Exercicios Resolvidos Algebra Linear - Base e Dimensao de Espacos Vetoriais

QUESTÃO 01 Dimensão de um Espaço Definição Dimensão de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores que se pode reunir em um conjunto E formando uma coleção linearmente independente Se esse máximo não existe dizemos que V tem dimensão infinita Base Definição Um conjunto B contido em um espaço vetorial será base desse espaço se todo elemento de V for uma combinação linear dos elementos de B e se B for linearmente independente B é uma base de V B é LI e B V Se a base de um espaço vetorial tem k elementos esse espaço vetorial tem dimensão k Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão S x y z Є R³ x y 5 z 0 QUESTÃO 02 Os pontos a seguir representam as localizações de três aviões sendo que todos partiram do mesmo local indicado pelo ponto O Com as informações dadas faça uma demonstração para classificar cada sentença como verdadeira ou falsa I A distância entre os aviões A e B é maior que a distância entre os aviões A e C II O avião C está mais distante do local de origem que o avião B Questão 1 S xyz ℝ³ x y 5z 0 x y 5z 0 x y 5z logo x y z y5z y z y1 1 0 z5 0 1 Portanto 110 501 é uma base de S pois gera S e é L I Questão 2 I Vamos calcular a distância entre A e B dAB 13² 125² 91² 4² 7² 8² 16 49 64 129 Agora a distância entre A e C dAC 43² 17 5² 2 1² 1² 12² 1² 1 144 1 146 Logo a distância entre A e C é maior que A e B Falsa II Vamos calcular as distâncias para origem d0B 1² 12² 9² 1 144 81 226 d0C 4² 17² 2² 16 289 4 309 Logo C está mais distante que B da origem Verdadeira