Modelos Matemáticos de Sistemas Elétricos

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 5 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS Caros alunos neste bloco apresentaremos os modelos de sistemas elétricos em especial de circuitos com componentes básicos como resistores capacitores e indutores Também serão apresentados os modelos matemáticos de circuitos com estes elementos e amplificadores operacionais modelos matemáticos de motores CC dentre outros Quaisquer dúvidas que vocês tiverem consultem o tutor ou o professor responsável pela disciplina 51 Modelos matemáticos de sistemas elétricos Os sistemas elétricos são utilizados na área de desenvolvimento de modelos matemáticos pois são sistemas com características lineares e invariantes no tempo além de serem simples de ser concebidos Cabe ressaltar o fato das analogias existentes entre diferentes sistemas físicos inclusive os sistemas fluídicos e térmicos que utilizam do efeito da resistência e capacitância nos seus modelos matemáticos As variáveis de interesse aqui são a tensão carga elétrica corrente potência e energia com a seguinte notação Tensão diferença de potencial Utilizamse as letras vt ut e et unidade volts V Corrente movimento de cargas elétricas Utilizase a letra it unidade ampere A Carga elétrica utilizase a letra qt unidade coloumb C Potência elétrica utilizase a letra pt unidade watts W 3 Energia Elétrica utilizase a letra wt unidade wattshora Wh A análise do circuito se faz através das relações constitutivas dos bipolos resistor capacitor e indutor utilizando as leis dos nós e das malhas de Kirchhoff que serão apresentadas a seguir Relações constitutivas dos componentes Resistor Os resistores são bipolos que seguem as leis de ohm o que define a sua relação entre tensão e corrente Os bipolos nãoôhmicos podem ser modelados desde que seu comportamento seja linearizado em torno de um ponto de operação Assim é possível trabalhar com o modelo de lâmpadas que não seguem a lei de ohm Simbologia e unidade ohms Ω RESISTOR FÍSICO exemplo SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO ou R Fonte autor Figura 51 Aspecto físico de um resistor e sua simbologia Relação Lei de ohm 𝒗𝑹𝒕 𝑹𝒊𝒕 𝒐𝒖 𝒊𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝑹𝒕 Onde R é o valor da resistência em ohms Ω e a relação entre tensão e corrente é de proporcionalidade 4 Capacitor Os capacitores são componentes que acumulam cargas elétricas proporcionalmente à sua tensão e em função de características geométricas e de natureza física dada pela Capacitância C em Faraday F Valem as relações 𝒒𝒕 𝑪 𝒗𝑪𝒕 e 𝒊𝒕 𝒅𝒒𝒕 𝒅𝒕 Substituindo a primeira relação na segunda chegase na relação constitutiva do componente 𝒊𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝑪𝒕 𝒅𝒕 Simbologia e unidades Faraday F CAPACITOR FÍSICO exemplo SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO Fonte autor Figura 52 Aspecto físico de um capacitor e sua simbologia Indutor O indutor quando ocorre uma variação de corrente em seus terminais produz uma força eletromotriz ou tensão para que a corrente permanece a mesma Esta tensão é diretamente proporcional à taxa de variação de corrente definindo a sua relação constitutiva dada por 𝒗𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝒊𝑳𝒕 𝒅𝒕 5 Onde L é a constante de proporcionalidade e sendo a propriedade que representa a oposição à mudança do fluxo de corrente através do indutor Simbologia e unidade Henry H INDUTOR FÍSICO exemplo SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO Fonte autor Figura 53 Aspecto físico de um indutor e sua simbologia As leis físicas para desenvolvimento dos modelos matemáticos leis de kirchhoff Lei das Malhas a somatória das tensões dos componentes de uma malha é igual a zero Lei das malhas 𝑽𝒊 𝟎 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 𝑰𝜶 Lei dos Nós A somatória das correntes em um nó é igual a zero ou a somatória das correntes que entram no Nó é igual a somatória das correntes que saem do Nó Lei dos Nós 𝑰𝒊 𝟎 𝑵ó 𝑨 Assim como nos demais sistemas físicos é possível determinar uma variável de saída de um circuito elétrico em função de uma entrada o que pode ser uma fonte de tensão fonte de corrente ou qualquer outro sinal de entrada como circuitos abertos ou em curtocircuito L 6 Por exemplo quando se fala que no instante zero segundos t0s foi aplicado em um circuito RC com um sinal de tensão constante de 1 volt podemos entender do ponto de vista matemático que foi aplicado um degrau unitário na entrada do sistema A variável de saída pode ser a corrente do circuito a tensão no capacitor ou a tensão no resistor e com os valores de corrente e tensão é possível determinar o valor das outras variáveis do circuito como a potência energia etc A fim de determinar as equações no tempo devemos somente aplicar os conceitos aqui apresentados Se quisermos determinar o comportamento da saída no tempo frente a uma entrada imposta ou a função de transferência podemos aplicar a transformada de Laplace sobre a equação ou resolver o circuito através da relação de impedâncias de cada um dos bipolos Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 dado o circuito RC da figura 54 determine a O comportamento da tensão do capacitor vct em função da tensão de alimentação ut b O valor da tensão do capacitor no instante de 05 segundo dado que as condições iniciais eram nulas e foi aplicado um sinal de tensão de 2 volts c O valor da função de transferência através da equação e aplicando as relações de impedância do circuito na variável de Laplace Iα VC VR ut R C I Fonte autor Figura 54 circuito RC série com entrada ut e saída vct 7 Solução Aplicando a lei das malhas 𝑽𝒊 𝟎 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 𝑰𝜶 𝒖𝒕 𝒗𝑹𝒕 𝑽𝑪𝒕 𝟎 Assim 𝒗𝑹𝒕 𝒗𝑪𝒕 𝒖𝒕 Devemos substituir a tensão no resistor por uma relação coma tensão do capacitor Desta forma aplicamos as relações constitutivas 𝒗𝑹𝒕 𝑹 𝒊𝒕 𝒆 𝒊𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 Podemos substituir a corrente dada na relação do capacitor na relação do resistor pois a corrente no resistor e no capacitor é a mesma já que temos um circuito série Logo fazendo as substituições adequadas vemos que 𝒗𝑹𝒕 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 Assim substituindo na equação de malha o valor da tensão no resistor o resultado na seguinte equação fornece a relação entre a tensão no capacitor e a tensão de alimentação 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒄𝐭 𝐮𝐭 Numericamente RC1k1000𝝁10³10³𝟏𝟎𝟔 RC1s 𝟏 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒄𝒕 𝒖𝒕 8 Note que foram aplicadas as leis das malhas e a relação constitutiva do capacitor e do resistor para determinar uma equação diferencial linear de primeira ordem que representa o comportamento do capacitor só podemos ter termos referentes a saída no primeiro membro da equação b Desejase o valor da tensão no capacitor quando t05s e ut21t Aplicando a transformada de Laplace nos dois termos da equação e impondo condições iniciais nulas vemos que 𝓛 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒄𝒕 𝓛𝒖𝒕 𝒔𝑽𝒄𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 Substituindo o valor de Us já que 𝒖𝒕 𝟐 𝟏𝒕 𝑼𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 Então 𝒔 𝟏𝑽𝒄𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 Isolando no primeiro membro da equação 𝑽𝒄𝒔 𝟐 𝟏 𝒔𝒔 𝟏 Se determinarmos a transformada inversa teremos o valor da tensão no capacitor ao longo do tempo Na tabela de pares de transformada 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂 9 Com a1 temos 𝒗𝒄𝒕 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒗𝒄𝒕 𝟐𝟏𝒕 𝒆𝟏𝒕 Para t05s 𝒗𝒄𝒕 𝟐𝟏𝒕 𝒆𝟎𝟓 𝒗𝒄𝒕 𝟎 𝟕𝟖𝑽 c A função de transferência é calculada através da aplicação da transformada de Laplace na equação o que já foi feito Assim 𝒔𝑽𝒄𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 Isolando no primeiro membro a relação de entrada e saída temos 𝒔 𝟏𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 Observação final Podemos chegar no mesmo valor através das impedâncias dos componentes na variável s Resistor 𝒁𝑹 𝑹 Capacitor 𝒁𝑪 𝟏 𝒔𝑪 Indutor 𝒁𝑳 𝒔𝑳 Aplicando no exercício a ideia de divisor de impedâncias 10 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝒁𝑪 𝒁𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑼𝒔 𝒁𝑪 𝒁𝑪 𝒁𝑹 𝑮𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝒁𝑪 𝒁𝑪 𝒁𝑹 Logo podemos chegar no mesmo valor 𝑮𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝟏 𝒔𝑪 𝑹 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝑮𝒔 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 Exemplo 2 Para o circuito da figura 55 determine a equação diferencial que define o comportamento da tensão do capacitor v2t em função da tensão de alimentação v1t e a função de transferência correspondente sabendo que C100mF L300mH e R1kΩ Fonte autor Figura 55 Circuito com resistor indutor e capacitor onde será modelada a relação entre atenção no capacitor e a tensão da fonte Solução Como devemos calcular a equação diferencial que define o comportamento da tensão do capacitor v2t em função da tensão de alimentação v1t é interessante depois de determinar a equação aplicar a transformada de Laplace para chegar na função de transferência vRt v1t C i vLt L v2t Nó A R iR iL 11 Assim podemos utilizar o nó A do circuito e aplicar a Lei dos nós 𝑰𝒊 𝟎 𝒏ó 𝑨 𝒊𝒕 𝒊𝑹𝒕 𝒊𝑳𝒕 𝟎 Utilizando as relações constitutivas 𝒊𝑹𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝑹𝒕 𝒊𝑳𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝑳𝒕𝒅𝒕 𝒊𝑪𝒕 𝒊𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 As tensões no indutor e no resistor são iguais e dadas pela diferença das tensões v1t e v2t Assim podemos modificar a equação dos nós obtendo 𝑪 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Para obtermos uma equação diferencial devemos derivar todos os termos da equação a fim de eliminar o termo integral 𝒅 𝑪 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Assim teremos 𝑪 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟐𝒕 𝟎 Isolando a saída no primeiro membro da equação e a entrada no segundo membro vemos que 𝑪 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 12 Substituindo os valores de R L e C chegase a 𝟎 𝟏 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟎 𝟑 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟎 𝟑 𝒗𝟏𝒕 Podemos multiplicar por 1000 todos os termos dos dois membros chegando a 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟏𝒕 Esta equação final representa o modelo matemático que relaciona a tensão no capacitor com a tensão da fonte A função de transferência é obtida a partir da aplicação da transformada de Laplace 𝓛 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟐𝒕 𝓛 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟏𝒕 Impondo condições iniciais nulas obtemos 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐𝑽𝟐𝒔 𝒔𝑽𝟐𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟐𝒔 𝒔𝑽𝟏𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟏𝒔 Colocando em evidência os termos das tensões vemos que 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟐𝒔 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟏𝒔 Teremos então a seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝑽𝟐𝒔 𝑽𝟏𝒔 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎 Observação final a determinação da equação diferencial pode passar por diferentes análises tudo vai depender do circuito que estamos analisando inclusive pode ser feita a análise matricial se o circuito for muito complexo lembrando neste caso que devemos trabalhar com a transformada de Laplace e as impedâncias complexas na variável da transformada s 13 52 Modelagem de sistemas elétricos com amplificadores operacionais Os amplificadores operacionais são utilizados na elaboração de circuitos analógicos voltados para a área de controladores e de filtragem de sinais A proposta aqui é de apresentar como são obtidas as equações dos circuitos que utilizam além do operacional resistores capacitores e indutores Para tanto trabalhase com as relações constitutivas as leis de Kirchhoff e as definições de tensão e corrente O amplificador operacional e seu funcionamento As figuras 56 e 57 apresentam o símbolo do amplificador operacional e a pinagem do circuito integrado LM741 com apenas um único amplificador operacional Fonte autor Figura 56 Aparência Física e símbolo do amplificador operacional com as suas entradas Fonte catálogo da National Semiconductor do LM741 Figura 57 Circuito integrado LM741 com a sua pinagem 14 O amplificador operacional é um circuito eletrônico composto por diversos transistores que lhe conferem algumas características importantes Possui duas entradas a inversora V e a nãoinversores V e uma saída vot Possui duas entradas de alimentação para Vcc V da figura e VEE V da figura Impedância de entrada elevada desta forma a corrente de entrada é praticamente nula A tensão de saída é calculada através da seguinte expressão 𝒗𝟎 𝑨𝑽 𝑽 Como A é elevado temos que 𝑽 𝑽 Com estes fatos podemos fornecer qualquer equação de circuitos com amplificadores operacionais e também determinar as funções de transferência Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Determine a equação diferencial que relaciona vot com vet e calcule a função de transferência entre a entrada e saída do circuito da figura 58 Fonte autor Figura 58 Circuito com amplificador operacional do exemplo 1 Solução Correntes no nó A 15 𝑰𝒊 𝟎 𝒏ó 𝑨 𝒊𝟏𝒕 𝒊𝟐𝒕 𝒊𝟑𝒕 𝟎 Mas devido à alta impedância de entrada 𝒊𝟑𝒕 𝟎 e com isso temos que 𝒊𝟏𝒕 𝒊𝟐𝒕 𝟎 𝒊𝟏𝒕 𝒊𝟐𝒕 Por outro lado através das relações constitutivas podemos calcular as correntes por 𝒊𝟏𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝑹𝒕 e 𝒊𝟐𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝑪𝒕 𝒅𝒕 Devemos agora substituir as tensões no resistor e no capacitor pela tensão de entrada e pela tensão de saída Aplicando a lei das malhas 𝒗𝒆𝒕 𝒗𝑹𝒕 𝑽 𝟎 𝒗𝑹𝒕 𝒗𝒆𝒕 𝑽 e 𝑽 𝒗𝑪𝒕 𝒗𝒐𝒕 𝟎 𝒗𝑪𝒕 𝑽 𝒗𝒐𝒕 Como 𝑽 𝑽 e a entrada não inversora está ligada ao nível de referência 𝑽 𝑽 𝟎 obtemos 𝟏 𝑹 𝒗𝒆𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝒐𝒕 𝒅𝒕 Como queremos uma relação da saída em função da entrada devemos isolar 𝒗𝒐𝒕 no primeiro membro da equação obtendo 𝒗𝒐𝒕 𝟏 𝑹𝑪 𝒗𝒆𝒕𝒅𝒕 Tratase de um circuito integrador inversor Para obter a função de transferência basta aplicar a transformada de Laplace e suas propriedades impondo condições iniciais nulas Teremos então 16 𝓛𝒗𝒐𝒕 𝓛 𝟏 𝑹𝑪 𝒗𝒆𝒕𝒅𝒕 Daí o resultado 𝑽𝒐𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝑽𝒆𝒔 𝒔 E a função de transferência será igual a 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝟏 𝒔 Às vezes é interessante resolver o exercício calculando a função de transferência do circuito através das impedâncias complexas dadas em s Vejamos isso no próximo exemplo Exemplo 2 Determine a função de transferência que relaciona a entrada com a saída do circuito dado na figura 59 Fonte autor Figura 59 Circuito com amplificador operacional do exemplo 2 17 Solução Podemos utilizar as mesmas relações obtidas do amplificador inversor básico a resistores mas utilizando as impedâncias Dessa forma teremos 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 Essa análise facilita em muito os cálculos 𝒁𝟏𝒔 𝑹𝟏 Já o cálculo de Z2s envolve a determinação da impedância de dois bipolos em paralelo que fornece 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝑪𝒔𝒁𝑹𝟐𝒔 𝒁𝑪𝒔 𝒁𝑹𝟐𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝟐 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝟐 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐𝒔𝑪 𝒔𝑪 𝒁𝟐𝒔 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 Assim 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 𝑹𝟏 𝑮𝒔 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 𝟏 Observações finais 1 Podemos voltar com a equação diferencial a partir da função de transferência utilizando a função de transferência dada Para o exemplo 2 a equação diferencial será igual a 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 𝟏 𝑽𝒐𝒔𝑹𝟐𝑪𝒔 𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑽𝒆𝒔 Calculando a transformada inversa nos dois membros da equação 𝑹𝟐𝑪 𝒅𝒗𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒐𝒕 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝒗𝒆𝒕 O sinal negativo pode ser anulado se colocarmos em série a saída do amplificador operacional um amplificador inversor a resistores com ganho 1 18 2 Quando o circuito possui blocos de amplificadores operacionais podemos obter a função de transferência de cada bloco para depois determinar a função de transferência total que será dada pelo produto das funções calculadas 3 São definidas então duas configurações com impedâncias quaisquer a configuração inversora e a configuração não inversora conforme apresentado na figura 510 a Amplificador inversor b Amplificador não inversor Relações de entrada e saída 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝟏 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 Fonte autor Figura 510 Circuito com amplificador operacional na configuração inversora a e não inversora b com impedâncias quaisquer Z1s e Z2s 53 Modelagem de Sistemas Eletromecânicos Estes dispositivos possuem elementos mecânicos e elétricos conjugados Um exemplo disso são os motores que têm movimento de rotação graças ao desenvolvimento de campos magnéticos que interagem A seguir apresentamos o modelo de um motor CC Além destes motores pode ser modelado qualquer dispositivo onde exista a interação do movimento de translação ou 19 rotação com o elemento de geração da força eletroímã por exemplo ou torque motor CC motor CA etc como servoválvulas e outros dispositivos de acionamento Modelo matemático do motor CC O motor CC converte energia elétrica corrente contínua em energia mecânica rotativa sendo constituído de duas partes fundamentais uma parte fixa o estator e uma parte móvel o rotor conforme ilustrado na figura 511 a b e c a Ilustração com o rotor vermelho interno ao estator azul b Estator c rotor com comutador Por KPixMining via Shutterstock Figura 511 Partes do motor CC com a indicação do rotor e do estator com comutador 20 Um motor CC pode ter comutador com escovas alimentando as bobinas do rotor ou dispensar o comutador e as escovas e alimentar as bobinas do estator motor brushless sem escovas Neste último caso o estator possui enrolamentos que são alimentados adequadamente por um circuito em uma sequência específica e o rotor possui imãs permanentes Uma parte da energia mecânica gerada na conversão é utilizada para movimentar uma carga externa Para possuir um elevado torque é comum utilizar redutores elemento transformador mecânico que na sua saída eleva o torque mas reduzindo a rotação para manter a potência de entrada e de saída em um mesmo valor a menos de perdas mecânicas como atrito etc Em função de suas características de velocidadetorque favoráveis controle de velocidade sobre ampla faixa sempre onde há necessidade de um posicionamento com boa precisão bem como de posição os motores CC são utilizados em diversas aplicações por exemplo manipuladores robóticos posicionamento e movimentação de eixos CNC servoválvulas entre outros Vamos elaborar o modelo para um motor com escova A tensão de entrada pode ser aplicada no enrolamento de campo do estator ou no enrolamento da armadura rotor O fluxo magnético no entreferro do motor região entre o rotor e o estator é proporcional à corrente de campo e é dado por 𝒕 𝒌𝒇𝒊𝒇𝒕 Onde 𝒊𝒇𝒕 é a corrente de campo 𝒌𝒇 é a constante de campo O torque desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo 𝒕 e a corrente de armadura isto é 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒕𝒊𝒂𝒕 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒌𝒇𝒊𝒇𝒕𝒊𝒂𝒕 Onde 𝒌𝟏 é a constante de proporcionalidade da relação do torque com o fluxo e a corrente de armadura e 𝒊𝒂𝒕 é a corrente de armadura 21 Podemos definir dois tipos de acionamento do motor já que a energia transmitida está associada tanto à corrente de campo quanto à corrente de armadura Motor CC controlado pela corrente de campo com a corrente de armadura constante Motor CC controlado pela corrente de armadura com a corrente de campo constante Motor CC controlado pela corrente de campo com a corrente de armadura constante A figura 512 dada a seguir ilustra como o motor será ligado as perdas resistivas na fiação dos enrolamentos Rf e a indutância de campo que gera o fluxo concatenado A equação do torque motor é modificada uma vez que essa grandeza só irá variar em função de 𝒊𝒇𝒕 Assim teremos que 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒌𝒇𝒊𝒂𝒊𝒇𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒇𝒕 Esta relação nos diz que o torque produzido pelo motor varia em função da corrente de campo if θ ω J b Lf ia cte Rf ut Fonte autor Figura 512 Esquema com o modelo do motor CC controlado pela corrente de campo 22 A tensão aplicada nos terminais do enrolamento de campo pode ser calculada por 𝒗𝒇𝒕 𝑹𝒇𝒊𝒇𝒕 𝑳𝒇 𝒅𝒊𝒇𝒕 𝒅𝒕 1 Onde 𝑹𝒇 é a resistência do enrolamento de campo e 𝑳𝒇 é a indutância de campo Observando a parte mecânica temos o torque motor o torque de carga e um torque devido à distúrbios grandezas físicas não esperadas por exemplo o vento afetando a movimentação de uma antena durante o seu posicionamento Teremos a relação 𝝉𝒎𝒕 𝝉𝒄𝒕 𝝉𝒅𝒕 Onde 𝝉𝒄𝒕 é o torque de carga 𝝉𝒅𝒕 é o torque devido à distúrbios O torque de carga está associado às inércias em movimento de rotação e ao atrito nos mancais por 𝝉𝒄𝒕 𝝉𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐𝒕 𝑱 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Onde 𝝉𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐𝒕 é o torque devido ao atrito viscoso que será proporcional a velocidade b é a constante de proporcionalidade 𝑱 é o momento de inércia do rotor e da carga e 𝜽𝒕 é a posição angular Impondo a inexistência de distúrbios 𝝉𝒅𝒕 𝟎 e 𝝉𝒎𝒕 𝝉𝒄𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒇𝒕 Ficaremos então com a seguinte equação 𝑱 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒇𝒕 2 O motor tem como entrada a tensão aplicada no enrolamento de campo e saída a posição angular Para determinarmos a relação entre a entrada e a saída devemos aplicar a transformada de Laplace nas equações 1 e 2 com condições iniciais nulas e fazer as devidas substituições 𝑽𝒇𝒔 𝑹𝒇𝑰𝒇𝒔 𝑳𝒇𝒔𝑰𝒇𝒔 𝑰𝒇𝒔𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝑰𝒇𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 23 𝑱𝒔𝟐𝚯𝒔 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎𝑰𝒇𝒔 𝚯𝒔𝒔𝑱𝒔 𝒃 𝒌𝒎𝑰𝒇𝒔 Substituindo 𝑰𝒇𝒔 na segunda equação obteremos a função de transferência 𝚯𝒔𝒔𝑱𝒔 𝒃 𝒌𝒎 𝑽𝒇𝒔 𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝒌𝒎 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 Como podemos ver temos uma parcela associada aos efeitos mecânicos da inércia e atrito e outra parcela devido à parte elétrica indutância e resistência de campo Podemos definir duas constantes de tempo então a do campo elétrica 𝝉𝒇 𝑳𝒇 𝑹𝒇 e a mecânica 𝝉𝒎𝒆𝒄 𝑱 𝒃 associadas a estes elementos 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝒌𝒎 𝒃𝑹𝒇 𝒔𝑱 𝒃 𝒔 𝟏𝑳𝒇 𝑹𝒇 𝒔 𝟏 𝒌𝒎 𝒃𝑹𝒇 𝒔𝝉𝒎𝒆𝒄𝒔 𝟏𝝉𝒇𝒔 𝟏 Como a constante de tempo mecânica é muito maior que a constante do campo é usual desprezar esta constante e reduzir a ordem do modelo de terceira ordem para segunda ordem Motor CC controlado pela corrente de armadura com a corrente de campo constante Neste caso a corrente de campo é feita constante e a corrente de armadura é quem varia isto é 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒌𝒇𝒊𝒇𝒊𝒂𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒂𝒕 A figura 513 apresenta o modelo do motor CC controlado pela corrente de armadura 24 Fonte autor Figura 513 Esquema com o modelo do motor CC através do campo A tensão aplicada nos terminais do enrolamento da armadura 𝒖𝒕 podem ser calculada por 𝒖𝒕 𝑹𝒂𝒊𝒂𝒕 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒕 3 Onde 𝑹𝒂 é a resistência do enrolamento da armadura 𝑳𝒂 é a indutância de armadura e 𝒆𝒕 é a força contraeletromotriz que ocorre devido ao movimento do rotor sendo dada por 𝒆𝒕 𝒌𝒃𝝎𝒕 Onde 𝝎𝒕 é a rotação do motor e 𝒌𝒃 é a constante de velocidade Esta expressão nos diz que a velocidade de regime só depende da tensão de armadura e menos do que as perdas da tensão de alimentação da armadura 𝒖𝒕 Assim 𝒖𝒕 𝑹𝒂𝒊𝒂𝒕 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒃𝝎𝒕 𝒖𝒕 𝑹𝒂𝒊𝒂𝒕 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒃 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas 𝑼𝒔 𝑹𝒂𝑰𝒂𝒔 𝑳𝒂𝒔𝑰𝒂𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑰𝒂𝒔𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 Então 𝑰𝒂𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 25 Para a parte mecânica teremos a mesma relação do motor CC controlado pela corrente de campo só que para a corrente de armadura 𝑱 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒂𝒕 Aplicando a transformada de Laplace 𝑱𝒔𝟐𝚯𝒔 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎𝑰𝒂𝒔 Substituindo o termo da corrente 𝑱𝒔𝟐𝚯𝒔 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎 𝑼𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝑱𝒔𝟐 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎 𝑼𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝚯𝒔 𝒌𝒎 𝑼𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃𝚯𝒔 𝒌𝒎𝑼𝒔 A função de transferência será dada por 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃 Como no caso do motor CC controlado pela corrente de campo podemos desprezar a constante de armadura elétrica que é bem menor que a mecânica 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎 𝒔 𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂 𝑹𝒂 𝒔 𝟏 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒌𝒎 𝒔𝑹𝒂𝑱𝒔 𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎 𝒔𝑹𝒂𝑱𝒔 𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒌𝒎 𝒔𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝑹𝒂𝑱 𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒔𝝉𝟏𝒔 𝟏 26 𝝉𝟏 𝑹𝒂𝑱 𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 Os dois modelos matemáticos podem ser representados por diagramas de blocos Fonte autor Figura 514 Diagrama de blocos dos modelos do motor CC a controlado pela corrente de campo b controlado pela corrente de armadura Conclusão Vimos neste bloco os modelos de sistemas elétricos em especial os circuitos com resistores capacitores e indutores Podemos avaliar a resposta destes circuitos utilizando a transformada de Laplace determinando a função de transferência destes sistemas Analisamos também as funções de transferência de circuitos com amplificadores operacionais que são utilizados como controladores analógicos na teoria de controle Finalmente desenvolvemos os modelos matemáticos de motores CC que são utilizados no posicionamento de dispositivos mecânicos 27 Bibliografia Consultada e Recomendada DORF R C Sistemas de controle modernos 13ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 GARCIA C Controle de processos industriais estratégias convencionais 1a ed Digital Ed Edgard Blücher Ltda 2018 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 NISE S Engenharia de sistemas de controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 VARGAS F J T Ferramentas de álgebra computacional aplicações em modelagem simulação e controle para engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2015