Representação de Sistemas Dinâmicos em Modelagem e Simulação

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 3 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS Caros alunos neste bloco apresentaremos alguns conceitos sobre a representação de sistemas dinâmicos para posterior aplicação na área de controle Existem algumas formas consagradas de representações de sistemas que avaliam o comportamento a partir da relação de variáveis de entrada e de saída utilizada no controle clássico que é a função de transferência de um sistema Além deste enfoque de controle existe o enfoque moderno que trabalha com as equações de espaço de estados e que além de avaliar o sistema observando suas entradas e saídas utiliza as variáveis de estado que estão relacionadas com os fluxos de energia do sistema Finalmente apresentamos os diagramas de blocos e uma visão de como trabalhar com esta representação gráfica quando se utilizam as equações diferenciais as funções de transferência e a técnica de controle mais utilizada na indústria a malha fechada ou o sistema de controle realimentado Finalmente apresentamse os diagramas de blocos e uma visão de como trabalhar com esta representação gráfica quando se utilizam as equações diferenciais as funções de transferência e a técnica de controle mais utilizada na indústria que é a malha fechada ou o sistema de controle realimentado São realizadas simulações dos sistemas aqui analisados utilizando ferramentas computacionais como Octave e o Matlab principalmente quando trabalhamos com diagrama de blocos na ferramenta Simulink Ressaltamos novamente para que você caro aluno pratique os exercícios indicados nas referências ao longo do texto apresentado Quaisquer dúvidas que tiver consulte o tutor ou o professor responsável pela disciplina 3 31 Função de Transferência definição cálculo e determinação de polos e zeros de uma função de transferência Tratase de uma importante representação de sistemas dinâmicos muito utilizada no estudo de sistemas de controle na visão clássica Definição a Função de Transferência é uma representação de sistemas dinâmicos ou instantâneos que leva em consideração a relação ou razão entre a saída e a entrada do sistema na variável da Transformada de Laplace isto é a variável s impondo condições iniciais nulas Ela é representada por funções em s com letras maiúsculas como Gs Hs etc O bloco a seguir estabelece a relação entre a saída e a entrada de um sistema Fonte autor Figura 31 Bloco da função de transferência Gs com a entrada Us e a saída Ys A função de transferência será dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 Utilizando a função de transferência teremos uma relação algébrica direta entre a entrada e saída do sistema que antes era dada por uma equação diferencial isto é 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 Para determinar a função de transferência de um sistema devemos inicialmente desenvolver o modelo matemático desse sistema que leva em consideração uma saída influenciada por determinada entrada de interesse 4 Normalmente essa relação é expressa através de uma equação diferencial Vejamos o exemplo apresentado anteriormente um tanque de água com uma vazão de entrada e outra de saída e o nível no tanque se alterando em função dessas vazões conforme representado na figura 32 Fonte Autor Figura 32 Esquema com tanque onde há variação do nível em função da entrada e saída de água Através do desenvolvimento do modelo matemático que será apresentado futuramente podemos determinar o comportamento do nível de um tanque saída em função da vazão de entrada de água entrada Esta relação após a linearização do modelo pode ser representada pela seguinte equação diferencial 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Onde R e C são valores constantes Aplicase então um procedimento que é sempre o mesmo e semelhante ao desenvolvido na solução de uma equação diferencial linear a coeficientes constantes Aplicar a transformada de Laplace sobre os dois membros da equação diferencial 𝓛 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 Utilizar as propriedades da transformada representadas a seguir para determinar a transformada de cada termo da equação ht qint qoutt 5 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝒇𝒕 𝒇𝟎 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 Observação lembrese que temos duas notações para indicar a transformada de Laplace Uma que trabalha com o operador 𝓛𝒇𝒕 e outra que trabalha com a função ft em s e com letras maiúsculas Fs Assim teremos a transformação da equação diferencial dada no tempo para uma equação algébrica dada na variável s da transformada de Laplace 𝑪 𝓛 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝓛𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑪 𝒔𝑯𝒔 𝒉𝟎 𝟏 𝑹 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 Impor condições iniciais nulas 𝒉𝟎 𝟎 𝑪 𝒔𝑯𝒔 𝟏 𝑹 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 Isolar o termo de saída no primeiro membro da equação e de entrada no segundo membro da equação 𝑯𝒔 𝑪𝒔 𝟏 𝑹 𝑸𝒊𝒏𝒔 Obter a relação de entrada e saída que é a função de transferência o termo Qins passa para o primeiro membro dividindo Hs e a função que está multiplicando Hs passa para o segundo termo dividindo 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟏 𝑪𝒔 𝟏 𝑹 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Vamos denotar a função obtida como Gs 6 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Vamos exercitar este procedimento com o seguinte exemplo determine a função de transferência de um sistema dado pela equação diferencial a seguir onde yt é a saída do sistema e ut é a entrada conforme apresentado na figura 33 Fonte autor Figura 33 Esquema com a entrada e saída e o sistema representado por uma equação diferencial Equação 𝟑 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟓 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟑 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 Aplicando a transformada de Laplace aos dois membros da equação 𝓛 𝟑 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟓 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝓛 𝟑 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 Aplicando as propriedades da transformada de Laplace 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝒇𝒕 𝒇𝟎 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 𝓛 𝒅𝟐𝒇𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒔𝟐𝑭𝒔 𝒔𝒇𝟎 𝒇𝟎 Teremos 𝟑𝒔𝟐𝒀𝒔 𝒔𝒚𝟎 𝒚𝟎 𝟓𝒔𝒀𝒔 𝒚𝟎 𝟐𝒀𝒔 𝟑𝒔𝑼𝒔 𝒖𝟎 7 Impondo condições iniciais nulas 𝒚𝟎 𝒚𝟎 𝒖𝟎 𝟎 Teremos 𝟑𝒔𝟐𝒀𝒔 𝟓𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟑𝒔𝑼𝒔 Isolando Ys 𝒀𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 𝟑𝒔𝑼𝒔 Isolando a razão entre a saída e a entrada no primeiro membro da equação que é a função de transferência Gs 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Observação 1 Com a função de transferência é possível avaliar a resposta temporal do sistema saída no tempo em função de determinada entrada inclusive se o sistema tiver alguma condição inicial Veja os exemplos dados a seguir Exemplos de análise da resposta de sistemas a Determine a resposta ao degrau do sistema dado pela seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Solução vamos determinar yt a partir da transformada de Ys dada pela relação acima e lembrando que 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 com 𝑮𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 e 𝑼𝒔 𝟏 𝒔 8 Logo 𝒀𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 𝒀𝒔 𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Para calcular a transformada inversa devemos verificar as raízes do denominador para estabelecer o par correto a ser utilizado 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 𝟎 𝒔𝟏𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟓 𝟐𝟓 𝟐𝟒 𝟔 𝟓 𝟏 𝟔 𝒔𝟏 𝟓 𝟏 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟑 As raízes são reais assim o par da tabela de transformada a ser utilizado é 𝟏 𝒃𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔𝒂𝒔𝒃 𝟏 𝒔𝟐𝒂𝒃𝒔𝒂𝒃 Para podemos determinar qual o valor de a e b devemos ter o coeficiente de s2 igual a 1 Desta forma devemos fazer a seguinte manipulação algébrica 𝒀𝒔 𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟓 𝟑 𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟑 𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟐 𝟑 𝒔 𝟏 Fazendo 𝒂 𝟐 𝟑 e 𝒃 𝟏 teremos 𝒚𝒕 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 9 Finalmente 𝒚𝒕 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 b Determine a resposta do sistema sabendo que ele foi excitado por uma entrada tipo impulso unitário quando sua condição inicial era em y igual a 2 e está representado pela seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Solução a resposta temporal do sistema é determinada incluindo a condição inicial Para fazer isto devemos voltar para a equação diferencial que originou a função de transferência para podermos incluir a condição inicial dada 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓𝑼𝒔 𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 𝓛𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟓𝒖𝒕 Aplicando a transformada de Laplace incluindo as condições iniciais 𝓛 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝓛𝟓𝒖𝒕 𝒔𝒀𝒔 𝒚𝟎 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 Mas 𝒚𝟎 𝟐 𝒆 𝑼𝒔 𝓛𝜹𝒕 𝟏 Então 𝒔𝒀𝒔 𝟐 𝟐𝒀𝒔 𝟓 𝟏 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓 𝟐 𝒀𝒔 𝟕 𝒔 𝟐 Calculando a transformada inversa a partir do par 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂 10 Teremos 𝒚𝒕 𝟕𝒆𝟐𝒕 Simulação de resposta temporal a partir da função de transferência A resposta obtida em a isto é 𝒚𝒕 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 Gera valores de yt a partir de valores de t Por exemplo 𝒚𝟎 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝟎 𝒆𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝒚𝟏 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝟏 𝒆𝟏 𝟑𝟎 𝟓𝟏𝟑 𝟎 𝟑𝟔𝟕 𝟎 𝟒𝟒 etc Estes valores podem ser obtidos por simulação nos programas computacionais como o Matlab Scilab e Octave Para simular e observar a resposta ao degrau de um sistema qualquer a partir da função de transferência devemos calcular numericamente a solução através dos comandos dados a seguir Função de transferência do exemplo a 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Comandos no Octave programa online httpsoctaveonlinenet num3 0 den3 5 2 11 gtfnumden stepg Quando colocamos ponto e vírgula o comando não é representado no programa A resposta de gtfnum den é a função de transferência tftransfer function Gs Note que está sem o ponto e vírgula logo é representado no programa Os três primeiros comandos geram a função de transferência Os elementos do vetor num são os coeficientes do numerador de Gs e os elementos do vetor den são os coeficientes do denominador de Gs ambos vetores representados pelos coeficientes da maior potência em s para a menor potência O último comando gera um gráfico da resposta ao degrau para yt do exemplo a que está representado na figura 34 Os valores calculados anteriormente y0 e y1 estão indicados no gráfico Fonte autor Figura 34 Resposta ao degrau do sistema dado por Gs utilizando o programa gratuito Octave 12 Polos e zeros da função de transferência Estes valores da variável s são muito importantes na avaliação da resposta temporal de sistemas Eles estão associados às raízes do denominador polos e do numerador zeros de Gs Temos então a seguinte definição Polos p são os valores de s que anulam o denominador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender ao infinito Zerosz são os valores de s que anulam o numerador de Gs Desta forma são os valores de s que fazem Gs tender a zero Podem existir zeros no infinito o número de zeros no infinito corresponde à diferença entre os polos finitos e os zeros finitos isto é 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos Exemplos Determinar os pólos e zeros de a 𝑮𝒔 𝟐𝒔𝟓 𝒔𝟑 O valor do zero é determinado pelas raízes do numerador 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 𝟐𝒔 𝟓 𝒔 𝟓 𝟐 𝟐 𝟓 O zero vale 25 ou z25 O valor do polo é determinado pelas raízes do denominador 𝒔 𝟑 𝟎 𝒔 𝟑 13 O polo vale 3 ou p3 Como o número de polos finitos é 1 isto é n1 e o número de zeros também vale 1 isto é m1 então não há zeros no infinito 𝑵𝒐 𝒛 𝟏 𝟏 𝟎 a 𝑮𝒔 𝟏 𝒔𝟐𝟒 Não há zeros finitos pois não há termos em s no numerador de Gs Logo m0 Pólos de Gs 𝒔𝟐 𝟒 𝟎 ou 𝒑𝟐 𝟒 𝟎 𝒑𝟐 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝒋 São raízes complexas só com parte imaginária Neste caso o número de polos é n2 Assim teremos dois zeros no infinito z1z2 pois 𝑵𝒐 𝒛 𝟐 𝟎 𝟐 Observação a igualdade z1z2 é uma representação que ilustra que os zeros têm valores tendendo ao infinito Para a variável s o infinito tem uma representação específica já que estamos lidando com números complexos Dizemos que o número está no infinito quando seu módulo tende ao infinito Para confirmar que temos zeros no infinito basta lembrar da definição de zero que é o valor de s que anula Gs e adotar que isto deva ocorrer com valores de s ou seja Teremos zeros no infinito se 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝑮𝒔 𝟎 Para o exemplo 14 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟎 O que prova que temos zeros no infinito 15 32 Espaço de Estados definição cálculo e exemplos de aplicação A representação de sistemas através das equações do espaço de estados é utilizada na teoria de controle moderno Essa representação permite a análise e projeto de sistemas de controle complexos pois o espaço de estados é um modelo matemático de um sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada de saída e de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem Note que é uma representação de um sistema físico qualquer com várias entradas e saídas e as variáveis de estado e diferente da função de transferência que é realizada no domínio da frequência complexa esta representação de espaço de estados é feita no domínio do tempo As entradas estados e saídas são expressas em vetores e as equações diferenciais e algébricas são escritas na forma matricial Para podermos utilizar esta representação o sistema dinâmico deve ser linear e invariante no tempo Caso não seja é necessário linearizar o modelo físico Vejamos algumas definições Independência Linear um conjunto de variáveis é definido como linearmente independente se nenhuma de suas variáveis puder ser escrita como combinação linear das demais Por exemplo dados x1 x2 e x3 Se x32x25x1 como x3 é determinada por x2 e x1 teremos x3 como combinação linear de x1 e x2 portanto não temos uma independência linear entre as variáveis Variáveis de um sistema dinâmico qualquer variável que responda a uma entrada ou a alguma condição inicial Variáveis de estado é o menor conjunto de variáveis linearmente independente do sistema esse conjunto determina completamente o comportamento do sistema em qualquer instante tt0 dado que se conhecia o valor destas variáveis 16 e da entrada no instante tt0 Assim são as variáveis capazes de determinar totalmente o estado do sistema dinâmico Essas variáveis não precisam ser necessariamente mensuráveis ou observadas no entanto por questão de facilidade de análise é conveniente que elas possam ser escolhidas com esta característica Estado de um sistema dinâmico é o estado que o sistema assume através das variáveis de estado Vetor de estado é aquele que determina de forma única o estado do sistema dado por um vetor xt para qualquer instante t t0 uma vez dado o estado e especificada a entrada ut para tt0 Este vetor xt é composto por n variáveis de estado x1t x2t xnt Espaço de Estados corresponde ao espaço ndimensional cujos eixos coordenados são formados pelos eixos x1 x2 xn que são as variáveis de estado Equação de estado como a representação de estados envolvem as entradas e as variáveis de estado e o valor atual dos estados é dado pelos valores anteriores Definemse equações onde estes últimos estão associados às entradas e a integração ou soma particionada dos estados anteriores Equação de saída é uma equação algébrica que representa os valores das variáveis de saída do sistema que são combinações lineares dos estados e das entradas Para um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas quaisquer teremos as equações de estado e da saída dadas por 𝒙𝒕 𝒇𝒙𝒕 𝒖𝒕 𝒕 𝒚𝒕 𝒈𝒙𝒕 𝒖𝒕 𝒕 Onde xt é o vetor de estados xx1t x2t xnt com n variáveis ut é o das entradas com r variáveis de entrada isto é utu1t u2t urt yt é o vetor das saída yty1t y2t ymt e t é o tempo 17 Se o sistema for linear ou linearizados as equações de estado e da saída serão dados por 𝒙 𝒕 𝑨𝒕 𝒙𝒕 𝑩𝒕 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒕𝒙𝒕 𝑫𝒕 𝒖𝒕 Porém se o sistema for invariante no tempo os valores dos elementos da matrizes e vetores serão constantes numéricas e as equações do espaço de estados serão dadas por 𝒙 𝒕 𝑨 𝒙𝒕 𝑩 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒙𝒕 𝑫 𝒖𝒕 Onde A é a matriz de estado B é a matriz das entradas C é a matriz das saídas e D é a matriz de transmissão direta entre a entrada e a saída do sistema dinâmico linear e invariante no tempo SLIT Este sistema é representado normalmente por um diagrama de blocos específicos dado a seguir Fonte autor Figura 35 Diagrama de blocos de um sistema representado pelas equações do espaço de estados 18 Como determinar as equações de estado Qual é o número de variáveis mínimo e quais são as variáveis de estado Uma vez estabelecido o modelo matemático de um sistema através das equações diferenciais o número mínimo de variáveis corresponde à ordem da equação diferencial que descreve o sistema Na maioria dos casos dos sistemas físicos as variáveis de estado estão associadas aos elementos que armazenam energia Por exemplo em um circuito RLC os elementos que armazenam energia são o capacitor energia potencial e o indutor energia cinética Já em um sistema massa mola e amortecedor os elementos que armazenam energia são a mola energia potencial e a massa energia cinética O resistor e o amortecedor dissipam energia em forma de calor assim as variáveis de estado serão o deslocamento do corpo xt e a velocidade do corpo vt a primeira variável associada à energia potencial e a segunda associada à energia cinética Algumas vezes é necessário acrescentar algumas variáveis de estado Isto é feito com a introdução de integradores por exemplo a fim de obter uma representação que forneça mais informações do comportamento do sistema Em NISE 2017 página 99 é exemplificado este fato Exemplo de determinação de modelos matemáticos através da representação no espaço de estados O sistema físico de um pêndulo composto por uma barra rígida está apresentado na figura 36 Neste sistema queremos estudar o comportamento da posição angular do pêndulo 𝜽𝒕 em função do torque Tt aplicado à barra de comprimento L 19 Sabemos que a massa da barra M é uniformemente distribuída ao longo da barra e dessa forma o peso é aplicado sobre o centro de massa localizada na metade do comprimento da barra O momento de inércia da barra é dado por I determine a representação matricial por espaço de estados linearizando as equações de estado Fonte autor Figura 36 Sistema físico do pêndulo simples constituído por uma barra rígida de massa M Solução avaliando o diagrama de corpo livre DCL e aplicando a segunda lei de newton para movimentos de rotação teremos as relações dadas a seguir Fonte autor Figura 37 DCL do sistema físico do pêndulo simples constituído por uma barra rígida de massa M Na representação dada temos o torque externo aplicado Tt e o torque devido ao peso na direção do movimento do corpo τPt mas no sentido contrário 𝜽 Tt Mg 𝜽 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 Tt 𝜽 τPt 20 A força peso é decomposta nas duas direções conforme ilustrado na figura 36 O torque é devido à força peso e será igual a 𝝉𝑷𝒕 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝟐 𝒐𝒖 𝑴𝒈𝑳 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 Aplicando a segunda lei de Newton 𝛕𝒕 𝑰 𝜶𝒕 𝑻𝒕 𝝉𝑷𝒕 𝑰 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo o valor do torque devido ao peso na direção do movimento e colocando os termos da posição angular no primeiro membro da equação vemos que 𝑰 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑴𝒈𝑳 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑻𝒕 Como podemos verificar tratase de uma equação de segunda ordem com o termo em 𝜽𝒕 associado à função seno o que torna um modelo nãolinear Vamos definir as variáveis de estado são a posição e a velocidade angular isto é 𝒙𝟏𝒕 𝜽𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝝎𝒕 Note que a derivada da posição será a velocidade angular Em termos da variável de estado teremos a primeira equação de estado dada por 𝒙𝟐𝒕 𝒙 𝟏𝒕 𝒐𝒖 𝒙 𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 A segunda equação de estado vem da equação diferencial obtida no processo de modelagem do pêndulo lembrando que 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒆 𝒙 𝟐𝒕 𝒅𝝎𝒕 𝒅𝒕 Logo a segunda equação de estado será dada por 𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝑰 𝑻𝒕 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 21 Como verificado pela segunda equação o modelo é nãolinear Podemos fazer a linearização em torno de um ponto de operação qualquer e aplicar o processo através da série de Taylor truncada no termo da primeira derivada lembrando que o modelo linear é dado para pequenas variações em torno do ponto de operação que será escolhido como o ponto de equilíbrio 𝒙𝟏𝒕 𝜽𝒕 𝟎𝒓𝒂𝒅 𝒙𝟐𝒕 𝝎𝒕 𝟎𝒓𝒂𝒅𝒔 Avaliando perturbações dos estados em torno do ponto de operação 𝒙𝟏𝒕 𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 𝜹𝒙𝟐𝒕 Utilizando a série de Taylor truncada 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 𝒐𝒖 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 Para o exercício teremos 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒙 𝒙𝟏𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟏𝒕𝒙𝟏𝟎𝜹𝒙𝟏𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 Logo teremos o seguinte modelo linearizado 𝜹𝒙 𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟐𝒕 𝜹𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝑰 𝑻𝒕 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝜹𝒙𝟏𝒕 Na forma matricial 22 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝟎 𝒙𝒕 𝟎 𝟏 𝑰 𝒖𝒕 Onde 𝒙 𝒕 𝜹𝒙 𝟏𝒕 𝜹𝒙 𝟐𝒕 𝒙𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟐𝒕 𝒆 𝒖𝒕 𝑻𝒕 Para a equação de saída como desejamos saber o valor da posição angular teremos 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎 𝒖𝒕 𝒐𝒖 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 Ou simplesmente 𝒚𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 Este é o modelo matemático dado pelas equações de espaço de estados linearizada do pêndulo dado por uma barra rígida Conversão da função de transferência para o espaço de estados Podemos utilizar a representação de espaço de estados ou a representação dada pela função de transferência É possível através da função de transferência obter as equações de espaço de estados Para tanto é necessário obter a equação diferencial que gerou a função de transferência e aplicar o procedimento feito no exemplo anterior Exemplo Determine a representação em espaço de estados do sistema dado pela função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Solução Aplicando o processo inverso ou seja voltando para a equação diferencial que originou a função de transferência poderemos incluir a condição inicial dada 23 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓𝑼𝒔 𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 𝓛𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟓𝒖𝒕 Como temos uma derivada de primeira ordem na equação teremos apenas um único estado xtyt Logo teremos a seguinte equação de estado 𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝟓𝒖𝒕 E a equação da saída será igual a 𝒚𝒕 𝒙𝒕 Conversão do espaço de estados para a função de transferência Para determinar a função de transferência a partir da representação de espaço de estados devemos aplicar a transformada de Laplace nas equações e as regras matriciais já que estamos trabalhando com matrizes e vetores Teremos 𝒙 𝒕 𝑨 𝒙𝒕 𝑩 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒙𝒕 𝑫 𝒖𝒕 Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas 𝒔𝑿𝒔 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑪 𝑿𝒔 𝑫 𝑼𝒔 Como se deseja uma relação entre a saída Ys e a entrada Us devemos isolar Xs na primeira equação e substituir na segunda equação Lembrando que se tratam de matrizes e vetores temos 24 𝒔𝑿𝒔 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝒔𝑰 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝑿𝒔 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑼𝒔 Substituindo na segunda equação 𝒀𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑼𝒔 𝑫 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 𝑼𝒔 Finalmente enviando Us para o primeiro membro da equação acima determinaremos a função de transferência Gs que será dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 Exemplo Determine a função de transferência da representação de espaço de estados dada por 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝟓 𝟎 𝒙𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎 𝒖𝒕 Solução fazendo o cálculo de 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝟏 Devemos calcular a matriz inversa para depois multiplicar pelo vetor C e B Cálculo da inversa de matriz quando a matriz é 2x2 o cálculo da inversa pode ser feito pela seguinte regra invertese a posição dos elementos da diagonal principal da matriz trocamse os sinais dos elementos da diagonal secundária e todos os elementos são divididos pelo determinante da matriz Chamando de M a matriz dada acima 𝑴 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 O determinante de M será dado por 25 𝒅𝒆𝒕𝑴 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝒔 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 Calculando a matriz inversa de acordo com a regra dada 𝑴𝟏 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝟏 𝒅𝒆𝒕𝑴 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 Devemos multiplicar por C e o resultado obtido será multiplicado por B 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝟏 𝟎 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 Multiplicando por B 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 Como D0 o valor de Gs será dado por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 33 Diagrama de Blocos na representação através das equações diferencias das funções de transferência e do espaço de estados representações com o diagrama de blocos tipos de blocos e operações básicas A representação gráfica é muito utilizada na área de modelagem inclusive existem ferramentas do programa Matlab voltadas para a simulação de sistemas através de diagrama de blocos o Simulink Esses diagramas de blocos permitem a representação dos modelos matemáticos através de funções de transferência pela representação das equações de estado mas também permitem incluir elementos de nãolinearidades bloco de saturação zona morta 26 histerese e outros além de permitirem a implementação de métodos numéricos de simulação conforme já demonstrado anteriormente A seguir são apresentados os diferentes componentes chamados de blocos para realizar a simulação de sistemas através das funções de transferência equações de estado ou por simulação numérica direta Para todos os blocos existem setas que indicam a entrada do bloco as que apontam para o bloco e setas que se referem à saída do bloco as que apontam para fora do bloco Essas setas representam então sinais de entrada e sinais de saída respectivamente O bloco é o elemento onde o sinal é alterado Blocos básicos 1 Bloco da Função de Transferência Fonte autor Figura 38 Bloco da função de transferência dado na variável s O bloco de função de transferência representa uma função na variável complexa s A saída do bloco é dada por 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 2 Bloco Somador Neste bloco os sinais de entrada podem ser somados ou subtraídos depende do sinal indicado conforme exemplificado a seguir Pode ser aplicado para elementos variando no tempo ou na frequência complexa dada pela variável s 𝑮𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 27 Exemplos a bloco somador de três sinais de entrada que variam no tempo x1t x2t e x3t e uma saída yt A saída será igual à soma das entradas e dada por 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟑𝒕 A representação gráfica será dada por Fonte autor Figura 39 Bloco de somador de 3 sinais no tempo b Bloco detector de erro fornece a diferença de dois sinais de entrada Pode ser no tempo ou em s 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 Fonte autor Figura 310 Bloco da diferença de 2 sinais no tempo Observação A saída yt se for associada ao bloco de sistema realimentado é chamada de erro 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟑𝒕 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑹𝒔 𝑬𝒔 𝑩𝒔 28 Fonte autor Figura 311 Bloco da diferença de dois sinais na variável s para um sistema realimentado Neste caso podemos utilizar a notação da área de controle e a notação de sistema realimentado 𝑬𝒔 𝑹𝒔 𝑩𝒔 3 Bloco de Ganho Pode ser definido no tempo ou em s Quando definido em s pode ser interpretado como uma função de transferência e a relação é dada por 𝒀𝒔 𝑲 𝑼𝒔 No tempo 𝒚𝒕 𝑲 𝒖𝒕 O símbolo normalmente é um triângulo conforme representado na figura 312 Fonte autor Figura 312 Bloco de ganho na variável s 4 Bloco Integrador Pode ser definido no tempo ou na variável s e utiliza o símbolo de um triângulo ou quadrado 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑲 29 A figura 313 apresenta o bloco integrador no tempo e a figura 314 apresenta o bloco na variável s Vale a relação no tempo 𝒚𝒕 𝒖𝒕 𝒅𝒕 Fonte autor Figura 313 Bloco integrador no tempo Vale a relação em s 𝒀𝒔 𝟏 𝒔 𝑼𝒔 Fonte autor Figura 314 Bloco integrador na variável s 5 Bloco Diferenciador Este bloco é somente definido no tempo e é dado pela seguinte relação 𝒚𝒕 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 A figura 315 apresenta o bloco diferenciador Em s não se utiliza funções de transferência de sistemas com ordem do numerador maior que a ordem do denominador 30 Fonte autor Figura 315 Bloco diferenciador definido no tempo 6 Bloco multiplicador Este bloco faz multiplicação de sinais no tempo isto é 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 Fonte autor Figura 316 Bloco multiplicador definido somente no tempo Operações com blocos Estas operações ocorrem quando os blocos são associados em série cascata paralelo ou em outra situação de combinação de blocos ou sinais de entrada ou saída de blocos Por exemplo o ponto de distribuição de sinais é responsável por transmitir o mesmo sinal a partes distintas dos diagramas de blocos A figura 317 ilustra um ponto de distribuição Fonte autor Figura 317 Ponto de distribuição de um mesmo sinal 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒙𝟐𝒕 31 Os blocos estão descritos por funções de transferência ou em alguns casos também no tempo Por exemplo blocos em cascata ou série podem ser simplificados por uma única função de transferência dada pelo produto das funções conforme ilustrado na figura 318 A prova da equivalência é dada pela relação entre as variáveis dos blocos Os blocos em cascata ou série podem ser simplificados por uma única função de transferência pois 𝑨𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 e 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑨𝒔 Podemos substituir o valor de As na relação com Ys obtendo 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 ou 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 Como verificado a saída Ys é o produto das duas funções de transferência pela entrada Us ou seja simplificamos dois blocos por um único bloco Desta forma Equivalem a Fonte autor Figura 318 Blocos em cascata ou série e o bloco equivalente A análise sempre é feita utilizando a relação dada entre a entrada e saída dos blocos e as relações entre os sinais A figura 319 dada a seguir ilustra algumas operações com diagramas de blocos 32 A seguir são propostos alguns exemplos destas operações com valores numéricos de funções de transferência ou sinais Tabela 31 Operações com diagramas de blocos Descrição da operação Diagrama de blocos original Diagrama de blocos equivalente Blocos em cascata Blocos em paralelo Deslocando para frente um ponto de soma localizado atrás de um bloco Retirando a função de transferência de um ramo e inserindo outras duas nos outros ramos Troca de sinais nos detectores de erro em cascata 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑨𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑯𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑯𝟏𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑮𝒔𝑯𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟑𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟑𝒔 𝒀𝒔 33 Blocos com ramo direto e ramo de realimentação Fonte autor Exemplos 1 Simplifique os blocos dados a seguir a Fonte autor Figura 320 Diagrama de blocos com dois blocos em paralelo Solução Os blocos devem ser somados conforme cálculo dado a seguir A saída de cada bloco será o produto da entrada pela função de transferência conforme indicado na figura Como a saída do somador é dada pela soma dos sinais teremos 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑯𝒔 𝑮𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑬𝒔 𝑩𝒔 𝑮𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑹𝒔 𝑪𝒔 34 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 Portanto 𝑮𝒔 𝟏 𝟏 𝒔𝟎 𝟓 𝟏 𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟏 𝒔𝟎 𝟓 𝟏 𝒔𝟎 𝟓𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟐 𝒔𝟎 𝟗 𝟏 𝒔𝟎 𝟓𝟏 𝒔𝟎 𝟒 Finalmente 𝑮𝒔 𝟎 𝟗𝒔 𝟐 𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟎 𝟗𝒔 𝟏 Obs podemos dar a resposta sem números decimais Às vezes alguns exercícios com várias alternativas utilizam desse recurso Assim multiplicando e dividindo por 10 vem que 𝑮𝒔 𝟎 𝟗𝒔 𝟐 𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟎 𝟗𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝒔 𝟐𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟏𝟎 b Fonte autor Figura 321 Diagrama de blocos com realimentação e blocos em paralelo Solução temos um bloco em paralelo de duas funções de transferência dentro de um bloco de realimentação Devemos simplificar estes blocos pela soma das funções pois no bloco somador os dois sinais são positivos assim ficaremos com um único bloco dado pela soma 35 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟏𝟎 𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔 O diagrama fica da seguinte forma Fonte autor Figura 322 Diagrama de blocos com a simplificação dos blocos em paralelo Temos agora dois blocos em série ou cascata no ramo direto Como foi demonstrado quando estes blocos estão em série resulta em um único bloco que é o produto ou seja 𝑮𝟐𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 Ficaremos somente com o sistema realimentado Conforme apresentado anteriormente o sistema realimentado será reduzido a um único bloco cuja função de transferência é dada por Fonte autor Figura 323 Diagrama de blocos com a simplificação dos blocos em série Conforme apresentado anteriormente o sistema realimentado será reduzido a um único bloco cuja função de transferência é dada por 36 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝟏 𝑮𝟐𝒔𝑯𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 Sistema simplificado fica com uma única função de transferência dada por Fonte autor Figura 324 Diagrama de blocos com a simplificação do sistema realimentado Operações com blocos na representação de espaço de estados Como foi apresentado no diagrama de blocos da figura 35 as equações de espaço de estados podem ser apresentadas através dos blocos associados às matrizes ou vetores A B C e D aos blocos somadores e integradores e com retas ou setas com uma largura razoável a fim de lembrar que estamos trabalhando na forma matricial com mais de uma entrada e mais de uma saída Além da representação da figura 35 podemos ter outras representações em diagramas de blocos sem utilizar a forma matricial com a representação de todas as variáveis Desta forma podem ser utilizadas as formas canônicas controlável observável em cascata paralela de representação de sistemas através do espaço de estados Vejamos alguns exemplos Exemplos Dado o sistema a seguir representado por sua equação diferencial represente o sistema segundo as equações de estado e faça o diagrama de blocos do sistema a 𝒚 𝒕 𝟐𝒚 𝒕 𝟓𝒚𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝑼𝒔 𝒀𝒔 37 Solução como foi citado anteriormente devemos criar duas variáveis de estado já que a equação diferencial é de segunda ordem Assim se 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒚 𝒕 e utilizando a equação diferencial dada para determinar a derivada da variável de estado x2t vemos que 𝒙𝟏 𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟐 𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟓𝒙𝟏𝒕 Representando na forma matricial 𝒙𝒕 𝟎 𝟏 𝟓 𝟐 𝒙𝒕 𝟎 𝟏𝟎 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎𝒖𝒕 Fazendo uma representação não matricial com a utilização dos integradores determina se o diagrama de blocos da figura 324 Fonte autor Figura 324 Diagrama de blocos da representação de espaço de estados Observação 1 Note que estamos trabalhando com uma notação diferente para a derivada Esta representação é encontrada nas referências bibliográficas 2 A simulação do sistema pode ser feita com esta representação em diagrama de blocos utilizando o simulink do programa computacional Matlab 38 Posteriormente serão simulados alguns modelos de sistemas físicos utilizando o mesmo 3 O bloco somador pode também ser representado com os sinais de soma e subtração fora do círculo e sem as linhas internas em cruz 4 Note que o sistema poderia ser dado em função da função de transferência veja a seguir e como visto voltaríamos para a equação diferencial e geraríamos as equações de estado 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 b 𝒚 𝒕 𝟐𝒚 𝒕 𝟓𝒚𝒕 𝟑𝒖 𝒕 𝟒𝒖 𝒕 𝟕𝒖𝒕 Solução neste caso devemos fazer um artifício para chegarmos em uma representação pelo espaço de estados pois a entrada está sendo derivada Para resolver esta situação utilizase uma variável intermediaria vt Afim de entender melhor a ideia desta variável vamos obter a função de transferência calcule 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 O artifício é feito multiplicando e dividindo pela variável Vs da seguinte forma 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑽𝒔 𝑽𝒔 𝑽𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑽𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 𝟏 Assim podemos separar a função em duas partes obtendo 𝑽𝒔 𝑼𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝒆 𝒀𝒔 𝑽𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 Voltando no tempo ficaremos com duas equações 𝒗 𝒕 𝟐𝒗 𝒕 𝟓𝒗𝒕 𝒖𝒕 𝒆 𝒚𝒕 𝟑𝒗 𝒕 𝟒𝒗 𝒕 𝟕𝒗𝒕 39 Adotando os estados a partir da primeira equação com 𝒙𝟏𝒕 𝒗𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒗 𝒕 ficaremos com o seguinte sistema 𝒙𝟏 𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟐 𝒕 𝒖𝒕 𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟓𝒙𝟏𝒕 Para a saída teremos a seguinte equação 𝒚𝒕 𝟑𝒙𝟐 𝒕 𝟒𝒙𝟐𝒕 𝟕𝒙𝟏𝒕 Elaborando o diagrama de blocos a partir das equações de espaço de estado obtidas obtemos a representação dada na figura 325 Fonte autor Figura 325 Diagrama de blocos da representação de espaço de estados para o exemplo b Conclusão 40 Vimos todas as representações de sistemas dinâmicos utilizados na área de controle mais especificamente na área de desenvolvimento de modelos matemáticos e sua simulação Em relação às representações de modelos de sistemas aqui apresentadas cabe um comentário em relação à utilização dos modelos no domínio da frequência função de transferência e no espaço de estados A função de transferência tem como vantagens simplificar os cálculos já que substitui a equação diferencial por uma equação algébrica e permite que os elementos de um sistema sejam interconectados No entanto só pode ser aplicada para sistemas lineares e invariantes no tempo A abordagem no espaço dos estados ou abordagem moderna ou no domínio do tempo representa também sistemas não lineares com saturação zona morta atritos folga etc sistemas variantes no tempo e permite trabalhar com sistemas de múltiplas entradas e saídas MIMO Multiple Input Multiple Output mas não é muito intuitiva e necessita de muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne clara Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018