Linearização de Modelos Matemáticos em Sistemas Dinâmicos

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 2 INTRODUÇÃO À MODELAGEM II Caros alunos nesta etapa apresentaremos como é feita a linearização de modelos matemáticos e as características de um modelo linear A maioria de sistemas físicos são nãolineares e a linearização é um recurso importante para podermos realizar a análise de sistemas dinâmicos através das ferramentas utilizadas no controle clássico que é a transformada de Laplace Como essa ferramenta matemática trabalha com números complexos é importante revisar este conceito que é muito utilizado na teoria de controle de processos e também para estabelecer o comportamento dinâmico dos sistemas físicos aqui analisados Quaisquer dúvidas que você tiver consulte o tutor ou o professor responsável pela disciplina 21 Linearização de modelos matemáticos de sistemas físicos Os sistemas dinâmicos em geral dentro de uma faixa ampla de valores das variáveis analisadas são nãolineares Por exemplo o sistema de suspensão de uma roda de um veículo representado por uma massa mola e amortecedor ilustrado na figura 21 Fonte Autor Figura 21 Representação da suspensão de uma roda de um veículo 3 Em geral definemse relações lineares para representar a força de um amortecedor Isto é válido apenas para uma pequena faixa de valores Outro fator a ser considerado é que a mola segue a lei de Hooke dentro de uma variação no deslocamento onde ocorre apenas a deformação elástica Caso a força seja elevada pode ocorrer uma deformação plástica permanente Um sistema para ser considerado como linear em termos de entrada e saída deve satisfazer o princípio da superposição de efeitos e a propriedade da homogeneidade O princípio da superposição de efeitos diz dado um sistema qualquer em repouso que quando sujeito a uma entrada u1 produz uma saída y1 e quando sujeito a uma outra entrada u2 produz uma segunda saída y2 o princípio da superposição é válido para o sistema se quando for aplicada uma entrada igual a u1u2 produzir uma saída y1y2 A propriedade da homogeneidade diz Dado um sistema qualquer em repouso que quando é sujeito a uma entrada u1 produz uma saída y1 o sistema segue a propriedade se quando for aplicada uma entrada βu1 produzir uma saída βy1 Para o exemplo anterior onde foi considerada a força de resistência do ar na análise do movimento de translação da composição locomotivavagão verificouse que se tratava de uma relação nãolinear já que não segue o princípio da superposição de efeitos 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 𝑭𝒂𝒓𝟏𝒗𝟏 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏 𝟐 𝒆 𝑭𝒂𝒓𝟐𝒗𝟐 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒐 𝑭𝒂𝒓𝟏𝒗𝟏 𝑭𝒂𝒓𝟐𝒗𝟐 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏 𝟐 𝒗𝟐 𝟐 Como podemos ver o resultado da soma das forças é diferente da força de resistência devido à soma de velocidades v1 e v2 𝑭𝒂𝒓𝟏𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏 𝒗𝟐𝟐 Assim se desejarmos linearizar a relação devemos aplicar a seguinte metodologia para a relação apresentada 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 4 Para ilustrar esta relação ao longo da variação da velocidade de 0 a 5ms foi criado um gráfico apresentado na figura 22 Foi proposto também um ponto de operação onde será feita a linearização e traçada a reta tangente à curva neste ponto de operação Fonte Autor Figura 22 Gráfico da relação entre a velocidade do corpo e a força de resistência do ar O ponto de linearização escolhido é 39 ou v0 3ms e Farv0 9N A função do exemplo tem o coeficiente de arrasto bar 1 Em torno desse valor podemos aproximar a relação nãolinear pela relação dada pelo truncamento da série de Taylor na primeira ordem isto é 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 𝑭𝒂𝒓𝒗𝟎 𝒅𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒅𝒗 𝒗𝒗𝟎 𝒗 𝒗𝟎 Como 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝟏 𝒗𝟐 então teremos 𝒅𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒅𝒗 𝒗𝟑 𝒅𝒗𝟐 𝒅𝒗 𝒗𝟑 𝟐𝒗𝒗𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 Reta tangente ao ponto de operação 39 5 Logo 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝟗 𝟔 𝒗 𝟑 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝟔𝒗 𝟗 A função obtida é linear em torno do ponto de operação e está representada pela reta da equação acima Note que a aproximação obtida está relacionada com o ponto de operação e o resultado do modelo linear é válido somente em torno deste ponto Para verificar a qualidade da aproximação analisemos os valores da força para velocidades em torno de 3 ms apresentados na tabela a seguir Tabela 21 Valores da força para velocidades em torno de 3 ms Velocidade 27 28 29 3 31 32 33 Força não linear 729 784 841 9 961 1024 1089 Força linear 720 780 840 9 960 1020 1080 Fonte Autor Como verificado a aproximação para o valor de velocidade de 27ms tem um erro de 123 o que é um valor pequeno e que permite a aproximação Observações 1 Normalmente admitese que os elementos mecânicos e elétricos têm relações lineares para uma faixa ampla de valores de suas variáveis mas o mesmo não se aplica para elementos de modelos de sistemas térmicos fluídicos e de pressão 2 O processo de linearização segue o processo descrito no exemplo e é válido para pequenas variações em torno do ponto de operação dada uma função não linear qualquer fx Qualquer função não linear pode ser expressa por uma expansão em série de Taylor dado por 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 𝒅𝟐𝒇 𝒅𝒙𝟐 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎𝟐 𝟐 6 Esta aproximação é na verdade uma expressão polinomial de infinitos termos a calculadora trabalha com esta aproximação com 10 a 20 termos Quando mais termos forem utilizados mais precisa é a aproximação Porém quando se deseja linearizar devemos obter o resultado da série truncando no termo de primeira ordem ou da derivada de fx Assim teremos uma equação linear já que 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 O termo da derivada da função em x0 corresponde à inclinação da reta tangente que passa pelo ponto de operação Assim a função fx pode ser descrita pela equação 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒎𝒙 𝒙𝟎 ou 𝒇 𝒎𝒙 Esta última relação satisfaz as condições para um sistema ser linear 3 No exemplo do movimento do pêndulo o termo não linear era dado pelo torque devido à massa m isto é 𝝉𝒎𝒕 𝒎𝒈𝑳𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 A linearização a ser feita é da função 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒇𝜽𝟎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝜽𝜽𝟎 𝜽 𝜽𝟎 𝟏 O ponto escolhido no exemplo foi para 𝜽𝟎 𝟎 𝟎 𝒓𝒂𝒅 o ideal é trabalhar em radianos Neste valor 𝒇𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟎 Ainda teremos que o coeficiente m será dado por 7 𝒎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝜽𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽𝜽𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟎 𝟏 Portanto em radianos 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 𝟏 𝜽 𝟎 𝟏 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 Este resultado tem uma boa aproximação para 𝝅 𝟒 𝜽 𝝅 𝟒 Para outro valor de ponto de operação por exemplo 𝜽𝟎 𝝅 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝝅 𝟒 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝒎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝜽𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽𝜽𝝅 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝝅 𝟒 𝟎 𝟕𝟎𝟕 Teremos a seguinte aproximação 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝜽 𝝅 𝟒 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 𝟏𝟓𝟐 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝜽 As linearizações apresentadas aqui estão relacionadas com funções nãolineares Quando se aplica a equações diferenciais é importante verificar que não chegaremos a solução da equação se tivermos termos independentes da função como exemplificado acima Nesta situação não podemos aplicar a transformada de Laplace No entanto podemos avaliar pequenas variações em torno do ponto de operação impondo que o sistema estava em regime permanente no ponto de operação estudado 22 Álgebra de números complexos e funções de variáveis complexas definição representações e operações matemáticas 8 Os números complexos dentro da visão de conjuntos englobam o conjunto dos números reais e mais um o conjunto dos números imaginários Assim um número complexo é definido como um par ordenado ab cujo elemento a representa a sua parte real e o elemento b a sua parte imaginária Representação da parte imaginária e o plano complexo A parte imaginária é representada por um valor real multiplicado pelas letras i ou j onde ij𝟏 a letra j é utilizada principalmente quando se trabalha na área de elétrica a fim de distinguir da grandeza corrente que é representada com a letra i Sendo z um número complexo ele será representado pelo par ordenado ab utilizando as representações cartesiana ou retangular a representação polar e a representação na forma de Euler ou Exponencial A figura 23 ilustra a representação de um número complexo no plano cartesiano ou plano complexo Na verdade ele será representado por um ponto e as projeções do ponto nos eixos são o valor de cada elemento do par ordenado Fonte Autor Figura 23 Plano complexo com a representação de um número complexo z As formas efetivas de se representar matematicamente os números complexos estão descritas a seguir 9 Representação Retangular ou Cartesiana Nesta representação o par ordenado é a soma da parte real com a imaginária isto é zabj Onde a é a parte real e b é o valor numérico associado a parte imaginária Exemplo representar graficamente no plano complexo os seguintes números 𝒛𝟏 𝟐 𝟑𝐣 𝒛𝟐 𝟐 𝐞 𝒛𝟑 𝟑𝐣 PLANO COMPLEXO Figura 24 Plano complexo com a representação dos números z1 z2 e z3 Representação Polar Nesta representação trabalhase com o módulo e a fase do número complexo Na representação do número complexo no eixo cartesiano o par ordenado ab retratam as projeções do número no eixo real e no eixo imaginário respectivamente Para a representação polar o número complexo z é representado pelo módulo z que representa a distância do ponto aonde está localizado o número complexo até a origem do plano Esta distância é representada por um segmento de reta 10 A fase representa o ângulo que o segmento de reta forma com o eixo real A figura 114 ilustra este fato Temos então que 𝒛 𝒛𝜽 ou ou Onde zr é o módulo e 𝜽 é 𝐚 fase Fonte autor Figura 25 Plano complexo com o número z Conversão entre a representação polar e retangular Esta conversão é feita observando as relações de Pitágoras no triângulo retângulo formado Retangular para polar 𝒛 𝒂𝟐 𝒃² 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝒃 𝒂 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒃 𝒂 Polar para retangular 𝒂 𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒃 𝒛 𝐬𝐞𝐧 𝜽 Uma vez calculado o par a b a representação cartesiana é dada por 𝒛 𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐣𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝒛 𝒛𝜽 𝒛 𝒓𝜽 11 Exemplos de exercícios de conversão de representações 𝒂 𝒛𝟏 𝟏 𝒋 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 Sendo ab1 então 𝒛𝟐 𝟏𝟐 𝟏² 𝟐 𝟏 𝟒𝟏 e 𝜽 𝒂𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝟏 𝟒𝟓 Assim A fase pode ser dada em radianos também b 𝒛𝟐 𝟐 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 Sendo a2 e b0 então 𝒛𝟐 𝟐𝟐 𝟎𝟐 𝟐 e 𝜽 𝒂𝒕𝒂𝒏 𝟎 𝟐 𝟏𝟖𝟎 Assim c 𝒛𝟑 𝟑𝒋 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 Sendo a0 e b3 então 𝒛𝟑 𝟎𝟐 𝟑² 𝟑 e 𝜽 𝒂𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟎 𝟗𝟎 Assim ou Um exemplo de conversão de polar para retangular a 𝑹𝒆𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒛𝟒 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎𝒐 𝒋 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎𝒐 𝒛𝟒 𝟒 𝟏 𝟐 𝒋𝟑 𝟐 𝒛𝟒 𝟐 𝟑 𝟒𝟒𝒋 Representação Exponencial ou de Euler Esta representação utiliza a função exponencial para definir o número complexo Utiliza o módulo e a fase descritos da seguinte forma 𝒛 𝒛 𝒆𝒋𝜽 𝒓 𝒆𝒋𝜽 Onde zr é o módulo e 𝜽 é 𝐚 fase 𝒛𝟏 𝟏 𝟒𝟏𝟒𝟓𝒐 𝒛 𝟏 𝟒𝟏𝝅𝟒 𝒛 𝟐 𝟗𝟎𝒐 𝒛 𝟐 𝟐𝟕𝟎𝒐 𝒛𝟒 𝟒 𝟔𝟎𝒐 12 Esta representação é utilizada já que as operações algébricas podem ser trabalhadas na forma exponencial através das propriedades da potenciação Exemplos 𝒛 𝟐 𝒆𝒋𝝅 Corresponde ao módulo 2 com fase de π ou 1800 Note que esta representação utiliza o módulo e a fase da representação polar mas com a função exponencial Operações Algébricas com Números complexos Soma e subtração preferencialmente trabalhase com a representação retangular Exemplo determine 𝒛𝟑 𝒛𝟐𝒛𝟏 dado que 𝒛𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝒋 𝒆 𝒛𝟏 𝟑 𝟑𝒋 𝒛𝟑 𝟏𝟎 𝟓𝐣 𝟑 𝟑𝐣 𝒛𝟑 𝟏𝟑 𝟐𝒋 somar ou subtrair as partes reais e partes imaginárias Multiplicação e divisão preferencialmente trabalhase na representação polar Neste caso devemos multiplicar ou dividir os módulos e somar ou subtrair as fases dependendo se for a operação de multiplicação ou de divisão respectivamente Na representação cartesiana basta multiplicar ou dividir os números complexos Exemplos a Execute 𝒛𝟑 𝒛𝟏 𝒛𝟐 para e b Execute 𝒛𝟒 𝒛𝟏 𝒛𝟐 para os mesmos valores de z1 e z2 𝒛𝟒 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟎 𝟓𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟎 𝟑𝟎 𝟓𝟎 𝟑 𝟖𝟎 𝒛𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎𝒐 𝒛𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝟎𝒐 𝒛𝟑 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟎 𝟑𝟎𝒐 𝟓𝟎𝒐 𝒛𝟑 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝒐 13 𝒛𝟒 𝟑 𝟖𝟎 Observações Em função de uma melhor apresentação optase por utilizar para a representação polar A fase dada pela notação com a indicação de ângulo 𝒛𝟒 𝟑 𝟖𝟎 É possível multiplicar e dividir na forma retangular Veja o exemplo Execute 𝒛𝟑 𝒛𝟏 𝒛𝟐 dado que 𝒛𝟏 𝟏𝟎 𝟓𝒋 𝒆 𝒛𝟐 𝟑 𝟑𝒋 𝒛𝟑 𝟏𝟎 𝟓𝒋 𝟑 𝟑𝒋 𝟑 𝟑𝒋 𝟑 𝟑𝒋 𝒛𝟑 𝟑𝟎 𝟏𝟓𝒋 𝟑𝟎𝒋 𝟏𝟓𝒋𝟐 𝟗 𝟗𝒋𝟐 Como j2 1 vem que 𝒛𝟑 𝟑𝟎 𝟏𝟓𝒋 𝟑𝟎𝒋 𝟏𝟓 𝟗 𝟗 𝒛𝟑 𝟏𝟓 𝟒𝟓𝒋 𝟏𝟖 𝒛𝟑 𝟓 𝟔 𝟏𝟓 𝟔 𝒋 Se tivermos um número complexo na forma polar e outro na forma retangular qualquer operação irá requerer a conversão de um deles Ela deve ocorrer de forma a facilitar os cálculos Um número complexo importante é o conjugado Exemplificando o conjugado do número complexo 𝒛 𝒂 𝒃𝒋 é igual ao número 𝒛 𝒛 𝒂 𝒃𝒋 Note que ele tem os mesmos valores de parte real e imaginária porém com sinal negativo na parte imaginária As operações com a representação de Euler são feitas lembrando das propriedades da exponencial Por exemplo Dado 𝒛𝟏 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝟐 e 𝒛𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟒 Exemplos a O valor do produto de z1 com z2 será igual a 14 𝒛 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟒 𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟐𝝅 𝟒 𝒛 𝟔𝒆𝒋𝟑𝝅 𝟒 b A soma de z1 com z2 será igual a 𝒛 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟒 Neste caso devemos converter para a forma cartesiana ou retangular lembrando que 𝒆𝒋𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒋 𝒔𝒆𝒏𝜽 Dessa forma teremos 𝒛 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝒋 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 𝒋 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒛 𝟐 𝟎 𝒋 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝒋 𝟐 𝟐 𝒛 𝒋 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝒋 𝒛 𝒋 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝒋 𝟐 𝟏𝟐 Finalmente 𝒛 𝟐 𝟏𝟐 𝒋 𝟒 𝟏𝟐 Funções de variáveis complexas Normalmente quando trabalhamos com modelos matemáticos avaliamos as variáveis no tempo sendo estas independentes de funções que representam o comportamento de variáveis de interesse no processo de modelagem Porém quando trabalhamos na engenharia de controle fazemos uso de transformações algébricas que levam as funções do domínio do tempo para o domínio de variáveis complexas isto é representadas através dos números complexos como veremos a seguir Por exemplo dado um número complexo z com parte real e imaginária Uma função de Fz isto é uma função de variáveis complexas poderia ser uma função polinomial exponencial trigonométrica etc Vejamos alguns exemplos 15 1 Função polinomial 𝑭𝒛 𝟏 𝒛𝟐 2 Função racional polinomial 𝑭𝒛 𝟐𝒛𝟐 𝒛 𝟏 𝒛𝟑 𝟏 3 Função exponencial e racional 𝑭𝒛 𝒆𝟎𝟐𝒛 𝒛 𝟑 Observação podemos utilizar outra letra para configurar um número complexo Por exemplo a letra s que é um número complexo dado por 𝒔 𝝈 𝒋𝝎 Onde σ representa a parte real e ω a parte imaginária Podemos ter funções nesta variável independente 1 Função racional 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 2 Função racional com exponencial 𝑭𝒔 𝒆𝟐𝒔 𝒔 𝟓𝒔 𝟑 As operações algébricas soma subtração multiplicação e divisão seguem as mesmas regras quando trabalhamos com funções a variáveis reais tomando o cuidado de lembrar quando necessário das operações com números complexos A seguir vamos utilizar a variável complexa s na definição da transformada de Laplace 23 Transformada de Laplace definição propriedades e aplicações na solução de equações diferenciais A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que propicia uma mudança de representação de variáveis que são analisadas no tempo tais como temperatura 16 vazão corrente elétrica etc São representadas na variável complexa da transformada conhecida como variável s Esta transformação permite representar funções variadas como função impulso degrau rampa parábola exponenciais senóide e suas compostas em funções algébricas na variável s A diferenciação e integração tornamse operações algébricas com isto é possível resolver uma equação diferencial tanto para o transitório quanto para o regime permanente ou estado estacionário com operações e transformações algébricas sobre funções Esta solução é feita com o uso de tabelas de pares de funções no tempo versus funções na variável da Transformada de Laplace obtidas a partir da definição da Transformada que é apresentada a seguir Além disso representação de sistemas dinâmicos com a transformada de Laplace são utilizadas na área de controle clássico Definição A função ft no domínio do tempo t e ft 0 para todo t0 s uma variável complexa com parte real e imaginária dada por 𝒔 𝝈 𝒋𝝎 𝓛 é o símbolo operacional da Transformada de Laplace operador de Laplace Fs é a Transformada de Laplace da função ft A Transformada de Laplace será definida por 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒇𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Observações 1 𝓛𝒇𝒕 é uma representação que utiliza o operador de Laplace e deve ser lido como a Laplace de ft e a representação Fs deve ser lida como a transformada de Laplace ou simplesmente Fs 17 É importante observar que 𝓛𝒇𝒕 e 𝑭𝒔 são representações para uma função em s que é a variável independente da transformada de Laplace 2 Calcular a transformada de Laplace é calcular a integral de Laplace da função ft Se a função for complicada tratase de um cálculo difícil de ser feito Assim existem tabelas com o valor de Fs para as principais funções ft que são utilizadas na área de controle Algumas funções utilizadas na análise de sistemas dinâmicos e sua transformada de Laplace Função degrau unitário esta função é muito utilizada na área de controle pois representa uma variação de um valor inicial para um valor final de forma abrupta e em um instante específico Temos em especial a função degrau unitário porque varia de zero para um Ela é denotada por ft 1t e é definida pela seguinte expressão 𝟏𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 A figura 21 a seguir apresenta o gráfico da função degrau unitário Fonte autor Figura 26 Gráfico da função degrau Cálculo da transformada de Laplace 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝟏𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒔𝒕 𝒔 𝟎 𝒆𝒔 𝒔 𝒆𝒔𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 ft 1t 18 Observações 1 Utilizase também o degrau de amplitude A O gráfico é o mesmo mas temos que 𝒇𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒐𝒖 𝒇𝒕 𝑨 𝟏𝒕 A transforma de Laplace é dada acrescentando o valor de A na transformada de Laplace do degrau unitário isto é 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝑨 𝟏 𝒔 2 É comum representar as funções com o atraso Para o degrau utilizase a seguinte representação 1t t0 para representar o degrau com um atraso t0 O gráfico da figura 22 ilustra o atraso para t02segundos Fonte autor Figura 27 Gráfico da função degrau atrasada de 2 segundos A expressão matemática é dada por 𝟏𝒕 𝟐 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟐 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟐 O cálculo da transformada de Laplace fica neste caso igual a 0 1 2 ft1t 2 1 ts 19 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝟏𝒕 𝟐𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒆𝒔𝒕 𝒔 𝟐 𝒆𝒔 𝒔 𝒆𝒔𝟐 𝒔 𝒆𝟐𝒔 𝒔 Função pulso a função pulso é definida pela diferença entre dois degraus de amplitude At0 um degrau de início em t1 e um segundo degrau em t2 Se t10s e t2t0 for qualquer valor teremos a seguinte expressão para representar a função 𝒇𝒕 𝑨 𝒕𝟎 𝟏𝒕 𝑨 𝒕𝟎 𝟏𝒕 𝒕𝟎 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒆 𝒕 𝒕𝟎 𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 𝒕 𝒕𝟎 O gráfico desta função é dado na figura 23 Fonte autor Figura 28 Gráfico da função pulso a partir da diferença de dois degraus O pulso foi desenhado com pontilhado e foi definido pela diferença de dois degraus A transformada de Laplace pode ser calculada através da transformada de Laplace do degrau 𝑭𝒔 𝑨 𝒕𝟎 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝑨 𝒕𝟎 𝟏𝒕 𝒕𝟎𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎 𝑨 𝒕𝟎 𝟏 𝒔 𝒆𝒔𝒕 𝒔 𝒕𝟎 𝑨 𝒕𝟎 𝟏 𝒔 𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒔 Função impulso unitário esta função é conhecida como função Delta de Dirac δt e é dada pela seguinte expressão 𝜹𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒄𝒐𝒎 𝜹𝒕𝒅𝒕 𝟏 20 A expressão anterior embora utilizada em diversos livros não é a definição da função mas demonstra ideia do comportamento da mesma A figura 24 apresenta o gráfico da função impulso Fonte autor Figura 29 Gráfico da função impulso obtida a partir de um pulso com t0 tendendo a zero A função pode ser obtida da função pulso supondo A1 percebese que a área sob a função pulso é igual a 1 fazendo t0 tender a zero e mantendo a área igual a 1 A amplitude no limite será igual a infinito o que está caracterizado na expressão do impulso unitário A transformada de Laplace da função impulso unitário é então calculada a partir da transformada da função pulso aplicando o limite 𝓛𝜹𝒕 𝓛 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎𝒇𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝓛𝒇𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝟏 𝒕𝟎 𝟏 𝒔 𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝟏 𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒕𝟎𝒔 Este limite só pode ser calculado se aplicarmos a regra de LHospital derivar o numerador e o denominador da expressão com relação à t0 𝓛𝜹𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒔 𝟏 Função Rampa Unitária esta função é dada pela reta que se inicia na origem e tem coeficiente angular igual a 1 Assim possui a seguinte expressão 21 𝒇𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒕 𝒕 O gráfico da figura 25 ilustra o comportamento da função rampa unitária no tempo Fonte Autor Figura 210 Gráfico da rampa unitária A transformada de Laplace é dada por 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟏 𝒔𝟐 Essa integral é calculada através do método de integração por partes resultando no valor especificado acima A rampa pode ser com coeficiente angular qualquer k alterando portanto a inclinação da reta Neste caso a transformada de Laplace será dada por 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒌𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒌 𝒔𝟐 Função Exponencial a função exponencial é representada pela expressão dada a seguir 𝒇𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 A transformada de Laplace é calculada pela integral da seguinte exponencial ft 22 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒆𝒂𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒔𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒔𝒂𝒕 𝒔 𝒂 𝟎 𝟏 𝒔 𝒂 Além destas funções trabalham com seno cosseno combinações de funções exponenciais com as trigonométricas dentre outras Para facilitar os cálculos são utilizadas tabelas de transformada de Laplace A seguir temos uma dessas tabelas onde se representa a função em t ft e a correspondente função em s Fs ou simplesmente os pares de transformada de Laplace Além desta tabela apresentamos a tabela das propriedades da transformada de Laplace Observação 1 Condição de existência a transformada de Laplace existe se a integral da transformada converge Isto ocorre se a função ft for contínua por partes em cada intervalo finito correspondente pata t 0 e se ft for de ordem exponencial conforme t tende a infinito isto é caso exista uma constante real σ 0 tal que 𝒆𝝈𝒕 𝒇𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 2 As propriedades apresentadas se aplicam no cálculo da transformada de Laplace mas o ponto de interesse aqui é utilizar a transformada de Laplace e suas propriedades para resolver equações diferencias ordinárias a coeficientes constantes e também para determinar a representação de sistemas dinâmicos dada pela função de transferência Tabela 21 Pares de Transformada de Laplace Função ft Função Fs Função ft Função Fs 1 𝜹𝒕 1 12 𝟏 𝒂𝒃 𝟏𝒕 𝟏 𝒂 𝒃 𝒃𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝒔 𝒃 23 2 𝟏𝒕 𝟏 𝒔 13 𝟏 𝒂𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝟐 3 𝒕 𝟏 𝒔𝟐 14 𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒕 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝟐𝒔 𝒂 4 𝒕𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒏 15 𝒆𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝝎 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 5 𝒕𝒏 𝒏 𝒔𝒏𝟏 16 𝒆𝒂𝒕𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒔 𝒂 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 6 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂 17 𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝝎𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝝎𝟐 7 𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝟐 18 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂 8 𝒕𝒏𝟏𝒆𝒂𝒕 𝒏 𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔 𝒂𝒏 19 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 9 𝒕𝒏𝒆𝒂𝒕 𝒏 𝒔 𝒂𝒏𝟏 20 𝟏 𝒃 𝒂 𝒃𝒆𝒃𝒕 𝒂𝒆𝒂𝒕 𝒔 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 10 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝝎 𝒔𝟐 𝝎𝟐 21 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒔𝟐 𝝎𝟐 𝒔𝟐 𝝎𝟐𝟐 11 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒔 𝒔𝟐 𝝎𝟐 22 𝟏 𝟐𝝎 𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝒔 𝒔𝟐 𝝎𝟐𝟐 Função ft Função Fs 23 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝟎 𝝃 𝟏 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 24 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏 𝝃𝟐 𝝃 𝟎 𝝃 𝟏 𝟎 𝝅 𝟐 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 25 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏 𝝃𝟐 𝝃 𝟎 𝝃 𝟏 𝟎 𝝅 𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Fonte autor extraída de OGATA 2010 24 Tabela 22 Propriedades da Transformada de Laplace Fonte extraída de OGATA 2010 Além das propriedades acima com a transformada de Laplace é possível determinar o valor inicial e o valor final de funções na variável s Teoremas do valor inicial e final Para encontrar o valor inicial e final de ft qualquer podese utilizar os teoremas do valor inicial e final respectivamente aplicandose para valor inicial f0 e final f Contudo em elétrica isto denotaria valores segundo o que segue 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 𝓛 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Se analisarmos o resultado da integral o termo exponencial anula se s tender ao infinito Se lembrarmos que f0 não depende de s concluímos que 25 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟎 Logo o valor inicial f0 para t0s é dado por 𝒇𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒔𝑭𝒔 Por outro lado se t tender ao infinito calcularemos o valor final e por analogia do exemplo anterior concluímos facilmente que 𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑭𝒔 Exemplo calcule o valor inicial e final da função pela transformada de Laplace 𝒙𝒕 𝟏𝒕 𝒕𝒆𝟓𝒕 Solução Obtendo a transformada de Laplace da função 𝓛𝒙𝒕 𝑿𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝟐 Valor inicial 𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒔𝑿𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔 𝒔 𝟓𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 Valor final 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑿𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝟏 𝒔 𝒔 𝟓𝟐 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝟓𝟐 𝒔 𝒔 𝟓𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟐𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟐𝟓 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟐𝟓 𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟐𝟓 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎𝟏 𝟏 26 Cálculo da transformada inversa de Laplace A Transformada Inversa de Laplace evidentemente irá retornar a função ao domínio do tempo qual seja ft onde t0 𝓛𝟏𝑭𝒔 𝒇𝒕 𝑭𝒔𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒔 𝒄𝒋 𝒄𝒋 Como verificado é uma integral com os extremos dados por números complexos o que torna o seu cálculo bastante complicado Utilizase novamente a tabela mas no sentido contrário ou seja a partir de Fs chega se em ft Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 calcule a transformada inversa ou antitransformada da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟒 Solução ao observar os pares da tabela de transformada verificase que os valores são literais Assim devemos comparar a nossa função em s que tem valores numéricos com aquelas da tabela que tem o termo s ao quadrado e o termo independente Verificase a existência de duas funções o seno e o cosseno Como não há em Fs um termo em s no numerador então devemos associar este exemplo numérico com a transformada do seno par 10 que é dada por 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝝎 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Basta então determinar o valor de ω do exemplo numérico Devemos utilizar a comparação do termo do denominador da expressão acima ou seja 𝝎𝟐 𝟒 𝝎 𝟐𝒓𝒂𝒅𝒔 27 Se observamos o numerador existe o valor 10 e não 2 Assim devemos fazer uma simplificação algébrica para chegar no valor de ft 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝒔𝟐 𝟒 O valor 5 é mantido na função ft a partir da propriedade que diz que 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 Finalmente 𝒇𝒕 𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Exemplo 2 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 Solução para calcular ft sempre que aparecer um trinômio no denominador será necessário calcular as suas raízes De acordo com o valor das raízes você deve avaliar qual será o par a ser utilizado a Raízes reais e diferentes transformase o trinômio em um produto de binômios e utilizase o par 19 da tabela b Raízes reais e iguais neste caso transformase o trinômio em um quadrado perfeito e utilizase o par 7 da tabela c Raízes complexas neste caso devemos utilizar o par 23 identificando o valor de ωn frequência natural e 𝝃fator de amortecimento por comparação de denominadores Vejamos em qual caso o exemplo se encaixa calculando as suas raízes 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 𝟎 28 Por Bhaskara 𝒔𝟏𝟐 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟓 𝟓𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟓 𝟗 𝟐 Teremos duas raízes reais e distintas dadas por 𝒔𝟏𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝒔𝟏 𝟒 𝒔𝟐 𝟏 Logo o denominador de Fs será transformado em um produto de dois binômios 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 𝟏𝟎 𝒔 𝟒𝒔 𝟏 Comparando com o par 19 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 Adotando a4 e b1 e mantendo o valor do numerador de Fs teremos 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝟏 𝒔 𝟒𝒔 𝟏 𝓛𝟏 𝒇𝒕 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 𝟒 𝒆𝟒𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒇𝒕 𝟏𝟎 𝟑 𝒆𝟒𝒕 𝒆𝟏𝒕 Exemplo 3 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 Solução neste exemplo teremos as seguintes raízes 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟎 Por Bhaskara 𝒔𝟏𝟐 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟒 𝟒𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 29 Teremos duas raízes reais e iguais 𝒔𝟏𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝒔𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 Teremos então um quadrado perfeito 𝑭𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟓 𝒔 𝟐𝒔 𝟐 𝟓 𝒔 𝟐𝟐 Comparando com o par 7 𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝟐 Adotase a 2 e mantendo o valor do numerador de Fs teremos 𝑭𝒔 𝟓 𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝓛𝟏 𝒇𝒕 𝒕𝒆𝟐𝒕 Exemplo 4 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 Solução neste exemplo teremos as seguintes raízes 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝟎 Por Bhaskara 𝒔𝟏𝟐 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟒 𝟒𝟐 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟐𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 Teremos duas raízes complexas 𝒔𝟏𝟐 𝟒 𝒋𝟒 𝟐 𝒔𝟏 𝟐 𝒋 𝒔𝟐 𝟐 𝒋 Observação lembre que 𝟒 𝟏 𝟒 𝒋𝟒 𝒐𝒖 𝟒𝒋 30 Devemos comparar com o par 23 e determinar o valor de ωn e 𝝃 para então determinar ft 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Essa comparação deve ser sempre feita entre os termos dos denominadores 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝒆 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏 𝟐 Note que o termo em s ao quadrado dos dois trinômios deve ser igual a 1 para podermos comparálos Assim teremos as seguintes relações 𝝎𝒏 𝟐 𝟓 𝝎𝒏 𝟓 𝝎𝒏 𝟐 𝟐𝟑𝟔 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟒 𝝃 𝟒 𝟐𝝎𝒏 𝝃 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐𝟑𝟔 𝟎 𝟖𝟗𝟒 Com estes valores é necessário ainda manipular algebricamente o numerador de Fs 𝑭𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝟓 𝟓 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝟒 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 Assim a transformada inversa será igual a 𝒇𝒕 𝟒 𝟓 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝟎 𝟖 𝟏 𝟏 𝟎 𝟖𝟗𝟒𝟐 𝟐 𝟐𝟑𝟔𝒆𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝟐𝟑𝟔𝟏 𝟎 𝟖𝟗𝟒𝟐 𝒕 Finalmente 𝒇𝒕 𝟒𝒆𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏𝒕 Para obter a transformada de Laplace inversa de funções mais complicadas costumase converter a função em uma soma de termos mais simples as quais estão presentes na tabela os pares de transformada da soma Esse processo é conhecido como expansão em frações parciais Veja situações em que é necessário aplicar a expansão 31 Exemplo 5 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝒔𝟑 𝟐𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝒔 𝟓 Solução neste exemplo a ordem do numerador é maior que a do denominador Neste caso devese dividir o numerador pelo denominador até que o resultado apresente um resto com a ordem do numerador inferior ao do denominador Executando a divisão Logo 𝑭𝒔 𝒔 𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝒔 𝟓 Calculando a transformada inversa isto é 𝓛𝟏𝒔 𝟏 𝟐 𝒔𝟐𝒔𝟓 Resulta em 𝒇𝒕 𝒅𝜹𝒕 𝒅𝒕 𝜹𝒕 𝟒 𝟔𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟏𝟖𝒕 Observação a transformada inversa do termo em s em Fs é obtida a partir da transformada da derivada de uma função sendo esta função o impulso unitário 𝓛𝒇𝒕 𝓛𝜹𝒕 𝟏 𝒆 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 Para o impulso unitário a condição inicial da derivada é nula Logo 𝓛 𝒅𝜹𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝜹𝒕 𝒔 𝟏 𝒔 Portanto 32 𝓛𝟏𝒔 𝒅𝜹𝒕 𝒅𝒕 Para o trinômio devemos calcular as raízes que serão complexas Daí calcular ωn e 𝝃 e só então utilizar o par 23 Faça os cálculos e verifique a sua resposta Exemplo 6 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 Solução se observarmos a tabela de pares de transformada de Laplace não encontraremos um par que forneça a transformada inversa de Laplace desta função Neste caso devemos aplicar a expansão em frações parciais obtendo a soma de funções em s que estão representadas na tabela 𝑭𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 O segundo termo da soma pode ser desmembrado em dois termos que estão representados na tabela par 24 e par 23 respectivamente 𝑭𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 Devemos então calcular os valores de r1 r2 e r3 Esse processo pode ser feito de duas formas pelo teorema dos resíduos de Cauchy ou através de regras práticas Vamos apresentar alguns cálculos da expansão em frações parciais através do teorema antes de resolver o exemplo Expansão em frações parciais Uma função Fs dada por 𝑭𝒔 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒂𝒎𝒔𝒎 𝒂𝒎𝟏𝒔𝒎𝟏 𝒂𝟏𝒔 𝒂𝟎 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 33 Pode ser reescrita como uma soma de termos associadas as raízes do denominador 𝑭𝒔 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝒓𝟐 𝒔 𝒑𝟐 𝒓𝒏 𝒔 𝒑𝒏 Onde r1 r2 rn são chamados de resíduos e p1 p2 pn e são as raízes com sinal trocado do denominador Estas raízes podem ser reais e distintas reais e diferentes e complexas Para cada situação teremos um tipo de cálculo para determinação dos resíduos Caso 1 raízes reais distintas Os resíduos são calculados através da expressão dada a seguir 𝒓𝒌 𝒔 𝒑𝒌 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑𝒌 Este caso pode ser aplicado no exemplo 6 para determinar o valor de r1 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒔𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝟖𝟏𝟎 𝟐𝟓 𝒓𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟖 𝟎 𝟐𝟓 𝟏𝟎 𝟒𝟓 𝟐 𝟗 Caso 2 raízes complexas conjugadas Os resíduos podem ser calculados como no caso 1 considerando que as raízes são complexas o que torna o cálculo mais trabalhoso Assim preferese manter o trinômio e no numerador devemos utilizar dois termos em s e o termo independente e daí determinar dois resíduos No exemplo 6 teremos 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 Para 𝒓𝟏 𝟐 𝟗 vemos que 34 Podemos então comparar os termos do numerador 𝟗𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝟗𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝒔 𝟗𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟏𝟔𝒔 𝟓𝟎 𝟗𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑𝒔 𝟏𝟎𝒓𝟑 𝟏𝟖𝒔 𝟗𝟎 𝟐 𝟗𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟗𝟎𝒓𝟐 𝟗𝒓𝟑 𝟏𝟔𝒔 𝟓𝟎 𝟗𝟎𝒓𝟑 Por comparação dos dois membros da expressão acima vem que 𝟐 𝟗𝒓𝟐 𝟎 𝟏 𝟗𝟎𝒓𝟐 𝟗𝒓𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐 𝟓𝟎 𝟗𝟎𝒓𝟑 𝟗𝟎 𝟑 De 1 vem que 𝒓𝟐 𝟐𝟗 De 3 vem que 𝟗𝟎𝒓𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝒓𝟑 𝟏𝟒𝟗 A equação 2 pode ser utilizada para verificar os valores dos resíduos 𝟗𝟎 𝟐 𝟗 𝟗 𝟏𝟒 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟎 𝟏𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟖 Assim 𝑭𝒔 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟐 𝟗 𝒔 𝟏𝟒 𝟗 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 O primeiro termo tem transformada inversa dada pelo par 6 sendo igual a 𝓛𝟏 𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟐 𝟗 𝒆𝟏𝟎𝒕 O segundo termo da expressão pode ser calculado de duas formas Utilizando os pares 15 e 16 da tabela e manipulação algébrica 35 𝓛𝟏 𝝎 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 𝒆𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝓛𝟏 𝒔 𝒂 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 𝒆𝒂𝒕𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 Tomando o denominador de 𝒔𝟕 𝒔𝟐𝟖𝒔𝟐𝟓 vem que 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 Assim teremos a seguinte manipulação algébrica 𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒔 𝟒 𝟑 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝒔 𝟒 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝟑 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 Calculando a transformada inversa dos dois termos finais 𝓛𝟏 𝒔 𝟒 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 𝓛𝟏 𝟑 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 Desta forma ft será dado por 𝒇𝒕 𝟐 𝟗 𝒆𝟏𝟎𝒕 𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 Caso 3 raízes reais e iguais Neste caso a expressão com os resíduos será dada por 𝑭𝒔 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝒌 𝒓𝟐 𝒔 𝒑𝒌𝟏 𝒓𝒌 𝒔 𝒑 Os resíduos são calculados através da seguinte expressão 𝒓𝒌𝒊 𝟏 𝒊 𝒅𝒊 𝒅𝒔𝒊 𝒔 𝒑𝒌 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑 36 Onde k representa a multiplicidade da raiz maior ordem dos polinômios e i varia de 0 a k1 Obs 01 zero fatorial é igual a 1 Exemplo 7 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 Solução devemos aplicar a expansão em frações parciais para a raiz de multiplicidade 3 k3 e para o termo 1s 𝑭𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒓𝟏 𝒔 𝟏 𝒓𝟐 𝒔 𝟏𝟐 𝒓𝟑 𝒔 𝟏𝟑 𝒓𝟒 𝒔 Para a raiz múltipla Cálculo de r1 i0 𝒓𝟑 𝟏 𝟎 𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒔𝟏 𝟏 𝒔 𝒔𝟏 𝟏 Cálculo de r2 i1 𝒓𝟐 𝟏 𝟏 𝒅𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒅𝒔 𝒔𝟏 𝒅 𝟏 𝒔 𝒅𝒔 𝒔𝟏 𝒅𝒔𝟏 𝒅𝒔 𝒔𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 Cálculo de r3 i2 𝒓𝟏 𝟏 𝟐 𝒅𝟐𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝒅𝟐 𝟏 𝒔 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝒅𝟐𝒔𝟏 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒔𝟑 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 37 Cálculo de r4 𝒓𝟒 𝒔 𝟎 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝟎 𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒔𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟑 𝟏 Assim 𝑭𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔 𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟏 𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔 𝒇𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟏 𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔 𝒆𝒕 𝒕𝒆𝒕 𝟏 𝟑 𝟏 𝒕𝟑𝟏𝒆𝒕 𝟏𝒕 𝒇𝒕 𝒆𝒕 𝒕𝒆𝒕 𝟏 𝟐 𝒕𝟐𝒆𝒕 𝟏𝒕 Aplicação da Transformada de Laplace solução de equações diferenciais A principal aplicação é na solução de equações diferenciais mas a transformada de Laplace é aplicada na área de controle para facilitar a representação pois a partir dela equações diferenciais e funções trigonométricas exponenciais e suas combinações são transformadas em funções algébricas racionais na variável s A maior dificuldade é que por se tratar de uma transformação matemática as funções obtidas não têm sentido físico No entanto na análise de sistemas de controle estabelecem vínculos entre o sentido físico e a representação através de algumas propriedades desta representação de sistemas de controle A transformada de Laplace fornece a solução da equação para uma entrada qualquer mas também para condições iniciais Ela também fornece a solução para o transitório e para o regime permanente ou estado estacionário Procurase aqui estabelecer um vínculo com sistemas físicos Por exemplo queremos observar o comportamento de um nível de um tanque de água saída do sistema com 38 a vazão de água de entrada entrada do sistema ou a carga de um capacitor em um circuito RC quando se varia a tensão de alimentação do circuito Adotase o seguinte procedimento para a solução de uma equação diferencial ordinária a coeficientes constantes Procedimento etapas 1 Aplicar a Transformada de Laplace a cada um dos membros da equação diferencial 2 Aplicar as propriedades da transformada de Laplace para obter uma equação algébrica na variável s 3 Rearranjar a equação isolando a variável dependente 4 Substituir o valor das condições iniciais e o valor da entrada 5 A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida achandose a Transformada Inversa de Laplace da variável dependente Exemplos Os modelos matemáticos apresentados a seguir serão deduzidos nos blocos subsequentes Neste momento apresentamos a equação diferencial obtida para que se possa demonstrar o procedimento de solução das equações diferenciais 1 Um sistema de nível está representado na figura 26 Fonte autor Figura 26 Esquema do comportamento do nível de um tanque em função da vazão de entrada com uma saída de vazão 39 Este sistema pode ser modelado com a entrada dada pela vazão qint que altera o comportamento do nível ht segundo a equação diferencial dada a seguir 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Determine o comportamento do nível ao longo do tempo sabendo que h01m e qint teve uma variação de 0 para 2m3s segundo um degrau isto é 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝟏𝒕 Solução seguindo o procedimento dado 1 Aplicar a transformada de Laplace aos dois termos da equação 𝓛 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 2 Aplicar as propriedades 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝒇𝒕 𝒇𝟎 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 Teremos os seguintes passos 𝓛 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝓛𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒔𝓛𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝟑𝓛𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 Mudando a notação 𝒔𝑯𝒔 𝒉𝟎 𝟑𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 3 Isolando Hs 40 𝒔𝑯𝒔 𝟑𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝒉𝟎 𝑯𝒔 𝒔 𝟑 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝒉𝟎 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝒔 𝟑 𝒉𝟎 𝒔 𝟑 4 Substituindo h0 e Qins pela transformada de Laplace de qint 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝓛𝟐 𝟏𝒕 𝟐 𝒔 Obtemos 𝑯𝒔 𝟐𝒔 𝒔 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝑯𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 5 É comum memorizar algumas poucas transformadas de Laplace para serem aplicadas Desta forma é interessante aplicar a expansão em frações parciais no primeiro termo de Hs 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝒓𝟏 𝒔 𝒓𝟐 𝒔 𝟑 Cálculo dos resíduos 𝒓𝟏 𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝒔𝟎 𝟐 𝒔 𝟑 𝒔𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑 𝒓𝟐 𝒔 𝟑 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝒔𝟑 𝟐 𝒔 𝒔𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 Logo 𝑯𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟏 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 Calculando a transformada inversa 𝒉𝒕 𝓛𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟏 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝒉𝒕 𝟐 𝟑 𝟏𝒕 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒕 41 Observações Em t0s a exponencial será igual a 1 e teremos h023131m Em t tendendo a infinito o segundo termo de ht será nulo e o nível irá estabilizar em 23066m Calcule o valor de xt a partir da equação diferencial dada a seguir sabendo que Ftδt e que as condições iniciais são nulas 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟒𝒙𝒕 𝑭𝒕 Solução aplicando Laplace aos dois membros da equação 𝓛 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟒𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 Aplicando as propriedades 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝟐𝒇𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒔𝟐𝓛𝒇𝒕 𝒔𝒇𝟎 𝒇𝟎 Logo 𝓛 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟒𝓛𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 𝒔𝟐𝓛𝒙𝒕 𝒔𝒙𝟎 𝒙 𝟎 𝟒𝓛𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 Substituindo as condições inicias 𝒙𝟎 𝒆 𝒙𝟎 por zero alterando a notação da variável em s 𝓛𝒙𝒕 𝑿𝒔 𝒆 𝓛𝑭𝒕 𝑭𝒔 𝒔𝟐𝑿𝒔 𝟒𝑿𝒔 𝑭𝒔 42 Lembrando que a força é dada por um impulso unitário isto é 𝓛𝑭𝒕 𝑭𝒔 𝓛𝜹𝒕 𝟏 Vemos que 𝒔𝟐𝑿𝒔 𝟒𝑿𝒔 𝟏 Isolando Xs obtemos 𝑿𝒔𝒔𝟐 𝟒 𝟏 𝑿𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 Calculando a transformada inversa 𝒙𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 Na tabela de transformada de Laplace utilizamos o par 10 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝝎 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Avaliando ω através do denominador 𝝎𝟐 𝟒 𝝎 𝟐 𝒓𝒂𝒅𝒔 Este valor de 𝝎 deve aparecer no numerador de Xs assim devemos elaborar a seguinte manipulação numérica 𝒙𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝓛𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟒 𝒙𝒕 𝟎 𝟓𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Simulação de Sistemas Dinâmicos Uma forma de simular um sistema dado por uma equação diferencial de difícil solução analítica é utilizando métodos numéricos Existem diversos programas que implementam soluções numéricas Um deles é o Matlab através da programação de um método numérico como o método de Euler 43 Rungekutta etc e da área de simulação chamada de Simulink Nessa última opção a solução é obtida através de blocos que permitem a implementação de equações diferenciais com termos não lineares Os blocos que serão utilizados no Matlab e o diagrama apresentado a seguir serão melhor explicados ao longo da disciplina Exercício de fixação Um sistema físico de nível é modelado segundo uma equação diferencial que representa o comportamento do nível ht em função da vazão de água de alimentação qint dada a seguir 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Como se verifica o modelo não é linear pois tem um termo de nível quadrático Determine a A simulação da equação nãolinear para um degrau de vazão de 1 m3s supondo que o nível inicial era nulo b O modelo linear a partir da linearização do termo nãolinear em torno do ponto de operação determinado pela equação nãolinear supondo a situação de regime para o degrau dado no item a c O resultado analítico do modelo linear para uma entrada degrau de amplitude igual a 01 aplicandose a transformada de Laplace Solução a Para utilizar um diagrama de blocos do sistema que pode ser determinado a partir da equação do sistema de nível devemos isolar o termo de derivada 44 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟐 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟑 𝟐 𝒉𝒕 A equação pode ser implementada pelo diagrama de blocos da figura 27 Fonte autor Figura 27 Diagrama de blocos para determinação numérica de ht no Matlab Esta representação permite obter o gráfico da resposta de modelos de sistemas nãolineares Não será apresentado neste instante como se monta e configura o simulink para realizar a simulação do modelo Outra forma de simular é aplicar um método numérico Como exemplo vamos trabalhar com a transformação da derivada de primeira ordem utilizando o método de Euler em uma diferença para frente isto é 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒌 𝟏 𝒉𝒌 𝒕 Onde 𝒕 representa o passo de integração que deve ser pequeno para o resultado do método ser adequado A equação discreta e iterativa é determinada pela substituição da diferença para frente obtendo 45 𝒉𝒌 𝟏 𝒉𝒌 𝒕 𝟏 𝟐 𝒒𝒊𝒏𝒌 𝟑 𝟐 𝒉𝒌 Isolando 𝒉𝒌 𝟏 no primeiro membro da equação e fazendo 𝒉𝟎 𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒌 𝟏 para qualquer valor de k0 vemos que 𝒉𝒌 𝟏 𝟏 𝟐 𝒒𝒊𝒏𝒌 𝟑 𝟐 𝒉𝒌 𝒕 𝒉𝒌 Foi elaborado um programa no Matlab chamado de script que calcula o valor de h segundo a equação acima utilizando um passo de integração igual a 𝒕 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝒔 Programa no Matlab Programa de simulação numérica de equação diferencial Definindo valor do passo do valor inicial de h e k dt0001 k1 h10 qin1 Cálculo dos valores de hk for s0001dt4 kk1 hk05qin15sqrthk1dthk1 end Selecionando pontos de 002s em 002s para plotar t00024 i1 for j1204001 nihj ii1 end Elaborando o gráfico da solução plottn 46 Tabela 23 Valores obtidos no programa t s 00 02 04 06 08 10 14 18 20 24 28 30 hm 102 00 508 75 88 97 102 107 109 1102 1107 111 111 O gráfico da resposta temporal do nível do tanque em função de uma variação em degrau da vazão de entrada do modelo nãolinear está representada na figura 28 Fonte autor Figura 213 Gráfico da resposta ao degrau unitário para o modelo nãolinear Assim partindo do estado inicial onde o tanque estava vazio com vazões de entrada e saída nulas determinamos um regime novo ponto de operação onde h011m e as vazões são iguais a 1m3s b Para a entrada fornecida percebese que houve uma pequena variação de nível Para linearizar e avaliar a resposta do modelo linear através da transformada de Laplace adotaremos o ponto de operação onde o nível estabilizou no item anterior isto é na cota h0 0111m 47 O elemento a ser linearizado é a função quadrática que relaciona o nível com a vazão de saída dada pela relação 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒇𝒉 𝒉 𝒉𝟎 𝒅𝒉 𝒅𝒉 𝒉𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 𝟏 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 Substituindo o valor de h0 vem que 𝒉 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝒉 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝟎 𝟑𝟑 𝟏 𝟓𝒉 𝟎 𝟏𝟏𝟏 Logo 𝒉 𝟏 𝟓𝒉 𝟎 𝟏𝟔𝟔 Indo na equação nãolinear e substituindo o valor de 𝒉 vem que 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟏 𝟓𝒉𝒕 𝟎 𝟏𝟔𝟔 𝒒𝒊𝒏𝒕 Estes valores de ht e qint são absolutos e portanto no modelo surge o termo independente de ht Para podermos resolver este impasse devemos avaliar uma variação de nível em torno do ponto de operação isto é 𝒉𝒕 𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟎 Na condição de regime proposta 𝒉𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏𝒎 𝒆 𝒒𝟎 𝟏𝒎𝟑𝒔 Assim 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒅𝒕 𝟑𝟏 𝟓𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝟎 𝟏𝟔𝟔 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟎 Como 𝒉𝟎 é constante a derivada será nula dessa forma teremos a equação igual a 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝟎 𝟎 𝟒𝟗𝟗𝟖 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟎 48 Na situação do regime permanente a derivada é nula e não temos os termos das variações de nível e de vazão Assim teremos 𝟒 𝟓𝒉𝟎 𝟎 𝟒𝟗𝟗𝟖 𝒒𝟎 𝒐𝒖 𝒒𝟎 𝟎 𝟗𝟗𝟗𝟑 𝟏 Dessa forma cancelamse os termos constantes e a equação final linearizada fica igual a 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 c Para avaliar a resposta analítica do sistema linear para uma pequena variação em degrau de vazão é necessário aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial acima 𝓛 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 Aplicando as propriedades da transformada 𝟐 𝒔 𝑯𝒔 𝒉𝟎 𝟒 𝟓𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 A condição inicial da variação do nível é nula pois se deseja avaliar com o modelo linearizado o comportamento do sistema em torno do ponto de operação Assim lembrando que a vazão de entrada deve variar segundo um degrau de amplitude 01 teremos 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝓛𝟎 𝟏 𝟏𝒕 𝟎 𝟏 𝒔 Fazendo as substituições e isolando 𝑯𝒔 vem que 𝟐𝒔𝑯𝒔 𝟒 𝟓𝑯𝒔 𝟎 𝟏 𝒔 𝑯𝒔 𝟐𝒔 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏 𝒔 𝑯𝒔 𝟎 𝟏 𝒔𝟐𝒔 𝟒 𝟓 Devemos calcular a transformada inversa para obter 𝒉𝒕 49 𝒉𝒕 𝓛𝟏𝑯𝒔 𝓛𝟏 𝟎 𝟏 𝒔𝟐𝒔 𝟒 𝟓 𝓛𝟏 𝟎 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔 𝟒 𝟓𝟐 𝓛𝟏 𝟎 𝟎𝟓 𝒔 𝒔 𝟐 𝟐𝟓 𝒉𝒕 𝟎 𝟎𝟓𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝒔 𝟐 𝟐𝟓 Aplicando o par da tabela 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒔 𝒂 Com isto teremos 𝒉𝒕 𝟎 𝟎𝟓 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝟐𝟓𝒕 𝒉𝒕 𝟎 𝟎𝟐𝟐𝟏𝒕 𝒆𝟐𝟐𝟓𝒕 A função do nível nos informa como ele vai variar em torno do ponto de operação dado ou seja o nível inicia em 0111m e finaliza em 0133m Tratase de uma pequena variação em torno deste ponto de operação Conclusão Vimos neste bloco os conceitos e as características de modelos matemáticos de sistemas físicos e uma ferramenta matemática muito utilizada na análise de sistemas dinâmicos que é a transformada de Laplace Para trabalhar adequadamente com esta ferramenta apresentamos a álgebra com os números complexos e as funções de variáveis complexas 50 É importante que o aluno faça todos os exercícios recomendados e que ao perceber dificuldades na solução busque ajuda do tutor do professor ou mesmo dos livros recomendados em cada bloco deste elemento textual Bibliografia Consultada eou Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de Controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 DORF R C Sistemas de controle modernos 13ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 51 𝒚𝒕 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 Finalmente 𝒚𝒕 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 a Determine a resposta do sistema sabendo que ele foi excitado por uma entrada tipo impulso unitário quando sua condição inicial era em y igual a 2 e está representado pela seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Solução a resposta temporal do sistema é determinada incluindo a condição inicial Para fazer isto devemos voltar para a equação diferencial que originou a função de transferência para podermos incluir a condição inicial dada 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓𝑼𝒔 𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 𝓛𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟓𝒖𝒕 Aplicando a transformada de Laplace incluindo as condições iniciais 𝓛 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝓛𝟓𝒖𝒕 𝒔𝒀𝒔 𝒚𝟎 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 52 Mas 𝒚𝟎 𝟐 𝒆 𝑼𝒔 𝓛𝜹𝒕 𝟏 Então 𝒔𝒀𝒔 𝟐 𝟐𝒀𝒔 𝟓 𝟏 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓 𝟐 𝒀𝒔 𝟕 𝒔 𝟐 Calculando a transformada inversa a partir do par 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂 Teremos 𝒚𝒕 𝟕𝒆𝟐𝒕 Simulação de resposta temporal a partir da função de transferência A resposta obtida em a isto é 𝒚𝒕 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 Gera valores de yt a partir de valores de t Por exemplo 𝒚𝟎 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝟎 𝒆𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝒚𝟏 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝟏 𝒆𝟏 𝟑𝟎 𝟓𝟏𝟑 𝟎 𝟑𝟔𝟕 𝟎 𝟒𝟒 etc Estes valores podem ser obtidos por simulação nos programas computacionais como o Matlab Scilab e Octave Para simular e observar a resposta ao degrau de um sistema qualquer a partir da função de transferência devemos calcular numericamente a solução através dos comandos dados a seguir Função de transferência do exemplo a 53 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Comandos no Octave programa online httpsoctaveonlinenet num3 0 den3 5 2 gtfnumden stepg Quando colocamos ponto e vírgula o comando não é representado no programa A resposta de gtfnum den é a função de transferência tftransfer function GsNote que está sem o ponto e vírgula logo é representado no programa Os três primeiros comandos geram a função de transferência Perceba que os elementos do vetor num são os coeficientes do numerador de Gs e os elementos do vetor den são os coeficientes do denominador de Gs ambos vetores representados pelos coeficientes da maior potência em s para a menor potência O último comando gera um gráfico da resposta ao degrau para yt do exemplo a que está representado na figura 24 Os valores calculados anteriormente y0 e y1 estão indicados no gráfico 54 Fonte autor Figura 24 Resposta ao degrau do sistema dado por Gs utilizando o programa gratuito Octave Polos e zeros da função de transferência Estes valores da variável s são muito importantes na avaliação da resposta temporal de sistemas Eles estão associados às raízes do denominador polos e do numerador zeros de Gs Temos então a seguinte definição Polos p são os valores de s que anulam o denominador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender ao infinito Zerosz são os valores de s que anulam o numerador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender a zero Podem existir zeros no infinito o número de zeros no infinito corresponde à diferença entre os polos finitos e os zeros finitos isto é 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos Exemplos 55 Determinar os pólos e zeros de a 𝑮𝒔 𝟐𝒔𝟓 𝒔𝟑 O valor do zero é determinado pelas raízes do numerador 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 𝟐𝒔 𝟓 𝒔 𝟓 𝟐 𝟐 𝟓 O zero vale 25 ou z25 O valor do polo é determinado pelas raízes do denominador 𝒔 𝟑 𝟎 𝒔 𝟑 O polo vale 3 ou p3 Como o número de polos finitos é 1 isto é n1 e o número de zeros também valem 1 isto é m1 então não há zeros no infinito 𝑵𝒐 𝒛 𝟏 𝟏 𝟎 b 𝑮𝒔 𝟏 𝒔𝟐𝟒 Não há zeros finitos pois não há termos em s no numerador de Gs Logo m0 Pólos de Gs 𝒔𝟐 𝟒 𝟎 ou 𝒑𝟐 𝟒 𝟎 𝒑𝟐 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝒋 São raízes complexas só com parte imaginária Neste caso o número de polos é n2 Assim teremos dois zeros no infinito z1z2 pois 𝑵𝒐 𝒛 𝟐 𝟎 𝟐 Observação a igualdade z1z2 é uma representação que ilustra que os zeros têm valores tendendo ao infinito Para a variável s o infinito tem uma representação específica já que estamos lidando com números complexos 56 Dizemos que o número está no infinito quando seu módulo tende ao infinito Para confirmar que temos zeros no infinito basta lembrar da definição de zero que é o valor de s que anula Gs e adotar que isto deva ocorrer com valores de s que tendem ao infinito ou seja Teremos zeros no infinito se 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝑮𝒔 𝟎 Para o exemplo 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟎 O que prova que temos zeros no infinito 32 Espaço de Estados definição cálculo e exemplos de aplicação A representação de sistemas através das equações do espaço de estados é utilizada na teoria de controle moderno o que permite a análise e projeto de sistemas de controle complexos pois o espaço de estados é um modelo matemático de um sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada de saída e de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem Note que é uma representação de um sistema físico qualquer com várias entradas e saídas e as variáveis de estado e diferente da função de transferência que é realizada no domínio da frequência complexa esta representação de espaço de estados é feita no domínio do tempo Independência Linear um conjunto de variáveis é definido como linearmente independente se nenhuma de suas variáveis puder ser escrita como combinação linear das demais Por exemplo dados x1 x2 e x3 Se x32x25x1 então como x3 é determinada por x2 e x1 teremos x3 como combinação linear de x1 e x2 e portanto não temos uma independência linear entre as variáveis 57 Variáveis de um sistema dinâmico qualquer variável que responda a uma entrada ou alguma condição inicial Variáveis de estado é o menor conjunto de variáveis linearmente independente do sistema tal que esse conjunto determina completamente o comportamento do sistema em qualquer instante tt0 dado que se conhecia o valor destas variáveis e da entrada no instante tt0 São as variáveis capazes de determinar totalmente o estado do sistema dinâmico e não precisam ser necessariamente mensuráveis ou observadas no entanto por questão de facilidade de análise é conveniente que elas possam ser escolhidas com esta característica Estado de um sistema dinâmico é o estado que o sistema assume através das variáveis de estado Vetor de estado é aquele que determina de forma única o estado do sistema dado por um vetor xt para qualquer instante t t0 uma vez dado o estado e especificada a entrada ut para tt0 Este vetor xt é composto por n variáveis de estado x1t x2t xnt Espaço de Estados corresponde ao espaço ndimensional cujos eixos coordenados são formados pelos eixos x1 x2 xn que são as variáveis de estado Equação de estado como a representação de estados envolvem as entradas e as variáveis de estado e o valor atual dos estados é dado pelos valores anteriores definemse equações onde estes últimos estão associados às entradas e a integração ou soma particionada dos estados anteriores Equação de saída é uma equação algébrica que representa os valores das variáveis de saída do sistema que são combinações lineares dos estados e das entradas Para um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas quaisquer teremos as equações de estado e da saída dadas por 𝒙𝒕 𝒇𝒙𝒕 𝒖𝒕 𝒕 𝒚𝒕 𝒈𝒙𝒕 𝒖𝒕 𝒕 58 Onde xt é o vetor de estados xx1t x2t xnt com n variáveis ut é vetor o das entradas com r variáveis isto é utu1t u2t urt yt é o vetor das saída yty1t y2t ymt e t é o tempo Se o sistema for linear ou linearizados as equações de estado e da saída serão dados por 𝒙 𝒕 𝑨𝒕 𝒙𝒕 𝑩𝒕 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒕𝒙𝒕 𝑫𝒕 𝒖𝒕 Mas se o sistema for invariante no tempo os valores dos elementos da matrizes e vetores serão constantes numéricas e as equações do espaço de estados serão dadas por 𝒙 𝒕 𝑨 𝒙𝒕 𝑩 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒙𝒕 𝑫 𝒖𝒕 Onde A é a matriz de estado B é a matriz das entradas C é a das saídas e D é a matriz de transmissão direta entre a entrada e a saída do sistema dinâmico linear e invariante no tempo SLIT Este sistema é representado normalmente por um diagrama de blocos específicos dado a seguir Fonte autor Figura 25 Diagrama de blocos de um sistema representado pelas equações do espaço de estados 59 Como determinar as equações de estado Qual é o número de variáveis mínimo e quais são as variáveis de estado Uma vez estabelecido o modelo matemático de um sistema através das equações diferenciais o número mínimo de variáveis corresponde à ordem da equação diferencial que descreve o sistema Na maioria dos casos dos sistemas físicos as variáveis de estado estão associadas aos elementos que armazenam energia Por exemplo em um circuito RLC os elementos que armazenam energia são o capacitor energia potencial e o indutor energia cinética Já em um sistema de massa mola e amortecedor os elementos que armazenam energia são a mola energia potencial e a massa energia cinética Note que o resistor e o amortecedor dissipam energia em forma de calor Assim no massa mola e amortecedor as variáveis de estado serão o deslocamento do corpo xt e a velocidade do corpo vt a primeira variável associada à energia potencial e a segunda associada a energia cinética Algumas vezes é necessário acrescentar algumas variáveis de estado Isto é feito com a introdução de integradores por exemplo para obter uma representação que forneça mais informações do comportamento do sistema Em NISE 2017 página 99 é exemplificado este fato Exemplo de determinação de modelos matemáticos através da representação no espaço de estados O sistema físico de um pêndulo composto por uma barra rígida está apresentado na figura 26 Neste sistema querse estudar o comportamento da posição angular do pêndulo 𝜽𝒕 em função do torque Tt aplicado à barra de comprimento L 60 Sabese que a massa da barra M é uniformemente distribuída ao longo da barra e dessa forma o peso é aplicado sobre o centro de massa localizada na metade do comprimento da barra O momento de inércia da barra é dado por I Determine a representação matricial por espaço de estados linearizando as equações de estado Fonte autor Figura 26 Sistema físico do pêndulo simples constituído por uma barra rígida de massa M Solução avaliando o diagrama de corpo livre DCL e aplicando a segunda lei de newton para movimentos de rotação teremos as relações dadas a seguir Fonte autor Figura 27 DCL do sistema físico do pêndulo simples constituído por uma barra rígida de massa M Na representação dada temos o torque externo aplicado Tt e o torque devido ao peso na direção cdo movimento do corpo τPt mas no sentido contrário A força peso é decomposta nas duas direções conforme ilustrado na figura 6 O torque é devido à força peso será igual a Tt 𝜽 τPt 𝜽 Tt Mg 𝜽 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 61 𝝉𝑷𝒕 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝟐 𝒐𝒖 𝑴𝒈𝑳 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 Aplicando a segunda lei de Newton 𝛕𝒕 𝑰 𝜶𝒕 𝑻𝒕 𝝉𝑷𝒕 𝑰 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo o valor do torque devido ao peso na direção do movimento e colocando os termos da posição angular no primeiro membro da equação vemos que 𝑰 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑴𝒈𝑳 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑻𝒕 Como verificado tratase de uma equação de segunda ordem com o termo em 𝜽𝒕 associado à função seno o que torna um modelo nãolinear Vamos definir as variáveis de estado são a posição angular e a velocidade angular isto é 𝒙𝟏𝒕 𝜽𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝝎𝒕 Note que a derivada da posição será a velocidade angular Em termos da variável de estado teremos a primeira equação de estado dada por 𝒙𝟐𝒕 𝒙 𝟏𝒕 𝒐𝒖 𝒙 𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 A segunda equação de estado vem da equação diferencial obtida no processo de modelagem do pêndulo lembrando que 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒆 𝒙 𝟐𝒕 𝒅𝝎𝒕 𝒅𝒕 Logo a segunda equação de estado será dada por 62 𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝑰 𝑻𝒕 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 Como verificado pela segunda equação o modelo é nãolinear Podemos fazer a linearização em torno de um ponto de operação qualquer e aplicar o processo através da série de Taylor truncada no termo da primeira derivada e lembrando que o modelo linear é dado para pequenas variações em torno do ponto de operação que será escolhido como o ponto de equilíbrio 𝒙𝟏𝒕 𝜽𝒕 𝟎𝒓𝒂𝒅 𝒙𝟐𝒕 𝝎𝒕 𝟎𝒓𝒂𝒅𝒔 Avaliando perturbações dos estados em torno do ponto de operação 𝒙𝟏𝒕 𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 𝜹𝒙𝟐𝒕 Utilizando a série de Taylor truncada 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 𝒐𝒖 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 Para o exercício teremos 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒙 𝒙𝟏𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟏𝒕𝒙𝟏𝟎𝜹𝒙𝟏𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 Logo teremos o seguinte modelo linearizado 𝜹𝒙 𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟐𝒕 𝜹𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝑰 𝑻𝒕 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝜹𝒙𝟏𝒕 Na forma matricial 63 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝟎 𝒙𝒕 𝟎 𝟏 𝑰 𝒖𝒕 Onde 𝒙 𝒕 𝜹𝒙 𝟏𝒕 𝜹𝒙 𝟐𝒕 𝒙𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟐𝒕 𝒆 𝒖𝒕 𝑻𝒕 Para a equação de saída como desejamos saber o valor da posição angular teremos 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎 𝒖𝒕 𝒐𝒖 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 Ou simplesmente 𝒚𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 Este é o modelo matemático dado pelas equações de espaço de estados linearizada do pêndulo dado por uma barra rígida Conversão da função de transferência para o espaço de estados Podemos utilizar a representação de espaço de estados ou a dada pela função de transferência É possível através da função de transferência obter as equações de espaço de estados Para tanto é necessário obter a equação diferencial que gerou a função de transferência e aplicar o procedimento feito no exemplo anterior Exemplo Determine a representação em espaço de estados do sistema dado pela função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Solução Aplicamos o processo inverso ou seja voltamos para a equação diferencial que originou a função de transferência para podermos incluir a condição inicial dada 64 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓𝑼𝒔 𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 𝓛𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟓𝒖𝒕 Como temos uma derivada de primeira ordem na equação possuiremos apenas um único estado xtyt Logo será a seguinte equação de estado 𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝟓𝒖𝒕 E a equação da saída será igual a 𝒚𝒕 𝒙𝒕 Conversão do espaço de estados para a função de transferência Para determinar a função de transferência a partir da representação de espaço de estados devemos aplicar a transformada de Laplace nas equações e as regras matriciais já que estamos trabalhando com matrizes e vetores Teremos então 𝒙 𝒕 𝑨 𝒙𝒕 𝑩 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒙𝒕 𝑫 𝒖𝒕 Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas 𝒔𝑿𝒔 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑪 𝑿𝒔 𝑫 𝑼𝒔 Como se deseja uma relação entre a saída Ys e a entrada Us devemos isolar Xs na primeira equação e substituir na segunda equação Lembrando que se tratam de matrizes e vetores 65 𝒔𝑿𝒔 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝒔𝑰 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝑿𝒔 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑼𝒔 Substituindo na segunda equação 𝒀𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑼𝒔 𝑫 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 𝑼𝒔 Finalmente enviando Us para o primeiro membro da equação acima determinaremos a função de transferência Gs que será dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 Exemplo Determine a função de transferência da representação de espaço de estados dada por 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝟓 𝟎 𝒙𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎 𝒖𝒕 Solução fazendo o cálculo de 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝟏 Devemos calcular a matriz inversa para depois multiplicar pelo vetor C e B Cálculo da inversa de matriz quando a matriz é 2x2 o cálculo da inversa pode ser feito pela seguinte regra invertese a posição dos elementos da diagonal principal da matriz trocamse os sinais dos elementos da diagonal secundária e todos os elementos são divididos pelo determinante da matriz Chamando de M a matriz dada acima 𝑴 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 O determinante de M será dado por 66 𝒅𝒆𝒕𝑴 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝒔 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 Calculando a matriz inversa de acordo com a regra dada 𝑴𝟏 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝟏 𝒅𝒆𝒕𝑴 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 Devemos multiplicar por C e o resultado obtido será multiplicado por B 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝟏 𝟎 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 Multiplicando por B 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 Como D0 o valor de Gs será dado por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 33 Diagrama de Blocos na representação através das equações diferencias das funções de transferência e do espaço de estados representações com o diagrama de blocos tipos de blocos e operações básicas A representação gráfica é muito utilizada na área de modelagem inclusive existem ferramentas do programa Matlab voltadas para a simulação de sistemas através de diagrama de blocos o Simulink Esses diagramas de blocos permitem a representação dos modelos matemáticos através de funções de transferência pela representação das equações de estado mas também permitem incluir elementos de nãolinearidades bloco de saturação zona morta 67 histerese e outros além de implementar métodos numéricos de simulação conforme já demonstrado anteriormente A seguir são apresentados os diferentes componentes chamados de blocos para realizar a simulação de sistemas através das funções de transferência equações de estado ou por simulação numérica direta Para todos os blocos existem setas que indicam a entrada do bloco as que apontam para o bloco e setas que se referem à saída do bloco as que apontam para fora do bloco Essas setas representam então sinais de entrada e sinais de saída respectivamente O bloco é o elemento onde o sinal é alterado Blocos básicos 1 Bloco da Função de Transferência Fonte autor Figura 28 Bloco da função de transferência dado na variável s O bloco de função de transferência representa uma função na variável complexa s A saída do bloco é dada por 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 2 Bloco Somador Neste bloco os sinais de entrada podem ser somados ou subtraídos depende do sinal indicado conforme exemplificado a seguir Pode ser aplicado para elementos variando no tempo ou na frequência complexa dada pela variável s Exemplos a bloco somador de 3 sinais de entrada que variam no tempo x1t x2t e x3t e uma saída yt A saída será igual a soma das entradas e dada por 68 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟑𝒕 A representação gráfica será dada por Fonte autor Figura 29 Bloco de somador de 3 sinais no tempo b Bloco detector de erro fornece a diferença de dois sinais de entrada Pode ser no tempo ou em s 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 Fonte autor Figura 210 Bloco da diferença de 2 sinais no tempo Observação A saída yt é chamada de erro se for associada a bloco de sistema realimentado Fonte autor 69 Figura 211 Bloco da diferença de dois sinais na variável s para um sistema realimentado Neste caso podemos utilizar a notação da área de controle e a notação de sistema realimentado 𝑬𝒔 𝑹𝒔 𝑩𝒔 3 Bloco de Ganho Pode ser definido no tempo ou em s Quando definido em s pode ser interpretado como uma função de transferência e a relação é dada por 𝒀𝒔 𝑲 𝑼𝒔 No tempo 𝒚𝒕 𝑲 𝒖𝒕 O símbolo normalmente é um triângulo conforme representado na figura 212 Fonte autor Figura 212 Bloco de ganho na variável s 4 Bloco Integrador Pode ser definido no tempo ou na variável s e utiliza o símbolo de um triângulo ou quadrado Afigura 213 apresenta o bloco integrador no tempo e a figura 214 apresenta o bloco na variável s Vale a relação no tempo 𝒚𝒕 𝒖𝒕 𝒅𝒕 70 Fonte autor Figura 213 Bloco integrador no tempo Vale a relação em s 𝒀𝒔 𝟏 𝒔 𝑼𝒔 Fonte autor Figura 214 Bloco integrador na variável s 5 Bloco Diferenciador Este bloco é somente definido no tempo e é dado pela seguinte relação 𝒚𝒕 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 A figura 215 apresenta o bloco diferenciador Em s não se utiliza funções de transferência de sistemas com ordem do numerador maior que a ordem do denominador Fonte autor Figura 215 Bloco diferenciador definido no tempo 71 6 Bloco multiplicador Este bloco faz multiplicação de sinais no tempo isto é 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 Fonte autor Figura 216 Bloco multiplicador definido somente no tempo Operações com blocos Estas operações ocorrem quando os blocos são associados em série cascata em paralelo ou em outra situação de combinação de blocos ou de combinações de sinais de entrada ou saída de blocos Por exemplo o ponto de distribuição de sinais é responsável por transmitir o mesmo sinal a partes distintas dos diagramas de blocos A figura 217 ilustra um ponto de distribuição Fonte autor Figura 217 Ponto de distribuição de um mesmo sinal Os blocos estão descritos por funções de transferência ou em alguns casos também no tempo Por exemplo blocos em cascata ou série podem ser simplificados por uma única função de transferência dada pelo produto das funções conforme ilustrado na figura 218 72 A prova da equivalência é dada pela relação entre as variáveis dos blocos Os blocos em cascata ou série podem ser simplificados por uma única função de transferência pois 𝑨𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 e 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑨𝒔 Podemos substituir o valor de As na relação com Ys obtendo 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 ou 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 Como se verifica a saída Ys é o produto das duas funções de transferência pela entrada Us ou seja simplificamos dois blocos por um único bloco Assim os blocos em cascata Equivalem a Fonte autor Figura 218 Blocos em cascata ou série e o bloco equivalente Sempre a análise é feita utilizando a relação dada entre a entrada e saída dos blocos e as relações entre os sinais A figura 219 dada a seguir ilustra algumas operações com diagramas de blocos Não se procura aqui fazer a prova de cada uma destas operações A seguir são propostos alguns exemplos destas operações com valores numéricos de funções de transferência ou sinais Descrição da operação Diagrama de blocos original Diagrama de blocos equivalente 73 Blocos em cascata Blocos em paralelo Deslocando para frente um ponto de soma localizado atrás de um bloco Retirando a função de transferência de um ramo e inserindo outras duas nos outros ramos Troca de sinais nos detectores de erro em cascata Blocos com ramo direto e ramo de realimentação Fonte autor Figura 219 Operações com diagramas de blocos Exemplos 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑨𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑯𝒔 𝑮𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑬𝒔 𝑩𝒔 𝑮𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑹𝒔 𝑪𝒔 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑯𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑯𝟏𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑮𝒔𝑯𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟑𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟑𝒔 𝒀𝒔 74 1 Simplifique os blocos dados a seguir a Fonte autor Figura 220 Diagrama de blocos com dois blocos em paralelo Solução os blocos devem ser somados conforme cálculo dado a seguir A saída de cada bloco será o produto da entrada pela função de transferência conforme indicado na figura Como a saída do somador é dada pela soma dos sinais teremos 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 Portanto 𝑮𝒔 𝟏 𝟏 𝒔𝟎 𝟓 𝟏 𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟏 𝒔𝟎 𝟓 𝟏 𝒔𝟎 𝟓𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟐 𝒔𝟎 𝟗 𝟏 𝒔𝟎 𝟓𝟏 𝒔𝟎 𝟒 Finalmente 𝑮𝒔 𝟎 𝟗𝒔 𝟐 𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟎 𝟗𝒔 𝟏 75 Obs podemos dar a resposta sem números decimais Às vezes alguns exercícios com várias alternativas utilizam desse recurso Assim multiplicando e dividindo por 10 vem que 𝑮𝒔 𝟎 𝟗𝒔 𝟐 𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟎 𝟗𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝒔 𝟐𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟏𝟎 b Fonte autor Figura 221 Diagrama de blocos com realimentação e blocos em paralelo Solução temos um bloco em paralelo de duas funções de transferência dentro de um bloco de realimentação Devemos simplificar estes blocos pela soma das funções pois no bloco somador os dois sinais são positivos Assim ficaremos com um único bloco que é dado pela soma 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟏𝟎 𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔 O diagrama fica da seguinte forma Fonte autor Figura 222 Diagrama de blocos com a simplificação dos blocos em paralelo 76 Temos agora dois blocos em série ou cascata no ramo direto Como foi demonstrado quando estes blocos estão em série resulta em um único bloco que é o produto dos blocos ou seja 𝑮𝟐𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 Ficaremos somente com o sistema realimentado Conforme apresentado anteriormente o sistema realimentado será reduzido a um único bloco cuja função de transferência é dada por Fonte autor Figura 223 Diagrama de blocos com a simplificação dos blocos em série Conforme apresentado anteriormente o sistema realimentado será reduzido a um único bloco cuja função de transferência é dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝟏 𝑮𝟐𝒔𝑯𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 Sistema simplificado fica com uma única função de transferência dada por Fonte autor Figura 224 Diagrama de blocos com a simplificação do sistema realimentado 77 Operações com blocos na representação de espaço de estados Como foi apresentado no diagrama de blocos da figura 25 as equações de espaço de estados podem ser apresentadas através dos blocos associados às matrizes ou vetores A B C e D aos blocos somadores e integrador e com retas com setas com uma largura razoável a fim de lembrar que estamos trabalhando na forma matricial e com mais de uma entrada e mais de uma saída Além da representação da figura 25 podemos ter outras representações em diagramas de blocos sem utilizar a forma matricial com a representação de todas as variáveis Assim podem ser utilizadas as formas canônicas controlável observável em cascata paralela de representação de sistemas através do espaço de estados Vejamos alguns exemplos Exemplos Dado o sistema a seguir representado por sua equação diferencial represente o sistema segundo as equações de estado e faça o diagrama de blocos do sistema a 𝒚 𝒕 𝟐𝒚 𝒕 𝟓𝒚𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 Solução como foi citado anteriormente devemos criar duas variáveis de estado já que a equação diferencial é de segunda ordem Assim se 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒚 𝒕 e utilizando a equação diferencial dada para determinar a derivada da variável de estado x2t vem que 𝒙𝟏 𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟐 𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟓𝒙𝟏𝒕 Representando na forma matricial 𝒙𝒕 𝟎 𝟏 𝟓 𝟐 𝒙𝒕 𝟎 𝟏𝟎 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎𝒖𝒕 Fazendo uma representação não matricial com a utilização dos integradores determina se o diagrama de blocos da figura 224 78 Fonte autor Figura 224 Diagrama de blocos da representação de espaço de estados Observação 1 Note que estamos trabalhando com uma notação diferente para a derivada Esta representação é encontrada nas referências bibliográficas 2 A simulação do sistema pode ser feita com esta representação em diagrama de blocos utilizando o simulink do programa computacional Matlab Posteriormente serão simulados alguns modelos de sistemas físicos utilizando o simulink 3 O bloco somador pode também ser representado com os sinais de soma e subtração fora do círculo e sem as linhas internas em cruz 4 Note que o sistema poderia ser dado em função da função de transferência veja a seguir e como visto voltaríamos para a equação diferencial e geraríamos as equações de estado 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 b 𝒚 𝒕 𝟐𝒚 𝒕 𝟓𝒚𝒕 𝟑𝒖 𝒕 𝟒𝒖 𝒕 𝟕𝒖𝒕 79 Solução neste caso devemos fazer um artifício para chegarmos em uma representação pelo espaço de estados pois a entrada está sendo derivada Para resolver esta situação utilizase uma variável intermediaria vt Para entender melhor a ideia desta variável vamos obter a função de transferência calcule 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 O artifício é feito multiplicando e dividindo pela variável Vs da seguinte forma 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑽𝒔 𝑽𝒔 𝑽𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑽𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 𝟏 Assim podemos separar a função em duas partes obtendo 𝑽𝒔 𝑼𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝒆 𝒀𝒔 𝑽𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 Voltando no tempo ficaremos com duas equações 𝒗 𝒕 𝟐𝒗 𝒕 𝟓𝒗𝒕 𝒖𝒕 𝒆 𝒚𝒕 𝟑𝒗 𝒕 𝟒𝒗 𝒕 𝟕𝒗𝒕 Adotando os estados a partir da primeira equação com 𝒙𝟏𝒕 𝒗𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒗 𝒕 ficaremos com o seguinte sistema 𝒙𝟏 𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟐 𝒕 𝒖𝒕 𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟓𝒙𝟏𝒕 Para a saída teremos a seguinte equação 𝒚𝒕 𝟑𝒙𝟐 𝒕 𝟒𝒙𝟐𝒕 𝟕𝒙𝟏𝒕 80 Elaborando o diagrama de blocos a partir das equações de espaço de estado obtidas obtemos a representação dada na figura 225 Fonte autor Figura 225 Diagrama de blocos da representação de espaço de estados para o exemplo b Conclusão Vimos todas as representações de sistemas dinâmicos utilizados na área de controle mais especificamente na área de desenvolvimento de modelos matemáticos e sua simulação Em relação às representações de modelos de sistemas aqui apresentadas cabe um comentário em relação a utilização dos modelos no domínio da frequência função de transferência e no espaço de estados A função de transferência tem como vantagens simplificar os cálculos já que substitui a equação diferencial por uma equação algébrica e permite que os elementos de um 81 sistema sejam interconectados No entanto só pode ser aplicada para sistemas lineares e invariantes no tempo Já a abordagem no espaço dos estados ou abordagem moderna ou no domínio do tempo representa também sistemas não lineares com saturação zona morta atritos folga etc e sistemas variantes no tempo permite trabalhar com sistemas de múltiplas entradas e saídas MIMO Multiple Input Multiple Output mas não é muito intuitiva e necessita de muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne clara Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018