Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares e Invariantes no Tempo

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 6 ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO Caros alunos neste bloco inicialmente apresentaremos a resposta temporal de sistemas de primeira e segunda ordens Ao longo desta disciplina esta resposta já foi apresentada diversas vezes pois os modelos matemáticos são desenvolvidos em sua maioria por equações diferenciais de 1ª e 2ª ordens mas agora vamos trabalhar com a função de transferência e parâmetros que caracterizam estas respostas O objetivo ao estudar a resposta temporal de sistemas é partindo da equação diferencial obter a função de transferência e então verificar a resposta temporal da saída do sistema para uma entrada específica no caso a entrada degrau A resposta temporal aqui analisada será relacionada com os polos do sistema Neste estudo os sistemas são estáveis exceto para sistemas de 2ª ordem cujas respostas são oscilatórias puras portanto não entram em regime permanente Ao final serão definidos conceitos muito importantes sobre a análise de sistemas dinâmicos lineares e invariantes no tempo como a estabilidade de sistemas polos dominantes e influência dos zeros na resposta do sistema que são utilizados na teoria de controle 61 Resposta temporal de Sistemas de Primeira Ordem Como foi apresentado existem diversos sistemas físicos cujo modelo matemático é representado por uma equação diferencial de primeira ordem tais como Variação do nível em um tanque frente a variação da vazão de entrada Variação da temperatura de um forno frente a variação da potência das resistências Indicação da temperatura de um sensor frente a modificação da temperatura real 3 Genericamente a equação diferencial é dada por 𝒂 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒚𝒕 𝒄𝒖𝒕 Tratase de uma equação diferencial de primeira ordem por ter uma derivada de primeira ordem Ela contém os literais a b e c o que a torna genérica Estudaremos a resposta ao degrau através da transformada de Laplace utilizando a função de transferência Aplicando sobre os dois membros da equação vemos 𝓛 𝒂 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒚𝒕 𝓛𝒄𝒖𝒕 Aplicando as propriedades e impondo condições iniciais nulas para calcularmos a função de transferência obtémse 𝒂𝒔𝒀𝒔 𝒃𝒀𝒔 𝒄𝑼𝒔 𝒂𝒔 𝒃𝒀𝒔 𝒄𝑼𝒔 Isolando no primeiro membro a razão entre Ys e Us 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝒄 𝒂𝒔 𝒃 O diagrama de blocos da função de transferência está apresentado na figura 61 Existem três coeficientes da equação que não trazem nenhum significado físico ou de informação a respeito da resposta do sistema Fonte autor Figura 61 Diagrama de blocos da função de transferência de primeira ordem Dessa forma trabalhase a função de transferência com dois parâmetros que trazem mais informações sobre a resposta do sistema que são o ganho do sistema K e a constante de tempo do sistema T Para obtêlos devemos fazer algumas manipulações algébricas sobre a função de transferência 4 𝑮𝒔 𝒄 𝒃 𝒂 𝒃 𝒔 𝟏 𝒄𝒃 𝒂 𝒃 𝒔 𝟏 Fazendose 𝑲 𝒄 𝒃 𝑻 𝒂 𝒃 𝑮𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 Vejamos um exemplo numérico a partir da função de transferência com os seus coeficientes dados por valores numéricos 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝟒𝒔 𝟑 Fazendo as manipulações chegase no s valores de K eT 𝑮𝒔 𝟓 𝟑 𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 𝟓𝟑 𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 Dessa forma 𝑲 𝟓 𝟑 𝒆 𝑻 𝟒 𝟑 Utilizando a função de transferência com os parâmetros K e T vamos determinar a resposta ao degrau 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 Logo 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 Para o degrau unitário 𝒖𝒕 𝟏𝒕 𝑼𝒔 𝟏 𝒔 5 Substituindo Gs e Us temos 𝒀𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 𝟏 𝒔 𝑲 𝒔𝒔𝑻 𝟏 Para calcular a transformada inversa devemos utilizar a tabela de transformada e escolher o par mais adequado no caso 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂 Para podermos utilizar este par devemos fazer a seguinte manipulação algébrica 𝒀𝒔 𝑲 𝒔𝑻𝒔 𝟏 𝑻 𝑲 𝑻 𝟏 𝒔𝒔 𝟏 𝑻 Fazendo 𝒂 𝟏 𝑻 Vemos 𝒚𝒕 𝑲 𝑻 𝟏 𝟏 𝑻 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 𝒚𝒕 𝒌 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 Este valor de yt corresponde a resposta ao degrau para qualquer sistema de primeira ordem representado pela função de transferência com os parâmetros K e T Se o degrau tiver amplitude A a resposta fica multiplicada por esta amplitude 𝒚𝒕 𝑲𝑨𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 Parâmetros da resposta ao degrau Alguns parâmetros como o valor final tempo de subida e tempo de acomodação são utilizados para caracterizar a resposta de um sistema de primeira ordem além do ganho K da constante de tempo T e do polo do sistema p 6 Vamos avaliar cada um destes elementos em relação à resposta temporal ao degrau de um sistema de primeira ordem Valor Final O valor final de uma função qualquer no tempo ou na variável s pode ser calculado através do teorema do valor final e é dado por 𝒗𝒇 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝒚𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝒀𝒔 Substituindo Ys por GsUs 𝒗𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑮𝒔𝑼𝒔 𝒗𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎𝒔 𝑮𝒔 𝟏 𝒔 Que resulta em 𝒗𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎𝐆𝐬 𝒗𝒇 𝐆𝟎 Conclusão G0 é o ganho em estado estacionário para entrada degrau unitário A1 e constante Este resultado vale para qualquer sistema seja de primeira ordem segunda ou de ordem superior Para o sistema de primeira ordem teremos que 𝒗𝒇 𝐆𝟎 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 𝒔𝟎 𝑲 𝟎𝑻 𝟏 𝑲 Como se verifica o valor final é o próprio ganho K Este mesmo resultado pode ser obtido calculando o valor final sobre a resposta do sistema 𝒗𝒇 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝒚𝒕 Logo 𝒗𝒇 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝑲 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 𝒗𝒇 𝑲 Interpretação do ganho K quando o sistema está em regime a saída do sistema será o produto do ganho K pelo valor da entrada Se o degrau tiver uma amplitude A teremos 7 𝒗𝒇 𝑲𝑨 Interpretação da constante de tempo T A constante de tempo é utilizada em circuitos elétricos e em eletrônica bem como na área de instrumentação quando se deseja ter ideia do tempo de resposta de um sensor ou mesmo sobre a carga de um capacitor em um circuito RC aplicada a uma temporização etc Para entender o seu significado devemos avaliar a resposta yt em função da constante de tempo T Se calcularmos o valor de yt quando tT 𝒚𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝑻 𝒚𝑻 𝒗𝒇𝟏 𝒆𝟏 𝒚𝑻 𝟎 𝟔𝟑𝟐𝒗𝒇 Conclusão a constante de tempo T do sistema é o valor do tempo onde a resposta do sistema atinge aproximadamente 63 do valor final Com este valor é possível compararmos a resposta de dois sistemas para ver quem atinge primeiro o regime permanente Veja o exemplo a seguir Dados os sistemas de primeira ordem G1s e G2s quem atingirá primeiro o regime permanente 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟒𝒔 𝟑 𝒆 𝑮𝟐𝒔 𝟐 𝟑𝒔 𝟏𝟎 Vamos calcular as duas constantes de tempo 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟒𝒔 𝟑 𝟓 𝟑𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 𝟓𝟑 𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 𝑻𝟏 𝟒 𝟑 𝒔 𝑻𝟏 𝟏 𝟑𝟑𝒔 e 𝑮𝟐𝒔 𝟐 𝟑𝒔 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑𝒔 𝟏 𝑻𝟐 𝟎 𝟑𝒔 8 O sistema mais rápido isto é que vai para o regime primeiro é G2s pois tem a menor constante de tempo logo atinge 63 da resposta ao degrau antes de G1s Outro parâmetro importante para comparar a velocidade de resposta de um sistema é o tempo de acomodação que é na verdade um múltiplo da constante de tempo para sistemas de primeira ordem Podemos colocar a resposta do sistema em gráficos utilizando valores múltiplos da constante de tempo Se 𝒕 𝑻 𝒚𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝑻 𝒚𝑻 𝒗𝒇𝟏 𝒆𝟏 𝒚𝑻 𝟎 𝟔𝟑𝟐𝒗𝒇 Se 𝒕 𝟐𝑻 𝒚𝟐𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝟐𝑻 𝒚𝟐𝑻 𝟎 𝟖𝟔𝟒𝒗𝒇 Se 𝒕 𝟑𝑻 𝒚𝟑𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝟑𝑻 𝒚𝟑𝑻 𝟎 𝟗𝟓𝒗𝒇 Se 𝒕 𝟒𝑻 𝒚𝟒𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝟒𝑻 𝒚𝟒𝑻 𝟎 𝟗𝟖𝟏𝒗𝒇 A figura 62 apresenta o gráfico da resposta ao degrau em função destes valores Assim com a constante de tempo e o ganho é possível montar rapidamente o gráfico da reposta de um sistema de primeira ordem para um degrau de amplitude A qualquer O processo inverso também é valido isto é a partir do gráfico da resposta ao degrau é possível determinar os valores de K e T e portanto a função de transferência de Gs 9 Fonte autor Figura 62 Gráfico da resposta ao degrau para um sistema de primeira ordem genérico Polo de um sistema de primeira ordem O polo como se verificará adiante é um importante elemento na avaliação se um sistema é estável ou não ou seja entra em regime permanente ou estado estacionário ou não Relembrando a sua definição ele representa as raízes do denominador de Gs ou faz com que Gs tenda ao infinito Para um sistema de primeira ordem o polo será a raiz da equação característica dada por 𝒔𝑻 𝟏 𝟎 𝒔𝑻 𝟏 𝒔 𝟏 𝑻 ou 𝒑 𝟏 𝑻 Como notamos o polo é negativo e é o inverso da constante de tempo Ele portanto está associado a resposta do sistema pois é o elemento que está multiplicando o tempo na exponencial da resposta Veja quando aplicamos a resposta 𝒚𝒕 𝒌 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 𝒚𝒕 𝒗𝒇𝟏𝒕 𝒆𝒑𝒕 10 Como o polo é negativo com o passar do tempo a exponencial vai para zero e o sistema estabiliza no valor final Tempo de subida ou Rise Time Tr Por definição é o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 até 90 de seu valor final Tomemos o tempo t1 onde a amplitude é 10 de vf e o tempo t2 onde ela é 90 de vf Vale então que 𝑻𝒓 𝒕𝟐 𝒕𝟏 O gráfico da figura 63 apresenta o tempo de subida de um sistema de primeira ordem Tempo de Acomodação Assentamento ou Estabilização ou Settling Time Ts Por definição é o tempo necessário para o sistema variar dentro de uma faixa de 2 do valor final O seu cálculo pode ser dado de forma aproximada em função da constante de tempo 𝑻𝒔 𝟒𝑻 No gráfico da resposta temporal indicase que quando o tempo corresponder a quatro constantes de tempo a saída será 981 de vf ou seja está acima de 98 o que equivale a dizer dentro da faixa de 2 do valor final 11 Fonte autor Figura 63 Gráfico da resposta temporal para a entrada degrau de um sistema de primeira ordem com Tr e Ts indicados Vamos calcular estes parâmetros da resposta temporal através do exemplo dado a seguir Exemplo 1 Dado o gráfico da resposta ao degrau unitário para um sistema de primeira ordem determine o ganho K e a constante de tempo T do sistema O valor do polo do tempo de acomodação do tempo de subida e do valor final observando o gráfico da figura 64 12 Fonte autor Figura 64 Gráfico da resposta ao degrau unitário Solução Observase que o valor final vale 10 Logo 𝒗𝒇 𝑲 𝟏𝟎 Para a constante de tempo no gráfico está indicado onde a amplitude vale 63 de vf 63 Portanto T1s o polo será igual a p1 inverso negativo de T e a função de transferência será dada por 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 O tempo de acomodação será igual a 4s a resposta atinge o valor de 981 e o tempo de subida vale aproximadamente 𝑻𝒓 𝒕𝟐 𝒕𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟐 𝟐𝒔 Observação graficamente os valores tomados na curva não são precisos mas podemos calcular através da resposta temporal tomando 10 e 90 de vf ou seja utilizando a resposta ao degrau 𝒚𝒕 𝟏𝟎𝟏𝒕 𝒆𝟏𝒕 13 Se 𝒕 𝒕𝟏 𝒚𝒕 𝟎 𝟏𝒗𝒇 𝟏 𝟏 𝟏𝟎𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟏 𝟏𝟎 Logo 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟎 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟎 𝟗 𝒍𝒏𝒆𝟏𝒕𝟏 𝒍𝒏𝟎 𝟗 𝒕𝟏 𝒍𝒏𝟎 𝟗 𝒕𝟏 𝟎 𝟏𝟎𝟓𝒔 Se 𝒕 𝒕𝟐 𝒚𝒕 𝟎 𝟗𝒗𝒇 𝟗 𝟗 𝟏𝟎𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟗 𝟏𝟎 Logo 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟎 𝟗 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟎 𝟏 𝒍𝒏𝒆𝟏𝒕𝟐 𝒍𝒏𝟎 𝟏 𝟏𝒕𝟐 𝒍𝒏𝟎 𝟏 𝒕𝟐 𝟐 𝟑𝒔 Estes valores obtidos são precisos determinados analiticamente e praticamente iguais aos valores tomados no gráfico 62 Resposta temporal de Sistemas de Segunda Ordem Os sistemas de segunda ordem são modelados por equações diferenciais de segunda ordem Enquanto os sistemas de primeira ordem só têm um tipo de resposta os sistemas de segunda ordem têm quatro tipos diferentes de resposta que vamos apresentar aqui Para tanto partiremos da equação diferencial definindo a função de transferência para então verificar estas respostas do sistema de segunda ordem Avaliando sistemas físicos podemos citar como exemplos de sistemas de segunda ordem A suspensão de um carro onde se estuda o deslocamento vertical de um quarto do veículo frente as variações existentes na pista A velocidade angular de um motor CC em função da tensão aplicada Um circuito elétrico RLC série Estes e outros sistemas podem ser representados genericamente pela seguinte equação diferencial 𝒂 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒄𝒚𝒕 𝒅𝒖𝒕 Onde a b c e d são valores quaisquer yt é a saída do sistema e ut é a entrada do sistema 14 Aplicando a transformada de Laplace nos dois membros da equação e suas propriedades vemos que 𝓛 𝒂 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒄𝒚𝒕 𝓛𝒅 𝒖𝒕 Como as condições iniciais são impostas como nulas temos 𝒂𝒔𝟐𝒀𝒔 𝒃𝒔𝒀𝒔 𝒄𝒀𝒔 𝒅𝑼𝒔 𝒂𝒔𝟐 𝒃𝒔 𝒄𝒀𝒔 𝒅𝑼𝒔 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝒅 𝒂𝒔𝟐 𝒃𝒔 𝒄 Ao invés de trabalharmos com os coeficientes da equação normalmente utilizamos dois parâmetros que caracterizam a resposta de sistemas de segunda ordem a frequência natural ωn e o fator de amortecimento 𝝃 Trabalhamos com a seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 O exemplo numérico a seguir demonstra como determinamos estes parâmetros Exemplo 1 Dado a função de transferência de um sistema de segunda ordem determine 𝝃 e ωn 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟖 𝟐𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟏𝟔 Solução devemos comparar sempre o denominador da função de transferência numérica com a dada pelos parâmetros Para calcularmos os parâmetros o termo associado ao quadrado de s deve ser igual a 1 Devemos então colocar em evidência o termo que multiplica 𝒔𝟐 isto é 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟖 𝟐𝒔𝟐 𝟔 𝟐 𝒔 𝟏𝟔 𝟐 𝑮𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟖 15 Agora a comparação dos demais coeficientes pode ser feita a fim de determinar os dois parâmetros 𝑮𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟖 𝐞 𝑮𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Por comparação dos denominadores das duas funções de transferência vemos que 𝝎𝒏 𝟐 𝟖 𝝎𝒏 𝟖 𝝎𝒏 𝟐 𝟖𝟑 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟑 𝝃 𝟑 𝟐𝝎𝒏 𝝃 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖𝟑 𝝃 𝟎 𝟓𝟑 A seguir calculase a resposta no tempo do sistema de segunda ordem para uma entrada degrau unitário Resposta ao degrau unitário O cálculo será feito com os parâmetros 𝝃 e ωn partindo da função de transferência 𝑮𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Vamos calcular a resposta ao degrau isto é 𝐮𝒕 𝟏𝒕 Logo 𝐔𝐬 𝟏 𝒔 e assim 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para calcular a transformada inversa e determinar yt é necessário observar que a resposta do sistema depende do valor do fator ou relação de amortecimento 𝝃 Quando este fator é elevado o sistema não oscila se ele tiver um valor reduzido permite que o sistema oscile e quando é nulo o sistema oscila com a frequência natural 𝝎𝒏 Dessa forma existem quatro possibilidades de resposta ao degrau que são associadas ao valor de 𝝃 ou aos pólos de Gs Resposta Superamortecida Resposta Criticamente Amortecida 16 Resposta Subamortecida Resposta Oscilatória Pura Antes de calcularmos estas respostas vamos calcular os polos de Gs já que as respostas podem ser relacionadas ao valor dos polos 𝐆𝐬 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Os polos são as raízes do denominador 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝟎 Por baskhara 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟐𝝃𝝎𝒏𝟐 𝟒 𝟏 𝝎𝒏𝟐 𝟐 𝟏 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟐𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 𝟐 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 Com este valor pode ser estabelecida uma relação entre o valor de 𝝃 e dos pólos Se 𝝃 𝟏 os polos são reais e distintos e a resposta será superamortecida Se 𝝃 𝟏 os polos são reais e iguais e a resposta será criticamente amortecida Se 𝟎 𝝃 𝟏 os polos são complexos com parte real e imaginária e a resposta será subamortecida Se 𝝃 𝟎 os polos são imaginários puros e a resposta será oscilatória pura Vamos calcular cada resposta com exemplos numéricos 1 Resposta subamortecida 𝝃 𝟏 Neste caso é possível decompor o trinômio no produto de dois binômios onde estão representados os valores dos polos 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝟏 𝒔 O gráfico da figura 65 representa estes dois polos que são os valores calculados acima 17 Fonte autor Figura 65 Polos reais e distintos de um sistema de segunda ordem Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏 𝒂𝒃 𝟏𝒕 𝟏 𝒂 𝒃 𝒃𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝒔 𝒃 Como pode ser observado os valores de a e b são os valores dos polos com sinal trocado isto é 𝒂 𝒑𝟏 𝐞 𝒃 𝒑𝟐 Ao invés de calcularmos a resposta literal vamos calcular a resposta para um exemplo numérico Exemplo dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 Solução Cálculo dos polos de Gs 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 𝟎 Por baskhara 18 𝒑𝟏𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟓 𝟗 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝒑𝟏 𝟒 𝒑𝟐 𝟏 Obtemos dois polos reais e distintos logo podemos decompor o trinômio em um produto de binômios dado por 𝑮𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟒 𝒀𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟒 𝟏 𝒔 Com 𝒂 𝟏 𝐞 𝒃 𝟒 obtemos a resposta temporal que será dada por 𝒚𝒕 𝟒 𝟒 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝒆𝟏𝒕 𝟏𝒆𝟒𝒕 𝒚𝒕 𝟏𝒕 𝟒 𝟑 𝒆𝟏𝒕 𝟏 𝟑 𝒆𝟒𝒕 Como verificamos na resposta não existem termos que provoquem uma oscilação do sinal ou seja o sistema é muito amortecido a ponto de não oscilar Os polos estão associados às duas exponenciais da resposta e como são negativos estes dois termos serão nulos depois de um determinado tempo o que faz com que o sistema entre em regime com valor final igual a um O gráfico da figura 66 ilustra este comportamento da resposta no tempo para um degrau unitário aplicado a entrada do sistema Fonte autor Figura 66 Resposta ao degrau para um sistema superamortecido 19 2 Resposta criticamente amortecida ou com amortecimento crítico 𝝃 𝟏 Neste caso o sistema está entre uma resposta que não oscila e outra que oscila mas não iguala nenhuma das duas respostas Vejamos o valor de yt 𝐆𝐬 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 𝟏𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝝎𝒏𝟐 Os polos de Gs serão dados por 𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝝎𝒏 Obs através da fórmula dos polos podemos chegar nos mesmos valores de polos 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 𝒑𝟏𝟐 𝟏𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟏𝟐 𝟏 𝒑𝟏𝟐 𝝎𝒏 No plano s da figura 67 estão representados estes dois polos Fonte autor Figura 67 Polos reais e iguais de um sistema de segunda ordem E o valor de ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏 𝒂𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝟐 20 Onde 𝒂 𝝎𝒏 Ao invés de calcularmos a resposta literal vamos calcular a resposta para um exemplo numérico Exemplo dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 Solução Podemos calcular os polos ou verificar se o denominador é um quadrado perfeito Cálculo dos polos de Gs 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟎 Por baskhara 𝒑𝟏𝟐 𝟒 𝟒𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝒑𝟏 𝟐 𝒑𝟐 𝟐 Obtemos dois polos reais e iguais Se observarmos que o trinômio do denominador é um quadrado perfeito os polos não precisam ser calculados por baskhara Analisando verificaremos que o denominador é um quadrado perfeito 𝐆𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟒 𝒔 𝟐𝟐 E assim o valor dos polos pode ser obtido diretamente da equação 𝒔 𝟐𝟐 𝟎 Desta forma 𝒀𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟒 𝟏 𝒔 E a sua transformada inversa será 𝒚𝒕 𝟒 𝟐𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝒕 𝟐𝒕𝒆𝟐𝒕 𝒚𝒕 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝒕 𝟐𝒕𝒆𝟐𝒕 21 Como pode ser verificado esta reposta não é igual a resposta superamortecida mas o seu gráfico é parecido conforme ilustrado na figura 68 Fonte autor Figura 68 Resposta ao degrau para um sistema criticamente amortecido 3 Resposta subamortecida 0 𝜉 1 Neste caso os polos ficam complexos e a resposta do sistema não é decomposta em binômios Vejamos a resposta e os valores dos polos Os polos de um sistema de segunda ordem foram calculados e forneceram os seguintes valores 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 Note que se 𝟎 𝝃 𝟏 o valor da raiz será negativa e portanto os polos serão complexos Podemos inverter a ordem do termo da raiz 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟏𝟏 𝝃𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟏𝟏 𝝃𝟐 Mas 𝟏 𝒋 logo os polos serão iguais a 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝒋𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 Estes polos têm parte real e imaginária que estão associadas a resposta do sistema A parte real corresponde a constante de decaimento da resposta e está associado a uma 22 exponencial da resposta Já a parte imaginária é chamada de frequência amortecida que está associada à oscilação do sinal No plano s da figura 69 estão representados estes dois polos complexos Fonte autor Figura 69 Polos complexos conjugados de um sistema de segunda ordem Já o valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Onde 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 e os valores de 𝝃 e 𝝎𝒏 podem ser determinados conforme exemplificado anteriormente Vamos calcular a resposta de um exemplo numérico Exemplo dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟗 𝒔𝟐 𝒔 𝟗 Solução 23 A necessidade de calcular os polos é justamente para estabelecer qual é a resposta a ser utilizada Cálculo dos polos de Gs 𝒔𝟐 𝒔 𝟗 𝟎 Por Baskhara 𝒑𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟒 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑𝟔 𝟐 𝟏 𝟑𝟓 𝟐 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝒋𝟐 𝟗𝟔 Sabendo que os polos são complexos devemos calcular 𝝃 e 𝝎𝒏 𝝎𝒏 𝟐 𝟗 𝝎𝒏 𝟗 𝝎𝒏 𝟑 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟏 𝝃 𝟑 𝟐𝝎𝒏 𝝃 𝟏 𝟐 𝟑 𝝃 𝟎 𝟏𝟔𝟕 Já o valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Com 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 E a transformada inversa determina o valor de yt 𝐲𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝒕 O valor de será dado por 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝟎 𝟏𝟔𝟕 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟎 𝟗𝟖𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟕 𝟏 𝟒 E finalmente a resposta será dada por 24 𝐲𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟎𝟏𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟗𝟔𝒕 𝟏 𝟒 O gráfico de yt está ilustrado na figura 610 Fonte autor Figura 610 Resposta ao degrau do sistema subamortecido O período da oscilação do sinal está associado à frequência amortecida que é a frequência angular do seno Já a parte real do polo está associada à exponencial da resposta sendo conhecida como fator de decaimento 𝝈 𝝃𝝎𝒏 e 𝝎𝒅 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 e 𝝎𝒅 𝟐𝝅 𝑻𝒅 Onde 𝝈 é o fator de decaimento e 𝝎𝒅 é a frequência amortecida do sistema 4 Resposta oscilatória pura 𝝃 𝟎 Neste caso o sistema não possui amortecimento nenhum portanto deve oscilar sem nenhuma atenuação da saída A função de transferência fica igual a 𝐆𝐬 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 𝟎𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝝎𝒏𝟐 25 Os polos podem ser facilmente calculados 𝒔𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝟎 𝒔𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝒋𝝎𝒏 𝒐𝒖 𝒑𝟏𝟐 𝒋𝝎𝒏 São polos somente com parte imaginária No plano s da figura 611 estão representados estes dois polos imaginários puros Fonte autor Figura 611 Polos imaginários puros de um sistema de segunda ordem Já o valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝝎𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝝎𝟐 Para calcular a resposta de um sistema trabalharemos com um exemplo numérico Exemplo Dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 26 𝐆𝐬 𝟗 𝒔𝟐 𝟗 Solução Como observamos temos dois polos imaginários puros 𝒑𝟏𝟐 𝒋𝝎𝒏 𝒋𝟑 O valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝟗 𝒔𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 O valor da frequência natural é imediato relembrando que devemos comparar sempre o valor do denominador Teremos então 𝝎𝒏 𝟐 𝟗 𝝎𝒏 𝟗 𝝎𝒏 𝟑 E a resposta temporal para a entrada degrau unitário será igual a 𝐲𝐭 𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 O gráfico da figura 612 ilustra esta resposta no tempo Como visto o sistema não para de oscilar não tendo nenhum decaimento Fonte autor Figura 612 Resposta ao degrau do sistema oscilatório puro Vimos todos os tipos de respostas possíveis para sistemas de segunda ordem 27 Para descobrir qual é a resposta a ser utilizada podemos examinar o valor dos polos ou o valor de 𝝃 Vejamos alguns parâmetros que são utilizados na especificação da resposta transitória Especificações da Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Parâmetros da Resposta Temporal Os parâmetros que são utilizados na resposta de segunda ordem são Mp o máximo sobressinal ou máxima ultrapassagem ou overshoot Tr o tempo de subida Ts o tempo de acomodação vf o valor final Estes elementos são utilizados quando se realiza o projeto de um controlador ou para avaliar as características da resposta Vamos falar sobre cada um destes parâmetros Tempo de subida Rise time Tr São utilizadas duas definições para sistemas que não ultrapassam o valor final superamortecidos e criticamente amortecidos e para sistemas que ultrapassam o valor final subamortecidos e sistemas com zeros Definição 1 o tempo de subida Tr1 é o intervalo de tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 até 90 de seu valor final para sistemas que não tem sobressinal Definição 2 o tempo de subida Tr é o intervalo de tempo necessário para que a resposta ao degrau atinja o valor final pela primeira vez para sistemas subamortecidos e com efeito de zero que gere sobressinal 28 A figura 613 ilustra as duas definições A figura apresenta a resposta de um sistema subamortecido com tempo de subida Tr e um superamortecido com tempo de subida Tr1 Fonte autor Figura 613 Gráficos da resposta ao degrau para sistemas de segunda ordem Para sistemas subamortecidos o valor do tempo de subida corresponde ao valor de ytvf Assim pode ser calculado resultando em 𝑻𝒓 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝟏𝝃 𝝎𝒏𝟏 𝝃 𝟐 Observação sistemas superamortecidos ou criticamente amortecidos com zeros finitos podem apresentar ultrapassagem Veja o exemplo a seguir Exemplo Simule e apresente o gráfico da resposta ao degrau de 𝐆𝐬 𝟓𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 Este sistema possui os dois polos em 1 e 4 e um zero em 08 29 A resposta ao degrau está apresentada na figura 614 Como se nota o sistema passa do valor final em função do zero de Gs e observamos também que o sistema não oscila o que caracteriza uma resposta no caso superamortecida Fonte autor Figura 614 Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com zero finito Tempo de Assentamento Settling Time Ts Também conhecido como tempo de acomodação ou de estabilização é o tempo necessário para que a saída se estabilize dentro de uma faixa percentual de seu valor final Esta faixa é definida em torno de 2 ou 5 do valor final Adotaremos sempre a faixa de 2 Quando o sistema não oscila e não ultrapassa o valor final podese dizer que o tempo de acomodação é o instante de tempo onde a amplitude da saída é igual a 98 do valor final No momento em que o sistema ultrapassa o valor final o tempo de assentamento é o instante de tempo onde a resposta atinge o valor da faixa permanecendo dentro da mesma A figura 615 apresenta uma resposta subamortecida onde o tempo de assentamento é de 765s é uma resposta superamortecida com um tempo de assentamento de 39s No 30 caso da resposta subamortecida o sistema oscila e entra e sai da faixa de 𝟐 do valor final até que atinge o tempo de assentamento Fonte autor Figura 615 Resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem com o tempo de assentamento Máximo Sobressinal ou Sobressinal Overshoot Mp Também conhecido como máxima ultrapassagem ou simplesmente ultrapassagem é um valor que ocorre quando o sistema é subamortecido e no caso de sistemas que não oscilam mas apresentam zeros que levam a uma ultrapassagem do valor final Neste caso existe um sobressinal conforme pode ser identificado na figura 614 onde apresentamos a resposta de um sistema subamortecido com sobressinal Por definição o sobressinal é dado por 𝑴𝑷 𝑴𝑷𝒕 𝒗𝒇 𝒗𝒇 𝟏𝟎𝟎 Onde 𝑴𝑷𝒕 é o valor de pico e 𝒗𝒇 é o valor final Este valor está relacionado com o valor de máximo de yt assim podemos calcular o instante de pico derivando a função e 31 igualando a zero e substituir este instante em yt para obter a valor final a partir da fórmula Assim o tempo de pico e o sobressinal serão iguais a 𝑻𝑷 𝝅 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝐞 𝑴𝑷 𝒆 𝝃𝝅 𝟏𝝃𝟐 𝟏𝟎𝟎 Como se nota ele está somente associado ao valor do fator de amortecimento Fonte Autor Figura 616 Resposta de um sistema subamortecido com o valor do sobressinal A figura 617 demonstra diversas respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem em função do fator de amortecimento Fonte autor Figura 617 Resposta ao degrau de diversos sistemas de segunda ordens 32 Finalizando cabe uma reflexão sobre o ganho do sistema Com a função de transferência aqui analisada o sistema terá um ganho DC ou simplesmente ganho igual a um Para generalizar utilizando o mesmo resultado do valor final apresentado no item 61 podemos definir um ganho K e calcular o seu valor Ganho do sistema ou ganho DC é o ganho K na função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Exemplo Determinar o ganho do sistema para 𝑮𝒔 𝟏𝟖 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟗 Verificamos que o termo independente do denominador está atrelado ao quadrado da frequência natural 𝝎𝒏 𝟐 Assim 𝝎𝒏 𝟐 𝟗 𝝎𝒏 𝟑 𝑲𝝎𝒏 𝟐 𝟏𝟖 𝑲 𝟏𝟖 𝟗 𝑲 𝟐 Conclusão o valor final para ut1t 𝒗𝒇 𝐆𝟎 𝐊 63 Conceito de estabilidade de sistemas dinâmicos e características de respostas de sistemas de ordem superior Quando se fala em estabilidade de sistemas somos levados a avaliar que a saída do sistema deve depois de variar ficar constante ao longo do tempo ou seja entrar em regime permanente ou estado estacionário No entanto é importante caracterizar a entrada que está gerando os valores de saída Outro fato importante é a ideia que a estabilidade pode ser avaliada em duas situações a primeira quando se deseja verificar se o sistema é estável ou não a que chamamos de estabilidade absoluta e a segunda é a ideia de estabilidade relativa quando se comparam sistemas estáveis e queremos verificar qual sistema é mais rápido Este último conceito está associado ao projeto de controladores 33 ESTABILIDADE ABSOLUTA Existem duas definições para verificar se um sistema é estável ou não Um teorema é utilizado para através dos polos da função de transferência efetivamente classificar o sistema entre ser ou não estável Definição 1 Um sistema é estável se estando em uma condição de repouso for excitado por uma entrada impulso sua saída varia e retorna para o valor inicial A figura 618 ilustra a resposta de um sistema estável que foi alimentado por uma entrada impulso e varia a sua saída mas volta à condição inicial Fonte autor Figura 618 A entrada impulso aplicada no sistema produz uma saída que varia mas retorna a sua condição inicial Definição 2 Um sistema é BIBO boundedinput bounded output estável se para qualquer entrada limitada mantém uma saída limitada ao longo do tempo BIBO estável é que o sistema que recebe uma entrada limitada em amplitude por exemplo um degrau que será estável se produzir uma saída que varia mas depois estabiliza 34 A resposta ao degrau unitário de um sistema BIBO estável está apresentada na figura 619 Fonte autor Figura 619 Entrada degrau do sistema BIBO estável e sua saída correspondente limitada e que estabiliza em um valor final Teorema Para um sistema ser estável todos os polos da função de transferência devem estar localizados no semiplano esquerdo estrito do plano complexo s Entendese como semiplano esquerdo estrito o plano onde a parte real dos polos complexos é negativa isto é 𝓡𝒆𝒑0 Assim não se inclui os polos que estão no eixo imaginário Esse teorema nos dá também a seguinte classificação quanto à estabilidade Se o sistema tiver polos à esquerda do eixo imaginário ou no eixo e pelo menos um polo à direita do eixo imaginário o sistema será instável Se o sistema tiver polos à esquerda do eixo imaginário e pelo menos um par de polos imaginários puros no eixo imaginário o sistema será marginalmente estável Nessa situação o sistema não é instável e nem estável pois tem uma resposta que não estabiliza senóide mantida mas não tende ao infinito 35 Especial atenção se deve dar ao polo na origem o sistema será instável pois tratase de um polo integrador Exemplo o sistema dado pela função de transferência abaixo será estável Justifique 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟒𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 Solução para verificar se será estável devemos determinar os polos Lembrando que o polo é o valor de s que anula o denominador de Gs e portanto faz Gs0 tender ao infinito teremos o primeiro polo como raiz da equação 𝒔 𝟒 𝟎 𝒔 𝟒 ou 𝒑𝟏 𝟒 Os demais polos serão raízes de 𝟏𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 Por bhaskara 𝒂𝒔𝟐 𝒃𝒔 𝒄 𝟎 𝒔𝟐𝟑 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Então 𝒔𝟐𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟒𝒋 𝟐 Finalmente 𝒔𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 𝒐𝒖 𝒑𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 O sistema será estável pois todos os polos têm parte real negativa Assim estão à esquerda do eixo imaginário conforme representado no plano s da figura 620 36 Fonte autor Figura 620 Plano s com a representação dos polos da função de transferência dada Observações finais É importante lembrar que a resposta de um sistema está associada ao valor dos polos do mesmo Por exemplo 𝑮𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 Gera uma resposta à entrada degrau unitário como apresentado igual a 𝒚𝒕 𝟏 𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝒕 Como se observa a exponencial tem o valor do polo do sistema p2 Como o expoente é negativo conforme o tempo aumenta a exponencial tende a zero e a resposta do sistema estabiliza em 05 o que demonstra que polos negativos geram respostas estáveis Caso o polo fosse 𝒑 𝟐 𝒂 𝟐 teríamos uma reposta instável tendendo à 37 ESTABILIDADE RELATIVA O conceito de estabilidade relativa está relacionado com a velocidade de resposta do sistema isto é quanto tempo o sistema demora para entrar em regime e está associado ao tempo de assentamento Assim este conceito é aplicado para determinar qual sistema é mais estável A ideia é simples Quanto mais distante do eixo imaginário mais negativo estiver o polo dominante do sistema mais rapidamente ele estabiliza O projeto de controladores está relacionado com este conceito Os polos dominantes de um sistema são os polos mais próximos do eixo imaginário estando os demais cerca de dez vezes mais distante A figura 621 representa a região dos polos dominantes Fonte autor Figura 621 Representação da região dos polos dominantes Observação Se 𝒃 𝒂10 podese desprezar o polo em 𝒔 𝒃 Exemplo O sistema dado pela função de transferência a seguir tem polos dominantes em 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟖𝟔𝒋 38 Função de transferência 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Polos de 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟖𝟔𝒋 Polo de 𝒔 𝟏𝟎 𝟎 𝒑𝟑 𝟏𝟎 O polo em 10 está 20 vezes mais distante Assim quem domina a resposta do sistema são os polos 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟖𝟔𝒋 Observação dizemos que os sistemas são equivalentes ao possuírem a mesma resposta quando excitados por um determinado sinal por exemplo para uma entrada degrau ou impulso Se compararmos a resposta do sistema dado por Gs com o sistema dado pelos polos dominantes verificaremos que os sistemas são equivalentes No passado este fato era utilizado para reduzir a ordem da função de transferência uma vez que todos os cálculos eram feitos à mão Simulação no octave na figura dd apresentamos a resposta do sistema dado por Gs e o sistema com os pólos dominantes para uma entrada degrau Para Gs devemos aplicar a distributiva no denominador para podermos entrar com os coeficientes da soma 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝒔𝟑 𝒔𝟐 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟏𝟎 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟑 𝟏𝟏𝒔𝟐 𝟏𝟏𝒔 𝟏𝟎 O sistema com os polos dominantes Gds deve ter o mesmo valor final que Gs isto é 39 𝒗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑮𝟎 𝑮𝒅𝟎 𝑮𝒅𝒔 𝒌 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Valor final de Gs 𝒗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝟏𝟎 𝟎𝟑 𝟏𝟏 𝟎𝟐 𝟏𝟏 𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏 Valor final de Gds 𝒗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒌 𝟎𝟐 𝟎 𝟏 𝒌 𝟏 𝒌 Logo 𝒌 𝟏 𝒆 𝑮𝒅𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Comandos no Octave ou Matlab n10 d1 11 11 10 gtfnd stepg hold n11 d11 1 1 g1tfn1d1 stepg1 O gráfico obtido está apresentado na figura 622 O comando hold mantém o gráfico de Gs e imprime junto o gráfico de Gds Como se nota os gráficos são praticamente iguais o que implica que o polo em 10 pode ser desprezado e toda a análise de controle pode ser feita com os polos dominantes 40 Fonte autor Figura 622 Gráfico da resposta ao degrau de Gs e Gds Observação final é interessante verificar que isoladamente os polos complexos geram uma resposta subamortecida que tem um decaimento exponencial cujo tempo de assentamento como foi citado equivale a aproximadamente quatro vezes o valor da parte real do polo correspondendo no exemplo a oito segundos Se verificarmos o tempo de assentamento do polo em 4 corresponde como também foi visto a 4 vezes a constante de tempo que é o inverso do valor do módulo do polo e que equivale a um segundo Com isto fica claro porque a resposta do sistema completo tem como efeito predominante o dos polos complexos e de aspecto gráfico de uma resposta subamortecida Resposta de sistemas de ordem superior Sistemas de ordem três em diante quando excitados em sua entrada produzirão uma resolução que é a combinação de respostas de primeira e segunda ordens 41 O exemplo anterior pode ser utilizado para verificar que a resposta global será dada pela soma da resposta de um sistema de primeira ordem com um sistema de segunda ordem No entanto para este exemplo como foi explicado a resposta que predomina é a dos polos complexos Exemplo vamos verificar a resposta ao impulso unitário para o Gs do exemplo anterior 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Solução a resposta ao impulso corresponde ao valor de yt para utδt e com isso Us1 Teremos então 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 Afim de calcular yt devemos calcular a transformada inversa da função Ys Para tanto aplicamos a expansão em frações parciais 𝒀𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Cálculo de 𝒓𝟏 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝒔𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎 𝟏 𝒓𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏 Com o valor de 𝒓𝟏 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑𝒔 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐𝒔 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 42 Comparando apenas os numeradores da identidade 𝟗𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑𝒔 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 Por comparação do numerador de Gs com o obtido acima vemos que 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝒓𝟐 𝟎 𝒓𝟐 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑 𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 𝟗𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 𝟗𝟎𝟎 𝒓𝟑 𝟗𝟎𝟎 𝟗𝟏𝟎 𝟗𝟎 𝟗𝟏 A segunda equação indica que os valores obtidos estão corretos pois 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟗𝟏 𝟗𝟎 𝟗𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟎 𝟎 Assim a expansão resulta em 𝒀𝒔 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒔 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟗𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 A transformada inversa é determinada pelos pares da tabela da transformada de Laplace dados a seguir Da tabela de pares 𝟏 𝒆𝒂𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝒂 𝟐 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝓛𝟏 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝓛𝟏 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Com 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 Para o primeiro par a10 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒆𝟏𝟎𝒕 43 Para o segundo e terceiro termos 𝝎𝒏 e 𝝃 devem ser calculados bem como os termos da função no tempo associados a estes parâmetros Por comparação dos coeficientes do denominador 𝝎𝒏 𝟐 𝟏 𝝎𝒏 𝟏 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟏 𝟐 𝝃 𝟏 𝟏 𝝃 𝟎 𝟓 Logo 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏𝟎𝟓𝟐 𝟎𝟓 𝝅 𝟑 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝟏𝟏 𝟎 𝟓𝟐 𝟎 𝟖𝟔𝟔 Logo teremos 𝓛𝟏 𝒔 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 𝝅 𝟑 e 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 Assim 𝒚𝒕 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒆𝟏𝟎𝒕 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 𝝅 𝟑 𝟗𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 Efetuando os produtos 𝒚𝒕 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒆𝟏𝟎𝒕 𝟏 𝟏𝟓𝟒 𝟗𝟏 𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 𝝅 𝟑 𝟏𝟎𝟑 𝟖𝟔 𝟗𝟏 𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 Como evidenciado a resposta resultante vem de um termo de primeira ordem com um de segunda ordem Sobre a redução de ordem do sistema a resposta ao impulso da função de ordem reduzida é dada por 𝒚𝒅𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 44 O gráfico da figura 623 representa as duas respostas no tempo Como notamos são bem próximas indicando que o sistema pode ser reduzido de terceira ordem para um sistema de segunda ordem Comandos no Octave ou Matlab t000110 y1091exp10t1091sqrt075exp05tsin0866tpi31038691exp 05tsin0866t yd1154exp05tsin0866t plottytyd Fonte autor Figura 623 Gráfico da resposta ao impulso unitário para Gs e Gds Neste caso a resposta de um sistema de terceira ordem é a soma das respostas de um sistema de primeira ordem e de um sistema de segunda ordem com duas partes Eventualmente podemos ter três sistemas de primeira ordem sendo somados 45 Como observado no exemplo dado o tempo de assentamento do sistema será aproximadamente igual a quatro vezes a maior constante de tempo principalmente quando existem polos dominantes O fator de amortecimento do termo de segunda ordem fornece uma aproximação para a ultrapassagem percentual sobressinal No entanto se o sistema não tiver polos dominantes a análise rigorosa de sistemas de ordem superior é bastante complexa Hoje temos ferramentas de simulação e de projeto de controladores que permitem utilizar qualquer ordem no modelo de um sistema físico como o Matlab não havendo a necessidade da redução de ordem do sistema Efeito dos zeros na resposta dos sistemas dinâmicos O zero da função de transferência altera a resposta do sistema modificando assim os parâmetros como sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação mas não altera a questão da estabilidade de sistemas Na classificação de sistemas de segunda ordem o zero pode gerar uma resposta ao degrau com sobressinal mesmo que ela seja superamortecida O gráfico da figura 624 ilustra a mudança da resposta de um sistema conforme variamos o valor do seu zero Exemplos um sistema de segunda ordem com polos em 𝒔 𝟏 𝒋𝟐 𝟖𝟐𝟖 São analisadas as respostas ao degrau unitário para o sistema sem zero com zero em 3 5 e 10 Conforme apresentado no gráfico observase que a resposta é subamortecida mas com alteração dos parâmetros sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação e quanto mais próximo do polo for o zero mais forte é o efeito sobre a resposta temporal 46 Fonte autor Figura 624 Resposta ao degrau de sistemas com diversos valores de zeros Se o zero estiver à direita do eixo imaginário ou seja for um número real e positiva a resposta será de um sistema de fase nãomínima que pode ser observada na resposta do sistema anterior com um zero positivo Verificase pelo gráfico da resposta ao degrau da figura 625 que o sistema reduz a sua amplitude antes de tender ao seu valor final Fonte autor Figura 625 Resposta ao degrau unitário de um sistema subamortecido com zero positivo 47 Conclusão Vimos neste bloco a resposta ao degrau de sistemas de primeira ordem segunda ordem e ordem superior Foram apresentados conceitos importantes sobre estabilidade de sistemas a partir dos valores dos polos de um sistema e os parâmetros utilizados para especificar a resposta transitória de sistemas Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de Controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 VARGAS F J T Ferramentas de álgebra computacional aplicações em modelagem simulação e controle para engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2015 GARCIA C Controle de processos industriais estratégias convencionais 1a ed Digital Ed Edgard Blücher Ltda 2018