Análise de Dados: Distribuição de Weibull e suas Aplicações

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 2º Semestre de 2023 GR03672 ANÁLISE DE DADOS DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL E SUAS APLICAÇÕES Prof Mário Monteiro 2 HISTÓRIA E INTRODUÇÃO 1951 lançou um artigo descrevendo a distribuição em detalhes e propondo diversas aplicações Grandes áreas de ciências física biológica social saúde ambiental Métodos baseados nesta distribuição são ferramentas indispensáveis para profissionais da engenharia de confiabilidade Em geral suas aplicações visam a determinação do tempo de vida médio e da taxa de falhas em função do tempo da população analisada SOFTWARES E LIVROS Acervo Virtual MONTGOMERY Douglas C RUNGER George C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 Variável Aleatória Continua e Distribuição de Probabilidade Capítulo 4 410 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL E SUAS APLICAÇÕES Disponível em httpsptwikipediaorgwikiDistribuiC3A7C3A3odeWeibull 5 APLICAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Aplicações O campo de aplicações da distribuição de Weibull é vasto e abrange praticamente todas as áreas da ciência Usando essa distribuição realizouse a modelagem bem sucedida de dados provenientes de grandes áreas de ciências física biológica social saúde e ambiental Disponível em httpsptwikipediaorgwikiDistribuiC3A7C3A3odeWeibull 6 APLICAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Aplicações O campo de aplicações da distribuição de Weibull é vasto e abrange praticamente todas as áreas da ciência Usando essa distribuição realizouse a modelagem bem sucedida de dados provenientes de grandes áreas de ciências física biológica social saúde e ambiental Disponível em httpsptwikipediaorgwikiDistribuiC3A7C3A3odeWeibull 7 APLICAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Engenharia de confiabilidade Devido a necessidade de empresas da área de engenharia e tecnologia de assegurarem a confiabilidade e caracterizarem a vida útil de seus produtos originouse o mercado da engenharia de confiabilidade no qual a análise de Weibull aparece como uma importante e poderosa ferramenta Segue abaixo uma compilação de artigos com aplicações da distribuição de Weibull na área de confiabilidade de materiais e produtos Resistência à fratura do vidro7 Falha de compostos de fibra de carbono8 Falha em semicondutores e capacitores9 Confiabilidade de guias de ondas ópticos para cabos10 Variabilidade de capacidade de carga de helicópteros11 Disponível em httpsptwikipediaorgwikiDistribuiC3A7C3A3odeWeibull 8 Outras áreas Compilação de artigos com aplicações da distribuição de Weibull em diversas áreas Distribuição de velocidades do vento12 Magnitude de terremotos13 Análise da duração do desemprego14 Dinâmica de biomassa da folhagem do pinheiro escocês15 Incidência do câncer de pulmão em fumantes16 APLICAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Prof Mário Monteiro 9 CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES Modelar o tempo até a falha de muitos sistemas físicos diferentes Modelar sistemas em que o número de falhas aumenta com o tempo desgaste de rolamento Modelar sistemas em que o número de falhas diminui com o tempo alguns semicondutores Modelar sistemas em que o número de falhas permanecem constantes com o tempo falhas causadas pelos choques externos ao sistema Prof Mário Monteiro 10 CENSURA DE DADOS Dados com tempo exato até a falha O tempo exato em que cada item falhou é conhecido Por exemplo um engenheiro testa ventiladores elétricos e registra o tempo exato até a falha para cada ventilador Disponível em httpssupportminitabcomptbrminitab20helpandhowtostatisticalmodelingreliabilitysupporting topicsbasicsdatacensoring Prof Mário Monteiro 11 CENSURA DE DADOS Dados censurados à direita As falhas só são vistas quando ocorrem antes de um determinado tempo Uma unidade que sobreviva além desse tempo é considerada uma observação censurada à direita Dados censurados à direita são algumas vezes censurados por tempo ou censurados por falha Censura por tempo significa que o estudo é realizado durante um certo tempo Todas as unidades ainda em operação no final do estudo são censuradas por tempo Por exemplo suponha que um engenheiro teste cinco correias de ventilador Três correias de ventilador falham em 67 horas 76 horas e 104 horas As duas correias restantes ainda estão operando quando o engenheiro para o teste em 110 horas Estas duas últimas correias estão com censura à direita em 110 horas Disponível em httpssupportminitabcomptbrminitab20helpandhowtostatisticalmodelingreliabilitysupporting topicsbasicsdatacensoring Prof Mário Monteiro 12 CENSURA DE DADOS Dados censurados à esquerda As falhas ocorrem antes de um determinado tempo Dados censurados à esquerda são um caso especial de dados censurados por intervalo no qual os tempos de falha ocorrem em algum instante entre zero e um tempo de inspeção Por exemplo capacitores de vidro são colocados em teste em altos níveis de tensão para acelerar os tempos de falha Os engenheiros examinam os capacitores de 12 em 12 horas para ver quais falharam Nas primeiras inspeções 2 capacitores falharam Os tempos de falha para essas duas unidades são censurados à esquerda Disponível em httpssupportminitabcomptbrminitab20helpandhowtostatisticalmodelingreliabilitysupporting topicsbasicsdatacensoring Prof Mário Monteiro 13 FUNÇÃO DENSIDADE DE FALHA DE WEIBULL OU FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 𝑓 𝑥 δ ß β δ 𝑥 δβ1 𝑒 𝑥 δβ se x 0 e 0 se x0 x ou t Variável aleatória 0 δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β ou k Parâmetro de forma e é adimensional A função taxa de falhas para a distribuição de Weibull é dada por λ 𝑡 𝑘 𝑡𝑘1 δ𝑘 Prof Mário Monteiro 14 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL A função de distribuição cumulativa é frequentemente usada para calcular as probabilidades O resultado seguinte pode ser obtido 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 δβ Sendo assim a Probabilidade de x a Pxa 𝑒 𝑎 δβ As funções confiabilidade e distribuição de falhas são respectivamente 𝑅 𝑡 𝑒𝑡 αß x ou t Variável aleatória 0 δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β ou k Parâmetro de forma e é adimensional Prof Mário Monteiro 15 INTERPLETAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Se a quantidade x é uma falha no tempo a distribuição de Weibull dá uma distribuição na qual a taxa de falha é proporcional a uma potência do tempo O parâmetro de forma k é esta potência mais um de modo que pode ser interpretado da seguinte forma 1 Parâmetro de forma k ou ß 1 indica que a falha decresceu no tempo 2 Parâmetro de forma k ou ß 1 indica que a taxa de falha permanece constante no tempo isto pode indicar que eventos aleatórios externos estejam causando a falha Distribuição de Weibull se reduz a uma exponencial 3 Parâmetro de forma k ou ß 1 indica que a taxa de falhas aumentou com o tempo Prof Mário Monteiro 16 INTERPLETAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CASOS ESPECIAIS Caso Especial 1 Para o Parâmetro de forma k ou ß 1 A distribuição de Weibull se reduz a uma distribuição exponencial com uma taxa de falha constante igual a 1δ λ 𝑡 𝑘𝑡𝑘1 δ𝑘 1𝑡11 δ1 1 δ δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x MTTF δ httpswwwfm2scombrmtbfmttrmttf Prof Mário Monteiro 17 VALORES PARA O PARÂMETRO DE FORMA β É chamado de declividade de Weibull pois determina a declividade da função de distribuição acumulada plotada em um papel de probabilidade Weibull Do ponto de vista estatístico β k é o parâmetro de forma Prof Mário Monteiro 18 VALORES PARA O PARÂMETRO DE FORMA β Variações no valor de β k alteram drasticamente o comportamento da distribuição Para β k 1 o fator exponencial da distribuição é predominante e a curva fica em um formato de J Prof Mário Monteiro 19 VALORES PARA O PARÂMETRO DE FORMA β Para β k 1 a distribuição se reduz a uma distribuição exponencial Para β k 1 o fator polinomial da distribuição é predominante Prof Mário Monteiro 20 VALORES PARA O PARÂMETRO DE FORMA β Prof Mário Monteiro 21 VALORES PARA O PARÂMETRO DE FORMA β Taxa de falha uma falha a cada horas Probabilidade de falhar Prof Mário Monteiro 22 MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Média e variância da Distribuição de Weibull pagina 116 do livro do Montgomery httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 23 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL A função de distribuição cumulativa é frequentemente usada para calcular as probabilidades O resultado seguinte pode ser obtido 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 δβ Sendo Fxδ 1 𝑒 δ δβ 1 𝑒1 063 63 Extraindo o logaritmo desta equação por duas vezes seguidas 𝑒 𝑥 δβ 1 Fx 𝐿𝑛𝑒 𝑥 δβ ln1 Fx 𝑒 𝑥 δβ 1 Fx Invertendo 𝑒 𝑥 δβ 1 Fx1 x ou t Variável aleatória 0 δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β ou k Parâmetro de forma e é adimensional httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 24 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 𝐿𝑛𝑒 𝑥 δβ ln1 Fx 𝑒 𝑥 δβ 1 Fx Invertendo 𝑒 𝑥 δβ 1 Fx1 Aplicando novamente o logaritmo teremos ln 𝑒 𝑥 δβ ln1 Fx1 𝑥 δß ln 1 1 𝐹 𝑥 Ou seja ln 1 1 𝐹 𝑥 𝑥 δß Aplicando novametne o logaritmo teremos ln ln 1 1 𝐹 𝑥 ln 𝑥 δ ß ln ln 1 1𝐹 𝑥 ln 𝑥 δ ß ß ln 𝑥 δ ß ln 𝑥 ln δ x ou t Variável aleatória 0 δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β ou k Parâmetro de forma e é adimensional httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 25 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL ln ln 1 1𝐹 𝑥 ln 𝑥 δ ß ß ln 𝑥 δ ß ln 𝑥 ln δ Desta forma o parâmetro de forma ß é o coeficiente angular da reta a obtida enquanto que o tempo esperado de vida útil δ corresponde ao valor de Fx 063 ln ln 1 1𝐹 𝑥 ß ln 𝑥 ß ln δ Y a x b Equação da reta ln ln 1 1 𝐹 𝑥 ß ln δ ln δ ln 𝑥 x ou t Variável aleatória δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β ou k Parâmetro de forma e é adimensional Coeficiente linear b Tangente do ângulo Coeficiente angular ß httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 26 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL ln ln 1 1𝐹 𝑥 ß ln 𝑥 ß ln δ 𝑌 𝑎𝑋 𝑏 x ou t Variável aleatória δ ou λ ou α Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β ou k Parâmetro de forma e é adimensional Coeficiente linear b ln ln 1 1 𝐹 𝑥 Tangente do ângulo Coeficiente angular ß 𝑏 ß ln δ ß coeficiente angular a da reta Leitura direta da equação fornecida pela regressão linear Coeficiente linear ß ln 𝛿 𝑏 valor da Interseção fornecida pela regressão linear Assim ln δ 𝑏 ß logo δ 𝑒𝑏ß ln δ ln 𝑥 δ ou λ ou α Parâmetro de escala 𝑒𝑏 𝑎 httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 27 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL KaplanMeier Johnson e Bernard Esses três modelos são frequentemente relacionados a determinação do valor da probabilidade de falha que é representada por Fx no gráfico de probabilidade de Weibull Vamos utilizar Bernaard para calcular o ln ln 1 1 𝐹 𝑥 TPF Tempo para Falhar httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 28 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL MATERIAL DO PROFESSOR WILLY ANK Material disponível em httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA Determinar os parâmetros δ Parâmetro de escala e tem a mesma unidade da variável aleatória x β k Parâmetro de forma e é adimensional httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 29 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXCEL 1º Passo Listar os valores da amostra em ordem crescente 2º Passo Calcular para cada amostra a função 𝐹 𝑥 𝑖 03 𝑛04 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒 𝑖 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 1 𝑎𝑡é 𝑛 3º Passo Para cada amostra determinar o valor de X Ln Vida Horas 4º Passo Para cada amostra determinar o valor de Y 𝑙𝑛 ln 1 1𝐹 𝑥 httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 30 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXCEL 5º Passo Na Análise de Dados do Excel Usar Regressão para determinar os parâmetros abaixo β ou k Parâmetro de forma 2756871 δ ou λ ou α Parâmetro de escala 𝑒𝑏 𝑎 δ ou λ ou α Parâmetro de escala 𝑒 14913 2756071 224 Função de Weibull 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 224276 P 𝑥 𝑎 𝑒 𝑎 224276 Equação da reta y a a é o valor de x na tabelax bb é o valor da interseção na tabela 2756871x 149193 Prof Mário Monteiro 31 FUNÇÃO GAMA Função Gama no Excel httpswwwyoutubecomwatchvtkPisXwXr4s Calculadora para Função Gama Usar separação por ponto e não virgula httpsminiwebtoolcombrgammafunctioncalculator Valores para a Função Gama Γ05 π12 1772 Γ1 0 1 Γ 15 0886 Γ2 1xΓ1 1 1 Γ3 2xΓ2 2x12 Γ4 3xΓ3 3x2x13 Γ5 4xΓ4 4x3x2x14 Em geral se n é inteiro Γn n1 A distribuição gama é uma generalização da distribuição exponencial que utiliza a função gama cuja definição apresentamos a seguir 𝐴 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝐺𝑎𝑚𝑎 é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 Γ 𝑟 𝑥𝑟1𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 0 0 Note que o argumento da função é r que aparece no expoente da variável de integração x A função gama tem a seguinte propriedade recursiva Γr 1 r Γr ou Γr 1 r httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 32 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXCEL MTBF 6º Passo Usando a Função Gama determinar o Tempo Médio entre Falhas Sendo β ou k Parâmetro de forma 2756871 δ ou λ ou α Parâmetro de escala 𝑒 149193 2756871 224 Calculadora para Função Gama Usar separação por ponto e não virgula httpsminiwebtoolcombrgammafunctioncalculator 𝑀𝑇𝐵𝐹 𝐸 𝑥 δΓ 1 1 β 224 Γ 1 1 2756871 224 Γ 13627 224 088994 19934 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Prof Mário Monteiro 33 1º EXERCÍCIO EXEMPLO 425 LIVRO DO MONTGOMERY O tempo de falha em horas de um mancal em um eixo mecânico é satisfatoriamente modelado com a variável aleatória de Weibull com β Parâmetro de forma igual a 2 e δ Parâmetro de escala igual a 5000 horas Determine o tempo médio até falhar MTBF 𝐸 𝑥 δΓ 1 1 β httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 35 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXERCÍCIO 1 A tabela abaixo apresenta o tempo em dias até a falha de 31 componentes Determinar os parâmetros da Distribuição de Weibull Resposta δ ou λ ou α Parâmetro de escala 16467 β ou k Parâmetro de forma 2284 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 δβ 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 164672284 P 𝑥 𝑎 𝑒 𝑎 164672284 httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 36 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXERCÍCIO 2 A tabela abaixo apresenta o tempo em horas até a falha de componentes Determinar os parâmetros da Distribuição de Weibull Resposta δ ou λ ou α Parâmetro de escala 772 β ou k Parâmetro de forma 214 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 δβ 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 772214 P 𝑥 𝑎 𝑒 𝑎 772214 httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 37 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXERCÍCIO 3 A tabela abaixo apresenta o tempo em horas até a falha de componentes Determinar os parâmetros da Distribuição de Weibull Resposta δ ou λ ou α Parâmetro de escala 224 β ou k Parâmetro de forma 276 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 δβ 𝐹 𝑥 1 𝑒 𝑥 224276 P 𝑥 𝑎 𝑒 𝑎 224276 httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 38 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL EXERCÍCIO 4 Determinar os parâmetros da Distribuição de Weibull para o teste de resistência do Clips httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 39 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL USANDO O MINITAB httpswwwyoutubecomwatchvDSY5wPjbwNA 40 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL USANDO O MINITAB USF