Modelos Matemáticos de Sistemas Mecânicos, Térmicos e Hidráulicos

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 4 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS MECÂNICOS TÉRMICOS E HIDRÁULICOS Caros alunos neste bloco apresentaremos os modelos de sistemas mecânicos fluídicos térmicos e de pressão Como exemplificado no bloco 1 o processo de desenvolvimento de um modelo matemático requer a análise das variáveis de interesse que serão utilizadas no modelo para posterior avaliação de quais leis físicas serão aplicadas e como as grandezas físicas estão associadas com os componentes dos sistemas aqui chamadas de relações constitutivas Quaisquer dúvidas que vocês tiverem consultem o tutor ou o professor responsável pela disciplina 41 Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação e rotação elementos básicos de exemplos de aplicação Os sistemas mecânicos de translação possuem em geral elementos ou efeitos de massa mola amortecedor e transformadores de movimento por exemplo redutores parafusos com rosca sem fim cremalheirapinhão bielamanivela e outros dispositivos mecânicos quaisquer A força de atrito em geral se opõe ao movimento do corpo tendo assim o mesmo efeito de um amortecedor de carro tal qual a força de resistência do ar Como já foi mencionado estes efeitos são nãolineares mas é possível a linearização do modelo dentro de uma faixa razoável destes sistemas obtendo um modelo matemático que representa adequadamente as variáveis de interesse do sistema em geral posição velocidade aceleração e forças com a seguinte notação Posição ou deslocamento linear xt em metros m Velocidade vt em metros por segundo ms 3 Aceleração at em metros por segundo ao quadrado ms2 Força Ft em Newtons N É importante lembrar as relações entre posição velocidade e aceleração instantâneas nas duas notações utilizadas nas diversas referências bibliográficas sobre a derivada Relações entre as variáveis dos sistemas de translação 𝒗𝒕 𝒅𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝒐𝒖 𝒗𝒕 𝒙𝒕 𝒂𝒕 𝒅𝒗𝒕 𝒅𝒕 𝒅 𝒅𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒐𝒖 𝒂𝒕 𝒙 𝒕 Para sistemas com movimento de rotação Posição angular ou deslocamento angular 𝜽𝒕 em radianos rad Velocidade angular ωt em radianos por segundo rads Aceleração angular αt em radianos por segundo ao quadrado rads2 Torque τt em Newtons vezes metro Nm Nos sistemas de translação temos a variável massa M e nos sistemas de rotação é definido o momento de Inércia ou simplesmente Inércia Jou I Modelagem de Sistemas de Translação Na modelagem de sistemas mecânicos de translação iremos trabalhar com os elementos básicos massa mola amortecedor Além destes elementos iremos trabalhar com modelos dos transformadores de movimento Como já foi apresentado temos vários tipos de força que podem ser modeladas Aqui trabalharemos além de uma força externa aplicada a um corpo como a força motriz de um carro com a força de atrito viscoso quando o corpo está em movimento e que será proporcional à velocidade 4 Existe também o atrito estático quando o corpo está parado na iminência de se movimentar Há vários tipos de modelos deste tipo de atrito mas não vamos aqui considerar a existência do mesmo já que se trata de um componente de força não linear Além do atrito temos a força de resistência do ar que faz oposição ao movimento como a força de atrito viscoso mas não é proporcional à velocidade A força de atrito é gerada pelo contato de dois corpos e como sabemos está relacionada com a força normal oposta à força peso Leis Físicas normalmente se aplicam as leis de Newton princípio da inércia a segunda lei de Newton e o princípio da ação e reação Neste documento apresentaremos a segunda Lei a somatória das forças aplicadas em um corpo é igual a massa vezes a aceleração do corpo isto é 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒂𝒕 𝒎 𝒗 𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 Obs Existe alguns autores que consideram a força de inércia 𝑭𝒊 𝒎 𝒂𝒕 e aplicam ao invés da segunda lei de Newton a Lei de DLambert ou seja a somatória das forças é igual a zero Componentes básicos Massa normalmente este elemento está ligado ao armazenamento de energia cinética afinal ele armazena energia devido à velocidade imprimida ao corpo quando sujeito a uma força externa Fonte autor Figura 41 Símbolo utilizado para um corpo de massa m em kg Massa m 5 Mola elemento ligado ao armazenamento de energia potencial em função do deslocamento ou variação de sua posição A relação existente nesse componente é dada pela Lei de Hokke e vale 𝑭𝒕𝒎𝒐𝒍𝒂 𝒌 𝒙𝒕 Onde k é a constante da mola em Nm Fonte autor Figura 42 Símbolo utilizado para representar uma mola Amortecedor elemento associado com a oposição ao movimento do corpo gerando uma força dissipativa que é proporcional à velocidade isto é 𝑭𝒕𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓 𝒃 𝒗𝒕 𝒃 𝒙𝒕 Onde b é a constante do amortecedor em Nsm Fonte autor Figura 43 Símbolo utilizado para representar um amortecedor Método de modelagem k b 6 A partir de um sistema físico a ser estudado identificamse os componentes e efeitos importantes que deverão ser modelados Posteriormente aplicamse as relações constitutivas dos componentes do sistema mecânico as leis de Newton e determinam se as equações matemáticas do modelo proposto Tais equações fornecem o comportamento das variáveis importantes para o sistema mecânico em questão Para facilitar o equacionamento montamse diagramas de corpo livre DCL Vejamos a seguir alguns exemplos de desenvolvimento de modelos matemáticos mecânicos de translação Exemplo 1 Dado o sistema massa mola e amortecedor a seguir determine o comportamento do deslocamento do corpo de massa xt sabendo que foi aplicada uma força Ft e que Massa do corpo 2kg Constante da mola k2Nm Constante do amortecedor b2Nsm Constante da força de atrito ba3Nsm Fonte autor Figura 44 Sistema massa mola e amortecedor Solução Elaborando o DCL do corpo de massa m 7 Fonte autor Figura 45 DCL do sistema massa mola e amortecedor Utilizando as relações constitutivas 𝑭𝒕𝒎𝒐𝒍𝒂 𝑭𝒌𝒕 𝒌 𝒙𝒕 𝑭𝒕𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑭𝒃𝒕 𝒃 𝒗𝒕 𝒃 𝒙 𝒕 𝑭𝒕𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐 𝑭𝒂𝒕 𝒃𝒂 𝒗𝒕 𝒃𝒂 𝒙𝒕 E a segunda lei de Newton 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒂𝒕 𝒎 𝒗 𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 𝑭𝒕 𝑭𝒌𝒕 𝑭𝒃𝒕 𝑭𝒂𝒕 𝒎 𝒙𝒕 Substituindo as relações constitutivas 𝑭𝒕 𝒌 𝒙𝒕 𝒃 𝒙𝒕 𝒃𝒂 𝒙𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 Isolando o deslocamento do corpo saída no primeiro membro da equação obtida e a força entrada no segundo membro obtemos a seguinte equação diferencial de segunda ordem linear e invariante no tempo 𝒎𝒙 𝒕 𝒃𝒙 𝒕 𝒃𝒂𝒙 𝒕 𝒌𝒙𝒕 𝑭𝒕 Substituindo os valores numéricos 𝟐𝒙 𝒕 𝟐𝒙 𝒕 𝟑𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 Finalmente 8 𝟐𝒙 𝒕 𝟓𝒙𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 Observações 1 A notação utilizada para as derivadas é com ponto O equivalente na notação de Newton será dado por 𝟐 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟓 𝒅𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 2 A simulação da resposta deste sistema frente a qualquer tipo de entrada pode ser feita através da própria equação diferencial lembrando da representação do espaço de estados e implementando no simulink do Matlab através do diagrama de blocos da figura 46 dada a seguir Representação no espaço de estados Trabalhando com dois estados equação diferencial é de segunda ordem 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝒕 Dessa forma 𝒙 𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 e indo na equação diferencial teremos que 𝟐𝒙 𝟐𝒕 𝟓 𝒙𝟐𝒕 𝟐𝒙𝟏𝒕 𝑭𝒕 𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝟐 𝑭𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝟓 𝟐 𝒙𝟐𝒕 Na forma matricial 𝒙 𝟏𝒕 𝒙 𝟐𝒕 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟓 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝑭𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎𝑭𝒕 Ou 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟓 𝒙𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝑭𝒕 9 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎𝑭𝒕 Mas o importante é representar no simulink as duas equações no tempo utilizando integradores Fonte autor Figura 46 Representação das equações de estado do sistema dado Simulação no Matlab O diagrama de blocos pode ser colocado no Matlab além de simulada uma resposta de uma entrada degrau por exemplo a partir da introdução dos blocos step e scope Entenda que simular neste caso significa obter valores numéricos da saída quando se aplica uma determinada entrada Aqui foi escolhida uma entrada do tipo degrau unitário assim teremos o seguinte diagrama de blocos Fonte autor 10 Figura 47 Diagrama de blocos do sistema no Simulink do Matlab Para elaborar o diagrama de blocos do simulink apresentado na figura 47 você deve acionar o ícone do Matlab Entrará na tela principal e com o mouse você deve clicar no ícone do simulink indicado na figura 48 Fonte autor Figura 48 Tela do Matlab principal com o ícone do simulink Ao clicar no ícone abrirá seguinte tela Fonte autor Clique no ícone Abra a sua área de trabalho clicando em Blank Model 11 Figura 49 Tela do simulink com o ícone que cria um modelo em diagrama de blocos Ao clicar no Blank Model abrirá a tela de trabalho untitled demonstrado na figura 410 onde você deve criar o seu modelo Em seguida clicar no ícone Library Browser Fonte autor Figura 410 Tela da área de trabalho onde será criado o modelo Abrirá a tela da Simulink Library Browser biblioteca de blocos Coloque em paralelo para transferir blocos da biblioteca para a sua área de trabalho untitled conforme indicado abaixo Fonte autor Clique no ícone 12 Figura 411 Telas da biblioteca de blocos e tela da área de trabalho untitled Veja como colocar cada bloco na área de trabalho por exemplo o bloco integrador você encontrará na biblioteca continuous e depois com o mouse você deve arrastálo para a sua área de trabalho Fonte autor Figura 412 Arrastando ícones da biblioteca para a área de trabalho Além do bloco integrador você deverá pegar os seguintes blocos nas respectivas bibliotecas e arrastálos para a sua área de trabalho O bloco Step em sources O bloco Scope em sinks O bloco Add somador em Math Operations O bloco Gain em Math Operations Clique em continuous e abrirá a janela onde está o bloco integrador Arraste o bloco para a sua área de trabalho 13 Ao final teremos os blocos na área de trabalho conforme apresentado na figura 413 dada a seguir Fonte autor Figura 413 Tela da área de trabalho com os elementos básicos dos blocos Se observarmos a figura 46 serão necessários dois blocos integradores e três blocos de ganho Não é necessário arrastar todos estes blocos basta apenas um como apresentado na figura 413 Na própria área de trabalho você irá duplicálos clicando por exemplo no integrador com o botão direito do mouse no bloco e arrastando o mouse para fora da figura do bloco Assim você terá todos os blocos na tela de trabalho e uma vez posicionados corretamente você deverá conectálos mas antes devemos alterar o bloco Add para três entradas e no formato circular Para tanto clique com o botão da esquerda do mouse duas vezes abrirá a janela do bloco conforme indicado na figura acima Clique no botão do Icon shape e altere o formato do bloco para round depois disso vá em List of signs e altere os símbolos para Dê ok e observe o resultado 14 Fonte autor Figura 414 Tela da área de trabalho com os blocos de ganho e integradores duplicados e a janela do bloco Add somador aberta Ainda é necessário inverter dois blocos de ganho Para isso devemos clicar uma vez no bloco de ganho com o botão da direita assim a janela de operações abrirá com o bloco Vá em Rotate Flip e selecione Flip Block Fonte autor Figura 415 Tela da área de trabalho com comando para inverter bloco de ganho 15 Pronto agora podemos posicionar os blocos e ligálos com setas selecionando as pontas dos blocos de saída para os blocos de chegada Fonte autor Figura 416 Tela da área de trabalho com os blocos posicionados e a primeira ligação de blocos executada Uma vez executadas as ligações dos blocos devemos ajustar o valor dos ganhos clicando com o botão da esquerda duas vezes nos blocos de ganho para abrir a tela de Block Parameters Como demonstrado na figura abaixo selecionamos o bloco de ganho da entrada que deve valer 05 No Matlab os decimais devem ser escritos com ponto o programa Matlab é americano conforme indicado na figura utilize o valor 05 depois é só dar ok Fonte autor 16 Figura 417 Janela para ajuste do valor de ganho aberta sobre a tela de trabalho O bloco de Step também deve ser configurado clicando duas vezes com o botão esquerdo do mouse e a janela de Block Parameters Step abrirá No item Step time selecione o tempo de 0 segundos para iniciar a simulação no instante zero Os valores inicial e final estão corretos pois a entrada será de um degrau unitário Fonte autor Figura 418 Área de trabalho com a janela de Block Parameters Step aberta para ajuste do tempo inicial de simulação Depois podemos ajustar o tempo de simulação e iniciala clicando no ícone Run indicado na figura a seguir Salve seu modelo conforme indicado na figura 318 Para ver o gráfico da resposta ao degrau você deve clicar duas vezes com o botão esquerdo do mouse no ícone do Scope 17 Fonte autor Figura 419 Área de trabalho com os blocos conectados e pronto para iniciar a simulação A figura a seguir apresenta o resultado da simulação com o gráfico do Scope depois de rodar os dez segundos de simulação Como verficamos em função dos valores da massa da mola e do amortecedor teremos a resposta de que o deslocamento do corpo aumenta até entrar em regime em um valor de 05m Tempo de parada da simulação Não esqueça de salvar o seu modelo Clique duas vezes no Scope ver o gráfico da saída 18 Fonte autor Figura 420 Gráfico do Scope com o resultado da resposta ao degrau Esta simulação poderia ter sido feita na tela de comandos do Matlab ou no Octave através da simulação da função de transferência Os comandos são obtidos a partir da função de transferência do sistema Determinação da função de transferência 𝟐𝒙 𝒕 𝟓𝒙𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 Aplicando a transformada de Laplace sobre os dois membros as propriedades da transformada e impondo condições iniciais nulas vemos que 𝓛𝟐𝒙 𝒕 𝟓𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 𝟐𝒔𝟐𝑿𝒔 𝟓𝑿𝒔 𝟐𝑿𝒔 𝑭𝒔 Isolando a relação entre Xs e Fs no primeiro membro da equação 𝟐𝒔𝟐 𝟓 𝟐𝑿𝒔 𝑭𝒔 𝑮𝒔 𝑿𝒔 𝑭𝒔 𝟏 𝟐𝒔𝟐 𝟓 𝟐 19 Comandos no Octave ou Matlab Para entrar no Octave o site é octaveonlinenet e os comandos são num1 den2 5 2 gtfnumden Na tela demonstrada na figura 421 aparecerá a função de transferência do sistema Fonte autor Figura 421 Tela do programa Octave com a função de transferência a ser simulada Por último deverá ser dado o comando step stepg Na figura a seguir está o resultado na tela do programa Octave Demonstramos um gráfico dos pontos advindos da simulação numérica feita pelo Octave O gráfico é o mesmo obtido com o Matlab Coloque os comandos nesta área da tela área de comandos 20 Fonte autor Figura 422 Tela do programa Octave com o gráfico da resposta ao degrau O programa Matlab pode ser utilizado na versão teste por 30 dias habilitada através do cadastro no site httpswwwmathworkscomproductsmatlabonlinehtml Além deste programa e do Octave podemos trabalhar com o Scilab versão gratuita que pode ser instalada no computador Exemplo 2 Estude o comportamento da suspensão de ¼ de um carro sabendo que a via possui variações de deslocamento vertical entrada que geram a movimentação horizontal da massa do carro Como estamos avaliando uma roda conforme apresentado na figura 322 verificamos que a massa do carro pode ser em uma primeira aproximação dividida por 4 Dados m300kg massa de ¼ do carro k 23Nmm b27 Nsmm 21 Fonte autor Figura 423 Esquema simplificado do deslocamento de uma roda do carro Solução Não se trata de uma entrada de força aplicada sobre a massa mas de um deslocamento devido á variações verticais que ocorrem no solo Assim podemos em uma primeira aproximação desenvolver o seguinte modelo desprezando efeitos de amortecimento e oscilação devido ao pneu que a variação vertical seja uma entrada aplicada no ponto P indicado na figura 424 Fonte autor Figura 424 Esquema com o modelo de ¼ do veículo Assim vamos admitir que a entrada é o movimento do ponto P ou seja o deslocamento x1t e a saída seja o deslocamento da massa isto é x0t Consideraremos o movimento do carro somente na direção vertical e o deslocamento do corpo é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da variável x0t ou seja partese com o peso do corpo equilibrado pela força da mola k b P x0t x1t Massa de ¼ do veículo 22 Elaborando o DCL do corpo de massa m Fonte autor Figura 425 DCL do modelo de ¼ do veículo As relações constitutivas levam em consideração a diferença do deslocamento da pista x1t representada pelo ponto P com o deslocamento da massa do carro x0t Não se consideram atritos no sistema Utilizando as relações constitutivas 𝑭𝒕𝒎𝒐𝒍𝒂 𝑭𝒌𝒕 𝒌𝒙𝟎𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝑭𝒕𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑭𝒃𝒕 𝒃𝒗𝒕 𝒃𝒙 𝟎𝒕 𝒙 𝟏𝒕 E a segunda lei de Newton 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒂𝒕 𝒎 𝒗 𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 𝑭𝒌𝒕 𝑭𝒃𝒕 𝒎𝒙 𝟎𝒕 Substituindo as relações constitutivas 𝒌𝒙𝟎𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒃𝒙 𝟎𝒕 𝒙 𝟏𝒕 𝒎𝒙 𝟎𝒕 Isolando o deslocamento do corpo saída no primeiro membro da equação obtida e o deslocamento devido à pista no ponto P entrada no segundo membro obtemos a seguinte equação diferencial de segunda ordem linear e invariante no tempo 𝒎𝒙 𝟎𝒕 𝒃𝒙 𝟎𝒕 𝒌𝒙𝟎𝒕 𝒃𝒙 𝟏𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 Massa de ¼ do veículo Ft molafkt Ftamortecedorfbt x0t 23 Substituindo os valores numéricos 𝟑𝟎𝟎𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟕𝟎𝟎𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙𝟎𝒕 𝟐𝟕𝟎𝟎𝒙 𝟏𝒕 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏𝒕 Finalmente dividindose os dois membros por 100 𝟑𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟕𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟎𝒕 𝟐𝟕𝒙 𝟏𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝒕 Comentário final tratase de um modelo simplificado pois não contempla todos os componentes de uma suspensão de um carro não modela os efeitos do pneu e não inclui as nãolinearidades Observação Podemos obter a solução analítica da resposta do deslocamento vertical do carro frente a uma variação em degrau unitário para o deslocamento da pista Basta aplicar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e impor o degrau unitário Podemos também obter a função de transferência e fazer a simulação no Octave Solução analítica Aplicando a transformada de Laplace nos dois membros da equação com condições iniciais nulas 𝓛𝟑𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟕𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟎𝒕 𝓛𝟐𝟕𝒙 𝟏𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝒕 𝟑𝒔𝟐𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟕𝒔𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟑𝟎𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟕𝒔𝑿𝟏𝒔 𝟐𝟑𝟎𝑿𝟏𝒔 Isolando X0s no primeiro membro e X1s no segundo membro vemos 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝑿𝟏𝒔𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Dado que X1s é um degrau unitário implica que 𝒙𝟏𝒕 𝟏𝒕 𝓛𝒙𝟏𝒕 𝑿𝟏𝒔 𝟏𝒔 Logo 24 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟏 𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕 𝟐𝟑𝟎 𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔 Isolando X0s no primeiro membro 𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Calculando a transformada inversa através da expansão em frações parciais Raízes de 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟎 𝒔𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟐𝟕𝟐 𝟒 𝟑 𝟐𝟑𝟎 𝟐 𝟑 𝟐𝟕 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕𝟔𝟎 𝟔 𝒔𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕𝟔𝟎 𝟔 𝒔𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕𝟔𝟎 𝟔 𝟐𝟕 𝟒𝟓 𝟎𝟔𝒋 𝟔 𝒔𝟏𝟐 𝟒 𝟓 𝟕 𝟓𝒋 É o caso de expansão com raízes complexas 𝑿𝟎𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Calculando r1 raiz real r2 e r3 raízes complexastemos Cálculo de r1 raiz real 𝒓𝟏 𝒔 𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟎 𝟐𝟕 𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟑 𝟎𝟐 𝟐𝟕 𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟏 Cálculo de r2 e r3 raízes complexas Para 𝒓𝟏 𝟏 teremos a seguinte igualdade 𝟏 𝒔 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Tirando o mínimo no primeiro termo da igualdade 25 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Aplicando a distributiva no numerador do primeiro termo 𝟑 𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟐𝟕 𝒓𝟑𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Para que a igualdade se verifique o numerador do primeiro membro deve ser igual ao do segundo membro da igualdade Assim por comparação temos que O termo independente de s já é igual nos dois numeradores O termo em s deve ser igualado e o termo em s2 deve ser nulo 𝟐𝟕 𝒓𝟑 𝟐𝟕 𝒓𝟑 𝟎 𝟑 𝒓𝟐 𝟎 𝒓𝟐 𝟑 Assim a expansão fica igual a 𝑿𝟎𝒔 𝟏 𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟏 𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 O primeiro termo possui transformada inversa igual ao degrau unitário e o segundo termo será obtido a partir do par de transformada da tabela dado por par 25 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝓛 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏 𝝃𝟐 𝝃 𝟎 𝝃 𝟏 𝟎 𝝅 𝟐 Note que o termo em s2 do par da tabela deve ser multiplicado por 1 portanto devemos colocar em evidência o número 3 que multiplica este termo 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕 𝟑 𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟑 𝒔 𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟕𝟔 𝟔𝟕 Cálculo de 𝝎𝒏 e 𝝃 Logo por comparação dos termos do denominador do valor numérico dado acima com 26 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Vemos que 𝛚𝐧 𝟐 𝟕𝟔 𝟔𝟕 𝛚𝐧 𝟖 𝟕𝟓𝟔 𝐫𝐚𝐝𝐬 Ainda 𝟐𝛏𝛚𝐧 𝟗 𝛏 𝟗 𝟐𝛚𝐧 𝟗 𝟐 𝟖 𝟕𝟓𝟔 𝟎 𝟓𝟏𝟒 Fornecendo a transformada inversa do segundo termo da expansão 𝟏 𝟏 𝛏𝟐 𝐞𝛏𝛚𝐧𝐭𝐬𝐞𝐧 𝛚𝐧𝟏 𝛏𝟐 𝐭 𝟏 𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟐 𝐞𝟎𝟓𝟏𝟒𝟖𝟕𝟓𝟔𝐭𝐬𝐞𝐧 𝟖 𝟕𝟓𝟔𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟐 𝐭 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠 𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟐 𝟎 𝟓𝟏𝟒 𝟏 𝟏𝟔𝟔𝐞𝟒𝟓𝐭𝐬𝐞𝐧𝟕 𝟓𝐭 𝟏 𝟎𝟑 𝐞𝐦 𝐫𝐚𝐝 Finalmente a transformada inversa de X0s será igual a 𝓛𝟏𝑿𝟎𝒔 𝒙𝟎𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟏𝟔𝟔𝒆𝟒𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟓𝒕 𝟏 𝟎𝟑 𝒙𝟎𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟏𝟔𝟔𝒆𝟒𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟓𝒕 𝟏 𝟎𝟑 O gráfico desta resposta pode ser determinado no Octave através dos comandos t000012 x0onessizet1166exp45tsin75t103 plottx0 grid titleGráfico da resposta ao degrau unitário no deslocamento da via ylabeldeslocamento do corpo m xlabeltempos 27 Com esses comandos obtemos o gráfico dado a seguir na figura 426 Fonte autor Figura 426 Gráfico da resposta à entrada degrau unitário para o modelo simplificado de suspensão Esta mesma resposta poderia ser obtida através da simulação da função de transferência do sistema massa mola e amortecedor No caso teremos a seguinte função de transferência que pode ser determinada a partir da aplicação da transformada de Laplace sobre a equação diferencial obtida que resultou em 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝑿𝟏𝒔𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Isolando a razão entre X0s e X1s vemos que 𝑮𝒔 𝑿𝟎𝒔 𝑿𝟏𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 28 Simulando no Octave com os seguintes comandos num27 230 den3 27 230 gtfnumden stepg O gráfico está representado na figura 426 Como demonstrado é a mesma resposta Assim quando não é necessário calcular o valor analítico e desejase fornecer valores do deslocamento do corpo basta simular o valor no tempo através da função de transferência Fonte autor Figura 426 Gráfico da resposta à entrada degrau unitário para a função de transferência do modelo simplificado de suspensão Exemplo 3 Determine a equação do movimento do corpo m1 e m2 da figura 427 e depois determine a função de transferência dos deslocamentos destes corpos com relação à força aplicada Ft 29 Suponha que não existe atritos entre os corpos e o piso Dados das massas e coeficientes m1m21kg k11Nm e k22Nm b3sNm Fonte autor Figura 427 Sistema massamolaamortecedor com dois corpos Solução inicialmente devemos fazer o DCL de cada corpo Massa m1 Massa m2 Fonte autor Figura 428 DCL dos dois corpos do sistema massamolaamortecedor 30 Desenvolvendo a equação do movimento para o corpo 1 e lembrando que as forças da mola e do amortecedor entre os dois corpos são por convenção adotada aqui dadas por 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝟏𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 A utilização da diferença de 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 vem do fato que o corpo m1 é o primeiro a se deslocar em função da força está sendo aplicada neste corpo Aplicando a lei de Newton ao corpo m1 𝑭𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo os valores das forças e colocando a equação na forma final 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒕 1 Aplicando a lei de Newton para o corpo m2 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝟐𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝟏𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo os valores das forças e colocando a equação na forma final 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒌𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟎 2 As equações 1 e 2 representam as equações de movimento do corpo 1 e do corpo 2 respectivamente 31 Como se verifica temos duas equações a duas incógnitas Para determinar as funções de transferência devemos aplicar a transformada de Laplace nas duas equações e isolar um dos deslocamentos e depois substituir na outra equação Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas na equação 1 𝓛 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝓛𝑭𝒕 Simplificando a equação e substituindo os valores numéricos 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟏𝑿𝟏𝒔 𝟑𝒔 𝟏𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 3 Aplicando na equação 2 𝓛 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒌𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟎 Simplificando a equação 𝒎𝟐𝒔𝟐𝑿𝟐𝒔 𝒃𝒔𝑿𝟏𝒔 𝒃𝒔𝑿𝟐𝒔 𝒌𝟏𝑿𝟏𝒔 𝒌𝟏𝑿𝟐𝒔 𝒌𝟐𝑿𝟐𝒔 𝟎 4 Isolando 𝑿𝟏𝒔 na equação 4 vemos que 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑𝑿𝟐𝒔 𝟑𝒔 𝟏𝑿𝟏𝒔 𝟎 Logo 𝑿𝟏𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 Substituindo na equação 3 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝟑𝒔 𝟏𝟐 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 Devemos fazer algumas manipulações algébricas 𝒔𝟒 𝟑𝒔𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟑𝒔𝟑 𝟗𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟗𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟏 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 32 Simplificando 𝒔𝟒𝟔𝒔𝟑𝟒𝒔𝟐𝟔𝒔𝟐 𝟑𝒔𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 5 Logo a função de transferência do deslocamento do corpo 2 será dada por 𝑮𝟐𝒔 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟒 𝟔𝒔𝟑 𝟒𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟐 Para a relação entre o deslocamento do corpo 1 e a força basta substituir 𝑿𝟐𝒔 por 𝑿𝟏𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑿𝟐𝒔 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝑿𝟏𝒔 Indo em 5 𝒔𝟒 𝟔𝒔𝟑 𝟒𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟐 𝟑𝒔 𝟏 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝑿𝟏𝒔 𝑭𝒔 Fornecendo a função de transferência do deslocamento do corpo 1 𝑮𝟏𝒔 𝑿𝟏𝒔 𝑭𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝒔𝟒 𝟔𝒔𝟑 𝟒𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟐 Modelos matemáticos de Sistemas Mecânicos Rotacionais Nestes sistemas as variáveis de interesse são a posição velocidade e aceleração angulares Ao invés de forças falamos em momento ou torque Ao contrário de massa definese a inércia em relação ao eixo de rotação do corpo A Inércia é uma propriedade da massa que fornece a informação de como a massa está distribuída no espaço É também chamada de Momento de Inércia de um corpo em relação a um eixo e é dado por 𝑱 𝒓𝟐 𝒂 𝑽 𝒅𝒎 33 Exemplos 1 Para massa pontual 𝑱 𝒎𝑹𝟐 Figura 429 Massa pontual m girando em torno de um ponto O a uma distância R 2 Cilindro de massa m e densidade ρ com comprimento L Fonte autor Figura 430 Cilindro de massa m girando em torno de um eixo x 𝑱 𝟐𝝅𝒓𝟑𝑳𝝆𝒅𝒓 𝑹 𝟎 𝑱 𝟐𝝅𝑳𝝆 𝒓𝟑𝒅𝒓 𝑹 𝟎 𝝅𝑳𝝆 𝑹𝟒 𝟐 Como 𝑽 𝝅𝑹𝟐𝑳 𝑴 𝝅𝑹𝟐𝑳𝝆 Daí 𝑱 𝑴 𝑹𝟐 𝟐 O Torque τ cuja unidade é Nm faz o papel da força dos sistemas translacionais Note na figura 430 que o torque é gerado por uma força F e está aplicado ao eixo gerando o movimento de rotação e portanto variando a posição a velocidade e a aceleração angular Ele pode ser calculado por 𝝉𝒕 𝑭𝒕 𝑳 𝝎 𝒎 𝑹 𝑶 34 Fonte autor Figura 431 Disco com movimento de rotação devido ao torque aplicado Fisicamente podemos observar o movimento quando aplicamos uma força em uma maçaneta e o movimento dela causa o giro do eixo acoplado ao mecanismo de introdução da lingueta dentro do casulo para então abrir a porta A partir daí podemos definir um componente genérico de rotação sob a ação deste torque que sofrerá variações angulares conforme apresentado na figura 431 dada a seguir Teremos as seguintes relações para as variáveis deste componente genérico 𝜽𝟐𝟏 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝎𝟐𝟏 𝜽 𝟐𝟏 𝜽 𝟐 𝜽 𝟏 𝝎𝟐 𝝎𝟏 𝜶𝟐𝟏 𝜽 𝟐𝟏 𝜽 𝟐 𝜽 𝟏 𝝎 𝟐 𝝎 𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝟏 Fonte autor 35 Figura 432 Componente genérico de rotação O cálculo da potência P é dado pelo produto 𝑷𝒕 𝝉𝒕𝝎𝟐𝟏𝒕 Nos sistemas de rotação teremos os seguintes componentes inércia que foi descrita acima a mola torcional e o amortecedor rotacional A seguir são apresentadas as formulações sobre cada um destes componentes dos sistemas mecânicos rotacionais Como já foi explicado existem os elementos transformadores como os redutores e amplificadores e componentes mistos de transformação como por exemplo o mecanismo tipo bielamanivela etc Mola Torcional A figura 433 apresenta uma mola torcional o torque da mola é proporcional ao deslocamento angular 𝝉 𝒌𝜽𝟐𝟏𝒕 𝒌 𝝎𝟐𝟏𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝟎 Este elemento armazena energia potencial 𝑬𝑷 𝒌 𝝎𝟐𝟏𝒅𝒕 𝒕 𝟎 Fonte autor Figura 433 Mola torcional com a relação de deslocamentos angulares de entrada e saída 36 Amortecedor Rotacional A figura 434 apresenta o amortecedor rotacional onde o torque do amortecedor é proporcional à velocidade angular Fonte autor Figura 434 Amortecedor torcional com a relação de velocidades angulares de entrada e saída Vale 𝝉 𝑩𝝎𝟐𝟏 𝑩𝜽 𝟐𝟏 Uma vez definidos os elementos podemos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento de rotação 𝝉𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝑱𝜶𝒕 𝑱𝝎 𝒕 𝑱 𝜽 𝒕 Exemplo de desenvolvimento de modelos para movimento de rotação 1 O sistema mecânico de rotação da figura 435 possui um rotor de um motor elétrico com momento de inércia J1 Este motor está acoplado a um propulsor via rotor sendo que a potência é transmitida através de um acoplamento fluídico com coeficiente de atrito viscoso B e um eixo de torção com uma constante de mola K Existe o torque acionador devido ao motor 𝝉𝒂𝒕 sendo exercido em J1 e um torque de carga exercido em J2 Determine 37 a o comportamento das posições angulares 𝜽𝟏𝒕 e 𝜽𝟐𝒕 em função do torque acionador b A função de transferência dada por 𝑮𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 supondo que 𝝉𝑪𝒕 𝟎 Fonte autor Figura 436 Sistema de transmissão de movimento de um motor para um propulsor Solução a Como desenvolvido nos sistemas de translação vamos realizar o Diagrama de Corpo Livre dos corpos rotor e propulsor e do eixo com efeito de mola torcional conforme apresentado na figura 335 Fonte autor Figura 437 DCL dos corpos motor e propulsor incluindo o eixo com efeito torcional de mola Relações Constitutivas No amortecedor 𝝉𝑩𝒕 𝑩𝝎𝟏𝒕 𝝎𝑩𝒕 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝜽 𝑩𝒕 38 Na mola 𝝉𝒌𝒕 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝜽𝟐𝒕 Observe que no acoplamento a entrada é o deslocamento angular do rotor do motor 𝜽𝟏𝒕 e que a saída tem um deslocamento angular diferente aqui denominado como 𝜽𝑩𝒕 O primeiro valor da diferença dos ângulos ou velocidade nas relações é feita em função do sentido onde o torque atuador foi aplicado Aplicando a 2ª lei de Newton para o movimento de cada corpo e eixo observando o sentido de movimento proposto para definir os sinais dos torques existentes nos componentes estudados Corpo 1 𝝉𝒂𝒕 𝝉𝑩𝒕 𝑱𝟏𝜶𝟏𝒕 𝑱𝟏𝜽 𝟏𝒕 𝑱𝟏𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝜽 𝑩𝒕 𝝉𝒂𝒕 Corpo 2 𝝉𝒌𝒕 𝝉𝑪𝒕 𝑱𝟐𝜶𝟐𝒕 𝑱𝟐𝜽 𝟐𝒕 𝑱𝟐𝜽 𝟐 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝜽𝟐𝒕 𝝉𝑪𝒕 Eixo 𝝉𝑩𝒕 𝝉𝒌𝒕 𝟎 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝜽 𝑩𝒕 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝜽𝟐𝒕 𝟎 Note que neste equacionamento existem duas entradas o torque do motor e o torque de carga do propulsor Com estes valores definidos as constantes definidas e verificando que temos três incógnitas para três equações é possível determinar o comportamento dos deslocamentos angulares solicitados em função das entradas b Nas equações obtidas vamos aplicar a transformada de Laplace impondo condições iniciais nulas e lembrando que o propulsor não tem um torque de carga 𝝉𝑪𝒕 𝟎 e desejase calcular a função de transferência de deslocamento angular do corpo 2 em função do torque acionador Corpo 1 𝓛𝑱𝟏𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝑩𝒕 𝓛𝝉𝒂𝒕 𝑱𝟏𝒔𝟐𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝑩𝒔 𝚻𝑩𝒔 Corpo 2 𝓛𝑱𝟐𝜽 𝟐 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝒌𝜽𝟐𝒕 𝟎 𝑱𝟐𝒔𝟐𝜽𝟐𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝒌𝜽𝑩𝒔 𝟎 39 Eixo 𝓛𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝑩𝒕 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝒌𝜽𝟐𝒕 𝟎 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝑩𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝒌𝜽𝑩𝒔 𝟎 Manipulando a última equação isto é colocando em evidência o termo 𝜽𝑩𝒔 vemos que 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝑩𝒔 𝒌𝜽𝑩𝒔 𝟎 Temos as três equações as três incógnitas na variável s Isolando 𝜽𝑩𝒔 na equação do corpo 2 𝜽𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝜽𝟐𝒔 Substituindo 𝜽𝑩𝒔 na equação do corpo 1 𝑱𝟏𝒔𝟐𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑱𝟏𝒔𝟐 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 1 Substituindo na equação do eixo 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝑩𝒔 𝒌 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝜽𝟐𝒔 𝟎 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝟎 2 Isolando 𝜽𝟏𝒔 na equação 2 temse que 𝜽𝟏𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝜽𝟏𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝑱𝟐 𝑩 𝒔 𝟏 𝜽𝟐𝒔 Substituindo 𝜽𝟏𝒔 obtido na equação 1 chegase em 𝑱𝟏𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝑱𝟐 𝑩 𝒔 𝟏 𝜽𝟐𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 Trabalhando cada termo da equação para isolar 𝜽𝟐𝒔 no primeiro membro vemos que 40 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏𝒔𝟐 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 Logo 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑮𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝟏 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 Observação final podemos ainda determinar mais duas funções de transferência a que relaciona o deslocamento angular do corpo 1 com o torque acionador e a que relaciona o deslocamento angular 𝜽𝑩𝒔 com o torque acionador chegando em 𝑮𝟏𝒔 𝜽𝟏𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝑱𝟐 𝑩 𝒔 𝟏 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 e 𝑮𝟐𝒔 𝜽𝑩𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 42 Modelagem de sistemas fluídicos elementos básicos e exemplos de aplicação Nos sistemas de nível podemos trabalhar com as leis físicas de balanço de massa e depois definir alguns elementos básicos como os que fazem oposição à passagem do fluxo de água resistência fluídica e a capacitância fluídica Alguns exemplos de modelos são apresentados a seguir para melhor compreensão desenvolvimento do modelo matemático 41 Exemplo 1 Um tanque recebe água de uma tubulação e começa a aumentar o seu nível conforme representado na figura 436 Determine o comportamento do nível ht em função da vazão de entrada qint Fonte autor Figura 438 Esquema com um tanque que recebe uma vazão de entrada qint Solução fazendo um balanço de massa observamos que a variação de massa que está no tanque é a que entra em função da vazão qint ou seja 𝒅𝑴𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 Onde Mtkg é a massa no tanque no instante t 𝝆𝒊𝒏 𝒌𝒈𝒎𝟑 é a densidade do fluido que entra no tanque e que será constante e igual a densidade do fluido no tanque e 𝝆 𝒌𝒈𝒎𝟑 e 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒎𝟑𝒔 é a vazão volumétrica que entra no tanque Lembrando que 𝑴𝒕 𝝆𝑽𝒕 𝝆𝑨 𝒉𝒕 Onde A é a área da seção do tanque que é constante ao longo da altura do tanque e 𝝆 é a densidade do fluido no tanque constante Substituindo o valor da massa na primeira equação 𝒅𝝆𝑨 𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 Podemos cancelar o valor de 𝝆 𝒄𝒐𝒎 𝝆𝒊𝒏 pois são iguais a área não varia com o tempo e chegaremos a seguintes equação 𝑨 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 42 Note que chagamos em uma equação diferencial incompleta de primeira ordem de fácil integração para determinarmos como o nível ht se comporta em função da vazão de entrada qint 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒅𝒉𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 Integrando 𝒅𝒉𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 Note que o nível é a integral da vazão de entrada Se aplicarmos um degrau de vazão isto é qint1t com a área A2m2 teremos 𝒉𝒕 𝟏 𝟐 𝟏𝒅𝒕 𝟏 𝟐 𝒕 𝒄𝒕𝒆 Se o tanque estiver vazio em t0s teremos k0 e 𝒉𝒕 𝟎 𝟓𝒕 Como se verifica o sistema de nível dado tem um caráter integrador Se avaliarmos a função de transferência iremos verificar que 𝓛 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟐𝒔𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟏 𝟐𝒔 Esta função de transferência possui apenas um polo em s0 ou p0 Assim quando temos um polo na origem do plano s o sistema tem um caráter integrativo Veja a resposta ao degrau unitário na figura 439 dada a seguir 43 Fonte Autor Figura 439 Esquema da resposta ao degrau unitário do sistema de nível Note que 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟏 𝒔 𝑯𝒔 𝟎 𝟓 𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟎 𝟓 𝒔 𝟏 𝒔 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 Aplicando a transformada inversa de Laplace por meio da tabela vemos que 𝒉𝒕 𝟎 𝟓𝒕 Como se observa na entrada do sistema foi colocado um sinal constante e a saída corresponde a uma rampa que revela novamente o caráter integrativo do sistema Assim sistemas que possuem polos na origem com os demais polos com parte real negativa acabam gerando uma saída que é a integral da entrada Exemplo 2 Estude o comportamento do nível no tanque representado na figura 439 que possui uma vazão de entrada qint e uma vazão de saída qoutt Fonte autor Figura 439 Esquema da resposta ao degrau unitário do sistema de nível Solução fazendo um balanço de massa observamos que a variação de massa que está no tanque ocorre devido à diferença entre a vazão de entrada qint e a vazão de saída qoutt ou seja 𝒅𝑴𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝆𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 44 Onde Mtkg é a massa de fluido no tanque no instante t 𝝆𝒊𝒏 𝒌𝒈𝒎𝟑 é a densidade do fluido que entra no tanque e que será constante e igual a densidade do fluido no tanque 𝝆 𝒌𝒈𝒎𝟑 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒎𝟑𝒔 é a vazão volumétrica que entra no tanque e 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒎𝟑𝒔 é a vazão volumétrica que sai do tanque Novamente a massa que fica no tanque pode ser expressa em função do nível 𝑴𝒕 𝝆𝑽𝒕 𝝆𝑨 𝒉𝒕 Assim como a densidade é constante e a área A também vemos que 𝒅𝝆𝑨 𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝆𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝑨𝝆 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝆𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 Então 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 A vazão de saída como já apresentado pode ser descrita em função do nível através de uma relação nãolinear quando o regime de escoamento é turbulento Assim 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒌𝒉𝒕 Esta relação depende das perdas que existem nas tubulações e também de eventuais perdas concentradas válvulas cotovelos etc A equação final nãolinear fica igual a 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Se o regime de escoamento for laminar a relação é de proporcionalidade e a equação é linear o que não é comum 45 Como já foi demonstrado podemos linearizar esta relação em torno de um ponto de operação e avaliar o funcionamento do sistema linear para pequenas variações em torno deste ponto Ao final teremos uma equação diferencial de primeira ordem que é válida para variações em torno do ponto de operação Assim teremos um ponto de operação com valor h0 e qin0 definidos A função quadrática pode ser aproximada pela série de Taylor fornecendo 𝒇𝒉 𝒉 𝒉𝟎 𝒅𝒉 𝒅𝒉 𝒉𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 𝟏 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 𝒉𝒕 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝒉𝟎 𝒉𝟎 𝒂𝒉𝒕 𝒃 Onde 𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒆 𝒃 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝒉𝟎 𝒉𝟎 Voltando para a equação diferencial 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒃 𝒒𝒊𝒏𝒕 Quando se estuda uma pequena variação𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 em torno do ponto de operação 𝒉𝟎 𝒒𝒊𝒏𝟎 os valores de ht e qint podem ser calculados fazendo 𝒉𝒕 𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒅𝒉 𝒕 𝒉𝟎 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒃 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒅𝒉 𝒕 𝒉𝟎 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒌𝒂𝒉𝟎 𝒌𝒃 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 46 Na condição de regime o termo da derivada da equação será nulo e como não existem variações pois temos uma situação de regime as variações serão nulas isto é 𝒉𝒕 𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟎 Dessa forma a equação fica igual a 𝟎 𝒌𝒂𝟎 𝒌𝒂𝒉𝟎 𝒌𝒃 𝟎 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒌𝒂𝒉𝟎 𝒌𝒃 𝒒𝒊𝒏𝟎 Ou seja podemos cancelar estes valores na equação e determinar a equação linearizada que será igual a 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Alguns autores da área de simulação fazem uma analogia com o sistema elétrico para os diversos sistemas físicos e definem um elemento de resistência e um elemento capacitivo Isto facilita os cálculos quando agregamos dois sistemas de nível acoplados Vejamos as definições que são utilizadas na situação descrita Componentes dos sistemas fluídicos Resistência entendese aqui como elemento que faz oposição à passagem do fluido cuja grandeza física é a vazão Como foi citado uma válvula e a própria tubulação fazem essa oposição Em OGATA 2010 é utilizada uma definição para resistência consideremos o fluxo ao longo de uma tubulação curta que conecta dois reservatórios A resistência ou restrição R ao fluxo de líquido nessa tubulação é definida como a variação na diferença de nível dos líquidos nos dois reservatórios necessária para causar uma variação unitária na taxa de escoamento vazão isto é 𝑹 𝒅𝑯 𝒅𝑸 47 Capacitância Fluídica a capacitância de um reservatório é definida como a variação na quantidade de líquido armazenado volume necessária para causar uma alteração unitária na altura potencial isto é 𝑪 𝒅𝑽 𝒅𝑯 Observação através da fórmula dada supondo que o reservatório tenha uma área constante ao longo da sua altura podemos dizer que a capacitância é igual a área de sua seção transversal pois VAH e se aplicarmos a definição da capacitância 𝑪 𝒅𝑨𝑯 𝒅𝑯 𝑨 𝟏 𝑨 Onde V é o volume do tanque H é a altura do fluido e A é a área da seção transversal Exemplo de aplicação Nos sistemas de controle de nível normalmente o controle é elaborado da seguinte forma medese o nível e o sinal é enviado para o controlador No controlador este sinal é comparado com um valor de referência set point e gera se um erro No controle digital este erro é utilizado em uma equação de diferenças de uma estratégia de controle específica para gerar a saída do controlador O sinal de saída é aplicado em uma válvula de controle da vazão de entrada do tanque para alterar o nível A vazão de saída não é controlada sendo uma variável de perturbação O modelo matemático do tanque é importante para projetar o controlador Não só do tanque mas da válvula de controle e do sensor de nível A figura 440 apresenta o tanque com fluido onde se deseja propor um modelo matemático que forneça o comportamento do nível em função da vazão de entrada Note que existe uma válvula na saída do tanque que pode alterar a vazão de saída 48 Fonte autor Figura 440 Sistema de nível de líquido com válvula de controle na entrada e válvula manual na saída Solução neste caso vamos utilizar os efeitos de resistência ao fluxo imposto pela perda concentrada da válvula manual na saída com o objetivo de estabelecer a relação entre a vazão de entrada qint e o nível ht que é a saída do sistema Vamos verificar dois comportamentos para o modelo matemático para o fluxo de saída através da válvula ser laminar ou por ser turbulento a Se o fluxo de saída através da válvula manual for laminar a relação entre vazão de saída e o nível é de proporcionalidade 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒌𝒉𝒕 Onde 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 é a vazão volumétrica em regime permanente em m3s K é um coeficiente em m2s e ht é o nível em regime permanente em m Assim a resistência para o fluxo laminar será dada por 𝑹𝒍 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 Note que Rl1k Pelo balanço de massa teremos que a diferença entre a vazão de entrada e saída em um intervalo de tempo dt é igual à quantidade adicional armazenada no tanque isto é 𝒅𝑽 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 Como foi visto na definição de capacitância fluídica 49 𝒅𝑽 𝑪 𝒅𝒉𝒕 Assim temos 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 Substituindo 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 pela relação com a resistência devido ao fluxo laminar 𝑹𝒍 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒍 Chegase no seguinte modelo para o sistema de nível 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒍 𝒒𝒊𝒏𝒕 Ou simplesmente 𝑹𝒍𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒍𝒒𝒊𝒏𝒕 b Se o fluxo de saída através da válvula manual for turbulento a relação entre vazão de saída e o nível é quadrática isto é 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒌𝒉𝒕 Diferentemente do exemplo 2 podemos calcular a resistência e verificaremos que ela depende do ponto de operação do sistema já que não é uma relação linear No entanto em torno do ponto de operação podemos supor que a resistência é constante utilizando a reta tangente que passa pelo ponto ou seja a função dada acima é linearizada em torno do ponto de operação 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 conforme apresentado na figura 441 Ponto de operação 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒎𝟑𝒔 𝒉𝒕 𝒎 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 50 Fonte autor Figura 441 Curva entre ht e qoutt com indicação do ponto de operação para processo de linearização O modelo linearizado é válido para as variações 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 em torno do ponto de operação 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 A resistência do regime turbulento será calculada fazendose 𝑹𝒕 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒒𝒐𝒖𝒕 𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 Podemos expressar ht em função de qoutt que valerá 𝒉𝒕 𝒌𝟏𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 Note que 𝒌𝟏 𝒉𝒕𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 Assim teremos 𝑹𝒕 𝒅𝒌𝟏𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 𝒅𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 𝟐𝒌𝟏𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 Substituindo o valor de k1 𝑹𝒕 𝟐 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 𝑹𝒕 𝟐 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 O modelo linearizado será dado em função das variações em torno do ponto de operação e terá a mesma relação obtida para o modelo do regime laminar ou seja a equação diferencial final será dada por 𝑹𝒕𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒕𝒒𝒊𝒏𝒕 51 Note para o ponto de operação escolhido o valor da vazão de saída e de entrada é o mesmo já que se admite que existe a situação de regime permanente ou seja o nível é o valor de operação e a vazão de saída é igual a vazão de entrada A partir daí teremos um modelo equivalente ao laminar porém com um valor de resistência diferente que varia em torno do ponto de operação que se está trabalhando Modelo Linearizado 𝑹𝒕𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒕𝒒𝒊𝒏𝒕 c Modelo com dois tanques a figura 442 apresenta um sistema com dois tanques onde a vazão de saída do primeiro corresponde a vazão de entrada do segundo tanque havendo válvulas manuais que restringem o fluxo nas saídas dos tanques e uma válvula de controle no primeiro tanque Admitindo o regime turbulento e que temos pequenas variações em torno de um ponto de operação determine a função de transferência que relaciona o nível do segundo tanque com a vazão de entrada do tanque 1 Utilize os elementos de capacitância C1 e C2 e de resistência Rt1 e Rt2 para os tanques 1 e 2 respectivamente Fonte autor Figura 442 Representação de um sistema de nível de dois tanques interconectados 52 As variáveis do modelo são válidas em torno do ponto de operação quando em regime permanente com pequenas variações em torno deste ponto ou seja 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟎𝟏 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟎𝟐 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝟎 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝟎 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕 Solução devemos determinar as equações dos modelos de cada tanque e lembrar que a vazão de saída do tanque 1 é igual a vazão de entrada do tanque 2 mas é calculada em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 da figura 442 Valem as relações Para o tanque 1 𝑪𝟏𝒅𝒉𝟏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏 Para o tanque 2 𝑪𝟐𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟐 Substituindo os valores das vazões de saída nas equações de balanço de massa 𝑪𝟏𝒅𝒉𝟏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝒅𝒕 𝑪𝟏 𝒅𝒉𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟏𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 53 𝑪𝟐𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝑹𝒕𝟏 Temos duas equações a duas incógnitas 𝒉𝟏𝒕 e 𝒉𝟐𝒕 Podemos calcular o valor da função de transferência que relaciona o nível do segundo tanque com a vazão de alimentação do tanque 1 isolando 𝒉𝟏𝒕 na segunda equação e substituindo o valor obtido na primeira equação 𝒉𝟏𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 Substituindo na primeira equação 𝑪𝟏 𝒅 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Trabalhando a equação acima 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟐 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Finalmente 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟐𝒒𝒊𝒏𝒕 Aplicando a transformada de Laplace sobre os dois membros da equação vemos que 54 𝓛 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝓛𝑹𝒕𝟐𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐𝒔𝟐𝑯 𝟐𝒔 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐𝒔𝑯 𝟐𝒔 𝑯 𝟐𝒔 𝑹𝒕𝟐𝑸 𝒊𝒏𝒔 Isolando no primeiro termo da equação a relação 𝑯 𝟐𝒔𝑸𝒊𝒏𝒔 temos 𝑮𝒔 𝑯 𝟐𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝑹𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐𝒔𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐𝒔 𝟏 Obs Podemos determinar outras funções de transferência sempre com relação a vazão de entrada do tanque 1 Por exemplo com a saída sendo o nível do tanque 1 ou a vazão de saída do tanque 2 43 Modelagem de sistemas térmicos elementos básicos e exemplos de aplicação Para os sistemas térmicos podemos definir alguns elementos básicos como a resistência e a capacitância térmica dentro de uma aproximação por parâmetros concentrados nos modelos uma vez que eles têm características distribuídas Como se sabe a resistência térmica faz oposição ao fluxo de calor e a capacitância é a forma de armazenar energia térmica associada à variação de temperatura Valem aqui as seguintes definições Resistência Térmica Para a transferência de calor entre duas substâncias pode ser definida como a razão entre a variação na diferença de temperatura 𝒅𝚫𝜽 oCe a variação na taxa de fluxo de calor 𝐝𝐪kcals ou seja 𝑹 𝒅𝚫𝜽 𝒅𝒒 55 Capacitância Térmica A capacitância térmica é definida como a razão entre a variação no calor armazenado kcal e a variação na temperatura oC A partir desta razão chegase na seguinte equação 𝑪 𝒎𝒄 Onde m é a massa da substância em questão kg e c é o calor específico kcalkgoC A transferência de calor ou simplesmente o calor flui entre duas substâncias ou corpos a partir de três fenômenos observados a condução a convecção e a radiação Esta última não será considerada nesta análise pois ela ocorre quando um dos corpos tem temperatura excessivamente elevada o que não é comum nos sistemas de controle de temperatura Assim podemos aproximar a transferência de calor por condução ou por convecção através da relação 𝒒 𝑲𝚫𝜽 Onde 𝚫𝜽 é a diferença de temperatura entre os dois corpos oC K é o coeficiente de transferência kcalsoC e q é a taxa de fluxo de calor kcals O valor de K é determinado em função do tipo de fenômeno que ocorre Condução 𝑲 𝒌𝑨 𝚫𝐗 Onde 𝒌 é a condutividade térmica kcalmsoC 𝑨 é a área normal ao fluxo de calor m2 e 𝚫𝐗 é a espessura do corpo Convecção 𝑲 𝑯𝑨 Onde A é a área normal e H é o coeficiente de convecção 56 Em função da relação de transferência é fácil determinar que a resistência térmica será dada por 𝑹 𝒅 𝟏 𝑲 𝒒 𝒅𝒒 𝟏 𝑲 Uma vez definido estes elementos do sistema térmico e utilizando o balanço de energia teremos os exemplos abaixo 1 Um tanque representado na figura 443 com um bom isolamento térmico é utilizado para aquecer um fluído que entra com uma vazão mássica G kgs utilizando uma resistência física Para ter uma boa homogeneidade da temperatura é utilizado um misturador que garante a mesma temperatura em todo o tanque temperatura uniforme Determine o comportamento da temperatura de saída do tanque em função da variação da taxa de entrada de calor Fonte autor Figura 443 Representação de um sistema térmico com fluído entrando e saindo do tanque e sendo aquecido por um aquecedor Solução A fim de simplificar cálculos verificase que A temperatura no tanque é a mesma e igual a saída uma vez que temos um isolamento térmico que reduz a perda para o meio externo a valores desprezíveis A temperatura do líquido frio é constante isto é não varia com o tempo 57 A vazão mássica de entrada e saída é a mesma não necessitando de um balanço de massa apenas um balanço de energia Trabalharemos com as seguintes variáveis G é a vazão mássica de entrada e de saída kgs 𝜽𝒊𝒕 é a temperatura de entrada do líquido frio oC e 𝜽𝒐𝒕 é a temperatura de saída do líquido quente oC M é a massa de líquido no tanque kg c é o calor específico do fluído kcalkgoC R é a resistência térmica oCskcal C é a capacitância térmica kcaloC e 𝒉 é a taxa de entrada de calor quando o sistema está em regime permanente kcals imposta pelo aquecedor Supondo que a temperatura do líquido frio de entrada é constante e a taxa de entrada de calor é feita somente pela resistência e na condição de que o regime permanente seja igual a 𝒉 As temperaturas de entrada e saída também estão em regime iguais a 𝜽𝒐 𝒆 𝜽𝒊 Neste instante há uma pequena variação da taxa de entrada de calor do aquecedor dada por 𝒉𝒕 e 𝒉𝒕 𝒉 𝒉𝒕 que causa uma pequena variação na temperatura de saída de 𝜽𝒐𝒕 e 𝜽𝒐𝒕 𝜽𝒐 𝜽𝒐𝒕 e uma pequena taxa de variação da taxa de saída de calor de saída 𝒉𝒐𝒕 e 𝒉𝒐𝒕 𝒉𝒐 𝒉𝒐𝒕 O balanço de calor é dado por 𝑪𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒕 𝒉𝒐𝒕𝒅𝒕 Note que 𝒉𝒐𝒕 𝑮𝒄𝜽𝒐𝒕 𝑪 𝑴𝒄 𝑹 𝜽𝒐 𝒉𝒐 𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒐𝒕 𝟏 𝑮𝒄 58 Em torno do ponto de operação 𝜽𝒐 𝒉𝒐 a resistência térmica é constante inclusive para a pequena variação em torno deste ponto de operação Substituindo a taxa de saída de calor pela relação com a temperatura de saída no tanque que é igual a temperatura do tanque vemos que 𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒕 ou 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝑹𝒉𝒕 Representase a relação entre a variação da temperatura de saída em função da taxa de calor do aquecedor Podemos determinar a função de transferência aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e isolar a relação entre a temperatura e a taxa de calor devido à resistência 𝓛 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝓛𝑹𝒉𝒕 Assim 𝑹𝑪𝒔𝚯𝒐𝒔 𝚯𝒐𝒔 𝑹𝑯𝒔 𝑹𝑪𝒔 𝟏𝚯𝒐𝒔 𝑹𝑯𝒔 Isolando a relação da função de transferência no primeiro membro da equação teremos 𝑮𝟏𝒔 𝚯𝒐𝒔 𝑯𝒔 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Podemos também estudar a variação de temperatura de saída em função da variação da temperatura de entrada do líquido supondo que não há variação na taxa de variação de calor devido ao aquecedor Posteriormente podemos conjugar os dois efeitos em um único modelo aplicando o teorema da superposição de efeitos Neste caso teremos um determinado instante em que há uma variação na taxa de calor do líquido de entrada de 𝜽𝒊 para 𝜽𝒊 𝜽𝒊𝒕 Isto irá causar uma variação na temperatura 59 de saída de 𝜽𝒐 para 𝜽𝒐 𝜽𝒐𝒕 Assim a equação de balanço de calor é devido a variação da taxa de calor de entrada que causa uma variação na taxa de calor de saída isto é 𝑪𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒊𝒕 𝒉𝒐𝒕𝒅𝒕 Onde 𝒉𝒊𝒕 𝑮𝒄𝜽𝒊𝒕 e 𝒉𝒐𝒕 𝜽𝒐𝒕𝑹 Portanto 𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝜽𝒊𝒕 𝟏 𝑹 𝜽𝒐𝒕 Finalmente 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝜽𝒊𝒕 A função de transferência será dada por 𝑮𝟐𝒔 𝚯𝒐𝒔 𝚯𝒊𝒔 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Analisando o efeito das duas componentes teremos a seguinte equação diferencial 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝜽𝒊𝒕 𝑹𝒉𝒕 A função de transferência dos dois efeitos é a soma das duas funções calculadas 𝑮𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 2 Na figura 343 é representado um termômetro de parede fina de mercúrio que estava no ambiente externo à uma cuba em temperatura de regime 𝜽 60 Posteriormente foi colocado em uma cuba cuja temperatura é dada por 𝜽 𝜽𝒄𝒕 onde 𝜽𝒄𝒕 representa o acréscimo de temperatura constante ou não em relação à temperatura ambiente Isso provocará um aumento da temperatura do termômetro de 𝜽 para 𝜽 𝜽𝒕 Determine o comportamento da temperatura do termômetro 𝜽𝒕 em função da temperatura do fluido da cuba 𝜽𝒄𝒕 Fonte Autor Figura 444 Representação de um termômetro de parede fina de mercúrio que estava no ambiente externo à uma cuba em temperatura de regime 𝜽 Solução o balanço de calor neste caso será dado em função da absorção do calor pela capacitância térmica ou seja 𝑪𝒅𝜽𝒕 𝒒𝒕𝒅𝒕 Lembrando pela definição que 𝑹 𝒅𝚫𝜽 𝒅𝒒 𝚫𝜽 𝒒 Logo o calor absorvido está relacionado com a resistência térmica por 𝒒𝒕 𝜽 𝜽𝒄𝒕 𝜽 𝜽𝒕 𝑹 𝜽𝒄𝒕 𝜽𝒕 𝑹 Substituindo na equação do balanço de calor 61 𝑪 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒄𝒕 𝜽𝒕 𝑹 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒕 𝜽𝒄𝒕 Conclusão Vimos neste bloco os modelos de sistemas mecânicos em especial um sistema muito utilizado na análise de dinâmica de sistemas mecânicos que é o sistema massa mola e amortecedor Além destes elementos avaliamos sistemas do ponto de vista translacional com movimento rotacional e também foram apresentados os modelos matemáticos de sistemas fluídicos e térmicos Desenvolver um modelo matemático ou simplesmente executar a modelagem de um sistema dinâmico é uma tarefa complexa uma vez que é necessário o conhecimento dos componentes que compõem o sistema das leis físicas que regem o comportamento das variáveis e as relações existentes entre as grandezas físicas dos componentes do sistema que estão sendo avaliadas Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISEN S Engenharia de sistemas de controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 VARGAS F J T Ferramentas de álgebra computacional aplicações em modelagem simulação e controle para engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2015 GARCIA C Controle de processos industriais estratégias convencionais 1a ed Digital Ed Edgard Blücher Ltda 2018