Álgebra Linear - Base e Dimensão de Espaços Vetoriais e Distância entre Pontos

QUESTÃO 01 Dimensão de um Espaço Definição Dimensão de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores que se pode reunir em um conjunto E formando uma coleção linearmente independente Se esse máximo não existe dizemos que V tem dimensão infinita Base Definição Um conjunto B contido em um espaço vetorial será base desse espaço se todo elemento de V for uma combinação linear dos elementos de B e se B for linearmente independente B é uma base de V B é LI e B V Se a base de um espaço vetorial tem k elementos esse espaço vetorial tem dimensão k LOURENÇO Roberto Carlos Geometria Analítica e Álgebra Linear São Paulo UNISA 2019 p 47 Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão S x y z Є R³ x y 5 z 0 QUESTÃO 02 Os pontos a seguir representam as localizações de três aviões sendo que todos partiram do mesmo local indicado pelo ponto O Com as informações dadas faça uma demonstração para classificar cada sentença como verdadeira ou falsa I A distância entre os aviões A e B é maior que a distância entre os aviões A e C II O avião C está mais distante do local de origem que o avião B Questão 1 Para todo elemento 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 em S temos que 𝑥 𝑦 5𝑧 0 Logo 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 5𝑧 𝑦 𝑦 𝑧 Desenvolvendo vemos que podemos escrever 𝑣 𝑦 𝑦 0 5𝑧 0 𝑧 𝑣 𝑦110 𝑧501 Ou seja qualquer elemento em 𝑆 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 110 e 501 Logo esta seria uma base para S Como a base de S só tem 2 vetores concluímos que a dimensão de S é igual a 2 Questão 2 I As distâncias mencionadas são dadas por 𝑑𝐴𝐵 3 1 2 5 122 1 92 𝑑𝐴𝐶 3 42 5 172 1 22 Logo temos 𝑑𝐴𝐵 42 72 82 𝑑𝐴𝐶 12 122 12 𝑑𝐴𝐵 16 49 64 𝑑𝐴𝐶 1 144 1 𝑑𝐴𝐵 129 𝑑𝐴𝐶 146 Logo 𝑑𝐴𝐵 𝑑𝐴𝐶 Assim o enunciado é falso ii As distâncias mencionadas são dadas por 𝑑𝑂𝐵 0 1 2 0 122 0 92 𝑑𝑂𝐶 0 42 0 172 0 22 Logo temos 𝑑𝑂𝐵 1 144 81 𝑑𝑂𝐶 16 289 4 𝑑𝑂𝐵 226 𝑑𝑂𝐶 309 Logo 𝑑𝑂𝐵 𝑑𝑂𝐶 Assim o enunciado é verdadeiro Questão 1 Para todo elemento vx y z em S temos que x y5 z0 Logo vx y z 5 zy y z Desenvolvendo vemos que podemos escrever vy y0 5 z 0z vy 110z 501 Ou seja qualquer elemento em S pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 110 e 501 Logo esta seria uma base para S Como a base de S só tem 2 vetores concluímos que a dimensão de S é igual a 2 Questão 2 I As distâncias mencionadas são dadas por d AB31 2512 219 2 d AC34 2517 212 2 Logo temos d AB4 27 28 2 d AC1 212 21 2 d AB164964 d AC11441 d AB129 d AC146 Logo d ABd AC Assim o enunciado é falso ii As distâncias mencionadas são dadas por dO B01 2012 209 2 dOC04 2017 202 2 Logo temos dO B114481 dOC162894 dO B226 dOC309 Logo dO BdOC Assim o enunciado é verdadeiro GLYCOLYSIS AND GLUCONEOGENESIS