Fundamentos do Processamento Digital de Sinais: Transformada de Fourier e Propriedades de Sistemas LTI

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS PDS Prof Vicente Idalberto Becerra Sablón Sumario 1 Transformada de Fourier de Tempo Discreto 2 TG Fundamentação Teórica TEMA SINAIS E SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Referências Bibliográficas 1 Diniz Paulo S R et al Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2014 Cap 2 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788582601242pageid2 2 Nalon José A Introdução ao Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca Grupo GEN 2009 Cap2 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788521626152pageid26 Referências Bibliográficas Complementares 3Lathi BP Sinais e Sistemas Lineares Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2006 Cap 3 httpsintegradaminhabibliotecaco mbrreaderbooks9788577803910 pageid238 4 Roberts Michael J Fundamentos de sinais e sistemas Disponível em Minha Biblioteca Grupo A 2009Cap 3 httpsintegradaminhabibliotecaco mbrreaderbooks9788563308573 pageid95 Objetivos Transformada de Fourier de tempo discrete Resumo Sistemas LTI Sistemas LIT podem ser completamente descritos através da sua resposta ao impulso ℎ 𝑛 𝑇 𝛿𝑛 A Equação é chamada de soma de convolução e é representada pela notação operacional Conhecendose a resposta do sistema ao impulso é possível obter a resposta a qualquer outro sinal de entrada simplesmente efetuandose a operação dada PROPRIETADE 1 Comutativa xn hn hn xn PROPRIETADE 2 Distributiva Conexão Paralela de Sistemas xn h1n h2n xn h1n xn h2n Associação Paralela de Sistemas LTI Sistema Equivalente PROPRIETADE 3 Associativa Conexão em Cascata de Sistemas yn xn h1n h2n xn h1n h2n yn xn h2n h1n xn h2n h1n hn h1n h2n h2n h1n Associação em cascata de dois sistemas LTI Cascata equivalente Sistema único equivalente PROPRIEDADE 8 Representação no domínio da frequência de sinais e sistemas de tempo discreto Resposta a Sinais Senoidais Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência 1 Análise de Fourier JeanBaptiste Joseph Fourier Auxerre 21 de março de 1768 Paris 16 de maio de 1830 foi um matemático e físico francês celebrado por iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da condução do calor A transformada de Fourier foi designada em sua homenagem Fourier também é geralmente creditado pela descoberta do efeito estufa 1 Análise de Fourier A transformada de Fourier é uma operação matemática linear que transforma uma descrição no domínio do tempo de um sinal em uma descrição no domínio da frequência sem perda de informação o que significa que o sinal original pode ser totalmente recuperado da descrição no domínio da frequência Entretanto para um sinal poder ser transformado por Fourier certas condições precisam ser satisfeitas Felizmente estas condições são satisfeitas pelo tipo de sinais encontrados no estudo dos sistemas reais Análise de Fourier ONDA DOMÍNIO DO TEMPO Análise de Fourier A análise de Fourier fornece a base matemática para a determinação das seguintes características Descrição no domínio da frequência de uma sequencia Transmissão de um sinal através de um sistema linear ou um filtro seletivo em frequência Correlação isto é similaridade entre um par de sinais A determinação destas características se torna ainda mais importante devido a um algoritmo chamado de Transformada Rápida de Fourier FFT o qual fornece um método eficiente para o cálculo da transformada de Fourier Análise de Fourier A análise de Fourier fornece a base matemática para a determinação das seguintes características Descrição no domínio da frequência de uma sequencia Transmissão de um sinal através de um sistema linear ou um filtro seletivo em frequência Correlação isto é similaridade entre um par de sinais A determinação destas características se torna ainda mais importante devido a um algoritmo chamado de Transformada Rápida de Fourier FFT o qual fornece um método eficiente para o cálculo da transformada de Fourier Análise de Fourier A análise de Fourier fornece a base matemática para a determinação das seguintes características Descrição no domínio da frequência de uma sequencia Transmissão de um sinal através de um sistema linear ou um filtro seletivo em frequência Correlação isto é similaridade entre um par de sinais A determinação destas características se torna ainda mais importante devido a um algoritmo chamado de Transformada Rápida de Fourier FFT o qual fornece um método eficiente para o cálculo da transformada de Fourier Espectrograma do sinal de voz feminina dizendo favor ligar mais tarde com dois espectros instantâneos correspondentes a um som vocal o A onde se destacam raias chamadas formantes e um som não vocal produzido pelo sss e que mais parece ruído branco em frequências mais altas Forma uma onda complexa no caso uma onda quadrada simétrica e o seu respectivo espectro A forma de onda resultante em amarelo é o somatório a todo instante dos termos em azul Relação entre forma de onda e espectro a figura seguinte mostra isto de forma tridimensional em perspectiva para ser mais exato para a onda quadrada da figura anterior onda quadrada simétrica no eixo do tempo semiperiodos iguais é composta de uma infinidade de raias ou senoides correspondentes a fundamental e seus harmônicos impares G4 D6 G5 G6 B7 D7 F7 G7 G4 G5 D6 G6 B7 F7 D7 G7 Tuning fork Flute Voice Violin Transformada de Fourier de Tempo Discreto DEFINIÇÃO TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO EQUAÇÃO DE ANALISE TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER EQUAÇÃO DE SINTESE CONSIDERAÇÕES 𝐀 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝑭𝒐𝒖𝒓𝒊𝒆𝒓 ƴ𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒇𝒖𝒏 ǜ𝒄𝒂𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒙𝒂 𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊 ƴ𝒂𝒗𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝝎 𝑿𝒆𝒋𝝎 𝑿𝒋𝝎 𝑿𝝎 𝒙 𝒏 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑿 𝝎 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒋𝝎𝒏 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒏 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏 cos𝜔𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 2𝑗 𝑋 𝜔 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑋𝜔 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝜃𝜔 𝑓𝑎𝑠𝑒 CONSIDERAÇÕES 𝑿 𝝎 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒅𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝟐𝝅 𝝅 𝝎 𝝅 𝑩𝒂𝒊𝒙𝒂 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝝎 𝟎 𝑨𝒍𝒕𝒂𝒔 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝝎 𝜋 A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica 1 Determine a transformada de Fourier da 𝛿𝑛 𝛿 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 1 Determine a transformada de Fourier da 𝛿𝑛 Solução 1º Representar xn 1 Determine a transformada de Fourier da 𝛿𝑛 Solução 2º Calcular 𝑿𝝎 𝑋 𝜔 ℱ 𝛿𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 1 𝑒𝑗𝜔0 1 A FT de um impulso unitário é uma constante com o valor da amplitude do impulso Função Real 1 Determine a transformada de Fourier da 𝛿𝑛 Solução 3º Representar 𝑿𝝎 𝑋𝜔 1 𝜃 𝜔 0 𝐵𝐴𝑁𝐷𝐴 𝑃𝐴𝑆𝑆𝑂 𝜋 𝜔 𝜋 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Solução 1º Representar xn 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 1 2 𝑛 1 𝑛 0 0 𝑛 0 1 2 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Solução 2º Calcular 𝑿𝝎 𝑋 𝜔 ℱ 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 1 2 𝑛 1 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝜔 𝑛0 1 2 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔 2 𝑛 1 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 Transformada de Fourier de tempo discreto da função Xn Complexa o gráfico tem que ter modulo e fase Solução 3º Representar 𝑿𝝎 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑋 𝜔 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑋𝜔 𝑋𝜔2 𝑋 𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝑋𝜔 1 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑒𝑗𝜔 1 4 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝜔 1 1 cos𝜔 1 4 𝑒0 𝑋 𝜔 1 5 4 cos𝜔 Solução 3º Representar 𝑿𝝎 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑋 𝜔 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝜔 1 5 4 1 2 cos𝜔 𝑋 0 1 5 4 1 2 cos0 1 5 4 1 1 1 4 4 𝑋𝜋 1 5 4 1 2 cos𝜋 1 5 4 1 1 9 4 4 9 𝑋𝜋 1 5 4 1 2 cos𝜋 1 5 4 1 1 9 4 4 9 Solução 3º Representar 𝑿𝝎 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑋 𝜔 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝜔 1 5 4 1 2 cos𝜔 𝑋 0 4 𝑋𝜋 4 9 𝑋𝜋 4 9 Cosseno Levantado Passa Baixas Solução 3º Representar 𝑿𝝎 2 Determine a transformada de Fourier da 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑋 𝜔 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝜔 1 5 4 1 2 cos𝜔 𝜃 𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 1𝑗0 11 2cos 𝜔𝑗𝑠𝑒𝑛𝜔 2 11 2 cos 𝜔𝑗1 2𝑠𝑒𝑛𝜔 𝜃 𝜔 0 arctan 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜔 1 1 2 cos 𝜔 𝜃 0 arctan 1 2 𝑠𝑒𝑛 0 1 1 2 cos 0 0 𝜃𝜋 arctan 1 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋 1 1 2 cos 𝜋 0 𝜃 𝜋 4 arctan 1 2𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 11 2 cos 𝜋 2 1 2 𝜃 𝜔 0 arctan 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜔 1 1 2 cos 𝜔 𝜃 0 0 𝜃𝜋 0 𝜃 𝜋 4 1 2 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝜃 𝜔 arctan 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜔 1 1 2 cos 𝜔 𝑋 𝜔 1 5 4 1 2 cos𝜔 𝑋 𝜔 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑋 𝜔 1 11 2𝑒𝑗𝜔 𝑆𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑛 𝑎𝑛 𝑢 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 0 𝑎 1 𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑑𝑎 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒