Geometria Analítica e Álgebra Linear: Vetores no R³

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Roberto Carlos Lourenço 12 BLOCO 2 VETORES NO R³ E GEOMETRIA ANALÍTICA Neste bloco teremos um estudo inicial sobre o Sistema de Coordenadas para compreender o vetor o ponto e a reta no espaço o vetor unitário a regra do triangulo e a adição de vetores Em seguida analisaremos os Produtos entre Vetores o Produto Escalar ou Interno o Produto Vetorial ou Externo e o Produto Misto Por fim vamos explorar a Geometria Analítica abordando o conteúdo sobre a Reta no R³ para ser possível estudarmos sua representação por meio de equações Desejo um ótimo período de estudos 21 Sistemas de Coordenadas Neste momento vamos identificar o Sistema de Coordenadas em R³ Sendo O um ponto de R³ e i j k B uma base ortonormal positiva de V³ Ao par O B que também pode ser indicado por i j k O damos o nome de sistema ortogonal de coordenadas em R³ O ponto O é a origem do sistema Os eixos concorrentes em O que têm os sentidos dos vetores j k i denominamse respectivamente eixo das abscissas das ordenadas e das cotas Esses são os eixos coordenados 14 22 Produto entre Vetores Produto Escalar ou Produto Interno Definição Algébrica Sendo 1 1 1 z y u x e 2 2 2 z y v x vetores no V³ o produto escalar é dado por 2 1 2 1 1 2 z z y y x x u v Outra forma de indicar o produto escalar entre os dois vetores é v u onde se lê u escalar v É importante compreender que o produto escalar entre dois vetores determina um escalar ou seja um número real Exemplos 1 Dados os vetores u 2 3 5 e v 0 2 4 apresente o produto escalar v u Resolução 26 20 6 0 45 23 02 v u 2 Dados os vetores 271 u e 513 v apresente o produto escalar v u Resolução 14 10 7 3 52 17 13 v u 15 Propriedades do Produto Escalar Para quaisquer vetores w e v u e o número real β temos P1 v u u v P2 u w u v w u v P2 v u u v u v P4 000 0 0 0 0 se u u u e se u u u P5 2 u u u Definição Geométrica de Produto Escalar Se v e u forem vetores não nulos e θ for o ângulo entre eles temos cos u v u v u v sendo 0 θ 180 Dois vetores são ortogonais se e somente se 0 v u Projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor Seja θ o ângulo entre v e u 16 Em ambos os casos u é a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u A notação é u u u v u v proju 2 Produto Vetorial ou Produto Externo O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a cada par de vetores v u de V³ um vetor indicado por v u que se lê u vetorial v Outra Notação v x u Definição de Produto Vetorial Sendo 1 1 1 z y u x e 2 2 2 z y v x vetores quaisquer de V³ o produto vetorial é determinado 2 2 2 1 1 1 z y x z y x k j i v u Exemplo Para os vetores 2 31 u e v 0 4 5 apresente v u 17 Resolução 5 4 0 2 3 1 k j i v u Você lembra como se calcula a determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 Utilizamos essa ferramenta 4 5 7 4 5 7 8 5 4 15 03 42 51 41 02 53 4 3 0 1 5 4 0 2 3 1 k j i v u i j k i v u k i j k j i v u j k i j i v u O produto Vetorial entre dois vetores determina um vetor Propriedades Para quaisquer vetores w e v u e o número real β temos P1 v u v u v u P2 w u v u w v u P3 u v v u 18 Condições de Colinearidade entre dois Vetores Se v e u são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles temos que v e u são colineares se e somente se 0 u v Se v e u não são colineares então v u é o vetor que satisfaz as seguintes condições I 180 0 u v sen v u II O vetor v u é ortogonal a v e u Área de Paralelogramo Um paralelogramo cujos lados são os vetores v e u sua área é dada por v u A ramo parale log 19 Área de Triângulo Como o triângulo é a metade de um paralelogramo cujos lados são os vetores v e u sua área é dada por 2 v u Atriângulo Produto Misto Definição Sejam três vetores ³ V w v u tomados nessa ordem a expressão w u v Notação w u v ou u v w Sejam os vetores 1 1 1 z y u x 2 2 2 z y v x e 3 3 3 z y w x quaisquer de V³ O produto misto w u v u v w pode ser obtido pelo cálculo do determinante 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x u v w O resultado do produto misto é um escalar 20 Propriedades Qualquer que seja β ϵ R temos P1 u v w w u v v w u u v w P2 v w u u v w v w u u 2 1 2 1 w u v u v w w v u v 2 1 2 1 1 2 1 2 1 u v w u v w w u v w Condições de Coplanaridade entre três vetores I Três vetores w e v u são coplanares se e somente se o produto misto entre eles resulta em zero 0 u v w II Se o produto misto entre os três vetores for diferente de zero os três vetores não são coplanares 0 u v w 21 Volume do Paralelepípedo Sendo o paralelepípedo de arestas w e v u conforme representação abaixo O volume do mesmo é dado por u v w V pedo paralelepí Sendo o módulo do produto misto u v w 23 Retas no R³ A reta no R³ Quando estudamos a reta seja no R² ou no R³ é fundamental conhecermos um dos axiomas da Geometria Euclidiana que afirma dois pontos distintos determinam uma única reta Dessa forma temos que dois pontos distintos 1 1 1 z y A x e 2 2 2 z y B x de R³ determinam uma reta r Um ponto P x y z pertence à reta r se e somente se os vetores AP e AB forem linearmente dependentes LD ou ainda se AP e AB são paralelos Logo um ponto P pertence à reta se e somente se existir um escalar λ tal que AB AP 22 Definição de reta Reta determinada por um ponto A e um vetor v 0 é o conjunto dos pontos P de R³ que satisfazem a relação R v A P AB AP O vetor v é chamado de vetor diretor da reta r Equação vetorial da reta R v A P R P r ³ Uma reta fica bem definida ao determinar um ponto e a direção pelo vetor diretor Exemplo Escreva a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A 5 4 2 e B 3 1 6 Resolução Primeiro se determina um ponto como referência A ou B Ao escolher um ponto temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido Ou seja se escolher A o vetor diretor v será v AB Agora se o ponto escolhido for o B o vetor diretor v será v BA Para este caso trabalharemos com o ponto A O vetor diretor 452 A B AB v A equação vetorial será R x y z r 452 24 5 23 Equações Paramétricas da Reta r 1 1 1 R c z z b y y a x x r Onde x y e z são coordenadas do ponto P P x y z O ponto de referência possui as coordenadas 1 1 1 z y e x 1 1 1 z y A x e o vetor diretor v a b c Exemplo Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A 5 4 2 e B 3 1 6 Resolução Primeiro determine um ponto como referência A ou B Ao escolher um ponto temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido Ou seja se escolher A o vetor diretor v será v AB Agora se o ponto escolhido for o B o vetor diretor v será v BA Para este caso trabalharemos com o ponto A O vetor diretor 452 A B AB v Equações paramétricas 4 2 5 4 2 5 R z y x r 24 Equação Normal ou Simétrica da Reta Equação Normal da reta r 0 0 0 1 1 1 c e b a c z z b y y a x x r Onde x y e z são coordenadas do ponto P P x y z O ponto de referência possui as coordenadas 1 1 1 z y e x 1 1 1 z y A x e o vetor diretor v a b c Exemplo Escreva a equação normal da reta r que passa pelos pontos A 5 4 2 e B 3 1 6 Resolução Primeiro determina um ponto como referência A ou B Ao escolher um ponto temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido Ou seja se escolher A o vetor diretor v será v AB Agora se o ponto escolhido for o B o vetor diretor v será v BA Para este caso vamos trabalhar com o ponto A O vetor diretor 452 A B AB v Equação Normal 4 2 5 4 2 5 z y x r 25 Conclusão Estudamos neste bloco o sistema de coordenadas para compreender o vetor o ponto e a reta no espaço o vetor unitário a regra do triangulo e a adição de vetores Em seguida analisamos os produtos entre os vetores o produto escalar ou interno o produto vetorial ou externo e o produtos misto Por fim exploramos a geometria analítica abordando o conteúdo sobre a Reta no R³ desta forma foi possível estudarmos sua representação por meio de equações Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018