos estabelecer uma relação entre uma função em tempo discreto e em tempo contínuo utilizando as transformadas de Laplace s e a transformada Z z Este cálculo não será aqui desenvolvido mas define uma relação entre as duas variáveis que são utilizadas para realizar o mapeamento de polos e zeros A relação é dada por 𝒛 𝒆𝒔𝑻 Onde 𝒔 𝝈 𝒋𝝎 é a variável complexa da transf de Laplace T é o tempo de amostragem z variável complexa da transformada Z 121 Assim valem as seguintes relações para verificar como um polo ou zero em s deve ser representado em z 𝒛 𝒆𝝈𝒋𝝎𝑻 𝒛 𝒆𝝈𝑻 𝒆𝒋𝝎𝑻 𝒛 𝒓 𝒆𝒋𝜽 Onde 𝒓 𝒆𝝈𝑻 e 𝜽 𝝎𝑻 Vamos analisar alguns casos de mapeamento de s para z Vamos utilizar os elementos como polos a fim de estabelecer uma relação entre os polos de s e de z para então definir a estabilidade dos sistemas em tempo discreto Exemplos de mapeamento 1 s0 Mapeia em z em ver figura 𝒓 𝒆𝟎𝑻 𝒓 1 e 𝜽 𝟎𝑻 𝟎𝒓𝒂𝒅 Conclusão O polo na origem em s mapeia em z com módulo 1 e com fase 0 rad ou 0o A figura a seguir ilustra este caso Logo 𝒛 𝟏 𝒆𝒋𝟎 Fonte autor Figura 413 Gráficos de mapeamento do plano s para o plano z para s0 2 Polos reais negativos no infinito mapeiam em z em 𝒓 𝒆𝑻 𝒓 0 e 𝜽 𝟎 𝐨𝐮 𝐨 𝒓𝒂𝒅 122 Conclusão O polo em um valor real negativo no infinito parte imaginária nula em s mapeia em z com módulo 0 e com fase de 0 rad Logo 𝒛 𝟎 𝒆𝒋𝟎𝒐 3 Vimos que um polo na origem mapeia em 1 no eixo real e que um polo em mapeia em 0 Conclusão um polo em s entre 0 e mapeará em z entre 1 e 0 eixo real dentro do círculo vide figura a seguir Para polos em s com parte real positiva e imaginária nula eles mapearão em z fora do círculo unitário Qualquer polo em s com parte real e imaginária irá mapear em z em qualquer posição do plano complexo mas fora do círculo unitário Fonte autor Figura 414 Gráficos de mapeamento do plano s para o plano z para s entre 0 e 4 Eixo imaginário Vamos analisar algumas situações para tirar uma conclusão Qualquer polo em s no eixo imaginário terá em z para real nula pois 𝒔 𝟎 𝒋𝝎 Irá mapear z em 123 𝒓 𝒆𝝈𝑻 𝒆𝟎𝑻 𝟏 e 𝜽 𝝎𝑻 Caso o polo em s tiver parte imaginária positiva ele terá ângulos de fase variando positivamente e se tiver parte imaginária negativa ele terá ângulos de fase negativos Em especial a variação da parte imaginária em s do polo de 𝒋 𝝅 𝑻 𝐚 𝒋 𝝅 𝑻 levará variações de ângulos em z de 𝝅 𝐚 𝝅 ou seja para uma variação que envolve todo o círculo unitário A situação da figura a seguir ilustra este caso Conclusão Os valores de s no eixo imaginário mapeiam em z no círculo unitário no sentido horário polos em s no eixo positivo e antihorário polos em s no eixo negativo Fonte autor Figura 415 Gráficos de mapeamento do plano s para o plano z para s entre 𝒋 𝝅 𝑻 Estabilidade absoluta em tempo discreto Um sistema em tempo discreto será Estável se todos os seus polos estiverem dentro do círculo unitário Marginalmente estável se tivermos polos no círculo unitário Instável se tiver pelo menos um polo fora do círculo unitário 124 Para sabermos onde um polo está posicionado precisamos analisar o seu módulo ou valor absoluto isto é Sistema estável se o módulo de todos os polos for menor que 1 𝒑𝒊 𝟏 A figura 416 ilustra as regiões do plano s e z e suas classificações quanto à estabilidade de um sistema em função dos polos Fonte autor Figura 416 Regiões do plano s e para o plano z quanto a classificação da estabilidade absoluta Ressaltamos que da mesma forma que em s existem polos dominantes e que a ideia em z é afastálos do círculo unitário reduzindo o seu módulo Resposta temporal de sistemas em tempo discreto Os sistemas em tempo discreto podem ser caracterizados pela resposta impulsiva Quando utilizamos a entrada tipo impulso a saída do sistema será dada por uma sequência de valores que podem ser calculados a partir da transformada Z O exemplo a seguir ilustra tal fato Exemplo determine a resposta ao impulso do sistema dado pela função de transferência dada a seguir 𝑮𝒛 𝒛 𝒛 𝟎 𝟓 125 Solução note que p05 sistema estável na posição entre 0 e 1 Vamos verificar a resposta 𝑮𝒛 𝒀𝒛 𝑼𝒛 𝒛 𝒛 𝟎 𝟓 𝒀𝒛 𝒛 𝒛 𝟎 𝟓 𝑼𝒛 Com 𝑼𝒛 𝟏 𝒀𝒛 𝒛 𝒛 𝟎 𝟓 𝟏 Na tabela de transformada z 𝒂𝒌𝒄𝒐𝒔𝒌𝝅 𝒛 𝒛𝒂 com a 05 Logo 𝒚𝒌 𝟎 𝟓𝒌 sequência decrescente A figura a seguir ilustra alguns exemplos de resposta em função do posicionamento dos polos do sistema em tempo discreto Esses valores e respostas podem ser verificados através dos cálculos como realizado acima para um polo real entre 0 e 1 Fonte autor Figura 417 Resposta temporal para entrada impulso discreto ou resposta impulsiva de sistemas em tempo discreto em função da posição dos polos 126 Conclusão Aprendemos neste bloco os conceitos e características de sistemas em tempo discreto Em seguida foi apresentada a transformada utilizada em tempo discreto verificando se que existe total analogia entre o tratamento de sistemas em tempo contínuo e tempo discreto Assim podemos resolver uma equação de diferenças utilizando a transformada Z bem como obter a função de transferência em Z a partir da equação de diferenças Finalmente estabelecemos a relação entre s e z para avaliar a estabilidade de sistemas em tempo discreto Concluímos que para um sistema ser estável é necessário que seus polos estejam dentro do círculo unitário REFERÊNCIAS OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO L C Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª Edição Editora RiMa São Carlos 2010 NISE N S Engenharia de Sistemas de Controle Editora LTC 6ª Ed Rio de Janeiro 2012 CASTRUCCI P L BITTAR A SALES R M Controle automático 2ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 127 5 PROJETO DE CONTROLADORES EM TEMPO DISCRETO Neste item apresentaremos como é feita a implementação do controlador quando se trabalha em tempo discreto e as duas opções possíveis de projeto realizar o projeto do controlador em tempo contínuo e convertêlo para o tempo discreto através de técnicas de transformação Em seguida apresentase o projeto do controlador em tempo discreto isto é a planta sensor e atuador são convertidos em tempo discreto e o controlador é definido em tempo discreto bem como o seu projeto 51 Projeto de controladores a partir de projetos em tempo contínuo técnicas de transformação de controladores contínuos em discreto determinação da equação de diferenças de controladores e sua implementação Experiência sobre projeto em tempo discreto Para projetar um controlador e implementálo em um computador temos duas possíveis soluções a fazer o projeto em s e determinar a função de transferência do controlador em s isto é obter 𝑮𝒄𝒔 e em seguida aplicar um método de transformação de controladores do tempo contínuo para o tempo discreto Com isto obtemos a função do controlador em z dado por 𝑮𝒄𝒛 A partir desta função aplicamos a transformada Z inversa para determinar a equação de diferenças Como ela é dada com os termos vetoriais é necessário transformar em escalar e aplicar a recursividade quando necessário para então obter uma equação que será colocada em um programa de computador De início vamos apresentar os métodos de transformação Método de Tustin ou bilinear Método do equivalente do retentor de ordem zero Método de mapeamento de polos e zeros Método do equivalente do retentor de ordem um 128 Método da resposto ao impulso Método da resposta ao degrau Método da diferença para frente Método de Euler ou método da diferença para trás Na literatura você pode encontrar maiores detalhes destes métodos Aqui iremos apresentar apenas os três primeiros métodos e aplicálos em um exemplo que é um método numérico que possui como objetivo transformar uma derivada em uma relação de diferença para frente e para atrás Devido a isto é um método com uma boa precisão na transformação do controlador de s para z Método de Tustin É um método numérico que tem como objetivo transformar uma derivada em uma relação de diferença para frente e para atrás Por este motivo é um método com uma boa precisão na transformação do controlador de s para z Para fazer a transformação é necessário substituir a variável s pela seguinte expressão 𝒔 𝟐 𝑻 𝒛 𝟏 𝒛 𝟏 Onde T é o tempo de amostragem s é a variável da transformada de Laplace e z é a variável da transformada Z Assim 𝑮𝒄𝒛 será determinado através da função de transferência em s fazendo 𝑮𝒄𝒛 𝑴𝒛 𝑬𝒔 𝑮𝒄𝒔𝒔𝟐 𝑻𝒛𝟏 𝒛𝟏 Exemplo Um controlador PD modificado com a introdução de um polo para evitar que ruídos possam prejudicar o funcionamento do controlador foi projetado gerando a seguinte função de transferência em tempo contínuo Adote que o tempo de amostragem T é igual a 001s 129 𝑮𝒄𝒔 𝟐 𝟎 𝟓 𝒔 𝒔 𝟐𝟎 Solução Pelo método de Tustin teremos que 𝑮𝒄𝒛 𝑴𝒛 𝑬𝒛 𝑮𝒄𝒔𝒔𝟐 𝑻𝒛𝟏 𝒛𝟏 No caso 𝒔 𝟐 𝟎 𝟎𝟏 𝒛 𝟏 𝒛 𝟏 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝒛 𝟏 Logo 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟎 𝟓 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝒛 𝟏 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝒛 𝟏 𝟐𝟎 Trabalhando a função 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟎 𝟓 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝒛 𝟏 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟎𝒛 𝟏 𝒛 𝟏 𝟐 𝟎 𝟓 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎𝒛 𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟎𝒛 𝟐𝟎 Assim 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟏𝟎𝟎𝒛 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝒛 𝟏𝟖𝟎 𝟐 𝒛 𝟏 𝟐 𝟐𝒛 𝟏 𝟖 𝟐𝟐 𝟐𝒛 𝟏 𝟖 𝒛 𝟏 𝟐 𝟐𝒛 𝟏 𝟖 Finalmente 𝑮𝒄𝒛 𝟒 𝟒𝒛 𝟑 𝟔 𝒛 𝟏 𝟐 𝟐𝒛 𝟏 𝟖 𝑮𝒄𝒛 𝟓 𝟒𝒛 𝟒 𝟔 𝟐 𝟐𝒛 𝟏 𝟖 Dividindo todos os termos por 22 vemos 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟒𝟓𝒛 𝟐 𝟎𝟗 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 130 O Matlab faz esta conversão partindo da função de transferência em s que deve ser dada em termos da soma de potências em s isto é 𝑮𝒄𝒔 𝟐 𝟎 𝟓 𝒔 𝒔 𝟐𝟎 𝟐 𝟓𝒔 𝟒𝟎 𝒔 𝟐𝟎 Utilizamse os seguintes comandos no Matlab n25 40 d1 20 gtfnd gzc2dg001tustin O resultado será igual a 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟒𝟓𝟓𝒛 𝟐 𝟎𝟗𝟏 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖𝟐 Observação o ideal é trabalhar com três ou quatro números decimais pois os polos em z estão muito próximos um do outro Determinação da equação de diferenças a partir de 𝑮𝒄𝒛 Para implementar o controlador em um programa computacional devemos lembrar que o controlador tem como entrada o sinal do erro Ez e como saída o sinal Mz Assim devemos determinar a expressão em z da equação de diferenças e depois calcular a transformada inversa a fim de obter a equação de diferenças Assim 𝑮𝒄𝒛 𝑴𝒛 𝑬𝒛 𝟐 𝟒𝟓𝒛 𝟐 𝟎𝟗 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 Multiplicando em cruz 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖𝑴𝒛 𝟐 𝟒𝟓𝒛 𝟐 𝟎𝟗𝑬𝒛 Aplicando a distributiva 𝒛𝑴𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖𝑴𝒛 𝟐 𝟒𝟓𝒛𝑬𝒛 𝟐 𝟎𝟗𝑬𝒛 131 Trabalhando com a transforma Z inversa vem 𝒎𝒌 𝟏 𝟎 𝟖𝟏𝟖𝒎𝒌 𝟐 𝟒𝟓𝒆𝒌 𝟏 𝟐 𝟎𝟗𝒆𝒌 Esta equação de diferenças está representada por uma relação de avanço Ela pode ser reescrita como uma relação de atraso assumindo que o termo em 𝒌 𝟏 pode ser substituído por 𝐤 e com isto o termo em 𝒌 será substituído por 𝐤 𝟏 Assim ficaremos com a seguinte equação de diferenças do controlador 𝒎𝐤 𝟎 𝟖𝟏𝟖𝒎𝐤 𝟏 𝟐 𝟒𝟓𝒆𝐤 𝟐 𝟎𝟗𝒆𝐤 𝟏 Por ser representado por um vetor esta equação quando colocada no programa pode depois de um tempo carregar toda a memória de dados Desta forma procurase transformar esta equação para variáveis escalares reduzindo drasticamente o número de variáveis ao longo do tempo pois trabalharemos apenas com quatro variáveis 𝒎 𝒎𝒂𝒏𝒕 𝒆 e 𝒆𝒂𝒏𝒕 fazendo 𝒎𝒌 𝒎 𝒎𝒌 𝟏 𝒎𝒂𝒏𝒕 𝒆𝒌 𝒆 e 𝒆𝒌 𝟏 𝒆𝒂𝒏𝒕 Finalmente ficaremos com a seguinte equação 𝒎 𝟎 𝟖𝟏𝟖𝒎𝒂𝒏𝒕 𝟐 𝟒𝟓𝒆 𝟐 𝟎𝟗𝒆𝒂𝒏𝒕 Algumas considerações Para ilustrar como ficaria essa equação em um programa devem ser colocados no final do loop de controle em que os valores anteriores são atualizados pelos valores atuais isto é 𝒎𝒂𝒏𝒕 𝒎 𝐞 𝒆𝒂𝒏𝒕 𝒆 Na primeira iteração do programa devemos ler o valor da variável controlada e com o dado de entrada do valor de referência gerar o primeiro valor do erro 𝒆 𝒓 𝒃 Onde r é o valor de referência e b é o valor da variável controlada Na primeira iteração os valores 𝒎𝒂𝒏𝒕 e 𝒆𝒂𝒏𝒕 são nulos 132 O programa a seguir ilustra uma implementação com esta equação Na primeira parte do programa são definidas as variáveis é lido o valor de referência e convertido Na sequência temos o loop de controle onde está definida a leitura do AD e a escrita no DA para controlar o sistema A equação de diferenças e a atualização dos valores anteriores utilizando os valores calculados na iteração Exemplo de programa onde a equação de diferenças foi implementada Continuação do programa 133 Método do equivalente do retentor de ordem zero Este método toma a função de transferência do controlador e associa com a função do retentor de ordem zero do conversor DA Faz a transformada inversa dos termos em s e depois aplica a discretização no tempo para determinar a transformada z e chegar na função de transferência Assim o método utiliza as seguintes relações 𝑮𝒄𝒛 𝑴𝒛 𝑬𝒔 𝒛 𝟏 𝒛 𝒁 𝓛𝟏 𝑮𝒄𝒔 𝒔 Para o exemplo dado 𝑮𝒄𝒛 𝑴𝒛 𝑬𝒔 𝒛 𝟏 𝒛 𝒁 𝓛𝟏 𝟐 𝟎 𝟓 𝒔 𝒔 𝟐𝟎 𝒔 134 𝑮𝒄𝒛 𝒛 𝟏 𝒛 𝒁 𝓛𝟏 𝟐 𝒔 𝟎 𝟓 𝒔 𝟐𝟎 Utilizando a tabela de pares de transformada de Laplace e da transformada Z vem 𝑮𝒄𝒛 𝒛 𝟏 𝒛 𝒁𝟐 𝟏𝒕 𝟎 𝟓𝒆𝟐𝟎𝒕 Utilizando a tabela de pares de transformada de Laplace e da transformada Z podemos discretizar as funções no tempo 𝑮𝒄𝒛 𝒛 𝟏 𝒛 𝒁𝟐 𝟏𝒌𝑻 𝟎 𝟓𝒆𝟐𝟎𝒌𝑻 Utilizando a tabela de pares de transformada de Laplace e da transformada Z podemos aplicar a transformada Z 𝑮𝒄𝒛 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 𝒛 𝒛 𝟏 𝟎 𝟓 𝒛 𝒛 𝒆𝟐𝟎𝑻 𝟐 𝟎 𝟓 𝒛 𝟏 𝒛 𝒆𝟐𝟎𝑻 𝟐 𝟎 𝟓 𝒛 𝟏 𝒛 𝒆𝟐𝟎𝟎𝟎𝟏 Tirando o mínimo 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟎 𝟓𝒛 𝟎 𝟓 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 𝑮𝒄𝒛 𝟐𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 𝟎 𝟓𝒛 𝟎 𝟓 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 𝟐𝒛 𝟏 𝟔𝟑𝟔 𝟎 𝟓𝒛 𝟎 𝟓 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 Finalmente 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟓𝒛 𝟐 𝟏𝟑𝟔 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 Observação Os pares de transformadas utilizados no cálculo da função de transferência em z estão apresentados a seguir 135 Tabela 51 Pares de transformada de Laplace e pares da transformada Z Fonte CASTRUCCI P de L et al 2018 Mapeamento de polos e zeros Utilizase aqui a mesma relação utilizada no mapeamento do plano s para o plano z isto é 𝒛 𝒆𝒔𝑻 O controlador genérico em z será dado por 𝑮𝒄𝒛 𝒌 𝒛 𝒛𝟏𝒛 𝒛𝟐 𝒛 𝒛𝒎 𝒛 𝒑𝟏𝒛 𝒑𝟐 𝒛 𝒑𝒏 Trabalhase então com o seguinte procedimento 1 mapear os polos e zeros 2 calibrar o ganho do controlador teorema do valor final em s e z Para o exemplo dado 𝑮𝒄𝒔 𝟐 𝟎 𝟓 𝒔 𝒔 𝟐𝟎 𝟐 𝟓𝒔 𝟒𝟎 𝒔 𝟐𝟎 1 Polos e zeros 𝒔 𝟐𝟎 𝟎 𝒑 𝟐𝟎 𝟐 𝟓𝒔 𝟒𝟎 𝟎 𝒛 𝟏𝟔 Aplicando a relação lembrando que T001s 136 𝒑 𝟐𝟎 𝒑𝒛 𝒆𝟐𝟎𝑻 𝒆𝟎𝟐 𝒑𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 e 𝒛 𝟏𝟔 𝒛𝒛 𝒆𝟏𝟔𝑻 𝒆𝟎𝟏𝟔 𝒛𝒛 𝟎 𝟖𝟓𝟐 Assim 𝑮𝒄𝒛 𝒌 𝒛 𝟎 𝟖𝟓𝟏 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 2 Calibrando o ganho Em s 𝑮𝒄𝒔 𝟐 𝟓𝒔 𝟒𝟎 𝒔 𝟐𝟎 O valor final para entrada degrau unitário será dado por 𝒗𝒇𝒔 𝑮𝒄𝟎 𝟐 𝟓 𝟎 𝟒𝟎 𝟎 𝟐𝟎 𝟒𝟎 𝟐𝟎 𝟐 Em z 𝒗𝒇𝒛 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝟏 𝒛 𝒛 𝟏 𝑮𝒄𝒛 𝑬𝒛 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝟏 𝒛 𝒛 𝟏 𝑮𝒄𝒛 𝒛 𝟏 𝒛 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝟏 𝑮𝒄𝒛 𝑮𝒄𝟏 Assim 𝒗𝒇𝒛 𝒌 𝟏 𝟎 𝟖𝟓𝟏 𝟏 𝟎 𝟖𝟏𝟖 Os dois valores finais devem ser iguais 𝒗𝒇𝒔 𝒗𝒇𝒛 𝟐 𝒌 𝟏 𝟎 𝟖𝟓𝟏 𝟏 𝟎 𝟖𝟏𝟖 𝒌 𝟐 𝟎 𝟏𝟖𝟐 𝟎 𝟏𝟒𝟗 𝟐 𝟒𝟒𝟑 Assim o controlador será dado por 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟒𝟒𝟑 𝒛 𝟎 𝟖𝟓𝟏 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 𝑮𝒄𝒛 𝟐 𝟒𝟒𝟑𝒛 𝟐 𝟎𝟕𝟗 𝒛 𝟎 𝟖𝟏𝟖 137 Os valores são mais próximos aos obtidos no método de Tustin mas o denominador é igual em todos os métodos 52 Representação dos sistemas de controle em tempo discreto discretização dos modelos matemáticos da planta atuador e sensor e dos elementos de conversão Exercícios de aplicação Tomemos como exemplo um sistema em tempo contínuo representado por uma entrada RS e umas saída Cs Fonte NISE 2012 Figura 51 Sistema em tempo contínuo Se o sinal de entrada Rs for amostrado da forma como como um sinal em tempo discreto Rs teremos uma entrada discreta para Gs mas mesmo assim a saída continuará como um sinal contínuo Cs Fonte NISE 2012 Figura 52 O sinal Rs amostrado como Rs Contudo se satisfizer os requisitos do projeto o fato de que a saída Cs pode ser a mostrada apenas nos instantes de amostragem podemos adicionar de forma simplificada e em sincronismo com a entrada Rs um amostrador conhecido como amostrador fantasma que possibilitará uma saída Cs Veja que esta saída será pulsada 138 Fonte NISE 2012 Figura 3 O amostrador fantasma possibilita a saída discreta Cs Partindo desse princípio considerando o hold de ordem zero em cascata com Gs sendo este representada pela função de transferência abaixo Fonte o autor Figura 54 Entrada em relação à Gs 𝑮𝒔 𝒔 𝟐 𝒔 𝟏 Teremos o seguinte Gs 𝑮𝒔 𝟏 𝒆𝑻𝒔 𝒔 𝒔 𝟐 𝒔 𝟏 Uma forma de enxergar a função de transferência Gs é a seguinte 𝑮𝒔 𝟏 𝒆𝑻𝒔 𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟏 Para encontrar Gz utilizamos a transformada z em duas partes De forma tabelada 𝓩𝟏 𝒆𝑻𝒔 𝟏 𝒛𝟏 Para a segunda parte podemos utilizar conceito de frações parciais 𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟏 𝑨 𝒔 𝑩 𝒔 𝟏 𝑨𝒔 𝟏 𝑩𝒔 𝒔𝒔 𝟏 139 𝑨𝒔 𝑨 𝑩𝒔 𝒔𝑨 𝑩 𝑨 𝑨 𝟐 𝑨 𝑩 𝟏 𝟐 𝑩 𝟏 𝑩 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟏 𝟐 𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 Podese levar diretamente para o domínio em z 𝑮𝒛 𝟏 𝒛𝟏𝓩 𝟐 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝑮𝒛 𝟏 𝒛𝟏 𝟐𝒛 𝒛 𝟏 𝒛 𝒛 𝒆𝑻 53 Projeto de controladores em tempo discreto através do método do lugar das raízes exemplo de aplicação Mesmo os controladores PID podem ser apresentados em tempo discreto Além destes controladores podemos ter outros controladores em tempo discreto conforme representado na tabela 52 dada seguir 140 Tabela 52 Controladores em tempo discreto Fonte Morais A 2017 Exemplo de projeto com o lugar das raízes Elaborar o projeto de controle do sistema em tempo discreto discretizando o processo 141 Fonte o autor Figura 55 Diagrama de blocos exemplo O processo contínuo responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial 𝟕𝒖𝒕 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟏𝟏𝟕𝒚𝒕 E o controlador Cz a ser utilizado é um PID 𝑪𝒛 𝒌 𝒛 𝜶𝒛 𝜷 𝒛 𝜹𝒛 𝟏 Isto posto podemos calcular a função de transferência amostrada do processo com o retentor de ordem zero B0Gz para um período de amostragem T001 segundos Considere um tempo de acomodação no critério de 2 menor que 025s Solução Neste caso é necessário discretizar a função de transferência do sistema Gs para poder trabalhar com o lugar das raízes Para tanto teremos BoGz que é a aplicação do retentor de ordem zero ZOH à planta Cz é um controlador PID em tempo discreto Isto corresponderá ao modelo matemático da figura 56 onde a planta atuador e sensor foram discretizados 142 Fonte o autor Figura 56 Modelo matemático onde ZOH aplicado à Gs discretiza a planta para BoGz Vimos que o segurador de ordem zero ZOH é representado por 𝑮𝒉𝒔 𝟏 𝒆𝑻𝒔 𝒔 Então BoGs terá o seguinte aspecto devido aos blocos apresentaremse em cascata 𝑩𝒐𝑮𝒔 𝟏 𝒆𝑻𝒔 𝒔 𝑮𝒔 Então BoGz terá o seguinte aspecto 𝑩𝒐𝑮𝒛 𝟏 𝒛𝟏 𝓩 𝑮𝒔 𝒔 A equação diferencial apresentada na planta deve ser levada para o domínio de s para que se possa discretizar para o domínio de z então aplicase Laplace 𝓛 𝟕𝒖𝒕 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟏𝟏𝟕𝒚𝒕 𝟕𝑼𝒔 𝒔𝟐𝒀𝒔 𝟐𝟐𝒔𝒀𝒔 𝟏𝟏𝟕𝒀𝒔 𝒀𝒔𝒔𝟐 𝟐𝟐𝒔 𝟏𝟏𝟕 𝟕𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟐𝟐𝒔 𝟏𝟏𝟕 Yz Rz Ez 143 Então encontramse os polos do sistema para aplicar o conceito de PID em tempo discreto A equação característica será dada por 𝒔𝟐 𝟐𝟐𝒔 𝟏𝟏𝟕 𝟎 𝒑𝟏 𝟗 𝒑𝟐 𝟏𝟑 Uma forma de encontrar BoGz é pela fórmula dada a seguir que é mais prática do que trabalhar com frações parciais neste caso o que é extremamente trabalhoso Vamos considerar o período de amostragem T dado por T001s A função do processo a ser discretizado é dada pelo produto de 𝑮𝒔 com 𝑩𝒐𝒔 isto é 𝑮𝒔 𝒌 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 𝒆 𝑩𝒐 𝟏 𝒆𝒔𝑻 𝒔 A função 𝑩𝒐𝑮𝒔 pode ser dada em tempo discreto segundo a seguinte função de transferência 𝑩𝒐𝑮𝒛 𝒌 𝒛 𝜸 𝒛 𝜶𝒛 𝜷 Assim a função correspondente em Z pode ser calculada fazendo 𝑩𝒐𝑮𝒛 𝒌 𝒛 𝒆𝒂𝒃 𝟑 𝑻 𝒛 𝒆𝒂𝑻𝒛 𝒆𝒃𝑻 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒌 𝒌 𝒂𝒃 𝟏 𝒆𝒂𝑻𝟏 𝒆𝒃𝑻 𝟏 𝒆𝒂𝒃 𝟑 𝑻 Desta forma podemos encontrar cada um dos termos 𝜶 𝒂𝒂𝑻 𝒆𝟗𝟎𝟎𝟏 𝟎 𝟗𝟏𝟒 𝜷 𝒆𝒃𝑻 𝒆𝟏𝟑𝟎𝟎𝟏 𝟎 𝟖𝟖 𝜸 𝒆𝒂𝒃 𝟑 𝑻 𝒆𝟗𝟏𝟑 𝟑 𝟎𝟎𝟏 𝟎 𝟗𝟑 144 𝒌 𝟕 𝟗 𝟏𝟑 𝟏 𝟎 𝟗𝟏𝟒𝟏 𝟎 𝟖𝟖 𝟏 𝟎 𝟗𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 Então por simples aplicação da fórmula 𝑩𝒐𝑮𝒛 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟑 𝒛 𝟎 𝟗𝟏𝟒𝒛 𝟎 𝟖𝟖 Isto apresentará os seguintes polos e zeros Fonte o autor Figura 57 Pólos e Zeros de BoGz Perceba a presença dos zeros e polos No sistema estes polos duplos perfazem uma evolução em torno do zero rumo à Assim vamos projetar um controlador PID utilizando a técnica de cancelamento polozero ou seja os zeros do controlador devem cancelar os polos da planta O requisito de projeto para o controlador PID discreto é o tempo de acomodação critério de 2 e deve 025 segundos Lembrando que em z o tempo de acomodação é dado por 𝒕𝟐 𝟒 𝝈𝒔 𝟎 𝟐𝟓 𝝈𝒔 𝟒 𝟎 𝟐𝟓 145 𝝈𝒔 𝟏𝟔 Esse valor no plano s define a parte real do polo dominante que deve ser igual ao valor de 16 Levando para o plano z 𝒛 𝒆𝒔𝑻 𝒛 𝒆𝟏𝟔𝑻 Para um período de T001s temos que 𝒛 𝒆𝟏𝟔𝟎𝟎𝟏 𝟎 𝟖𝟓 O controlador PID em tempo discreto pode ser representado através da seguinte função de transferência 𝑪𝒛 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝒛 𝜶𝒛 𝜷 𝒛 𝟏𝒛 𝜹 Devemos considerar agora a malha aberta 𝑭𝑻𝑴𝑨𝒛 𝑪𝒛𝑩𝒐𝑮𝒛 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝒛 𝜶𝒛 𝜷 𝒛 𝟏𝒛 𝜹 𝒌 𝒛 𝜸 𝒛 𝜶𝒛 𝜷 𝑭𝑻𝑴𝑨𝒛 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝒛 𝟎 𝟗𝟏𝟒𝒛 𝟎 𝟖𝟖 𝒛 𝟏𝒛 𝜹 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟑 𝒛 𝟎 𝟗𝟏𝟒𝒛 𝟎 𝟖𝟖 A técnica a ser utilizada é o cancelamento polozero Esta técnica não é a melhor pois se o sistema tem alguma alteração e sua dinâmica varia o resultado pode ser um controle inadequado Dessa forma obtémse 𝑭𝑻𝑴𝑨𝒛 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟑 𝒛 𝟏𝒛 𝜹 Uma forma de simplificar os cálculos é adotando 𝜹 𝟎 assim cuidaremos apenas de um dos polos dominantes 𝑭𝑻𝑴𝑨𝒛 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟑 𝒛𝒛 𝟏 Obter a equação característica nos possibilitará descobrir o valor de kPID 146 𝑬𝑪𝒛 𝟏 𝑪𝒛𝑩𝒐𝑮𝒛 𝟎 𝟏 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟑 𝒛𝒛 𝟏 𝟎 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝒛𝒛 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟑 Para que os pólos se ajustem aos requisitos de tempo 2 e t025 segundos devemos considerar z085 𝒌𝑷𝑰𝑫 𝟐𝟐𝟑 𝟖𝟒 Assim o compensador PID será 𝑪𝒛 𝟐𝟐𝟑 𝟖𝟒 𝒛 𝟎 𝟗𝟏𝟒𝒛 𝟎 𝟖𝟖 𝒛𝒛 𝟏 Assim o lugar das raízes para BoGz e Cz será o seguinte Fonte autor Figura 58 Lugar das raízes para BoGz e Cz 147 Conclusão Aprendemos neste bloco os conceitos de controle de sistemas em tempo discreto para realizar um projeto de controle Inicialmente verificamos como efetuar a discretização de um controlador projetado em tempo contínuo e finalmente realizamos um projeto de controlador com o sistema discretizado utilizando o lugar das raízes no plano z Bibliografia Consultada OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO L C Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª Edição Editora RiMa São Carlos 2010 NISE N S Engenharia de Sistemas de Controle Editora LTC 6ª Ed Rio de Janeiro 2012 CASTRUCCI P L BITTAR A SALES R M Controle automático 2ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 MORAIS A Sistemas de Controle Realimentado Universidade Federal de Uberlândia Ver 2 2017 148 6 PROJETO DE CONTROLADORES ATRAVÉS DA REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS CONTROLE MODERNO Olá caro aluno chegamos ao nosso último bloco Nesta unidade iremos verificar a representação de espaço de estados em tempo discreto Veremos também técnicas e aplicação em projetos de controladores da realimentação de estados e finalmente outras estratégias de controle que são utilizadas na indústria 61 Representação de sistemas através das equações de estado caracterização e exemplos de sistemas em tempo discreto A representação de sistemas através do espaço de estados é especialmente utilizada para sistemas MIMO multiple input multiple output ou seja de várias entradas e saídas Analisar e propor um controlador em tempo discreto é bem interessante já que a tecnologia digital é a mais utilizada Daí trabalhase com a representação de espaço de estados em tempo discreto Podese inclusive utilizar a representação de espaços de estado para sistemas SISO simple input simple output isto é entrada única e saída única Por meio da realimentação de estados podese ajustar os polos do sistema Iniciamos considerando o seguinte 𝒖𝒌 𝑲𝒙𝒌 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑲 ℝ𝒑𝒙𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 É comum que em alguns casos não se consiga medir todas as variáveis de estado a fim de realimentálas Assim sendo podese considerar um observador de estados pois pelo princípio da separação os polos em malha fechada não são alterados Desta forma para o projeto no controlador consideraremos duas etapas distintas quais sejam o projeto do controlador e o projeto do observador 𝒖𝒌 𝑲𝒙𝒌 149 Veja que são projetos distintos mas pelo princípio da amostragem os polos do observador devem possuir duas vezes a frequência natural do controlador Desta forma podese considerar a seguinte função Gz onde pz e qz são polinômios da variável z 𝑮𝒛 𝒑𝒛 𝒒𝒛 Podemos desenvolver a equação das diferenças com o seguinte método 𝒒𝒛𝒀𝒛 𝒑𝒛𝑼𝒛 𝒛𝟎𝑼𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒖𝒌 𝒛𝟎𝒀𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒚𝒌 𝒛𝟏𝑼𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒖𝒌 𝟏 𝒛𝟏𝒀𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒚𝒌 𝟏 𝒛𝟐𝑼𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒖𝒌 𝟐 𝒛𝟐𝒀𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒚𝒌 𝟐 𝒛𝒏𝑼𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒖𝒌 𝒏 𝒛𝒏𝒀𝒛 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 à 𝒚𝒌 𝒏 Exemplificando considere o seguinte sistema 𝑮𝒛 𝟏 𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟓 𝒒𝒛𝒀𝒛 𝒑𝒛𝑼𝒛 𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟓𝒀𝒛 𝑼𝒛 Com a regra já disposta 𝒚𝒌 𝟐 𝟎 𝟏𝒚𝒌 𝟏 𝟎 𝟓𝒚𝒌 𝒖𝒌 Considere as seguintes regras 150 𝒙𝟏𝒌 𝒚𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝒚𝒌 𝟏 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒚𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟏 𝒚𝒌 𝟏 𝟏 𝒚𝒌 𝟐 Assim sendo aplicando a regra acima e isolando yk2 𝒚𝒌 𝟐 𝟎 𝟏𝒚𝒌 𝟏 𝟎 𝟓𝒚𝒌 𝒖𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟏 𝟎 𝟏𝒙𝟐𝒌 𝟎 𝟓𝒙𝟏𝒌 𝒖𝒌 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 Então podese considerar o espaço de estados segundo as seguintes etapas Vetor xk1 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 𝟏 Matriz A que considera os valores de x2 e x1 respectivamente sendo esta a matriz de estado 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏 O Vetor xk ou vetor de estados do sistema 𝒙𝟏𝒌 𝒙𝟐𝒌 A Matriz B considerando uk sendo a matriz de entrada ou matriz de controle 𝟎 𝟏 𝒖𝒌 Assim fica bem simples formar a representação do sistema em tempo discreto por meio dos espaços de estados 151 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏 𝒙𝟏𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟎 𝟏 𝒖𝒌 A saída yk que é de suma importância na análise e controle do sistema pode ser obtida como uma combinação linear o produto entre matrizes entre os estados e o sinal de controle O numerador é formado por z0 e não faz necessário a presença de condições de avanço de tempo 𝒚𝒌 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝟎 𝒙𝟏𝒌 𝒙𝟐𝒌 Esta matriz 𝟏 𝟎 é denominada matriz de saída do sistema Observaremos um método de se solucionar no espaço de estados a resposta yk quando temos um numerador de ordem acima de 0 zn0 Tomaremos por exemplo um sistema modelado pela seguinte função 𝑮𝒛 𝒛 𝟎 𝟓 𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟓 Veja que aplicando a igualdade já apresentada teremos o seguinte 𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟓𝒀𝒛 𝒛 𝟎 𝟓𝑼𝒛 Ainda utilizando as regras para trazer a expressão ao domínio do tempo 𝒚𝒌 𝟐 𝟎 𝟏𝒚𝒌 𝟏 𝟎 𝟓𝒚𝒌 𝒖𝒌 𝟏 𝟎 𝟓𝒖𝒌 Para solucionar o problema de se ter dois elementos u uk1 e uk podemos considerar o seguinte 𝑾𝒛 𝒀𝒛 𝒑𝒛 Como já vimos 𝑮𝒛 𝒑𝒛 𝒒𝒛 152 𝒒𝒛𝒀𝒛 𝒑𝒛𝑼𝒛 Então podese considerar 𝒀𝒛 𝒑𝒛 𝒒𝒛 𝑼𝒛 𝑾𝒛 𝑮𝒛 𝒑𝒛 𝑼𝒛 𝑾𝒛 𝒑𝒛 𝒒𝒛 𝟏 𝒑𝒛 𝑼𝒛 𝑼𝒛 𝒒𝒛 Veja que a aplicação de Wz eliminou o numerador diferente de 1 Assim podemos reescrever a equação das diferenças como 𝒘𝒌 𝟐 𝟎 𝟏𝒘𝒌 𝟏 𝟎 𝟓𝒘𝒌 𝒖𝒌 Considere as mesmas regras já apresentadas mas agora para w 𝒙𝟏𝒌 𝒘𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝒘𝒌 𝟏 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒘𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟏 𝒘𝒌 𝟏 𝟏 𝒘𝒌 𝟐 𝒙𝟐𝒌 𝟏 𝟎 𝟏𝒙𝟐𝒌 𝟎 𝟓𝒙𝟏𝒌 𝒖𝒌 Então podese considerar o espaço de estados segundo as seguintes etapas Vetor xk1 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 𝟏 Matriz de estado 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏 153 O Vetor de estados do sistema 𝒙𝟏𝒌 𝒙𝟐𝒌 A Matriz de entrada ou matriz de controle 𝟎 𝟏 𝒖𝒌 Por fim a representação do sistema em tempo discreto por meio dos espaços de estados mas para Wz 𝒙𝟏𝒌 𝟏 𝒙𝟐𝒌 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏 𝒙𝟏𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟎 𝟏 𝒖𝒌 A saída yk que deve considerar agora yz O numerador é formado por z1 e faz necessário a presença de condições de avanço de tempo Tomemos Wz para encontrar Yz de forma inversa 𝑾𝒛 𝒀𝒛 𝒑𝒛 𝒀𝒛 𝑾𝒛𝒑𝒛 Se verificamos esta verdade 𝒑𝒛 𝒛 𝟎 𝟓 Então podemos considerar que 𝒚𝒌 𝒘𝒌 𝟏 𝟎 𝟓𝒘𝒌 𝒚𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟎 𝟓𝒙𝟏𝒌 𝒚𝒌 𝒙𝟐𝒌 𝟎 𝟓𝒙𝟏𝒌 𝟎 𝟓 𝟏 𝒙𝟏𝒌 𝒙𝟐𝒌 154 O inverso também é verdadeiro ou seja podemos concluir a função de transferência a partir dos espaços de estados do sistema Pelo que pudemos perceber o modelo de espaços de estados pode ser definido como 𝒙𝒌 𝟏 𝑨𝒙𝒌 𝑩𝒖𝒌 𝒚𝒌 𝑪𝒙𝒌 Assim podemos concluir a transformada z de xk chegando ao seguinte modelo 𝒛𝑿𝒛 𝑨𝑿𝒛 𝑩𝑼𝒛 𝒀𝒛 𝑪𝑿𝒛 Sabese que temos como uma função de transferência a razão entre a entrada e a saída Então 𝑮𝒛 𝒀𝒛 𝑼𝒛 Devemos então isolar Yz Ao isolar Xz e considerar a matriz identidade I nxn podemos concluir o seguinte 𝒛𝑿𝒛 𝑨𝑿𝒛 𝑩𝑼𝒛 𝒛𝑿𝒛 𝑨𝑿𝒛 𝑩𝑼𝒛 𝒛𝑰 𝑨𝑿𝒛 𝑩𝑼𝒛 𝑿𝒛 𝟏 𝒛𝑰 𝑨 𝑩𝑼𝒛 Se substituir no modelo da saída Yz 𝒀𝒛 𝑪 𝟏 𝒛𝑰 𝑨 𝑩𝑼𝒛 Então podemos chegar à função de transferência do sistema em tempo discreto 𝑮𝒛 𝒀𝒛 𝑼𝒛 𝑪𝒛𝑰 𝑨𝟏𝑩𝑼𝒛 𝑼𝒛 𝑪𝒛𝑰 𝑨𝟏𝑩 155 O sistema é estável quando os pólos estão dentro do círculo unitário Assim qz é o denominador na função de transferência será descrito como uma determinante 𝐪𝐳 𝐝𝐞𝐭𝒛𝑰 𝑨 E o sistema será estável quando os zeros de qz0 estão dentro do círculo unitário 62 Projeto de controladores através da realimentação de estados técnicas e aplicação em projetos de controladores da realimentação de estados Procurase projetar um controlador de realimentação de variáveis de estado para resultar em uma ultrapassagem de 208 e um tempo de acomodação de quatro segundos para a planta de função de transferência Gs 𝑮𝒔 𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟐𝒔 𝟓 As equações de estado são definidas abaixo 𝒛 𝑨𝒛𝒛 𝑩𝒛𝒖 𝟓 𝟏 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝒛 𝟎 𝟎 𝟏 𝒖 𝒚 𝑪𝒛𝒛 𝟏 𝟏 𝟎𝒛 No matlab é possível encontrar a equação de estados de controlabilidade 156 𝑪𝒎𝒛 𝑩𝒛 𝑨𝒛𝑩𝒛 𝑨𝒛 𝟐𝑩𝒛 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 O sistema demonstrase controlável Analisando o valor do determinante da matriz de controlabilidade É interessante apresentar o sistema para variáveis de fase determinando a equação característica 157 𝒅𝒆𝒕𝒔𝑰 𝑨𝒛 𝒔𝟑 𝟖𝒔𝟐 𝟏𝟕𝒔 𝟏𝟎 𝟎 Agora é possível utilizar o Matlab para escrever a representação em variáveis de fase do sistema Ac Bc Cc Dctf2ssnumgdeng 159 𝒙 𝑨𝒙𝒙 𝑩𝒙𝒖 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟖 𝒙 𝟎 𝟎 𝟏 𝒖 𝒚 𝑪𝒛𝒛 𝟒 𝟏 𝟎𝒙 A matriz de controlabilidade CMx para o sistema em variáveis de fase considerando Axx 𝑪𝒎𝒙 𝑩𝒙 𝑨𝒙𝑩𝒙 𝑨𝒙 𝟐𝑩𝒙 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟖 𝟏 𝟖 𝟒𝟕 160 Podese agora encontrar a matriz de transformação 𝑷 𝑪𝒎𝒛𝑪𝒎𝒙 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟓 𝟏 𝟎 𝟏𝟎 𝟕 𝟏 É possível encontrar a função de transferência do controlador ao considerar os requisitos do projeto quais sejam ultrapassagem de 208 e um tempo de acomodação de quatro segundos 𝑴𝒑 𝟐𝟎 𝟖 𝑻𝑺 𝟒 𝒔 𝜻 𝐥𝐧 𝑼𝑷 𝟏𝟎𝟎 𝝅𝟐 𝐥𝐧𝟐 𝑼𝑷 𝟏𝟎𝟎 𝜻 𝐥𝐧 𝟐𝟎 𝟖 𝟏𝟎𝟎 𝝅𝟐 𝐥𝐧𝟐 𝟐𝟎 𝟖 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟒𝟒𝟕𝟏 𝝎𝒏 𝟒 𝜻𝑻𝑺 𝟒 𝟎 𝟒𝟒𝟕𝟏 𝟒 𝟐 𝟐𝟑𝟔𝟕 𝒓𝒂𝒅𝒔 O fator da equação característica do sistema em malha fechada projetado 𝑫𝒔 𝒔 𝟒𝒔𝟐 𝟐𝜻𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟐 𝒔𝟑 𝟔𝒔𝟐 𝟏𝟑𝒔 𝟐𝟎 Encontre as equações de estado para a forma de variáveis de fase com realimentação de variáveis de estado 161 𝒙 𝑨𝒙 𝑩𝒙𝒌𝒙𝒙 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝒌𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝟐 𝟖 𝒌𝟑 𝒙 𝒚 𝟒 𝟏 𝟎𝒙 Então a equação característica considerando os novos valores será 𝒅𝒆𝒕𝒔𝑰 𝑨𝒙 𝑩𝒙𝒌𝒙 𝒔𝟑 𝟖 𝒌𝟑𝒔𝟐 𝟏𝟕 𝒌𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒌𝟏 𝟎 Combinando com os valores já calculados 𝑫𝒔 𝒔 𝟒𝒔𝟐 𝟐𝜻𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟐 𝒔𝟑 𝟔𝒔𝟐 𝟏𝟑𝒔 𝟐𝟎 Podese encontrar os valores de k1k2 e k3 𝟏𝟎 𝒌𝟏 𝟐𝟎 𝒌𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝟐 𝟏𝟑 𝒌𝟐 𝟒 𝟖 𝒌𝟑 𝟔 𝒌𝟖 𝟐 Vamos agora verificar nosso projeto as equações de estado para o sistema projetado com entrada r são 162 𝒛 𝑨𝒛 𝑩𝒛𝒌𝒛𝒛 𝑩𝒛𝒓 𝟓 𝟏 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝒛 𝟎 𝟎 𝟏 𝒓 𝒚 𝑪𝒛𝒛 𝟏 𝟏 𝟎𝒛 A função de transferência em malha fechada considera Ds como denominador 𝑻𝒔 𝒔 𝟒 𝒔𝟑 𝟔𝒔𝟐 𝟏𝟑𝒔 𝟐𝟎 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 Fonte Autor 63 O controle na indústria simbologia ISA e outras estratégias de controle e técnicas de projeto Os sistemas de controle do ponto de vista da instrumentação industrial possuem três elementos fundamentais o sensor ou elemento primário com transmissor o controlador e o atuador ou elemento final de controle Além destes existem os 163 dispositivos de condicionamento de sinal conversores e os dispositivos de comando e de monitoração indicadores ou display registradores botões e botoeiras teclados monitores etc Existem dispositivos instalados no campo e instalados em painéis Processos industriais de grande porte como plantas de papel e celulose refinarias possuem milhares de variáveis controladas e monitoradas Um projeto desta área requer padronização Com o objetivo de normatizar e globalizar o entendimento dos documentos utilizados nesta área foram criadas normas no mundo todo inclusive no Brasil a NBR 8190 que estabelece o uso de símbolos gráficos para representação dos diversos instrumentos e suas funções ocupadas nas malhas de instrumentação No entanto a norma utilizada no Brasil e outros países é a norma ISA Instrument Society of America 151 Simbologia ISA É a principal norma utilizada nos fluxogramas de engenharia também conhecidos como PI que é uma representação gráfica dos dispositivos do processo associados com a instrumentação de processo sensores controladores e atuadores etc Nos fluxogramas de engenharia os círculos representam a instrumentação de processo As linhas contínuas e componentes da planta bombas válvulas trocadores de calor etc são também representados Dentro do círculo existe a identificação do instrumento de processo TAG representado por letras e números a primeira letra fornece a variável que o instrumento representa pode existir mais uma letra modificadora e a segunda letra a função controlador registrador chave válvula etc e também pode existir uma letra modificadora A tabela 61 apresenta as letras com as varáveis e funções Resumidamente teremos a seguinte representação Estrutura do TAG V F1 F2 nnn 164 Onde V é a variável de processo F1 F2 função ou funções executadas pelo instrumento nnn número sequencial da malha Os instrumentos de processo se comunicam por sinais elétricos 4 a 20 mA pneumáticos 3 a 15 psig digitais redes de comunicação Na tabela 62 está representada a simbologia para representação destes sinais Ressaltamos que o traço contínuo representa as conexões de processo tubulações Além de círculos se agregam outros símbolos para distinguir onde o instrumento está localizado painel ou no campo e ainda se é acessível ou não ao operador e se é um instrumento discreto ou compartilhado CLP ou computador de processo SDCD conforme representado na tabela 63 Exemplos de representação ISA A figura abaixo ilustra parte de um processo industrial Fonte Pessa 1998 Figura 61 Representação de parte de um processo industrial 165 Conforme se verifica temos a seguinte interpretação FT101 é um transmissor de vazão que envia um sinal pneumático para um FY101 conversor de vazão que realiza um cálculo de extração de raiz e finalmente envia um sinal pneumático para um controlador e indicador de vazão FIC101 O FT é um instrumento de campo o FY está montado entre o painel e o campo e o FIC está em um painel acessível ao operador Tabela 61 Representação de um TAG letras de variáveis e funções executadas pela instrumentação Fonte Pessa 1998 166 Tabela 62 Tipo de transmissão do sinal do instrumento Fonte Pessa 1998 Tabela 63 Localização e montagem do instrumento Fonte Pessa 1998 167 O exemplo a seguir ilustra como a partir do processo físico elaborase o fluxograma de engenharia Exemplo Um sistema de controle de temperatura está representado na figura a seguir Elabore o fluxograma de engenharia da malha de controle de temperatura A temperatura está sendo medida por um termopar e o seu sinal é transmitido através de um sinal de 4 a 20 mA para o controlador que é uma das placas de controle de um SDCD A saída do controlador também é um sinal de corrente mas que precisa ser convertido em um sinal de pressão 3 a 15 psig para atuar uma válvula de controle Fonte autor Figura 62 Representação de um sistema de controle de temperatura Fonte autor Figura 63 Representação da solução no fluxograma de engenharia Líquido entrando Controlador Líquido saindo Valor de referência Válvula de alívio vapor válvula Sensor de temperatura Líquido entrando Líquido saindo vapo r TIC 100 TT 100 TY 100 IP TCV 100 168 Quanto à localização e montagem existe o elemento montado entre o campo e o painel que recebe um círculo com tracejado no meio Por vezes quando um elemento primário é montado junto com o transmissor procurase colocar lado a lado dois círculos um com TE e outro com TT ou somente utilizar o TT ficando subentendido o uso do sensor montado junto com o transmissor como no caso do exemplo Observe também que a válvula tem TAG TCV que significa válvula de controle de temperatura Isso ocorre porque é uma válvula que está inserida em uma malha de controle de temperatura O mesmo ocorre com o conversor de corrente para pressão IP pois seu TAG indica que é um conversor de temperatura visto que pertence a malha de temperatura Note que todos os instrumentos da malha têm a mesma numeração existem exceções quando temos instrumentos de várias malhas Veja na figura a seguir uma representação com explicações de cada elemento que está sendo utilizado os sinais a localização e tipo de montagem 169 Fonte Pessa 1998 Figura 64 Representação dos elementos utilizados Estratégias de Controle e Técnicas de Projeto A estratégia de controle por realimentação feedback ou malha fechada não é única na indústria mas é a mais utilizada Devido a isso é a mais ensinada nos cursos de graduação No entanto existem outras estratégias de processo como por exemplo Arquitetura em Cascata Alimentação Avante ou PréAlimentação feedforward Faixa dividida split range 170 Além destas estratégias existem outras técnicas de controle como por exemplo Controle Nebuloso fuzzy Controle com redes neurais Controle LQGLTR H2 e H controle moderno Controle com Ganho Adaptativo Controle de Impedâncias Controle Robusto A lista é enorme e não para por aí As técnicas modernas focam na otimização dos parâmetros de controle que normalmente estão relacionados com funções de custo que devem ser otimizadas minimizadas ou maximizadas dependendo do contexto Estas funções estão relacionadas com a minimização do erro minimização da saída de controle ou de outra variável ou parâmetro que deve ser otimizado A seguir são descritas algumas destas estratégias Faixa dividida Split Range Em alguns casos há a necessidade de mover duas válvulas a partir de um único controlador Por exemplo um processo de reação química de polimerização em que determinados produtos são colocados em um reator devendo ser aquecido para que chegue a temperatura correta de reação Ao se iniciar a reação entretanto há desenvolvimento de calor a reação é exotérmica e tornase necessário resfriar o reator para que a temperatura se mantenha no ponto desejado Nesse caso convém eventualmente usar o arranjo da figura dada a seguir Os atuadores das válvulas serão de ação dividida A válvula de água fria estará aberta com 3 PSIg no atuador e fechada com 9 PSIg ou mais A válvula de vapor estará fechada com 9 PSIg ou menos e aberta com 15 PSIg A ação do 171 controlador deverá ser reversa ou seja a sua saída deve diminuir com o aumento da temperatura A figura dada a seguir ilustra esta estratégia de faixa dividida onde a saída do controlador fica dividida para atender o controle do aumento da variável bem como a sua redução Fonte Pessa 1998 Figura 65 Exemplo de controle com faixa dividida Controle em cascata No sistema de controle de temperatura ilustrado na figura a seguir temos um controle em cascata Supondo que o sistema num determinado instante esteja estabilizado e controlado corretamente Se houver uma variação na pressão de combustível haverá uma variação na vazão do mesmo essa variação será mantida pelo controlador de vazão que imediatamente abrirá ou fechará a válvula de maneira a obter a vazão correta Por outro lado se as condições do processo causarem uma variação de temperatura o controlador respectivo terá sua saída alterada Essa alteração modificará o set point do controlador de vazão que imediatamente agirá sobre a válvula O controlador de 172 temperatura é chamado de primárioou independente enquanto o controlador de vazão é chamado de secundárioou dependente a malha do secundário recebe da saída da malha do primário o sinal de set point daí a definição de dependência No controle em cascata sempre a saída de uma malha é o set point ou valor de referência da outra malha Fonte Pessa 1998 Figura 66 Sistema de controle de temperatura Controle avante ou préalimentação feedfoward Esta estratégia é aplicável quando a principal fonte de perturbação pode ser medida e seu efeito pode quantificarse antes que provoque desvios na variável primária Esta técnica tem um caráter antecipatório na correção da variável controlada Normalmente é aplicada somada ao efeito da estratégia de realimentação Esta estratégia se diferencia da cascata pois não existem duas malhas onde a saída de uma é set point da outra O exemplo a seguir extraído de CASTRUCCI et al 2018 ilustra este tipo de técnica 173 Exemplo de controle feedfoward Considere o tanque de aquecimento por circulação de óleo quente da figura dada a seguir O objetivo é manter a temperatura de saída yt próxima da referência rt neste exemplo a pressão de óleo p0t com dinâmica mais rápida que a planta não varia significativamente de modo que não é necessário implementar um controle em cascata A figura a seguir ilustra o exemplo de um sistema físico com este tipo de ação Na Figura 729 têmse os seguintes símbolos da ISA TC transdutor e controlador de temperatura FV eletroválvula de controle da vazão de óleo quente TI medidor de temperatura TY 1 calculador que realiza a função de transferência feedforward TY 2 somador Fonte CASTRUCCI et al 2018 Figura 67 Representação de um tanque de aquecimento por circulação de óleo quente 174 O diagrama de blocos desta configuração está representado na figura a seguir Fonte CASTRUCCI et al 2018 Figura 68 Diagramas de blocos do tanque de aquecimento por circulação de óleo quente No diagrama de blocos os blocos Gcs Hs e o comparador fazem parte do controlador TC O bloco Gps representa a dinâmica do tanque e G2s representa a dinâmica da perturbação da temperatura de entrada Tes até a temperatura de saída do tanque Ys Fs é uma função de transferência adaptada à dinâmica do processo calculada por TY 1 O projeto do bloco de alimentação avante Fs pode ser estabelecido genericamente com base no diagrama de blocos Para que o efeito de Tes sobre Ys algo desejável seja nulo é suficiente que 𝑭𝒔 𝑮𝑷𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝟎 𝑭𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑮𝑷𝒔 Como se vê claramente no diagrama de blocos a alimentação avante Fs não fecha nenhuma malha e portanto não pode gerar instabilidade Um problema possível na aplicação da função Fs calculada pela fórmula acima ocorre quando Gps é de fase não mínima Neste caso como Gps tem zeros no semiplano direito do plano s Fs tem polos instáveis A solução é contentarse com um controle feedforward menos perfeito e suprimir da fórmula os fatores de Gps que representam os zeros do 175 semiplano direito Quando Gps possuir atraso puro também deve ser suprimido de Fs pois este não pode ser compensado por feedforward Observações finais O feedforward não constitui uma malha de controle O feedforward não se restringe a perturbações rápidas como o controle em cascata Sem os diagramas de blocos há dificuldade em distinguir as duas técnicas O projeto de controladores em cascata e feedforward estão apresentados em Castrucci et al 2018 Conclusão Aprendemos neste bloco os conceitos de modelagem matemática dos sistemas de controle em tempo discreto pela equação de estados identificando um sistema por equação de estados e controlamos de forma a atingir os parâmetros necessários Observamos finalmente os diversos estratégias e técnicas de projeto de controle utilizadas na indústria Bibliografia Consultada OGATA Katsuhiko Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO Luiz Carlos Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª edição Editora RiMa São Carlos 2010 MARQUES NB Sintonia Multiobjetivo de um controlador preditivo com garantia de estabilidade nominal Dissertação Mestrado Instituto Tecnológico de Aeronáutica PESSA Rogério P Instrumentação Básica para Controle de Processos Centro de Treinamento da Smar 1998 176 CASTRUCCI P de L BITTAR A SALES R M Controle automático 2ª ed Rio de Janeiro LTC 2018